Tài liệu Tuyển tập Đề thi Cao học môn Toán (1998-2008) ppt

DongPhD Problems Book Series

Tuyển tập Đề thi Cao học
mơn Tốn
(1998 – 2008)

Cuốn sách bao gồm các đề thi tuyển sinh sau đại học của các trường ĐHQG Hà
Nội, Đại học Sư phạm TPHCM, Đại học Huế, Đại học Vinh, Đại học Quy Nhơn,
Viện Tốn, Đại học Kinh tế Quốc dân.

Contributors:
Ngơ Quốc Anh
Đặng Xn Cương
DongPhD
RobinHood
Nguyễn Đình Hồng Nhân
Trần Mậu Q
Bản điện tử chính thức có tại




Trường Đại học Sư phạm TP.HCM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc Lập - Tự Do - Hạnh Phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
ĐỀ THI MƠN : GIẢI TÍCH (CƠ SỞ)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)

Câu I:
Cho không gian mêtric X với E, F là hai tập con của X sao cho E là tập conpact và F là tập
đóng. Đặt d(E, F ) = inf d(x, y)
x∈E,y∈F

a) Chứng minh tồn tại x0 ∈ E sao cho d(x0 , F ) = d(E, F ).
b) Cho E ∩ F = Ø. Chứng minh tồn tại số t > 0 sao cho d(E, F ) ≥ t.
Câu II:
Cho (X, µ) là khơng gian có độ đo và hàm số f : X → R+ là hàm khả tích. Cho dãy (An ) các
tập đo được trong không gian X sao cho:
∞

An ⊂ An+1 với mọi n ∈ N và

An = X
n=1

Chứng minh rằng:
lim

f dµ =

n→∞
An

f dµ
X

Câu III:
Cho (X, µ) là khơng gian có độ đo và B ⊂ X với B là tâp đo được. Cho hàm số đo được

f : X → N. Với n ∈ N , ta đặt:
Bn = {x ∈ B : |f (x)| ≤ n}
Chứng minh rằng với mọi n thì Bn là tập đo được và
lim µ(Bn ) = µ(b)

n→∞

Câu IV:
Tính tích phân sau đây:
1

lim

n→∞
−1

x + x2 enx
dx
1 + enx

Câu V:
Cho X là khơng gian Hilbert với tích vơ hướng ·, · và en là một hệ trực chuẩn đầy đủ trong
không gian X. Cho an là một dãy số. Đặt
∞

T (x) =

an < x, en > en

, với x ∈ X

n=1

a) Cho dãy an bị chặn. Chứng minh T là ánh xạ tuyến tính liên tục và tính T .
b) Cho lim an = 0. Chứng minh T là ánh xạ compact.
n→∞

HẾT
Ghi chú

- Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu
- Cán bộ coi thi khơng được giải thích gì thêm


Trường Đại học Sư phạm TP.HCM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
MÔN THI : ĐẠI SỐ (CƠ SỞ)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Bài I: Cho A là vành giao hốn có đơn vị.
a) Định nghĩa iđêan tối đại của vành A.
b) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh M là iđêan tối đại khi và chỉ khi
A/ là trường.
M
c) Cho M là một iđêan của A. Chứng minh: Nếu ∀x ∈ M 1 + x khả nghịch
trong A thì M là iđêan tối đại duy nhất của A.

Bài II: a) Cho (G, ·) là một nhóm có 2n phần tử và H là một nhóm con của G có n
phần tử.
Chứng minh ∀x ∈ G x2 ∈ H
b) Trong nhóm đối xứng S4 (nhóm các phép thế bậc 4) hãy xét tính chuẩn tắc
của các nhóm con xiclic sinh bởi một vịng xích độ dài 3.
Bài III: Trong trường các số hữu tỷ Q ta xét tập con:
A=

/

m
∈ Q n là số lẻ
n

a) Chứng minh A là vành con của Q.
b) Tìm các phần tử khả nghịch trong vành A.
c) Chứng minh vành con A là một vành chính.
Bài IV: Xét đa thức f (x) = x3 + x + 1 ∈ Q[x]
1) Chứng minh f (x) = x3 + x + 1 bất khả vi trong Q[x]
2) Gọi α là nghiệm thực của f (x) = x3 + x + 1 (nghiệm thực này là duy nhất).
Đặt K = {aα2 + bα + c/a, b, c ∈ Q}
a) Chứng minh ánh xạ
α : Q[x] −→ R
g(x) −→ g(α)
là đồng cấu vành.
b) Tìm Kerϕ.
c) Chứng minh K là một trường.

HẾT

Ghi chú - Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu

1


Trường Đại học Sư phạm TP.HCM
Hội đồng Tuyển sinh Sau đại học 2004

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2004
MÔN THI : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
(Thời gian 180 phút, khơng kể thời gian phát đề)
Câu 1: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm lũy thừa
∞

n=1

n(n+1)

n+2
n+1

xn

Câu 2: Cho hàm số f : R2 → R xác định bởi:

 2xy
, khi (x, y) = (0, 0)

f (x, y) =
x2 + y 2

0
, khi (x, y) = (0, 0)
a) Xét sự liên tục của f trên R2 ;
b) Tính các đạo hàm riêng của f trên R2 .
(2x − y)dxdy,
Câu 3: Tính tích phân
D

trong đó D là nửa trên của hình trịn có tâm tại điểm (1,0) bán kính 1
Câu 4: Cho tập hợp các số tự nhiên N. Với mọi m, n ∈, đặt
, nếu m = n
1
, nếu m = n
1+
m+n
0

d(m, n) =

Hãy chứng minh:
a) d là một metric trên N.
b) (N, d) là một khơng gian metric đầy đủ.
Câu 5: Tính định thức:
1
2
5
7

3
1

3
4
1
6
7
2

0
0
1
6
0
0

0
0
5
7
0
0

4
5
2
1
0
0

6
8
1
2
0
0

Câu 6: Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 có ma trận trong cặp cơ sở chính tắc là


1 0
2 1
 2 3 −1 1 
−2 0 −5 3

Hãy xác định nhân và ảnh của f . Hỏi f có là đơn cấu, tồn cấu hay khơng? Vì sao?
Câu 7: Cho ma trận


−1 3 −1
 −3 5 −1 
−3 3
1
a) Tìm giá trị riêng, vectơ riêng của A.
b) Tính A2004

HẾT

Ghi chú - Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu

1


TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ (dành cho PPGD Tốn)
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : Cho ma trận vuông




A=


Câu 2 :
Câu 3 :

Câu 4 :

Câu 5 :

a

1
1
1

1
a
1
1

1
1
a
1

1
1
1
a







a) Tính det A
b) Tính rank A.
Cho B là ma trận vuông cấp n, (B)ij = 1 hoặc (B)ij = −1 với mọi i, j. Chứng minh
det B chia hết cho 2n−1 .
Cho n là một số tự nhiên (n ≥ 1) , Rn [x] là tập các đa thức với hệ số thực bậc bé hơn

hoặc bằng n. Biết rằng Rn [x] với phép cộng các đa thức và phép nhân một số với một
đa thức là một không gian vectơ trên R và 1, x, . . . , xn (∗) là một cơ sở của Rn [x].
Cho ánh xạ f : Rn [x] → f : Rn [x]
p(x) → p(x) − xp′ (x) p′ (x) : đạo hàm của đa thức p(x)
a. Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính. Tìm ma trận của f trong cơ sở (*) ở trên.
b. Tìm một cơ sở và số chiều của các không gian con Ker f = f −1 (0) và imf = f (Rn [x])
Trong khơng gian vectơ Euclide R4 (với tích vơ hướng thơng thưng), cho L là không
gian con sinh bởi các vectơ α1 = (0, 1, 0, 1), α2 = (0, 1, 1, 0), α3 = (1, 1, 1, 1), α4 =
(1, 2, 1, 2), (L =< α1 , α2 , α3 , α4 >)
a. Tìm điều kiện cần và đủ để vectơ (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ L.
b. Tìm một cơ sở và số chiều của L.
c. Tìm một cơ sở trực chuẩn của L.
Cho E là khơng gian vec tơ Euclide, tích vơ hướng của hai vectơ x, y ∈ E, kí hiệu là
< x, y > và cho ϕ : E → E là ánh xạ thoả mãn < ϕ(x), ϕ(y) > = < x, y > ∀x, y ∈ E.
Chứng minh ϕ là ánh xạ tuyến tính.
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu
– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

1


TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MƠN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ
(Thời gian 180 phút, khơng kể thời gian phát đề)
Kí hiệu :
• n Q là trường số hữu tỉ, R là trường số thực, C là trường số phức, Z là vành số nguyên.
• Zp là vành thương Z/pZ.
Câu 1 : (2đ + 1đ)
1. Cho (G, ·) là một nhóm giao hốn hữu hạn có mn phần tử, với m, n nguyên tố cùng
nhau. Đặt A = {x ∈ G : xm = e} và B = {x ∈ G : xn = e} (e là phần tử đơn vị của
nhóm). Chứng minh A và B là 2 nhóm con của G thoả A ∩ B = {e} và AB = G.
2. Cho (G, ·) là một nhóm có 2n phần tử. Chứng minh trong G có phần tử cấp 2.
Câu 2 : (0,5đ + 1,5đ)
Xét vành tích Z2 = Z × Z với phép toán cộng và phép nhân theo thành phần.
a. Cho I là một iđêan của Z2 . Đặt :
I1 = {x ∈ Z/(x, 0) ∈ I},

I2 = {y ∈ Z/(0, y) ∈ I}

Chứng minh I1 , I2 là 2 iđêan của Z.
b. Chứng minh vành Z2 khơng phải là vành chính mặc dù mọi iđêan của nó đều là iđêan
chính.
Câu 3 : (1đ + 1đ + 1đ)
Cho đa thức f (x) = 1x4 + 1 ∈ K[x], với K là một trường có đơn vị là 1.
Hãy xét tính bất khả qui của f (x) trong K[x] đối với từng trường hợp sau :
a. K = Q
b. K = Z5
c. K = Z3
Câu 4 : (2đ)
√
Cho số phức α = −1 + i 2 và đồng cấu vành ϕ : R[x] → C xác định bởi ϕf = f (α).

Chứng minh ϕ là toàn ánh và suy ra
C ∼ R[x] x2 − 2x + 3
=
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu.
– Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

1


TRƯỜNG ĐH SƯ PHẠM TP.HCM

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH SĐH 2005

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC NĂM 2005
MƠN CƠ BẢN : ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH ĐẠI CƯƠNG
(Thời gian 180 phút, không kể thời gian phát đề)
Câu 1 : Cho hàm số

1
 (x2 + y 2 ) sin
nếu x2 + y 2 > 0
2 + y2
x
f (x, y) =


0
nếu x = y = 0

Chứng minh rằng hàm số f (x, y) có các đạo hàm riêng
O(0, 0) nhưng f (x, y) khả vi tại O(0, 0).

∂f ∂f
,
khơng liên tục tại
∂x ∂y

Câu 2 : Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
+∞

n=1

n+1
3n + 2

n

(x − 2)n .

Câu 3 : Gọi M = {x ∈ C([0, 1])|x(1) = 1, 0 ≤ x(t) ≤ 1, ∀t ∈ [0, 1]}
a. Chứng minh rằng M là tập đóng khơng rỗng và bị chặn trọng không gian mêtric
C([0, 1]) với mêtric
d(x, y) = max |x(t) − y(t)|, với x(t), y(t) ∈ C([0, 1]).
0≤t≤1

1

b. Xét f : C([0, 1]) → R xác định bởi f (x) =

x2 (t) dt. Chứng minh rằng f liên tục

0

trên M nhưng f không đạt được giá trị nhỏ nhất trên M . Từ đó suy ra M không
phải là tập compact trong C([0, 1]).
Câu 4 : Cho f : R3 → R3 là một phép biến đổi tuyến tính xác định bởi : f (u1 ) = v1 , f (u2 ) = v2 ,
f (u3 ) = v3 . Với u1 = (1, 1, 1), u2 = (0, 1, 1), u3 = (0, 0, 1) ; v1 = (a + 3, a + 3, a + 3),
v2 = (2, a + 2, a + 2), v3 = (1, 1, a + 1) với a ∈ R
a. Tìm ma trận của f với cơ sở chính tắc e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1).
b. Tìm giá trị của a để f là một đẳng cấu.
c. Khi f không là một đẳng cấu hãy tìm cơ sở và số chiều của Imf và Kerf.
d. Với a = −3, f có chéo hóa được khơng ? Trong trường hợp f chéo hóa được, hãy tìm
một cơ sở để ma trận của f với cơ sở đó có dạng chéo.
Câu 5 : Cho dạng toàn phương q(x1 , x2 , x3 ) = x2 + 2x2 + x2 + 2x1 x2 + 2ax1 x3 + 2x2 x3 .
1
2
3
a. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc.
b. Với giá trị nào của a thì q là xác định dương, nửa xác định dương.
HẾT
Ghi chú : – Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu
– Cán bộ coi thi khơng giải thích gì thêm.
1


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι

♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. M λ∝ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν χ⊇π n (n ≥ 1), τηχ, κη∂ νγη⇒χη.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ M λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν mα τρ⊄ν.
2. C ∈ M χ →⇒νη. Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = C −1 AC λ∝
mτ →∑νγ χ⊇υ νηm. Τ⋅m Im f , Ker f (ηαψ χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ →…νγ χ⊇υ).
3. Χηνγ mινη ρ∝νγ ÷νη ξ≠ f1 : M → R⋆, f1 (A) = |A| λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm. Τ⋅m
Im f1 , Ker f1 .
Χ♥υ ΙΙ. Χηνγ mινη ρ≈νγ C⋆ λ∝ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν τη↔νγ τη↑νγ. Ξ∠τ χ÷χ ÷νη ξ≠
f : C⋆ → C⋆, f (α) = α, g : C⋆ → C⋆, g(α) = α λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm, →←ν χ⊇υ, το∝ν
χ⊇υ ηαψ κη↔νγ? Τ⋅m Im f , Ker f .
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ πη∠π βι∏ν →ι τρχ γιαο τρ♠ν κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E λ∝m
τη∝νη mτ νηm →ι ϖι πη∠π νη♥ν (πη∠π ηπ τη∝νη), κ ηι√υ G. Γι∂ σ g ∈ G. ♣∅τ
÷νη ξ≠ ϕ : G → G, ϕ(f ) = g −1 f g. Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →…νγ χ⊇υ νηm.
Χ♥υ Ις. C[x] λ∝ ϖ∝νη. ♣∅τ ÷νη ξ≠
ϕ : C [x] → C [x] ,
f (x) → f (x)
(→↑χ ηιυ λ∝ a 0 + a1 x + ... + anxn).
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ϕ λ∝ →∑νγ χ⊇υ νηm.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ R[x] λ∝ ϖ∝νη χον m∝ κη↔νγ ιδεαν.
Χ♥υ ς.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη νηm αβεν →ι ϖι πη∠π
χνγ, κ ηι√υ νηm ν∝ψ λ∝ M .
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ f : M → M , f (A) = A′ (χηυψν ϖ⇒ χ〉α A) λ∝ →∑νγ
χ⊇υ νηm. Τ⋅m Im f , Ker f .
3. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π M χ÷χ mα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ χ⊇π n λ⊄π τη∝νη R−κη↔νγ γιαν
ϖ∠χ τ← (ηαψ R−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον χ〉α κη↔νγ γιαν χ÷χ mα τρ⊄ν ϖυ↔νγ χ⊇π n).
4. T λ∝ mα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη (κη↔νγ νη⊇τ τηι∏τ →ι ξνγ). Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠
f : M → M , f (A) = T −1 AT λ∝ →∑νγ χ⊇υ (τχ λ∝ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη).

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τ⋅m η≠νγ χ〉α η√ ϖ∠χ τ← a1 , a2 , a3 ∈ R3 τηεο τηαm σ a
a1 = (1, a, 1) ,
a2 = (1, 1, a) ,
a3 = (a, 1, 1) .
Τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α L = {a1, a2 , a3 } κηι a = −2 ηο∅χ a = 1.
Χ♥υ ΙΙ. Βι∏τ R5 [x] λ∝ κη↔νγ γιαν χ÷χ →α τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν 5. Χηο f (x) = 1 + x 2 +
x3 + x4 . Χηνγ mινη ρ≈νγ (1) ϖ∝ (2) λ∝ χ÷χ χ← σ χ〉α ν
1. 1, x, x2 , x3 , x4 .
2. f (4) (x), f (3) (x), f ′′ (x), f ′ (x), f (x).
Τ⋅m mα τρ⊄ν χηυψν χ← σ (1) σανγ (2). Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) = 34+33x+16x 2+5x3 +x4
τρονγ χ← σ (2).
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρ♠ν κη↔νγ

3 0
 1 0
A=
2 −1

γιαν πηχ χ mα τρ⊄ν λ∝

0
1 .
0

χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? Χ τ∑ν τ≠ι πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη νγη⇒χη →∂ο f −1 ? Τ⋅m ϖ∠χ
τ← ρι♠νγ ϖ∝ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ χ〉α f −1 .
Χ♥υ Ις. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π ηπ χ÷χ mα τρ⊄ν τηχ χ δ≠νγ
A=

a b
2b a

.

ϖι a, b ∈ R λ⊄π τη∝νη ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη Mat(2, R), η〈ι ν χ λ∝ ιδεαν κη↔νγ?


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Τ⊄π S1 χ÷χ σ πηχ χ m↔ →υν β≈νγ 1 λ∝ mτ m m ữ
ữ 0.
2. á ξ≠ f : R → S1 χηο βι f (x) = cos(πx) + i sin(πx) λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡
νηm χνγ χ÷χ σ τηχ R ϖ∝ο S 1 .
Χ♥υ ΙΙ.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ mι κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ V
→υ χ β τυψ∏ν τ⇑νη. Πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α L χ δυψ νη⊇τ κη↔νγ?
2. Τ⋅m σ χηιυ, mτ χ← σ ϖ∝ πη∩ν β τυψ∏ν τ⇑νη χ〉α κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ
γιαν R4 σινη βι η√ ϖ∠χ τ← {u1 = (1, −2, −1, 1), u2 = (−1, 3, 0, 2), u3 =
(2, −5, −1, −1), u4 = (2, −4, −2, 2)}.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ



a d 0
A =  d b d .
0 −d c
1. Ν∏υ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη τρονγ κη↔νγ γιαν R 3 χ mα τρ⊄ν →ι ϖι χ←
σ χη⇑νη τχ λ∝ A τη⋅ ϕ χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο?
2. ςι a = 3, b = 4, c = 5 ϖ∝ d = 2 η•ψ τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο
B = QT AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ Ις. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ γι λ∝ λυ λινη β⊄χ p ν∏υ p λ∝ mτ σ νγυψ♠ν δ↑←νγ
σαο χηο ϕp−1 = 0 ϖ∝ ϕp = 0. Γι∂ σ ϕ λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ p
τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x λ∝ mτ ϖ∠χ τ← σαο χηο ϕp−1 (x) = 0 τη⋅ η√ ϖ∠χ τ←
x, ϕ (x) , ϕ2 (x) , ..., ϕp−1 (x)
→χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
2. p ≤ n.
3. ϕ ơ m ữ = 0.
4. E − A λ∝ mα τρ⊄ν χ〉α πη∠π βι∏ν →ι ϕ →ι ϖι χ← σ ν∝ο → τη⋅ mα τρ⊄ν A
κη∂ νγη⇒χη (E λ∝ mα τρ⊄ν →←ν ϖ⇒).


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2001
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π O(n) χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο χ⊇π n λ∝ mτ νηm →ι ϖι πη∠π
νη♥ν mα τρ⊄ν.
2. Χηο Q ∈ O(n), ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : O(n) → O(n) χηο βι f (A) = QT AQ τρονγ →
QT λ∝ χηυψν ϖ⇒ χ〉α Q. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ →…νγ χ⊇υ νηm.

Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη ϕ : R3 → R3 χηο βι
ϕ (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 3x2 + 4x3 , 4x1 − 7x2 + 8x3 , 6x1 − 7x2 + 7x3 ) .
1. Τ⋅m γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α ϕ.
2. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 χ τ∑ν τ≠ι ηαψ κη↔νγ mτ χ← σ σαο χηο →ι ϖι χ← σ
→ mα τρ⊄ν χ〉α ϕ χ δ≠νγ →↑νγ χη∠ο.
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{(1, 1, 1, 1) , (1, 2, 2, −1) , (1, 0, 0, 3)} .
1. Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ϖ∝ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α πη∩ν β τρχ
γιαο L⊥.
2. Γι∂ σ x = (4, −1, −3, 4). Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L ϖ∝ ϖ∠χ τ← z ∈ L⊥ σαο χηο x = y+z.
Χ♥υ Ις.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ η

1, x − a, (x − a)2 , ..., (x − a)n−1

ϖι a ∈ R λ∝ mτ χ←

σ χ〉α κη↔νγ γιαν Rn [x] χ÷χ →α τηχ η√ σ τηχ χ β⊄χ νη〈 η←ν n.
2. Τ⋅m το≠ → χ〉α f (x) ∈ Rn [x] →ι ϖι χ← σ →.
Χ♥υ ς.
1. Γι∂ σ f1 , f2 λ∝ χ÷χ δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . m
ữ : V ì V → K χηο βι ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) λ∝ mτ δ≠νγ
σονγ τυψ∏ν τ⇑νη τρ♠ν V . Τ⋅m →ιυ κι√ν χ∩ν ϖ∝ →〉 → ϕ λ∝ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη →ι
ξνγ.
2. Γι∂ σ V λ∝ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← ηυ η≠ν χηιυ. Χηνγ mινη ρ≈νγ δ≠νγ σονγ
τυψ∏ν τ⇑νη ϕ χ η≠νγ β≈νγ 1 κηι ϖ∝ χη¬ κηι ϕ = 0 ϖ∝ χ ηαι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη f 1 ,
f2 σαο χηο ϕ(x, y) = f1 (x) + f2 (y) ϖι mι x, y ∈ V .


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι

♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη τ⌡ ϖ∝νη K ϖ∝ο ϖ∝νη K ′ , ϖ∝ A λ∝ ϖ∝νη χον χ〉α
ϖ∝νη G. Χηνγ mινη ρ≈νγ h(A) λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K ′ .
2. Τρ♠ν τ⊄π χ÷χ σ νγυψ♠ν Z ξ∠τ ηαι πη∠π το÷ν ξ÷χ →⇒νη βι
a⊕b =a+b−1
a ◦ b = a + b − ab.
Χηνγ mινη ρ≈νγ (Z, ⊕, ◦) λ∝ mτ ϖ∝νη γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g ξ÷χ →⇒νη βι
g(u) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) ϖι u = (x, y, z).
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ ϖ∝ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α g.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ∂ κη↔νγ γιαν R 3 σαο χηο →ι ϖι χ← σ → mα τρ⊄ν B χ〉α πη∠π βι∏ν
→ι g χ χ÷χ πη∩ν τ  πη⇑α τρ♠ν →↑νγ χη∠ο χη⇑νη β≈νγ 0. ςι∏τ mα τρ⊄ν B.
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , . . . , un}, ϖ∝ mα τρ⊄ν
G = ((ui, uj ))n×n.
Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , . . . , un} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη κηι ϖ∝ χη¬ κηι det G = 0.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ r τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V
n−χηιυ. Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον
Vr = y τηυχ V : f (x, y) = 0 →ι ϖι mι x τηυχ V

,

Vl = y τηυχ V : f (y, x) = 0 →ι ϖι mι x τηυχ V

.

Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − r.

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Γι∂ σ h λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ τ⌡ νηm G ϖ∝ο νηm G ′ , ϖ∝ H λ∝ νηm χον χ〉α νηm
G. Χηνγ mινη ρ≈νγ h(H) λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm G ′.
2. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ f τ⌡ νηm τυψ∏ν τ⇑νη τνγ θυ÷τ GL(n, R) ϖ∝ο νηm νη♥ν R ⋆ χ÷χ σ
τηχ κη÷χ 0 ξ÷χ →⇒νη βι f (A) = det A. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ το∝ν χ⊇υ.
Ξ÷χ →⇒νη νηm χον f (O(n)), ϖι O(n) λ∝ νηm χ÷χ mα τρ⊄ν τρχ γιαο.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Γι∂ σ L λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον p−χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε E n−χηιυ.
Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π
L∗ = {x ∈ E : (x, y) = 0, ∀y ∈ L},
λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον (n − p)−χηιυ ϖ∝ E = L

L ⋆.

2. Ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R 4 σινη βι η√ ϖ∠χ τ← u1 =
(1, 0, 2, 1), u2 = (2, 1, 2, 3), u3 = (0, 1, −2, 1). Ξ÷χ →⇒νη mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν
χ〉α κη↔νγ γιαν χον L ∗.
Χ♥υ ΙΙΙ. ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν A χ⊇π n τρ♠ν τρ↑νγ K λ∝ τνγ χ÷χ πη∩ν τ τρ♠ν →↑νγ χη∠ο
χη⇑νη, →↑χ κ ηι√υ λ∝ Tr(A). Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Tr(AB) = Tr(BA).
2. ς∏τ χ〉α mα τρ⊄ν χ〉α mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ πη τηυχ ϖ∝ο ϖι√χ χην
χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν.
Χ♥υ Ις.
1. Η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A = (aij )m×n →↑χ κ ηι√υ λ∝ r(A). Χηνγ mινη ρ≈νγ
r(A + B) ≤ r(A) + r(B).

2. Τ⇑νη r(A) ϖι A = (min{i, j})m×n.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⇑χη χ÷χ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη λ∝ mτ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη.
2. Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ νηm f : G → G′ . Χηνγ τ〈 ρ≈νγ ν∏υ G λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν
τη⋅ Im(f ) χ∫νγ λ∝ mτ νηm γιαο ηο÷ν.. Χηο mτ ϖ⇑ δ χηνγ τ〈 →ιυ νγ↑χ λ≠ι
νι χηυνγ κη↔νγ →⌠νγ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Γι∂ σ L λ∝ κη↔νγ γιαν χον χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R 3 σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{u1 = (2, 3, 5) , u2 = (3, 7, 8) , u3 = (1, −6, 1)} .
ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (7, −1, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον L.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ κη↔νγ γιαν χ÷χ η∝m σ τηχ λι♠ν τχ C (a, b) η√ ϖ∠χ τ←
{1, cos x, cos2 x, ..., cosn x} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ →ι ξνγ



3 2
0
A =  2 4 −2  .
0 −2 5
Τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο Q T AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο. ςι∏τ mα τρ⊄ν →↑νγ
χη∠ο →.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ u λ∝ mτ ϖ∠χ τ← χ〉α κη↔νγ γιαν Ευχλιδ E.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ϖι mι ϖ∠χ τ← x τηυχ E χ τη βιυ διν δυψ νη⊇τ δ↑ι δ≠νγ

x = au + v τρονγ → ϖ∠χ τ← v τρχ γιαο ϖι ϖ∠χ τ← u.
2. Χηο E = R4 , u = (2, −1, 0, 2), x = (1, 1, 1, −1). Τ⇑νη a ϖ∝ v.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2003
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ h : G → G ξ÷χ →⇒νη βι h(a) = a −1, ∀a ∈ G.
Χηνγ mινη ρ≈νγ ÷νη ξ≠ h λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ mτ νηm Αβεν.
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδε R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L χηο βι η√ πη↑←νγ
τρ⋅νη

2x1 + x2 + x3 + 3x4 = 0

3x + 2x2 + 2x3 + x4 = 0
 1

x1 + 2x2 + 2x3 − 9x4 = 0
1. Τ⋅m σ χηιυ ϖ∝ mτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L ⋆ χ〉α κη↔νγ γιαν χον L.
2. Χηο ϖ∠χ τ← x = (7, −4, −1, 2). Τ⋅m ϖ∠χ τ← y ∈ L, z ∈ L⋆ σαο χηο x = y + z.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη g : R4 → R3 →↑χ χηο βι
g((x1 , x2 , x3 , x4 )) = (x1 − 2x2 + x4 , x1 + x3 − x4 , 2x2 + x3 − 2x4 ).
1. Τ⋅m dim Ker g, dim Im g.
2. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α τηαm σ a τη⋅ ϖ∠χ τ← y = (−1, 2, a) τηυχ κη↔νγ γιαν χον
Im g.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη λυ λινη β⊄χ n (τχ λ∝ f n−1 = 0,
f n = 0) τρονγ K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ x ∈ V : f k(x) = 0 τη⋅ η√ ϖ∠χ τ← {x, f (x), . . . , f k(x)} →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη.
2. n ≤ dim V .

3. Ν∏υ n = dim V τη⋅ →α τηχ →∅χ τρ↑νγ χ〉α πη∠π βιν →ι f χ δ≠νγ p(λ) =
(−1)nλn.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Γι∂ σ (G, ◦) λ∝ mτ νηm χ ηυ η≠ν πη∩ν τ, →←ν ϖ⇒ e. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι πη∩ν τ a ∈ G τ∑ν τ≠ι σ νγυψ♠ν k ≥ 1 σαο χηο a k = e (σ νγυψ♠ν
δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ χ τ⇑νη χη⊇τ → γι λ∝ χ⊇π χ〉α πη∩ν τ a).
2. Ν∏υ a λ∝ πη∩ν τ χ⊇π n τη⋅ A = {a, a2 , . . . , an} λ∝ mτ νηm χον χ〉α νηm
(G, ◦).
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ



1 a b+c
A =  1 b a + c .
1 c a+b
1. Χηνγ τ〈 mα τρ⊄ν A κη↔νγ κη∂ νγη⇒χη.
2. Τ⇑νη η≠νγ χ〉α mα τρ⊄ν A τηεο γι÷ τρ⇒ χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b, c.
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 →↑χ χηο βι
f (x, y, z) = (4x − 5y + 2z, 5x − 7y + 3z, 6x − 9y + 4z).
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f .
2. Πη∠π βι∏ν →ι f χ χη∠ο ηο÷ →↑χ κη↔νγ? ς⋅ σαο? Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν
R3 σαο χηο mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα τρ⊄ν ταm γι÷χ.
Χ♥υ Ις. Χηνγ mινη ρ≈νγ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ L χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R n λ∝ mτ κη↔ν
γιαν χον κηι ϖ∝ χη¬ κηι L λ∝ τ⊄π νγηι√m χ〉α mτ η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν νη⊇τ
τρ♠ν R.

♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2004
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Γι∂ σ X λ∝ mτ ϖ∝νη. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι σ νγυψ♠ν n ≥ 0, τ⊄π
nX =

a = nx = x + x + ... + x : x ∈ X
n λ∩ν

λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη X (ϖι θυψ ↑χ 0x = 0).
2. Χ÷χ τ⊄π δ≠νγ nZ ϖι n = 0, 1, 2, ... λ∝ τ⊇τ χ∂ χ÷χ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη σ νγυψ♠ν Z.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Τρονγ κη↔νγ γιαν R4 ξ∠τ κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√ ϖ∠χ τ←
{u1 = (1, a, −1, −2) , u2 = (2, −1, a, 5) , u3 = (1, 10, −6, 1)} .
Τ⇑νη dim L τηεο τηαm σ a.
2. Γι∂ σ η√ ϖ∠χ τ← {u1 , u2 , ..., un} λ∝ mτ χ← σ χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← V . ♣∅τ
vk = uk + ... + un ϖι k = 1, 2, ..., n. Χηνγ mινη ρ≈νγ η√ {v1 , v2 , ..., vn} λ∝
mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν V .
Χ♥υ ΙΙΙ. Πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη g τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R 3 →↑χ χηο βι
g((x1 , x2 , x3 )) = (x1 − 3x2 − x3 , −3x1 + x2 + x3 , −x1 + x2 + 5x3 ).
1. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ g λ∝ mτ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ.
2. Τ⋅m mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R 3 λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α
g.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ f λ∝ mτ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη η≠νγ k τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← K n.
Ξ∠τ χ÷χ τ⊄π χον
Vr = y ∈ Kn : f (x, y) = 0 →ι ϖι mι x ∈ K n ,

Vl = y ∈ Kn : f (y, x) = 0 →ι ϖι mι x ∈ K n .
Χηνγ mινη ρ≈νγ V r , Vl λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ dim V r = dim Vl = n − k.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Τρονγ νηm G ξ∠τ ÷νη ξ≠ f : G → G χηο βι f (x) = x 2 ϖι mι x ∈ G.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ mτ τ →∑νγ χ⊇υ χ〉α νηm G κηι ϖ∝ χη¬ κηι G λ∝ νηm
αβεν.
2. Χηο mτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ τ →…νγ χ⊇υ ϖ∝ mτ ϖ⇑ δ σαο χηο f λ∝ mτ τ⌡ →∑νγ
χ⊇υ νηνγ κη↔νγ πη∂ι λ∝ τ →…νγ χ⊇υ.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ ÷νη ξ≠ τυψ∏ν τ⇑νη h : R4 → R3 ξ÷χ →⇒νη βι: ϖι u = (x 1 , x2 , x3 , x4 ) τη⋅
h (u) = (x1 + ax2 − x3 + 2x4 , 2x1 − x2 + ax3 + 5x4 , x1 + 10x2 − 6x3 + x4 )
1. Ξ÷χ →⇒νη dim Im h, dim Ker h τηεο τηαm σ a.
2. ςι a = 3, ϖι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α b τη⋅ ϖ∠χ τ← u = (1, −2, b) τηυχ Im h.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ



1 2 2
A =  2 1 2 .
2 2 1
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.
2. Τ⋅m mα τρ⊄ν τρχ γιαο Q σαο χηο B = Q T AQ λ∝ mα τρ⊄ν →↑νγ χη∠ο. ςι∏τ mα
τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις.
1. Γι∂ σ F λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον χ〉α K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V . Χηνγ mινη
ρ≈νγ ν∏υ dim F < n τη⋅ τρονγ κη↔νγ γιαν V χ χ← σ {u1 , u2 , .., un} σαο χηο

ui ∈ F , i = 1, 2, .., n.
2. Χηνγ mινη ρ≈νγ →ι ϖι mι δ≠νγ τυψ∏ν τ⇑νη ϕ τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ ηυ
η≠ν χηιυ E τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ mτ ϖ∠χ τ← u ⋆ ∈ E σαο χηο
ϕ (x) = (u⋆.x) ϖι mι x ∈ E.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2005
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Ξ∠τ →∑νγ χ⊇υ ϖ∝νη f : K → K ⋆. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ A λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α ϖ∝νη K τη⋅ f (A) λ∝ mτ ϖ∝νη χον χ〉α K ⋆ .
2. Ν∏υ B λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη K ′ τη⋅ f −1 (B) λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη K.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√m N χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν
νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαm σ a
x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0,
2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0,
x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0.
2. ςι a = 3, τ⋅m χ← σ τρχ γιαο χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο N ⋆ χ〉α N τρονγ κη↔νγ γαιν
ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R4 .
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν τηχ



8 −1 −5
1 .
A =  −2 3
4 −1 −1
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.

2. Τ⋅m mτ mτ mα τρ⊄ν ταm γι÷χ →∑νγ δ≠νγ ϖι mα τρ⊄ν A.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ το∝ν πη↑←νγ ω τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ Rn χηο βι
n

ω (x) =

aij xixj

,

x = (x1 , x2 , .., xn) .

i,j=1

Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. Ν∏υ δ≠νγ ω ξ÷χ →⇒νη δ↑←νγ τη⋅ aii > 0 ϖι mι i = 1, 2, .., n.
2. D ữ ơ κηι τ∑ν τ≠ι mα τρ⊄ν κη∂ νγη⇒χη S σαο χηο
(aij )n×n = S T S.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ γιαο χ÷χ ιδεαν χ〉α mτ ϖ∝νη λ∝ mτ ιδεαν.
2. Γι∂ σ S λ∝ τ⊄π χον κη÷χ ρνγ χ〉α ϖ∝νη K γιαο ηο÷ν χ →←ν ϖ⇒. Χηνγ mινη ρ≈νγ
τ⊄π
n

(S) =

x=
i=1

aisi : si ∈ S, ai ∈ K, i = 1, 2, .., n

λ∝ ιδεαν νη〈 νη⊇τ χηα τ⊄π S.
Χ♥υ ΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f : R3 → R3 χηο βι
f ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 + ax2 + x3 , 2x1 + ax2 + bx3 , −x1 + (b − 1) x3 )
1. ςι γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b τη⋅ f λ∝ mτ τ →…νγ χ⊇υ.
2. Τ⋅m dim Im f , dim Ker f ϖι a = b = 1.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ mα τρ⊄ν →ι ξνγ τηχ



1 2 2
A =  2 1 2 .
2 2 1

1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α A.

2. D≠νγ το∝ν πη↑←νγ ω τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R 3 χηο βι
ω (x) =

x1 x2 x3

A

x1 x2 x3

T

,

x=

x1 x2 x3

.

Τ⋅m mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν R 3 λ∝ χ← σ χη⇑νη τχ χ〉α ω. ςι∏τ δ≠νγ
χη⇑νη τχ χ〉α ω τ↑←νγ νγ ϖι χ← σ →.
Χ♥υ Ις. Γι∂ σ E λ∝ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ n−χηιυ.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ {u1 , u2 , .., un} λ∝ mτ χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α E τη⋅ mι ϖ∠χ
τ← x τηυχ E →υ χ τη βιυ διν δ↑ι δ≠νγ
n

(x.ui) ui.

x=
i=1

2. Γι∂ σ L, M λ∝ χ÷χ κη↔νγ γιαν χον χ〉α E ϖ∝ dim L < dim M . Χη↑νγ mινη ρ≈νγ
τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ← u ∈ M , u = 0 σαο χηο (u.y) = 0 ϖι mι y ∈ L.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2006 →τ 2
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ

Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Ξ∠τ ϖ∝νη →α τηχ R[x] ∪ν x η√ σ τηχ. Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. ♣ι ϖι mι →α τηχ f (x) τηυχ R[x] τ⊄π
f (x) R [x] = {g (x) = f (x) h (x) : h (x) ∈ R [x]}
λ∝ mτ ιδεαν χ〉α ϖ∝νη R[x].
2. ♣ι ϖι mι ιδεαν I = {0} χ〉α ϖ∝νη R [x] τ∑ν τ≠ι δυψ νη⊇τ →α τηχ δ≠νγ χηυ∪ν
p (x) σαο χηο I = p (x) R [x].
Χ♥υ ΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν Ευχλιδ R 4 ξ∠τ η√ ϖ∠χ τ←
u1 = (1, a, 2, 1)

,

u2 = (1, 1, b, 0)

,

u3 = (1, b, 2, 1) .

1. ςι νηνγ γι÷ τρ⇒ ν∝ο χ〉α χ÷χ τηαm σ a, b τη⋅ η√ {u 1 , u2 , u3 } →χ λ⊄π τυψ∏ν τ⇑νη,
πη τηυχ τυψ∏ν τ⇑νη.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α πη∩ν β τρχ γιαο L ⋆ χ〉α κη↔νγ γιαν χον L σινη βι η√
{u1 , u2 , u3 } ϖι a = b = 1.
Χ♥υ ΙΙΙ. Ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R3 ξ÷χ →⇒νη βι
f ((x, y, z)) = (8x − y − 5z, −2x + 3y + z, 4x − y − z) .
1. Τ⋅m χ÷χ γι÷ τρ⇒ ρι♠νγ, ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f , χ〉α f n, n > 0.
2. Τ⋅m mτ χ← σ χ〉α κη↔νγ γιαν R 3 σαο χηο mα τρ⊄ν B χ〉α f →ι ϖι χ← σ → λ∝ mα
τρ⊄ν ταm γι÷χ. ςι∏τ mα τρ⊄ν B.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ V τηο∂ m•ν →ιυ
κι√ν g(x, x) = ϖι mι x τηυχ V . Χηνγ mινη ρ≈νγ
1. g(x, y) = −g(y, x) ϖι mι x, y τηυχ V .

2. Ν∏υ g κη↔νγ συψ βι∏ν τη⋅ mι ϖ∠χ τ← u τηυχ V , v = {0}, λυ↔ν λυ↔ν τ∑ν τ≠ι ϖ∠χ τ←
v τηυχ V σαο χηο g(u, v) = 1.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2007 →τ 1
Μ↔ν τηι χ← β∂ν: ♣≠ι σ
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι. Πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) γι λ∝ χ χ⊇π ηυ η≠ν p ν∏υ p λ∝ σ νγυψ♠ν
δ↑←νγ νη〈 νη⊇τ σαο χηο a p = e. Γι∂ σ G λ∝ mτ τ⊄π ηπ ηυ η≠ν χ n πη∩ν τ. Χηνγ
mινη ρ≈νγ
1. Μι πη∩ν τ a τηυχ νηm (G, ◦, e) →υ χ χ⊇π ηυ η≠ν.
2. ςι mι a, b τηυχ νηm (G, ◦, e) χ÷χ πη∩ν τ a ◦ b ϖ∝ b ◦ a χ χ⊇π β≈νγ νηαυ.
Χ♥υ ΙΙ.
1. Ξ÷χ →⇒νη σ χηιυ χ〉α κη↔νγ γιαν νγηι√m N 0 χ〉α η√ πη↑←νγ τρ⋅νη τυψ∏ν τ⇑νη τηυ∩ν
νη⊇τ σαυ →♥ψ τηεο τηαm σ τηχ a
x1 + ax2 − x3 + 2x4 = 0,
2x1 − x2 + ax3 + 5x4 = 0,
x1 + 10x2 − 6x3 + x4 = 0.
2. Χηο a = 3, τ⋅m πη∩ν β τρχ τι∏π χ〉α N0 τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← R4 .
Χ♥υ ΙΙΙ. Τρονγ κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχλιδ R3 ξ∠τ πη∠π βι∏ν →ι τυψ∏ν τ⇑νη f χηο βι
f ((x1 , x2 , x3 )) = (3x1 + 2x2 , 2x1 + 4x2 − 2x3 , −2x2 + 5x3 ) .
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ f λ∝ πη∠π βι∏ν →ι →ι ξνγ.
2. Τ⋅m χ← σ τρχ χηυ∪ν χ〉α κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← Ευχιλδ R 3 λ∝ χ÷χ ϖ∠χ τ← ρι♠νγ χ〉α f ϖ∝
χηο βι∏τ mα τρ⊄ν χ〉α f →ι ϖι χ← σ →.
Χ♥υ Ις. Ξ∠τ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη κη↔νγ συψ βι∏ν g τρ♠ν K−κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← n−χηιυ
V . Γι∂ σ ρ≈νγ δ≠νγ σονγ τυψ∏ν τ⇑νη g1 τρ♠ν κη↔νγ γιαν ϖ∠χ τ← χον r−χηιυ F χηο βι
g1 (x, y) = g(x, ) ϖι mι x, y τηυχ F λ∝ mτ δ≠νγ κη↔νγ συψ βι∏ν. Ξ∠τ τ⊄π
F ⋆ = {x ∈ V : g (x, y) = 0 ϖι mι y ∈ F } .
Χηνγ mινη ρ≈νγ

1. F ⋆ λ∝ mτ κη↔νγ γιαν χον ϖ∝ F ⋆ ∩ F = {0}.
2. V = F ⊕ F ⋆.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ η∝m σ mτ βι∏ν σ λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] τη⋅ λι♠ν τχ →υ τρ♠ν
→.
√
1 − cos x
2. Χηο η∝m σ f (x) =
. Η•ψ ξ∠τ σ λι♠ν τχ →υ χ〉α ν τρ♠ν χ÷χ τ⊄π δ↑ι
x
→♥ψ:
(α) Τρ♠ν (0, 1).
(β) Τρ♠ν (−1, 0).
(χ) Τρ♠ν (−1, 0) ∪ (0, 1).
Χ♥υ ΙΙ.
1. Χηνγ mινη ρ≈νγ ν∏υ mτ δ•ψ σ →←ν →ι√υ χ mτ δ•ψ σ χον ηι τ τη⋅ ν χ∫νγ λ∝
mτ δ•ψ ηι τ.
2. Χηνγ τ〈 ρ≈νγ δ•ψ σ {xn} ϖι
1
1
xn = 1 + + · · · + − ln(n) ,
2
n
λ∝ mτ δ•ψ ηι τ.

n≥1

Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Τ⇑νη δι√ν τ⇑χη χ〉α mιν ν≈m τρονγ m∅τ πη…νγ το≠ → xOy →↑χ γιι η≠ν βι τρχ
ηο∝νη ϖ∝ mτ νη⇒π χψχλοιδ
x = a(t − sin t)
y = a(1 − cos t)

(0 ≤ t < 2π, a > 0).

2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

0

(x + 1)α sin x
(x − 1)β

dx,

τρονγ → α, β λ∝ χ÷χ τηαm σ.
Χ♥υ Ις.
+∞

enx

n=1

1. Χηο χηυι η∝m

1 + n2

.

(α) Τ⋅m mιν ηι τ χ〉α χηυι η∝m.
(β) Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α τνγ χηυι η∝m τρονγ mιν ηι τ.
2. Χηο f (x) λ∝ η∝m λι♠ν τχ τρ♠ν (−∞, +∞). ςι n νγυψ♠ν δ↑←νγ →∅τ
1
1
2
n
fn(x) =
f (x + ) + f (x + ) + · · · + f (x + ) .
n
n
n
n
Χηνγ mινη ρ≈νγ δ•ψ η∝m {f n(x)} ηι τ →υ τρ♠ν mι →ο≠ν ηυ η≠ν β⊇τ κ.


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2000
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Χαυχηψ ϖ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ (χ⇓ν γι λ∝ τι♠υ
χηυ∪ν Χαυχηψ).
2. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α δ•ψ σ {xn} τρονγ →
xn = sin 1 + sin

1
1
+ ... + sin 2 .
12
n

Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη →⇒νη λ ϖ τ⇑νη λι♠ν τχ →υ χ〉α mτ η∝m σ λι♠ν τχ τρ♠ν
mτ →ο≠ν.
2. Χηο f (x) λι♠ν τχ τρ♠ν [0, +∞). Βι∏τ ρ≈νγ τ∑ν τ≠ι γιι η≠ν ηυ η≠ν χ〉α f (x) κηι
x → +∞. Χηνγ mινη ρ≈νγ f (x) λι♠ν τχ →υ τρ♠ν [0, +∞).
Χ♥υ ΙΙΙ.
1. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m
+∞

n=1

nx
1 + n 3 x2

τρ♠ν κηο∂νγ (−∞, +∞).

2. Ξ∠τ τ⇑νη κη∂ ϖι χ〉α η∝m σ
+∞
2

e−n x.

S (x) =

n=0

Χ♥υ Ις.
1. Τ⇑νη τ⇑χη πη♥ν

(x2 + y 2 ) dxdy ϖι D = {(x, y) ∈ R2 : x4 + y 4

1}.

D

2. Χηο f (x) ξ÷χ →⇒νη ϖ∝ χ →≠ο η∝m ηυ η≠ν f ′(x) τρ♠ν κηο∂νγ (a, b). Χηνγ mινη
ρ≈νγ ν∏υ f ′(x) = 0 ϖι ∀x ∈ (a, b) τη⋅ f (x) →←ν →ι√υ τρ♠ν κηο∂νγ (a, b).
Χ♥υ ς.
1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν
+∞

sin2 2x
dx.
x

0

2. Βι∏τ ρ≈νγ f (x) κη∂ ϖι λι♠ν τχ τρ♠ν →ο≠ν [a, b] ϖ∝ f (a) − f (b) = 0. Χηνγ mινη
ρ≈νγ
b
′

max |f (x)|

a x b

4
(b − a)2

|f (x)| dx.
a


♣≠ι ηχ Θυχ για Η∝ Νι
♣ τηι τυψν σινη σαυ →≠ι ηχ ν♦m 2002
Μ↔ν τηι χ← χ: Γι∂ι τ⇑χη
Τηι γιαν λ∝m β∝ι: 180 πη⌠τ
Χ♥υ Ι.
1. Πη÷τ βιυ ϖ∝ χηνγ mινη νγυψ♠ν λ Βολζανο−Wειρεστρασσ ϖ γιι η≠ν χ〉α δ•ψ σ.
2. Γι∂ σ a0 λ∝ σ τηχ τηο∂ m•ν 0
θυψ τχ
a1 = a0

,

a2n =

1
2

1 {an} ã ữ

a0

a2n1

a2n+1 =

,

1
2

(1 + a2n)

m ã {a n} ơ χ 2 γιι η≠ν ρι♠νγ λ∝

1
3

,

n

1

ϖ∝ 2 .
3

Χ♥υ ΙΙ.
1. Πη÷τ βιυ →⇒νη λ Χαυχηψ ϖ γι÷ τρ⇒ τρυνγ β⋅νη χ〉α τη↑←νγ ηαι η∝m κη∂ ϖι.
2. Χηο f (x) = x2 + x, g (x) = x3 . Η〈ι χ τη ÷π δνγ →↑χ →⇒νη λ Χαυχηψ τρ♠ν
[−1, 1] χηο τη↑←νγ ηαι η∝m ν∝ψ κη↔νγ? Τ⋅m σ c →
f (1) − f (−1)

f ′ (c)
= ′
.
g (1) − g (−1)
g (c)
Χ♥υ ΙΙΙ. Χηο η∝m 2 βι∏ν
f (x, y) =


 √ xy

x2 +y2



ν∏υ (x, y) = (0, 0) ,
ν∏υ (x, y) = (0, 0) .

0

Χηνγ mινη ρ≈νγ τρονγ mτ λ♥ν χ⊄ν χ〉α →ιm (0, 0) η∝m f λι♠ν τχ ϖ∝ χ χ÷χ →≠ο η∝m
ρι♠νγ γιι νι νη↑νγ f κη↔νγ κη∂ ϖι τ≠ι →ιm (0, 0).
Χ♥υ Ις.
1. Ξ∠τ σ ηι τ χ〉α τ⇑χη πη♥ν συψ ρνγ
+∞

sin2 2x
x

dx.

0

2. Ξ∠τ σ ηι τ →υ χ〉α χηυι η∝m

+∞

x2 e−nx, 0

x < +∞.

n=0

Χ♥υ ς. Χηνγ mινη ρ≈νγ → δ∝ι l χ〉α →↑νγ ελιπ
π (a + b)

l

π

x2
a2

+

y2
b2

= 1 τηο∂ m•ν β⊇τ →…νγ τηχ

2 (a2 + b2 ).