Tài liệu ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Môn thi: Toán docx

ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009
Môn thi: Toán (khối B)
(Thời gian làm bài: 180 phút)


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y = 2x
4
– 4x
2
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của m, phương trình
2 2
x x 2 m  có đúng 6 nghiệm thực phân
biệt?

Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
3
sin x cosxsin 2x 3cos3x 2(cos4x sin x)   
2. Giải hệ phương trình
2 2 2
xy x 1 7y
(x, y )
x y xy 1 13y
  




  




Câu III (1 điểm)
Tính tích phân
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)






Câu IV (1 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
; tam giác ABC vuông tại C và

BAC
= 60
0
. Hình chiếu vuông góc

của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích
khối tứ diện A’ABC theo a.

Câu V (1 điểm)
Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)
3
+ 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
A = 3(x
4
+ y
4
+ x
2
y
2
) – 2(x
2
+ y
2
) + 1

PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần A hoặc B)

A. Theo chương trình chuẩn

Câu VI.a. (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) :

2 2
4
(x 2) y
5
   và hai đường
thẳng 
1
: x – y = 0, 
2
: x – 7y = 0. Xác định toạ độ tâm K và tính bán kính của đường tròn
(C
1
); biết đường tròn (C
1
) tiếp xúc với các đường thẳng 
1
, 
2
và tâm K thuộc đường tròn
(C)
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(1;2;1), B(-
2;1;3), C(2;-1;1) và D(0;3;1). Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng
cách từ C đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

Câu VII.a (1 điểm)
Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i) 10 và z.z 25   

B. Theo chương trình Nâng cao

Câu VI.b (2 điểm)

1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(-1;4) và
các đỉnh B, C thuộc đường thẳng  : x – y – 4 = 0. Xác định toạ độ các điểm B và C ,
biết diện tích tam giác ABC bằng 18.
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0 và hai
điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), hãy
viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.

Câu VII.b (1 điểm)
Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số
2
x 1
y
x

 tại
2 điểm phân biệt A, B sao cho AB = 4.


BÀI GIẢI GỢI Ý


Câu I.

1. y = 2x
4
– 4x
2
. TXĐ : D = R
y’ = 8x
3

– 8x; y’ = 0  x = 0  x = 1;
x
lim

 
x
 1 0 1 +
y'
 0 + 0  0 +
y
+ 0 +
2 CĐ 2
CT CT

y đồng biến trên (-1; 0); (1; +)
y nghịch biến trên (-; -1); (0; 1)
y đạt cực đại bằng 0 tại x = 0
y đạt cực tiểu bằng -2 tại x = 1
Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 0)
Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (0; 0); (
2
;0)

2. x
2
x
2
– 2 = m  2x
2
x

2
– 2 = 2m (*)

(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C’) :
y = 2x
2
x
2
– 2 và (d): y = 2m
Ta có (C’)  (C); nếu x  -
2
hay x 
2

(C’) đối xứng với (C) qua trục hoành nếu -
2
< x <
2


Theo đồ thị ta thấy ycbt  0 < 2m < 2  0 < m < 1



2
x
y
1
1
0


2

2

(C’)
2
x
y
1
1
0

2

2

(C)
Câu II.
1. sinx+cosxsin2x+
3
3cos3x 2(cos4x sin x) 

3 1 3sin x sin3x
sinx sin3x 3cos3x 2cos4x
2 2 2
sin3x 3cos3x 2cos4x
1 3
sin3x cos3x cos4x
2 2

sin sin3x cos cos3x cos4x
6 6
cos4x cos 3x
6
4x 3x k2 x k2
6 6
2
4x 3x k2 x k
6 42 7

    
  
  
 
  

 
  
 
 
 
 
        
 
 
 
  
 
     
 

 


2.

2 2 2
xy x 1 7y
x y xy 1 13y
  
  

y = 0 hệ vô nghiệm
y  0 hệ 
2
2
x 1
x 7
y y
x 1
x 13
y y

  



  




Đặt a =
1
x
y

; b =
x
y

2 2
2
1 x
a x 2
y y
  

2 2
2
1
x a 2b
y
  

Ta có hệ là

2
a b 7
a b 13
 

 


2
a b 7
a a 20 0
 
  



a 4
b 3


hay

a 5
b 12
 

. Vậy
1
x 4
y
x
3
y

 








hay
1
x 5
y
x
12
y

  










2
x 4x 3 0
x 3y
  


hay

2
x 5x 12 0
x 12y
  

(VN) 
x 1
1
y
3







hay

x 3
y 1




Câu III :

3 3 3
2 2 2
1 1 1
3
3
1
2
1
1
3
2
2
1
3 ln x dx ln x
I dx 3 dx
(x 1) (x 1) (x 1)
dx 3 3
I 3
(x 1) (x 1) 4
ln x
I dx
(x 1)

  
  

  
 



  



Đặt u = lnx
dx
du
x
 

2
dx
dv .
(x 1)


Chọn
1
v
x 1





3
3 3 3
2
1
1 1 1

lnx dx ln3 dx dx ln3 3
I ln
x 1 x(x 1) 4 x x 1 4 2
         
  
  

Vậy :
3
I (1 ln3) ln2
4
  

Câu IV.
BH=
2
a
,
2 1 3
3
3 2 2 4
BH a a
BN
BN
    ;
3
'
2
a
B H 

goïi CA= x, BA=2x, 3BC x
2
2 2 2
2
2
CA
BA BC BN  
2
2
2 2
3
3 4 2
4 2
a x
x x
 
   
 
 
2
2
9
52
a
x 
Ta có:
3 3
' '
2 2
a

B H BB 
V=
2 3
2
1 1 3 1 9 3 9
3
3 2 2 12 52 2 208
a a a a
x
 
 
 
 


Câu V :


3
3 2
2
(x y) 4xy 2
(x y) (x y) 2 0 x y 1
(x y) 4xy 0

  

        

  





2
2 2
(x y) 1
x y
2 2

    dấu “=” xảy ra khi :
1
x y
2
 
Ta có :
2 2 2
2 2
(x y )
x y
4



 
4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
A 3 x y x y 2(x y ) 1 3 (x y ) x y 2(x y ) 1
 
           
 

2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
(x y )
3 (x y ) 2(x y ) 1
4
9
(x y ) 2(x y ) 1
4
 

     
 
 
    

Đặt t = x
2
+ y
2
, đk t ≥
1
2


2
9 1
f(t) t 2t 1, t

4 2
9 1
f '(t) t 2 0 t
2 2
1 9
f(t) f ( )
2 16
   
    
  

Vậy :
min
9 1
A khi x y
16 2
  
C A
B
M
N
H
Câu VIa.
1. Phương trình 2 phân giác (
1
, 
2
) :
x y x 7y
2 5 2

 
 


1
2
5(x y) (x 7y)
y 2x :d
5(x y) x 7y
1
5(x y) x 7y
y x : d
2
    
 

  


 


   




Phương trình hoành độ giao điểm của d
1
và (C) : (x – 2)

2
+ (– 2x)
2
=
4
5

25x
2
– 20x + 16 = 0 (vô nghiệm)
Phương trình hoành độ giao điểm của d
2
và (C) : (x – 2)
2
+
2
x 4
2 5
 

 
 


2
25x 80x 64 0     x =
8
5
. Vậy K
8 4

;
5 5
 
 
 

R = d (K, 
1
) =
2 2
5

2. TH1 : (P) // CD. Ta có : AB ( 3; 1;2),CD ( 2;4;0)    
 


(P)cóPVT n ( 8; 4; 14) hay n (4;2;7)
(P) :4(x 1) 2(y 2) 7(z 1) 0
4x 2y 7z 15 0
     
     
    
 

TH2 : (P) qua I(1;1;1) là trung điểm CD

Ta có AB ( 3; 1;2), AI (0; 1;0)
(P) có PVT n (2;0;3)
(P) :2(x 1) 3(z 1) 0 2x 3z 5 0
    

 
       
 



Câu VIb.
1.

1 4 4
9
AH
2 2
1 36 36
S AH.BC 18 BC 4 2
9
2 AH
2
  
 
     

Pt AH : 1(x + 1) + 1(y – 4) = 0

x y 4
7 1
H: H ;
x y 3
2 2
 


 
 

 
 
 


B(m;m – 4)

2 2
2
2
2
BC 7 1
HB 8 m m 4
4 2 2
7 11
m 2
7
2 2
m 4
7 3
2
m 2
2 2
   
       
   

   

  

 
   

 
 

  

