Tài liệu Ôn thi ĐH Toán đại số tổ hợp_Chương 3 pdf

ĐẠI SỐ TỔ HP
Chương III
CHỈNH HP
Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau (1 ≤ k ≤ n), sắp vào k chỗ khác
nhau. Mỗi cách chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần
tử.
Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có (n – 1) cách chọn (do
còn n – 1 vật), chỗ thứ 3 có n – 2 cách chọn (do còn n – 2 vật), …, chỗ thứ k có
n – (k – 1) cách chọn (do còn n – (k – 1) vật). Vậy, theo qui tắc nhân, số cách
chọn là :
n
×
(n – 1)
×
(n – 2)
×
…
×
(n – k + 1) =
n!
(n k)!
−

Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là , ta có :
k
n
A
=
k
n
A

n!
(n k)!
−

Ví dụ 1. Một nhà hàng có 5 món ăn chủ lực, cần chọn 2 món ăn chủ lực khác
nhau cho mỗi ngày, một món buổi trưa và một món buổi chiều. Hỏi có mấy
cách chọn ?
Giải
Đây là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử, có :
=
2
5
A
5!
(5 2)!
−
= 4.5 = 20 cách chọn.
(Giả sử 5 món ăn được đánh số 1, 2, 3, 4, 5; ta có các cách chọn sau đây :
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 1), (3, 2), (3, 4), (3, 5),
(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4)).
Ví dụ 2. Trong một trường đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự
chọn, sinh viên phải chọn ra 2 môn trong 3 môn đó, 1 môn chính và 1 môn phụ.
Hỏi có mấy cách chọn ?
Giải
Đây là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử. Vậy có :
=
2
3
A
3!

(3 2)!
−
= 6 cách chọn.
(Giả sử 3 môn tự chọn là a, b, c thì 6 cách chọn theo yêu cầu là (a, b), (a, c), (b,
a), (b, c), (c, a), (c, b)).
Ví dụ 3. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác
nhau ?
Giải
Đây là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy có :
=
2
5
A
5!
(5 2)!
−
=
5!
3!
= 5
×
4 = 20 số
(Các số đó là : 12, 13, 14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51,
52, 53, 54) .
Bài 35. Chứng minh với n, k
∈
và 2
¥
≤
k < n

a)
k
n
A
=
k
n1
A
−
+ k
k1
n1
A
−
−
b)
n2
nk
A
+
+
+
n1
nk
A
+
+
= k
2
n

nk
A
+

Giải
a) Ta có :

k
n1
A
−
+ k
k1
n1
A
−
−
=
(n 1)!
(n 1 k) !
−
−−
+ k.
(n 1) !
(n k) !
−
−

= (n – 1)!
1k

(n k 1)! (n k)(n k 1)!
⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
−− − −−
⎣ ⎦

=
(n 1)!
(n k 1)!
−
−−
k
1
nk
⎛⎞
+
⎜⎟
−
⎝⎠
=
(n 1)!
(n k 1)!
−
−−
.
n
nk−

=

n!
(n k) !
−
=
k
n
A
.
b)
n2
nk
A
+
+
+
n1
nk
A
+
+
=
(n k)!
(k 2)!
+
−
+
(n k) !
(k 1)!
+
−

=
(n k) !
(k 2)!
+
−
+
(n k) !
(k 1)(k 2)!
+
−−

=
(n k) !
(k 2)!
+
−
1
1
k1
⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦

=
(n k) !
(k 2)!
+
−

.
k
k1
−
=
2
(n k) ! k
k!
+
=
n
nk
A
+
.k
2
.
Bài 36. Giải phương trình P
x
.
2
x
A
+ 72 = 6(
2
x
A
+ 2P
x
).

Đại học Quốc gia Hà Nội khối D 2001
Giải
Điều kiện x
∈
và x 2.
¥
≥
Ta có : P
x
.
2
x
A
+ 72 = 6(
2
x
A
+ 2P
x
)

⇔
x!
x!
(x 2)!
−
+ 72 = 6
x!
2x!
(x 2)!

⎡ ⎤
+
⎢ ⎥
−
⎣ ⎦


⇔
x!x(x – 1) + 72 = 6[x(x – 1) + 2x!]

⇔
(x
2
– x – 12)x! = 6(x
2
– x – 12)

⇔
(x
2
– x – 12)(x! – 6) = 0

⇔

2
xx12
x! 6 0
⎡
−− =
⎢

−=
⎣
0
3

⇔
: loại
x4
x
x3
=
⎡
⎢
=−
⎢
⎢
=
⎣

⇔

x4
x3
=
⎡
⎢
=
⎣
Bài 37. Giải bất phương trình :
3

A
x
+ 5
2
x
A

≤
21x.
Đại học Quốc gia Hà Nội khối B 1998
Giải
Điều kiện x
∈
và x 3.
¥
≥

3
A
x
+ 5
2
x
A
21x
≤

⇔
x!
(x 3)!−

+ 5
x!
(x 2)!−

≤
21x
x(x – 1)(x – 2) + 5x(x – 1)
⇔
≤
21x
(x – 1)(x – 2) + 5(x – 1)
⇔
≤
21 (do x
≥
3)
x
2
+ 2x – 24 0
⇔
≤
⇔
–6
≤
x
≤
4.
Do x
∈

¥
và x 3 nên x = 3, x = 4 là nghiệâm.
≥
Bài 38. Tìm các số âm trong dãy số x
1
, x
2
, …, x
n
với
x
n
=
4
n4
n2
A
P
+
+
–
n
143
4P
với P
n
là số hoán vò của n phần tử.
Đại học An ninh 2001
Giải
Điều kiện n

∈
\
¥
{ }
0
.
Ta có : x
n
=
(n 4)!
n!
(n 2) !
+
+
–
143
4n!
=
(n 4)(n 3)
n!
+ +
–
143
4n!
.
Vậy : x
n
< 0 (n + 4)(n + 3) –
⇔
143

4
< 0 (do n! > 0)

⇔
4n
2
+ 28n – 95 < 0
⇔

19
2
−
< n <
5
2
.
Do n = 1, 2, 3, … nên n = 1, n = 2.
Vậy 2 số cần tìm là x
1
=
54
1
×
–
143
4
= –
63
4

và x
2
=
65
2
×
–
143
42
×
= 15 –
143
8
= –
23
8
.
Bài 39. Chứng minh với n
∈
và n 2 thì
¥
≥

2
2
1
A
+
2
3

1
A
+ … +
2
n
1
A
=
n1
n
−
.
Đại học An ninh khối A 2001
Ta có :

2
2
2
3
2
4
2
n
11
A2
11! 1 11
A 3! 3 2 2 3
12! 1 11
A 4! 4 3 3 4

1(n2)! 1 1
.
A n! n 1 n
⎧
=
⎪
⎪
⎪
== =−
⎪
×
⎪
⎪
+== =−
⎨
×
⎪
⎪
⎪
−
⎪
==−
⎪
−
⎪
⎩
MM

Cộng vế theo vế n – 1 đẳng thức trên ta được :

2
2
1
A
+
2
3
1
A
+
2
4
1
A
+ … +
2
n
1
A
=
1
2
+
1
2
–
1
n
= 1 –
1

n
=
n1
n
−
.
Bài 40. Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ
cái A, B, C, …, Z và tiếp theo là 5 chữ số khác nhau không có số 0.
Giải
Chọn 2 chữ cái trong 26 chữ cái, xếp vào hai vò trí đầu tiên, đây là chỉnh hợp
chập 2 của 26 phần tử. Tiếp theo, chọn 5 chữ số trong 9 chữ số khác 0, xếp vào
5 vò trí, đây là chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.
Vậy có :
2
26
A
.
5
9
A
=
26!
24!
.
9!
4!
= 9828000 số.
Bài 41. Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vò trí trên
sân để thi đấu chính thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu :
a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vò trí nào ?

b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vò trí nào cũng
được ?
c) Có 3 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vò trí nào
cũng được ?
Giải
a) Chọn 11 người trong 18 người, xếp vào 11 vò trí. Đây là chỉnh hợp chập 11 của
18 phần tử. Có :
11
18
A
=
18!
7!
= 1270312243 cách.
b) Chọn A làm thủ môn. Tiếp đến, chọn 10 người trong 17 người còn lại, xếp vào
10 vò trí. Vậy có :
10
17
A
=
17!
7!
= 705729024 cách.
c) Chọn 1 trong 3 người làm thủ môn, có 3 cách. Tiếp đến, chọn 10 người trong 15
người kia, xếp vào 10 vò trí, có
10
15
A
=
15!

5!
cách.
Vậy, có : 3.
15!
5!
= 326918592 cách.
Bài 42. Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn
sách và 3 cây bút máy để tặng cho 3 học sinh, mỗi em một cuốn sách và một
cây bút máy. Hỏi có mấy cách ?
Giải
Chọn 3 trong 10 cuốn sách để tặng cho 3 học sinh. Đây là chỉnh hợp chập 3 của
10 phần tử, có
3
10
A
cách.
Tiếp theo chọn 3 trong 7 cây bút để tặng cho 3 học sinh. Đây là chỉnh hợp chập
3 của 7 phần tử, có
3
7
A
cách.
Vậy, có :
3
10
A
.
3
7
A

=
10!
7!
.
7!
4!
= 10.9.8.7.6.5 = 151200 cách.
Bài 43. Trong một chương trình văn nghệ, cần chọn ra 7 bài hát trong 10 bài hát và 3
tiết mục múa trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu
cách chọn khác nhau nếu các bài hát được xếp kế nhau và các tiết mục múa
được xếp kế nhau ?
Giải
Xếp hát rồi đến múa hay múa rồi đến hát : có 2 cách .
Trong mỗi trường hợp đó, chọn 7 trong 10 bài hát rồi xếp thứ tự, có
7
10
A
cách.
Tiếp đến chọn 3 trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự, có :
3
5
A
cách.
Vậy có : 2.
7
10
A
.
3
5

A
= 2.
10!
3!
.
5!
2!
= 72576000 cách.
Bài 44. Trong một cuộc đua ngựa gồm 10 con. Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này
về đích nhất, nhì, ba.
Giải
Số các cách để trong 10 con ngựa này về đích nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp
10 chập 3 (do có thứ tự). Đó là :

3
10
A
=
10!
7!
= 10.9.8 = 720 cách.
Bài 45. Xét các bảng số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các
chữ cái được lấy từ 26 chữ cái A, B, …, Z. Các chữ số được lấy từ 0, 1, …, 9.
a) Có mấy biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một
khác nhau.
b) Có mấy biển số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đúng 2 chữ số lẻ, và 2 chữ
số lẻ đó giống nhau.
Học viện Ngân hàng TP. HCM 2000
Giải