de thi dap an hsg mon toan nam 20122013 tinh Dong Nai

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH LỚP 12 TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2012 – 2013. Caâu 1. ( 3,5 ñieåm) Cho haøm soá. y  x 2  x 2  1. ; với a là tham số thực, x là biến số thực.Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho. có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác nhọn khi và chỉ khi a   2 . ( Tam giác gọi là tam giác nhọn nếu các góc trong của chúng đều là góc nhọn) Caâu 2.(3,5 ñieåm).  .  .  x  y  3xy  4 x  2    x  y  3xy  4 y 2 x  ; y   Giaûi heä phöông trình :  ( ) Caâu 3.(3,5 ñieåm) Giaûi phöông trình :.  3  cos 4 x   sin x  cos x  2. Caâu 4.(3,5 ñieåm) 2 2 2 Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa : a  b  c 1 .. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :. P  a  b   b  c   c  a   a  b  c . Caâu 5. ( 3,5 ñieåm) SA   ABCD  Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, .Bieát AB a, BC 2a, SA a 3. ( Với a  , a  0 ).Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SB,AD. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BN. Caâu 6.( 3 ñieåm) Ck Cho p,k là các số nguyên dương thỏa p là số nguyên tố và 2 k  p  1 .Chứng minh rằng : p 1 chia hết. cho p.( Bieát. C pk 1. là số các tổ hợp chập k của p+1 phần tử).. …Heát….

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Đáp án 4. Caâu 1. y  x  ax TXÑ : D = R. 2.  x 0 y ' 4 x  2ax ; y ' 0    x  a (*)  2 a   0 a0 2 Để hàm số có 3 cực trị 3. - Khi đó pt (*) có 2 nghiệm là :. x  . a 2.  a a2   a a2  O  0;0  ; A   ;  ; B   ;  2 4   2 4   Giả sử hàm số có 3 điểm cực trị là : a4 a  16 2  OAB cân tại O, do đó ta chỉ cần chứng minh OAB có góc AOB nhọn Suy ra : OA = OB = thì OAB coù 3 goùc nhoïn. a a4    OA.OB a 4  8a a 3  8 cos AOB     2 164  4  a  8a a 3  8 OA . OB  a  a 2 16 Ta coù : 3 AOB  0  a  8  0  a 3  8  0  cos 3 AOB a3  8 laø goùc nhoïn ( vì a < 0 neân a  8  0 ) a   2 Kết hợp điều kiện có 3 cực trị của hàm số ta được a < -2 Vậy hàm số có 3 cực trị lập thành tam giác nhọn khi và chỉ khi a < -2.  x  y  3xy  4 x  2    x  y  3xy  4 y 2 Caâu 2. Giaûi heä phöông trình :  Ñieàu kieän : x 0; y 0 . Nhaän xeùt x = y = 0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình neân x >0 vaø y > 0.  .  .  . . . .  x  y  6 xy  4 x  4 y 0    3 xy  2 x  2 y 0 2 x  y 3 xy (1)    x  y x  y  1   x  y 4 y  4 x  4    x  y  x  y 1 (2)    Hpt x 2  y 2  x  x 2 2 2 x  2 y 3 xy  2    3    2 0   1 x  y  y  y  2 (l )  Từ (1) và (2) Suy ra : ( Vì x >0 vaø y >0). . . . . . x 2  x 2 y Với y thế vào (2) ta được : 3y. . . 2 y  y 1  y y . 1 3. . . 2 1. .  y . 3. .  x; y   2 3. 21 3 2 2  y 3 3 9. 3 2 2 3 3 2 2   ;  9 9 .  Vaäy nghieäm cuûa heä phöông trình laø :  3  cos 4 x   sin x  cos x  2 Caâu 3. Giaûi phöông trình :. . Suy ra. x 2 y 2 3. 3 2 2 9.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Pt.   2  2sin 2 2 x   sin x  cos x  2   1  sin 2 2 x   sin x  cos x  1.   t sin x  cos x  2 sin  x   4  ( Ñk : t  2 )  Ñaët  1   1  t 2  2  .t 1 2  Suy ra : sin 2 x 1  t .Phương trình trở thành :    t 4  2t 2  2  t 1  t 5  2t 3  2t  1 0   t  1  t 4  t 3  t 2  t  1 0  t  1 0  4 3 2  t  t  t  t  1 0.   x   k 2   2    2 sin  x   1  sin  x     ;k  2  4 4 2    x   k 2 Với t = 1 thì 1 1 t 4  t 3  t 2  t  1 0   t 2  2  t   1 0 t t Với (vì t =0 khoâng phaûi laø nghieäm cuûa phöông trình) 1 1 u t   t 2  2 u 2  2 2 t t Ñaët . Khi đó phương trình trở thành : u  u  1 0 (vn).    x  2  k 2 ; k    Vaäy nghieäm cuûa phöông trình laø :  x   k 2 Câu 4 : Giả sử c b a Ta coù :. 4 P 4  a  b  c   a  b   b  c   c  a  4  a  b  c   b  a   c  b   c  a  2.   a  b  c   b  a    c  b   c  a    b 2  c 2  a  b  2c   a 2   b 2  c 2 . 2. 2.  a 2  b 2  c 2  1  P Caâu 5.. 1 1 2 2 2 2 PMax  a 0; b  ;c  4 . Vaäy 4 khi 2 2. Qua A kẻ đường thẳng song song với BN cắt CB tại E. Gọi H  AB  EN .Kẻ MH // SA a 3 MH  MH   ABCD   2 Suy ra MH là đường cao của khối chóp M . ANBE . Ta có : 1 S ANBE 2 SANB 2. a 2 a 2 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 a3 3 VM . ANBE  MH .S ANBE  3 6 Suy ra AM a; AE a 2; CB   SAB   CB  SB Ta laïi coù : 2 2 Suy ra SBE vuoâng taïi B  ME  BE  MB a 2 Ta coù : AE ME a 2  AME caân taïi E. a  S AME  . 2. a 2. 2. . a2 a2 7  4 4. BN / /  AME   d  BN ;  AME   d  N ;  AME   . Vì. 3VN . AME SAME. 3 VM . ANBE a 21 2  SAME 7 d  AM ; BN  . Vaäy Caâu 6.. a 21 7. Ck Aùp dụng bổ đề : p là số nguyên tố khi và chỉ khi p chia hết cho p với k 1, 2,3,..., p  1  p  k  1  p  k  2  .... p  1 p   p! C pk   k ! p  k  ! k! Chứng minh : Ta có : p, k   p, k  1 ...  p,1 1 C pk n. p (n  )  Vì k < p , p nguyeân toá neân : . Suy ra : C pk 1 C pk  1  C pk Ta coù : chia hết cho p ( với 2 k  p  1 ) ( đpcm).

<span class='text_page_counter'>(5)</span>