Ôn tập Số phức

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC 1) Các định nghĩa: * Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo ( i2 = −1), khi đó: z = a + bi được gọi là một số phức. a: được gọi là phần thực ; b: được gọi là phần ảo Tập các số phức được kí hiệu là   Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R  .. Đặt z = x + yi, khi đó z 2  z  0  ( x  yi ) 2  x 2  y 2  0  x 2  y 2  x 2  y 2  0  x 2  y 2  x 2  y 2  2 xyi  0    2 xy  0. .  Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. * z = a − bi là số phức liên hợp của z = a + bi và ngược lại * Mô đun của số phức z = a + bi là | z | =. 1  3i 1 1  2 2   1  3 i . Suy ra z 2  z  . Lại có 1  z 1 2 2 1 3 z   i 2 2 Hơn nữa ta có z3 = z2.z = 1. Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu z 2  z  0 .. a2  b2. 2. zz' = z z' , zz=a2 +b2  z ,z+z'=z+z', zz'=z z', z= z z là số thực khi và chỉ khi z = z 2) Các phép toán và tính chất cơ bản: a  c  (a + bi) = (c + di)   b  d  (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i  (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i  (a + bi).(c + di) = nhân bình thường như nhân đa thức a  bi (a  bi )(c  di )   (nhân tử, mẫu cho số phức liên hợp ở mẫu) c  di (c  di )(c  di ) 3) Biểu diễn hình học của số phức Số phức z = a + bi (a, b   ) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức.  Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực,  Trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo Số phức z = a + bi (a, b   ) cũng được biểu diễn bởi vectơ  u  (a; b ) , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi  (a,b   ) cũng có nghĩa là OM biểu diễn số phức đó.   Ta có:Nếu u,v theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì    u  v biểu diễn số phức z + z',    u  v biểu diễn số phức z − z',   k u (k   ) biểu diễn số phức kz,    OM  u  z , với M là điểm biểu diễn của z. 1. Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức Vd1: Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau a) z =i + (2 − 4i) − (3 − 2i); b) z’ = (1  i )3  (2i )3 a) z = (0 + 2 − 3) + (1 − 4 + 2)i = −1 − i. Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − 1. b) Kết quả: 2 + 10i 1. 3 1 3  i  i 1 3 2 2 2 2 Vd2 Tính =    i 1 2 2     1 3 1 3 1 3  i i   i   2 2  2 2  2 2 . 1. Ví dụ 3: Tính 1 + i + i2 + i3 + …+ i2009 Ta có 1 – i2010 = (1 – i)1 + i + i2 + i3 + …+ i2009. .  x  0   x  0   x  0    x  0, y  0  2   y  0   y  y  0 y (1  y )  0      x  0, y  1      y  1      x  0, y  1   y  0   y  0     x 2  x  0   x (1  x )  0   x  0 (do x  1  0)  y  0, x  0      y  0  . Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i. 2. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z  1  i  2 ; b) 2  z  i  z . a) Đặt z = x + yi suy ra z − 1 + i = (x − 1) + (y + 1)i. z  1  i  2. ( x  1) 2  ( y  1) 2  2  ( x  1) 2  ( y  1) 2  4. Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = 2. b) |2 + x + yi| = |i − x − yi|  (x + 2)2+ y2 = x2 + (1 − y)2  4x + 2y + 3 = 0. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0. Cách 2: Gọi A (− 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó 2  z  i  z  z  (2)  z  i hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các. điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB. *Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 z  2  3i  . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. 2 3 Xét biểu thức z  2  3i  (1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở 2 3 9 thành ( x  2)  ( y  3)i   ( x  2)2  ( y  3)2  . 2 4 Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên 3 đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = . 2 Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất  điểm M(C) và gần O nhất Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn. Ta có OI = 4  9  13 . Kẻ MH  Ox. Theo định lí ta lét y 3 13  MH OM 2 H 2 O   có 3 OI 13. 2 = 1 + i. 1 i Vd 4: Tính (1 − i)100 = ((1  i ) 2 )50  (2i )50  (2)50 (i )50  250. M. Mà 1 − i2010 =2. Nên 1  i  i 2  i 3  ...  i 2009 . -3.  13MH  3 13 . 1 3 i Vd5 Cmr: z  z  1  0; z  z  ; z  1. Với z    2 2 z 2. 2. 1. 3. 1 3 1 3 1 3 i  z 2  z  1  (  i)  (  i)  1  0 ; Do z 2    2 2 2 2 2 2. 1 Lop12.net. 9 6 13  9  2 2. I. x.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 6 13  9.  x 1  0 c) Ta có (3)   x  1  x 2  x  1  0   2  x  x  1  0; (*). 78  9 13 26 2 13 3 13  OH 2  OH  2 13  3  26  3 13 . ta lại có  13 2 13 13  MH . . Vậy số phức cần tìm là. z. 1  i 3 . Từ đó ta có các 2 1  i 3 nghiệm của pt (3) là: x =1; x1,2  2 ( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1). Ví dụ 2 : Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:  = 4 + 3i;  = −2 + 5i Theo bài ra ta có:  +  = 2 + 8i; . = −23 + 14i. kết quả pt bậc hai cần lập là: x 2   2  8i  x  14i  23  0. Theo b) (*) có hai nghiệm là x1,2 . 26  3 13 78  9 13  i. 13 26. Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z  w  z  w . Đẳng thức xảy ra khi nào? Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w. Ta có z  OA, w  OB, z  w  OC . Từ OC  OA + AC suy ra z  w  z  w . Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC. Khi O  A (hay z  0) điều đó có nghĩa   là có số k  0 để AC  kOA tức là w = kz. (Còn khi z = 0, rõ ràng z  w  z  w ). Vậy z  w  z  w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z  0 thì tồn tại k  R để w = kz.. Chủ đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC. Vd 3: Cho z1; z2 là 2 nghiệm pt 1  i 2  z2 − (3+2i)z + 1− i = 0 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: z z a ) A  z12  z22 ; b) B  z12 z2  z1 z22 ; c) C  1  2 z2 z1  3  2i 3  2 2 2  3 2   i  z1  z2  3 3  1 i 2 Theo Vi−et ta có:  1 i 1 2 1 2    i  z1z2  3 3 1  i 2 . a) Ta có. A   z1  z2   2 z1 z2 = 2. 2. 1. Căn bậc hai của số thực âm: Mỗi số thực âm a có 2 căn bậc hai là i | a | và − i | a |. 32 2 23 2   1  2 1  2  11  30 2 6  4 2  i  2  i   i     3  3 3 3 9 9    . Ví dụ: số −7 có 2 căn bậc hai là i 7 và − i 7 số −9 có 2 căn bậc hai là 3i và −3i 2.Phương trình bậc hai với hệ số thực: ax2 + bx + c = 0 , (a,b,c  R ) (1) b     >0:pt(1) có 2 nghiệm thực phân biệt x1  2a b   = 0 : pt (1) có nghiệm (thực) kép: x1  x2  2a   < 0 : pt (1) có 2 nghiệm phức phân biệt: b  i |  | b  i |  | , x1  x2  2a 2a 3.Công thức nghiệm của ph trình bậc hai hệ số phức ax 2  bx  c  0; (1) (a, b, c  , a  0) và có   b 2  4ac. b) B .  Nếu   0 pt có hai nghiệm x1 . b   b   ; x2  2a 2a Trong đó  là một căn bậc hai của  . b  Nếu  = 0 thì pt có nghiệm kép: x1  x2   . 2a. Bài 1: Thực hiện phép tính :. Chủ đề 3: Giải phương trình trong tập số phức. z1 z2  z1  z2 .  3  2 2 2  3 2   1  2 1  2  5  2 2 1  10 2   i  i   i   3  3 3 3 9 9   . c) Ta có C . z12  z22 A 6  26 2 i .   z1z2 18 1 2 1 2  i 3 3. Ví dụ 4: Giải pt: z 4  6 z 2  25  0 (1) Đặt z2 = t Khi đó (1) có dạng: t2 –6t + 25 = 0 (2). Ta có: ’ = − 16 = 16.i2 < 0 nên pt (2) có hai nghiệm là t = 3 ± 4i. Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và −2 − i còn 3 − 4i có hai căn bậc hai là: 2 − i và −2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là: z1 = 2+ i; z2 = −2 − i; z3 = 2 − i; z4 = −2 + i. Bài tập. 1. Giải phương trình bậc nhất Biến đổi phương trình về dạng B Az + B = 0; A, B   , A ≠ 0. Viết nghiệm z   A Ví dụ : Giải phương trình 2iz + 1 − i = 0. a). 3 1  2i. ĐS:. 3 6  i 5 5. c). m i m. ĐS: −i m. e). 3i (1  2i )(1  i ). g). ai b i a. ĐS: ĐS:. b). 1 i 1 i. ĐS: i. d). ai a ai a. ĐS: a  1  2 a i. 4 3  i 5 5. b i a a. a 1. (1  2i )2  (1  i )2 (3  2i )2  (2  i )2. f). h) (2 – i)6. a 1. ĐS: 21  34. 9 i 17. ĐS: −117 – 44i. Bài 2: Giải các phương trình trùng phương:. z4 – z3  6 z2 – 8z –16  0 .. Nghiệm của phương trình là z  (1  i)  1  1  1  1 i . 2i 2i 2 2 2. a.. 2.Giải phương trình bậc hai với hệ số thực Ví dụ 1: Giải các phương trình a) 3x2 + x + 2 = 0 (1) b) x 2  x  1  0 (2); c) x 3  1  0 (3). Bài 3: Cho z1, z2 là 2 nghiệm ptrình: z 2  1  i 2  z  2  3i  0 .. b. ( z2  9)( z4  2 z2  4)  0 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:. a) Ta có = −23 = 23 i2 < 0 nên ta có hai căn bậc hai của  là: 1  i 23 i 23 &  i 23 . Từ đó nghiệm của pt (1) là: x1,2  6 b)  = − 3 = −3i2 < nên (2) có các nghiệm là:. x1,2 . 1  i 3 2. z1 z2  z2 z1. a ) A  z12  z22. b ) B  z12 z2  z1z22. c) C . d ) D  z13  z23. e ) E  z2 z13  z1z23.  1 1 2 2 f ) F  z1     z2     z2 z1   z1 z2 . Bài 4: Giải các hệ phương trình:. 2 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> z1  z2  4  i. a) . 2 2 z1  z2  5  2i. ĐS:(3 – i; 1 + 2.i) và (1 + 2.i; 3 – i). z .z  5  5.i b)  12 2 2. ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i). z1  z2  5  2.i. Bài 5: Lập phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm là: a) 1  i 2 và 1  i 2 b) 3  2i và 3  2i Bài 6: Lập phtrình bậc hai hệ số thực nhận 2 số phức z và z làm nghiệm Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z = a + bi , thoả mãn điều kiện: a) Phần thực bằng phần ảo. b) phần thực a  (1; 2). c) |z| = 4. SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI: CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC VD1: (ĐH_Khối A 2009) Gọi z1, z2 là 2 nghiệm của phương trình z2 + 2. 2. 2z +10 = 0. Tính giá trị biểu thức A  z 1  z 2 . = −36 = 36i2  z1, 2 = −1±3i.|z1|= |z2| = 10  A = 20 Thêm : Cho z1, z2 là các nghiệm phức của phương trình 2z2 − 4z 2. + 11 = 0. CMR: A . z1  z 2. z1  z 2 . 2 2. . 11 . 4. c.. 1  7 1  i  7 ; d. 2.i  i . Bài 2. Tìm nghiệm phức của mỗi phương trình sau: a.. . . 1 2i  1  3i  z ; b. 2  i z  3  i . iz    0; 2i  1 i 2i  2. c. z 2  | z | 0; d. z 2  z  0 ; Bài 3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b. 1+i+i2+i3++……+i2011 Bài 4. Xác đỉnh tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số z thỏa m điều kiện sau: a. | z  z  3 | 4; b. | z  z  1  i | 2;.  . c. 2  z  i  z là số ảo tùy ý; d. 2 | z  i || z  z  2i |;  . Bài 5. Các vectơ u ,u ' trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z’.  . (CĐ_2009) a. Tìm phần thực, phần ảo của số phức z thỏa mãn (1 + i )2(2  i)z = 8 + i + (1 + 2i)z (*) 4z - 3 - 7i = z - 2i . b. Giải phương trình trên tập số phức: z-i a. (*)  (1 + 2i)z = 8 + i  z = 2 − 3i. ĐS: a = 2, b = 3. b. Điều kiện z ≠ 1. PT  z2 − (4 + 3i)z + 1 + 7i = 0 có  = 3 − 4i = (2 − i)2. ĐS: z = 1 + 2i, z = 3 + i . Thêm :Tìm số phức z thoả mãn: |z − 2 + i| = 2. Biết phần ảo nhỏ hơn phần thực 3 đơn vị.. . . . ĐS: z  2  2  1  2 i , z  2  2  1  2 i . (ĐH_B 2009) Tìm z thỏa |z − (2 + i)| = 10 và z .z  25 . Gọi z = x + yi có z − (2 + i) = (x − 2) + (y − 1)i,. | z  z '|| z  z '| . 6. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn. z  k , (k là số thực dương cho trước). z i Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời. z 1 1 z i. VD5: ĐHKA 2010: CB Tìm phần ảo của số phức z, biết z  ( 2  i ) 2 (1  2i ) VD6: ĐHKA 2010: NC. z  3i  1. z i. và. 4.  z i  1  z i .  z .z  25  + = 25 (2). Giải hệ (1) và (2) được (x ; y) = (3 ; 4) V (x ; y) = (5 ; 0). Vậy z = 3 + 4i hoặc z = 5. VD4: (ĐH_2009)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa |z − (3 − 4i)| = 2. Gọi z = x + yi có z − (3 − 4i) = (x − 3) + (y + 4)i, |z − (3 − 4i)| = 2  (x − 3)2 + (y + 4)2 = 4. Vậy tập hợp cần tìm là đường tròn tâm I(3; −4); R = 2.. .  . Bài 8. Tìm số phức z thỏa mãn .  z   2  i   10 (x − 2)2 + (y − 1)2 = 10 (1) y2. . 1 z.z ' z.z ' ; 2. b. Chứng minh rằng u ,u ' vuông góc khi và chỉ khi. VD3:. x2. 2. 1 1 i  10    1  i   2  3i 2  3i   i 1 i . a. Chứng minh rằng tích vô hướng u . u ' . VD2:. . 3 i 2 i  1 i i. a. (1  i ) 2  (1  i ) 2 ; b.. Bài 9. Giải các phương trình sau trên C : a.  z  i  z 2  1 z 3  i  0. .  b. z  z   4z 2. 2. 2.   z.  12  0.. Bài 10. Giải các phương trình sau trên C : a. z 4  z 3 . z2  z 1  0 2. bằng cách đặt ẩn số phụ w  z . . . 2. . 1 ; z. . b. z 2  3 z  6  2 z z 2  3 z  6  3 z 2  0 c. (z2+1)2+(z+3)2=0 Bài 11. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau :.  z1  z 2  4  i  2 (1  3i ) 2 2 Cho số phức z thỏa mãn z  . Tìm môđun  z1  z 2  5  2i 1 i Bài 12. Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z 2 sau : của số phức z  iz  z1 z 2  5  5i Bài tập:  2 2 Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau:  z1  z 2  5  2i 3 Lop12.net.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> z2  z  1  0. Bài 26 : Giải phương trình: z 4  z 3 . Bài 13: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z  (3  4i )  2 .. 2. HD: Chia hai vế phương trình cho z2.. Bài 14 : Cho số phức z thỏa mãn : (1 + i)2.(2 – i)z = 8 + I + (1 – 2i )z . Xác định phần thực , phần ảo của Z . CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( CB). Đáp số : Phần thực – 2 ; Phần ảo 5.. 4 z  3  7i z Bài 15 : Giải phương trình : 2iz  i. trên tập số. phức. CĐ KHỐI A,B,D – 2009 ( NC). Đáp số : z1 = 1 +2i ; ; z2 = 3+i .. (1  i 3 ) . Tìm 1 i 3. môđun của :. z  iz. .. Bài 27 : Giải phương trình: z5 + z4 + z3 + z2 + z + 1 =0. HD: Đặt thừa số chung ĐS: z  1, z . 1 3 1 3  i, z    i. 2 2 2 2. Bài 28 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thõa mãn điều kiện z  3  4i   2 . ĐS: (x3)2+(y+4)2=4 Bài 29 : Xác định tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu. Bài 19 : Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện : z . Bài 30: Trong các số phức thỏa mãn z  2  3i . 3 . Tìm 2. số phức z có môđun nhỏ nhất. Bài 31: xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng. phức biểu diễn các số z thỏa mãn moãi ñieàu kieän sau: a) z  z  3  4 b) z  z  1  i  2 c). Bài 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện : z  i  (1  i ) z .ĐH Khối B – 2010 (CB) .. 2 z  z  2i  2 z  i. 2 , và. z2 là số thuần ảo . ĐH Khối D – 2010 . Đáp số : z1 = 1 +i ; z2 = 1 – i , z3 = 1 – i , z4 = -1 + i. Bài 20 : Cho số phức z thỏa mãn : ( 2 – 3i)z + ( 4+i) z = (1 + 3i)2 ; Xác định phần thực và phần ảo của z ? CĐ KHỐI A,B,D – 2010 ( CB). Đáp số : Phần thực : - 2 ; phần ảo : 5 . Bài 21 : Tìm phần thực và phần ảo của số phức sau:. e) 2i+2z = 2z-1 g) | z  3 |  1. d) 2i.z -1 = 2 z + 3 f). h) | z 1|  1. z -3i =1 z+i. i) 1   z  i|  2. Bài 32: Tìm các số thực a, b, c để có:. z3  2(1  i)z2  4(1  i)z  8i  ( z  ai)( z2  bz  c) Từ đó giải phương trình: z3  2(1  i)z2  4(1  i)z  8i  0 trên tập số phức. Tìm môđun của các nghiệm đó.. Bài 33:. 1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+ … + (1+i)20..    Bài 22 : Tìm số phức z thỏa mãn:   . 1 1  i. 2 2. diễn số phức: 2 z  i  z  z  2i .. Bài 16 : Tìm phần ảo của số phức z, biết z  ( 2  i ) 2 .(1  2i ) . Bài 17 : Cho số phức z thỏa mãn : z =. ĐS: z=1±i, z  . z 1 1 z i. 1. z  3i 1 zi.  2.  z  w  zw  8. Giải hệ phương trình sau trên tập số phức: . 2 2  z  w  1. .. HD: Gọi z=x+yi; (1)x=y, (2)y=1. ĐS: z=1+i. 4.  zi   1.  z i . Bài 23 : Giải phương trình: . Bài 34: a)Tính tổng: 1+i+i2+i3+…+i2011 b)Chứng minh 3(1  i ) 2010  4i (1  i ) 2008  4(1  i ) 2006 Bài 35: Cho z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình:. 2. ĐS: z{0;1;1} 2. Bài 24 : Giải phương trình: z  z  0 .. Bài 36:. HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z{0;i;i}. Cho z . Bài 25 : Giải phương trình: z 2  z  0 . HD: Gọi z=x+yi thay vào phương trình  x, y  z. ĐS: z=0, z=1, z . 2. z  z2 . 2 z  4 z  11  0 . Tính giá trị của biểu thức : 1 ( z1  z2 )2 2. 1 3  i 2 2 4 Lop12.net. 1 i tính z2011. 1 i.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>