De thi va loi giai HSG Tinh Ha Tinh Nam 2013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH HÀ TĨNH. Bài 1. a) b) Bài 2.. w. k2 p i. ne t. NĂM HỌC 2012 -2013. √ √ Giải phương trình: 3(2 + x − 2) = 2x + x + 6 x3 + xy2 + 2y3 = 0 Giải hệ phương trình: √  3 x4 − x2 + 4 = 4y2 + 3y. .. 2x có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B trên (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại x+2 A và B song song với nhau đồng thời khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó đạt giá trị lớn nhất. a) Cho hàm số y =. b). . Bài 3.. Tìm tất cả các giá trị tham số m để pt sau có 3 nghiệm phân biệt: p p x + 4 − x2 = m + x. 4 − x2. Xác định các góc của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos. . Bài 4.. Bài 5.. A−B A −C 3 3A + cos = + sin 2 2 2 2. Cho hình chóp S.ABC có các mặt phẳng (SBC)và (ABC) vuông góc với nhau, các cạnh AB = AC = a3 SA = SB = a. Tìm độ dài cạnh SC sao cho khối S.ABC có thể tích V = . 8 Cho thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 3abc Tìm giá trị lớn nhất của: r r r a b c P= + + 2 2 2 8a + 1 8b + 1 8c + 1. ww. ———————————————–Hết—————————————————-.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> w. k2 p i. ne t. LỜI GIẢI THAM KHẢO CỦA DIỄN ĐÀN TOÁN THPT www.k2pi.net Bài 1.a ĐK: x ≥ 2 Phương trình đã cho tương đương với: √ √ 8x − 24 √ 6 + 3 x − 2 = 2x + x + 6 ⇔ √ − 2x + 6 = 0 3 x−2+ x+6 8(x − 3) √ − 2(x − 3) = 0 ⇔ √ 3 x−2+ x+6 8 √ ⇔ (x − 3)( √ − 2) = 0 3 x−2+ x+6 8 √ ⇔ x = 3 hoặc √ =2 3 x−2+ x+6 √ √ 8 √ +) Với √ = 2 ⇔ 3 x−2+ x+6 = 4 3 x−2+ x+6 √ 11 − 3 5 Giải phương trình trên ta được kết quả là:x = 2 √ 11 − 3 5 Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x = 3 hoặc x = 2. ww. Bài 1.b Ta có: (1) ⇔ (x + y)(x2 − xy + 2y2 ) = 0 ⇔ x = −y √ 3 Thay vào (2), ta được: x4 − x2 + 4 = 4x2 − 3x x2 (x2 − x − 1) √ √ ⇔ = 4(x2 − x − 1) 3 x2 + x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 x2 √ √ ⇔ (x2 − x − 1)( − 4) = 0 3 x2 + 4x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 x2 √ √ ⇔ x2 − x − 1 = 0 hoặc −4 = 0 3 x2 + 4x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 √ √     x = 1 − 5 x = 1 + 5 2 √ √2 ; +) Với x2 − x − 1 = 0 ⇒   −1 − 5 y = y = 5 − 1 2 2  2x = 0 2 √ x 4 − x2 )2 +2x2 = 0 ⇔ √ √ +) Với −4 = 0 ⇔ (x+2 x √ 3 x + 2 3 x4 − x2 = 0 x2 + 4x x4 − x2 + ( x4 − x2 )2 Khi x = 0 ⇒ y = 0 Ta thấy (x; y) = (0; 0) không thoả mãn hệ phương √ trình . √   1 − 1 + 5 5   x = x = 2 √ √2 ; Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:   −1 − 5 y = 5 − 1 y = 2 2 Bài 2.a.     2a − 4 2b − 4 Ta gọi các điểm A a − 2; , B b − 2; ∈ (C) với a 6= b; a, b 6= 0 Ta có hệ số góc của a b 4 4 tiếp tuyến tại A và B lần lượt là k1 = f 0 (xA ) = 2 , k2 = f 0 (xB ) = 2 a b Điều kiện cần để tiếp tuyến tại A song song với tiếp tuyến tại B là: k1 = k2 " a = b (L) ⇔ a = −b. www.k2pi.net. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> w. k2 p i. ne t. Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận thì I(−2; 2). 2a − 4 2b − 4 Ta có xA + yB = −4 = 2xI , yA + yB = + = 4 = 2yI a b Suy ra I là trung điểm của AB. 4 2a − 4 Tiếp tuyến tại điểm A là: y = 2 (x − a + 2) + ⇔ ∆ : 4x − a2 y + 2a2 − 8a + 8 = 0 a a Ta có khoảng cách giữa hai tiếp tuyến cũng là khoảng cách từ điểm B đến ∆ bằng hai lần khoảng cách |8a| từ điểm I đến ∆ Ta có dI/∆ = √ 16 + a4 √ √ √ Theo bất đẳng thức AM − GM ta có: a4 + 16 ≥ 8a2 ⇒ 16 + a4 ≥ 2 2|a| ⇒ dI/∆ ≤ 2 2 " √ a=2 Suy ra dmax = 2 2. Dấu bằng xảy ra khi a4 = 16 ⇔ a = −2 +) Với a = 2 ⇒ b = −2 , khi đó A(0; 0); B(−4; −4) +) Với a = −2 ⇒ b = 2 khi đó A(−4; −4); B(0; 0). Bài 2.b Điều kiện : −2 ≤ x ≤ 2 √ √ 2] , ta có : Đặt : f (x) = x + 4 − x2 − x. 4 − x2 , x ∈ [−2;√ 2 √ x x 4 − x2 + 2x2 − x − 4 √ f 0 (x) = 1 − √ − 4 − x2 + √ = ; 2 2 2 4 − x 4 − x 4 − x √ f 0 (x) = 0 ⇔ 4 − x2 + 2x2 − x − 4 = 0  √ ( ( x= 2 2 2 4 + x − 2x ≥ 0 4 + x − 2x ≥ 0 √

⇔ ⇔ ⇔ 1− 7 4 3 2 2 2 2x − 2x − 7x + 4x + 6 = 0 x − 2 2x − 2x − 3 = 0 x= 2. Hình 1: Bài 2.a. ww. √ Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, yêu cầu bài toán tương đương với : 2 2 − 2 < m ≤ 2. Bài 3.. A−B C−A 3A π 3A π Đặt : = x; = y ⇒ x−y = − ⇒ = +x−y 2 2 2 2 2 2 Ta có :   3 π cos x + cos y = + sin − (y − x) 2 2 3 ⇔ cos x + cos y = + cos (y − x)  2     x−y x+y x−y 1 2 ⇔ 2cos − 2 cos cos + =0 2 2 2        2 x + y x − y 1 x+y 1 2 x+y x − y 2 2 ⇔ cos − cos cos + cos + sin =0 2 2 2 4 2 4 2        x−y 1 x+y 2 1 2 x+y ⇔ cos − cos + sin =0 2 2 2 4 2. www.k2pi.net. 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> w. k2 p i. ne t.      1 x + y x − y   = cos  cos 2  2 2 ⇔ x+y   sin =0  2    x+y = C−B 2 Để ý là : 3A − π   x+y = 2   π  B=C  B=C = 9 Nên yêu cầu bài toán : ⇔ 3A 7π ⇔   A = 7π = 4 12 9 Bài 4.. Hình 2: Bài 4. ww. 1 Gọi M là trung điểm BC suy ra : AM ⊥ (SBC) ⇒ VSABCD = AM.SSBC 3 Đặt AM = x. +) Xét tam giác vuông SAM có : SM 2 + AM 2 = SA2 ⇒ SM 2 = a2 − x2 (1) +) Trong tam giác SBC có : SB2 + SC2 BC2 BC2 SM 2 = − , mà : BM 2 = AB2 − AM 2 = a2 − x2 ⇒ = a2 − x 2 2 4 4 a2 + SC2 Nên : SM 2 = − (a2 − x2 ) (2) 2. Từ (1) và (2) suy ra : a2 + SC2 2 2 − (a2 − x2 ) ⇒ SC2 = 4(a2 − x2 ) − a2 ⇒ SC2 = BC2 − SB2 ⇒ ∆SBC vuông tại S. a −x = 2 1 1 √ Suy ra : SSBC = SB.SC = .a. 3a2 − 4x2 2 2 √ a3 1 a3 3 ⇒ .a.x 3a2 − 4x2 = ⇒ x2 = a2 8 6 8 8 √ √ 6 Vậy SC = 3a2 − 4x2 = .a 2 Theo bài ra : VSABCD =. www.k2pi.net. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Bài 5.. w. k2 p i. ne t. Lời giải 1 : Từ biểu thức P ta có a, b, c ≥ 0 Xét trường hợp abc = 0 ⇒ a = b = c = 0 ⇒ P = 0 Xét trường hợp a, b, c > 0. Từ giả thiết ta có: a2 + b2 + c2 = 3abc ≥ ab + bc + ca Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a b c P2 ≤ 2 + 2 + 2 2 2 2 2 2 3 3a + 3a + 2a + 1 !3b + 3b + 2b + 1 !3c + 3c + 2c2 + 1 ! 2 1 1 1 2 2 ⇔ 3P2 ≤ a + 2 + 2 + 2 +b +c 2 2 2 3a 2a + 1 3b 2b + 1 3c 2c + 1 ! ! ! ! 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 7 1 1 1 2 1 1 1 √ + + + +√ ≤ + + + + + + = + + +√ ≤ 3 3 3 3 a b c 3 a c 3 a b c 9 a b c 3 9 a b b ! ! 2 7 ab + bc + ca 2 1 + = + ≤3 c 3 3 3abc 3 ⇒ P2 ≤ 1 ⇒ P ≤ 1 Vậy MaxP = 1 khi a = b = c = 1.. Lời giải 2 : Từ biểu thức P ta có a, b, c ≥ 0 Xét trường hợp abc = 0 ⇒ a = b = c = 0 ⇒ P = 0 Xét trường hợp a, b, c > 0.. Từ giả thiết ta có: a2 + b2 + c2 = 3abc ≥ ab + bc + ca ⇒. 1 1 1 + + ≤ 3 (1) a b c. ww. Áp dụng BĐT Cauchy − Schwarz và AM − GM ta có: a b c P2 ≤ 2 + 2 + 2 2 2 2 2 2 3 3a + 3a + 2a + 1 3b + 3b + 2b + 1 3c + 3c + 2c2 + 1 ! ! ! 2 1 1 1 2 2 ⇔ 3P2 ≤ a + + + +b +c 3a2 2a2 + 1 3b2 2b2 + 1 3c2 2c2 + 1 ! ! 2 1 1 1 a 2 1 1 1 a + + + + = +∑ 2 ≤ +∑ 2 3 a b c a +1+a 3 a b c 2a + a2 ! ! !! 2 1 1 1 9 2 1 1 1 1 1 = + + +∑ ≤ + + + ∑ 2+ 3 a b c 9(a + 1 + 1) 3 a b c 9 a ! ! 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 = + + + + + + ≤ 2 + + = 3 (theo (1)) 3 a b c 3 9 a b c 3 3 ⇒ P2 ≤ 1 ⇒ P ≤ 1 Vậy MaxP = 1 khi a = b = c = 1.. .. Lời giải trên được thực hiện bởi các thành viên : thoheo, kienqb, khanhtoanlihoa, Ẩn Số, manlonely838 của diễn đàn TOÁN THPT - www.k2pi.net. www.k2pi.net. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>