Mot so cau hoi phu lien quan den khao sat ham so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>MỞ ĐẦU Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 12 nói riêng và chương trình Toán THPT nói chung. Vì thế đây là phần kiến thức chiếm nhiều nhất về thời lượng trong PPCT cũng như không thể thiếu trong bất kì đề thi nào dành cho học sinh lớp 12 từ kiểm tra định kì, đến thi tốt nghiệp THPT, đặc biệt tuyển sinh Đại học, cao đẳng, THCN,…Giải quyết vấn đề này luôn được giáo viên, học sinh quan tâm. Câu hỏi phụ liên quan khảo sát hàm số trong các đề thi luôn là câu hỏi "e ngại" đối với phần lớn học sinh bởi tính đa dạng, phong phú; đòi hỏi cần có kiến thức vững vàng, tư duy logic, sắc bén. Với mục đích giúp cho học sinh có được cái nhìn tổng quan, giải quyết tốt mảng kiến thức này, đặc biệt giúp các em nâng cao kiến thức, luyện thi đại học,…tôi xin trình bày một số bài toán điển hình cho mỗi dạng toán cơ bản trong chuyên đề: " Khảo sát hàm số và các dạng toán liên quan đến đồ thị hàm số ". Nội dung chủ yếu xét các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số cơ bản, từ đó rút ra phương pháp giải cho mỗi dạng; còn khảo sát hàm số chỉ nêu trong các bài toán như là công cụ để phục vụ cho việc giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số đó. Nội dung chuyên đề gồm: CÁC DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ I/ Dạng 1 II/ Dạng 2 III/ Dạng 3 IV/ Dạng 4 V/ Dạng 5 VI/ Dạng 6. : Các bài toán về tiếp tuyến có yếu tố hình học : Các bài toán về cực trị : Các bài toán về tính đơn điệu của hàm số : Các bài toán về khoảng cách : Các bài toán về tương giao giữa 2 đồ thị : Các bài toán về điểm đặc biệt trên đồ thị. VII/ Dạng 7. : Các bài toán về diện tích- thể tích. Tác giả muốn chuyên đề này như một tài liệu tham khảo dành cho học sinh và giáo viên; song chắc chắn tác giả chưa thể đề cập hết các dạng toán và còn nhiều hạn chế. Rất mong được sự đóng góp, bổ sung của đọc giả. Mọi sự góp ý xin gửi về: ặc: Tổ Toán- Trường THPT Hoàng Quốc Việt-Bắc Ninh. Tác giả xin chân thành cảm ơn!. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỒ THỊ HÀM SỐ.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> I/ DẠNG 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP TUYẾN CÓ YẾU TỐ HÌNH HỌC * Kiến thức cơ bản: Cho hàm số y=f(x) (C). + Tiếp tuyến của (C) tại M(x0; y0) có hệ số góc k=f'(x0) + Phương trình tiếp tuyến tại M(x0; y0): y= f'(x0)(x-x0)+y0. Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau: Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M  x0 ; y0    C  .  Tính đạo hàm y'=f'(x) và giá trị f '  x0  .  Phương trình tiếp tuyến có dạng: y  f '  x0   x  x0   y0 . Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M  x0 ; y0    C  có hệ số góc k  f '  x0  Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k .  Giải phương trình: f '  x  k , tìm nghiệm x0  y0 .  Phương trình tiếp tuyến dạng: y k  x  x0   y0 . Chú ý: Cho đường thẳng  : Ax  By  C 0 , khi đó:  Nếu d //   d  : y ax  b  hệ số góc k = a.  Nếu. d     d  : y ax  b.  hệ số góc. k . 1 a.. Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(xA; yA) ..  d  : y k  x  xA   y A  Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d  và  C  là hệ phương trình sau phải có nghiệm:  Điều kiện tiếp xúc của  f  x  k  x  x A   y A   f '  x  k. Tổng quát: Cho hai đường cong  C  : y  f  x  và  C ' : y g  x  . Điều kiện để hai đường cong  f  x  g  x   f '  x  g '  x  tiếp xúc với nhau là hệ sau có nghiệm:  .. Ví dụ 1: (ĐHQGHCM-96): Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (Cm). Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng (d): y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau. Lời giải: .y'=3x2+2mx . Phương trình hoành độ giao điểm của d và (Cm) là: x3 + mx2 + 1 = – x + 1 (1).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> ⇔ x=0 ¿ 2 ⇔ x(x2 + mx + 1) = 0 g(x)=x + mx +1=0 (2) ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ . d cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt biệt khác 0. g m 2  4  0    g  0  1 0. ⇔ (2) có hai nghiệm phân. m  2 m  2  (*). ⇒ x 1+ x 2=− m . Khi đó (2) có 2 nghiệm x1; x2 x 1 . x2 =1 ¿{ hay (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B(x1; -x1 +1), C(x2; -x2 +1). .Tiếp tuyến của (Cm) tại B và C vuông góc với nhau ⇔ f ' (x1 ). f ' (x 2)=− 1 ⇔ (3 x1 +2 mx 1 )(3 x 2 +2 mx 2)=−1 ⇔ x x 2 [ 9 ( x x 2 )2 +6 m(x + x 2)+4 m2 ]=−1 2. 2. ⇔2 m2=10 ⇔m=± √ 5(t /m(∗)) . Đ/S: Giá trị m cần tìm là: m= ± √5 . 2x (C). Gọi M là điểm trên (C ), I là giao 2 tiệm cận. Tiếp tuyến của x+ 2 (C ) tại M cắt 2 tiệm cận tại A, B a. CMR: Tam giác IAB có diện tích không đổi. b. CMR: M là trung điểm của đoạn AB. c. Tìm M sao cho tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất. d. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến là lớn nhất. LG: 2 x+ 2¿ ¿  4 y'= ¿ 2a ¿ , a ≠ −2 .  Giả sử tiếp điểm M( a ; a+2 Tiếp tuyến ( Δ ) của đồ thị (C) tại M có phương trình: a+2 ¿2 ¿ 2 a+2 ¿ y +2 a2=0 ¿ 4 y=¿  Giao 2 tiệm cận là I(-2; 2). 2 a+2 ¿ ¿ a. + ( Δ ) cắt TCĐ: x=-2 tại A(-2; ) 2 a2− 8 ¿ + ( Δ ) cắt TCN: y=2 tại B(2a+2; 2) Ví dụ 2: Cho hàm số. y=.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> a+2 ¿2 ¿=8 − 8 a −16 + Diện tích tam giác IAB: (Đpcm) ¿ 1 1 S ΔIAB = IA .IB= |2 a+4|¿ 2 2 ¿ x A + x B=2 a=x M 4a b. Ta có: y A + y B= =2 y M . Vậy M là trung điểm của AB (Đpcm). a+2 ¿{ ¿ c. Chu vi tam giác IAB là: p= IA+ IB+ √ IA2 +IB2 ≥2 √ IA . IB+ √ 2 IA .IB=8+ 4 √ 2 |2 a+ 4|=4 ⇔ a=0 ¿ a=− 4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi IA=IB ⇔ . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy có 2 điểm cần tìm là: O(0; 0) và M(-4; 4). d. Khoảng cách từ I đến ( Δ ) là: a+2 ¿4 ¿ a+2 ¿2 ¿ 2. 4 ¿ √¿ 16+¿ √¿ 8|a+2| d (I ; Δ)= ¿ a+2 ¿2=4 ⇔ ¿ a=0 ¿ a=−4 Dấu = xảy ra khi và chỉ khi . ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: y=x; y=x+8. x+ 2 Ví dụ 3 (ĐH-A-2009): Cho hàm số y= (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết 2 x +3 tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân tại O. LG: .Giả sử tiếp tuyến (d) của (C ) tại M(x0; y0) thoả mãn bài toán. Tam giác OAB cân tại O ⇔ (d) có hệ số góc: k= ±1.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 2 x 0+3 2 x 0+3 −1 ⇔ y '( x 0 )=± 1 ⇔ 2 =−1 ⇔ ( ¿ )2 =1⇔ ( ¿) x0 =−2 → y 0 =0 ¿ x 0=−1 → y 0=1 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Ta có tiếp điểm M1(-2; 0) và M2(-1; 1) . Phương trình tiếp tuyến tại M1(-2; 0): y=-x+2( t/m) Phương trình tiếp tuyến tại M2(-1; 1): y=-x (loại) * KL: Tiếp tuyến cần tìm: (d): y=-x+2 *NX: Ở bài toán trên ta có thể giả sử A(a; 0), B(0; b). Khi đó tiếp tuyến (d) có PTĐC: x y + =1 (d) (a,b 0) a b . Sử dụng điều kiện tiếp xúc của (d) và (C) ta tìm được a, b => (d) * Bài tập tự luyện 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):. y=. x x+ 1. biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục toạ độ tại A, B. sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 1/4. 2. (ĐH-D-2007)Viết phương trình tiếp tuyến của (C):. y=. 2x x+ 1. toạ độ tại A, B sao cho tam giác OAB cân.. biết tiếp tuyến đó cắt 2 trục. x−1 biết tiếp tuyến đó cắt 2 tiệm cận đứng, x +1 tiệm cận ngang lần lượt tại A, B sao cho tam giác IAB cân với I là giao 2 tiệm cận. 2 x +1 4. Giả sử ( Δ) là tiếp tuyến tại M(0; 1) của đồ thị (C): y= . Tìm trên (C) những điểm 1−x có hoành độ lớn hơn 1 mà khoảng cách từ đó đến ( Δ) là ngắn nhất. 1 3 2 5. (HVQHQT-2001): Cho đồ thị (C): y= x − mx − x +m− 1 . Tìm tiếp tuyến của (C) có hệ 3 số góc nhỏ nhất. m 6. Cho đồ thị (Cm): y=− x+1+ . Tìm m để đồ thị (C m) có điểm cực đại A sao cho tiếp 2− x tuyến tại A của (Cm) cắt trục Oy tại B thoả mãn tam giác OAB vuông cân. 7. Cho hàm số: y=x4-2x2-1 (C). Tìm các điểm trên Oy sao cho từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến tới (C) 3. Viết phương trình tiếp tuyến của (C):. y=. II/ DẠNG 2: CÁC BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ * Kiến thức cơ bản: Cho hàm số y=f ( x ). (C). Các vấn đề về cực trị cần nhớ:.  Nghiệm của phương trình f '  x  0 là hoành độ của điểm cực trị.  f '  x0  0  f ''  x0   0  Nếu  thì hàm số đạt cực đại tại x x0 .  f '  x0  0  f ''  x0   0  Nếu  thì hàm số đạt cực tiểu tại x x0 ..

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp.  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung.  yCĐ . yCT  0 .  xCĐ .xCT  0 ..  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía trên trục hoành.  yCĐ  yCT  0   yCĐ . yCT  0 ..  Để hàm số y  f  x  có hai cực trị nằm phía dưới trục hoành.  yCĐ  yCT  0   yCĐ . yCT  0 .. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị. 3. 2. Dạng 1: hàm số y ax  bx  cx  d Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x). Khi đó y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị. Dạng 2: Hàm số. y. ax 2  bx  c dx  e.  ax y Đường thẳng qua hai điểm cực trị có dạng. 2. .  bx  c '.  dx  e  '. . 2a b x d d. Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y= x 3-3x2-3m(m+2)x-1 có 2 cực trị cùng dấu. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu. LG: . y'= 3x2-6x-3m(m+2); ⇔ x=− m ¿ x=m+2 y'=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ⇒ 2 m+ 1¿ ( 1− 2m) ¿ x −1 . Ta có: y=y' -(m+1)2(2x+1) m+1 ¿2 (2 m+5) (*) 3 ¿ ¿ y (− m)=−¿ .Hàm số có 2 cực trị cùng dấu.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> ⇔ m+2 ≠− m ¿ y (− m). y (m+ 2)>0 ⇔ ¿ m ≠− 1 m+1¿ 4 (1 −2 m)(2 m+5)> 0 ¿ ¿. ⇔. −5 1 <m< 2 2. * Từ (*) ta có phương trình đường thẳng qua các điểm CĐ, CT là: y=-(m+1)2(2x+1). * NX: Ở bài toán này ta dễ xác định được toạ độ các điểm cực trị nên có thể viết trực tiếp phương trình đường thẳng qua 2 điểm đó. Tuy nhiên, với đa số các bài toán khác ta cần dùng kỹ thuật chia y cho y' như trên vì không xác định được toạ độ các điểm cực trị. Đặc biệt với hàm phân thức hữu tỉ, ta phải vận dụng bổ đề sau: ¿ y ' (x 0)=0 u ' (x 0) u( x ) Cho hàm y= thoả mãn: v (x 0) ≠ 0 thì y(x0) = v ' (x 0) v(x) ¿{ ¿ 2 x + mx− m− 8 Ví dụ 2 (ĐH An ninh-A-99): Cho hàm số y= .Tìm m để đồ thị hàm số có x −1 điểm cực đại, cực tiểu đồng thời các điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía của đường thẳng (d): 9x-7y-1=0. LG: . TXĐ: D=R\{1} x 2 −2 x − 8 . y '= ( x −1 )2 x 2 −2 x − 8=0 , x ≠1 ⇔ x =−2 ¿ x=4 ⇒ Đồ thị hàm số có 2 điểm CĐ, CT là: A(-2; m-4); y'=0 ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ B(4; m+8). . A, B nằm về 2 phía (d) 9 ⇔ (9 x A − 7 y A −1)(9 x B −7 y B −1)<0 ⇔ (9 −7 m)(21+7 m)>0 ⇔ −3<m< 7 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: -3<m<9/7. 2. 2. 3. mx +(m +1) x+ 4 m +m .Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc x+ m góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV). LG: . TXĐ: D=R\{-m}. mx 2+ 2m2 x −3 m3 . y '= ( x+ m )2. Ví dụ 3: Cho hàm số. y=.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ⇔ 4 4 m >0 y'=0 ⇔ (1) m3 ≠ 0 ⇔m ≠0 ¿{ 2 Khi đó (1) có 2 nghiệm x1=m → y1=3m +1; x2=-3m → y2=5m2-1 => đồ thị hàm số có các điểm CĐ, CT là: A(m; 3m 2+1), B(-3m; 5m2-1) thoả mãn yêu cầu bài ⇔ x A <0 x >0 y B <0 ⇔ ⇔ A ∈(II) ¿ m<0 toán (vì yA=3m2+1>0) (2) B ∈(IV ) −3 m>0 ¿{ 5 m2 −1<0 −1 ⇔ <m< 0 √5 ¿{{ −1 < m<0 * Từ (1) và (2) ta có m cần tìm là: √5 f (x)=mx 2+ 2m2 x −3 m3=0 , x ≠− m⇔ Δ' ≠ 0 f (− m) ≠ 0 ¿{. * Bài tập tự luyện. 1. (ĐH-B-2007): Tìm m để đồ thị hàm số: y=− x3 +3 x 2+ 3(m 2 − 1) x − 3 m2 −1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị cách đều gốc toạ độ O. 2. (HVQHQT-96): Tìm m để đồ thị hàm số: y=x 4 −2 mx 2 +2 m+m4 có điểm cực đại, cực tiểu lập thành tam giác đều. 3. Tìm m để đồ thị hàm số: y=x 4 −6 x 2 +4 x+6 có 3 điểm cực trị, đồng thời góc toạ độ O là trọng tâm tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị đó. 4. Cho hàm số y=x 3 − 3 mx 2 +3(m2 −1)x − m3+ m2 .Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần tư thứ (IV). 2 2 x −2 mx+3 m 5. Cho hàm số y= .Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về 2 phía x − 2m của trục Ox.. III/ DẠNG 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ * Kiến thức cơ bản: Cho hàm số y=f(x) có tập xác định D. + f(x) đồng biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ D . + f(x) nghịch biến trên D ⇔ f ' ( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ D . (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên D) So sánh nghiệm của tam thức với số 0. *.   0  x1  x2  0   P  0 S  0 . *.   0  0  x1  x2   P  0 S  0 . Ví dụ 1(ĐHMĐC-2001): Tìm các giá trị của m sao cho hàm số khoảng [1; +∞ ). * x1  0  x2  P  0 x2 − 8 x y= đồng biến trên 8( x +m).

<span class='text_page_counter'>(9)</span> LG: . TXĐ: D=R\{-m} x +m ¿2 ¿ . y'= 2 x +2 mx −8 m ¿ . Hàm số đồng biến trên [1; +∞ ) ⇔ y ' ≥ 0, ∀ x ∈ ¿ ¿ ⇔ − m∉ ¿ 2 x + 2 mx − 8 m≥ 0, ∀ x ∈¿ ⇔ ¿ m>− 1 2 f ( x)=x +2 mx −8 m≥ 0, ∀ x ∈¿ ¿ ¿ { ¿ . Xét f(x)= x 2+2 mx − 8 m , x ∈ ¿ có: +f'(x)=2x+2m f'(x)=0 khi x=-m<1 do đó dựa vào bbt ta có f(x) luôn đồng biến trên khoảng ¿ =>f(x) f(1)=1-6m 1 2 Do đó f ( x)=x +2 mx −8 m≥ 0, ∀ x ∈¿ ⇔ 1− 6 m≥ 0 ⇔ m ≤ 6 1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: −1<m ≤ 6 Ví dụ 2( ĐHQGHN_2000): Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 y=x +3 x + mx+m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. LG: . TXĐ: D=R . y'= 3x2+6x+m là tam thức bậc hai có Δ ' =9 −3 m + Nếu Δ ' =9 −3 m ≤0 ⇔ m≥ 3 thì y' 0, ∀ x ⇒ Hàm số đồng biến trên R => m 3 không thoả mãn. + Nếu m<3: y' có 2 nghiệm phân biệt x 1 < x2. Dựa vào bảng biến thiên có hàm số chỉ nghịch biến trong khoảng (x1 ; x2). Do đó để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 −3+ √ Δ' − 3− √ Δ' 9 ⇔ x 2 − x1 ≥ 1⇔ − ≥1 ⇔2 √ Δ ' ≥ 3 ⇔4 (9 −3 m)≥ 9 ⇔ m≤ kết hợp với m<3 3 3 4 9 ta được giá trị m cần tìm là: m≤ . 4 * Bài tập tự luyện: 3. 2. 1.Cho hàm số y x  3  m  1 x  3  m  1 x  1 . Tìm m để: a. Hàm số luôn đồng biến trên R. b. Hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 1. y. 2. Xác định m để hàm số a. Đồng biến trên R.. x3 mx 2   2x 1 3 2 .. b. Đồng biến trên  1;   . 3 2 3. Cho hàm số y x  3  2m  1 x   12m  5  x  2 .Tìm m để.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> a. Hàm số đồng biến trên khoảng  2;   . b. Hàm số nghịch biến trên khoảng   ;  1 . 4. Cho hàm số. y. mx 2  6 x  2 x2 . Tìm m để hàm số nghịch biến trên. ¿. .. IV/ DẠNG 4:CÁC BÀI TOÁN VỀ KHOẢNG CÁCH * Kiến thức cơ bản: Các công thức về khoảng cách: AB . x.  x. 2   y.  y. 2. B A B A Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): . Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  : Ax  By  C 0 và. d  M ,.  . điểm M(x0;y0) khi đó. Ax0  By0  C A2  B 2. .. 1/Bài toán 1: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số x+ 1 Ví dụ 1: Giả sử A, B là 2 điểm nằm trên 2 nhánh của đồ thị hàm số y= . Tìm giá trị nhỏ x+ 2 nhất của khoảng cách giữa 2 điểm A, B. LG: x 1 +1 x 2 +1 Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị nên ta giả sử A(x 1; ), B( x 2 ; ) với x1<x 1 +2 x 2 +2 2<x2 ¿ 1 a+b ¿ 2 .(1+ 2 2 ) 1 x 1= -2-a (a> 0)→ y 1=1+ a b a 1 1 2 1 do đó AB2 = Đặt + ¿ =¿ x 2=−2+b (b>0)→ y 2 =1− a b b a+ b ¿2 +¿ ¿{ ¿ ¿ 2 a+b ¿ ≥ 4 ab ¿ 2 ab ¿ ¿ 2 2 Áp dụng BĐT cosi có: => AB ≥ 8 ⇔ AB ≥2 √ 2 ≥ ab ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ a=b ab=1 −3 ; Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 2); B(-1; 0) ⇔ a=b=1 ⇔ A¿ ¿{ ¿ * KL: Giá trị nhỏ nhất giữa 2 điểm thuộc 2 nhánh đồ thị hàm số là AB=2. √2 ..

<span class='text_page_counter'>(11)</span> C : y . Ví dụ 2: Cho hàm số cho đoạn AB nhỏ nhất. LG: .. C : y . x2  x  1 x  1 . Tìm hai điểm A, B thuộc 2 nhánh khác nhau của (C) sao. x2  x  1 1 ¿ x+ x +1 x 1. Vì A, B nằm trên 2 nhánh của đồ thị (C)nên ta giả sử A(x 1;. x 1 + x 1+1 ), B( x 2 ; x 1+ 1 2. 2. x 2 + x 2+ 1 x2 +1. ) với x1<-1<x2 Đặt ¿. 1 a 1 x 2=−1+b (b>0) → y 2 =−1+b+ b ¿{ ¿ do đó 2 1 2 1 4 a+b ¿ 2 . 2+ + 2 2 ≥ 4 ab . 2+ + 2 2 =8 ab+ + 8 ab a b ab a b ab 2 2 AB = 1 1 a+ b ¿2 + (a+b)+( + ) =¿ a b ¿ 4 4 mà 8 ab+ ≥2 8 ab . =8 √ 2 ab ab 2 => AB ≥ 8+8 √ 2 ⇔AB ≥ √ 8+8 √ 2 ¿ a=b 4 =8 ab ab Dấu = xảy ra khi và chỉ khi 1 ⇔ a=b= 4 √2 ¿{ ¿ * Vậy 2 điểm trên 2 nhánh đồ thị có khoảng cách nhỏ nhất là: 1 1 1 1 A (− 1− 4 ; −1 − 4 − 4√ 2), B(−1+ 4 ; −1+ 4 + √4 2) 2). √2 √2 √2 √2 x 1= -1-a (a>0)→ y 1=− 1− a −. (. ). (. [. ). ]. √. 2/Bài toán 2: Khoảng cách nhỏ nhất giữa 2 giao điểm của một đường thẳng với đồ thị hàm số Ví dụ 3: CMR với mọi m đường thẳng (d): y=-x+m luôn cắt đồ thị hàm số: 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB. LG: . Phương trình hoành độ giao điểm của )d) và (C ): ¿ 3 x −1 1 2 =− x +m ⇔f (x)=2 x − 2(m− 2) x − m−1=0 , x ≠ (1) 2 x+1 2 ¿. y=. 3 x −1 2 x +1. (C) tại.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 2. m−1 ¿ +5>0, ∀ m ¿ − 1 −5 . (1) có f ( 2 )= 2 ≠ 0, ∀ m ¿ ¿ 2 Δ '=m −2 m+6=¿ nên (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác -1/2 với mọi m. −1 . Mặt khác theo Viet: (2x1+1)(2x2+1)=-5<0 =>x1< < x2 2 hay (d) luôn cắt (C ) tại 2 điểm phân biệt A, B thuộc 2 nhánh đồ thị (Đpcm). A(x1; -x1+m); B(x2; -x2+m) => AB2 = 2(x1-x2)2 = 2[(x1+x2)2 -2x1x2 ] = 2(m-1)2 +10 10 , ∀ m Hay ABmin = √ 10⇔ m=1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1.. 3/ Bài toán 3: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một tiếp tuyến của đồ thị hàm số: ax +b y= cx +d x+ 2 Ví dụ 4: Cho đồ thị hàm số: y= (C ) có I là giao 2 tiệm cận, (d) là một tiếp tuyến của (C ). x+ 1 Tìm giá trị lớn nhất khoảng cách từ I đến đường thẳng (d) LG: x+1 ¿2 ¿ . −1 y '= ¿ .(C ) có giao 2 tiệm cận là: I(-1; 1) x 0 +2 . Giả sử M(x0; ) thuộc (C) ( x 0 ≠ −1 ), tiếp tuyến của (C) tại M có phương trình: x 0 +1 2 x 0 +1 ¿ ¿ 2 x 0+ 1¿ y −( x 0 +1)( x 0+ 2)=0 (d) ¿ −1 y= ¿ . Khoảng cách từ M đến (d):.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> x 0+ 1¿ 2. d(M; d)=. Mà:. x 0 +2 −(x 0 +1)( x 0+ 2) x0 +1 x 0 +¿ ¿ x 0 +1¿ 4 ¿ 4 x 0 +1¿ ¿ x 0 +1 ¿2 ¿ x 0 +1 ¿2 ¿ ¿ 1 ¿ √¿ 1+¿ √¿ 12 +¿ √¿ ¿ ¿ 2 x0 +1 ¿ ¿. 2. x 0+ 1¿ ≥ 2, ∀ x 0 ≠ −1 ⇒ d (M ; d )≤ ¿ 1 ¿. 2 =√ 2 √2. x 0 +1 ¿2 ¿ x 0+ 1¿ 4=1 ⇔ ¿ x 0=0 ¿ x 0=−2 Dấu = xảy ra ¿ ¿ ¿ x 0 +1 ¿2 ⇔ ¿ ¿ ¿ 1 ⇔¿ Vậy khoảng cách lớn nhất từ M tới tiếp tuyến (d) là: d(M; d)max =. √2 .. 4/ Bài toán 4: Khoảng cách lớn nhất từ một điểm đến một đường thẳng đi qua một điểm cố định Ví dụ 5: Cho hàm số: y=x3 -3x2 +mx+1 (C). Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu. Gọi ( Δ) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực đại, cực tiểu. Tìm điểm cố định mà ( Δ) luôn đi 1 11 ; ¿ đến đường thẳng qua với m tìm được.Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ điểm I( 2 4 (Δ) . LG: . y'=3x2 -6x+m y'=0 ⇔ 3x2 -6x+m= 0 (1) . Hàm số có CĐ, CT ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ '=9− 3 m> 0 ⇔m<3 (*).

<span class='text_page_counter'>(14)</span> . Với m t/m (*), (1) có 2 nghiệm: x1; x2 thì đồ thị hàm số có điểm cực đại, cựctiểu là: A(x1; y(x1)); B(x2; y(x2)) x −1 2 m m + −2 x + +1 . Lấy y chia cho y' được: y=y'. 3 3 3 ¿ 2m m y (x 1)= − 2 x 1+ + 1 3 3 => 2m m y (x 2)= − 2 x 2+ +1 3 3 ¿{ ¿ Do đó phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là: 2m m − 2 x+ +1⇔ m(2 x +1)+(3 −3 y −6 x )=0 ( Δ) y= 3 3 . Giả sử (Δ) đi qua M(x0; y0) cố định m(2 x 0 +1)+(3 −3 y 0 −6 x 0 )=0, ∀ m<3 ⇔ 2 x 0 +1=0 3− 3 y 0 − 6 x 0=0 ⇔ ⇔ −1 ¿ x 0= 2 y 0=2 ¿{ −1 2m ; 2 ¿ có vtcp ⃗u=(1 ; −2) Vậy ( Δ) đi qua điểm cố định M( 2 3 −3 5 ⃗ IM=(−1 ; ) ⇒IM= 4 4 3 2m M . u⃗Δ=0 ⇔ −1 − ( −2)=0 ⇔ m=1 N/ x: d(I; ( Δ) ) IM. Dấu = xảy ra ⇔ IM ⊥ Δ ⇔ I⃗ 4 3 Hay d(I; ( Δ) )max = IM= 5/4 khi m=1 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=1.. (. ( (. (. ). ) ). ). * N/x: 1- Với bài toán dạng 4, nếu không phát hiện điểm cố định M mà ( Δ) luôn đi qua, ta có thể áp dụng công thức tính khoảng cách theo toạ độ có: 2 m 11 2 m 11 − − 3 4 3 4 = =f (m) d(I; ( Δ) )= 2 2 2m 2m 1+ −2 1+ −2 3 3 Từ đó đi khảo sát hàm f(m) với m<3, dựa vào bảng biến thiên , kết luận f(m) f (1) , ∀ m<3 hay d(I; ( Δ) )max= f(1)= 5/4 khi m=1. 2- PP tìm GTLN khoảng cách từ điểm I cố định đến đường thẳng ( Δ) thay đổi biết (Δ) luôn đi qua điểm cố định M: + d(I; ( Δ) ) IM IM .⃗ u Δ=0 + d(I; ( Δ) )max= IM khi M là hình chiếu của I lên ( Δ) hay ⃗ 5/ Bài toán 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách từ một điểm trên đồ thị hàm số ax +b ax 2 + bx+ c y= , y= đến 2 tiệm cận. cx +d dx +e 2 x 1 y x  3 (C). T×m c¸c ®iÓm M trªn (C) cã tổng kho¶ng c¸ch Ví dụ 6 (§H AN-97): Cho hµm sè: đến 2 tiệm cận của (C) nhỏ nhất. LG:. |. √. |. (. ). √. (. ).

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 2 x 0 +1 ¿ ∈(C), x 0 ≠ 3 x0 − 3 . (C) có TCĐ: (d1): x-3=0 TCN: (d2): y-2=0 . Tổng khoảng cách từ M đến 2 tiệm cận là: 2 x0 +1 7 7 − 2 =| x 0 −3|+ ≥ 2. |x 0 − 3|. =2 √ 7 d= |x 0 − 3|+ x 0 −3 | x 0 −3| |x 0 − 3| 7 |x 0 − 3|= x −3 ⇔ ( x 0 −3 )2 =7 ⇔ |0 |. . Giả sử M( x 0 ;. |. |. √. x 0 =3+ √ 7 → y 0=2+ √7 ¿ Dấu = xảy ra khi x 0 =3− √ 7 → y 0=2− √7 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ * Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1( 3+ √ 7 ; 2+ √7 ¿ ; : M2( 3 − √ 7 ; 2− √ 7 ¿ ; * Bài tập tự luyện 3 2 1. Cho hàm số y x  3mx  3 x  3m  2  Cm  . Tìm m để  Cm  có cực đại cực tiểu đồng thời khoảng cách giữa chúng là bé nhất..  C : y . 2x  2 x  1 . Tìm tọa độ các điểm M nằm trên (C) có tổng khoảng cách đến.  C : y . x2  x  1 x  1 . Tìm các điểm M thuộc (C) có tổng khoảng cách đến 2 tiệm. 2. Cho hàm số hai tiệm cận là nhỏ nhất. 3. Cho hàm số cận là nhỏ nhất. 4. Cho hàm số: tiệm cận bằng 4. y. 2x 1 x  1 (C). Tìm các điểm M trên (C) sao cho có tổng các khoảng cách đến 2.  x2  4 x  3 x 2 5. Cho hàm số (C). CMR: tích các khoảng cách từ điểm M bất kì trên (C) đến 2 tiệm cận là số không đổi. y.  C : y . 6. Cho hàm số đoạn MN nhỏ nhất.. 2x  2 x  1 . Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho y. x2  4x  5 x2 (C). Tìm điểm M trên (C) sao cho có khoảng. 7. (HVKTQS-2000): Cho hàm số: cách đến đường thẳng (d): 3x+y+6=0 là nhỏ nhất..  C : y . x2  2 x  1 x 1 .. 8. Cho hàm số a.Tìm các điểm thuộc đồ thị (C) có tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất. b, Tìm hai điểm M, N thuộc hai nhánh khác nhau của (C) sao cho đoạn MN nhỏ nhất. 9. (ĐH KhốiA 2005) Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số:. y mx . 1 x (*) (m là tham số) 1. a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 4 ..

<span class='text_page_counter'>(16)</span> b. Tìm m để đồ thị hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của (Cm) đến tiệm 1 2.. cận xiên bằng. V/ DẠNG 5: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ * Kiến thức cơ bản: 1. Cho 2 đồ thị (C1): y=f(x) và (C2): y=g(x) Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình: f(x)=g(x). 2. Số nghiệm của phương trình: f(x)=m là số giao điểm của đồ thị hàm số y= f(x) và đường thẳng (d): y=m. 3. Số nghiệm của phương trình f(x)= 0 là số giao điểm của (C): y=f(x) và trục hoành. 1/ Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị Ví dụ 1: Cho hàm số . a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm m để phương trình: LG: a. Vẽ đồ thị (C). x 2  3x  3 m x 1. y. f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1). (1) có 4 nghiệm phân biệt.. y. f(x)=(x^2+3x+3)/(x+1). x(t)=-1 , y(t)=t. x(t)=-1 , y(t)=t. 4. f(x)=x+2. 4. f(x)=x+2 f(x)=(x^2+3x+3)/abs(x+1) f(x)=-x-2. y. x 2  3x  3 x 1. 2. 2. y. x -16. -14. -12. -10. -8. -6. -4. -2. 2. -16. -14. -12. -10. -8. -6. -4. -2. 2. -2. -2. -4. -4. -6. -6. -8. -8. -10. x 2  3x  3 x 1 x. -10. 2. x +3 x+ 3 | x+1| Số nghiệm của (1) là số giao điểm của (C') và đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có: (1) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m >3 b. Từ đồ thị (C) ta có đồ thị (C'): y=. C : y . Ví dụ 2: Cho hàm số a.Khảo sát hàm số.. 4x  x2 x 1 .. b. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:. x 2   m  4  x  m 0. (2).

<span class='text_page_counter'>(17)</span> f(x)=(4x-x^2)/(x-1). 4. y. f(x)=(4x-x^2)/(x-1). 4. x(t)=1 , y(t)=t. x(t)=1 , y(t)=t. f(x)=-x+3. f(x)=(4abs(x)-x^2)/(abs(x)-1) f(x)=-x+3. 2. y. 2. x -14. -12. -10. -8. -6. -4. -2. 2. y -2. x -14. -12. -10. -8. 4 x  x2 x1. -6. -4. -2. 2. -2. -4. -4. -6. -6. -8. -8. -10. -10. y. 4 x  x2 x 1. LG: 2. 4| x|− x 4|x|− x =m . Vậy số nghiệm của (2) là số giao điểm của đồ thị (C'): y= |x|−1 |x|− 1 đường thẳng (d): y=m. Dựa vào đồ thị ta có: + Nếu m< 0: (2) có 4 nghiệm phân biệt + Nếu m=0: (2) có 3 nghiệm phân biệt Nếu m>0 : (2) có 2 nghiệm phân biệt (2). ⇔. 2. và. 2/ Bài toán 2: Tìm số giao điểm của 2 đồ thị bằng số nghiệm phương trình y. x x  1 tại 2 điểm phân biệt.. Ví dụ 3: Tìm m để đường thẳng (d): y=-x+m cắt đồ thị (C): LG: . Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C): x 2 =− x +m ⇔ f (x)=x −(m− 2) x − m=0 , x ≠ −1 (1) x +1 . (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi (1) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ m+2 ¿2 >0 ¿ f (−1)=−1 ≠ 0 ¿ ¿ Δ=¿ * Đ/s: Giá trị m cần tìm: m -2. 3/ Bài toán 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt *PP1: Đưa về pt: f(x)=g(m) => khảo sát hàm y=f(x). Ví dụ 4: Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt LG: . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0 ⇔ x3 -3x2-9x=-m . Xét hàm số y=x3 -3x2-9x có: + y'=3x2 -6x-9 =3( x2 -2x-3) +y'=0 ⇔ x=-1 hoặc x=3 + BBT: x - ∞ -1 3 + ∞ y' + 0 0 + 5 + ∞ y.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> -27 - ∞ Dựa vào bảng biến thiên ta có: (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ − 27<− m<5 ⇔ − 5<m<27 * PP2: Đưa về pt: (x- x0 ).g(x)=0 Ví dụ 5(ĐH-A-2010): Tìm m để đồ thị hàm số y= x3-2x2+ (1-m)x+m (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1; x2; x3 thoả mãn: x12+ x22+ x32 <4 LG: . phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3-2x2+ (1-m)x+m =0 (1) ⇔ x=1 ¿ 2 x − x −m=0 2 ⇔ (x-1)(x -x-m)=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ (d) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ pt: f(x)=x2 -x-m=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 khác1 ⇔ Δ=1+4 m> 0 f (1)=m≠ 0 ⇔ (*) −1 ¿ m> 4 m ≠0 ¿{ . Với m thoả mãn (*), (1) có 3 nghiệm: x1, x2 ,x3=1. 2 x 1+ x 2 ¿ − 2 x 1 x 2 <3 ⇔ 1+2 m<3 ⇔m<1 do đó x12+ x22+ x32 <4 (**) ⇔¿ . kết hợp (*) và (**) ta được giá trị m cần tìm là: -1/4<m<1, m 0. 4/Bài toán 4: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Ví dụ 6: : Cho hàm số: y= x3 -3x2-9x+m (Cm). Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. LG: . Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và trục Ox: x3 -3x2-9x+m = 0(1) =>) Giả sử (C ) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng =>(1) có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng theo thứ tự đó => x1+x3 =2x2 => x1 +x2+x3 =3x2 =3 => x2 =1 . Thay x2 =1 vào (1) ta được: m-11=0 hay m=11 <=) Thử lại với m=11: (1) có 3 nghiệm lập thành CSC là: 1− √12 ; 1 ; 1+ √12 * Đ/s: Giá trị m cần tìm là: m=11. * Bài tập tự luyện: y.  x  1. 2. x  1 có đồ thị là (C). 1. Cho hàm số a, Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số. 2 b, Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x   m  2  x  m  1 0 . 3. 2. 2. Cho hàm số y x  kx  4 . a. Khảo sát hàm số trên khi k = 3..

<span class='text_page_counter'>(19)</span> 3 2 b. Tìm các giá trị của k để phương trình x  kx  4 0 có nghiệm duy nhất. 3. 3. (ĐH KhốiD 2006): Cho hàm số y x  3 x  2 . a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3;20) có hệ số góc m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại ba điểm phân biệt.. ĐS: b.. m. 15 , m 24 4 .. 2. y.  x  3x  3 2  x  1. 4. (ĐH KhốiA 2004): Cho hàm số (1) a. Khảo sát hàm số (1). b. Tìm m để đường thẳng y=m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB=1. 1 5 m 2 . ĐS: b. y. mx 2  x  m x 1. 5. (ĐH KhốiA 2003): Cho hàm số (*) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm số khi m=1. b. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương. . 1 m0 2 .. ĐS: b. 6. (ĐH KhốiA 2002): Cho hàm số y =  x3 + 3mx2 + 3(1  m2)x + m3  m2 (1) (m là tham số) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1. b. Tìm k để phương trình  x3 + 3x2 + k3  3k2 = 0 có 3 nghiệm phân biệt. c. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1). 7. Tìm m để đồ thị hàm số y =  x3 - 3mx2 + 2m(m 4)x + 9 m2 -m cắt trục Ox tại 3 điểm lập thành cấp số cộng. 8.. Tìm m để đồ thị hàm số y = x3 - 3mx2 + 4m3 cắt trục đường thẳng y=x tại 3 điểm lập thành cấp số cộng .. 9. (ĐHTCKT-2000): Tìm m để đồ thị hàm số y = 2 x 3 - 3(2m+1)x2 + 6mx + 1 cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt 10. (ĐHBK-2001): Tìm m để đồ thị hàm số y =. 1 3. x3 - x + m cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt. VI/ DẠNG 6:CÁC BÀI TOÁN VÊ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ 1. Bài toán 1: Tìm điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua Phương pháp: Từ hàm số y  f  x, m  ta đưa về dạng F  x, y  mG  x, y  . Khi đó tọa độ điểm cố định nếu có là nghiệm của hệ phương trình.  F  x, y  0  G  x, y  0. ..

<span class='text_page_counter'>(20)</span> 3 2 Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  3  m  1 x  3mx  2  Cm  . Chứng minh rằng  Cm  luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi. LG: . Giả sử M(x0; y0) là điểm cố định mà (Cm) luôn đi qua với mọi m ⇔ y0= x03-3(m-1)x02-3mx0+2, mọi m ⇔ (3x02+3x0)m+y0-x03-3x0-2=0, mọi m ⇔ 2 3 x 0+ 3 x 0=0 y 0 -x 30+ 3x0 −2=0 ⇔ ¿ x 0=0 y 0=2 ¿ ¿ ¿ ¿ x 0=− 1 ¿ y 0=− 4 ¿ ¿ ¿ ¿. Vậy  Cm  luôn đi qua hai điểm cố định khi m thay đổi là M(0; 2) và N(-1; -4) * Bài tập tự luyện:.  Cm  : y . 1. Cho hàm số cố định khi m thay đổi.. 2x2   6  m  x  4 mx  2. . Chứng minh rằng đồ thị  Cm  luôn đi qua một điểm. 4 2 2. Cho hàm số  Cm  : y  1  2m  x  3mx   m  1 . Tìm các điểm cố định của họ đồ thị trên. 3 2 3. Chứng minh rằng đồ thị của hàm số y  m  3 x  3  m  3 x   6m  1 x  m  1  Cm  luôn đi qua ba điểm cố định.. 2. Bài toán 2: Tìm các cặp điểm đối xứng trên đồ thị Điểm I  x0 ; y0  là tâm đối xứng của đồ thị  C  : y  f  x . ⇔ Tồn tại hai điểm M(x;y) và.  x ' 2 x0  x  x  x ' 2 x0   f  x   f  x ' 2 y0  f  x   f  2 x 0  x  2 y0 M’(x’;y’) thuộc (C) thỏa:  I  x0 ; y0   f  x  2 y0  f  2 x0  x . Vậy là tâm đối xứng của (C) . Ví dụ 2 (ĐH Khối D2008): Cho hàm số y = x3 – 3x2 + 4 (1). Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm I(1;2) với hệ số góc k (k > – 3) đều cắt đồ thị của hàm số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lời giải: .d : y  2 = k(x  1)  y = kx  k + 2. .Phương trình hoành độ giao điểm: x3  3x2 + 4 = kx  k + 2  x3  3x2  kx + k + 2 = 0.  (x  1)(x2  2x  k  2) = 0  x = 1  g(x) = x2  2x  k  2 = 0. Vì ' > 0 và g(1) ≠ 0 (do k >  3) và x1 + x2 = 2xI nên có đpcm!..

<span class='text_page_counter'>(21)</span> * Bài tập tự luyện:. 1. Cho hàm số. y. 2 x2  2 x  2  m 2x  3 có đồ thị  Cm  .  Cm . Tìm giá trị của m để. có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O.. 2. 2. Cho hàm số.  Cm  : y . x  2m 2 x  m 2 x 1 .. Định m để  Cm  có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ O. 3. Cho hàm số. y x3  3x2  m  1. (m là tham số). a. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m=2. ĐS: f  x0   f   x0  , x0 0. a..  … m>0.. 3. 4. Cho hàm số. y . x 11  x 2  3x  3 3 có đồ thị  C  . Tìm trên (C) hai điểm M, N đối xứng nhau. qua trục tung. 5. Cho hàm số. y  x3  ax 2  bx  c  1. . Xác định a, b, c để đồ thị hàm số (1) có tâm đối xứng là I(0;1) và đi qua điểm M(1;1). 3. Bài toán 3: Tìm điểm có toạ độ nguyên x+ 2 Ví dụ 3: Tìm trên đồ thị hàm số y= (C) các điểm có toạ độ là các số nguyên. x+ 1 LG: x 0+ 2 ¿ ∈(C) , x 0 ≠− 1 là điểm có tọa độ là các số nguyên . Giả sử M( x 0 ; x 0+ 1 x 0 +1=1 ¿ x 0 +1=− 1 ¿ ⇔ ¿ x 0+ 2 1 x =0 → y 0=2 0 =1+ ∈ Z nên . Vì y 0= ¿ x 0+ 1 x 0 +1 x 0=−2 → y 0=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ Vậy có 2 điểm cần tìm là: M1(0; 2) và M2(-2;0) VII/ DẠNG 7: CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍNH DIỆN TÍCHTHỂ TÍCH Ứng dụng tích phân a. Diện tích Cho hai hàm số y=f(x) và y=g(x) có đồ thị (C1), (C2). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C1), (C2) và hai đường thẳng x=a, x=b được tính bởi công thức: y. f(x ). b. S.  f  x   g  x  dx a. Chú ý:. g(x). O a. b. x.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Nếu diện tích thiếu các đường thẳng x=a, x=b ta phải giải phương trình f(x)=g(x) để tìm a, b.. d. f(x ). b. Thể tích Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C):y=f(x),y=0,x=a,x=b} quay quanh Ox b. y. y. O. 2. a. (x) b. x. c. được tính bởi công thức: V =π  [ f ( x ) ] dx. O. a. Thể tích do hình phẳng giới hạn bởi {(C): x=(y), x=0, y=c, y=d} quay quanh Oy d. x. 2. được tính bởi công thức: V =π  [ ξ ( y ) ] dy c. Thể tích tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi hai đường y=f(x), y=g(x) quay quanh Ox b. 2. 2. (f(x)g(x), x[a;b]) được tính bởi công thức: V =π  {[ f ( x ) ] − [ g ( x ) ] } dx . a. 2. (2 m− 1) x − m Ví dụ (ĐH-D-2002): Cho hàm số: y= (Cm) x −1 a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m=-1 b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và 2 trục toạ độ. LG: −3 x − 1 .Khi m=-1 ta có: y= x−1 . Diện tích cần tính là: 0 0 0 − 3 x −1 1 1 4 0 S=  x −1 dx=− 3  dx − 4  x − 1 dx=−3 . 3 − 4 ln |x − 1|¿−1 /3 =−1+4 ln 3 −1 −1 −1. (. 3. ). 3. 3. (Đvdt) * Bài tập tự luyện: (ĐHHH-2000): Cho hàm số y=x 4 − 4 x 2+ 4 (1) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Tính diện tích hình phẳng của miền D giới hạn bởi đường cong (C) và đường thẳng: y=4. c. Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi D khi nó quay quanh trục Ox..

<span class='text_page_counter'>(23)</span>