Tài liệu Nhị thức newton tuyển chọn đề thi đại học pdf

NHỊ THỨC NIUTON
*) Công thức:
 
00
nn
n
k n k k k k n k
nn
kk
a b C a b C a b


  


*) Tính chất: a)
0
1
n
nn
CC

b)
k n k
nn
CC



c)
1

11
k k k
n n n
C C C




d) Số hạng thứ
1k 
là
1
k n k k
kn
T C a b




*) Khai triển thường dùng:
 
0
1
n
n
kk
n
k
x C x




và
   
0
11
n
nk
kk
n
k
x C x

  


*) Hệ thức đặc biệt
0 1 2 1
... 2
n n n
n n n n n
C C C C C

     
và
 
0 1 2
... 1 0
n
n

n n n n
C C C C     

I – BÀI TOÁN TÌM HỆ SỐ VÀ TÌM SỐ HẠNG TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC.
1) ĐHNN 1 -2000A: Trong khai triển
 
40
2
1
f x x
x




, hãy tìm hệ số của
31
x

2) Hãy tìm trong khai triển nhò thức
18
3
3
1
x
x





số hạng độc lập đối với
x

3) ĐHQGHN – 2000B : Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển
17
3
4
3
2
1
x
x





4) ĐH – CĐ _KD: 2004: Tìm các số hạng không chứa
x
tronh khai triển của
7
3
4
1
x
x






5) ĐHCĐ – 2003 A: Tìm hệ số của số hạng chứa
8
x
trong khai triển nhò thức của
5
3
1
n
x
x




, biết
 
1
43
73
nn
nn
C C n


  

6) ĐHCĐ – 2002A: Trong khai triển nhò thức

1
3
2
22
n
x
x






có
31
5
nn
CC
và số hạng thứ tư bằng
20n
.
Hãy tìm
n
và
x
.
7) Trong khai triển nhò thức
 
28 15
3

n
x x x


, hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào
x
, biết rằng
12
79
n n n
n n n
C C C

  

8) Hãy tìm
n
trong khai triển
11
24
1
2
n
xx





, biết rằng ba hệ số của ba số hạng đầu theo thứ tự đó lập thành

một cấp số cộng.
9) Cho biết hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển nhò thức
3
2
n
x
xx
x





bằng
36
. Hãy tìm số hạng
thứ
7
.
10) Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển
12
3
3
x
x






11) Tính hệ số của
25 10
xy
trong khai triển
 
15
3
x xy

12) Khai triển
 
2005
2 2005
0 1 2 2005
2 ...x a a x a x a x     

a) Hãy tính hệ số
1000
a

b) Tính tổng
0 1 2005
...T a a a   
và
1 2 3 2005
2 3 ... 2005S a a a a    

13) ĐHTLợi 2000: Cho đa thức
       
9 10 14
1 1 ... 1P x x x x      
có dạng khai triển là
 
2 14
0 1 2 14
...P x a a x a x a x    
. Hãy tính hệ số
9
a
.
14) Cho đa thức
         
2 3 20
1 2 1 3 1 ... 20 1P x x x x x        
có dạng khai triển là
 
2 20
0 1 2 20
...P x a a x a x a x    
. Hãy tính hệ số
15
a
.
15) ĐHCĐ – Dự bò 6 -2002: Trong khai triển
   
10
11 10 9

1 2 10 11
1 2 ...x x x a x a x a x a       
, hãy
tìm hệ số
5
a
.
16) Khai triển
 
5
2 3 2 15
0 1 2 15
1 ...x x x a a x a x a x       

a) Hãy tính hệ số
10
a

b) Tính tổng
0 1 15
...T a a a   
và
0 1 2 15
...S a a a a    


17) Khai triển
 
10
2 2 20

0 1 2 20
1 2 3 ...x x a a x a x a x      

a) Hãy tính hệ số
4
a

b) Tính tổng
1 2 3 20
2 3 ... 20S a a a a    


18) ĐH-CĐ _KA: 2004: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
 
8
2
11xx




19) Tìm hai hạng tử chính giữa trong khai triển
 
15
3
x xy

20) Tìm hạng tử đứng giữa của khai triển
10
3
5
1
x
x





21) Tìm số hạng hữu tỉ trong khai triển
 
6
3 15

22) Tìm số hạng của khai triển
 
9
3
32
là một số nguyên
23) Trong khai triển
 
124
4
35
có bao nhiêu số hạng hữu tỉ.
24) HVKTQSự 2000: Khai triển đa thức

   
12
2 12
0 1 2 12
1 2 ...P x x a a x a x a x      
. Tìm hệ số lớn
nhất trong khai triển trên. ( Tức là tìm
0 1 12
max( , ,..., )a a a
)
25) ĐHSPHN – 2001A: Trong khai triển
10
12
33
x




thành đa thức
9 10
0 1 9 10
...a a x a x a x   
, hãy tìm hệ
số
k
a
lớn nhất? ( k=0,1,2,…, 10).
26) ĐHSPHN – 2000 D: Biết tổng các hệ số trong khai triển
 

2
1
n
x 
bằng 1024, hãy tìm hệ số
a
của số
hạng
12
ax
trong khai triển đó.
27)

II – CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH
1)
0 2 4 2 2 2 1 3 5 2 3 2 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
... ... 2
n n n n n
n n n n n n n n n n
C C C C C C C C C C
   
           

2)
1 2 2 1 1
1 4 4 ... 4 4 5
n n n n
n n n
C C C


     

3)
 
1 2 3 1 1
2 3 ... ... 1 2
k n n n
n n n n n n
C C C kC n C nC n

        

4)
   
1 2 3
2 3 ... 1 ... 1 0
kn
kn
n n n n n
C C C kC nC        

5)
        
2 3 1 2
2.1 3.2 ... . 1 ... 1 2 1 1 2
k n n n
n n n n n
C C k k C n n C n n C n n


           

6)
 
1 2 1
1
0
21
... ...
1 1 1 2 1 1 1 1 1
k n n
n
n n n n n
n
C C C C C
C
k n n n



       
      

7)
   
12
0
1
... 1 ... 1
1 1 1 2 1 1 1

kn
kn
n n n n
n
C C C C
C
k n n
        
    

8)
2 1 3 2 1 2005 2004 2006 2005
2006
0
2005 2005 2005 2005 2005
2005
2 2 2 2 2
31
2 ... ...
1 1 1 2 1 2005 2006 2006
kk
C C C C C
C
k


       
  

9)

       
2 2 2 2
0 1 2
2
...
nn
n n n n n
C C C C C    

10)
       
 
2 2 2 2
0 1 2 2
2 2 2 2 2
... 1
n
nn
n n n n n
C C C C C     

11)
0 1 1 2 2 0
...
p p p p p
r q r q r q r q r q
C C C C C C C C C


    

II –Tính tổng:
1) Tính tổng
0 1 2004 2005
2005 2005 2005 2005
...S C C C C    

2) Tính tổng
0 1 2 2 2004 2004 2005 2005
2005 2005 2005 2005 2005
2 2 ... 2 2S C C C C C     

3) Tính tổng
15 0 14 1 2 13 2 14 14 15 15
15 15 15 15 15
2 3.2 3 .2 ... 3 .2. 3S C C C C C     

4) Tính
0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10
10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3S C C C C C C C C C C C          

5) ĐHBKHN 99: Tính
   
1 2 3
2 3 ... 1 ... 1
kn
kn
n n n n n
S C C C kC nC        

6) Tính
1 2 1
0
... ...
2 3 1 1
k n n
n n n n n
n
C C C C C
SC
k n n

       

, biết rằng
12
79
n n n
n n n
C C C

  

7) Tính
2 3 1
0 1 2
2 2 2
2 ...
2 3 1

n
n
n n n n
S C C C C
n

    


8) ĐH – CĐ_ KB: 2003:
2 3 1
0 1 2
2 1 2 1 2 1
...
2 3 1
n
n
n n n n
S C C C C
n

  
    


9)
10)
III- Các bài toán khác
1) a) Tính tích phân
 

1
2
0
1
n
I x x dx


b) Chứng minh
 
 
0 1 2
1
1 1 1 1
...
2 4 6 2 2 2 1
n
n
n n n n
C C C C
nn

    


2) a ) Tính
 
2
0
1

n
I x dx


b) CMR:
   
 
0 2 1 3 3 1
1 1 1 1
2 2 2 ... 1 2 1 1
2 3 1 1
nn
nn
n n n n
C C C C
nn

       


3) Tính
 
1
19
0
1I x x dx

. Tính
0 1 2 18 19
19 19 19 19 19

1 1 1 1 1
...
2 3 4 20 21
S C C C C C     