De thi ly thuyet GVG cap tinh Mon Toan tinh VP 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC. KỲ THI CHỌN GIÁO VIÊN GIỎI THCS NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút. Câu 1: Gọi a, b, c là ba nghiệm của phương trình x3 – 9x2 + 24x – 18 = 0. a 5  b 5 b5  c 5 c 5  a 5   b c c a Hãy tính giá trị của biểu thức P = a  b. Câu 2: Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam. giác. Gọi A1, B1, C1 theo thứ tự là hình chiếu của P trên các đường thẳng BC, CA, AB. Đường thẳng qua P, song song với BC, cắt đường tròn (PB1C1) tại điểm A2. Các điểm B2, C2 được xác định bằng cách tương tự. 1. Chứng minh rằng: Các đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy. 2. Chứng minh tam giác ABC và A2B2C2 đồng dạng. (Ký hiệu (XYZ) để chỉ đờng tròn đi qua 3 điểm X,Y,Z).. Câu 3: 1. Cho m, n là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại vô số bộ ba số nguyên dương (x; y; z) thỏa mãn x2 + y2 = (m2 + n2)z trong mỗi trường hợp z lẻ và z chẵn. 2. Chứng minh rằng: Phương trình x2 + y2 = 13z có vô số nghiệm nguyên dương. Câu 4: Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Tìm giá trị 3 2 3 2 3 2 lớn nhất có thể được của tổng S = a  2bc  b  2ca  c  2ab. Câu 5: Cho trước số nguyên dương k. Có 2k chiếc kẹo, được chia vào một số túi. Với hai túi A, B bất kỳ, có số kẹo tương ứng p, q; nếu p ≥ q thì chuyển q chiếc kẹo từ túi A sang túi B. Chứng minh rằng: Bằng cách làm như vậy, sau hữu hạn lần chuyển, tất cả các chiếc kẹo đều được chuyển vào một túi. ------------------------------------HÕt-----------------------------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ghi chú: Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu cũng nh máy tính cầm tay..

<span class='text_page_counter'>(3)</span>