De Dap an HSG Toan 9 20122013

<span class='text_page_counter'>(1)</span>UBND HUYỆN THANH SƠN. PHÒNG GD&ĐT. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 - THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 - 2013. Môn: Toán. ĐỀ CHÍNH THỨC. (Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề ). ( Đề thi có 01 trang )   1 3y2 y x2    . y   2 4 3 3 2 2   x y  x  xy x  xy x  x y  xy   . Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức. A . a) Rút gọn biểu thức A; x ; y b) Tìm cặp số nguyên dương  để. A. 2 y có giá trị là một số nguyên.. Câu 2(4,0 điểm): Giải các phương trình sau: 4 3 2 a) x  2 x  2 x  4 x  8 0 ;. x  2x  1  x . b). 2x  1  2 .. Câu 3(4,0 điểm): 29 x  11 2 a) Giải bất phương trình 3x  5 ;  1 1 1 1 1    : x y z x  y  z x , y , z  b) Cho thỏa mãn  . Tính giá trị của biểu. thức. B  x 29  y 29. .  y11  z11  z2013  x2013  .. Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên . 0. tia By lấy điểm D sao cho COD 90 . Kẻ OH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; AC.BD . AB 2 4 ;. b) Chứng minh c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. Câu 5(2,0 điểm): Cho các số a, b, c dương thỏa mãn ab  bc  ca 1 . Chứng minh rằng. P. 2a 1  a2. . b 1  b2. . c 1  c2. . 9 4.. ------------------Hết--------------------.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh........................................................số báo danh.................... PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG LỚP 9 - THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2012 – 2013. Môn: Toán ( Học sinh làm bài theo cách khác tổ chấm thống nhất cho điểm tương ứng với đáp án)  1   3y2 y x2  A  2    . y   x  xy x 4  xy 3 x 3  x 2 y  xy 2   x y  Câu 1(4,0 điểm): Cho biểu thức. a) Rút gọn biểu thức A; x ; y b) Tìm cặp số nguyên dương  để. A. 2 y có giá trị là một số nguyên.. Nội dung cần đạt  x 0  * a) ĐKXĐ:  x y (*). Với điều kiện   ta có:   xy  y 2  x 2  1 3y2 y   .  3 3 2 2   xy  x( x  y ) x ( x  y ) x ( x  xy  y )   . Điểm 0,50. . A .  x 2  xy  y 2  3 y 2  y ( x  y )   xy  y 2  x 2    .  x( x3  y 3 ) xy     2 2 2 2 x  y xy  y  x 1  3 .  3 x( x  y ) x y x 2 y  2x A  m y xy b) Giả sử là một số nguyên. Vì x, y nguyên dương nên m. nguyên dương. Suy ra: 2 x  y mxy  (my  2)(mx  1) 2 hay my  2; mx  1 là ước của 2.. 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25 0,25. Xét 4 trường hợp: 4  y  my  2 2  m   mx  1 1 x  2  m Vì x, y nguyên dương và x y nên m   1; 2 *. suy ra: (x, y) = (2, 4); (1, 2). Thử lại ta được kết quả trên đều thỏa mãn.. 1. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 3  y  my  2 1  m   mx  1 2 x  3  m ( Loại, do x  y ) * 1  y  my  2  1  m   mx  1  2   x  1  m (loại, vì x và y trái dấu) *  my  2  2   mx  1  1  *. 0,25. 0,25. 0,25.  y 0   x 0 ( Loại). Tóm lại: (x, y) = (2, 4); (1, 2) Câu 2(4 điểm): Giải các phương trình:. 0,25. 4 3 2 a) x  2 x  2 x  4 x  8 0 ; b). x  2x  1  x . 2x  1  2 .. 4 3 2 a) x  2 x  2 x  4 x  8 0  x4 - 2x2 -2x3 + 4x2 - 8 = 0  x2(x2 -2) - (2x3 - 4x) + 4x2 - 8 = 0  x2(x2 -2) - 2x(x2 - 2) + 4(x2 - 2) = 0  (x2 - 2)(x2 - 2x+4) = 0  x2 - 2 = 0  x =  2 (Vì x2 - 2x + 4 = (x- 1)2 + 3 > 0 x ) 1  b) (ĐK: x 2 ). PT  . 2 x  1  2 2 x  1  1  2 x  1  2 2 x  1  1 2. . ( 2 x  1  1) 2  ( 2 x  1  1) 2 2 . 2x  1 1. 0,25 +. 2x  1  1. =2. 0,25 0,25. +) Nếu 2 x  1  1 0  x  1, ta có:. +) Nếu. 0,50 0,50 0,50 0,25 0,25. 2 x  2 2 x  1  2 x  2 2 x  1 2. 2 x  1 1 + 2 x  1  1 = 2 . 0,50. 2 x  1 1  x = 1 ( thỏa mãn điều kiện). 1 2 x  1  1  0  2  x < 1, ta có:. 0,25 2 x  1 1 - 2 x  1 1 = 2. 1  0 x 0 => Phương trình có nghiệm với mọi x thỏa mãn 2  x < 1 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm là 2  x  1. 2. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Câu 3(4,0 điểm): 29 x  11 2 a) Giải bất phương trình 3x  5 .  1 1 1   1     :  1 x y z x  y  z x , y , z     b) Cho thỏa mãn . Tính giá trị của biểu. thức. B  x 29  y 29. .  y11  z11  z2013  x2013  . Nội dung cần đạt. 29 x  11 2 a) Ta có: 3x  5 29 x  11  20  3x  5 23x  21 0  3x  5. Điểm. 0,25 0,50.  23 x  21  0 5 21  x  3 23 * 3x  5  0  23x  21  0   3 x  5  0  * Không tìm được giá trị của x thỏa mãn. 5 21 x 23 Vậy bất phương trình có nghiệm 3  1 1 1   1 1 1 1     :  1       x  y  z  1 x y z b)  x y z   x  y  z   3 xyz  yz ( y  z )  xz ( x  z )  xy( x  y )  xyz  ( x  y )( y  z )( x  z ) 0  x  y   y  z  z  x . hay B = 0. 0,50 0,50. 0,25 0,50 0,50 0,50 0,50. Câu 4( 6,0 điểm): Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax, By vuông góc với AB. Trên tia Ax lấy điểm C, trên . 0. tia By lấy điểm D sao cho COD 90 . Kẻ OH vuông góc với CD tại H. a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB; AB 2 AC.BD  4 ; b) Chứng minh. c) Nêu cách xác định vị trí điểm C trên tia Ax để diện tích tam giác COD bằng diện tích tam giác AHB. Nội dung cần đạt Điểm 0,5 Vẽ hình đúng: 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) Vì Ax  AB; By  AB nên Ax, By là tiếp tuyến của đường tròn (O) Gọi M là trung điểm của CD => OM là đường trung bình của hình thang ACDB => OM //AC => góc ACO = góc MOC ( So le trong) (1) Lại có: OM là trung tuyến thuộc cạnh huyền của tam giác vuông COD => OM = MC => tam giác OMC cân tại M => góc COM = góc MCO (2) Từ (1) và (2) suy ra góc ACO = góc MCO => tam giác ACO = tam giác HCO (cạnh huyền - góc nhọn) => OH = OA => H thuộc đường tròn tâm O => CD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O đường kính AB b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có AC = CH; BD = DH AB 2 AC.BD  4 CH.DH = OH2 => OH 1 c) SCOD S AHB => HK ( HK  AB; K thuộc AB ). ( Vì tam giác COD đồng dạng với tam giác BHA) => OH = HK => K trùng O => H là điểm chính giữa của nửa đường tròn AB AB O => AC = 2 vậy điểm C thuộc tia Ax sao cho AC = 2 thì SCOD S AHB. 0,5 0.5 0,5. 0,5 0,75 0,75 1,00 0,5 0,5. . Câu 5(2 điểm): Cho các số a, b, c dương thỏa mãn ab  bc  ca 1 Chứng minh rằng:. P. 2a 1  a2. . b 1  b2. c. . 1  c2. . 9 4. Nội dung cần đạt. Điểm. Ta có: P. 2a 2b 2c   (a  b)(a  c) 4(b  c)(b  a) 4(c  b)(c  a ). 0,50. Suy ra: P a(. 1 1 1 1 1 1  )  b(  )  c(  ) a b a c 4(b  c ) a  b 4(c  b) c  a. 4. 0,50.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> 2 . 1 9  4 4.. Dấu đẳng thức xảy ra khi. 0,50 b c . 1 7 , a 7b  15 15 , b 0 .. ---------------Hết -----------------. 5. 0,50.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>