Tài liệu Đề thi PTNK ĐHQG TPHCM P1 pptx

CÁC ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TOÁN-TIN
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM























Copyright 2006 ©

www.diendantoanhoc.net


MỤC LỤC




Năm học 1993 – 1994
............................................................................................ 3


Năm học 1994 – 1995
............................................................................................ 6


Năm học 1995 – 1996
............................................................................................ 8


Năm học 1996 – 1997
............................................................................................ 11


Năm học 1997 – 1998
............................................................................................ 13


Năm học 1998 – 1999
............................................................................................ 16

Năm học 1999 – 2000
............................................................................................ 19


Năm học 2000 – 2001
............................................................................................ 22


Năm học 2001 – 2002
............................................................................................ 25


Năm học 2002 – 2003
............................................................................................ 28


Năm học 2003 – 2004
............................................................................................ 31


Năm học 2004 – 2005
............................................................................................ 34


Năm học 2005 – 2006
............................................................................................. 37

Năm học 2006 – 2007
............................................................................................ 40









Năm học 1993 – 1994


Ngày thứ nhất

Bài 1

Ta nói số tự nhiên A là một số “Pitago” nếu A là tổng bình phương của hai
số tự nhiên nào đó.
a) Cho P và Q là hai số “Pitago”, chứng minh P.Q và 2
n
P cũng là các số
“Pitago”.
b) Tìm các số “Pitago” M và N sao cho tổng và hiệu của chúng không
phải là các số “Pitago”.

Bài 2

a) Giải phương trình căn thức :

3
4
34943123x xx−= − −

b) Chứng minh đẳng thức
44
49 20 6 49 20 6
3
2
++−
=

Bài 3

Tám đội bóng tham gia giải vô địch trong đó hai đội bất kỳ phải gặp nhau
đúng một lần. Biết rằng đến cuối giải không có trận đấu nào kết thúc với tỉ số
hòa.
Chứng minh rằng trong tám đội nói trên, luôn tìm được bốn đội A, B, C, D
sao cho kết quả các trận đấu giữa họ là A thắng B, C, D; B thắng C, D và C
thắng D.

Bài 4

Bốn học sinh gái Mỹ, Mận, Mai và Mơ đang ở trong một căn phòng của kí
túc xá. Một cô đang sửa áo, một cô đang chải đầu, một cô đang viết thư và một
cô đang đọc sách. Biết thêm rằng :
1. Mỹ không sửa áo và không đọc sách.
2. Mận không viết thư và không sửa áo.
3. Nếu Mỹ không viết thư thì Mơ không sửa áo.
4. Mai không đọc sách và không sửa áo.

5. Mơ không đọc sách và không viết thư.
Hãy nói chính xác mỗi cô đang làm gì.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
3
Bài 5

Giả sử là một điểm nằm bên trong tam giác đều
O
ABC
. Các đường
thẳng
,,AOBOCO
cắt các cạnh đối diện của tam giác tại các điểm A
1
,B
1
,C
1

tương ứng. Biết rằng :
11 1 11 1
ABOCAOBCO CBOBAOAC
SSS SSS
++ =++
+++ +++O

Chứng minh rằng O nằm trên một đường trung tuyến của tam giác ABC.

Ngày thứ hai

Bài 1

Chia hai tập hợp những số tự nhiên {1,2,…,2n} thành hai tập con rời nhau
A và B, mỗi tập có n phần tử.
Kí hiệu các phần tử của hai tập hợp này theo thứ tự tăng :

12 1
... }
{
nn
A aa a a
−
<<< <
=
và
12
... }
{
nn
Bbb bb
− 1
< << <
=

Hãy chứng minh đẳng thức :
|a
1
-b
1

|+|a
2
-b
2
|+…+|a
n
-b
n
|=n
2

Bài 2

Cho một bảng kích thước 2n x 2n ô vuông. Người ta đánh dấu 3n ô bất kì
của bảng. Chứng minh rằng có thể chọn ra n hàng và n cột của bảng sao cho
các ô được đánh dấu đều nằm trên n hàng hoặc n cột này.

Bài 3

Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn,
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD
ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Hãy tính diện tích tam giác ADM.

Bài 4

Một hộp đựng 52 viên bi, trong đó có 13 viên màu xanh, 13 viên màu đỏ,
13 viên màu vàng và 13 viên màu trắng. Cần phải lấy ra ít nhất bao nhiêu viên
bi (mà không nhìn trước) để chắc chắn trong số đó không có ít hơn 7 viên bi
cùng màu. Hãy phát biểu và chứng minh bài toán tổng quát hơn.

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
4
Bài 5

Một dãy các con số 0 và 1 có độ dài 32 được gọi là 1 xâu. Ta kí hiệu các
xâu A,B,C ,… như sau :
A=(a
1
,a
2
,…,a
32
)
B=(b
1
,b
2
,…,b
32
)
C=(c
1
,c
2
,…,c
32
)

với a
i
,b
i
,c
i
,…= 0 hay 1; i = 1,2,…,32.
Giá trị của một xâu là số các con số 1 có trong xâu ấy.
Một máy tính có thể xử lý các xâu bằng hai phép biến đổi sau :
_ Phép dịch chuyển các phần tử của A đi k vị trí, 1 ≤ k ≤ 32 theo qui
tắc :
(a
1
,a
2
,…,a
32
)
⇒
(a
k
,a
k+1
,…,a
31
,a
32
,a
1
,a

2
,…,a
k-1
).
_ Phép so sánh hai xâu A và B để được một xâu mới C theo qui tắc
A&B
⇒
C, với
1 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= b
1
= 1)
c
1
=
0 nếu (a
i
= 1,b
i
= 0) hay (a
1
= 0,b
1
= 1)
Cho xâu A có giá trị bằng 16 và B là một xâu tùy ý. Chứng minh rằng,

bằng cách dịch chuyển A đi k vị trí (thích hợp) và so sánh kết quả với B, ta sẽ
được xâu C có giá trị không nhỏ hơn 16.

















Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
5
Năm học 1994 – 1995

Ngày thứ nhất

Bài 1

Sáu đội bóng A,B,C,D,E và F tham dự một giải vô địch. Dưới đây là năm
khẳng định khác nhau về hai đội có mặt trong trận chung kết :
a) A và C b) B và E c) B và F

d) A và F e) A và D
Biết rằng có bốn khẳng định đúng một nửa và một khẳng định sai hoàn
toàn. Hãy cho biết hai đội nào được thi đấu trong trận chung kết.

Bài 2

a) Trên bảng có viết 1994 số : 1,2,…,1994. Cho phép xóa hai số bất kỳ
trong những số trên bảng và viết thêm một số bằng tổng của hai số đó
(Như vậy sau mỗi lần xóa thì các số các số được viết trên bảng giảm đi
1). Chứng minh sau 1993 lần xóa, trên bảng sẽ còn lại một số lẻ.
b) Nếu thay số 1994 trong câu a) bằng số 2000 thì sau 1999 lần xóa trên
bảng sẽ còn lại 1 số chẵn hay số lẻ ?

Bài 3

Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho y+1

chia hết cho x và x+1 chia
hết cho y.

Bài 4

a) Cho là 4 số thực tùy ý. Với các giá trị thực nào của x thì
biểu thức nhận giá trị nhỏ nhất :
abcd<<<
f(x) = |x – a|+|x – b|+|x – c|+|x – d|
b) Hãy phát biểu và giải bài toán tổng quát với n

số thực.

Bài 5

Cho tam giác ABC

có hai đường phân giác trong BD và CE cắt nhau tại I.
Biết rằng ID = IE, chứng minh rằng hoặc tam giác ABC cân tại A hoặc góc
.
0
60BAC∠=


Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
6
Ngày thứ hai

Bài 1

Giải hệ phương trình
22
22
23
42
xxyy
xxyy
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
13

6
− +=
+ −=−


Bài 2

Cho tam giác ABC vuông tại A, có O, I lần lượt là tâm các đường tròn
ngoại tiếp, nội tiếp. Đặt BC = a, CA = b, AB = c.
a) Tính các độ dài IO, IB theo a,b,c.
b) Biết rằng tam giác IOB vuông ở I, chứng minh
AB : AC : BC = 3 : 4 : 5.

Bài 3

Chứng minh không tồn tại một dãy tăng thực sự các số
nguyên sao cho với mọi số tự nhiên n,m

ta có :
123
,,,..
0:aaa≥
.
a
mn
= a
n
+ a
m
.

Bài 4

Chứng minh rằng tồn tại duy nhất hai số nguyên dương x và y thỏa mãn
các tính chất sau :
i) x và y đều có hai chữ số
ii) x = 2y
iii) Một chữ số của
y
thì bằng tổng hai chữ số của x, còn chữ số kia
thì bằng trị tuyệt đối của hiệu hai chữ số của x.

Bài 5

Một tam giác đều được chia thành một số hữu hạn các tam giác con.
Chứng minh rằng sẽ có ít nhất một tam giác con có cả ba góc đều nhỏ hơn 120
0
.





Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
7
Năm học 1995 – 1996

Ngày thứ nhất

Bài 1

Trong một kì thi trắc nghiệm có 5 câu hỏi, thí sinh dự thi chỉ cần trả lời
“có” hay “không” cho mỗi câu. Hãy chứng minh rằng nếu biết được các thông
tin sau về câu trả lời cho mỗi câu hỏi :
a) Câu số 1 và câu số 5 cần trả lời trái ngược nhau.
b) Câu số 2 và câu số 4 cần trả lời giống nhau.
c) Nếu câu số 4 trả lời “có” thì câu số 5 cần trả lời “không”.
d) Số câu được trả lời “không” ít hơn số câu trả lời “có”
thì một thí sinh có thể trả lời đúng bốn câu hỏi.

Bài 2

Cho tứ giác lồi ABCD. Trên hai cạnh AB và CD lấy hai điểm E và F sao
cho
AE CF
BEDF
=
. Chứng minh rằng nếu đường chéo AC đi qua trung điểm I của
đoạn EF thì AC chia đôi diện tích tứ giác ABCD.

Bài 3

Hãy tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số
A abcd=
thỏa điều kiện :
i)
2
(2abd b d a=+−)

ii) A

+ 72 là một số chính phương

Bài 4

a) Chứng minh với mọi giá trị thực của
x
ta luôn có :
242
36125109xx x x 5+ ++ − +≥

b) Giải phương trình :
242
36125109342
2
x xxx x+++ − +=−−x


Bài 5

Cho tam giác ABC vuông tại A có đỉnh A,B cố định và C thay đổi trên nửa
đường thẳng At vuông góc với AB tại A. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam

Trường Phổ thông Năng khiếu - ĐHQG TP.HCM diendantoanhoc.net
8