Tài liệu Đề thi tuyển sinh cao học TOÁN - ĐH Quy Nhơn pptx

Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2001
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Giảitích
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1. Chohàmsốxácđịnhtrên R
2
bởi
f(x;y)=
ẵ
y
4
x
2
+y
2
nếu x
2
+ y
2
> 0
0 nếu x
2
+ y
2
=0
Chứngminhrằng
a) f(x; y) cócácđạohàmriêngliêntục.
b) f
00

xy
(0; 0)=f
00
(0; 0).
Câu2. Cho f : R ! R làánhxạliêntục.Đặt ẵ(x; y)=jf(x)Ăf(y)jvớimọi
x; y 2 R.Chứngminhrằng
a) ẵ(x;y) làmộtmêtrictrên R khivàchỉkhi f đơnánh.
b) (R; ẵ) làkhônggianmêtricđầyđủkhivàchỉkhi f(R) làđóngtrong R
vớimêtricthôngthường.Từđósuyrarằngvới ẵ(x;y)=jarctgx Ă arctgyj thì
(R; ẵ) làkhônggianmêtrickhôngđầyđủ.
Câu3. Chứngminhrằngkhônggian C
[a;b]
cáchàmsốliêntụctrên [a; b] là
khảlyvớimêtric d(x; y)=max
t2 [a;b]
jx(t) Ă y(t)j, 8x; y 2 C
[a;b]
.
Câu4. ChoXlàkhônggianđịnhchuẩnnchiều.Chứngminhrằngkhông
gianliênhợp X
Ô
làkhônggianđịnhchuẩnnchiềuđồngphôituyếntínhvớiX.
Câu5. Giảsử E = C
[0;1]
làkhônggianBanachvớichuẩn kxk =sup
t2 [0;1]
jx(t)j,
FlàkhônggianconcủaEgồmcáchàmsốcóđạohàmliêntụctrên [0;1].Xét
ánhxạ A : F ! E chobởi A(f)=f
0

.
1.Chứngminhrằng
a) KerA = A
Ă1
(0) làkhônggianconđóngcủaFvàAcóđồthịđóng.
b)Akhôngliêntục.
2.NếutrênFxácđịnhchuẩn kxk =max
t2 [0;1]
jx(t)j +max
t2 [0;1]
jx
0
(t)j ; 8x 2 F ,hãy
chứngminhrằngAlàtoántửtuyếntínhliêntục.Tính kAk.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.
2
Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2001
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Đạisố
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1.ChoGlàmộtnhómXycliccấpnsinhbởiphầntửavàHlàmộtnhóm
concủaG.
a)ChứngminhrằngHlànhómXyclicvàHcómộtmộtphầntửsinh a
d
với
dlàmột ướcsốdươngnàođócủan.
b)Choqlàmột ướcsốdươngnàođócủan.ChứngminhrằngGcóduynhất

mộtnhómconcấpq.
c)Chomvàklànhữngsốnguyêndương.Xétnhómcộng Z
m
vàquytắc
tưngứng ' từ Z
m
vàoGchobởi '(t)=a
tk
,vớimọi t 2 Z
m
.Chứngminhrằng '
làmộtđồngcấunhómkhivàchỉkhikmchiahếtchon.
d)Xácđịnhcáctựđồngcấu,tựđẳngcấucủanhóm Z
15
.
Câu2. a)ChoRlàmộtvànhgiaohoáncóđơnvịvàIlàmộtIdealcủaR.
ChứngminhrằngJlàIdealnguyêntốkhivàchỉkhiR/Jlàmiềnnguyên.
b)Chứngminhrằngsốnguyêndươngnlàsốnguyêntốkhivàchỉkhi Z
n
là
mộttrường.
c)Chứngminhrằngtrongtrường Z
n
,vớimọi x; y 2 Z
n
,tacó
x + y = x
n
+ y
n

=(x+y)
n
:
Câu3. Kýhiệu V = M(2; R) vàcho A 2 V .
a)Chứngminhrằngánhxạ '
A
: V ! V chobởi X 7! AX Ă XA vớimọi
X 2 V làmộttựđồngcấutuyếntínhcủaV.
b)Chứngminhrằng '
A
khônglàđơncấuvớimọi A 2 V .
Câu4. GiảsửVlàmộtkhônggianvectơEuclidehữuhạnchiềuvà W
1
; W
2
làcáckhônggianvectơconcủaV.Giảsửrằngvớimỗi
Ă!
v 2 W
2
;
Ă!
v 6 =
Ă!
0 ; tồn
tạimộtvectơ
Ă!
x 2 W
1
saochotíchvôhướng h
Ă!

v ;
Ă!
x i 6 =0.Chứngminhrằng
dim W
2
á dim W
1
.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.
3
Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2004
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Giảitích
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1. Chohàmsốhaibiếnsố:
f(x; y)=
ẵ
e
Ă
1
x
2
+y
2
nếu x
2
+ y

2
> 0
0 nếu x
2
+ y
2
=0
Tínhcácđạohàmriêng
@f
@x
;
@f
@y
vàxéttínhkhảvicủahàmsố f tạiđiểm
(x; y) 2 R
2
.
Câu2. Chohàmsố f :[0;1] ! R xácđinhnhư sau:
f(x)=
ẵ
1
(x
2
+1)
2
nếu x 2 Q
e
x
2
nếu x 62 Q

XéttínhkhảtíchRiemannvàkhảtíchLebesguecủahàmsốnàytrên [0;1]
vàtínhtíchphântươngứngnếutồntại.
Câu3. Giảsử (X; ẵ) làmộtkhônggianmêtric.Xét d : X Ê X ! [0;+1),
d(x; y)=
ẵ(x;y)
1+ẵ(x;y)
.Chứngminhrằng (X;ẵ) làkhônggianmêtric.
Câu4. Kíhiệu C
[0;1]
làkhônggianvectơgồmtấtcảcáchàmsốliêntụctrên
[0;1].Với x 2 C
[0;1]
,đặt kxk =max
t2 [0;1]
jx(t)j.
1.Chứngminhrằng (C
[0;1]
; k:k) làmộtkhônggianBanach.
2.Địnhnghĩaánhxạ A : C
[0;1]
! C
[0;1]
, (Ax)(t)=
1
R
0
sin(t + s):x(s)ds; với
x 2 C
[0;1]
, t 2 [0;1].ChứngminhrằngAlàánhxạtuyếntínhliêntụcvàtính

chuẩncủaA.
Câu5. GiảsửXlàkhônggianđịnhchuẩnvàYlàkhônggianconđóngcủa
Xvới ; 6= Y 6= X vàcho 0 < t < 1.Chứngminhrằngvớimỗi y 2 Y ,tồntại
x 2 X với kxk =1saocho kx Ă yk > t.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.
4
Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2004
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Đạisố
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1. Vớimỗisốnguyêndương n á 2,kýhiệu P
n
làkhônggianvectơcác
đathứcthuộc R[x] cóbậc n,trongđó R làtrườngsốthực.
1.Chứngminhrằngvớimỗi a 2 R,hệvectơ f1; (x Ă a); :::; (x Ă a)
n
g làmột
cơsởcủa P
n
2.Choánhxạ â:P
n
!P
nĂ1
xácđịnhbởi â(f(x))=f
0
(x),vớimọi f(x) 2 P
n

,
trongđó f
0
(x) làđathứcđạohàmcủa f(x).
a)Chứngminh â làánhxạtuyếntính.
b)XácđịnhmatrậnAcủa â đốivớicặpcơsở f1; (x Ă a); :::; (x Ă a)
n
g và
f1; x; :::; x
nĂ1
g,với a 2 R chotrước.
c)XácđịnhhạngcủamatrậnA.
Câu2. ChoVlàkhônggianvectơhữuhạnchiềutrêntrườngK, f : V ! V
làmộtphépbiếnđổituyếntính.Chứngminhrằng Imf =Imf
2
khivàchỉkhi
V = Kerf â Imf.
Câu3. Cho G = hai làmộtnhómCycliccấpnsinhbởia.
a)Chứngminhrằngvớiklàmộtsốnguyênbấtkỳ,cấpcủaphầntử a
k
bằng
n
d
,trongđó d =(n; k).
b)Cho n = p
2
,vớiplàmộtsốnguyêntố.Hãyxácđịnhsốphầntửsinhcủa
nhómG.
Câu4. Kýhiệu D =
â

m
n
j m,n2Z;nlàsốlẻ
ê
,trongđó Z làtậphợpcácsố
nguyên.ChứngminhrằngDlàmộtvànhchínhvớicácphéptoáncộngvànhân
cácsốhữutỷ.
Câu5. Choplàmộtsốnguyêntốvà p(x)=x
pĂ1
+x
pĂ2
+ ::: + x +12Q[x],
trongđó Q làtrườngcácsốhữutỷ.
1.Chứngminhrằng p(x) làmộtđathứcbấtkhảquytrên Q.
2.Gọi đ 2 C làmộtnghiệmcủa p(x).Xéttươngứng:
' : Q[x] ! C
f(x) 7! f(đ)
Chứngminhrằng:
a) ' làmộtđồngcấuvành.
b) B = fa
0
+ a
1
đ + ::: + a
pĂ2
đ
pĂ2
ja
0
; a

1
;:::a
pĂ2
2 Qg làmộttrườngvớicác
phéptoáncộngnhâncácsốphức.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.
5
Bộgiáodụcvàđàotạo CộnghoàxãhộichủnghĩaViệtNam
TrườngĐạihọcsưphạmQuyNhơn Độclập-Tựdo-Hạnhphúc
Đềthituyểnsinhcaohọcnăm2005
Ngành:Toánhọc
Mônthi:Giảitích
Thờigianlàmbài:180phút
Câu1. 1.Trêntậphợpsốthực R,tađặt d(x;y)=jarctgx Ă arctgyj ; 8x; y 2 R.
Chứngminhrằng
a)dlàmộtmêtrictrên R.
b) (R;d) làkhônggianmêtrickhôngđầyđủ.
2.Chứngminhrằngmọiánhxạtừkhônggianmêtric N (làtậphợpcácsố
tựnhiênvớimêtricthôngthường)vàokhônggianmêtricYlàliêntụcđều.Điều
nàycònđúngkhôngkhithay N bằngmộtkhônggianmêtricrờirạc.
Câu2. ChoLlàkhônggianvéctơcácánhxạLipschitztừ [0;1] đến R vàđặt
E
1
= C
1
([0;1]; R).
a)Chứngminhrằng k:k : L ! xácđịnhbởi
8f 2 L; kfk = jf(0)j + sup
(x;y)2[0;1]

2
;x6=y
jf(x) Ă f(y)j
jx Ă yj
làmộtchuẩntrênL,vàchuẩnđókhôngtươngđươngvới kfk
1
=sup
t2 [0;1]
jf(t)j.
b)Chứngminhrằng N : E
1
! xácđịnhbởi 8f 2 E
1
; N(f )=jf(0)j +
sup
t2 [o;1]
jf
0
(t)j làmộtchuẩntrên E
1
vàchuẩnnàytrùngvới k:k.
Câu3. Cho E = C([0;1]; R) đượctrangbịchuẩn k:k
1
vàánhxạ T : E ! E
đượcxácđịnhnhư sau:
8f 2 E; 8x 2 [0;1]; (T (f))(x)=
x
R
0
f(t)dt:

ChứngminhrằngTlàánhxạtuyếntínhliêntụcvàtính kTk.
Câu4. Giảsử
f(x; y)=
ẵ
xy
jxj+jyj
nếu x
2
+ y
2
6=0
0 nếu x
2
+ y
2
=0
Chứngminhrằngkhắpnơitronghìnhvuông A =[Ă1;1] Ê [Ă1;1] hàmfcó
cácđạohàmriêng,cácđạohàmriêngnàybịchặntrongAnhưngkhôngkhvi
tại(0;0).
Câu5. Giảsửflàmộthàmđođượctrênđoạn [a; b] vàcómộtsố M > 0 và
0 < đ < 1 saocho jf(x)j >=
M
jxĂx
0
j
đ
với a < x
0
< b.Hãychứngminhfkhảtích
Lebesguetrên [a; b].

Câu6. ChoMlàmộtkhônggianvéctơconcủakhônggianđịnhchuẩnEtrên
trường â vàTlàmộtánhxạtuyếntínhtừMvàoE.Giảsửcómột đ 2 â đểcho
(đI
d
+ T) làmộtsongánhtừEvàoE.và (đI
d
+ T )
Ă1
liêntụctrênE,trongđó
ánhxạ I
d
làánhxạđồngnhất.ChứngminhrằngđồthịcủaTlàmộttậpđóng
trong E Ê E.
1
TypesetbyĐặngXuânCươngCaohọc12GiảitíchĐạihọcVinh.