Công thức quy net và một vài ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH

LÂM HỮU PHƯỚC

CƠNG THỨC QUY NET VÀ
MỘT VÀI ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

NGƯỜI HƯỚNG DẪN:
TS. TRẦN HUYÊN

TP. HỒ CHÍ MINH - 2008


3

cho qua cua

LỜI CẢM ƠN
Tri thức là vốn quý nhất của lồi người. Càng lên cao, vai trị và cơng
sức của những người thầy càng quan trọng.
Luận văn này được hoàn tất là nhờ sự tổng hợp khá nhiều kiến thức
từ các mơn trong suốt các khóa học, mà trong đó, cũng nhờ q thầy
đã tận tình hướng dẫn em nắm bắt được. Nhân đây em xin gửi lời cảm
ơn đến quý thầy đã giảng dạy em trong các khóa học.
Đặc biệt, sự hướng dẫn tận tình của thầy hướng dẫn luận văn đã giúp
đỡ em rất nhiều trong việc hoàn thiện kiến thức, hoàn thành luận văn
và hướng dẫn những bước đi chập chững đầu tiên trên con đường nghiên

cứu khoa học. Em xin được gửi lời cảm ơn thật sâu sắc đến thầy.
Ngoài ra, em cũng xin được gửi lời cảm ơn đến quý thầy phản biện
đã đọc luận văn của em và giúp em hiểu sâu sắc hơn vấn đề.
Xin chân thành cảm ơn.


6

cho qua cua

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài
Như ta đã biết, Đại Số Đồng Điều là một phần của Tôpô Đại Số,
chuyên ngành xuất hiện từ việc đưa các cấu trúc đại số vào để tìm hiểu
sâu sắc hơn về các khơng gian tơpơ. Trong đó, các tri thức về phức kì dị
đóng vai trị khá quan trọng.
Việc tính các đồng điều kì dị có những ứng dụng cụ thể trong Tơpơ
Đại Số, chẳng hạn việc xác định tính đúng sai của sự đồng phôi hoặc
đồng luân giữa các không gian Tơpơ hay làm rõ một kết quả nào đó,. . .
Xuất phát từ tính chất tương đương đồng luân giữa tích tenxơ của
hai phức kì dị của hai khơng gian tơpơ và phức kì dị của khơng gian
tơpơ tích (định lý Eilengberg – Zilber), ta có được sự đẳng cấu đồng
điều của hai phức này. Từ đó, nếu tính được đồng điều của tích tenxơ
của hai phức thơng qua đồng điều của các phức thành phần thì ta có
thể tính đồng điều kì dị của khơng gian tích thơng qua đồng điều kì dị
của các khơng gian thành phần. Điều này được giải quyết bởi định lý
công thức Quy net (Kă
unneth). Cho nờn, vic hiu rừ v cụng thc Quy
net có vai trị hỗ trợ trong việc tìm hiểu sâu hơn về Đại Số Đồng Điều

và Tôpô Đại Số. Đó là lý do chọn đề tài.


7

Mục đích
Tìm hiểu rõ về cơng thức Quy net và cho thấy một vài ứng dụng của
nó.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu trên phạm trù các phức, tích tenxơ các phức, các phức kì
dị và những vấn đề có liên quan.

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Làm rõ một số vấn đề về công thức Quy net, bên cạnh đó, cho thấy
được một vài ứng dụng của nó, đặc biệt trong việc tính đồng điều kì dị.


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1.
1.1.1.

Phức và đồng điều
Các định nghĩa

• Cho R là vành tùy ý, một phức dây chuyền K các R môđun là họ
{Kn , ∂n } gồm các R−môđun Kn và các R−đồng cấu ∂n : Kn →
Kn−1 được cho theo tất cả các số nguyên n, −∞ < n < ∞, hơn
nữa ∂n ◦ ∂n+1 = 0. Điều kiện sau cùng này tương đương với đòi hỏi

Ker ∂n ⊃ Im ∂n+1 . Như vậy, phức K là một dãy vô tận về hai đầu:
K : ···o

Kn−1 o

∂n

Kn o

∂n+1

Kn+1 o

···

trong đó, tích hai đồng cấu liên tiếp bằng 0.
• Chu trình n chiều của phức K là phần tử của mơđun con Cn (K) =
Ker ∂n .
• Phần tử bờ (hay biên) n chiều của phức K là phần tử thuộc mơđun
con ∂n+1 Kn+1 .
• Đồng điều H(K) là họ các môđun Hn (K) = Ker ∂n Im ∂n+1 . Đẳng
thức Hn (K) = 0 có nghĩa là dãy K khớp tại Kn .
8


9

• Nếu K và K là các phức thì một biến đổi dây chuyền f : K → K
là họ các đồng cấu môđun {fn : Kn → Kn , n ∈ Z} sao cho ∂n fn =
fn−1 ∂n với mọi n.

f∗ = Hn (f ) :

Hn (K)

−→

Hn (K )

c + ∂Kn+1 −→ f (c) + ∂Kn+1
được cảm sinh từ f là một đồng cấu.
• Đồng luân dây chuyền s giữa hai biến đổi dây chuyền f, g : K → K
là họ các đồng cấu môđun {sn : Kn → Kn+1 , n ∈ Z}, hơn nữa
∂n+1 sn + sn−1 ∂n = fn − gn
Khi đó, ta viết s : f

g.

• Ta nói rằng biến đổi dây chuyền f : K → K là tương đương dây
chuyền nếu tồn tại một biến đổi dây chuyền h : K → K và các
đồng luân s : hf
1.1.2.

1K , t : f h

1K .

Một số mệnh đề thường dùng

Định lý 1.1. Nếu s : f

g : K → K thì với mọi n ∈ Z,

f∗ = g∗ : Hn (K) −→ Hn (K )
Hệ quả 1.1. Nếu f : K → K là tương đương dây chuyền thì với mỗi
n ∈ Z, ánh xạ Hn (f ) : Hn (K) → Hn (K ) là đẳng cấu.
Mệnh đề 1.1. Cho K, K là các phức trong phạm trù các nhóm aben,
các Kn là các nhóm aben tự do và ∂n = 0 : Kn → Kn−1 . Khi đó, nếu
f, g : K → K là các biến đổi dây chuyền với
Hn (f ) = Hn (g) : Hn (K) → Hn (K ),

∀n ∈ Z


10

thì f

g.

Hệ quả 1.2. Cho K, K là các phức trong phạm trù các nhóm aben,
các Kn là các nhóm aben tự do và ∂n = 0 : Kn → Kn−1 . Khi đó, nếu có
f : K → K là biến đổi dây chuyền sao cho Hn (f ) là đẳng cấu với mọi
n ∈ Z thì hai phức K và K là tương đương đồng luân.
Mệnh đề 1.2. Nếu s : f

g : K → K và s : f

g : K → K là các

đồng luân dây chuyền thì ánh xạ sau đây cũng là đồng luân dây chuyền:

g g : K −→ K .

f s+sg :f f

Định lý 1.2 (dãy đồng điều khớp). Đối với mỗi dãy khớp ngắn các phức
E:0

/

K

χ /

σ /
M

L

/

0

(χ, σ là các biến đổi dây chuyền, và dãy khớp theo nghĩa khớp tại mọi
n), dãy dài các nhóm đồng điều sau là khớp:
· · · Hn+1 (M )

En+1

/H

n (K)

χ∗ /

σ∗ /
H

Hn (L)

n (M )

En /

Hn−1 (K) · · ·

trong đó, En : Hn (M ) → Hn−1 (K) gọi là đồng cấu nối và được xác định
như sau:
En (clsM m) = clsK (χ−1 ∂ L σ −1 m)
1.1.3.

Phép giải

Định nghĩa 1.1. Một phép giải của môđun C là dãy khớp dạng:
...

/

Xn

∂ /

Xn−1

/...

/

X1

∂ /

Xo

ε

/C

/

0


11

tức phức (X, ε) với các nhóm đồng điều Hn (X) = 0 khi n > 0 và
Ho (X) ∼
= C. Phép giải là tự do nếu mọi Xn là tự do, và phép giải là xạ
ảnh nếu mọi Xn là xạ ảnh.
Mệnh đề 1.3 (Định lý so sánh). Nếu γ : C → C là đồng cấu, ε : X → C
là phức xạ ảnh trên C và ε : X → C là phép giải của C , thế thì tồn

tại biến đổi dây chuyền f : X → X , hơn thế ε

◦

fo = γ ◦ ε và bất kỳ hai

biến đổi dây chuyền như thế là đồng luân.

1.2.
1.2.1.

Phức kì dị và đồng điều kì dị
Các định nghĩa

• q−đơn hình chuẩn: Cho q ≥ 0. Một q−đơn hình chuẩn, kí hiệu: ∆q
là tập con của Rq+1 , xác định bởi:
(xo , x1 , . . . , xq ) ∈ ∆q ⇐⇒



 0 ≤ xi ≤ 1
q




xi = 1
i=0

eo , e1 , . . . , eq là cơ sở chính tắc của Rq+1 thì ej ∈ ∆q và gọi là đỉnh

thứ j của ∆q . Ánh xạ εjq được xác định như sau:
εjq : ∆q−1 −→ ∆q

(j = 0, 1, . . . , q − 1)

εjq (xo , . . . , xj−1 , xj , . . . , xq−1 ) = (xo , . . . , xj−1 , 0, xj , . . . , xq−1 )
X là khơng gian tơpơ
• q−đơn hình kì dị là ánh xạ σ : ∆q → X liên tục.
• Sq X là nhón aben tự do, sinh bởi tập tất cả các q−đơn hình kì dị.


12

• Phức kì dị SX, là phức dây chuyền các nhóm aben có hạng tử thứ
n là Sn X và đồng cấu bờ được xác định như sau:
∂n : Sn X −→

Sn−1 X
n

σ

−→

(−1)j σεjn

j=0

• HX = H(SX) được gọi là đồng điều kì dị (tuyệt đối) của khơng
gian tơpơ X.

Nếu A là khơng gian con của X thì H(X, A) = H(S(X, A)) được
gọi là đồng điều tương đối của khơng gian tơpơ X mod A.
• Cho X, Y là hai không gian tôpô. Nếu f : X → Y là ánh xạ liên tục
thì Sf : SX → SY trở thành biến đổi dây chuyền, đôi khi không
sợ nhầm lẫn ta có thể viết f : SX → SY .
• Trường hợp P là một điểm, ánh xạ liên tục γ X : X → P cảm sinh
đồng cấu đồng điều:
γ∗X : HX → HP
Khi đó, ta gọi Ker γ∗X ⊂ HX là nhóm đồng điều dẫn xuất của X
và kí hiệu: HX.
1.2.2.

Một số mệnh đề

Mệnh đề 1.4. Cho X là khơng gian tơpơ, ta có:
Hq (X) = Hq X, q = 0 và Ho (X) = Z ⊕ Ho (X)
Mệnh đề 1.5. X là tập lồi trong Rn , η : SX → (Z, 0) là tương đương
đồng luân, đặc biệt HX = 0.


13

Mệnh đề 1.6. Cho S n là mặt cầu trong không gian Euclide,
S n = {x ∈ Rn+1 , x = 1}
Khi đó, ta có:

 0 nếu k = n
n
Hk (S ) =
 Z nếu k = n

1.3.
1.3.1.

Tích tenxơ giữa các mơđun
Định nghĩa

• Tích tenxơ hai mơđun: Cho XR và R Y là các môđun phải và môđun
trái trên cùng một vành hệ tử R. Tích tenxơ của các mơđun X và
Y là nhóm aben nào đó, kí hiệu X ⊗R Y , sao cho có ánh xạ song
tuyến tính τ : X × Y → X ⊗R Y mà đối với bất kỳ ánh xạ song
tuyến tính ϕ : X × Y → G (với G là nhóm aben), luôn tồn tại duy
nhất đồng cấu f : X ⊗R Y → G thỏa mãn ϕ = f ◦ τ (τ được gọi là
ánh xạ tenxơ).
• Tích tenxơ của hai đồng cấu: Cho f : XR → XR là đồng cấu các
R−môđun phải, g : R Y → R Y là đồng cấu các R−mơđun trái. Ta
định nghĩa tích tenxơ của hai đồng cấu f và g, kí hiệu: f ⊗ g là
đồng cấu nhóm aben từ X ⊗ X vào Y ⊗ Y sao cho ta có:
(f ⊗ g)(x ⊗ y) = f (x) ⊗ g(y),

∀x ∈ X, ∀y ∈ Y

• R−mơđun phải A được gọi là mơđun dẹt phải nếu hàm tử (A ⊗ −)
là hàm tử khớp. Khái niệm dẹt trái đối với các R−môđun trái cũng


14

được xác định một cách tương tự. Các môđun dẹt phải, dẹt trái, để
đơn giản ta gọi chung là các mơđun dẹt.

1.3.2.

Một vài tính chất

Mệnh đề 1.7. Cho Zm (c) là nhóm aben cấp m với phần tử sinh c. Khi
đó, với bất kỳ nhóm aben A ta ln có:
Zm (c) ⊗ A ∼
= A/mA
trong đó, mA = {ma|a ∈ A}.
Định lý 1.3. Cho họ {Xi }i∈I là họ R−môđun phải và {Yj }j∈J là họ các
R−mơđun trái. Khi đó, ta có đẳng cấu:


Xi

Yj  ∼
=

⊗

i∈I

j∈J

(Xi ⊗ Yj ).
(i,j)∈I×J

Định lý 1.4. Cho X, Y, M là các môđun trên vành giao hốn R. Khi
đó, chúng ta có các đẳng cấu:
X ⊗Y ∼

=Y ⊗X

và (X ⊗ Y ) ⊗ M ∼
= X ⊗ (Y ⊗ M )

Định lý 1.5. Tổng trực tiếp một họ môđun A = ⊕ Ai là môđun dẹt khi
i∈I

và chỉ khi mỗi môđun thành phần Ai là môđun dẹt.
Hệ quả 1.3. Mỗi môđun tự do là môđun dẹt.
Hệ quả 1.4. Mỗi môđun xạ ảnh là môđun dẹt.


15

1.4.
1.4.1.

Hàm tử Tor, mối liên hệ giữa Tor và tích tenxơ
Tích xoắn các mơđun

Định nghĩa 1.2. Cho GR là R−mơđun phải và R C là R−môđun trái,
ta xác định TorR
n (G, C) là tập tất cả các bộ ba: t = (µ, L, ν). Trong đó,
L là phức các mơđun phải xạ ảnh hữu hạn sinh độ dài n, µ : L → G, ν :
L∗ → C là các biến đổi dây chuyền (xem G, C là phức tầm thường,
L∗ = HomR (L, R)).
Nếu L là một phức khác, và ρ : L → L là biến đổi dây chuyền thì
ánh xạ liên hợp ρ∗ : L ∗ → L∗ cũng là biến đổi dây chuyền. Đối với các
biến đổi µ : L → G và ν : L∗ → C, ta xem

(µ ρ, L, ν) = (µ , L , νρ∗ )
và quan hệ bằng nhau trong TorR
n là quan hệ tương đương bé nhất bảo
toàn hệ thức trên.
Đơi khi, nếu khơng sợ nhầm lẫn ta có thể viết Torn thay cho TorR
n.
Mệnh đề 1.8.
1. Torn (G, C) là nhóm cộng aben với phép tốn được xác định như sau:
với t1 , t2 ∈ T orn (G, C) thì
t1 + t2 = (∇G )∗ (∇C )∗ (t1 ⊕ t2 ) ∈ T orn (G, C)
trong đó,
∇G : G ⊕ G −→

G

(g1 , g2 ) −→ g1 + g2

∇C : C ⊕ C −→

C

(c1 , c2 ) −→ c1 + c2


16

2. Torn là song hàm tử hai lần hiệp biến từ phạm trù tích các R−mơđun
phải và R−mơđun trái đến phạm trù các nhóm aben.
Mệnh đề 1.9. Bộ ba (µ, L, ν) trong Torn cộng tính theo µ và ν, chẳng
hạn:

(µ1 + µ2 , L, ν) = (µ1 , L, ν) + (µ2 , L, ν)
Định lý 1.6. Tồn tại đẳng cấu tự nhiên G ⊗R C ∼
= Toro (G, C).
Đối với dãy khớp ngắn E = (χ, σ) : A /

/

//

B

C và phần tử t =

(µ, L, ν) ∈ Torn (G, C) với n > 0, có thể xác định tích Et ∈ Torn−1 (G, A).
Giả sử ν : L∗ → C và E là phức trên C với L∗ là xạ ảnh còn E là khớp.
Theo định lý so sánh, tồn tại biến đổi dây chuyền ϕ, thỏa:
...
0

E:
Kí hiệu

n−1
oL

/ L∗
n−1
/



L∗n
/

ϕn−1
/

A



ν
/

C

ϕn
/

B

/0

C

là phức độ dài n − 1, có được khi bỏ mơđun Ln khỏi L và

đặt:
E(µ, L, ν) = (µ, n−1o L, ϕn−1 )
Mệnh đề 1.10. Tích Et xác định như trên là hợp lý.

Định lý 1.7. Với mỗi dãy khớp ngắn E : A /

/

//

B

C các R−môđun

trái và R−mơđun phải G, ta có dãy khớp dài sau:
· · · Torn (G, A)

/

Torn (G, B)

/

Torn (G, C)

E∗ /

Torn−1 (G, A) · · ·

được kết thúc bởi Toro (G, C) = G ⊗ C → 0. Ánh xạ E∗ được xác định
như sau:
E∗ (µ, L, ν) = E(µ, L, ν).

17

Định lý 1.8. Đối với mỗi phép giải ε : X → G của môđun GR và đối
với môđun R A, tồn tại đồng cấu:
ω : Torn (G, A) −→ Hn (X ⊗ A),

n = 0, 1, . . .

tự nhiên theo A. Nếu X là phép giải xạ ảnh, thì ω là đẳng cấu tự nhiên
theo G và A.
Ta cũng có một kết quả tương tự như sau:
Định lý 1.9. Giả sử η : Y → A là phép giải xạ ảnh của mơđun R A. Khi
đó, với mơđun GR , ta có đẳng cấu:
Torn (G, A) ∼
= Hn (G ⊗ Y )
1.4.2.

Tích xoắn các nhóm aben

Các nhóm aben được xem là Z−mơđun, do đó, nó cũng có định nghĩa
về hàm tử T or tương tự như môđun. Tuy nhiên, ở đây, phức L có thể
chọn là phức (Z) (các hạng tử đều là Z). Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 1.1. Cho G là nhóm aben và f : A → B là đơn cấu nhóm aben.
Khi đó,
f∗ : Tor1 (G, A) −→ Tor1 (G, B)
cũng là đơn cấu.
Chứng minh. Ta có: ν : Z∗ = Z → A được xác định bởi ν(1) = a ∈ A.
Khi đó, cùng với lý do f đơn cấu nên f ◦ ν(1) = 0 khi và chỉ khi ν(1) = 0
hay ν = 0. Do vậy
Ker f∗ = {(µ, (Z), ν) ∈ Tor1 (G, A)|(µ, L, f ◦ ν) = 0} = 0

18

Như vậy, khi kết hợp với định lý 1.7 ở trên, ta được:
Định lý 1.10. Nếu E = (χ, σ) : A /

/B

//

C là dãy khớp các nhóm

aben thì với mỗi nhóm aben G, ta có dãy khớp:
0

/ Tor (G, A) χ∗ /
1

0o

G⊗Co

1⊗σ

Tor1 (G, B)
G⊗Bo

σ∗ /

Tor1 (G, C)


1⊗χ

E∗

G⊗A

Đối với các nhóm aben, hầu hết chỉ làm việc với Tor1 nên người ta kí
hiệu Tor thay cho Tor1 . Đặc biệt, đối với các nhóm aben G, A thì nhóm
aben Tor(G, A) cịn có một cách biểu diễn khác. Đó là nhóm aben có
các phần tử sinh là tất cả các bộ ba g, m, a , trong đó, m ∈ Z, gm = 0
trong G và ma = 0 trong A, thỏa các hệ thức cộng tính và trượt với các
nhân tử m, n sau:
g1 + g2 , m, a

=

g1 , m, a + g2 , m, a , gi m = 0 = ma (i = 1, 2)

g, m, a1 + a2

=

g, m, a1 + g, m, a2 , gm = 0 = mai (i = 1, 2)

g, mn, a

=

gm, n, a ,

gmn = 0 = na

g, mn, a

=

g, m, na ,

gm = 0 = mna


Chương 2
TÍCH TENXƠ GIỮA CÁC PHỨC
VÀ ĐỊNH LÝ EILENBERG –
ZILBER
2.1.
2.1.1.

Tích tenxơ giữa các phức
Định nghĩa

Cho phức K các R−môđun phải
K : ...o

Kn−1 o ∂

K

Kn o

∂K

Kn+1 o

L

Ln o

∂L

Ln+1 o

...

và phức L các R−môđun trái
L : ...o

Ln−1 o ∂

...

Ta đi xây dựng tích tenxơ K ⊗ L
Trước hết, mỗi hạng tử trong phức K ⊗ L là một nhóm aben được xác
định như sau:
+∞

(K ⊗ L)n =

Kp ⊗ Ln−p
p=−∞

19

(2.1)


20

Và nếu x ∈ (K ⊗ L)n thì x sẽ có dạng (xp )p∈(−∞,+∞) , trong đó: xp =
k ⊗ l ∈ Kp ⊗ Ln−p . Từ đây, để tiện trong tính tốn, ta viết phần tử
(. . . , 0,

k ⊗l, 0, . . .) (tất cả các thành phần bằng 0 trừ một thành phần
k ⊗ l) ở dạng

thứ p nào đó có giá trị

k ⊗ l.

Tiếp theo, ta xây dựng đồng cấu bờ cho phức K ⊗ L: với mỗi p, tương
ứng
fnp : Kp ⊗ Ln−p −→ (K ⊗ L)n−1
biến mỗi phần tử sinh k ⊗ l thành ∂ K k ⊗ l + (−1)p k ⊗ ∂ L l. Khi đó, với
k1 , k2 ∈ K, l ∈ L, ta có:
fnp [(k1 + k2 ) ⊗ l] = ∂ K (k1 + k2 ) ⊗ l + (−1)p (k1 + k2 ) ⊗ ∂ L l
= (∂ K k1 + ∂ K k2 ) ⊗ l + [(−1)p k1 + (−1)p k2 ] ⊗ ∂ L l
= ∂ K k1 ⊗ l + ∂ K k2 ⊗ l+

(−1)p k1 ⊗ ∂ L l + (−1)p k2 ⊗ ∂ L l
= (∂ K k1 ⊗ l + (−1)p k1 ⊗ ∂ L l)+
(∂ K k2 ⊗ l + (−1)p k2 ⊗ ∂ L l)
= fnp (k1 ⊗ l) + fnp (k2 ⊗ l)
tương tự, với k ∈ K, l1 , l2 ∈ L ta cũng có:
fnp [k ⊗ (l1 + l2 )] = fnp (k ⊗ l1 ) + fnp (k ⊗ l2 )
Và với k ∈ K, l ∈ L, r ∈ R thì:
fnp (kr ⊗ l) = ∂ K (kr) ⊗ l + (−1)p kr ⊗ ∂ L l
= (∂ K k)r ⊗ l + (−1)p k ⊗ r∂ L l
= ∂ K k ⊗ rl + (−1)p k ⊗ ∂ L (rl)
= fnp (k ⊗ rl)


21

Vậy, fnp là đồng cấu tenxơ.
Do tính phổ dụng của tổng trực tiếp, ta có đồng cấu
∂n : (K ⊗ L)n −→ (K ⊗ L)n−1
sao cho biểu đồ sau giao hoán:
(K ⊗O L)Pn
ip

Kp ⊗

PPP
PP∂Pn
PPP
PP(
/
Ln−p f (K

np

⊗ L)n−1

với ip là đồng cấu nhúng. Và từ đó, ∂n được xác định qua phần tử sinh
như sau:
∂n (k ⊗ l) = ∂ K k ⊗ l + (−1)deg k k ⊗ ∂ L l

(2.2)

với deg k = p nếu k ∈ Kp . Với cách xác định trên thì họ {∂n }n thỏa mãn
là đồng cấu bờ của K ⊗ L.
Thật vậy, với k ⊗ l ∈ (K ⊗ L)n , ta có:
L
l
∂n−1 ∂n (k ⊗ l) = ∂n−1 ∂pK k ⊗ l + (−1)deg k k ⊗ ∂n−p
K

K
L
l+
= ∂p−1
∂pK k ⊗ l + (−1)deg(∂p k) ∂pK k ⊗ ∂n−p
L
L
L
l + (−1)deg k k ⊗ ∂n−p−1
∂n−p
l
(−1)deg k ∂pK k ⊗ ∂n−p

K

L
L
= (−1)deg ∂p k ∂pK k ⊗ ∂n−p
l − ∂pK k ⊗ ∂n−p
l =0

Như vậy, ta có định nghĩa về tích tenxơ của 2 phức như sau:
Định nghĩa 2.1. Cho phức K các R−môđun phải và phức L các
R−môđun trái. Ta định nghĩa tích tenxơ K ⊗ L là một phức các nhóm
aben
(K ⊗ L) : . . . o

(K ⊗ L)n−1 o

∂

(K ⊗ L)n o

∂

(K ⊗ L)n+1 o

...


22

với (K ⊗ L)n được xác định theo (2.1) và đồng cấu bờ được xác định

theo (2.2).
Nếu K và L là các phức dương thì K ⊗ L cũng vậy và tổng trực tiếp
ở (2.1) là hữu hạn với p đi từ 0 tới n.
2.1.2.

Một số mệnh đề

Mệnh đề 2.1. Nếu f : KR −→ KR và g : R L −→ R L là các biến đổi
dây chuyền, thì (f ⊗g)(k ⊗l) = f k ⊗gl xác định một biến đổi dây chuyền
f ⊗ g : K ⊗ L −→ K ⊗ L . Hơn nữa, ta có các tính chất sau:
(i) Nếu 1K : KR −→ KR và 1L : R L −→ R L lần lượt là các biến đổi dây
chuyền đồng nhất của các phức K và L thì 1K ⊗ 1L = 1K⊗L .
(ii) Nếu KR

f
/

KR

f
/

KR và

RL

g /

RL

g
/

RL

là các biến đổi

dây chuyền, thì
(f .f ) ⊗ (g .g) = (f ⊗ g ).(f ⊗ g)
(iii) Nếu f1 , f2 : KR −→ KR và g :

RL

−→

RL

là các biến đổi dây

chuyền, thì ta có
(f1 + f2 ) ⊗ g = f1 ⊗ g + f2 ⊗ g
Tương tự, với f : KR −→ KR và g1 , g2 : R L −→ R L là các biến đổi
dây chuyền thì ta cũng có
f ⊗ (g1 + g2 ) = f ⊗ g1 + f ⊗ g2


23

Nhận xét. Trong mệnh đề trên, đồng cấu thứ n trong biến đổi dây chuyền
f ⊗ g : (f ⊗ g)n thực chất là tổng trực tiếp các đồng cấu fp ⊗ gn−p với

p ∈ (−∞, +∞).
Chứng minh. Ta xét biểu đồ:
K ⊗ L : ···o

(K ⊗ L)n−1 o
(f ⊗g)n−1

K ⊗L :

···o

∂

(K ⊗ L)n o
(f ⊗g)n



(K ⊗ L )n−1 o

∂



(K ⊗ L )n o

∂

(K ⊗ L)n+1 o
(f ⊗g)n+1

∂



(K ⊗ L )n+1 o

Với k ⊗ l ∈ (K ⊗ L)n , ta có:
(f ⊗ g)∂(k ⊗ l) = (f ⊗ g)(∂ K k ⊗ l + (−1)deg k k ⊗ ∂ L l)
= f ∂ K k ⊗ gl + (−1)deg k f k ⊗ g∂ L l
= ∂ K f k ⊗ gl + (−1)deg f k f k ⊗ ∂ L gl
= ∂ (f k ⊗ gl)
= ∂ (f ⊗ g)(k ⊗ l)
Do đó, f ⊗ g là biến đổi dây chuyền từ K ⊗ L vào K ⊗ L .
Tiếp theo ta chứng minh các tính chất
Với k ⊗ l ∈ (K ⊗ L)n bất kỳ, ta có:
(i) (1K ⊗ 1L )(k ⊗ l) = k ⊗ l = 1K⊗L (k ⊗ l).
(ii) (f f ⊗ g g)(k ⊗ l) = f f k ⊗ g gl
= (f ⊗ g )(f k ⊗ gl)
= (f ⊗ g )(f ⊗ g)(k ⊗ l)
(iii) [(f1 + f2 ) ⊗ g] (k ⊗ l) = (f1 + f2 )k ⊗ gl
= (f1 k + f2 k) ⊗ gl
= f1 k ⊗ gl + f2 k ⊗ gl
= [(f1 ⊗ g) + (f2 ⊗ g)] (k ⊗ l)

...
...


24

Tương tự, f ⊗ (g1 + g2 ) = f ⊗ g1 + f ⊗ g2 .

Từ mệnh đề 3.2, đặc biệt là hai tính chất (i) và (ii), ta dễ thấy
(K ⊗ _) và (_ ⊗ L) là những hàm tử hiệp biến. Hơn nữa, (K ⊗ _)(L) ≡
K ⊗ L ≡ (_ ⊗ L)(K). Từ tính chất (ii) của mệnh đề 3.2, nếu ta có
f : K → K , g : L → L thì
(f ⊗ 1L )(1K ⊗ g) = (f ⊗ g) = (1K ⊗ g)(f ⊗ 1L ).
Từ đó, suy ra tích tenxơ giữa hai phức xác định một song hàm tử hai
lần hiệp biến từ tích 2 phạm trù phức các mơđun vào phạm trù phức
các nhóm aben.
f2 : K → K và t : g1

Mệnh đề 2.2. Nếu s : f1
f1 ⊗ g1

g2 : L → L thì

f2 ⊗ g2 .

Chứng minh. Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề 2.1. Cho s : f1

f2 : K → K , t : g1

g2 : L → L . Khi đó,

f1 ⊗ 1L

f2 ⊗ 1L : K ⊗ L → K ⊗ L

1K ⊗ g1

1K ⊗ g2 : K ⊗ L → K ⊗ L

Chứng minh bổ đề. Ta có
[(f1 ⊗ 1L ) − (f2 ⊗ 1L )] (k ⊗ l) = (f1 ⊗ 1L )(k ⊗ l) − (f2 ⊗ 1L )(k ⊗ l)
= f1 k ⊗ l − f2 k ⊗ l
= [(f1 − f2 )k] ⊗ l
=

(∂ K s + s∂ K )k ⊗ l

= ∂ K sk ⊗ l + s∂ K k ⊗ l


25

Nếu ta đặt ∂ = ∂ K⊗L , ∂ = ∂ K ⊗L thì ta có:
∂(k ⊗ l) = ∂ K k ⊗ l + (−1)deg k k ⊗ ∂ L l
∂ (sk ⊗ l) = ∂ K sk ⊗ l + (−1)deg sk sk ⊗ ∂ L l
Từ đó, ta biến đổi tiếp như sau:
[(f1 ⊗ 1L ) − (f2 ⊗ 1L )] (k ⊗ l) = ∂ K sk ⊗ l + (−1)deg sk sk ⊗ ∂ L l+
s∂ K k ⊗ l − (−1)deg sk sk ⊗ ∂ L l
= ∂ (sk ⊗ l)+
s∂ K k ⊗ l + (−1)deg k sk ⊗ ∂ L l
= ∂ (s ⊗ 1L )(k ⊗ l)+
(s ⊗ 1L )∂(k ⊗ l)
Vì thế, f1 ⊗ 1L
1K ⊗ g1

f2 ⊗ 1L với đồng luân dây chuyền s ⊗ 1L . Tương tự,

1K ⊗ g2 với đồng luân 1K ⊗ t.

Bây giờ ta chứng minh mệnh đề.
Theo bổ đề, ta có
s ⊗ 1L : f1 ⊗ 1L
1K ⊗ t : 1K ⊗ g1

f2 ⊗ 1L : K ⊗ L → K ⊗ L
1K ⊗ g2 : K ⊗ L → K ⊗ L

Mặt khác,
f1 ⊗ g1 = (1K ⊗ g1 )(f1 ⊗ 1L )
f2 ⊗ g2 = (1K ⊗ g2 )(f2 ⊗ 1L )
Do đó, theo mệnh đề 1.2, ta có f1 ⊗ g1

f2 ⊗ g2 .

Hệ quả 2.1. Nếu f : K → K và g : L → L là các tương đương dây
chuyền thì f ⊗ g : K ⊗ L → K ⊗ L cũng là tương đương dây chuyền.


26

2.1.3.

Áp dụng tích tenxơ giữa các phức để tính các tích xoắn

Định nghĩa 2.2. Cho 2 phức dương
XR : Xo o

X1 o

···o

Xn o

···

: Yo o

Y1 o

···o

Yn o

···

RY

k
là một phức con của X ⊗ Y sinh
với một số k ∈ N, ta định nghĩa: FX⊗Y

bởi tất cả các Xi ⊗ Yj với j ≤ k.
k

Xo ⊗ Yo o

(Xo ⊗ Y1 ) ⊕ (X1 ⊗ Yo ) o

Xn−j ⊗ Yj o

···o

···

j=0

Từ đó, ta dễ thấy
−1
o
1
⊂ FX⊗Y
⊂ FX⊗Y
⊂ ... ⊂ X ⊗ Y
0 = FX⊗Y

Mệnh đề 2.3. Cho hai phức dương XR và
k
FX⊗Y

RY

. Khi đó phức thương

k−1 đẳng cấu với phức

FX⊗Y
∂ X ⊗1

Xo ⊗ Yk o

∂ X ⊗1

X1 ⊗ Yk o

X2 ⊗ Yk o

···

k
Chứng minh. Xét phức FX⊗Y F k−1 , ta có hạng tử ở chiều thứ n là
X⊗Y
k

Xn−j ⊗ Yj
j=0

cấu bờ ∂ trong

k−1

∗
Xn−j ⊗ Yj và đồng cấu bờ là ∂ cảm sinh từ đồng

j=0
k

FX⊗Y
.

Ta dễ dàng thấy rằng:

• Phức đang xét có các hạng tử ở chiều m < k đều bằng 0.
k

k−1

• x⊗y = x⊗y+

Xn−j ⊗ Yj

Xn−j ⊗ Yj ∈
j=0

j=0

khác không khi và chỉ khi x ∈ Xn−k , y ∈ Yk .

k−1

Xn−j ⊗ Yj
j=0

(∗)


27

Với mỗi chiều thứ n, ta có tương ứng
k

Xn−j ⊗ Yj −→ Xn−k ⊗ Yk

pn :
j=0

là đồng cấu chiếu và từ (∗), ta suy ra
k

Xn−j ⊗ Yj

pn :
j=0

k−1

Xn−j ⊗ Yj −→ Xn−k ⊗ Yk
j=0

là đẳng cấu.
Đồng thời, họ p = {pn }n là biến đổi dây chuyền.
k

Xn−j ⊗ Yj

Thật vậy, với 0 = x ⊗ y ∈
j=0

k−1

Xn−j ⊗ Yj thì
j=0

(∂ X ⊗ 1)n pn (x ⊗ y) = ∂ X x ⊗ y
và
pn−1 ∂n (x ⊗ y) = pn−1 ∂ X x ⊗ y ± x ⊗ ∂ Y y
= pn−1 ∂ X x ⊗ y

(do (∗))

= ∂X x ⊗ y
Vậy, ta có đẳng cấu cần chứng minh.
Định lý 2.1. Nếu ε : X → G và η : Y → A là các phép giải xạ ảnh của
các R−môđun GR và R A. Khi đó, ε ⊗ 1 : X ⊗ Y → G ⊗ Y cảm sinh một
đẳng cấu đồng điều Hn (X ⊗R Y ) ∼
= Hn (G ⊗R Y ) và do đó ta có đẳng
cấu:
Hn (X ⊗R Y ) ∼
= TorR
n (G, A),

n = 0, 1, . . .

k
k
. Khi đó, dễ thấy ε ⊗ 1 ánh
, M k = FG⊗Y

Chứng minh. Đặt F k = FX⊗Y

xạ F k vào M k . Đặt (ε ⊗ 1)k : F k → M k là hạn chế của ε ⊗ 1 lên F k vào


28
k
M k . Theo mệnh đề (2.3) thì: F /F k−1 đẳng cấu với phức
∂ X ⊗1

K k : Xo ⊗ Yk o

X1 ⊗ Yk o

···

k
và M /M k−1 đẳng cấu với phức chỉ có G ⊗ Yk ở chiều thứ k, các hạng

tử trong những chiều còn lại đều bằng 0.
Ta có dãy
0o

Xo o

Go

···

là khớp. Vì Yk xạ ảnh nên dãy

0o

Xo ⊗ Yk o

G ⊗ Yk o

···

cũng là dãy khớp. Ta suy ra phức K k có Hn (K k ) = 0, n > k và Hk (K k ) ∼
=
G ⊗ Yk , nói khác đi, ta có:
k
k
(ε ⊗ 1)k : F /F k−1 −→ M /M k−1

cảm sinh ra đẳng cấu đồng điều với mọi k.
Mặt khác, bộ ba (ε ⊗ 1)k−1 , (ε ⊗ 1)k , (ε ⊗ 1)k biến dãy khớp
/

F k−1

Fk

//

F k/ k−1
F

Mk

//

M k/ k−1
M

/

thành dãy khớp
M k−1

/

/

Từ đó, ta có biểu đồ giao hốn với dịng là khớp sau:
Hn+1 F k /F k−1 →Hn F k−1 →Hn F k →Hn F k /F k−1 →Hn−1 F k−1
↓

↓

↓

↓

↓

Hn+1 M k /M k−1 →Hn M k−1 →Hn M k →Hn M k /M k−1 →Hn−1 M k−1