Vật xạ ảnh và vật nội xạ của phạm trù các môđun không ổn định trên đại số steenrod

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Nhật Loan

VẬT XẠ ẢNH VÀ VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ
CÁC MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH TRÊN
ĐẠI SỐ STEENROD

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Nhật Loan

VẬT XẠ ẢNH VÀ VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ
CÁC MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH TRÊN
ĐẠI SỐ STEENROD
Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số
Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. PHAN HỒNG CHƠN

Thành phố Hồ Chí Minh - 2017

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu và kết quả
nêu trong luận văn này là trung thực và chưa từng được cơng bố trong một cơng trình
nào khác.

Tơi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn đã được cám ơn
và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc rõ ràng và được phép
công bố.

Học viên thực hiện

Nguyễn Nhật Loan


LỜI CẢM ƠN
Trong suốt quá trình thực hiện luận văn, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, động
viên từ q thầy cơ, gia đình và bạn bè. Vì vậy, trước tiên tôi xin chân thành cảm ơn TS.
Phan Hồng Chơn đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn và giúp đỡ tơi hồn thành luận văn.
Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS. Phan Hoàng Chơn đã dành nhiều thời gian
quý báu để đọc và đóng góp ý kiến cho luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Tốn - Tin học, Phịng Sau Đại học,
Thư viện trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tôi thực hiện tốt luận văn.
Tôi xin cảm ơn quý thầy cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý giúp cho
luận văn được hồn chỉnh hơn.
Xin chân thành cảm ơn q thầy cơ Khoa Tốn - Tin học trường Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh đã truyền đạt cho tơi những kiến thức quý báu trong suốt những
năm học vừa qua, tạo cho tôi một nền tảng vững chắc để thực hiện luận văn.

Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè và tập thể lớp Đại số và lí
thuyết số K25 đã hết lòng ủng hộ và động viên, giúp đỡ tơi trong q trình học tập cũng
như q trình thực hiện luận văn này.
Tuy nhiên, do thời gian có hạn nên luận văn cịn nhiều hạn chế và khơng tránh khỏi
những sai sót. Vì vậy, tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cơ và các
bạn để luận văn được hồn thiện hơn.
Chân thành cảm ơn.
Học viên thực hiện

Nguyễn Nhật Loan


MỤC LỤC
Lời cam đoan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Các ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Trang

MỞ ĐẦU

1

1 ĐẠI SỐ STEENROD VÀ A MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH

2

2

1.1

Đại số Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Đại số phân bậc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4

Đối ngẫu của đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.5

Môđun không ổn định trên đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.6

Đại số không ổn định trên đại số Steenrod . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

VẬT XẠ ẢNH CỦA PHẠM TRÙ U

9

2.1

Điều kiện không ổn định và quan hệ Adem . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2

Cấu trúc của môđun F (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3

Tính noether địa phương của phạm trù U . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ U

9

18

3.1

Tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2

Vật biểu diễn của hàm tử biểu diễn được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3

Đại số song bậc Miller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


TÀI LIỆU THAM KHẢO

29


CÁC KÝ HIỆU
A

Đại số Steenrod modulo 2

A∗

Đối ngẫu của đại số Steenrod modulo 2

H ∗X

Đối đồng điều modulo 2 của không gian X

K

Phạm trù các A-đại số không ổn định

U

Phạm trù các A-mơđun khơng ổn định

V, W, ...

Kí hiệu các F2 không gian véctơ hữu hạn chiều
Kết thúc chứng minh


1

MỞ ĐẦU
Đối đồng điều (kì dị) của một khơng gian tơpơ X, ngồi cấu trúc vành thơng thường,
là một mơđun khơng ổn định trên đại số Steenrod A. Do đó, việc nghiên cứu phạm trù
các môđun không ổn định trên đại số Steenrod đóng vai trị quan trọng trong nghiên cứu
đối đồng điều của các không gian tôpô, cũng như trong lý thuyết đồng luân.
Xây dựng một cách tường minh các vật xạ ảnh và vật nội xạ của phạm trù các môđun
không ổn định trên đại số Steenrod U liên quan trực tiếp đến việc nghiên cứu cấu trúc
của phạm trù U. Bên cạnh đó, việc xây dựng các vật xạ ảnh, vật nội xạ còn liên quan
trực tiếp đến các bài toán xác định giải xạ ảnh, giải nội xạ cho các mơđun khơng ổn định;
và bài tốn xác định nhóm mở rộng của các mơđun khơng ổn định.
Hiểu được cấu trúc của các vật xạ ảnh, vật nội xạ giúp học viên hiểu được cấu trúc
của phạm trù U, và mối liên hệ giữa phạm trù U với các phạm trù khác như phạm trù các
hàm tử đa thức chặt. Hơn nữa, cấu trúc của các vật xạ ảnh, vật nội xạ còn là nền tảng cơ
bản giúp học viên tiếp cận được các bài toán quan trọng trong nghiên cứu đối đồng điều

của không gian tôpô, cũng như bài toán phân loại kiểu đồng luân của các không gian này.
Nội dung luận văn gồm ba chương.
Trong Chương 1, tơi trình bày các kiến thức cơ bản về Đại số Steenrod, đối ngẫu của
đại số Steenrod, môđun không ổn định trên đại số Steenrod, đại số không ổn định nhằm
phục vụ cho các chương tiếp theo.
Trong Chương 2, tơi trình bày về vật xạ ảnh của phạm trù U. Cụ thể, tôi đưa ra định
nghĩa và các ví dụ; điều kiện khơng ổn định và quan hệ Adem, cấu trúc của mơđun F (n),
tính Noether địa phương của phạm trù U.
Trong Chương 3, tơi trình bày về vật nội xạ của phạm trù U. Trong đó, tơi trình bày
cấu trúc của mơđun Brown-Gitler, đại số song bậc Miller.


2

Chương 1
ĐẠI SỐ STEENROD VÀ A
MÔĐUN KHÔNG ỔN ĐỊNH
1.1

Đại số Hopf

Cho A và B là các k-không gian véctơ.
Để thuận lợi, chúng ta ký hiệu k là một trường cho trước. Tích tenxơ sẽ được thực
hiện trên k; tích tenxơ của A và B được kí hiệu đơn giản là A ⊗ B.
Một đại số trên k là một k-không gian véctơ A cùng với hai ánh xạ tuyến tính
µ : A ⊗ A → A và u : k → A,
(tương ứng được gọi là phép nhân và đơn vị) thỏa mãn các điều kiện sau đây:
1. Tính kết hợp. Phép nhân µ có tính kết hợp nếu biểu đồ
A⊗A⊗A

µ ⊗ id
✲

A⊗A

id ⊗ µ

µ
❄

A⊗A

µ

❄
✲

giao hốn.
2. Đơn vị. Đồng cấu u là đơn vị nếu biểu đồ sau

A


3

k⊗A

u ⊗ id
✲

A⊗A
✻

s

µ

id ⊗ u

s

❄✛
A✛

A⊗k

(trong đó s là phép nhân vơ hướng) giao hốn.
Đại số A được gọi là giao hốn nếu phép nhân có tính giao hốn, nghĩa là biểu đồ
A⊗A

T
✲

µ

A⊗A
µ
✲ ❄

A

giao hốn. Trong đó T : A ⊗ B → B ⊗ A là đồng cấu ánh xạ a ⊗ b thành b ⊗ a.

1.2

Đại số phân bậc

Một k-không gian véctơ phân bậc A là một họ các k-khơng gian véctơ An , trong đó chỉ
số n là những số nguyên. Nếu A, B là các k-không gian véctơ phân bậc; f : A → B là
một họ các đồng cấu fn , sao cho fn : An → Bn là một đồng cấu k-không gian véctơ.

Một phần tử x của A được gọi là thuần nhất nếu x nằm trong An với n nào đó, khi
đó n được gọi là bậc của x. Bất kì phần tử y thuộc A đều có thể viết duy nhất như một
dạng tổng hữu hạn

n

yn , yn → A. Các thành phần yn khác 0 được gọi là các thành phần

thuần nhất của y.

Một đại số phân bậc A trên k là một k-không gian véctơ phân bậc cùng với các ánh
xạ tuyến tính µ và u thỏa mãn các tính chất như trong Mục 1.1. Nói cách khác, đại số
phân bậc là một không gian véctơ phân bậc cùng với một cấu trúc đại số trên nó.
Đại số phân bậc A được gọi là giao hoán phân bậc nếu phép nhân µ thỏa mãn biểu đồ
giao hốn sau


4

A⊗A

T
✲

µ

A⊗A
µ
✲ ❄

A
trong đó T : A ⊗ B → B ⊗ A là đồng cấu cho bởi T (a ⊗ b) = (−1)pq b ⊗ a với p là bậc
của a và q là bậc của b.

1.3

Đại số Steenrod

Định nghĩa 1.3.1. Đại số Steenrod modulo 2, A, là đại số thương của F2 -đại số kết hợp,
tự do, phân bậc, có đơn vị được sinh bởi các phần tử Sq i có bậc là i, i ≥ 0, trên iđêan
(hai phía) sinh bởi các phần tử, cịn được gọi là các quan hệ Adem,
[i/2]
i

j

Sq Sq −
0

j−k−1

Sq i+j−k Sq k
i − 2k

với mọi i, j > 0 sao cho i < 2j, trong đó hệ số nhị thức lấy theo modulo 2 và Sq 0 = 1 là
phần tử đơn vị.
Các phần tử Sq i cịn được gọi là các tốn tử Steenrod, chúng là các toán tử đối đồng
điều tác động một cách tự nhiên và ổn định lên đối đồng điều (modulo 2) của các khơng
gian tơpơ. Các tốn tử này được xây dựng bởi Steenrod [8]; sau đó Cartan và Serre, dựa
trên các tính tốn trên đối đồng điều của không gian Eilenberg-MacLane, đã chứng tỏ
rằng đại số sinh bởi các toán tử Steenrod, A, là đại số của tất cả các toán tử đối đồng
điều tự nhiên, ổn định modulo 2.
Cấu trúc của đại số Steenrod được nhiều tác giả nghiên cứu. Trước tiên, ta xét cấu
trúc nhân tính của chúng.
Bổ đề 1.3.2. Tốn tử Sq m thuộc iđêan phải của A sinh bởi các Sq 2 với t ≥ 0 và 2t chia
t

hết m.
Chứng minh. Với mọi m, luôn tồn tại duy nhất các số l và k sao cho m = 2l + 2l · 2k
Khi đó, áp dụng quan hệ Adem, ta nhận được


5

2k−1
2l

Sq Sq

2l ·2k

2l+1 k − i − 1
Sq m−i Sq i .
2l − 2i

=
i=0

Dễ dàng kiểm tra rằng

2l+1 k−1
2l

≡ 1 (mod 2). Do đó,
2k−1

2l

Sq Sq

2l .2k

m

= Sq +
i=1

2l+1 k − i − 1
Sq m−i Sq i .
2l − 2i

Với 1 ≤ i ≤ 2l−1 thì số nguyên m − i khơng chia hết cho 2l . Do đó, chúng ta áp dụng
giả thiết quy nạp ta nhận được các toán tử Sq m−i thuộc iđêan phải sinh bởi các toán tử
Sq i với i ≤ l − 1.
Như vậy Bổ đề đã được chứng minh.
Sử dụng Bổ đề 1.3.2 ta nhận được định lý sau đây.
h

Định lý 1.3.3. Tập hợp các toán tử Sq 2 , h ≥ 0, lập thành một hệ các phần tử sinh nhân
tính của A.
Hệ các phần tử sinh mà chúng ta vừa miêu tả là một hệ sinh tối tiểu.
Tiếp theo, ta sẽ tìm hiểu cấu trúc cộng tính của Đại số Steenrod. Để làm được điều
đó, ta cần một số kí hiệu sau đây.
Với một dãy các số nguyên không âm I = (i1 , . . . , in ), phần tử Sq I = Sq i1 · · · Sq in
được gọi là một đơn thức. Dãy I được gọi là chấp nhận được nếu ih ≥ 2ih+1 với mọi
1 ≤ h ≤ n − 1.
Những phần tử Sq I với I chấp nhận được được gọi là những đơn thức chấp nhận được.
Mệnh đề 1.3.4 (Adem [1]). Các đơn thức chấp nhận được Sq I lập thành cơ sở của A.
Chứng minh. Với dãy các số nguyên không âm I = (i1 , . . . , in ), ta định nghĩa mômen của
I là i1 + 2i2 + · · · + nin . Nếu I không chấp nhận được thì tồn tại h, 1 ≤ h ≤ n − 1 sao
cho in < ih+1 . Khi đó, áp dụng quan hệ Adem ta có
[in /2]

Sq I Sq ih +ih+1 −t Sq t Sq I” ,

I

sq =
0

trong đó 0 ≤ t ≤ [in /2], I = (i1 , . . . , ih−1 ) và I” = (ih+2 , . . . , in ).

6

Nhận thấy rằng mômen của bất các dãy xuất hiện ở vế phải (I , ih + ih+1 − t, t, I”)
đều nhỏ hơn mơmen của I. Do đó, bằng phép quy nạp trên mômen, ta nhận được tập
các đơn thức chấp nhận được là hệ sinh của A.
Để chứng minh tập các đơn thức chấp nhận được là độc lập tuyến tính, ta cần các kết
quả sau.
Gọi Pn = F2 [x1 , . . . , xn ] là đại số đa thức trên F2 sinh bởi các phần tử xi bậc 1. Với
tác động của A định nghĩa bởi Sq a xki =

k
a

xik+a và

Sq a (f g) =

Sq i (f )Sq j (g),
i+j=a

đại số Pn trở thành một A-môđun.
Gọi ei (x1 , . . . , xn ) là đa thức đối xứng cơ bản thứ i đối với các biến x1 , . . . , xn . Đặt
en = en (x1 , . . . , xn ). Khi đó, ta dễ dàng kiểm tra được, với i ≤ n, Sq i en = en ei (x1 , . . . , xn ).
Với đơn thức chấp nhận được Sq I = Sq i1 · · · Sq is có bậc khơng q 2n, thì s ≤ n và
các ij khơng vượt q n. Do đó,
s
I

eij (x1 , . . . , xn ) + · · ·

Sq (en ) = en
j=1

trong đó, các hạng tử còn lại trong tổng là nhỏ hơn hạng tử đầu theo thứ tự từ điển trái.
s

eij (x1 , . . . , xn ) là hạng tử lớn nhất của Sq I (en ), theo thứ tự từ điển

Nói cách khác, en
j=1

trái. Như vậy
{Sq I (en ) : Sq I chấp nhận được và deg(Sq I ) ≤ 2n}
độc lập tuyến tính trong Pn . Suy ra
{Sq I : Sq I chấp nhận được và deg(Sq I ) ≤ 2n}
độc lập tuyến tính trong A. Cho n chạy ra vơ cùng ta có điều phải chứng minh.
Đại số Steenrod có cấu trúc của một đại số Hopf đối giao hoán, liên thơng, có kiểu
hữu hạn với đối tích được cho bởi
∆(Sq n ) =

Sq i ⊗ Sq j ,
i+j=n


7

1.4

Đối ngẫu của đại số Steenrod

Cấu trúc của đối ngẫu của đại số Steenrod được nghiên cứu bởi Milnor trong [6].
Gọi A∗ là đối ngẫu của đại số Steenrod A; gọi ξn là đối ngẫu của Sq 2

n−1

· · · Sq 1 đối

với cơ sở gồm các đơn thức chấp nhận được. Dễ thấy bậc của ξn là 2n − 1. Khi đó, cấu
trúc của A∗ được cho bởi định lý sau đây.
Định lý 1.4.1. Đối ngẫu của đại số Steenrod A∗ là đại số đa thức sinh bởi ξi , i ≥ 1 có
bậc là 2i − 1. Hơn nữa, A∗ là một đại số Hopf giao hoán, liên thơng, có kiểu hữu hạn với
đối tích ψ được cho bởi
i

2
ξk−1
⊗ ξi

ψ(ξk ) =
0≤i≤k

trong đó ξ0 = 1.
Cho I = (i1 , . . . , ir ) là một dãy các số nguyên không âm, đơn thức ξ1i1 . . . ξrir trong A∗
được kí hiệu là ξ I . Vì A∗ là đại số đa thức nên tập hợp các đơn thức ξ I lập thành một cơ
sở của A∗ , xem như F2 -khơng gian véctơ. Kí hiệu Sq(I) = Sq(i1 , . . . , ir ) là đối ngẫu của
ξ I theo cơ sở đơn thức trong A∗ . Khi đó, ta có:
Mệnh đề 1.4.2. Tập hợp các phần tử Sq(I) lập thành một cơ sở cộng tính của A.
Cơ sở nói trong mệnh đề trên được gọi là cơ sở Milnor của A.

1.5

Môđun không ổn định trên đại số Steenrod

Cho X là một không gian tơpơ bất kì, đối đồng điều (modulo 2) của X được kí hiệu
là H ∗ X = H ∗ (X, F2 ). Từ kết quả của Steenrod, H ∗ (X) có có cấu trúc tự nhiên của một
mơđun trên đại số Steenrod. Hơn nữa, tác động của A lên H ∗ X còn thỏa mãn điều kiện
sau đây, được gọi là điều kiện không ổn định.
Nếu x ∈ H ∗ X và i > |x| thì Sq i x = 0, trong đó kí hiệu |x| là bậc của x.
Kết quả trên đã gợi ý cho ta định nghĩa phạm trù các môđun không ổn định trên đại
số Steenrod A, như sau:
Định nghĩa 1.5.1. Một A-môđun Z-phân bậc M được gọi là khơng ổn định nếu nó thỏa
tính chất không ổn định ở trên.


8
Vì Sq 0 = 1, nên dễ thấy rằng các A-môđun không ổn định M chỉ tập trung ở các bậc
khơng âm. Do đó, từ đây về sau ta sẽ không quan tâm đến các bậc âm khi nghiên cứu
các môđun không ổn định trên A.
Để thuận lợi, từ đây về sau ta sẽ viết ngắn gọn “A-môđun không ổn định” là “môđun
không ổn định”.
Gọi M là phạm trù các A-môđun Z-phân bậc, với cấu xạ là các ánh xạ A-mơđun bậc
khơng. Kí hiệu U là phạm trù các A-mơđun khơng ổn định với các cấu xạ là các A-tuyến
tính bậc không. Đễ dàng nhận thấy rằng U là phạm trù con đầy đủ của M.

1.6

Đại số không ổn định trên đại số Steenrod

Đối đồng điều modulo 2 của không gian X cịn có cấu trúc tự nhiên của F2 đại số phân
bậc, giao hốn, có đơn vị. Cấu trúc đại số quan hệ với cấu trúc A-môđun bởi hai tính
chất:
(K1) Sq i (xy) =

(Sq k x)(Sq l y) với mọi x, y ∈ H ∗ X.
k+l=i

(K2) Sq |x| x = x2 với mọi x ∈ H ∗ X.
Tiên đề (K1) được gọi là cơng thức Cartan.
Do đó, H ∗ X có cấu trúc tự nhiên của một A-đại số. Tính chất này đã gợi ý cho ta
định nghĩa đại số không ổn định trên đại số Steenrod như sau:
Định nghĩa 1.6.1. Một A-đại số không ổn định là một A-mơđun khơng ổn định K,
được trang bị một tích µ : K ⊗ K → K và đơn vị η : F2 → K. Mơđun K cùng với tích µ
và đơn vị η tạo thành một F2 -đại số, giao hốn có đơn vị; và tác động của A lên K thỏa
mãn các tiên đề (K1),(K2).
Chúng ta kí hiệu K là phạm trù các A-đại số không ổn định, cấu xạ là các ánh xạ
A-đại số bậc không. Để thuận tiện, ta thường viết “A-đại số không ổn định” là “đại số
không ổn định”.


9

Chương 2
VẬT XẠ ẢNH CỦA PHẠM TRÙ U
2.1

Điều kiện không ổn định và quan hệ Adem

Quan hệ Adem được sử dụng rất phổ biến trong các phần sau. Tuy nhiên, một số trong

họ rút gọn trong tính chất của mơđun khơng ổn định M . Chúng ta giới thiệu tốn tử
Sq0 , chúng được dùng nhiều trong các phần sau.
Cho M là một mơđun khơng ổn định. Tốn tử Sq0 tác động lên M bởi công thức
Sq0 x = Sq |x| x, ∀x ∈ M.
Mệnh đề 2.1.1. Với mọi phần tử x của môđun không ổn định M và với mọi i ≥ 0, ta có
Sq i Sq0 x =

Sq0 Sq i/2 x nếu i ≡ 0 (mod 2),
0
nếu i ≡ 1 (mod 2).

(2.1)

Chứng minh. Do tính chất khơng ổn định, nên nếu i ≥ 2|x| thì (2.1) đã thỏa mãn.
Nếu i < 2|x|, áp dụng quan hệ Adem, ta có:
[i/2]
i

|x|

Sq Sq x =
t=0

|x| + i − t
Sq |x|+i−t Sq t x.
i − 2t

Vì Sq |x|+i−t (Sq t x) là tầm thường khi |x| + i − t > t + |x|, nên tổng trên được rút gọn lại
thành
Sq i Sq |x| x = Sq |x|+i/2 Sq i/2 x.

Khi đó, vế phải bằng 0 nếu i lẻ và bằng Sq |x|+i/2 Sq i/2 x = Sq0 Sq i/2 x nếu i chẵn.
Tiếp theo ta sẽ giới thiệu hai hàm tử từ U vào chính nó được dùng nhiều trong các
phần sau. Đầu tiên là hàm tử Φ : U → U, được định nghĩa như sau:


10

Với mỗi môđun không ổn định M , ta định nghĩa môđun ΦM như sau:
(ΦM )n =

M n/2 nếu n chẵn,
0
nếu n lẻ.

Các phần tử của ΦM được kí hiệu là Φx, trong đó x ∈ M . Dễ dàng thấy rằng
|Φx| = 2|x| với mọi x ∈ M . Tác động của đại số Steenrod lên ΦM được cho bởi cơng thức
Sq i Φx = ΦSq i/2 x,
trong đó ta hiểu Sq i/2 là tầm thường nếu i lẻ. Kiểm tra thấy rằng ΦM là một vật trong
U. Do đó, Φ : U → U biến M → ΦM là một hàm tử từ U vào chính nó.
Quan hệ (2.1) chỉ ra rằng ánh xạ λM : ΦM → M , xác định bởi Φx → Sq0 x, là một
đồng cấu A-tuyến tính. Nhân và đối nhân của λM đặc biệt quan trọng và sẽ được nói đến
ở phần sau.
Một hàm tử khác đóng vai trị quan trọng là hàm tử treo Σ : M → M, được định
nghĩa như sau:
Với mỗi môđun không ổn định M ta định nghĩa môđun ΣM như sau:
(ΣM )n = M n−1 ,
các phần tử của ΣM được kí hiệu là Σx, với x ∈ M . Tác động của A lên ΣM cho bởi
θΣx = Σθx, trong đó θ ∈ A, x ∈ M .
Dễ dàng kiểm tra được rằng ΣM là một A-môđun.

2.2

Cấu trúc của môđun F (n)

Phạm trù U là phạm trù aben. Do đó, nó có đủ các vật xạ ảnh. Điều này được suy ra
bởi
Mệnh đề 2.2.1. Với mỗi n, tồn tại duy nhất, sai khác đẳng cấu, một A-môđun F (n)
không ổn định, tự do sinh bởi lớp ιn có bậc n sao cho phép biến đổi tự nhiên f → f (ιn )
từ HomU (F (n), M ) vào M n là tương đương hàm tử.
Vì hàm tử M → M n là khớp phải, nên HomU (F (n), −) cũng là hàm tử khớp phải.
Do đó, F (n) là vật xạ ảnh của U, được gọi là môđun không ổn định, tự do trên một phần
tử sinh có bậc n.


11

Với dãy chấp nhận được I = (i1 , . . . , in ), ta định nghĩa trội của I bởi
e(I) = (i1 − 2i2 ) + (i2 − 2i3 ) + · · · + (in−1 − 2in ) + in .
Cấu trúc của A-môđun không ổn định F (n) được cho bởi mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.2. Với mỗi n ≥ 0, tồn tại đẳng cấu giữa các A-môđun không ổn định F (n)
và Σn (A/(Sq I : I chấp nhận được và e(I) > n)).
Do đó, như một F2 -mơđun, F (n) có một cơ sở cộng tính gồm tất cả các phần tử Σn Sq I
với I chấp nhận được và e(I) ≤ n. Ta kí hiệu Σn Sq I = Sq I ιn . Nói cách khác, ιn có thể
đồng nhất với Σn 1.
Chứng minh Mệnh đề 2.2.2. Ta chỉ cần chứng minh rằng F2 không gian véctơ sinh bởi
các phần tử Sq I với I chấp nhận được và e(I) > n là một A-mơđun con của A. Khi đó
Mệnh đề 2.2.1 và Mệnh đề 2.2.2 được chứng minh.
Lấy bất kì dãy I = (i1 , . . . , in ). Ta có bậc của I là |I| = i1 + i2 + · · · + in . Mở rộng
định nghĩa của trội cho tất cả các dãy I bởi e(I) = i1 − i2 − · · · − in . Cho I là dãy chấp
nhận được và số nguyên k ≥ 0, ta có thể phân tích đơn thức Sq k Sq I thành tổng các đơn

thức Sq J với J chấp nhận được và e(J) ≥ e(I).
Thật vậy, nếu k ≥ 2i1 thì hiển nhiên (k, i1 , . . . , in ) là chấp nhận được và e(J) =
k − i1 − i2 − · · · − in , e(I) = i1 − i2 − · · · − in . Do k ≥ 2i1 nên e(J) ≥ e(I).
Ngược lại, nếu k < 2i1 , áp dụng quan hệ Adem, ta nhận được
[k/2]
k

εt Sq k+i1 −t Sq t Sq I ,

I

Sq Sq =
t=0

trong đó εt ∈ F2 , I = (i2 , i3 , . . . , in ).
Trội của bất kì dãy (k + i1 − t, t, i2 , . . . , in ) với 0 ≤ t ≤ [k/2] đều lớn hơn e(I). Thật
vậy, vì t ≤ [k/2] ≤ k/2 nên k − 2t ≥ 0, nên
e(k + i1 − t, t, I ) = k + i1 − t − t − i2 − · · · − in = k − 2t + i1 − i2 − · · · − in
≥ i1 − i2 − · · · − in = e(I).
Sq Jt,u , trong đó Jt,u

Đặt Ij = (t, i2 , . . . , in ). Khi đó Sq It có thể viết được thành
u

chấp nhận được và |Jt,u | = t + i2 + · · · + in . Trội của (k + i1 − t, Jj,u ) bằng trội của
(k + i1 − t, t, I ) và lớn hơn hoặc bằng trội của I.


12

Nếu tất cả các (k + i1 − t, Jt,u ) đều chấp nhận được thì ta hồn thành việc chứng minh.
Ngược lại, áp dụng quan hệ Adem cho Sq k+i1 −t Sq Jt,u như trên.
Vì k + i1 − t > k và chỉ số đầu của các dãy bị chặn trên bởi k + |I| nên quá trình này
phải dừng sau hữu hạn bước.
Như vậy F2 -không gian véctơ sinh bởi các Sq I với I chấp nhận được và e(I) > n ổn
định với tác động của A, do đó nó là một A-mơđun con của A.
Ví dụ 2.2.3. F (1) có thể đồng nhất với A-mơđun con của H ∗ Z/2 được sinh bởi các lớp
u. Họ {u, u2 , u4 , . . . } là một cơ sở của F (1).
Mệnh đề 2.2.4. Mỗi môđun không ổn định M đều là thương của một tổng trực tiếp của
các môđun không ổn định tự do {F (ni )}i∈I nào đó. Nói cách khác, tồn tại toàn cấu
F (ni )

M.

i∈I

Chứng minh. Với mỗi n > 0, vì M có kiểu hữu hạn nên M n có hữu hạn phần tử, giả sử là
xn,1 , . . . , xn,kn . Gọi Nn,j , 1 ≤ j ≤ kn là A-môđun cyclic sinh bởi xn,j . Gọi {yn,1 , . . . , yn,sn }
là tập con của {xn,1 , . . . , xn,kn } gồm các phần tử không nằm trong

Nm,im , và Kn,j
m≤n−1

là các A-mơđun sinh bởi các yn,j . Khi đó,
Kn,jn .

M=
n,jn

Vì Kn,jn là các A-mơđun cyclic nên tồn tại tồn cấu F (njn )

Kn,jn . Qua tổng trực

tiếp, ta có điều cần chứng minh.
Cho M và N là các A-môđun không ổn định. Dễ dàng kiểm tra rằng M ⊗ N cũng là
môđun không ổn định với tác động đường chéo được cho bởi
θ(m ⊗ n) =

θi (m) ⊗ θi (n),
i

trong đó m ∈ M, n ∈ N, θ ∈ A và đối tích
θi ⊗ θi .

∆(θ) =
i

Xét mơđun khơng ổn định F (1)⊗n , nó có số chiều 1 tại bậc n. Do đó, tồn tại, sai khác
một vơ hướng, một ánh xạ không tầm thường ωn : F (n) → F (1)⊗n . Nhóm phép thế Sn


13
tác động trên F (1)⊗n bằng cách hoán vị các tọa độ. Dễ thấy lớp không tầm thường bậc
n của F (1)⊗n là Sn -bất biến. Hơn nữa, do tác động của A giao hoán với tác động của
Sn lên F (1)⊗n , nên ảnh của ωn nằm trong A-môđun con (F (1)⊗n )Sn của F (1)⊗n gồm bất
biến dưới tác động của Sn .
Mệnh đề 2.2.5. Ánh xạ ωn là một đẳng cấu từ F (n) vào (F (1)⊗n )Sn .
Để chứng minh Mệnh đề 2.2.5 ta cần các kết quả sau đây.
Mệnh đề 2.2.6. Dãy các A-môđun sau là dãy khớp
λF (n)

Σιn−1

0 → ΦF (n) −−−→ F (n) −−−→ ΣF (n − 1) → 0,
trong đó đồng cấu thứ hai được xác định bởi Σιn−1 (ιn ) = Σιn−1 .
Chứng minh. Để chứng minh mệnh đề ta sử dụng cơ sở của F (n) được mô tả trong Mệnh
đề 2.2.2. Nhắc lại, F (n) có một cơ sở như F2 -không gian véctơ gồm các phần tử Sq I ιn với
I chấp nhận được và e(I) ≤ n.
Trước tiên, ta chứng minh λF (n) là đơn ánh. Từ định nghĩa của λF (n) , ta nhận được
λF (n) (ΦSq I ιn ) = Sq0 (Sq I ιn ) = Sq |I|+n (Sq I ιn ). Vì e(I) ≤ n nên Sq |I|+n Sq I là đơn thức
chấp nhận được và có trội bằng n. Do đó, Sq |I|+n Sq I ιn là một phần tử nằm trong cơ sở
của F (n) xem như F2 -không gian véctơ. Như vậy, λF (n) biến cơ sở của ΦF (n) thành tập
độc lập tuyến tính trong F (n) nên nó là đơn ánh.
Với mọi dãy chấp nhận được I với e(I) ≤ n − 1, phần tử Sq I Σιn−1 = ΣSq I ιn−1 ∈
ΣF (n − 1) có nghịch ảnh qua Σιn−1 là Sq I ιn . Do đó, Σιn−1 là một tồn ánh.
Do tính khơng ổn định nên Sq0 Σx = ΣSq |x|+1 x = 0. Suy ra Σιn−1 ◦ λF (n) là tầm
thường.
Cuối cùng, ta cần chứng minh dãy khớp tại F (n). Dễ dàng kiểm tra được Ker(Σιn−1 ) là
F2 -không gian véctơ sinh bởi Sq I ιn với I chấp nhận được và e(I) = n. Do đó, Ker(Σιn−1 )
nằm trong ảnh của λF (n) .
Chứng minh Mệnh đề 2.2.5. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n.
Nhận thấy rằng Φ giao hốn với tích tenxơ và với phép lấy bất biến. Xét biểu đồ giao
hoán


14

/

0

0

/

/ F (n)

Φ(F (n))


Φωn



π

/

/

ΣF (n − 1)

ωn

/ (F (1)⊗n )Sn

(ΦF (1)⊗n )Sn

/



0

Σωn−1

Σ(F (1)⊗n−1 )Sn−1

/

0.

Ở đây, π là hạn chế trên bất biến của ánh xạ
p ⊗ Idn−1 : F (1) ⊗ F (1)⊗n−1 → ΣF2 ⊗ F (1)⊗n−1 ,
trong đó p : F (1) → ΣF2 là ánh xạ không tầm thường. Kiểm tra trực tiếp ta nhận thấy
hàng thứ hai của biểu đồ trên khớp (lưu ý là điều này không đúng trước khi lấy bất
biến). Do giả thiết qui nạp nên Σωn−1 là đẳng cấu. Do đó, bổ đề con rắn suy ra rằng
Φ(Kerωn ) → Kerωn và Φ(Cokerωn ) → Cokerωn là các đẳng cấu. Nhưng như thế thì
chúng chỉ tập trung tại bậc khơng. Như vậy, khi n ≥ 1 thì chúng tầm thường. Nghĩa là
ωn là một đẳng cấu.
Dựa vào định nghĩa nhận thấy rằng KerλM , CokerλM là treo của một môđun không
ổn định nào đó. Nghĩa là, tồn tại các mơđun N, N1 ∈ U sao cho KerλM = ΣN1 và
CokerλM = ΣN . Điều này dẫn chúng ta tới định nghĩa các hàm tử Ω và Ω1 từ U vào
chính nó như sau.
KerλM = ΣΩ1 M
CokerλM = ΣΩM

(2.1)

Nói cách khác, ta có dãy khớp

0 → ΣΩ1 M → ΦM → ΣΩM → 0.
Khi M = F (n), từ Mệnh đề 2.2.6, ta nhận được KerλF (n) = 0 và CokerλF (n) ∼
=
ΣF (n − 1). Do đó, ΩF (n) ∼
= F (n − 1) và Ω1 F (n) = 0.
Mệnh đề 2.2.7. Hàm tử Ω là phụ hợp trái của hàm tử treo Σ. Hàm tử Ω1 là hàm tử dẫn
xuất bên trái đầu tiên của Ω và mọi hàm tử dẫn xuất tiếp theo là tầm thường.
Chú ý rằng, chúng ta làm việc trong đối đồng điều nên hàm Σ có phụ hợp trái thay
vì có phụ hợp phải như trong tôpô.
Chứng minh. Xét một giải thức tự do của M :
· · · → P1 → P0 → M → 0,


15

trong đó Pi là tổng trực tiếp của các F (n). Khi đó, ta có biểu đồ giao hốn sau:
0

0
/

···
/

···

/



/



ΣΩP2



/

/



P1


ΣΩP1



0

/

0


/ ΦP1

ΦP2

/ P2

···
···



0



0

0

0




/ ΣΩ1 M

0


/ ΦP0
/



/


/ ΣΩP0


0



/

0
/

0
/

0

ΦM
/

P0

/



M


ΣΩM

/

0.



0

Trong đó, hai hàng giữa là khớp (vì hàm Φ là hàm tử khớp). Tất cả các cột đều khớp
và ánh xạ ΣΩ1 M → ΦM là đơn ánh.
Tính tốn trực tiếp bằng cách “săn trên biểu đồ”, ta kiểm tra được hàng cuối cùng
khớp tại ΣΩPi , i ≥ 2, và đồng điều tại ΣΩP1 đẳng cấu với ΣΩ1 M .
Như vậy, mệnh đề đã được chứng minh.

2.3

Tính noether địa phương của phạm trù U

Định lý 2.3.1. Cho M là A-môđun không ổn định hữu hạn sinh như là một A-mơđun.
Khi đó, bất kì A-môđun con của M đều hữu hạn sinh như là A-môđun.
Nhắc lại, một vật trong phạm trù aben là noether nếu nó thỏa mãn tính chất dây
chuyền tăng, nghĩa là, bất kì dãy tăng của các vật con đều dừng (ổn định).
Một phạm trù là noether địa phương nếu nó có một họ các phần tử sinh noether.
Nhắc lại, họ các vật Mα , α ∈ I trong phạm trù aben C được gọi là họ các phần tử sinh

nếu với bất kì vật M trong phạm trù C, ln tồn tại một toàn cấu từ tổng trực tiếp của
Mα vào M .
Định lý 2.3.1 suy ra ra rằng, F (n) là noether. Hơn nữa, từ Mệnh đề 2.2.4 suy ra rằng
các môđun F (n) là các vật sinh trong U. Do đó, U là phạm trù neother địa phương.
Chứng minh Định lý 2.3.1. Vì thương của một mơđun hữu hạn sinh là hữu hạn sinh, nên


16

ta chỉ cần chứng minh định lý đúng với mọi môđun F (n) là đủ. Nghĩa là ta chỉ cần chứng
minh mọi môđun con của F (n), n > 0, đều hữu hạn sinh như một A-môđun.
Ta sẽ chứng minh kết quả này bằng quy nạp theo n, dùng Mệnh đề 2.2.6. Cho M là
một A-mơđun con bất kì của F (n), ta kí hiệu Mk là A-mơđun con của F (n) sinh bởi tất
cả các x ∈ F (n) sao cho Sq0k x ∈ M (trong đó Sq0k x = Sq0 (Sq0k−1 x)). Đầu tiên ta chứng
minh dãy tăng các A-môđun
M = M0 ⊂ M1 ⊂ · · · ⊂ Mk ⊂ . . .
là dừng. Xét biểu đồ giao hốn
/

0

0

/

/

ΦMk+1


ΦMk+2

/

/

Mk


Mk+1

/

/

ΣMk


ΣMk+1

/

0

0,

trong đó các hàng là khớp và ΣMk là ảnh của Mk trong ΣF (n − 1) qua hạn chế của ánh
xạ Σιn−1 . Theo giải thiết quy nạp, dãy · · · ⊂ Mk ⊂ Mk+1 ⊂ . . . ổn định tại một số nguyên
k0 nào đó. Ta sẽ chứng minh dãy các môđun con Mk cũng là ổn định tại k0 . Giả sử ngược
lại, sẽ tồn tại phần tử khác không x1 ∈ Mk0 +1 , |x1 | > 0 sao cho ảnh của nó bằng khơng

trong ΣMk0 +1 và nó khơng nằm trong ảnh của Mk0 . Do đó, x1 bằng Φx1 với x1 nằm trong
Mk0 +2 nhưng không nằm trong Mk0 +1 . Hệ quả là tồn tại phần tử khác không x2 ∈ Mk0 +2
có bậc bằng |x1 |/2 mà ảnh của nó bằng khơng trong ΣMk0 +2 và nó khơng nằm trong ảnh
của Mk0 +1 . Lặp lại quá trình này dẫn đến mâu thuẫn vì |x1 |/2s khơng là số nguyên khi s
đủ lớn. Như vậy dãy Mk dừng tại k0 và Mk0 đẳng cấu với ΩMk0 .
Nhận thấy rằng Mk0 là liên thơng (nghĩa là Mk00 = 0) vì n > 0.
Bổ đề 2.3.2. Cho M là một A-môđun không ổn định liên thông. Nếu ΩM hữu hạn sinh
trên A thì M cũng vậy.
Từ bổ đề trên ta nhận được Mk0 hữu hạn sinh như A-môđun. Tiếp theo ta xét dãy
khớp sau
0 → ΦMk → Mk−1 → ΣMk → 0.
Theo giả thiết quy nạp, Mk ∼
= ΩMk hữu hạn sinh, áp dụng Bổ đề 2.3.2, ta được Mk
hữu hạn sinh. Do đó, ΦMk cũng hữu hạn sinh. Từ dãy khớp trên ta nhận được Mk−1 hữu
hạn sinh. Lặp lại quá trình này ta nhận được M = M0 hữu hạn sinh trên A.


17

Chứng minh Bổ đề 2.3.2. Chọn các phần tử a1 , . . . , at ∈ M là các phần tử biểu diễn của
các phần tử sinh của ΣΩM . Ta chỉ cần chứng minh f : ⊕ti=1 F (|ai |) → M là toàn ánh.
Thật vậy, nhận thấy rằng Ω(Cokerf ) = 0 vì Ω(f ) là tồn ánh và Ω là hàm tử khớp phải.
Và vì Cokerf liên thông nên suy ra Cokerf = 0.
Từ Định lý 2.3.1 ta nhận được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.3.3. Với mọi số nguyên dương p, q, A-môđun không ổn định F (p) ⊗ F (q) là
hữu hạn sinh. Do đó, tích tenxơ của hai A-mơđun khơng ổn định hữu hạn sinh là hữu hạn
sinh.
Chứng minh. Kết luận thứ hai dễ dàng suy ra được từ kết luận thứ nhất. Thật vậy, vì
nếu M và N là các mơđun khơng ổn định hữu hạn sinh thì chúng là thương của một tổng
n

trực tiếp hữu hạn các mơđun có dạng ⊕m
1 F (ai ) và ⊕1 F (bj ). Do đó, M ⊗ N là thương của

tổng trực tiếp hữu hạn ⊕i,j F (ai ) ⊗ F (bj ) nên nó hữu hạn sinh.
Bây giờ ta sẽ chứng minh kết luận thứ nhất của hệ quả. Từ Mệnh đề 2.2.5 và Định lý
2.3.1, ta chỉ cần chứng minh F (1)⊗n là hữu hạn sinh. Ta có dãy khớp sau đây
n
⊗n π

0 → F (1)

ΣF (1)⊗n−1 ,

−
→
i=1

trong đó π là tổng của các ánh xạ sau
∼
=

F (1)⊗n −
→ F (1)⊗(n−i−1) ⊗ F (1) ⊗ F (1)⊗i
∼
=

→ F (1)⊗(n−i−1) ⊗ ΣF2 ⊗ F (1)⊗i −
→ ΣF (1)⊗n−1 .
Như vậy A-môđun không ổn định ΩF (1)⊗n có thể nhúng được vào
Theo giả thiết quy nạp, F (1)⊗n−1 hữu hạn sinh nên

n
i=1

n
i=1

F (1)⊗n−1 .

F (1)⊗n−1 hữu hạn sinh và do

đó ΩF (1)⊗n cũng vậy. Vì F (1)⊗n liên thông, áp dụng Bổ đề 2.3.2, ta nhận được F (1)⊗n
hữu hạn sinh.


18

Chương 3
VẬT NỘI XẠ CỦA PHẠM TRÙ U
Trong phạm trù U, có ba vật nội xạ cơ bản gồm
(i) Mơđun Brown-Gitler, chúng cũng là các vật đối sinh của U;
(ii) Mơđun Carlsson;
(iii) Tích tenxơ của mơđun Brown-Gitle và mơđun Carlsson.
Mục tiêu của chương này là nghiên cứu các vật nội xạ Brown-Gitler, là các vật đối
sinh của phạm trù U.

3.1

Tổng quát

Một vật I trong phạm bù aben C là nội xạ nếu và chỉ nếu hàm tử M → HomC (M, I)
từ C vào phạm trù nhóm aben là khớp.
Nói cách khác, nếu với mọi biểu đồ sau đây trong C
0

/M


j

/

N

f

I
trong đó hàng là khớp, thì đều tồn tại f : N → I sao cho f ◦ i = f .
Nghĩa là mọi cấu xạ từ M vào I đều có thể mở rộng lên được thành cấu xạ từ N vào
I.
Ví dụ: Trong phạm trù của các nhóm aben, các nhóm chia được là nội xạ.
Đây là một vài tính chất cơ bản về các mơđun nội xạ trong phạm trù U. Hầu hết
chúng là đặc biệt hóa các tính chất của các vật nội xạ trong một phạm trù aben nói
chung. Chúng ta tra cứu [2] hay [3] để biết thêm chi tiết.