Mô hình hóa trong dạy học hàm số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

PHAN TẤN PHÚ

MƠ HÌNH HỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ:
VẤN ĐỀ TÌM MỘT MƠ HÌNH HÀM TỪ
BẢNG GIÁ TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

PHAN TẤN PHÚ

MƠ HÌNH HỐ TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ:
VẤN ĐỀ TÌM MỘT MƠ HÌNH HÀM TỪ
BẢNG GIÁ TRỊ
Chun ngành: Lý luận và phương pháp dạy học mơn Tốn
Mã số: 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
PGS.TS. Lê Thị Hồi Châu

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – NĂM 2012

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc nhất đến các Thầy, Cơ Khoa
Tốn – Tin, lãnh đạo và các chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm
thành phố Hồ Chí Minh đã giúp tơi hồn thành chương trình học và luận văn này.
Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Lê Thị Hoài Châu.
Luận văn này sẽ khơng thể hồn thành nếu khơng có sự hướng dẫn tận tình của Cơ.
Tơi cũng xin trân trọng cám ơn:
- PGS.TS. Annie Bessot, TS. Alain Birebent đã từ Pháp sang Việt Nam để góp ý
hướng nghiên cứu đề tài và giải đáp những thắc mắc trong nghiên cứu Didactic Tốn
của chúng tơi.
- Ban giám hiệu và các đồng nghiệp tại Trường THPT Võ Trường Toản – Đồng
Nai đã tại điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận
văn này.
- Các thành viên trong lớp Didactic Tốn khóa 19 đã giúp đỡ tơi trong suốt khóa
học.
Phan Tấn Phú


CÁC TỪ VIẾT TẮT
THCS:

Trung học cơ sở

THPT:

Trung học phổ thong

SGK:

Sách giáo khoa

SGV:

Sách giáo viên


MỤC LỤC

Mở đầu .............................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát.........................................................1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu...........................................................................3
3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi nghiên cứu ..........................3
4. Phương pháp nghiên cứu .........................................................................................4
5. Cấu trúc của luận văn...............................................................................................4
Chương 1: Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng .........................................................6
trong toán học ..................................................................................................................6
1.1 Mục đích và tài liệu nghiên cứu.............................................................................6
1.2 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng trong toán học ..........................................7
1.2.1 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng qua các thời kỳ lịch sử ......................7
1.2.2 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong Toán học hiện đại ......................................8
1.3 Kết luận ................................................................................................................15
Chương 2: Hàm số biểu đạt bằng bảng trong chương trình phổ thơng .........................16
2.1 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong sách giáo khoa Vật lí Việt Nam .....................16
2.1.1 Chuyển động thẳng biến đổi đều...................................................................17
2.1.2 Sự rơi tự do....................................................................................................20
2.1.3 Kết luận .........................................................................................................23
2.2 Phân tích sách giáo khoa Đại số 10 .....................................................................24
2.2.1 Các cách cho hàm số .....................................................................................24
2.2.1.1 Hàm số cho bằng bảng ...............................................................................24

2.2.2 Việc tìm cơng thức của hàm số từ bảng giá trị .............................................26
2.2.3 Kết luận .........................................................................................................27
2.3 Hàm số và vấn đề mơ hình hố ............................................................................27
2.3.1 Mơ hình hố tốn học là gì............................................................................27
2.3.2 Mơ hình hàm trong mơ hình hoá toán học ....................................................28
2.3.3 Sự tồn tại của đối tượng mơ hình hố trong sách giáo khoa Tốn 10 ..........29
2.4 Vấn đề chuyển đổi qua lại giữa hệ thống biểu đạt bằng bảng số và các hệ thống
biểu đạt khác của hàm số trong SGK toán .................................................................30
2.5 Kết luận chương 2 ................................................................................................31


Chương 3: Thực nghiệm ................................................................................................32
3.1 Mục tiêu thực nghiệm ..........................................................................................32
3.2 Nội dung thực nghiệm .........................................................................................32
3.3 Tổ chức thực nghiệm ...........................................................................................36
3.4 Phân tích tiên nghiệm ..........................................................................................36
3.4.1 Biến didactic và sự lựa chọn biến .................................................................36
3.4.2 Các chiến lược có thể có ...............................................................................37
3.4.3 Ảnh hưởng của biến đối với chiến lược ........................................................42
3.5 Phân tích hậu nghiệm ...........................................................................................42
3.5.1 Bài tốn 1 ......................................................................................................42
3.5.2 Bài tốn 2 ......................................................................................................46
3.5.3 Bài toán 3 ......................................................................................................50
3.5.4 Bài toán 4 ......................................................................................................51
Tài liệu tham khảo .........................................................................................................59


Mở đầu
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Hàm số là khái niệm quan trọng của toán học. Khái niệm hàm số và các tính

chất của nó được dạy học hầu như xuyên suốt của quá trình dạy học toán ở bậc THCS
và THPT. Học sinh tiếp cận hàm số lần đầu tiên từ lớp 7, hàm số nảy sinh từ việc xem
xét các đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch. Ở các lớp cao hơn, các tính chất của hàm số
như tính chẵn lẻ, tuần hoàn, đơn điệu, cực trị được xem xét dần dần.
Hàm số có thể được biểu diễn bởi ít nhất 5 hệ thống biểu đạt khác nhau: đại số
(cơng thức), hình học (đồ thị), bảng giá trị, bảng biến thiên, algorit. Việc chuyển từ hệ
thống biểu đạt này sang hệ thống biểu đạt kia cho phép học sinh hiểu rõ hơn hàm số
đang xét. Hơn thế, biết chuyển đổi linh hoạt giữa các hệ thống biểu đạt còn là một kĩ
năng cần thiết trong việc sử dụng hàm số để nghiên cứu các vấn đề của thực tế hay của
các khoa học khác.
Theo ghi nhận ban đầu của chúng tơi thì hệ thống biểu đạt đại số (biểu thức
giải tích) chiếm ưu thế hầu như tuyệt đối trong sách giáo khoa toán Việt Nam ở bậc
THCS và THPT. Hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị dường như bị xem nhẹ.
Giá trị công cụ của hệ thống biểu đạt bằng bảng giá trị trong việc sử dụng hàm số để
dự đoán các vấn đề thực tế chưa được quan tâm. Chúng tơi có nhận định rằng hàm số
biểu đạt bằng bảng tồn tại trong học sinh như là một minh hoạ cho các cách xác định
hàm số chứ ngoài ra khơng ý nghĩa gì khác.
Tuy nhiên, giá trị cơng cụ của hệ thống biểu đạt bằng bảng thường xuất hiện
trong sách tốn nước ngồi, chẳng hạn bài tập sau:
Bài tập 20, chương 1, Giáo trình Calculus (tương đương năm thứ nhất đại
học ở Việt Nam)

1


Nhiệt độ T (độ F) ở thành phố Dallas ngày 2 tháng 6 năm 2001 được ghi lại
theo thời gian t cứ 2 giờ 1 lần như ở bảng sau:
t

0

2

4

6

8

10 12 14

T 73 73 70 69 72 81 88 91
(a) Dùng bảng số liệu vẽ đồ thị dạng điểm để biểu diễn T như là hàm số của t.
(b) “Lấp đầy” đồ thị hàm số bằng một đường cong và dự đốn nhiệt độ lúc 11
giờ.
Bài tập này có mặt trong giáo trình tốn tương đương năm thứ nhất đại học,
tuy nhiên lời giải trong sách chỉ dùng những kiến thức tương đương với trình độ trung
học phổ thơng ở Việt Nam. Đều đáng nói là đáp số của câu hỏi thứ hai là không duy
nhất, chỉ là một số xấp xỉ chứ khơng là con số chính xác tuyệt đối. Trong nhiều tình
huống thực tế, người ta chỉ cần giá trị xấp xỉ là đủ.
Chúng tôi nhận thấy, trong các vấn đề thực tế và các môn học khác (như Địa
lí, Sinh học, …), bảng số liệu xuất hiện thường xun. Tuy nhiên trong mơn tốn bậc
phổ thơng ở Việt Nam, việc dùng hệ thống biểu đạt của hàm số bằng bảng giá trị và
việc chuyển đổi qua lại giữa hệ thống biểu đạt bằng bảng giá trị và hệ thống biểu đạt
bằng đồ thị để giải quyết các vấn đề thực tế hiếm xuất hiện.
Từ những ghi nhận ban đầu đó, chúng tơi đặt ra các câu hỏi sau:
• Các hệ thống biểu đạt hàm số hiện diện như thế nào trong thể chế dạy
học Việt Nam?
• Biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị có những ứng dụng thực tế gì, có
được sách giáo khoa quan tâm hay khơng?

• Sự lựa chọn của thể chế ảnh hưởng ra sao đến quan niệm của học sinh?
• Bảng số liệu có những đóng góp gì trong nghiên cứu hàm số?
• Làm thế nào để tìm một mơ hình hàm từ bảng giá trị về các số đo biến
thiên phụ thuộc lẫn nhau có trong mơn học khác?

2


• Có thể xây dựng một tính huống dạy học để giúp học sinh thấy được
vai trị cơng cụ của hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị hay
khơng?

2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu này nhằm mục đích hiểu rõ tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt
hàm số bằng bảng.
Với mục đích trên, nghiên cứu này có nhiệm vụ đi tìm một mơ hình hàm số
cho bằng bảng ở một môn học khác. Nếu có thể, chúng tơi sẽ xây dựng một tình huống
dạy học giúp học sinh thấy được tầm quan trọng của hệ thống biểu đạt hàm số bằng
bảng giá trị.

3. Phạm vi lý thuyết tham chiếu và trình bày lại câu hỏi
nghiên cứu
Để trả lời cho những câu hỏi ban đầu, chúng tơi đặt nghiên cứu này trong
phạm vi didactic tốn, cụ thể là Thuyết nhân học sư phạm và Lý thuyết tình huống.
Trong Thuyết nhân học sư phạm, chúng tơi sử dụng các khái niệm: trường
sinh thái, quan hệ thể chế và quan hệ cá nhân đối với một đối tượng tri thức, khái niệm
tổ chức toán học.
Trong Lý thuyết tình huống, chúng tơi sử dụng các khái niệm: tình huống dạy
học, biến, chiến lược.
Trong phạm vi lý thuyết này, chúng tơi trình bày lại các câu hỏi đã đặt ra như

sau:
Q 1 : Hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong Toán học hiện
đại?

3


Q 2 : Hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong các môn học khác
ở chương trình phổ thơng?
Q 3 : Hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị được trình bày như thế nào
trong sách giáo khoa Toán Việt Nam, mối liên hệ với các hệ thống biểu đạt khác?
Q 4 : Có hay khơng đối tượng mơ hình hố trong việc trình bày hàm số của sách
giáo khoa? Cuộc sống của đối tượng mơ hình hố này như thế nào?

4. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích đề ra, nghĩa là đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên,
chúng tơi xác định phương pháp nghiên cứu như sau:
• Phân tích, tổng hợp một số cơng trình đã có về nghiên cứu khoa học
luận khái niệm hàm số, các hệ thống biểu đạt của hàm số.
• Phân tích chương trình và sách giáo khoa toán hiện hành của Việt Nam
để làm rõ mối quan hệ thể chế với hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng
giá trị. Từ đó trả lời cho câu hỏi có hay khơng đối tượng mơ hình hố,
cuộc sống của nó như thế nào?
• Tiến hành thực nghiệm triển khai tình huống dạy học giúp học sinh
thấy được vai trị cơng cụ của hàm số biểu đạt bằng bảng trong các vấn
đề thực tế cuộc sống.

5. Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 3 chương và phần kết luận
Phần mở đầu trình bày những ghi nhận ban đầu và những câu hỏi nảy sinh từ

những ghi nhận đó dẫn đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu, mục đích nghiên cứu,
nhiệm vụ nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu.

4


Chương 1 tìm hiểu hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong
Toán học và các khoa học khác.
Chương 2 phân tích mối quan của thể chế dạy học toán Việt Nam với hệ thống
biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị.
Chương 3 trình bày thực nghiệm.
Phần kết luận tóm tắt những kết quả nghiên cứu được và hướng nghiên cứu
mới có thể mở ra từ luận văn này.

5


Chương 1: Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng
trong tốn học

1.1 Mục đích và tài liệu nghiên cứu
Như chúng tôi đã làm rõ trong phần mở đầu của luận văn, mục đích của
chương này là tìm hiểu xem bảng số được hình thành như thế nào trong lịch sử, nó
được dùng để giải quyết những bài tốn nào? Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng
hiện diện như thế nào ở cấp độ tri thức bác học, cụ thể hơn là nó có mặt trong các giáo
trình đại học như thế nào? Kết quả của chương này sẽ là cơ sở phương pháp luận cho
việc nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa ở phổ thơng và lựa chọn tình huống thực
nghiệm.
Chương này cũng sẽ đi tìm câu trả lời cho câu hỏi nghiên cứu Q 1 sau:
Q 1 : Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong Tốn

học hiện đại?
Vì lý do khan hiếm tài liệu lịch sử gốc nên tài liệu phục cho việc nghiên cứu ở
chương này chủ yếu gồm của các tác giả NGUYỄN THỊ NGA (2003), một số giáo
trình tốn đại học nước ngồi như Calculus của JAME STEWART, Cơ sở giải tích
tốn học của FICHTENGƠN và giáo trình trong nước như Giải tích hàm một biến của
VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM.

6


1.2 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng trong toán học
1.2.1 Bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng qua các thời kỳ lịch sử
Để tìm hiểu sự xuất hiện của bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng trong lịch
sử, chúng tôi sử dụng kết quả nghiên cứu trong luận văn tốt nghiệp đại học của
Nguyễn Thị Nga ([5]). Bảng số xuất hiện qua các thời kỳ lịch sử được tóm lược như
sau:
“Từ thời kì cổ đại vào những năm 2000 trước công nguyên, những nhà tốn
học Babylon đã sử dụng các bảng bình phương, bảng căn bậc hai, bảng căn bậc ba
trong hệ thập lục phân vào các tính tốn của họ. Người Hy Lạp thì đã thiết lập các
bảng sin, những bảng này xuất hiện chủ yếu từ nhu cầu giải quyết các vấn đề như đo
đạc hình học, nghiên cứu các đường cong hay trong tính tốn thiên văn học.”
[Nguyễn Thị Nga, 2003]
Sang thời kỳ trung đại, người ta quan tâm đến sự phụ thuộc giữa hai đại
lượng, đặc biệt là các đại lượng liên quan tới chuyển động như vận tốc, quãng đường,
thời gian. Sự phụ thuộc giữa các đại lượng này được mơ tả bằng các bảng số hoặc các
hình hình học. Một ví dụ về hình hình học dùng để biểu diễn sự phụ thuộc của vận tốc
theo thời gian mà Oresme (1323 - 1382) sử dụng như sau: [Nguyễn Thị Nga, 2003]

Vận tốc

…
Thời gian

Những hình hình hình học kiểu này chắc chắn phải được phác thảo lên từ một
bảng số đã có. Bảng số đó biểu thị mối liên hệ phụ thuộc giữa hai đại lượng, chẳng hạn
vận tốc và thời gian.
Sang thế kỷ 16 - 17, Descartes là người đầu tiên mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau
giữa hai đại lượng x và y bằng “đường”. “Đường” theo Descartes là vô hạn các điểm

7


mà mỗi điểm ứng với một cặp giá trị (x; y) cụ thể. Việc tạo ra “đường” như vậy chắc
chắn phải thông qua một bảng số, giống như thao tác vẽ đồ thị mà học sinh hay làm
bây giờ. Đồ thị chắc chắn được vẽ bằng cách nối một đường liền đi qua những điểm
rời rạc. Các điểm rời rạc này thì được xác định nhờ một bảng số, hay gọi là bảng giá trị
khi vẽ đồ thị hàm số.
Đến thế kỷ 18 thì người ta đồng nhất hàm số với biểu thức giải tích. Như vậy
bảng số trong giai đoạn này đượi coi như khơng có liên quan gì đến hàm số.
Đến thế kỷ 19, người ta định nghĩa tường minh hàm số là sự phụ thuộc lẫn
nhau giữa hai đại lượng mà khơng nói gì đến biểu thức giải tích. Sau đó, với sự ra đời
của lý thuyết tập hợp, người ta định nghĩa hàm số là một quy tắc tương ứng giữa hai
đại lượng của hai tập hợp số.
Bảng số là một phương tiện để thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại
lượng. Có nhiều trường hợp, sự phụ thuộc của đại lượng này vào đại lượng kia được
mô tả bằng một bảng số. Do đó, trong giai đoạn này, bảng số là một phương tiện để
biểu diễn hàm số. Người ta có thể cho một hàm số bẳng một bảng số (điều này sẽ được
làm rõ ở mục dưới đây).
Trên đây là tóm tắt lịch sử của hình thành của bảng số và hàm số biểu đạt bằng
bảng. Bảng số có mối liên hệ chặt chẽ với khái niệm hàm số. Hàm số trong toán học

hiện đại được định nghĩa là sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai đại lượng. Trong nhiều
trường hợp, bảng số là phương tiện mô tả sự phụ thuộc lẫn nhau đó.
Để biết bảng số và hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong các
giáo trình đại học, chúng tôi thực hiện tiếp nghiên cứu dưới đây.

1.2.2 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong Toán học hiện đại
Ở phần này, chúng tơi tìm hiểu sự hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng
trong Toán học hiện đại (trong các giáo trình đại học) hay sự hiện diện trong giai đoạn
cuối (giai đoạn thế kỷ 19) như đã nhắc đến ở mục trên.

8


1.2.2.1 Các phương pháp biểu diễn hàm số
Theo Cơ sở giải tích Tốn học của Fichtengơn ([3]) và Giải tích hàm một biến
của Viện Tốn học Việt Nam ([7]), có ba phương pháp biểu diễn hàm số: Phương pháp
giải tích, phương pháp bảng, phương pháp đồ thị.
Phương pháp giải tích
Nếu hàm số f được cho bằng một biểu thức giải tích thì ta nói hàm số được
cho bằng phương pháp giải tích. Khi đó, nếu khơng nói rõ tập xác định của hàm số thì
ta sẽ ngầm hiểu tập xác định là tập hợp tất cả các số thực x để biểu thức giải tích đó có
nghĩa.
Phương pháp bảng
Trong tự nhiên cũng như trong kĩ thuật, nhiều khi quan hệ hàm giữa hai đại
lượng được thiết lập qua thực nghiệm hoặc quan sát tại những thời điểm (hoặc vị trí)
nào đó. Thí dụ, số đo nhiệt độ tại một thời điểm xác định nào đó là một đại lượng phụ
thuộc vào thời gian. Những giá trị đo đạc (quan sát) tại những thời điểm (vị trí) khác
nhau có thể được xem là hàm phụ thuộc vào thời điểm (vị trí) đo đạc. Ta có thể xác
định giá trị của hàm tại bất kì thời điểm (vị trí) nào bằng các thiết bị đo đạc có sẵn,
nhưng nói chung ta khơng thể tìm được biểu thức giải tích biểu diễn được kết quả đo

đạc theo thời gian (vị trí) một cách chính xác, mà thường biểu thị chúng dưới dạng
bảng ghi số liệu. Khi ấy ta có hàm được cho dưới dạng bảng số. Cách cho hàm như
vậy, mặc dù thường cho thông tin về hàm không đầy đủ (không tại mọi điểm), nhưng
lại rất phổ biến trong thực tiễn. Một trong những lĩnh vực quan trọng của giải tích
Tốn học là nghiên cứu phương pháp “khôi phục” thông tin tại những điểm không
được đo để biến những hàm loại này thành một hàm mà các cơng cụ giải tích có thể xử
lý được như một hàm thông thường khác.
Phương pháp đồ thị
Một phương pháp thứ ba để biểu diễn hàm số là phương pháp đồ thị. Theo tài
liệu Giải tích hàm một biến ([7]), đây là một biến thể của phương pháp bảng. Thay vì
cho một bảng số liệu, người ta cho một tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Đề-

9


các, và hàm f được xác định bởi phép cho tương ứng hoành độ mỗi điểm trong tập hợp
điểm đã cho với tung độ của nó. Tập hợp các điểm đã cho ở trên gọi là đồ thị của hàm
số f.
Một hàm số cho bằng phương pháp giải tích hoặc phương pháp bảng có thể
biểu diễn được bằng đồ thị. Việc biểu diễn tập hợp các điểm đã cho lên mặt phẳng gọi
là việc vẽ đồ thị hàm số.
Cũng theo tài liệu Giải tích hàm một biến , trong thực tế người ta thường kết
hợp cả ba phương pháp trên để mô tả hàm số. Tuy nhiên không phải hàm số nào cũng
có thể mơ tả chính xác bằng đồ thị, đồng thời có những hàm số mơ tả được bằng
phương pháp bảng mà không thể mô tả được bằng biểu thức giải tích.
Phương pháp mơ tả
Cũng bàn về các phương pháp biểu diễn hàm số, giáo trình Calculus ([1], tương đương
chương trình tốn đại học năm thứ nhất) có đưa ra 4 phương pháp biểu đạt (repesent)
hàm số: bao gồm 3 phương pháp như trên và có thêm phương pháp mô tả (verbally),
nghĩa là mô tả bằng lời, bằng một mệnh đề hoặc bằng một thuật toán.

Dưới đây là một ví dụ về cách cho hàm số bằng mơ tả trong giáo trình Calculus trang
11.
Phí vận chuyển C của một món hàng hố bằng bưu điện được xác định căn cứ
vào khối lượng w của món hàng. Mặc dù khơng có một cơng thức nào biểu thị mối liên
hệ giữa C và w nhưng bưu điện người ta có quy luật để xác định C khi biết w.
Sau đây là ví dụ về một hàm số cho bằng cách mô tả: Đặt tương ứng mỗi số tự
nhiên n với một số thực là kết quả làm tròn số π đến n chữ số thập phân. Quy tắc
tương ứng này xác định một hàm số từ tập số tự nhiên  vào tập số thực  . Tuy
nhiên khơng có công thức nào biểu diễn cho hàm số này.
1.2.2.2 “Khôi phục” hàm số cho bằng bảng
Khi một hàm số được cho bằng bảng thì ta chỉ biết giá trị của hàm tại những
điểm rời rạc, khi đó người ta tìm cách “khôi phục” lại hàm số để ước lượng giá trị của

10


hàm tại những điểm chưa cho trong bảng. Trong quá trình tìm hiểu về hàm số cho
bằng bảng, chúng tơi tìm thấy 2 cách khơi phục:
• bằng trực giác
• bằng phương pháp giải tích
Khơi phục hàm số bằng trực giác
Trở lại ví dụ đã được đề cập ở phần mở đầu, đây là một ví dụ về phương pháp
“lấp đầy” hàm số bằng trực giác.
“Nhiệt độ T (độ F ) ở thành phố Dallas ngày 2 tháng 6 năm 2001 được ghi lại
theo thời gian t cứ 2 giờ 1 lần như ở bảng sau:
t

0

2

4

6

8

10

12

14

T

73

73

70

69

72

81

88

91

1) Dùng bảng số liệu vẽ đồ thị dạng điểm để biểu diễn T như là một hàm số của t.
2) Dùng đồ thị hãy xấp xỉ nhiệt độ lúc 11 giờ sáng.”
Kĩ thuật giải bài tốn này chưa dùng đến những kiến thức ở trình độ toán đại
học mà chỉ đơn giản là vẽ đồ thị dạng điểm sau đó vẽ một đường liền nét đi qua các
điểm đó. “Đường” được vẽ ở đây là khơng duy nhất. Do đó kết quả của câu hỏi thứ hai
trong bài tốn này cũng khơng duy nhất mà chỉ là sự xấp xỉ và chưa có cơng cụ để
đánh giá sai số trong câu hỏi này.
Bài tập này ẩn chứa 3 kiểu nhiệm vụ được chúng tôi rút ra dưới đây:
Kiểu nhiệm vụ T 1 : Vẽ đồ thị dạng điểm của hàm số từ một bảng số liệu.
Kĩ thuật τ 1 : Biểu diễn các các điểm có toạ độ (x i ,f(x i )) lên mặt phẳng toạ độ
Oxy. Trong đó các cặp (x i ,f(x i )) được lấy từ bảng số liệu.
Công nghệ θ 1 : Toạ độ của một điểm trên mặt phẳng toạ độ Oxy.
Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Nối liền” đồ thị của hàm số từ đồ thị dạng điểm.
Kĩ thuật τ 2 : Vẽ một đường cong liền đi qua các điểm rời rạc đã biểu diễn.

11


Công nghệ θ 2 : Đồ thị của một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] là một đường
liền trên đoạn đó.
Kiểu nhiệm vụ T 3 : Dự đốn giá trị của hàm số tại một điểm khơng có
trong bảng.
Kĩ thuật τ 3 : Dự đoán giá trị của hàm số y = f(x) tại điểm x = x 0 khơng có trong
bảng: Vẽ đường thẳng Δ vng góc với trục hồnh tại điểm có hồnh độ x 0 , Δ cắt
đường cong đồ thị hàm số đã được “nối liền” tại điểm M, vẽ đường thẳng qua M cắt
trục tung tại điểm có tung độ y 0 và y 0 sẽ là giá trị của hàm số tại x 0 .
Công nghệ θ 3 : Đồ thị của hàm số y = f(x) trên tập xác định D là tập hợp tất cả
các điểm M(x; f(x)) trong mặt phẳng toạ độ Oxy khi x nhận tất cả các giá trị trong
D.

Vấn đề mơ hình hố cũng hiện diện trong bài tập này. Thế nào là mơ hình
hố, các bước của q trình mơ hình hố, vấn đề mơ hình hố thể hiện qua các bước ở
bài tập này như thế nào sẽ được trình bày chi tiết ở chương 2.

Khơi phục hàm số bằng phương pháp giải tích
Sau đây là ví dụ minh hoạ cho việc “khơi phục” (xấp xỉ) hàm số bằng biểu
thức giải tích để giải quyết bài tốn trong thực tế (hình 1.1, trang 14, sách [1]). Chúng
tôi tạm dịch như sau:
Chúng ta mô tả hàm số bằng lời: P (t) là dân số thế giới ở thời điểm t.
Bảng số liệu bên dưới cung cấp thông tin về hàm số. Nếu vẽ đồ thị những số
liệu này, chúng ta sẽ thu được đồ thị rời rạc (scatter plot). Đồ thị rất hữu ích trong
việc quan sát dữ liệu một lần thay vì phải đọc tất cả dữ liệu trong bảng. Thế cịn cơng
thức hàm thì sao? Tất nhiên khơng thể biểu diễn dân số P (t) tại thời điểm t dưới dạng
biểu thức. Tuy nhiên chúng ta có thể tìm một biểu thức xấp xỉ cho P (t). Trong thực tế,

12


dùng phương pháp xấp xỉ bằng hàm mũ với sự hỗ trợ của một máy tính cầm tay có
chức năng này ta thu được sự xấp xỉ như sau:
P(t)≈ (0.008079266).(1.013731)

t

Năm

1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000

Dân số

1650 1750 1860 2070 2300 2560 3040 3710 4450 5280 6080

Hình bên phải là sự lấp đầy cho hàm số. Bằng biểu thức hoặc đồ thị đã lấp
đầy, ta có thể dự đốn dân số vào một năm nào đó trong tương lai gần. [Calculus,
trang 14]
Có một ngành Tốn học chuyên nghiên cứu việc “khôi phục” lại hàm số được
cho dưới dạng bảng bằng phương pháp giải tích, đó là mơn giải tích số (numeric
analysis) - ở Việt Nam cịn có tên gọi “phương pháp tính”. Phân nhánh Tốn học này
tìm cách “xấp xỉ” hàm số cho bằng bảng bởi một biểu thức giải tích. Cách làm này cịn
gọi là nội suy (interpolation) hàm số.
Về mặt giải tích tốn học, theo cơng thức khai triển Taylor thì mọi hàm số khả
vi cấp n +1 có thể xấp xỉ bằng một đa thức bậc bé hơn hoặc bằng n. Vì vậy, người ta
hay xấp xỉ những hàm số cho bằng bảng bởi hàm đa thức. Trong các giáo trình đại
học, có các phương pháp nội suy thơng dụng sau:
• Nội suy bằng đa thức Lagrange
• Phương pháp nội suy Newton

13


• Phương pháp Hermite
• Phương pháp bình phương cực tiểu
• Phương pháp nội suy Spline
Đa thức nội suy Lagrange được xây dựng như sau đây. Cho bảng số liệu
x0

x1

…

xn

y0

y1

…

yn

Tìm đa thức nội suy bậc n có dạng

Pn ( x ) = a0 + a1 x +  + an x n
thỏa mãn Pn ( xi ) = yi với mọi i từ 0 đến n. Ngời ta chứng minh được đa thức này là
duy nhất và
n

Pn ( x ) = ∑ yi Li ( x )
i =0

với

Li ( x ) =

( x − x0 ) ( x − x1 )( x − xi −1 )( x − xi +1 )( x − xn )
( xi − x0 )( xi − x1 )( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )( xi − xn )

Đa thức nội suy Lagrange đơn giản và dễ tính nếu các nút nội suy đã được cố
định. Nhưng khi ta bổ sung thêm nút nội suy thì q trình tính lại phải thực hiện lại từ
đầu. Đây là nhược điểm của đa thức nội suy Lagrange. Để khắc phục nhược điểm này

người ta tính đa thức nội suy theo một cách khác hiệu quả hơn, đó là đa thức nội suy
Newton. Để xây dựng công thức này, người ta cần đến khái niệm sai phân.
Đa thức nội suy Lagrange và Newton chỉ thoả mãn giá trị của đa thức này tại
các mốc nội suy x i bằng y i . Trường hợp tổng quát, ngoài thoả mãn giá trị của hàm số
tại các mốc còn phải thoả mãn thêm giá trị của đạo hàm các cấp 1, 2, … k (với k hữu
hạn) trong một bảng số cho trước thì ta có đa thức nội suy Hermite.

14


Đa thức nội suy tổng quát Hermite quá phức tạp nên người ta mới những
phương pháp khác đơn giản hơn đó là “phương pháp bình phương bé nhất” hoặc
“phương pháp Spline” (nội suy ghép trơn bởi các đường cong bậc ba).

1.3 Kết luận
Từ những nghiên cứu trên, chúng tôi đã trả lời được câu hỏi nghiên cứu Q 1 (Hàm số
biểu thị bằng bảng hiện diện như thế nào trong Toán học hiện đại?) đồng thời rút ra
một vài kết luận sau:
• Bảng số xuất hiện từ rất sớm trong lịch sử, trước khi có định nghĩa
hồn chỉnh khái niệm hàm số.
• Một hàm số có thể cho bằng: biểu thức giải tích, bảng giá trị, đồ thị,
hoặc bằng cách mơ tả.
• Trong tốn học hiện đại, có việc “khơi phục” một hàm số cho bằng
bảng. “Khôi phục” ở đây hiểu theo nghĩa xấp xỉ hàm số đã cho bằng
biểu thức để có thể dự đốn giá trị của hàm số tại những điểm khơng có
trong bảng.
• Gắn liền với hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị, có các kiểu
nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 như dưới đây mà việc giải chúng chỉ dùng các
kiến thức ở trung học phổ thông chứ không dùng các kiến thức ở bậc
đại học.

Kiểu nhiệm vụ T 1 : Vẽ đồ thị dạng điểm của hàm số từ một bảng số liệu.
Kiểu nhiệm vụ T 2 : “Nối liền” đồ thị của hàm số từ đồ thị dạng điểm.
Kiểu nhiệm vụ T 3 : Dự đoán giá trị của hàm số tại một điểm khơng có trong
bảng.
• Có sự hiện diện của vấn đề mơ hình hố trong các kiểu nhiệm vụ T 1 ,
T2, T3.

15


Chương 2: Hàm số biểu đạt bằng bảng trong chương trình
phổ thơng

Ở chương 1, chúng tơi đã tìm hiểu sự xuất hiện của bảng số trong lịch sử và sự
hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng giá trị trong Toán học hiện đại. Để biết
những nội dung ấy hiện diện như thế nào trong chương trình phổ thơng, ở chương này
chúng tơi thực hiện phân tích sách giáo khoa.
Như thông lệ, sau khi kết thúc chương 1, chúng tơi tiến hành phân tích sách
giáo khoa Tốn Việt Nam để tìm hiểu sự hiện diện của hàm số biểu đạt bằng bảng ở
chương trình Tốn phổ thơng. Tuy nhiên, các kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 , T 3 khơng được
tìm thấy trong sách giáo khoa Tốn. Vì vậy, phạm vi nghiên cứu được mở rộng sang
các mơn học khác và chúng tơi đã tìm thấy sự hiện diện của các kiểu nhiệm vụ này ở
sách giáo khoa Vật lí. Ở chương này chúng tơi sẽ đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi
nghiên cứu Q 2 , Q 3 , Q 4 .
Q 2 : Hàm số biểu đạt bằng bảng hiện diện như thế nào trong các mơn học khác
ở chương trình phổ thơng?
Q 3 : Hệ thống biểu đạt hàm số bằng bảng giá trị được trình bày như thế nào
trong sách giáo khoa Toán Việt Nam, mối liên hệ với các hệ thống biểu đạt khác?
Q 4 : Có hay khơng đối tượng mơ hình hố trong việc trình bày hàm số của sách
giáo khoa? Cuộc sống của đối tượng mơ hình hoá này như thế nào?

2.1 Hàm số biểu đạt bằng bảng trong sách giáo khoa Vật lí Việt
Nam
Trong vật lí, nhiều tình huống có sự hiện diện của các kiểu nhiệm vụ T 1 , T 2 ,
T 3 (kiểu nhiệm vụ đã được trình bày ở chương 1). Ở phần này, chúng tôi chọn sách

16


giáo khoa Vật lí lớp 10 ban cơ bản, chương 1 Động học chất điểm để minh hoạ cho sự
tồn tại các kiểu nhiệm vụ này.

2.1.1 Chuyển động thẳng biến đổi đều
Để dẫn dắt vào bài, sách giáo khoa nêu ví dụ về việc thả một hịn bi trên máng
nghiêng, hòn bi sẽ chuyển động nhanh dần. Từ nhanh dần ở đây phải hiểu là vận tốc
tăng theo thời gian, cịn tăng đều hay khơng thì chưa biết. Chuyển động thẳng biến đổi
đều chỉ là một trường hợp rất đặc biệt trong những chuyển động có vận tốc thay đổi
(chẳng hạn như thay đổi mà không tăng đều hay giảm đều theo thời gian).
Cơng thức tính vận tốc và gia tốc
Sách giáo khoa Vật lí 10 trình bày chuyển động thẳng biến đổi đều bằng con
đường suy diễn. Sách định nghĩa chuyển động thẳng biến đổi đều rồi sau đó dựa vào
định nghĩa và các cơng cụ tốn học để thành lập các biểu thức tính vận tốc tức thời,
biểu thức tính quãng đường theo thời gian. Cuối chương là bài thực hành giúp kiểm
chứng rơi tự do là một chuyển động thẳng biến đổi đều.
Sách giáo khoa định nghĩa: “Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động
có vận tốc tức thời tăng đều hoặc giảm đều theo thời gian.”
Từ định nghĩa chuyển động thẳng biến đổi đều, sách giáo khoa nêu khái niệm
gia tốc. Gọi v0 là vận tốc ở thời điểm t0 và v là vận tốc ở thời điểm t sau đó. Hiệu
∆v = v − v0 là độ biến thiên vận tốc trong khoảng thời gian Δt ( ∆t = t − t0 ). Vì vận tốc

biến đổi đều theo thời gian nên Δv tỉ lệ thuận với Δt với hệ số tỉ lệ a khơng đổi và viết
được Δv = aΔt. Từ đó sách giáo khoa nêu định nghĩa gia tốc:
“Gia tốc của chuyển động là đại lượng xác định bằng thương số giữa độ biến
thiên vận tốc Δv và khoảng thời gian vận tốc biến thiên Δt.”
a=

∆v
∆t

Từ công thức này, sách giáo khoa xây dựng cơng thức tính vận tốc tức thời:

17


=
a

∆v v − v0
=
∆t t − t0

Nếu lấy gốc thời gian ở thời điểm t0 ( t0 = 0 ) ta sẽ có Δt = t và:
v= v0 + at

Cơng thức tính quãng đường trong chuyển động thẳng biến đổi đều
Việc chứng minh cơng thức tính qng đường trong chuyển động thẳng biến
đổi đều
=
s v0t +

1 2
at
2

cần sử dụng đến kĩ thuật tương tự như tích phân xác định. Do đó sách giáo
khoa chỉ trình bày chứng minh cơng thức này trong bài đọc thêm (phần em có biết,
trang 23, [8]) như sau:

Trước tiên, sách giáo khoa vật lý 10 quay lại xem xét chuyển động thẳng đều.
Trong chuyển động thẳng đều, vận tốc bằng hằng số. Do đó đồ thị vận tốc theo thời
gian là một đường thẳng nằm ngang song song với trục thời gian.
Quãng đường đi được từ lúc bắt đầu chuyển động (t = 0) đến thời điểm t trong
chuyển động thẳng đều được tính bằng cơng thức: s = vt. Xét hình chữ nhật có một
cạnh là v, một cạnh là t, diện tích hình chữ nhật này tỉ lệ với quãng đường đi được.
Sách giáo khoa áp dụng kết quả trên cho chuyển động nhanh dần đều. Phương
trình vận tốc của chuyển động nhanh dần đều là v = v 0 + at. Đồ thị vận tốc theo thời
gian có dạng một đường thẳng có hệ số góc a.

18


Ta chia khoảng thời gian t thành rất nhiều khoảng nhỏ Δt, sao cho mỗi khoảng
thời gian nhỏ đó có thể coi như chuyển động thẳng đều với vận tốc là vận tốc ở điểm
giữa của khoảng đó. Quãng đường đi được trong khoảng thời gian đó được biểu diễn
bằng diện tích của dải hẹp hình chữ nhật, một cạnh là Δt, một cạnh là v. Quãng đường
đi được trong khoảng thời gian Δt tiếp theo cũng được biểu diễn bằng diện tích của dải
hẹp hình chữ nhật như trên, nhưng cạnh v dài hơn một chút. Cứ như thế, quãng đường
đi được trong cả khoảng thời gian t sẽ được biểu diễn bằng tổng diện tích của tất cả
các dải hẹp nói trên. Nếu lấy khoảng Δt rất nhỏ thì tổng diện tích các dải hẹp sẽ bằng
diện tích của hình thang vng có chiều cao là t, đáy nhỏ và đáy lớn lần lượt là v0 và

v. Từ đó ta được
=
s

1
( v0 + v ) t
2

Với v= v0 + at nên ta có
=
s v0t +

1 2
at
2

Việc trình bày này của sách giáo khoa cho chúng tôi thấy sự phụ thuộc bậc hai
giữa quãng đường và thời gian trong chuyển động thẳng biến đổi đều được xây dựng
dựa vào tư tưởng của tích phân xác định. Vì chứng minh này được trình bày trong bài
đọc thêm, nên trong tiết lý thuyết trên lớp chắc chắn học sinh bị áp đặt phải thừa nhận
công thức này. Đến đây, chúng tôi đặt ra câu hỏi: “Có thể cho học sinh tự phát hiện ra
sự phụ thuộc bậc hai của quãng đường theo thời gian bằng đo đạc thực nghiệm thông
qua bảng số hay không?”

19