CD DONG DU THUC

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỒNG DƯ THỨC. 1. Kiến thức cơ bản: * Định nghĩa: Cho a, b là các số nguyên và n là số nguyên dương ta nói a đồng dư với b theo mô đun n nếu a và b có cùng số dư khi chia cho n, kí hiệu: a  b(mod n) Như vậy a  b (mod n)  (a - b ) n hay a  0 (mod n)  a  n * Tính chất:. Cho a,b,c  N*. Nếu a  b(mod n) và c  b(mod n) thì a  c (mod n) Nếu a  b(mod n) thì a + c  b + c (mod n) Nếu a  b(mod n) thì ac  bc (mod n) Nếu a  b (mod n) thì an  bn (mod n) (a + b)n  bn(mod a), a > 0 * Định lí Fermat: Cho p là số nguyên tố (a,p) = 1 khi đó ap-1  1 (mod p) 2. Các ví dụ cụ thể: Ví dụ 1: Chứng minh A = (7.52n + 12.6n ) 19 n N Giải Ta có: 7.52n = 7.(52)n = 7.25n  A = 7.25n + 12.6n Vì 25  6 (mod 19)  25n  6n (mod 19)  7. 25n  7.6n (mod 19)  7.25n + 12.6n  7.6n + 12.6n (mod 19)  7.25n + 12.6n  19.6n  0 (mod 19)  A  19. 2n. 2 Ví dụ 2 Chứng minh A (2  5)7(n  N ; n 1). Giải Ta có 23  1 (mod 7)  Ta đi tìm số dư của 22n khi chia cho 3.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Ta có: 22  1 (mod 3)  22n  1(mod 3)  22n = 3k + 1 (k N) 2n.  A 22  5 23k 1  5 2.23k  5 2.8k  5 Vì 23  1 (mod 7)  (23)k  1 (mod 7) hay 8k  1 (mod 7)  2.8k  2.1 (mod 7)  2.8k + 5  2.1 + 5  0 (mod 7)  2.8k + 5 7 Vậy A 7 2004n. 2003 Chứng minh rằng (1924. Ví dụ: 3.  1920)124, n  N *. Giải 2003 - Đặt A = 1924. 2004n.  1920. - Ta có 124 = 4.31 và (4, 31) = 1 - Vì 1924  2 (mod 31)  1924 – 4  2 – 4 (mod 31)  1920  –2 (mod 31) 2004n. 2003  1924.  1920  1924. 20032004. n. 2004 n.  ( 2) (mod 31)  A  19242003.  2 (mod 31). n. 2004 - Mặt khác 25  1 (mod 31) nên ta đi tìm số dư của 2003 khi chia cho 5 n. 2004 - Ta có 2004n = 4k (k  N) nên 2003 = 20034k. - Vì 2003  3 (mod 5) và 34  1(mod 5)  34k  1 (mod 5) n. n. 2004 2004  20034k  34k  1 (mod 5) hay 2003  1 (mod 5)  2003 = 5m + 1 2004n. 2003 2. 25m 1 2.25m 2(25 )m. (1). do 25  1 (mod 31)  (25)m  1 (mod 31)  2.(25)m  2.1 (mod 31) Từ (1) và (2)  2. 20032004. n.  2 (mod 31). - Vì 1924  2 (mod 31)  1924 - Từ (3) và (4)  1924 2004n. 2003 - Vậy A  1924. (2). 20032004. n. n. 20032004. (3) 2004n. 2003 2. (mod 31) (4).  2 (mod 31)  1924. 20032004. n.  2  0 (mod 31)  A  31 2004n. 2003 - Ta lại có 1924 4  1924.  4; 1920  4  A  4. - Vì A4, A31 và (4, 31) = 1  A 4.31 hay A 124.  2  0 (mod 31).

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Ví dụ 4: Cho A = 22004 a) Tìm hai chữ số tận cùng của A b) Tìm ba chữ số tận cùng của A Giải a) Tìm hai chữ số tận cùng của A thực chất là tìm số dư của A khi chia cho 100 - Ta có: 100 = 4. 25 = 22.52 - Trước hết ta đi tìm số dư của A khi chia cho 25. - Ta có A = 22004 = 24(210)200 - Vì 210 = 1024  -1 (mod 25)  (210)200 (-1)200 (mod 25)  24(210)200  24(-1)200 (mod 25) hay A  16 (mod 25) - Vậy A có thể viết dưới dạng: A = 25k + 16 (k  N) - Mặt khác A = 22004 = 22.22002 = 4.22002  A  4  25k  4  k  4  k = 4m (m  N)  A = 25.4m + 16 = 100m + 16  16 (mod 100) Vậy hai chữ số tận cùng của A là 16 b) Tương tự ta đi tìm số dư của A khi chia cho 1000 - Ta có: 1000 = 8.125 = 23.53 và A = 24.22000 = 24.(250)4 = 16. (250)4 - Trước hết ta tìm số dư khi chia A cho 53 = 125 - Từ hằng đẳng thức: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3+ 5ab4 + b5 ta thấy nếu a  25 thì (a + b)5  b5(mod 125) - Vì 210  -1 (mod 25)  210 = 25n - 1 (n  N)  250 = (210)5 = (25n - 1)5  (-1)5 (mod 125)  (250)4  (-1)4 (mod 125)  (250)4  1 (mod 125) - Vậy A = 16(250)4  16.1(mod 125)  A = 125k + 16 (k  N ) - Vì A = 22004 = 23.22001  A  8  125k  8  k 8  k = 8m (m  N) - Vậy A có dạng: A = 125.8m + 16 = 1000m + 16  16 (mod 1000) - Vậy ba chữ số tận cùng của A là 016 (* Tổng quát: Tìm n chữ số tận cùng của A thực chất là tìm số dư khi chia A cho 10n. Để tìm số dư khi chia cho 10n ta tìm số dư khi chia cho 2n và 5n).

<span class='text_page_counter'>(4)</span> BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Cho a  Z Chứng minh rằng: a) Nếu a  1 (mod 2) thì a2  1 (mod 8) b) Nếu a  1 (mod 3) thì a3  1 (mod 9) Hướng dẫn: a) Vì a  1 (mod 2) nên a có dạng: a = 2k + 1 (k Z )  a2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 4k(k + 1) +1 Do k(k + 1)  2 nên 4k(k+ 1)  8  a2  1(mod 8) b) Tương tự Bài 2: Chứng minh rằng a) (1110- 1) 100 b) (19611962+19631964+ 19651966+ 2) 7 c) (241917+ 14191719 d) (29+ 299)  200 e) (13123456789 -1) 183 f) (19791979 - 19811981+ 1982)  1980 g) (340- 1)  396880 h) (22225555+ 55552222)  7 Hướng dẫn: a) Ta có: 1110 – 1 = (11 – 1)(119 + 118 + 117 +…+ 11 + 1) = 10(119 + 118 + 117 +…+ 11 + 1) Do 11  1 (mod 10)  11n  1 (mod 10)  119 118 117 … 11  1 (mod 10)  (119 + 118 + 117 +…+ 11 + 1)  10  0 (mod 10)  (1110 – 1)  100 h) Ta có 2222  3 (mod 7)  22225555 35555 (mod 7) Mặt khác: +) 32  2 (mod 7)  35555 = 35554 + 1 = 3.(32)2777  3.(22777) (mod 7) +) 23 1 (mod 7)  22777= 23.925 + 2 = 22.(23)925  22(mod 7)  22225555 3.4  5(mod 7). (1). +) 5555  4 (mod 7)  55552222  42222(mod 7).

<span class='text_page_counter'>(5)</span> +) 43  1(mod 7)  42222 = 43. 740+2 = 42.(43)740  42  2 (mod 7). (2). Từ (1) và (2)  22225555 + 55552222  5 + 2  0 (mod 7) đpcm - Các phần còn lại tương tự Bài 3: Tìm số dư khi chia số A = 776776+ 777777+778778 cho 3 Hướng dẫn: Ta thấy: 776  2 (mod 3)  776776  2776 (mod 3) vì 22  1 (mod 3).  2776  1 (mod 3)  776776  1 (mod 3). 777  0 (mod 3)  777777 0 (mod 3) 778  1 (mod 3)  778778  1( mod 3) Vậy A  1 + 0 + 1  2 (mod 3) Vậy số dư là 2 Bài 4: Một số tự nhiên khi chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi khi chia số đó cho1292 dư? Hướng dẫn: Gọi số tự nhiên phải tìm là a Vì a chia cho 19 dư 13 nên a có dạng: a = 19k + 13 (k  N) Vì a chia cho 17 dư 9 nên: 19k + 13  9 (mod 17)  2k + 4  0 (mod 17)  k + 2  0 (mod 17)  k+ 2 = 17q (q  N)  k = 17q – 2 (*) Vì a chia cho 4 dư 3 nên: 19k + 13  3 (mod 4)  19 (17q – 2) + 13  3 (mod 4)  323q – 28  0 (mod 4)  q  0 (mod 4)  q = 4n (n  N) Vậy a có dạng: a = 19(17.4n – 2) + 13  a = 1292n - 25  -25 (mod 1292)  a  1267 (mod 1292) Vậy a chia cho 1292 dư 1267 Bài 5: Cho n là một số nguyên dương chứng minh.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> a) Nếu A là một số có chữ số tận cùng bằng 5 thì An cũng có chữ số tận cùng bằng 5 b) Nếu A có chữ số tận cùng bằng 6 thì An cũng có chữ số tận cùng bằng 6 c) Nếu A có hai chữ số tận cùng bằng 25 thì An cũng có hai chữ số tận cùng bằng 25 d) Nếu A có hai chữ số tận cùng là 76 thì An cũng có hai chữ số tận cùng bằng 76 e) Nếu A có ba chữ số tận cùng bằng 625 thì An cũng có ba chữ số tận cùng bằng 625 Hướng dẫn a) Giả sử A có chữ số tận cùng là 5  A  5 (mod 10)  An  5n (mod 10) xét 5n – 5 = 5(5n – 1 – 1) Vì 5n – 1 – 1 là một số chẵn nên 5n – 5  0 (mod 10)  5n  5 (mod 10) Vậy An  5 (mod 10) hay An có chữ số tận cùng bằng 5 - Các phấn b, c, d, e, làm tương tự Bài 6: Cho n là số tự nhiên chứng minh a) 52n+1 + 2n+4+ 2n+1 chia hết cho 23 b) 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133 c) 5n+2 + 26.5n + 82n+1 chia hết cho 59 d) 52n+1.2n+2 + 3n+222n+1chia hết cho 38 e) 13n+2 + 142n+1 chia hết cho 183 f) 22n+1 + 32n+1 chia hết cho 5 g) 42n – 32n – 7 chia hết cho 168 (n = 1) h) Chứng minh 9n + 1 không chia hết cho 100 (n  N ) Hướng dẫn: a) Ta có: 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 = 5.(25)n + 24.2n + 2.2n = 5.25n + 18.2n Vì 25  2 (mod 23)  25n  2n(mod 23)  5.25n + 18.2n  5.2n + 18.2n  23.2n  0 (mod 23) Vậy  đpcm h/ Ta có 100 = 4.25 Vì 9  1 (mod 4)  9n  1 (mod 4).

<span class='text_page_counter'>(7)</span>  9n + 1  2 (mod 4)  9n + 1 không chia hết cho 100 - Các phần còn lại làm tương tự Bài 7: Tìm số tự nhiên n sao cho: a) 23n+4+ 32n+1 chia hết cho 19 b) n.2n +1 chia hết cho 3 c) 3n + 4n + 1 chia hết cho 10 d) 22n + 2n + 1 chia hết cho 21 e) n10+ 1 chia hết cho 10 f) 20n +16n - 3n - 1 chia hết cho 323 Hướng dẫn: a: Ta có 23n+4 + 32n+1 = 24.23n+3.32n = 16.8n + 3.9n Đặt A = 16.8n + 3.9n  2n.A = 16.16n + 3.18n Vì 16  -3(mod 19)  16n+1 (-3)n+1(mod 19) 18  -1 (mod 19)  18n  (-1)n(mod 19)  3.18n  3.(-1)n(mod 19)  Ta cần tìm n sao cho 3n- 1 chia hết cho 19 Có nghĩa là tìm n sao cho 3n  1 (mod 19) Theo định lý fermat với p  P , (a,p) = 1 thì ap-1  1 (mod p) Nên ta có 319 -1  1(mod 19)  318  1 (mod 19) Vậy n có dạng n = 18m( m  N*) b) Xét n chẵn, n lẻ c) Tìm n để chia hết cho 2 và 5 d) Tìm n để chia hết cho 3 và 7 e) Xét các số dư của n khi chia cho 5 ta suy ra n  ± 2 (mod 5)  n = 5m ± 2 (m  Z) hơn nữa vì n10+ 1  2 nên n lẻ  m lẻ  m = 2k+ 1 (k  Z) Vậy n = 10k + 7 hoặc n = 10k + 3 (k  Z) f) Ta có 323 = 19.17 Xét n chẵn, n lẻ Kết quả: n chẵn.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Bài 8: 99. 9 a) Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 7. 1414. b) Tìm hai chữ số tận cùng của số A = 14 77. 7. 7 7 c) Chứng minh hai số 7 và 7 có hai chữ số tận cùng giống nhau 9 d) Tìm hai chữ số tận cùng của số: A = 29. 2002. 19992000. e) Tìm hai chữ số tận cùng của số: A = 1998. 19992000. f) Tìm ba chữ số tận cùng của số: A = 1998. 20032004 20012002. 20032004 20012002. Hướng dẫn: a) Ta có 72  (-1) (mod 25) 9. 9. 9 9 Vì 9  1 (mod 2)  9  1 (mod 2)  9 viết được dưới dạng: 9. 99 = 2k + 1 (k  N).  A  72k+1  7.72k  7.(-1)k(mod 25) Vậy A có dạng: A = 25.q + (-1)k 99. 9 Vì 72  (1) (mod 4)  7  1 (mod 4)  A chia cho 4 dư 1.  q + (-1)k chia cho 4 dư 1  q + (-1)k = 4m + 1  q = 4m + 1 - (-1)k  A = 25.[4m + 1 - (-1)k] + (-1)k A = 100m + 25 - 24(-1)k do k chẵn nên hai chữ số tận cùng của A là 01 - Các phần còn lại làm tương tự..

<span class='text_page_counter'>(9)</span>