(Sáng kiến kinh nghiệm) KHAI THÁC các DẠNG TOÁN về hàm số hợp và hàm số ẩn về TÍNH đơn điệu của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ HỢP VÀ HÀM SỐ ẨN VỀ
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ .
I. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.
Năm 2017 là năm đầu tiên Bộ GD&ĐT đưa hình thức trắc nghiệm vào bài thi
mơn tốn trong kỳ thi THPT Quốc gia.Vì vậy giáo viên và học sinh cịn nhiều bỡ
ngỡ với cách dạy học, cách làm bài thi trắc nghiệm.Trong khi đó tài liệu chuyên sâu
về phương pháp dạy, học, kỹ thuật làm bài thi trắc nghiệm còn rất hạn chế…tuy
nhiên sau hai năm thực hiện thì hầu như việc dạy và việc học đã có phần khởi sắc.
Nhiều quan điểm trước đó rằng thi trắc nghiệm thì khơng cịn cái hay của tốn học,
rồi khơng có tính tư duy logic, khơng phát huy được khả năng trình bày cũng như
hiểu bản chất của bài toán của học sinh… Do đó, trong cơng tác giảng dạy,tơi phải
liên tục cập nhật, điều chỉnh phương pháp dạy cho phù hợp với xu hướng ra đề
mới...và sau hai năm lĩnh hội và trực tiếp tiếp cận với các phương pháp sao cho phù
hợp với cách ra đề mới đó tơi cảm thấy thi trắc nghiệm mơn tốn khơng như mình
cảm nhận lúc đầu. Theo quan điểm cá nhân tôi thấy với cách thi trắc nghiệm một
dạng kiến thức được khai thác rất sâu, thiết kế được rất nhiều dạng bài tập.Đối với
dạng tốn về hàm số trước kia thi tự luận thì xoay đi xoay lại chỉ là câu khảo sát sự
biến thiên và vẽ đồ thị hàm số, rồi một ý của câu hỏi phụ về một mảng kiến thức
trong rất nhiều kiến thức về hàm mà học sinh được học. Với việc thi trắc nghiệm thì
kiến thức về hàm được khai thác triệt để, mở rộng ra nhiều hướng, và đặc biệt trong
đề thi các mảng kiến thức đều có ít nhất một câu. Tuy nhiên hiện nay SGK chưa cải
cách kịp và người thầy cũng như học sinh đang ít nhiều lúng túng với các dạng toán
về hàm số được mở rộng cho phù hợp với cách ra đề trắc nghiệm như hiện nay, đặc
biệt là các dạng toán về HÀM SỐ HỢP VÀ HÀM SỐ ẨN ( một kiến thức mà khi
thi tự luận rất ít dùng tới). Với mong muốn cải thiện, nâng cao chất lượng của học
sinh, và chia sẻ, học hỏi kinh nghiệm với đồng nghiệp tơi đã tìm tịi, thực nghiệm và
viết nên đề tài này.
1.2. Mục đích nghiên cứu.

Giúp học sinh tiếp cận và khai thác triệt để một số dạng toán về HÀM SỐ HỢP VÀ
HÀM ẨN ( trong giới hạn đề tài) nhằm nâng cao tính tự nhiên tiếp cận kiến thức thi
THPTQG về phần hàm số cũng như nâng cao hiệu quả làm bài thi. Đề tài này bước
1


đầu xây dựng cho các em phương pháp tiếp cận các dạng toán về hàm số hợp và
hàm số ẩn. Các dạng toán các em tiếp cận kiến thức như: Một phương pháp tư duy
giúp học sinh hiểu rõ bản chất của một số vấn đề như : Cho đồ thị f ' ( x ) hỏi khoảng
đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû, Cho đồ thị f ' ( x ) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số
ù
é
ù
f é
ëu ( x ) û+ g ( x ) , Cho bảng biến thiên f ' ( x ) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f ëu ( x ) û. Cho
biểu thức f ' ( x ) hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû. Cho biểu thức f ' ( x , m ) tìm m
để hàm số f éëu ( x ) ùû đồng biến, nghịch biến….
Về xa hơn, đề tài muốn khơi gợi cho học sinh tình yêu khoa học kỹ thuật, biết
sử dụng các thiết bị công nghệ hiện đại phục vụ đời sống và công tác nghiên cứu
khoa học.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là : Các học sinh đang học lớp 12 THPT.
Trong đó đặc biệt là hướng tới các học sinh trung bình khá, khá, giỏi. Tuy nhiên học
sinh khá, giỏi mới là đối tượng phát huy tối đa hiệu quả của đề tài.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
Sử dụng phương pháp nghiên cứu : Tự tìm tịi, khám phá, đưa vào thực nghiệm
và đúc rút thành kinh nghiệm.

II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong thời đại nhân loại đang bước vào thế kỷ 21, thế kỷ mà nền tri thức, kỷ
năng của con người được xem là yếu tố quyết định của sự phát triển xã hội. Chính vì
vậy trong xã hội này chúng ta cần tạo ra những con người có trí thơng minh, trí tuệ
phát triển, sáng tạo và giàu tính nhân văn. cuộc cách mạng cơng nghiệp lần thứ 4,
con người cần phải khơng ngừng thích ứng với tình hình mới nhằm chiếm lĩnh các
kiến thức KHKT tiên tiến, hiện đại. Vì vậy giáo dục cần tạo ra sản phẩm là những
con người năng động, sáng tạo, dám làm, dám chịu trách nhiệm,…Trong lộ trình cải
cách toàn diện nền giáo dục nước nhà, việc đổi mới khâu tổ chức các kỳ thi, trong
đó có việc chuyển từ hình thức làm bài tự luận sang hình thức làm bài trắc nghiệm
là một khâu rất quan trọng vì nó giúp chúng ta đánh giá được học sinh trên diện
rộng một cách khách quan, tồn diện, nhanh chóng và chính xác.
Trong kì thi THPT Quốc gia năm học 2016 – 2017, lần đầu tiên đề thi mơn tốn
được ra bằng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan.Theo cấu trúc thì một đề thi có 50
2


câu với thời gian 90 phút, trung bình là 1,8 phút/1 câu. Như vậy, học sinh ngoài việc
phải nắm vững các kiến thức cơ bản, các phương pháp giải toán thì một điều rất
quan trọng là kỹ năng làm bài, kỷ năng nắm tốt các dạng toán trong cấu trúc đề thi,
đặc biệt là các dạng toán mới, lạ mà trước kia chưa được khai thác.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Trong thực tiễn giảng dạy, tơi thấy nhiều em học sinh vẫn cịn lúng túng với
các dạng tốn này, vì 2 năm học trước ít được va chạm với các dạng tốn này, ngay
cả với các thầy cô đang trực tiếp đứng lớp. Do đó khi gặp cịn lúng túng, chưa có
cách nhìn bài toán ở dạng quen thuộc. Các em chưa biết kết hợp một cách linh hoạt
các phương pháp giải toán, dẫn đến tốc độ làm bài chưa cao. Qua việc nghiên cứu
chuyên đề tôi thấy các em nên được tiếp cận chuyên đề ngay từ khi học chương đạo
hàm ( SGK 11), tuy nhiên nghiên cứu sâu và đầy đủ dạng thì phải đến đầu lớp 12

NỘI DUNG CỤ THỂ
Phần 1. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
1. Cho đồ thị f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû.
2. Cho đồ thị f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû+ g ( x )
3. Cho bảng biến thiên f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû.
4. Cho biểu thức f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû.
5. Cho biểu thức f ' ( x , m ) . Tìm m để hàm số f éëu ( x ) ùû đồng biến, nghịch biến.
Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số
Vấn đề 1. Cho đồ thị f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số
Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x )
như hình bên. Khẳng định nào sau đây sai ?
A. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( - 2;1) .
B. Hàm số f ( x ) đồng biến trên ( 1;+¥ )
C. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên đoạn có độ dài
bằng 2 .
D. Hàm số f ( x ) nghịch biến trên ( - ¥ ;- 2) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị của hàm số y = f ' ( x ) ta thấy:
3

ù
f é
ëu ( x ) û.


●

f '( x ) > 0

khi

é- 2 < x < 1
ờ
ắắ
đ f ( x)
ờ
ở x >1

ng bin trờn cỏc khong ( - 2;1) , ( 1;+¥ ) .

Suy ra A đúng, B đúng.
® f ( x ) nghịch biến trên khoảng ( - ¥ ; - 2 ) . Suy ra D đúng.
● f ' ( x ) < 0 khi x <- 2 ¾¾
Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C.
NX: Đây là bài toán rất cơ bản ở dạng nhìn đồ thị đọc dấu, tuy nhiên nhiều em học
sinh còn hay bị lúng túng và nhầm lẫn.
Câu 2. Cho hàm số

y = f ( x).

Hàm số g ( x ) = f ( 3 A. ( 0;2) .

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B. ( 1;3) .
C. ( - ¥ ;- 1) .
D. ( - 1; +¥ ) .

Đồ thị hàm số

Xét

như hình bên dưới

2x )

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có

y = f ¢( x )

é- 2 < x < 2
f ¢( x ) > 0 Û ê
.
ê
ëx > 5

g ¢( x ) = - 2 f ¢( 3 - 2 x ) .

é- 2 < 3 - 2 x < 2
g ¢( x ) < 0 Û f ¢( 3 - 2 x ) > 0 Û ê
Û
ê
ë3 - 2 x > 5

Vậy g ( x ) nghịch biến trên các khong

Cỏch 2. Ta cú

ộ1
5
ờ

ờ2
2.
ờ
ờ
ởx <- 1

ổ
1 5ử
ỗ
; ữ
ữ
ỗ
ữ v ( - Ơ ; - 1) .
ỗ
ố2 2 ứ

Chn C.

é 5
êx =
ê 2
é3 - 2 x = - 2
ê
ê
1
theo do thi f '( x )
ê3 - 2 x = 2 Û ê
g ¢( x ) = 0 Û f Â( 3 - 2 x ) = 0 ơắ ắ ¾ ¾®
êx = .
ê

ê 2
ê3 - 2 x = 5
ê
ë
êx = - 1
ê
ê
ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
4


Chú ý: Dấu của

g ¢( x )

được xác định như sau: Vớ d ta chn

ổ 1ử
x =0ẻ ỗ
ữ
ỗ- 1; ữ
ữ,
ỗ
ố 2ø

suy ra

Khi đó g ¢( 0) = - f ¢( 3) > 0.
Nhận thấy các nghiệm của g ¢( x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
theo do thi f ' x )
3 - 2 x = 3 ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( 3 - 2 x ) = f ¢( 3) < 0.

Câu 3. Cho hàm số

y = f ( x).

Hàm số g ( x ) = f ( 1A. ( - 1;0) .

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B. ( - ¥ ;0) .
C. ( 0;1) .
D. ( 1; +¥ ) .

Đồ thị hàm số

Xét

như hình bên dưới

2x )

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có

y = f ¢( x )

éx <- 1
f ¢( x ) < 0 Û ê
.
ê
ë1 < x < 2

g ¢( x ) = - 2 f ¢( 1 - 2 x ) .
éx > 1
ê
ê 1
.
ê- < x < 0
ờ
ở 2
ổ1 ử
ỗ
- ;0ữ
ữ
ỗ
ữ v ( 1; +Ơ ) .
ỗ
ố 2 ứ

ộ1 - 2 x <- 1
g Â( x ) > 0 Û f ¢( 1- 2 x ) < 0 Û ê
Û
ê
ë1 < 1 - 2 x < 2

Vậy g ( x ) đồng biến trên các khoảng

Cách 2. Ta có

é1 ê
ê1 theo do thi f '( x )
g ¢( x ) = 0 Û - 2 f Â( 1 - 2 x ) = 0 ơắ ¾ ¾ ¾® ê
ê1 ê
ê1 ê
ë

Chọn D.

éx = 1
ê
êx = 0
ê
ê
Û êx = ê
ê
ê
2 x = 4 ( nghiem kep)
êx = ê
ë
2x = - 1
2x =1
2x = 2

1.
2

3
2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Chú ý: Dấu của g ¢( x ) được xác định như sau: Ví dụ chọn x = 2 ẻ ( 1; +Ơ ) , suy ra
theo do thi f ' x )
1 - 2 x = - 3 ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( 1 - 2 x ) = f ¢( - 3) < 0. Khi đó g ¢( 2) = - 2 f ¢( - 3) > 0.
Nhận thấy các nghiệm
nghiệm đổi dấu; nghiệm

1
; x = 0 và x = 1 của g ¢( x )
2
3
x =là nghiệm kép nên qua
2

x =-

5

là các nghiệm đơn nên qua
nghiệm không đổi dấu.


Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) như hình bên dưới. Hàm số
g ( x ) = f ( 2 + e x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?

A. ( - ¥ ;0) .

B. ( 0;+¥ ) .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, ta có
Xét

C. ( -

1;3) .

D. ( -

2;1) .

éx = 0
f ¢( x ) = 0 Û ê
.
ê
ëx = 3

é2 + e x = 0
theo do thi f '( x )
ê
g ¢( x ) = e x . f ¢( 2 + e x ) ; g ¢( x ) = 0 Û f ¢( 2 + e x ) = 0 ơắ ắ ắ ắđ
ờ2 + e x = 3 Û x = 0.
ê
ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( - ¥ ;0) . Chọn A.
Câu 5. Cho hàm số

y = f ( x).

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

như hình bên dưới

Hàm số g ( x ) = 2 f ( 3- 2 x ) đồng biến trên khoảng nào trong cỏc khong sau ?
A.

ổ
1ử
ữ.
ỗ
- Ơ ;- ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
2ứ

B.

ổ1 ử

ữ.
ỗ
- ;1ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2 ø

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
Ta có
Xét

C. ( 1;2) .

D. ( - Ơ ;1) .

ộx <- 1
f Â( x ) < 0 Û ê
.
ê
ë1 < x < 4

g ¢( x ) = - 2 f ¢( 3 - 2 x ) .2 f ( 3- 2 x ) .ln 2.
ïìï x > 2
ï
.
í 1
ïïï - < x < 1
ợ 2
ổ1 ử

ỗ
- ;1ữ
ữ
ỗ
ữ, ( 2; +Ơ ) .
ỗ
ố 2 ø

é3 - 2 x <- 1
g ¢( x ) > 0 Û f ¢( 3 - 2 x ) < 0 Û ê
Û
ê
ë1 < 3 - 2 x < 4

Vậy g ( x ) đồng biến trên các khoảng

6

Chọn B.


Cách 2. Ta có

é3 - 2 x = - 1
ê
theo do thi f '( x )
g ¢( x ) = 0 Û f ¢( 3 - 2 x ) = 0 ơắ ắ ắ ắđ ờ
ờ3 - 2 x = 4 Û
ê3 - 2 x = 1
ë

éx = 2
ê
ê
1
êx = - .
ê
2
ê
êx = 1
ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Câu 6. Cho hàm số

y = f ( x).

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

như hình bên dưới

Hàm số g ( x ) = f ( 3 - x ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - ¥ ;- 1) .
B. ( - 1;2) .
C. ( 2;3) .
D. ( 4;7) .

éx <- 1
f ¢( x ) < 0 Û ê
.
ê
ë1 < x < 4
é- 1 < x - 3 < 1 é2 < x < 4
g ( x ) = f ( x - 3) ắắ
đ g Â( x ) = f Â( x - 3) > 0 Û ê
Û ê
ê
ê
ëx - 3 > 4
ëx > 7

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
 Với

x >3

khi đó

é- 1 < x < 1
f ¢( x ) > 0 Û ê
ê
ëx > 4

và

hàm số g ( x ) đồng biến trên các khoảng ( 3;4 ) , ( 7; +Ơ ) .
đ g Â( x ) =- f ¢( 3 - x ) > 0 Û f ¢( 3 - x ) < 0

 Với x < 3 khi đó g ( x ) = f ( 3 - x ) ắắ
ắắ
đ

ộx > 4 ( loaùi )
é3 - x <- 1
Û ê
Û ê
ê- 1 < x < 2
ờ
ở1 < 3 - x < 4
ở
ắắ
đ hm s g ( x ) đồng biến

trên khoảng ( -

1;2) .

Chọn B.

Câu 7. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x )
như hình bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) đồng biến trên
khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - ¥ ;- 1) .
B. ( - 1; +¥ ) .
C. ( - 1;0) .
D. ( 0;1) .
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 2 xf ¢( x 2 ) .

7


Hàm số g ( x ) đồng biến
éx > 1
Û ê
.
ê
ë- 1 < x < 0

éïì x > 0
éìï x > 0
êï
êïí
êíï f ¢ x 2 > 0
êï - 1 < x 2 < 0 Ú x 2 > 1
êỵï ( )
theo do thi f '( x )
êï
Û g ¢( x ) > 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờợ
ờùỡ x < 0
ờùỡù x < 0
ờù
ờớ 2
ờớù Â 2
ờùùợ x <- 1 Ú 0 < x 2 < 1
f x <0
ê
ë

ïëỵ ( )

Chọn C.

Cách 2. Ta có

éx = 0
ê
êx 2 = - 1
éx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ê
g ¢( x ) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ

ờ2
2
ờf  x = 0
(
)

ờx = 0
ờ
ở
ờ2
ờ
ởx = 1

ộx = 0
ê
.
ê
ëx = ±1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Chú ý: Dấu của g ¢( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 1;+¥ )
( 1)
x ẻ ( 1; +Ơ ) đ x > 0.
theo
do
thi
f
'
x
2
(
)
( 2)
x ẻ ( 1; +Ơ ) đ x > 1 . Với x 2 > 1 ¾¾ ¾ ắ ắđ f Â( x 2 ) > 0.

2
T ( 1) và ( 2) , suy ra g ¢( x ) = 2 xf ( x ) > 0 trên khong ( 1;+Ơ ) nờn g Â( x ) mang dấu
Nhận thấy các nghiệm của g ¢( x ) là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 8. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x )
như hình bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - ¥ ;- 2) .
B. ( - 2;- 1) .
C. ( - 1;0) .
D. ( 1;2) .
Lời giải. Ta có

g ¢( x ) = 2 xf ( x 2 ) .

Hàm số g ( x ) đồng biến
é0 < x < 1 Ú x > 2
Û ê
.
ê
ë- 2 < x <- 1

Cách 2. Ta có

éïì x > 0
éìï x > 0
êï
êïí
êíï f ¢ x 2 > 0
êï - 1 < x 2 < 1 Ú x 2 > 4
êỵï ( )

theo do thi f '( x )
ờù
g Â( x ) > 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờợ
ờùỡ x < 0
ờùùỡ x < 0
ờù
ờớ 2
ờớù ¢ 2
êïïỵ x <- 1 Ú 1 < x 2 < 4
f x <0
ê
ë
ïëỵ ( )

Chọn B.

éx = 0
ê
êx 2 = - 1
éx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ê

g ¢( x ) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ

ờ2
2
ờf  x = 0
(
)
ờx = 1
ờ
ở
ờ2
ờ
ởx = 4
8

ộx = 0
ê
êx = ±1.
ê
êx = ±2
ë

+.


Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g ¢( x ) được xác định như sau: Ví d xột trờn khong ( 2;+Ơ )
( 1)
x ẻ ( 2; +Ơ ) đ x > 0.
theo do thi f ' x
( 2)
x ẻ ( 2; +Ơ ) ® x 2 > 4 . Với x 2 > 4 ắắ ắ ắ(ắ) đ f Â( x 2 ) > 0.
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra g ¢( x ) = 2 xf ( x 2 ) > 0 trên khoảng ( 2;+¥ ) nên g ¢( x ) mang dấu
Nhận thấy các nghiệm của g ¢( x ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.
Câu 9. Cho hàm số

y = f ( x).

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

như hình bên dưới

Hàm số g ( x ) = f ( x 3 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - ¥ ;- 1) .
B. ( - 1;1) .
C. ( 1; +¥ ) .
D. ( 0;1) .
2
3
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 3x f ¢( x ) ;
éx 2
ê

êx 3
éx = 0
theo
do
thi
f
'
x
( )
ê
g ¢( x ) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ
ờ3
ờÂ 3
f ( x ) =0
êx
ê
ë
ê3
ê
ëx
2

=0
éx = 0
Û ê
.
=- 1 ê
ëx = ±1
=0

=1

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.

9

+.


Câu 10. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số
y = f ¢( x ) như hình bên. Đặt g ( x ) = f ( x 2 - 2 ) .
Mệnh đề nào dưới đây sai ?
A. Hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng
( 2; +¥ ) .

B. Hàm số

g( x)

nghịch biến trên khoảng

g( x)

nghịch biến trên khoảng

g( x)

nghịch biến trên khoảng

( 0;2) .

C. Hàm số
( - 1;0) .

D. Hàm s
( - Ơ ;- 2) .

Li gii. Ta cú

g Â( x ) = 2 xf ¢( x 2 - 2 ) ;

éx = 0
éx = 0
ê
éx = 0
ê
theo
do
thi
f
'
x
(
)
2
ê
ê
¢

g ( x) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờx - 2 = - 1( nghiem kep) Û ê
2
êx = ±1.
f ¢ x - 2) = 0
ê2
ê
êx = ±2
ë (
ê
ë
ëx - 2 = 2

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 11. Cho hàm số

y = f ( x).

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

như hình bên dưới

Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x 2 - 5) có bao nhiêu khoảng nghịch biến ?
A. 2.
B. 3.
C. 4.

D.
2
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 2 xf ¢( x - 5) ;
éx = 0
ê
êx 2 - 5 = - 4
éx = 0
theo
do
thi
f
'
x
(
)
ê
¢
g ( x) = 0 Û ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờ

ờ2
2
Â
f
x
5
=
0
)
ờx - 5 = - 1

ờ
ở (
ê2
ê
ëx - 5 = 2

Bảng biến thiên

10

éx = 0
ê
êx = ±1
ê
êx = ±2 .
ê
ê
ê
ëx = ± 7

5.


Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C.
Câu 12. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x )
như hình bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( 1- x 2 ) nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( 1;2) .
B. ( 0;+¥ ) .
C. ( - 2;- 1) .

D. ( - 1;1) .

g ¢( x ) = - 2 xf ¢( 1 - x 2 ) . Hàm

Lời giải. Ta có

 Trường hợp 1:

ì
ïíï x < 0
.
ïïỵ 1 < 1 - x 2 < 2 : vo nghiem

ìï x > 0
ïí
Û x > 0. Chọn
ïỵï 1 - x 2 < 1 Ú1- x 2 > 2
éx = 0
éx = 0
ê
theo do thi f '( x )
ê
ê1 - x 2 = 1 Û x = 0.
g ¢( x ) = 0 ờ
ơắ
ắ
ắ
ắđ
ờ
f Â( 1 - x 2 ) = 0

ê
ê
2
ë
ê
ë1 - x = 2

 Trường hợp 2:
Cách 2. Ta có

ïìï - 2 x > 0
Û
í
ïï f ¢( 1 - x 2 ) < 0
ïỵ
ïìï - 2 x < 0
Û
í
ïï f ¢( 1 - x 2 ) > 0
ïỵ

số g ( x ) nghịch biến

éïì - 2 x > 0
êï
êíï f ¢1 - x 2 < 0
)
êï (
g Â( x ) < 0 ờợ
.

ờùỡ - 2 x < 0
êï
êíï ¢
f ( 1- x 2 ) > 0
ê
ëïỵ

B.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Chú ý: Dấu của g ¢( x ) được xác định như sau: Vớ d chn x = 1 ẻ ( 0; +Ơ ) .
( 1)
®- 2 x < 0.
 x = 1 ắắ
theo do thi f '( x )
2
2
đ f Â( 1 - x ) = f Â( 0 ) ắắ ắ ắ ắđ f Â( 0 ) = 2 > 0. ( 2 )
 x = 1 ® 1 - x = 0 ¾¾
Từ ( 1) và ( 2) , suy ra g ¢( 1) < 0 trên khoảng ( 0; +Ơ ) .
Nhn thy nghim ca g Â( x ) = 0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu.

11


Câu 13. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x )
như hình bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( 3 - x 2 ) đồng biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

A. ( 2;3) .
B. ( - 2;- 1) .
C. ( 0;1) .
D. ( - 1;0) .
g ¢( x ) = - 2 xf ¢( 3 - x 2 ) .

Lời giải. Ta có

Theo đồ thị

y = f '( x )

Cách 2. Ta có

ta có:

Hàm số g ( x ) đồng biến

éìï
x >0
êï
êíï f ' 3 - x 2 < 0
)
êï (
Û g ' ( x ) > 0 Û êỵ
êìï
x >0
êï
êíï
f '( 3 - x 2 ) > 0

ê
ëïỵ

éìï
éìï x > 0
x >0
êïï
êïï
êï é 3 - x 2 <- 6
êï é 9 < x 2
í
é x >3
êï ê
êíï ê
ê
êïï ê
êïï ê
2
2
ê 1< x <2
êïỵ ë- 1 < 3 - x < 2
êïỵ ë1 < x < 4
ê
Û ê
Û ê
ê- 3 < x <- 2
êïì
êïì x < 0
x <0
ê

êïï
êïï
ê- 1 < x < 0
êï é
êï é
ê
ë
íê ê- 6 < 3 - x 2 <- 1
íê ê4 < x 2 < 9
ïêï
ï
êï ê
2
2
ê
ï
ï
ê
ê
ëïỵ ë 3 - x >- 2
ëïỵ ë 1 > x

é x =0
g '( x ) = 0 Û ê
êf ' ( 3 - x 2 ) = 0 .
ê
ë

Theo đồ thị

y = f '( x )

ta có:

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ¢( x )
như hình bên. Hỏi hàm số g ( x ) = f ( x - x 2 ) nghịch biến
trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( 1;2) .
B. ( - ¥ ;0) .
C. ( - ¥ ;2) .
Li gii. Ta cú

D.

ổ
1
ỗ
; +Ơ
ỗ
ỗ
ố2

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

g ' ( x ) = ( 1 - 2 x ) f ¢( x - x 2 ) .

Hàm số g ( x ) nghịch biến

éïì 1 - 2 x < 0
êï
êíï f ¢ x - x 2 > 0
)
êï (
Û g ¢( x ) < 0 Û êỵ
.
êïì 1 - 2 x > 0
êï
êíï ¢
f ( x - x2) <0
ê
ëïỵ

12

Chọn D

é x =0
ê
ê3 - x 2 = - 6
ê
ê3 - x 2 = - 1 Û
ê
ê3 - x 2 = 2

ê
ë

éx = 0
ê
êx = ±3
ê
êx = ±2
ê
êx = ±1
ê
ë


 Trường hợp 1:
 Trường hợp 2:

ìï
1
ï
1
ïí x > 2
Û x> .
ïï
2
2
2
ïïỵ x - x < 1 Ú x - x > 2
ì
ïï x < 1

ïìï 1 - 2 x > 0
ï
2
Û
.
í
í
ïï f ¢( x - x 2 ) < 0 ïï
2
ïỵ
ïïỵ 1 < x - x < 2 : ( vn )
ïìï 1 - 2 x < 0
Û
í
ïï f ¢( x - x 2 ) > 0
ïỵ

Kết hợp hai trường hợp ta được
Cách 2. Ta có

1
x> .
2

Chọn D.

é 1
êx =
ê 2
é1 - 2 x = 0

ê
1
theo do thi f '( x )
ờ
g Â( x ) = 0 ờ
ơắ ¾ ¾ ¾® Û êx - x 2 = 1 : vo nghiem Û x = .
2
ê
2
êf ¢( x - x ) = 0
ë
êx - x 2 = 2 : vo nghiem
ê
ê
ë

Bảng biến thiên

2

Cách 3. Vì

ỉ 1ư
1 1 theo do thi f '( x )
2
Â
x - x =- ỗ
x- ữ
ữ
ỗ

ữ + 4 Ê 4 ắắ ắ ắ ắđ f ( x - x ) > 0.
ỗ
ố 2ứ

Suy ra du ca

2

g '( x )

phụ thuộc vào dấu của

Yêu cầu bài toán cần

1 - 2 x.

1
g ' ( x ) < 0 ¾¾
®1 - 2 x < 0 Û x > .
2

Câu 15. Cho hàm số

y = f ( x).

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

như hình vẽ bên dưới và

f ( - 2) = f ( 2) = 0

2

Hàm số g ( x ) = éëf ( x ) ùû nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A.

ổ 3ử
ữ.
ỗ
- 1; ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ

B. ( -

2;- 1) .

Li gii. Dựa vào đồ thị hàm số
như sau

C. ( - 1;1) .
y = f ¢( x ) ,

13

D. ( 1;2) .

suy ra bảng biến thiên của hàm số

f ( x)


Từ bảng biến thiên suy ra f ( x ) Ê 0, " x ẻ
Ta cú g Â( x ) = 2 f ¢( x ) . f ( x ) .
Xét
Suy

¡.

ïì f ¢( x ) > 0
éx <- 2
g ¢( x ) < 0 Û f ¢( x ) . f ( x ) < 0 Û ïí
Û ê
.
ê1 < x < 2
ïï f ( x ) < 0
ë
ỵ
ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;- 2) , ( 1;2) .

Câu 16. Cho hàm số

y = f ( x).

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

Chọn D.

như hình bên dưới và

f ( - 2 ) = f ( 2 ) = 0.

2

Hàm số g ( x ) = éëf ( 3 - x ) ùû nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - 2;- 1) .
B. ( 1;2) .
C. ( 2;5) .
D. ( 5; +¥ ) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị hàm số y = f ¢( x ) , suy ra bảng biến thiên của hàm số
như sau

Từ bảng biến thiên suy ra f ( x ) £ 0, " x Ỵ
Ta có g ¢( x ) = - 2 f ¢( 3 - x ) . f ( 3 - x ) .
Xét

¡.

ïì f ¢( 3 - x ) < 0
g ¢( x ) < 0 Û f ¢( 3 - x ) . f ( 3 - x ) > 0 Û ïí
Û
ïï f ( 3 - x ) < 0
ỵ

é- 2 < 3 - x < 1
ê
Û
ê3 - x > 2
ë

ìï 2 < x < 5
.
íï
ỵïï x < 1

Suy ra hàm số g ( x ) nghịch biến trên các khoảng ( - ¥ ;1) , ( 2;5) . Chọn C.
Câu 17. Cho hàm số

y = f ( x).

Đồ thị hàm số
14

y = f ¢( x )

như hình bên dưới

f ( x)


Hàm số g ( x ) = f (
A. ( - ¥ ;-

x 2 +2x +2

)

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

)

C. ( 1;2

1 - 2 2 . B. ( - ¥ ;1) .

Lời giải. Dựa vào đồ thị, suy ra
g ¢( x ) =

Ta có

x +1

(

)

D. ( 2

2- 1 .

éx = - 1
ê
f ¢( x ) = 0 Û ê
êx = 1 .

êx = 3
ë

)

f ¢ x 2 +2x +2 ;

2

x +2x +2

éx +1 = 0
éx +1 = 0
ê
ê
ê
theo do thi f '( x )
g ¢( x ) = 0 ờ
ơắ ắ ắ ắđ ờ x 2 + 2 x + 2 = 1 Û
2
¢
x +2x +2 = 0
êf
ê
ë
ê x 2 +2x +2 = 3
ë

(

)

2 - 1; +¥ .

)

éx =- 1 ( nghiem boi ba )
ê
ê
.
êx = - 1 - 2 2
ê
êx =- 1 + 2 2
ê
ë

Lập bảng biến thiên và ta chọn A.
Nhận xét: Cách xét dấu g ¢( x ) như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( x = 0.

g ¢( 0) =

Khi đó

( )

f ¢ 2 < 0.

1
2

( )

f ¢ 2 <0

f ¢( x )

vì dựa vào đồ thị

Các nghiệm của phương trình

g ¢( x ) = 0

1;- 1 + 2 2

ta thấy tại

) ta chọn

x = 2 Ỵ ( 1;3)

là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm

đổi dấu.
Câu 18. Cho hàm số

Hàm số g ( x ) = f (
A. ( - ¥ ;- 1) .

1
2

x + 2x +3

x 2 +2x +3 -

Đồ thị hàm số

x 2 + 2x + 2

-

)

1
2

x +2x +2

<0

với mọi

y = f ¢( x )

như hình bên di

ng bin trờn khong no sau õy ?

ổ
1ử

ỗ
- Ơ; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố
2ứ
ổ
1
ỗ
g Â( x ) = ( x +1) ỗ
ỗ
2
ỗ
ố x +2x +3

B.

Li gii. Ta cú


y = f ( x).

C.

ổ
1
ỗ
; +Ơ

ỗ
ỗ
ố2

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

D. ( -

ử
ữ
ữ
f  x 2 +2x +3 ữ
ữ
2
ữ
x +2x +2 ứ
1

xẻ ¡.

15

(

( 1)

thì

1; +¥ ) .

)

x 2 +2x +2 .




0 < u = x 2 + 2 x +3 -

1

x 2 +2 x +2 =

2

2

( x +1) + 2 + ( x +1) +1

1

£

2 +1

<1

( 2)

theo do thi f ' x )
ắắ ắ ắ(ắ
đ f Â( u ) > 0, " x Ỵ ¡ .

Từ ( 1) và ( 2) , suy ra dấu của
Bảng biến thiên

g ¢( x )

phụ thuộc vào dấu của nhị thức

x +1

(ngược dấu)

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn A.
y

Câu 19. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số
g ( x ) = f ' ( x - 2 ) + 2 như hình vẽ bên. Hàm số
y = f ( x ) nghịch biến trên khoảng nào trong
các khoảng sau ?
A. ( - 1;1) .

B.

2

-2

ổ
3 5ử
ỗ
; ữ
ữ
ỗ
ữ.
ỗ
ố2 2 ứ

x

2

O

1

3

-1

C. ( - ¥ ;2) .
D. ( 2; +¥ ) .
Lời giải. Dựa vào đồ thị ta có f ' ( x - 2) + 2 < 2 ơắđ1 < x < 3.
Đặt t = x - 2, ta được f ' ( t ) + 2 < 2 ơắđ1 < t + 2 < 3 hay f ' ( t ) < 0 ơắđ- 1 < t < 1. Chn A.
Cỏch khác. Từ đồ thị hàm số f ' ( x - 2) + 2 tịnh tiến xuống dưới 2 đơn vị, ta được đồ

thị hàm số f ' ( x - 2) (tham khảo hình vẽ bên dưới).
y

-2

x

2

O

1

3

-3

Tiếp tục tịnh tiến đồ thị hàm số f ' ( x - 2) sang trái
f ' ( x ) (tham khảo hình vẽ bên dưới).

đơn vị, ta được đồ thị hàm số

2

y

-1

1

O

3

-3

Từ đồ thị hàm số

f '( x )

, ta thấy

f '( x ) < 0

khi

16

x

x Ỵ ( - 1;1) .


Vấn đề 2. Cho đồ thị f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû+ g ( x ) .
Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x )
như hình bên dưới

Đặt g ( x ) = f ( x ) - x , khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) .
B. g ( - 1) < g ( 1) < g ( 2) .

C. g ( - 1) > g ( 1) > g ( 2) .
D. g ( 1) < g ( - 1) < g ( 2) .
đ g Â( x ) = 0 f ¢( x ) = 1.
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = f ¢( x ) - 1 ¾¾
Số nghiệm của phương trình g ¢( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢( x ) và đường thẳng d : y = 1 (như hình vẽ bên dưới).

Dựa vào đồ thị, suy ra

éx = - 1
ê
g ¢( x ) = 0 Û ê
êx = 1 .
êx = 2
ë

Bảng biến thiên

® g ( 2) < g ( - 1) < g ( 1) . Chọn C.
Dựa vào bảng biến thiên ¾¾
Chú ý: Dấu của g ¢( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng ( 2; +¥ ) , ta thấy
đồ thị hàm số nằm phía trên đường thẳng y = 1 nên g ¢( x ) = f ¢( x ) - 1 mang dấu +.

Câu 21. Cho hàm số
như hình bên dưới

y = f ( x)

có đạo hàm liên tục trên

17

¡.

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )


Hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) - x 2 đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
A. ( - ¥ ;- 2) .
B. ( - 2;2) .
C. ( 2;4 ) .
D. ( 2; +Ơ ) .
đ g Â( x ) = 0 Û f ¢( x ) = x .
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 2 f ¢( x ) - 2 x ¾¾
Số nghiệm của phương trình g ¢( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢( x ) và đường thẳng d : y = x (như hình vẽ bên dưới).

éx = - 2
ê
Dựa vào đồ thị, suy ra g ¢( x ) = 0 Û êêx = 2 .
êx = 4
ë
Lập bảng biến thiên (hoặc ta thy vi x ẻ ( - 2;2)

ng thng

y =x

nờn

g Â( x ) > 0 ) ắắ
đ

thỡ th hm s f ¢( x ) nằm phía trên
hàm số g ( x ) đồng biến trên ( - 2;2) . Chọn B.

Câu 22. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên
tục trên ¡ . Đồ thị hàm số y = f ¢( x ) như hình
2
bên. Hỏi hàm số g ( x ) = 2 f ( x ) +( x +1) đồng
biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - 3;1) .
B. ( 1;3) .
C. ( - ¥ ;3) .
D. ( 3; +¥ ) .
đ g Â( x ) = 0 f ¢( x ) = - x - 1.
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 2 f ¢( x ) + 2 ( x +1) ¾¾
Số nghiệm của phương trình g ¢( x ) = 0 chính là số giao điểm của đồ thị hàm số
y = f ¢( x ) và đường thẳng d : y = - x - 1 (như hình vẽ bên dưới).

18


Dựa vào
Yêu cầu
thẳng

éx = - 3

ê
đồ thị, suy ra g ¢( x ) = 0 Û êêx = 1 .
êx = 3
ë
éx <- 3
bài tốn Û g ¢( x ) > 0 Û êê1 < x < 3 (vì
ë

y = - x - 1 ).

y = f ( x)

2

x
Hỏi hàm số g ( x ) = f ( 1 - x ) + 2
3;1) .

f '( x )

nằm phía trên đường

Đối chiếu các đáp án ta thấy đáp án B thỏa mãn. Chọn B.

Câu 23. Cho hàm số
như hình bên dưới

A. ( -

phần đồ thị của

B. ( -

- x

2;0 ) .

có đạo hàm liên tục trên

¡.

Đồ thị hàm số

y = f ¢( x )

nghịch biến trên khoảng nào trong các khong sau ?
C.

ổ 3ử
ỗ
ữ
ỗ- 1; ữ
ữ.
ỗ
ố 2ứ

D. ( 1;3) .

Li giải. Ta có g ¢( x ) = - f ¢( 1- x ) + x - 1.
Để g ¢( x ) < 0 Û f ¢( 1- x ) > x - 1. Đặt t = 1 - x , bất phương trình trở thành

Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số f ' ( x ) lần lượt tại ba điểm

19

f ¢( t ) >- t .
x = - 3; x =- 1; x = 3.


Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình

ét <- 3
f Â( t ) >- t ờ
ị
ờ
ở1 < t < 3

é1 - x <- 3
ê
Û
ê
ë1 < 1 - x < 3

éx > 4
ê
.
ê
ë- 2 < x < 0

Đối chiếu đáp án ta chọn B.
Vấn đề 3. Cho bảng biến thiên f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số

Câu 24. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biên thiên như hình v

ổ

Hm s g ( x ) = f ỗỗỗố2 x 2 A.

ổ 1ử
ỗ
ữ
ỗ- 1; ữ
ữ.
ỗ
ố 4ứ

5
3ử
x- ữ
ữ
ữ nghch
2
2ứ
ổ1 ử
ữ
B. ỗỗỗố4 ;1ứữ
ữ.

bin trờn khong no trong cỏc khong sau ?
C.

ổ 5ử

ỗ
ữ
ỗ1; ữ
ữ.
ỗ
ố 4ứ



ổ
5ử ổ
5
3ử
2
g Â( x ) = ỗ
f Âỗ
ữ
ữ
ỗ4 x - ữ
ỗ2 x - x - ữ
ữ
ữ.
ỗ
ỗ
ố
2ứ ố
2
2ứ

5

ùỡù
ùù 4 x - > 0
2
ùớ

ùù ổ
5
3ử
2
ữ
ỗ
Â
f
2
x
x
<
0
ữ
ùù ỗ
ữ
ỗ
2
2ứ
ùợ ố

Xột

D.

ổ9
ỗ
ỗ ; +Ơ
ỗ
ố4

ử
ữ
ữ
ữ.
ứ

ộx <- 2
f ¢( x ) > 0 Û ê
và f ¢( x ) < 0 Û - 2 < x < 3.
ê
ëx > 3
éìï
5
êïï 4 x - > 0
êïï
2
êí
êï ỉ 2 5
3ư
÷< 0
ờùù f Âỗ
2x - x - ữ
ỗ
ữ

ỗ
ờùùợ ố
2
2ứ
ờ
g Â( x ) < 0 Û ê
.
ê
êì
êïï 4 x - 5 < 0
ờùù
2
ờù
ờớù ổ
ờù f Âỗ2 x 2 - 5 x - 3 ử
ữ
ữ
ờùù ỗ
ữ> 0
ỗ
2
2ứ
ờợù ố
ở

Li gii. Da vo bng bin thiên, suy ra

Ta có

ù

f é
ëu ( x ) û.

5
ïìï
ïï x >
9
8
ïí
Û 1< x < .
ïï
5
3
4
2
ïï - 2 < 2 x - x - < 3
2
2
ïỵ
20




éìï
5
êïï x <
êïï
8
êí

êïï 2
êï 2 x 5
ïìï
êïïỵ
ïï 4 x - < 0
ê
2
ïí
Û ê
ư
ê
ïï ỉ
5
3
2x 2 - x - ÷
>0
êìï
÷
ïï f Âỗ
ỗ
ữ
ỗ
ờùù x < 5
2
2ứ
ùợ ố
ờùù
8
ờớ
ờùù 2

ờù 2 x ờ
ởùùợ

5
3
x - >3
2
2

5
3
x - <- 2
2
2

éx <- 1
ê
ê
ê
Û ê
.
ê
ê1
ê ê4
8
ë

Đối chiếu các đáp án, ta chọn C.
Câu 25. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

f ¢( x ) như hình vẽ

ỉ xư
÷
÷
÷+ x
2ø

Hàm số g ( x ) = f ỗỗỗố1A. ( -

4;- 2 ) .

 TH2:

Bảng biến thiên của hàm số

nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

B. ( -

2;0 ) .

C. ( 0;2) .

D. ( 2;4 ) .

ổ xử
1 ổ
xử
f Âỗ

1- ÷
+1. Xét g ¢( x ) < 0 Û f Âỗ
1- ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ> 2
ỗ
ỗ
ố 2ứ
2 ố 2ứ
ổ xữ
ử
x
f Âỗ
1- ữ
> 2 Û 2 < 1 - < 3 Û - 4 < x <- 2. Do ú hm s nghch bin
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ
2
ổ xử
x
f Âỗ
1- ữ
ữ
ỗ

ữ> 2 - 1 < 1 - 2 < a < 0 Û 2 < 2 - 2a < x < 4 nờn hm s ch
ỗ
ố 2ø
g ¢( x ) = -

Lời giải. Ta có
 TH1:

¡.

trên khoảng ( 2 -

2a;4 )

trên ( -

4;- 2 ) .

nghịch biến

chứ khơng nghịch biến trên tồn khoảng ( 2;4 ) .

ỉ xư
÷
÷
÷+ x
2ø

Vậy hàm số g ( x ) = f ỗỗỗố1-

nghch bin trờn ( -

4; - 2 ) .

Chn A.

Chú ý: Từ trường hợp 1 ta có thể chọn đáp án A nhưng cứ xét tiếp trường hợp 2 xem
thử.
Vấn đề 4. Cho biểu thức f ' ( x ) . Hỏi khoảng đơn điệu của hàm số f éëu ( x ) ùû.
Câu 26. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = x 2 - 2 x với mọi x Ỵ Ă . Hm s
ổ xử
g( x) = f ỗ
1- ữ
ữ
ỗ
ữ+ 4 x
ỗ
ố 2ứ

A. ( - Ơ ;- 6) .
Li gii. Ta có
Xét

đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B. ( g ¢( x ) = -

1
2

6;6 ) .

C. ( -

)

6 2;6 2 .

D. ( -

9 x2
> 0 Û x 2 < 36 ắắ
đ- 6 < x < 6.
2 8

Chn B.
21

)

6 2; +Ơ .

2
ự
ổ xữ
ử
ử
ổ xử
1ộ
xữ
ờổ

ỳ+ 4 = 9 - x .
ữ
ỗ
ỗ
fỗ
1- ữ
+
4
=
1
2
1
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữỳ
ỗ 2ữ
ỗ
ỗ 2ứ
ố
ứ
ố
ứ
ố
2ờ
2 8
ờ

ỳ
ở 2
ỷ
2


Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = x 2 ( x - 9) ( x - 4 ) với mọi
g ( x ) = f ( x 2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
A. ( - 2;2) .
B. ( - ¥ ;- 3) .
C. ( - ¥ ;- 3) È ( 0;3) . D. ( 3; +¥ ) .
2
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 2 xf ( x 2 ) = 2 x 5 ( x 2 - 9) ( x 2 - 4 ) ;
2

g ¢( x ) = 0 Û 2 x

5

(x

2

- 9) ( x - 4 )
2

2

xỴ ¡.

Hàm số

éx = 0
ê
=0 Û ê
êx = ±3.
êx = ±2
ë

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Câu 28. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = ( x - 1) ( x 2 - 2 x ) với mọi x Ỵ ¡ . Hỏi số
thực nào dưới đây thuộc khoảng đồng biến của hàm số g ( x ) = f ( x 2 - 2 x + 2) ?
2

A.

B.

- 2.

Lời giải. Ta có

3
.
2

C.

- 1.

g ¢( x ) = 2 ( x - 1) f ¢( x 2 - 2 x + 2 )

D.

3.

(

Xét

)

2
2
é
ù
= 2 ( x - 1) ê( x 2 - 2 x + 2 - 1) ( x 2 - 2 x + 2 ) - 2 ( x 2 - 2 x + 2 ) ú
ë
û
5 é
4
ù
= 2 ( x - 1) ê( x - 1) - 1ú.
ë
û
é
0
<

x
<
1
5
4
2 ( x - 1) é
>0 Û ê
.
( x - 1) - 1ù
ê
ú
ê
ë
û
ëx > 2

Suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng ( 0;1) , ( 2; +¥ ) .
Vậy số 3 thuộc khoảng đồng biến của hàm số g ( x ) . Chọn B.
2
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = x ( x - 1) ( x - 2) vi mi
ổ 5x ữ
ử
g( x) = f ỗ
ữ
ỗ 2
ữ
ỗ
ốx + 4 ø đồng

A. ( - ¥ ;- 2) .

Lời giải. Ta có

biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?
B. ( -

2;1) .

C. ( 0;2) .

éx = 0
ê
f ¢( x ) = 0 Û x ( x - 1) ( x - 2 ) = 0 Û ê
êx = 1 .
êx = 2
ë
2

22

D. ( 2;4 ) .

xỴ ¡.

Hàm số


g ¢( x ) =

Xét

20 - 5 x

2

( x 2 + 4)

2

é20 - 5 x 2 = 0
ê
ê 5x
ê
êx 2 + 4 = 0
ờ
ổ 5x ử
ữ
f Âỗ
; g Â( x ) = 0 ờ 5 x

ữ
ỗ 2
ữ
ỗ
ờ
ốx + 4 ø
êx 2 + 4 = 1
ê
ê 5x
ê
=2

2
ê
ëx + 4

éx = ±2
ê
êx = 0
ê
êx = 1 ( nghiem boi chan ) .
ê
ê
ê
ëx = 4 ( nghiem boi chan )

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D.
Chú ý: Dấu của g ¢( x ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khong ( 4;+Ơ ) ta chn
x =5



x =5đ



x =5 đ

20 - 5 x 2

( x 2 + 4)

2

< 0.

( 1)
2

æ25 ử
ổ25
ử
5x
25
25 ổ25 ử
ữ
=
ắắ
đ f Âỗ
- 1ữ
- 2ữ
ữ= ỗ
ữỗ
ữ< 0.
ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ữ

ỗ29 ứ
ỗ29 ứ
ỗ29
ố
ố
ứ
29 ố
x 2 + 4 29
( 2) , suy ra g ¢( x ) > 0 trên khoảng ( 4; +¥ ) .

( 2)

Từ ( 1) và
Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = x 2 ( x - 1) ( x - 4 ) .t ( x ) với mọi x Ỵ ¡ và
t ( x ) > 0 với mọi x Ỵ ¡ . Hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) đồng biến trên khoảng nào trong các
khoảng sau ?
A. ( - ¥ ;- 2) .
B. ( - 2;- 1) .
C. ( - 1;1) .
D. ( 1;2) .
Lời giải. Ta có g ¢( x ) = 2 xf ¢( x 2 ) .
đ f Â( x 2 ) = x 4 ( x 2 - 1)( x 2 - 4 ) .t ( x 2 ) .
Theo giả thiết f ¢( x ) = x 2 ( x - 1) ( x - 4 ) .t ( x ) ¾¾
Từ đó suy ra g ¢( x ) = 2 x 5 ( x 2 - 1) ( x 2 - 4 ) .t ( x 2 ) .
® t ( x 2 ) > 0, " x Ỵ ¡ nên dấu của g ' ( x ) cùng dấu 2 x 5 ( x 2 - 1)( x 2 - 4 ) .
Mà t ( x ) > 0, " x Ỵ ¡ ¾¾
Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B.
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( 1 - x ) ( x + 2) .t ( x ) + 2018 với mọi x Ỵ ¡

và t ( x ) < 0 với mọi x Ỵ ¡ . Hàm số g ( x ) = f ( 1 - x ) + 2018 x + 2019 nghịch biến trên khoảng
nào trong các khoảng sau ?
23


A. ( - ¥ ;3) .
B. ( 0;3) .
C. ( 1; +¥ ) .
D. ( 3; +¥ ) .
Lời giải. Ta có g ' ( x ) = - f ' ( 1- x ) + 2018.
® f ' ( 1 - x ) = x ( 3 - x ) .t ( 1 - x ) + 2018.
Theo giả thiết f ' ( x ) = ( 1- x ) ( x + 2) .t ( x ) + 2018 ¾¾
Từ đó suy ra g ' ( x ) = - x ( 3 - x ) .t ( 1 - x ) .
®- t ( 1 - x ) > 0, " x Ỵ ¡ nên dấu của g ' ( x ) cùng dấu với x ( 3 - x ) .
Mà t ( x ) < 0, " x ẻ Ă ắắ
Lp bng xột du cho biểu thức x ( 3 - x ) , ta kết luận được hàm số g ( x ) nghịch biến
trên các khoảng ( - ¥ ;0) , ( 3; +¥ ) . Chọn D.
Tìm m để hàm số f éëu ( x ) ùû đồng biến, nghịch
biến.
2
Câu 32. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = ( x - 1) ( x 2 - 2 x ) với mọi x Ỵ ¡ . Có bao
nhiêu số nguyên m < 100 để hàm số g ( x ) = f ( x 2 - 8 x + m ) đồng biến trên khoảng ( 4;+¥ )
?
A. 18.
B. 82.
C. 83.
D. 84.
Vấn đề 5. Cho biểu thức

Lời giải. Ta có

f ¢( x ) = ( x - 1)

2

f '( x, m) .

( x2 -

éx < 0
2x ) > 0 Û ê
.
ê
ëx > 2

Xét g ¢( x ) = ( 2 x - 8) . f ¢( x 2 - 8 x + m ) . Để hàm số g ( x ) đồng biến trên khong ( 4;+Ơ ) khi v
ch khi g Â( x ) ³ 0, " x > 4
Û ( 2 x - 8) . f ¢( x 2 - 8 x + m ) ³ 0, " x > 4
Û f ¢( x 2 - 8 x + m ) ³ 0, " x > 4
éx 2 - 8 x + m Ê 0, " x ẻ ( 4; +Ơ )
ê
Û m ³ 18.
ê2
ê
ëx - 8 x + m ³ 2, " x ẻ ( 4; +Ơ )
Vy 18 Ê m < 100. Chọn B.

Câu 33. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = x ( x - 1) ( x 2 + mx + 9) với mọi x Ỵ ¡ . Có
bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số g ( x ) = f ( 3 - x ) đồng biến trên khoảng ( 3;+¥ )
?

A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 8.
2 é
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f ¢( 3 - x ) = ( 3 - x ) ( 2 - x ) êë( 3 - x ) + m ( 3 - x ) + 9ùúû.
Ta có g ¢( x ) = - f ¢( 3 - x ) .
Để hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 3;+¥ ) khi và chỉ khi g Â( x ) 0, " x ẻ ( 3; +Ơ )
2

f Â( 3 - x ) Ê 0, " x ẻ ( 3; +Ơ )
2
2
( 3- x) ( 2 - x) é
£ 0, " x Î ( 3; +¥ )
( 3 - x ) + m ( 3 - x ) + 9ù
ê
ú
ë
û
2

Û m£

( x - 3) + 9
x- 3

Û m £ min h ( x )
( 3;+Ơ )

, " x ẻ ( 3; +Ơ )

với h ( x ) =

2
( x - 3) + 9

x- 3

.

24


2

Ta có h ( x ) =
Vậy suy ra

( x - 3) + 9
x- 3

= ( x - 3) +

9
9
³ 2 ( x - 3) .
= 6.
x- 3

x- 3

+

Chọn B.

mỴ Â
m Ê 6 ắắ
ắđ m ẻ {1;2;3;4;5;6} .

Cõu 34. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = x 2 ( x - 1) ( x 2 + mx + 5) với mọi x Ỵ
bao nhiêu số ngun âm m để hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) đồng biến trên ( 1;+¥ ) ?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 7.
2
4
2
4
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f ¢( x ) = x ( x - 1)( x + mx + 5) .
Ta có g ¢( x ) = 2 xf ¢( x 2 ) .
Để hàm số g ( x ) đồng biến trên khoảng ( 1;+¥ ) khi và chỉ khi g ¢( x ) ³ 0, " x ẻ ( 1; +Ơ )
2 xf Â( x 2 ) ³ 0, " x > 1
Û 2 x .x 4 ( x 2 - 1)( x 4 + mx 2 + 5) ³ 0, " x > 1

¡.

Có

Û x 4 + mx 2 + 5 ³ 0, " x > 1
Û m³ -

x 4 +5
, " x >1
x2

Û m ³ max h ( x )
( 1;+¥ )

Khảo sát hàm
Suy ra

x 4 +5
.
x2
x 4 +5
h( x) =trên ( 1;+Ơ )
x2

vi h ( x ) = -

-

mẻ Â
m - 2 5 ắắ
ắ
đ m ẻ { - 4;- 3;- 2;- 1} .

ta được

max h ( x ) = - 2 5.
( 1;+¥ )

Chọn B.

Câu 35. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ¢( x ) = x ( x - 1) ( 3x 4 + mx 3 +1) với mọi x Ỵ ¡ .
Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) đồng biến trên khoảng ( 0;+¥ )
?
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 6.
2
Lời giải. Từ giả thiết suy ra f ¢( x 2 ) = x 2 ( x 2 - 1) ( 3 x 8 + mx 6 +1) .
2
Ta có g ¢( x ) = 2 xf ¢( x ) . Để hàm số g ( x ) đồng biến trờn khong ( 0;+Ơ ) khi v ch khi
g Â( x ) 0, " x ẻ ( 0; +Ơ ) Û 2 xf ¢( x 2 ) ³ 0, " x ẻ ( 0; +Ơ )
2

2

2 x .x 2 ( x 2 - 1) ( 3 x 8 + mx 6 +1) ³ 0, " x Ỵ ( 0; +¥ )
Û 3 x 8 + mx 6 +1 0, " x ẻ ( 0; +Ơ )
m -

3 x 8 +1
, " x ẻ ( 0; +Ơ )
x6

Û m ³ max h ( x )
( 0;+¥ )

Khảo sát hàm h ( x ) = Suy ra

-

3 x 8 +1
x6

với h ( x ) = -

trên ( 0;+¥ ) ta c

mẻ Â
m - 4 ắắ
ắ
đ m ẻ {- 4;- 3;- 2; - 1} .

3 x 8 +1
.
x6
max h ( x ) = - 4.

( 0;+¥ )

Chọn B.

2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

25