Tài liệu Chuyên đề tự ôn môn toán 2010 P2 doc
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.16 MB, 50 trang )
01
2
2 2 6 4 2
6
10
22
12
33
I t t dt t t t dt
1
6 5 3
0
2 2 16
3 7 5 3 315
t t t
7,
1
7
0
32
2 1 1
x
I dx
x
(đổi biến
2 1 1tx
)
8,
11
2
8
2
00
4 14 1 14 9
2 2 ln2 ln3
2 5 2 3 2 3 2 1 3 2
xx
I dx dx
x x x x
9,
2
22
2
9
3
11
2
2 4 2 3
1
22
2
xx
x
I dx dx
xx
x
2
1 1 3
2 2 2
1
2 2 3 2x x x dx
2
3 1 1
2 2 2
1
25
2 2 2 6 2 2 3
33
x x x
10,
2
3
2 2 3
7 5 3
1
2
5 2 2 2
10
01
1
2
1 1 ...
7 5 3
tx
t t t
I x x dx t t dt
11,
11
2
0
sin
3 cos
xx
I dx
x
Đổi biến
t x dt dx
11 11
2 2 2
0 0 0
sin sin cos
3 cos 3 cos 3 cos
t t t t d t
I dt dx I
t t t
2
1
2
6
3tan
11
2 2 2
01
6
3 1 tan
cos
2 3 cos 2 3 2 3 3tan
63
uv
v du
dt
du
I
t u v
12,
2
11
1
2
12
22
0
00
1
2
1 ln 1 ln2 1
11
x
x
I dx dx x x
xx
Page 51 of 130
13,
3
2
33
2
13
3 3 2
22
2
1 1 1
1 1 1 5
ln 1 ln2
14
1 1 2 1
xx
xx
I dx dx x
x
x x x
14,
2
14
0
sin
sin cos
x
I dx
xx
2
0
sin cos '
1
1
2 sin cos 4
xx
dx
xx
15,
32
33
3
15
4 4 3
6
66
sin 1 cos 1 1 14 26 3
cos
cos cos 3cos cos 3 27
xx
I dx d x
x x x x
16,
3 3 3
16
3 2 3
23
4 4 4
sin
1 cos
cos .sin cos .sin
1 sin sin
dx
x
I dx dx
x x x x
xx
33
22
32
23
22
22
11
1
1
dt t
dt
t t t
tt
3
2
2
2
2
2
1 1 1 1
ln ln 1 ln3
2 2 2 3
tt
t
17,
2 2 2
3 3 3 3
17
0 0 0
sin cos sin cosI x x dx xdx xdx
22
22
00
22
33
00
sin cos cos sin
cos sin 4
cos sin
3 3 3
xd x xd x
xx
xx
18,
22
18
22
00
sin2 sin
2 sin
2 sin 2 sin
xx
I dx d x
xx
11
22
00
2
0
22
22
22
2
2 ln 2 2ln 2 1
2
t
t
dt dt
tt
t
t
Page 52 of 130
20,
44
20
22
00
sin cos cos sin
cos2
sin cos 2 sin cos 2
x x x x
x
I dx dx
x x x x
Đặt
sin cos 2 cos sint x x dt x x
, khi
0 3; 2 2
4
x t x t
Do đó:
22
2 2 2 2
20
22
33
3
2 1 2 2 2 2 5
ln ln 2
33
t
I dt dt t
t t t t
21,
2 2 2
3 2 2 5
21
0 0 0
1 sin sin sin sinI x xdx xdx xdx
22
2
2
00
2
2
24
0
0
2
35
0
1 cos2
1 cos cos
2
sin 2
1 2cos cos cos
24
2cos cos 8
cos
4 3 5 4 15
x
dx x d x
xx
x x d x
xx
x
22,
32
22
22
00
4sin 4sin
cos
1 cos 1 cos
xx
I dx d x
xx
2
2
2
0
0
cos
4 1 cos cos 4 cos 2
2
x
x d x x
23,
32
22
2
23
22
00
sin cos 1 cos
1 cos
1 cos 2 1 cos
x x x
I dx d x
xx
2
2
1
1
1 1 1 1 ln2
ln
2 2 2
t
dt t t
t
24,
ln3 ln3 ln3
24
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2
x
x
x x x
xx
de
dx
I d e
e e e
ee
ln3
0
1 1 3 1 1 6
ln ln ln ln
2 2 2 5 2 2 5
x
x
e
e
Page 53 of 130
25,
1 1 1
2
25
0 0 0
1
11
1 1 1
xx
x x x
x x x
ee
I dx d e e d e
e e e
1
31
22
0
22
1 2 1 1 2
33
xx
e e e e
26,
2 3 3 3
26
0
0 0 0
11
.sin .cos cos cos cos
33
I x x xdx xd x x x xdx
3
2
0
0
1 1 sin
1 sin sin sin
3 3 3 3 3 3
x
x d x x
27,
27
2
11
ln 1
ln
1
1
ee
ee
xx
I dx x x d
x
x
1
1
11
ln ln
11
e
e
e
e
x x d x x
xx
11
1 1 1 2 1 2
11
1 1 1 1
ee
ee
ee
dx dx
e x x e x e
28,
10 10 10
10
2 2 2 2 2 2 2
28
1
1 1 1
11
lg lg lg lg
22
I x xdx xd x x x x d x
10 10
2
11
10
10
22
1
1
10
22
1
1 2 1
100 lg 50 lg
2 ln10 2ln10
1
50 lg lg
2ln10
50 1 50 99
50 50
ln10 2ln 10 ln10 4ln 10
x xdx xd x
x x x d x
xdx
29,
22
2
29
00
2 5 ln 1 ln 1 5I x x dx x d x x
Page 54 of 130
2
2
2
2
0
0
2
0
2
2
0
5
5 ln 1
1
4
14ln3 4
1
14ln3 4 4ln 1 18ln3 10
2
xx
x x x dx
x
x dx
x
x
xx
30,
11
22
22
30
2
00
1
1
1
x
x
xe
I dx x e d
x
x
1
11
2 2 2
2 2 2
00
0
11
22
1
2 2 2
0
00
1
2 2 2 2
0
1
2
1 1 2
22
11
2 2 2 2 2 2
x
xx
x x x
x
x e e
d x e xe dx
xx
ee
xd e xe e dx
e e e e
31,
11
23
31
00
1
ln 1 ln 1
3
I x x dx x d x
11
3
1
32
0
00
1
32
0
1 1 ln2 1 1
ln 1 1
3 3 1 3 3 1
ln2 1 2ln 2 5
ln 1
3 3 3 2 3 18
x
x x dx x x dx
xx
xx
xx
32,
2 2 2
32
sin2 sin2
xx
I x e x dx x e dx x xdx
22
22
22
22
22
1
cos2
2
1
2 cos2 cos2
2
11
cos2 2 sin 2
22
1 1 1
cos2 2 sin 2 sin2
2 2 2
1 1 1
2 1 cos2 sin 2 cos2
2 2 4
x
xx
xx
x x x
x
x d e x d x
x e xe dx x x x xdx
x e x x xd e xd x
x e x x xe e dx x x xdx
x x e x x x x x
Page 55 of 130
33,
2 2 2
33
2 2 2
2 2 2
cos cos
4 sin 4 sin 4 sin
x x x x
I dx dx dx
x x x
Ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
0
4 sin 4 sin 4 sin
tx
x t t
A dx dt dt A A
x t t
22
2
2
2
22
cos 1 1 1 1 2 sin ln3
sin ln
4 sin 4 2 sin 2 sin 4 2 sin 2
xx
B dx d x
x x x x
Vậy
33
ln3
2
I A B
34,
4 4 4
sin sin
34
0 0 0
sin
(tan cos ) cos
cos
xx
x
I x e x dx dx e xdx
x
4
2
sin sin
4
42
0
0
0
2 ln2
lncos ln 1
22
xx
x d e e e
35,
2
35
1
3
ln
ln 1
e
x
I dx
xx
Đặt
2
1
ln 1 ln 1 2t x t x tdt dx
x
2
2
23
35
1
11
22
1
22
2 2 1 1 1
33
t
I tdt t d t t
t
36,
36
1
3 2ln
1 2ln
e
x
I dx
xx
Đặt
2
1
2ln 1 2ln 1t x t x tdt dx
x
2
22
23
2
36
11
1
4 10 2 11
44
3 3 3
tt
I tdt t dt t
t
Page 56 of 130
37,
4
37
0
21
1 2 1
x
I dx
x
Đặt
2
1 2 1 1 2 1 1t x t x dx t dt
4
44
2
37
22
2
11
1 2 2 ln ln2 2
2
tt
I t dt t dt t t
tt
38,
22
38
2
00
sin sin
sin2
3 4sin cos2 2 4sin 2sin
xd x
x
I dx dx
x x x x
1
1
2
0
0
1 1 1 1 2ln2 1
ln 1 ln2
2 1 2 2 4
21
tdt
dx t
t
t
39,
1 1 1
32
2 2 2
39
22
0 0 0
11
4
22
44
xx
xx
I xe dx xd e d x
xx
4
1
4
3
22
2
2
3
0
3
22
1 1 4 1 1 1 2
8
2 2 2 2 2 2 2 3
1 1 32 61
6 3 3 3
4 2 3 4 12
x
x
e t e
xe dt t t
t
ee
40,
2 2 2
40
2 2 2 2 2 2
0 0 0
sin sin 2 sin sin2
3sin 4 3sin 4 3sin 4
x x x x
I dx dx dx
x cos x x cos x x cos x
Có:
1
22
2 2 2 2
0 0 0
cos
sin
3sin 4 3 3
dx
x dt
A dx
x cos x cos x t
Đặt
2
3 tan 3 1 tant u dt u du
thì:
2
6 6 6
6
2
2
0 0 0
0
3 1 tan
sin
1 1 sin 1
ln ln3
cos 1 sin 2 1 sin 2
3 3tan
u du
du
du u
A
u u u
u
2
22
2
2
2 2 2
0
00
4 sin
sin2
2 4 sin 2 2 3
3sin 4 4 sin
dx
x
B dx x
x cos x x
Page 57 of 130
Vậy
40
ln3
2 2 3
2
I A B
41,
0 0 0
33
41
1 1 1
11
xx
I x e x dx xe dx x x dx A B
Ta có:
0 0 0
0
1
1 1 1
21
x x x x
A xe dx xd e xe e dx e
3
1
01
74
1
33
3
10
0
9
1 3 1 3
7 4 28
tx
tt
B x x dx t t dt
Vậy
41
37
2
28
I A B e
43,
ln3
43
3
0
1
x
x
e
I dx
e
Đặt
2
1 1 2
x x x
t e t e tdt e dx
2
22
43
32
2
22
2 2 2
21
tdt dt
I
t t t
44,
22
1 1 1
3 2 3 3 2
44
0 0 0
11
xx
I x e x dx x e dx x x dx A B
Ta có:
2 2 2 2
1 1 1
1
3 2 2 2
0
0 0 0
11
22
x x x x
A x e dx x d e x e e d x
2
1
0
1 1 1
2 2 2 2 2 2
x
e e e
e
2
2
12
53
1
3 2 2 2
01
1
2 2 2
11
5 3 15
tx
tt
B x x dx t t
Vậy
44
1 2 2 2 17 4 2
2 15 30
I A B
45,
4 4 4 4
4
45
2
0
0 0 0 0
11
tan tan tan
1 cos2 2cos 2 2
xx
I dx dx xd x x x xdx
xx
Page 58 of 130
4
0
1 1 2 1
ln cos ln ln2
8 2 8 2 2 8 4
x
Page 59 of 130
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Phần A: Thể tích khối đa diện.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam
giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc
và
tạo với mặt (SAD) góc
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a
cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
. Trên cạnh SA lấy điểm
M sao cho
3
3
a
AM
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp
S.BCMN
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể tích hình
chóp S.ABCD
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh
huyền
2AB a
. Mặt phẳng (AA
1
B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử
1
AA 3a
, góc
1
AA B
nhọn và mặt phẳng (AA
1
C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc
60
.
Tìm thể tích lăng trụ.
Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
,,AB a AC b AD c
và các góc
,BAC
,CAD DAB
đều bằng
60
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60BAD
,
SA mp ABCD
và
SA a
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI
Tìm
khoảng cách từu C đến mp(SAD).
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
và
.SA mp ABC
ABC
có
2,AB BC a
120 .ABC
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của
DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh
rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC,
AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn
1
3
AP
AB
. Thiết diện với hình
chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q.
1. Chứng minh
1
.
3
SQ
SC
2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương.
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
60
.
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
Page 60 of 130
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ
số
1
2
V
V
.
Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian.
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a
và
SA SB SC a
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
vuông tại S.
Bài 2: Tứ diện SABC có
.SA mp ABC
Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác
ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
SAC BHK
2. Chứng minh
HK SBC
và
.SBC BHK
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm Ô và có cạnh SA vuông
góc với (ABCD). Giả sử (P) là amwtj phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh
.SBD SAC
2. Chứng minh
||BD mp P
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
SA
). Qua A dựng mặt phẳng (Q)
vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:
' , 'AB SB AD SD
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và
BAC
. Gọi M
là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc
.
1. Chứng minh
'.C BC
2. Chứng minh
tan os
2
c
là điều kiện cần và đủ để
'BM MC
.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h
và vuông
góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1. SB và CD
2. SC và BD
Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3,a
cạnh bên bằng
2.a
Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
7,a
cạnh bên SC
vuông góc với mp(ABC) và
7.SC a
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh
a
và
3
.
3
a
OB
Trên
đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a
Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh
a
và góc
60BAD
.
Đoạn
3
4
a
SO
và SO vuông góc với mp(ABCD).
1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD)
Page 61 of 130
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là
.a
Gọi E, F và M lần lượt là
trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM).
Tính
osc
Bài 12: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại
A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt
,.BM u DN v
Chứng minh rằng:
2
33a u v uv a
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
30
.
Page 62 of 130
ĐỀ LUYỆN TẬP SỐ 4: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
(Các em tự vẽ hình vào các bài tập)
Phần A: Thể tích khối đa diện.
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC, trong đó SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Đáy là tam
giác ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD là
a
, cạnh bên SB tạo với đáy một góc
và
tạo với mặt (SAD) góc
. Tìm thể tích hình chóp S.ABC
HDG: Thể tích hình chóp S.ABC là:
1
..
3
ABC
V SAS
Tam giác ABC cân đỉnh A nên trung tuyến AD cũng là đường cao của tam giác. Theo giả
thiết
,SA mp ABC SBA SB mp ABC
BD mp SAD BSD
Đặt BD = x suy ra:
2 2 2 2
.tanAB a x SA a x
22
22
2
22
sin sin
sin tan sin
sin
os sin
BD SA
SB
x a x
a
x
c
Do đó:
3
22
22
1 sin .sin
. .tan . .
3 os sin
a
V a x a x
c
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với
, 2 ,AB a AD a
cạnh SA
vuông góc với đáy, còn cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc
60
. Trên cạnh SA lấy điểm
M sao cho
3
3
a
AM
. Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD tại N. Tính thể tích khối chóp
S.BCMN
HDG: Theo giả thiết
, 60
.tan60 3
SA mp ABCD SBA SB mp ABCD
SA AB a
Trong mp(SAD) kẻ MN || AD (N thuộc cạnh SD)
SD mp BCM N
Theo công thức tỉ số thể tích, ta có:
.
2
.
2 2 1
3 3 3
4 4 2
.
9 9 9
SMBC
SMBC SABC S ABCD
SABC
SMNC
SMNC SADC S ABCD
SADC
V
SM
V V V
V SA
V
SM SN SM
V V V
V SA SD SA
Vậy:
3
..
5 5 1 10 3
. . .
9 9 3 27
S BCMN SMBC SMNC S ABCD ABCD
V V V V SAS a
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bằng
a
, và SH là đường cao của hình
chóp. Khoảng cách từ trung điểm I của SH đến mặt bên (SDC) bằng
b
. Tìm thể tích hình
chóp S.ABCD
Page 63 of 130
HDG: Từ giả thiết suy ra H là tâm của hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD,
và G là trực tâm ∆SCD
(1)HG CD
Mà
()
BD AD
BD SAC BD SC
BD SH
và
( ) (2)SC DG SC BDG SC HG
Vì I là trung điểm của SH nên :
;( ) 2 ;( ) 2HG d H SCD d I SCD b
2
22
2 2 2
2
2
3
22
1 1 1
4à
4
4
4
2
3 16
b
a ab
GM b v h
HG HM SH
a
b
a
V
ab
Bài 4: Cho lăng trụ tam giác ABC.A
1
B
1
C
1
có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh
huyền
2AB a
. Mặt phẳng (AA
1
B) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Giả sử
1
AA 3a
, góc
1
AA B
nhọn và mặt phẳng (AA
1
C) tạo với mặt phẳng (ABC) góc
60
.
Tìm thể tích lăng trụ.
Bài 5: Tính thể tích khối tứ diện ABCD biết
,,AB a AC b AD c
và các góc
,BAC
,CAD DAB
đều bằng
60
.
HDG: Không mất tính tổng quát ta giả sử
min , ,a a b c
Trên AC, AD lấy lần lượt hai điểm C
1
, D
1
sao cho AC
1
= AD
1
= a, từ giả thiết suy ra tứ
diện ABC
1
D
1
là tứ diện đều cạnh a nên có
11
3
2
12
ABC D
Va
Theo công thức tỉ số thể tích:
11
2
11
.
ABC D
ABCD
V
AC AD
a
V AC AD bc
11
2
2
12
ABCD ABC D
bc abc
VV
a
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh
,a
60BAD
,
SA mp ABCD
và
SA a
. Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AC’ và song song với BD cắt
các cạnh SB, SD của hình chóp lần lượt tại B’, D’. Tìm thể tích hình chóp S.AB’C’D’
HDG: Gọi
,'O AC BD I AC SO
, suy ra
' '||B D BD
và
''BD
đi qua I
Tam giác SAC nhận I làm trọng tâm nên
2 ' ' 2
33
SI SB SD
SO SB SD
Theo công thức tỉ số thể tích:
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
..
3 2 3 3 6
S AB C
S AB C S ABC S ABCD
S ABC
V
SB SC
V V V
V SB SC
. ' '
. ' ' . .
.
' ' 2 1 1 1 1
..
3 2 3 3 6
S AD C
S AD C S ADC S ABCD
S ADC
V
SD SC
V V V
V SD SC
Page 64 of 130
Vậy:
3
3
. ' ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' .
1 1 3 3
.
3 3 6 18
S A B C D S A B C S A D C S ABCD
a
V V V V a
Bài 7: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng
a
. Qua trung điểm I của cạnh AB dựng
đường thẳng (d) vuông góc với mp(ABCD). Trên (d) lấy điểm S sao cho:
3
.
2
a
SI
Tìm
khoảng cách từ C đến mp(SAD).
HDG: Ta có:
3
.
13
..
36
S ABCD ABCD
a
V SI S
Áp dụng pitago ta có:
2
2 2 2
5
4
a
DI AI AD
,
2 2 2 2
SA SI AI a
,
2 2 2 2
2SD SI DI a
2 2 2
SD SA DA SAD
vuông tại A nên
2
11
.SA
22
SAD
S AD a
Vậy khoảng cách cần tìm là:
33
3
,
22
SACD SABCD
SAD SAD
VV
a
d C SAD
SS
Bài 8: Cho hình chóp S.ABC có
3SA a
và
.SA mp ABC
ABC
có
2,AB BC a
120 .ABC
Tìm khoảng cách từ A đến mp(SBC).
HDG: Ta có:
2
2
11
. . .sin . 2 .sin120 3
22
ABC
S BA BC B a a
23
.
11
. . .3 . 3 3
33
S ABC ABC
V SAS a a a
Áp dụng định lí hàm số cosin trong tam giác ABC có:
2 2 2 2
2 . .cos 12 2 3AC AB CB BABC B a AC a
Áp dụng pitago trong tam giác vuông:
2 2 2 2
2 2 2 2
13 13
21 21
SB SA BA a SB a
SC SA AC a SC a
Ta có:
2 2 2
15 4
os sin
2.
273 91
SB SC BC
c BSC BSC
SB SC
2
1
. .sin 2 3
2
SBC
S SB SC BSC a
Vậy khoảng cách cần tìm là:
.
3
1
,
2
S ABC
SBC
V
d A mp SBC a
S
Bài 9: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng
a
. Gọi K là trung điểm của
DD’. Tìm khoảng cách giữa CK và AD’.
HDG: Kẻ AH || CK (H thuộc cạnh CC’), khi đó ta có:
''
3
, ' , ' , ' ', '
AHD
AHC D
V
CK AD CK mp AHD C mp AHD C mp AHD
S
Dễ thấy H là trung điểm của CC’ và tính được
3
' ' ' '
1
..
3 12
AHC D HC D
a
V AD S
Page 65 of 130
Xét tam giác AHD có:
22
5
' ' ; 2
2
a
DH DC HC AD a
22
3
2
a
AH AD HD
2
'
1 3 1 3
os ' sin ' . ' . ' .sin '
24
10 10
AD H
a
c AD H AD H S D A D H AD H
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng Ck và AD’ là:
''
3
, ' , '
3
AHD
AHC D
V
a
CK AD CK mp AHD
S
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm của AA’. Chứng minh
rằng thiết diện C’MB chia lăng trụ thành hai phần tương đương.
HDG: Gọi
1
V
là thể tích phần đa diện chưa điểm A, và V là thể tích lăng trụ.
Kí hiệu h là khoảng cách từ B đến mp (ACC’A’), ta có:
1 . ' ' ' ' '
' ' ' '.
11
. . .
33
1 1 1 3 1
. . .
3 2 2 2 2
B ACC A ACC M ACC AMC
ACC ACC ACC C ABC
V V h S h S S
h S S h S V V
Do đó thể tích phần còn lại cũng bằng
1
2
V
nên ta có đpcm.
Bài 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC. Giả sử M, N, P là ba điểm lần lượt trên SA, BC,
AB sao cho M, N tương ứng là trung điểm của SA, BC còn
1
3
AP
AB
. Thiết diện với hình
chóp S.ABC tạo bởi mặt phẳng (MNP) cắt SC tại Q.
1. Chứng minh
1
.
3
SQ
SC
2. Chứng minh thiết diện chia hình chóp thành hai phần tương đương.
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các mặt bên tạo với mp đáy góc
60
.
1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với mp(SAD)
2. Thiết diện chia khối chóp thành hai phần có thể tích tương ứng là V
1
, V
2
. Tìm tỉ
số
1
2
V
V
.
HDG: 1. Vẽ thiết diện qua AC và vuông góc với (SAD):
()DoAC SBD AC SD
. Kẻ
( ) ( ) ( )CM SD SD ACM ACM P
Vậy (ACM) là thiết diện.
3. Đặt
1.D ACM
VV
Ta có:
.
.
1
2
S ACM
S DAC
V
V SM
V SD
V
. Gọi N là trung điểm của CD
0
óc( ) 60HN CD SN CD g SNH
Page 66 of 130
0
1
óc( ) 60 2 . à 2; 3
2
1
52
5
HN CD SN CD g SNH HN SN SN DN m HN a HD a SH a
V
SC SD a CM a SM a
V
Phần B: Quan hệ vuông góc trong không gian.
Bài 1: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh
a
và
SA SB SC a
.
1. Chứng minh mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).
2. Chứng minh
SBD
vuông tại S.
HDG: Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, vì
SA SB SC a
nên
SO mp ABCD
. Mà
AC BD
vì ABCD là hình thoi, nên
O BD
Có:
,SO SBD SO ABCD SBD ABCD
Bài 2: Tứ diện SABC có
.SA mp ABC
Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC và SBC.
1. Chứng minh SC vuông góc với mp(BHK) và
SAC BHK
2. Chứng minh
HK SBC
và
.SBC BHK
(Bài 2: có đính chính H, K là trực tâm)
HDG: 1. Vì H là trực tâm tam giác
ABC BH AC
, theo giả thiết
SA mp ABC BH SA
. Nên
BH mp SAC SC BH
Do K là trực tâm
SBC BK SC
Từ đó suy ra
SC mp BHK mp BHK mp SAC
(đpcm)
2. Tương tự như trên ta cũng chứng minh được:
SB mp CHK SB HK
Mà
SC mp BHK SC HK
. Do đó:
HK mp SBC mp SBC mp BHK
Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O và có cạnh SA vuông
góc với (ABCD). Giả sử (P) là mặt phẳng qua A và vuông góc với SC.
1. Chứng minh
.SBD SAC
2. Chứng minh
||BD mp P
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông tâm O nên AC và BD vuông góc với nhau tại O, vì SA
vuông góc với (ABCD) nên
SA BD BD SAC SBD SAC
2. Từ giả thiết suy ra:
P SAC
, mà
||BD SAC BD P
Bài 4: Trong mặt phẳng (P) cho hình chữ nhật ABCD. Qua A dựng đường thẳng Ax
vuông góc với (P). lấy S là một điểm tùy ý trên Ax (
SA
). Qua A dựng mặt phẳng (Q)
vuông góc với SC. Giả sử (Q) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’. Chứng minh:
' , 'AB SB AD SD
và
. ' . ' . 'SB SB SC SC SD SD
HDG: Từ giả thiết suy ra:
,'SA BC AB BC BC SAB BC AB
Mà
'SC Q SC AB
. Do đó
''AB SBC AB SB
Ngoài ra ta cũng có
, ' ' ' 'BC SB SC B C SBC SC B
nên:
Page 67 of 130
. ' . '
''
SB SC
SB SB SC SC
SC SB
Chứng minh tương tự ta được
'AD SD
và
. ' . 'SD SD SC SC
Vậy ta có đpcm.
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ đáy là tam giác cân đỉnh A và
BAC
. Gọi M
là trung điểm của AA’ và giả sử mp(C’MB) tạo với đáy (ABC) một góc
.
1. Chứng minh
'.C BC
2. Chứng minh
tan os
2
c
là điều kiện cần và đủ để
'BM MC
.
HDG: 1. Trong mp(ACC’A’) kéo dài C’M cắt CA tại N, thì A là trung điểm của NC suy
ra:
1
2
BA AC AN BA CN BCN
vuông tại B nên
BN BC
.
Tương tự ta có
'BN BC
Dễ thấy:
'BN mp MBC mp ABC
, từ trên suy ra
' , 'C BC ABC MBC
2. Vì BM là trung tuyến của
'BC N
nên:
''BM MC NBC
cân đỉnh B
. os
2
' os tan
os 2
sin sin
22
BC c
BC BH
BC BN c
c
(Với H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống cạnh AC)
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, có
SA h
và vuông
góc với mp(ABCD). Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của:
1. SB và CD
2. SC và BD
HDG: 1. Vì ABCD là hình vuông nên
BC CD
Lại có:
BC AB
BC SAB BC SB
BC SA doSA ABCD
Vậy BC là đoạn vuông góc chung của SB và CD, và
BC a
2. Gọi
O AC BD
AC và BD vuông góc nhau tại O, mà
SA BD
BD mp SAC
. Trong tam giác SAC, kẻ OI vuông góc với SC khi đó BD
và OI vuông góc nhau do đó OI là đường vuông góc chung của SC và BD
Ta có:
22
.
22
SA SC SAOC ah
SAC OIC OI
OI OC SC
ha
Bài 7: Cho chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng
3,a
cạnh bên bằng
2.a
Gọi G là
trọng tâm tam giác ABC. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
HDG: Trong tam giác ABC đều, kéo dài AG cắt BC tại M
AG BC
Chóp S.ABC đều, mà G là tâm
ABC
ABC nên
SG ABC SG BC
, từ đó suy ra
BC SAG
.
Trong
SAM
kẻ
MN SA N SA MN BC
. Do vậy MN là đoạn vuông góc chung
của BC và SA. Ta có:
Page 68 of 130
2
. 3 3
...
4
SAM
S
SG MA a
MN
SA SA
Bài 8: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh
7,a
cạnh bên SC
vuông góc với mp(ABC) và
7.SC a
Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.
Bài 9: Trong mặt phẳng (P) cho hình thoi ABCD có tâm là O, cạnh
a
và
3
.
3
a
OB
Trên
đường thẳng vuông góc với mp(ABCD) tại O, lấy điểm S sao cho
.SB a
Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng SA và BD.
HDG: Dễ chứng minh được
BD SAC
(vì
,BD AC BD SO
)
Trong mp(SAC) kẻ
OI SA I SA
OI là đoạn vuông góc chung của SA và BD.
Ta có:
22
6 2 3
33
aa
SO OA SA SO OA
2
.3
...
3
SOA
S
SOOA a
OI
SA SA
Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh
a
và góc
60BAD
.
Đoạn
3
4
a
SO
và SO vuông góc với mp(ABCD).
1. Dựng thiết diện chóp với mp(P) biết (P) qua AD và vuông góc mp(SBC).
2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABCD)
Bài 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là
.a
Gọi E, F và M lần lượt là
trung điểm của AD, AB và CC’. Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM).
Tính
osc
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2
26
A,
22
aa
EF AE F ME MF MC CB BF
Gọi
I EF AC MI EF
. Mà
,MI EF AC MEF ABCD EF
nên:góc
giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (EFM) là
MIC
Do đó:
22
3
3 11
4
os ..
11
IF
AC
IC
c
IM
MF
Bài 12: Trong mp(P) cho hình vuông ABCD cạnh a. Dựng đoạn SA vuông góc với (P) tại
A. Gọi M, N lần lượt là các điểm trên BC, CD. Đặt
,.BM u DN v
Chứng minh rằng:
2
33a u v uv a
là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (SAM) và (SAN) tạo với nhau một góc
30
.
HDG: Ta có:
2 2 2 2 2 2
;AM a u AN a v
22
2 2 2 2
22MN a u a v a u v a u v
Dễ thấy góc giữa hai phẳng (SAM) và (SAN) là góc
MAN
Do đó:
2 2 2
30 os os30
2.
AM AN MN
cc
AM AN
Page 69 of 130
2 2 2 2
2
2
22
2
3
2
.
3
33
a u v
a u a v
a uv a u v
a u v uv a
Page 70 of 130
