Tài liệu học tập độ đo và tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (766.34 KB, 67 trang )
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
MỤC LỤC
Lời mở đầu .......................................................................................................................................................................... 2
BẢNG PHÂN CÔNG CÔNG VIỆC NHÓM 3 ................................................................................................................ 3
CHƯƠNG 1: ĐỘ ĐO DƯƠNG – HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC ................................................................................................. 4
A.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT: ..................................................................................................................................... 4
1.1 Tập hợp đo được: ................................................................................................................................................. 4
1.2 Ánh xạ đo được: ................................................................................................................................................... 7
1.3 Tập có độ đo khơng và tính chất “hầu khắp nơi”: ............................................................................................ 8
B.
BÀI TẬP GIÁO TRÌNH: .................................................................................................................................... 10
C.
BÀI TẬP TÌM HIỂU THÊM:............................................................................................................................. 33
CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN VỚI ĐỘ ĐO DƯƠNG TỔNG QUÁT .............................................................................. 39
A.
TÓM TẮT LÝ THUYẾT: ................................................................................................................................... 39
2.1 Tích phân hàm đo được dương:............................................................................................................................ 39
2.2 Hàm khả tích Lebesgue: ........................................................................................................................................ 40
B.
BÀI TẬP GIÁO TRÌNH: .................................................................................................................................... 42
C.
BÀI TẬP TÌM HIỂU THÊM:............................................................................................................................. 62
CHƯƠNG 3: ĐỘ ĐO DƯƠNG TRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ ............................................................................ 65
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................................................................................... 67
1
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Lời mở đầu
Độ đo là khái niệm được tổng quát từ độ dài của đường thẳng, diện tích của miền phẳng và thể
tích của vật thể. Tích phân ra đời để đáp ứng nhu cầu tính độ dài cung đường cong, diện tích và thể tích
các hình.
Mơn học Lý thuyết độ đo và tích phân là mơn bắt buộc chung của ngành Tốn. Vì thế trong q
trình học tập, nghiên cứu môn này, dưới sự giảng dạy và hướng dẫn của thầy TS.Lê Minh Triết giảng viên
trường Đại học Sài Gịn, dựa theo giáo trình Lý thuyết độ đo và tích phân của thầy Dương Minh Đức,
chúng tơi biên soạn lại những gì đã tiếp thu và tìm hiểu được. Nội dung chúng tơi viết dưới đây chỉ là tóm
tắt lại phần lý thuyết đã được học, trình bày lại những bài giải đã được thầy Lê Minh Triết hướng dẫn
trong q trình học. Ngồi ra chúng tơi có bổ sung thêm vài kiến thức lý thuyết và một số bài tập tương
tự, liên quan mà chúng tơi đã tìm hiểu được thông qua các nguồn tài liệu.
Tuy đã học tập nghiêm túc nhưng cũng không thể tránh khỏi những sai sót trong q trình ghi
chép và giải các bài tập tương tự. Vì vậy rất mong sự góp ý, nhận xét của thầy và các bạn để tài liệu học
tập của nhóm được hồn thiện hơn, hữu ích hơn trong việc học và ôn tập môn Lý thuyết độ đo và tích
phân. Chúng tơi xin chân thành cảm ơn.
Nhóm 3 – Tốn Giải tích 19.1
2
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
BẢNG PHÂN CƠNG CƠNG VIỆC NHĨM 3
STT
1
Họ và Tên
Huỳnh Thị Sâm
Cơng việc được giao
Đánh giá
+ Lý thuyết: Tìm hiểu về độ đo + Hoàn thành đúng tiến độ.
phức và đầy đủ hóa một khơng + Tìm hiểu thêm về “Tập có độ
gian đo được; Hàm khả tích đo khơng và tính chất hầu khắp
Lebesgue.
nơi”.
+ Bài tập 2.20, 2.23, 2.25, 3.8, 3.9, + Làm thêm bài tập tìm hiểu
3.10.
thêm 1, 3, 4, 5, 6.
+ Làm thêm bài tập 2.26.
2
Huỳnh Thị Thanh Trúc + Lý thuyết: Tìm hiểu về tập hợp + Hồn thành đúng tiến độ.
đo được; Tích phân hàm đo được + Làm thêm bài tập 2.2, 2.5, 2.9,
dương.
2.10, 2.11, 2.12.
+ Bài tập 2.3, 2.7, 2.8, 2.13, 2.14, + Làm thêm bài tập tìm hiểu
3.2, 3.3, 3.4.
thêm 2.
+ Tổng hợp và trình bày.
3
Phạm Thị Diễm Xuân
+ Lý thuyết: Tìm hiểu về ánh xạ đo + Hoàn thành đúng tiến độ.
được; Độ đo dương cho xác suất.
+ Làm thêm bài tập 2.17, 2.18,
+ Bài tập 2.16, 2.21, 2.24, 3.5, 3.6, 2.22
3.7.
+ Làm thêm bài tập tìm hiểu
thêm 7.
4
Võ Thành Hiếu
+ Bài tập 3.11, 3.12, 3.13
+ Làm thêm bài tập 3.15, 3.16,
3.19, 3.21, 3.24, 3.25.
3
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
CHƯƠNG 1: ĐỘ ĐO DƯƠNG – HÀM SỐ ĐO ĐƯỢC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
1.1 Tập hợp đo được:
Định nghĩa 1.1.1: Cho M là một họ các tập con của một tập khác rỗng X . Ta nói M là một _
đại số trong X nếu M có các tính chất sau:
X M .
i.
ii. X \ A M A M.
iii. An M An M.
n 1
Ví dụ 1.1.1: Cho X là một tập khác rỗng. Khi đó X (tập các tập con của X ) và , X là các
_ đại số.
Định nghĩa 1.1.2: Nếu có một _ đại số M trong một tập hợp X , ta nói X là một không gian đo
được và các phần tử của M được gọi là các tập đo được.
m
Ví dụ 1.1.2: Cho , M là một không gian đo được. Cho A1 , A2 ,..., Am M . Đặt A An . Chứng
n 1
minh A là một tập con M - đo được trong .
Giải. , M là một không gian đo được. Suy ra M là một _ đại số trong .
Suy ra: An M An M.
n 1
A1 , A2 ,..., Am M . Đặt B1 A1 , B2 A2 ,..., Bm Am , Bm 1 , Bm 2
Suy ra: B1 , B2 ,..., Bm , Bm 1 , Bm 2 ,... M . Suy ra: Bn M
n 1
m
m
Mà Bn An . Nên An M.
n 1
n 1
n 1
m
Vậy A An là một tập con M - đo được trong .
n 1
Ví dụ 1.1.3: Cho , M là một không gian đo được. Cho A, B M . Chứng minh A B là một tập
con M - đo được trong .
A M \ A M
Giải. Ta có:
\ A \ B M
B M \ B M
4
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Mà \ A \ B \ A B \ A B M \ \ A B M
Mà \ \ A B A B . Nên A B M .
Vậy A B là một tập con M - đo được trong .
Định nghĩa 1.1.3: Cho X là một không gian đo được với một _ đại số M và cho là một ánh xạ
từ M vào 0, . Ta nói là một độ đo dương trên M nếu có các tính chất sau:
i.
Nếu An là một dãy các phần tử rời nhau trong M thì An An .
n1 n1
ii. Có một B trong M sao cho B .
Ta cũng gọi , M, là một không gian đo được.
Ví dụ 1.1.4: Cho là một tập hợp Lebesgue đo được khác trống trong n . Đặt N A M : A
và v A A A N . Chứng minh v là một độ đo dương trong không gian đo được , N .
Giải. i. Gọi An là một dãy các phần tử rời nhau trong N .
Suy ra An là một dãy các phần tử rời nhau trong M .
Ta có: v An An An v An
n 1
n1
n 1 n 1
ii. Vì là một độ đo dương trên n , M .
Nên tồn tại B M : B
Đặt B B sao cho B
Suy ra B N
Ta có: v B B B
Vậy v là một độ đo dương trong không gian đo được , N .
Định nghĩa 1.1.4: Cho X là một không gian đo được với một - đại số và cho hàm : M C . Ta
nói là một độ đo phức trên M nếu thỏa mãn tính chất sau:
j 1
Aj Aj , nếu Aj M , j 1, 2,3,..... và Ai A j , i j
j 1
5
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Định nghĩa 1.1.5: Cho X là một không gian đo được với một - đại số M và cho hàm là một
độ đo (dương hoặc phức) trên M . Ta nói X , M, là một khơng gian đo (measure space).
Chú thích 1.1.1:
(i)
Với độ đo phức, chuỗi
A hội tụ với mọi dãy A rời nhau như trên, là hội tụ
j
j
j 1
tuyệt đối.
(ii)
Nếu là một độ đo dương và nếu A, B M và A B thì A B .
(iii)
Cũng vậy, nếu A j M , j 1, 2,.... và A1 A2 A3 ...., thì Aj lim An .
n
j 1
(iv)
Tương tự , nếu A j M , j 1, 2,.... và A1 A2 A3 ...., thì Aj lim An .
n
j 1
(v)
Nếu là một độ đo dương và nếu A j M , j 1, 2, 3,.... thì Aj Aj .
j 1 j 1
Định nghĩa 1.1.6: Cho ( X , M , ) là một không gian đo. Đặt:
M* E X : A, B M sao cho A E B và B \ A 0} . Ta đặt * E A .
Định lí 1.1.1: X , M * , * là một không gian đo.
Chứng minh: Trước hết ta kiểm tra lại rằng * được xác định tốt với mọi E M* .
Giả sử rằng A E B, A1 E B1 và B \ A B1 \ A1 , với A, B, A1 , B1 M
Chú ý rằng: A \ A1 E \ A1 B1 \ A1 ,
Do đó ta có: A \ A1 0 , do đó A A A1 A \ A1 A A1 .
Lý luận tương tự, A1 A1 A .
Vậy A A1 .
Tiếp theo, kiểm tra rằng M * thỏa 3 tính chất của một - đại số.
(i)
X M * , bởi vì X M và M M * ,
(ii)
Giả sử rằng A E B , khi đó X \ B X \ E X \ A . Vậy E M* dẫn đến
X \ E M * , bởi vì X \ A \ X \ B X \ A B B \ A ,
X \ A \ X \ B B \ A 0. .
(iii)
i 1
i 1
i 1
Giả sử rằng Ai E i Bi , E Ei , A Ai , B Bi , khi đó A E B
6
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
i 1
i 1
Nhóm 3
Và B \ A BI \ A Bi \ Ai .
Vì hội đếm được các tập có độ đo 0 cũng là tập có độ đo 0, do đó 0 B \ A Bi \ Ai 0 .
i 1
Suy ra: B \ A 0 , như vậy E Ei M * , nếu Ei M * với i 1, 2,3....
i 1
Cuối cùng, nếu các tập Ei M * là rời nhau từng đôi một như trong bước (iii), thì các tập Ai cũng rời
nhau từng đơi một giống như vậy.
Do đó: * E A Ai * Ei .
i 1
i 1
Vậy chứng tỏ rằng * cộng đếm được trên M * .
Định nghĩa 1.1.7: X , M * , * được gọi là đầy đủ hóa của X , M, . Nếu M * M thì ta gọi là
một độ đo đầy đủ.
1.2 Ánh xạ đo được:
Định nghĩa 1.2.1: Cho X , M là một không gian đo được, A1 ; A2 ;......; Am là một họ hữu hạn
m
trong M và 1; 2 ;......; m là một họ hữu hạn trong và f ( x) k Ak x x
k 1
1
Trong đó A x
0
xA
x X \A
Ta nói f là một ánh xạ đơn (simple function) trên X , M
Ví dụ 1.2.1: Chứng minh rằng:
a) A B A .B
Ta có: A B x 1 x A và x B A x 1 B x
Do đó, AB A .B .
b) AC 1 A
Nếu AC 1 thì x A . Do đó, A x 0
Nếu AC 0 thì x A . Do đó, A x 1
Vậy AC 1 A .
7
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Định nghĩa 1.2.2: Cho X , M là một không gian đo được và f là một ánh xạ từ X vào ; .
Ta nói f là một ánh xạ thực đo được trên X , M nếu và chỉ nếu f 1 a, M với mọi số thực a.
Định nghĩa 1.2.3: Cho X , M là một không gian đo được và u và v là các ánh xạ từ X vào , và
f u iv . Ta nói f là một ánh xạ phức đo được trên X , M nếu và chỉ nếu u và v là các ánh xạ đo
được trên X , M .
1.3 Tập có độ đo khơng và tính chất “hầu khắp nơi”:
Giả sử ( X , M, ) là một không gian độ đo với M là một - đại số. Ta nói tính chất P ( x ) nào
đó thỏa mãn hầu khắp nơi (h.k.n) trên A nếu tồn tại B M sao cho B 0 và P ( x ) thỏa mãn với
mọi x A \ B . Đôi khi để chỉ rõ độ đo (trong trường hợp đang xét nhiều độ đo) ta viết “ - h.k.n’’
thay cho “h.k.n”.
Ví dụ 1.3.1:
1) Hàm f : A là hữu hạn h.k.n trên A nếu f ( x ) với mọi x A ngoại trừ trên một tập B A
mà B B0 và B0 0 .
2) Dãy f n n các hàm xác định trên A là hội tụ h.k.n trên A về hàm f nếu có tập B A sao cho
B 0 và f n ( x) f ( x) khi n với mọi x A \ B.
3) Hai hàm f , g xác định trên A là hội tụ h.k.n trên A nếu x A : f ( x) g ( x) B với B 0 .
Hai hàm bằng nhau h.k.n trên A được gọi là tương đương trên A và thường ký hiệu là f g . Chý
ý rằng quan hệ là một quan hệ tương đương trên lớp các hàm xác định trên A .
Định lí 1.3.1: Nếu là độ đo đủ thì mọi hàm số g tương đương với một hàm f đo được trên A cũng
đo được trên A .
Chứng minh: Từ định nghĩa của hàm tương đương ta suy ra hai tập hợp A f a và A g a chỉ sai
khác nhau một tập có độ đo 0 (do đủ) nên nếu A f a M thì A g a M .
Trong giải tích cổ điển, khái niệm tương đương của các hàm số khơng có vai trị gì quan trọng, vì khi
đó ta chỉ xét các hàm số liên tục, mà đối với các hàm số đó tính tương đương trùng với tính đồng nhất.
Chính xác hơn, nếu hai hàm số liên tục trên một đoạn mà tương đương (với độ đo Lebesgue) thì chúng
đồng nhất. Thật vậy, nếu f ( x0 ) g ( x0 ) tại một điểm x0 thì bởi tính liên tục của f và g , tồn tại một
8
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
lân cận của x0 trên đó f ( x ) g ( x ) . Vì độ đo của mỗi lân cận như vậy là dương nên điều này mâu thuẫn
với giả thiết tương đương của f và g .
Đối với các hàm đo được tùy ý, nói chung tính tương đương khơng kéo theo sự đồng nhất. Ví dụ, hàm
số nhận giá trị 1 tại các điểm hữu tỷ và nhận giá trị 0 tại các điểm vô tỷ là tương đương với hàm không.
9
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
B. BÀI TẬP GIÁO TRÌNH:
Bài 2.2: trang 36 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho là một họ các tập con trong một tập hợp X khác rỗng. Tìm một _ đại số nhỏ nhất M trong X
sao cho M
Giải.
Đặt M A : A N N laø _ đại số chứa .
Hay M N , N là _ đại số chứa .
1. Ta cần chứng minh M là một _ đại số trên X :
+ X N N là _ đại số chứa .
Suy ra X N N là _ đại số chứa . Hay X M .
+ Lấy A tùy ý thuộc M . Khi đó A N N là _ đại số chứa .
Suy ra: X \ A N (do N là _ đại số ) N là _ đại số chứa .
Nên X \ A N N là _ đại số chứa . Hay X \ A M .
+ Lấy bất kì họ An
n 1
M . Khi đó An và An N N là _ đại số chứa .
Suy ra: An N N là _ đại số chứa .
n 1
Nên An N N là _ đại số chứa .
n 1
Hay An M
n 1
Vậy M là một _ đại số trên X .
2. Ta cần chứng minh M là _ đại số nhỏ nhất trên X :
Xét M' là một _ đại số chứa .
Suy ra M M' vì M = N ; N là các _ đại số chứa .
Vậy M là _ đại số nhỏ nhất chứa .
10
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Bài 2.3: trang 36 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho là một họ các khoảng mở trong . Tìm một _ đại số nhỏ nhất M trong sao cho M
Giải.
Đặt M khoảng mở A : A N N là _ đại số chứa
1. Ta cần chứng minh M là một _ đại số trên :
+ ; N N là _ đại số chứa . Khi đó M
+ Lấy A tùy ý thuộc M . Khi đó A và A N N là _ đại số chứa .
Suy ra: \ A và \ A N (do N là _ đại số ) N là _ đại số chứa .
Vậy \ A M .
+ Lấy bất kì họ An
n 1
n 1
n 1
M . Khi đó An và An N N là _ đại số chứa .
Suy ra: An ; An N N là _ đại số chứa .
Hay An M
n 1
Vậy M là một _ đại số trên .
2. Ta cần chứng minh M là _ đại số nhỏ nhất trên :
Xét M' là một _ đại số chứa .
Suy ra M M' vì M = N ; N là các _ đại số chứa .
Vậy M là _ đại số nhỏ nhất chứa .
Bài 2.5: trang 36 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một khơng gian đo được với một _ đại số M và cho Bi
iI
trong M . Chứng minh iI Bi và iI Bi đều thuộc về M .
Giải.
Họ quá lắm đếm được là họ hữu hạn hoặc vô hạn đếm được.
Trường hợp 1: I hữu hạn, ta có I 1,2,...n .
11
là một họ quá lắm đếm được
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Xét Bi , i n 1,
n
Bi Bi Bi M
iI
i 1
i 1
Do B
M .
i iI
n
n
i 1
i 1
Ta có X \ Bi X \ Bi hay X \ Bi X \ Bi
iI
iI
n
Mà Bi
M . Nên X \ Bi M . Suy ra X \ Bi M
i 1,n
i 1
n
n
Do đó X \ Bi M . Suy ra Bi M
i 1
i 1
Vậy iI Bi và iI Bi M .
Trường hợp 2: I vơ hạn đếm được, ta có I .
Bi Bi M .
iI
i 1
i 1
i 1
Ta có X \ Bi X \ Bi
Mà X \ Bi M . Nên X \ Bi M
i 1
Hay X \ Bi M . Suy ra Bi M
i 1
i 1
Vậy iI Bi và iI Bi M .
Bài 2.7: trang 37 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một khơng gian đo được với một _ đại số M , cho là một độ đo trên M , và A M . Đặt
N = A E : E M và D D D N . Chứng minh A, N, là một không gian đo được.
Giải.
1. Ta cần chứng minh N là một _ đại số trên A :
+ A A A với A M . Nên A M .
+ Lấy B tùy ý thuộc N , ta có B A E; E M .
12
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Khi đó ta có: A \ B A \ A E A X \ E
Mà X \ E M và A M nên A X \ E N . Hay A \ B N .
+ Lấy bất kì họ Bn
n 1
N . Khi đó En
n 1
M : Bn A Enn
Ta có: Bn A En A En
n 1
n 1
n 1
Mà En M (do M là một _ đại số). Nên Bn N
n 1
n 1
Vậy N là một _ đại số trên A .
2. Ta cần chứng minh là một độ đo dương trên N :
+ Xét Bn
là dãy các phần tử rời nhau trong N .
n 1
Khi đó En
n 1
M : Bn A Enn
Ta có: Bn Bn Bn Bn
n 1
n1
n 1 n 1
+ Vì A, M, là một không gian đo được nên C M : C
Xét D A C N
Ta có: D A C A C C
Vậy là một độ đo dương trên N .
Vậy ta chứng minh được A, N, là một không gian đo được.
Bài 2.8: trang 37 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một khơng gian đo được với một _ đại số M , cho là một độ đo trên M , và f là một song
ánh từ X vào một tập hợp Y . Đặt N = f E : E M và D f 1 D D N . Chứng minh
Y , N,
là một không gian đo được.
Giải.
13
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
1. Ta cần chứng minh N là một _ đại số trên Y :
+ Ta có: X M , Y f X . Nên Y N .
+ Lấy A tùy ý thuộc N . Khi đó: E M : A f E .
Ta có: Y \ A Y \ f E f X \ f E f X \ E (vì f là song ánh).
Mà X \ E M (do M là một _ đại số) nên Y \ A N .
+ Lấy bất kì họ An
n 1
N . Khi đó En
n 1
M : An f En n
Ta có: An f En f En (vì f là song ánh).
n 1
n 1
n 1
Mà En M (do M là một _ đại số). Nên An N
n 1
n 1
Vậy N là một _ đại số trên Y .
2. Ta cần chứng minh là một độ đo dương trên N :
+ Xét An
là dãy các phần tử rời nhau trong N .
n 1
Khi đó En
n 1
rời nhau trong M sao cho An f En n
Ta có: An f 1 An f 1 An f 1 f En
n 1
n 1
n 1
n 1
En En f 1 An An
n 1
n 1
n1 n 1
+ Vì A, M, là một không gian đo được nên B M : B
Xét A f B N : B M
Ta có: A f 1 A B
Vậy là một độ đo dương trên N .
14
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Vậy ta chứng minh được Y , N, là một không gian đo được.
Bài 2.9: trang 37 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho an là một dãy số thực không âm. Đặt A ak A . Hỏi có là một độ đo dương hay
kA
một độ đo phức hay không?
Giải.
Xét An là dãy các phần tử rời nhau trong
Ta có: An ak ak An .
n 1 k A
n 1 k An
n 1
n 1
n
Xét A 1 A
Vậy là một độ đo dương.
Bài 2.10: trang 37 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một khơng gian đo được với một _ đại số M và cho là một độ đo dương trên M . Chứng
minh: 0 .
Giải.
Đặt A1 B; A2 ; A3 ; A4 ;...
m
Suy ra: B An An lim An lim B ...
m
m
n 1 n 1
n 1
lim B m 1 lim B lim m 1 B lim m 1
m
m
m
m
Suy ra: 0 lim m 1 lim m 1 0 0
m
m
Bài 2.11: trang 37 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một khơng gian đo được với một _ đại số M và cho là một độ đo dương trên M . Chứng
m
m
minh: Ak Ak .
k 1 k 1
Giải.
Đặt B1 A1 ; B2 A2 ; B3 A3 ;...; Bm Am ; Bm1 ; Bm 2 ;...
15
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Suy ra: B1; B2 ;...; Bm ; Bm1 ;... rời nhau trong M .
m
m
Suy ra: Ak Bk Bk Bk Bk
k 1
k 1 k 1
k 1
k m 1
m
m
Ak 0 Ak
k 1
k 1
m
m
Vậy Ak Ak .
k 1 k 1
Bài 2.12: trang 37 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một khơng gian đo được với một _ đại số M và cho là một độ đo dương trên M . Cho A
và B là hai phần tử trong M sao cho A B . Chứng minh: A B .
Giải.
Đặt C A và D B \ A
Suy ra: C D ; C D B .
Ta có: B C D C D C A
Vậy A B .
Bài 2.13: trang 38 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một không gian đo được với một _ đại số M , cho là một độ đo dương trên M . Cho Bm
là dãy tăng các phần tử trong M . Chứng minh Bk lim Bm .
k 1 m
Giải.
Đặt A1 B1 ; A2 B2 \ B1 ; ....; Ak 1 Bk 1 \ Bk k
Khi đó: Ak là dãy các phần tử rời nhau trong M .
m
Khi đó: Bm B1 B2 \ B1 ... Bm \ Bm1 A1 A2 ... Am Ak
k 1
Ta có: Bk Ak Ak (vì là độ đo dương trên M )
k 1
k 1 k 1
16
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
m
m
lim Ak lim Ak lim Bk
m
m
k
1
m
k 1
Vậy Bk lim Bk .
k 1 m
Bài 2.14: trang 38 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X là một khơng gian đo được với một _ đại số M , cho là một độ đo dương trên M . Cho Cm
là dãy giảm các phần tử trong M . Hỏi ta có đẳng thức sau đây hay khơng: Ck lim Cm
k
1
m
Giải.
Xét trường hợp X . Đặt Ck m k : m k 1
Tức là: C1 ; C2 \ 1 ; C3 \ 1, 2...
Vậy Ck là dãy giảm các phần tử trong M .
Ta có: Ck . Thật vậy, giả sử m0 Ck
k 1
k 1
Khi đó m0 Ck , k 1 . Suy ra m0 k k 1 (Vơ lí)
Vậy Ck . Suy ra Ck 0
k 1
k 1
Mà Cm Suy ra lim Cm
m
Vậy Ck lim Cm .
k 1
m
Bài 2.15: trang 38 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho ( X , M , ) là một không gian đo. Đặt : M* E X : A, B M sao cho A E B và
B \ A 0} . Ta đặt * E A . Chứng minh X , M * , * là một không gian đo.
Giải. Đã chứng minh ở lý thuyết phần 1.5
17
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Bài 2.16: trang 38 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X,M là một khơng gian đo được và f là một ánh xạ thực đo được trên X,M . Chứng minh
các tập hợp f 1 , a , f 1 a , , f 1 , a , f 1 a , , f 1 a , b , f 1 a , b và
f 1 a , b đều thuộc vào M .
Giải.
Ta có: X,M là một khơng gian đo được và f là một ánh xạ thực đo được trên X,M suy ra
f 1 a , M với mọi số thực a (1)
*Chứng minh: f 1 , a M với mọi a
Ta có: f 1
, a = x X /
f x a
= X \ x X / a f x
= X \ f 1 a , M với mọi a (do (1) )
Vậy f 1 , a M với mọi a (2)
*Chứng minh:
Ta đi chứng minh:
Hiển nhiên
f 1 , a M với mọi a
, a , a 1
n
nN
1
, a n , a
nN
1
Ta có: , a , a vì
n
n N
Lấy x , a suy ra x a
n 0 N :
x a
1
n n 0
n
18
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
1
n 0 N : x , a n n 0
n
1
Suy ra x , a
n
nN
1
Vậy , a , a
n
nN
1
1
Do đó, f 1 , a f 1 , a f 1 , a M với mọi a (do
nN
n nN
n
(2))
Vậy f 1
, a
M với mọi a (3)
*Chứng minh: f 1 a , M với mọi a
Ta có: f 1 a , = x X / a f x
= X \ x X / f x a
= X \ f 1 , a M với mọi a (do (3))
Vậy f 1 a , M với mọi a (4)
*Chứng minh:
f 1 a ,
M với mọi a
1
Ta đi chứng minh: a , a ,
n
nN
Hiển nhiên
1
a n , a ,
n N
1
Ta có: a , a , vì
n
nN
Lấy x a , suy ra a x
19
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
1
a x n n 0
n
n 0 N :
1
n 0 N : x a ,
n
n N
n n 0
1
n
Suy ra x a ,
1
Vậy a , a ,
n
nN
1
1
Do đó, f 1 a , f 1 a , f 1 a , M với mọi a (do
nN
nN
n
n
(4))
Vậy f 1 a ,
M với mọi a (5)
*Chứng minh: f 1 , a M với mọi a
Ta có: f 1 , a = f 1 R / a , = X \ f 1
a , M với mọi a
Vậy f 1 , a M với mọi a (6)
*Chứng minh: f 1 a , M với mọi a
f 1 a , b f 1 , b a , f 1 , b f 1 a ,
Ta có: f 1 a , = f 1 R / , a = X \ f 1 , a M với mọi a (do (2))
Vậy f 1 a , M với mọi a (7)
*Chứng minh: f 1 a , b M với mọi a , b
Ta có: a , b , b a ,
Suy ra: f 1 a , b f 1 , b a , f 1 , b f 1 a ,
20
(do (4))
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Mà f 1 , b M với mọi b (do (3))
Và
f 1 a , M với mọi a (do (4))
Vậy f 1 a , b f 1 , b a , f 1 , b f 1 a , M với mọi a , b
(8)
*Chứng minh: f 1 a , b M với mọi a , b
Ta có: a , b , b a ,
Suy ra f 1 a , b f 1 , b a , f 1 , b f 1 a ,
Mà f 1 , b M với mọi b (do (2))
Và
f 1 a , M với mọi a (do (5))
Vậy f 1 a , b f 1 , b a , f 1 , b f 1 a , M với mọi a , b
(9)
*Chứng minh: f 1 a , b M với mọi a , b
Ta có: a , b , b a ,
Suy ra f 1 a , b f 1 , b a , f 1 , b f 1 a ,
Mà f 1 , b M với mọi b (do (3))
Và
f 1 a , M với mọi a (do (5))
Vậy f 1 a , b f 1 , b a , f 1 , b f 1 a , M với mọi a , b
Bài 2.17: trang 38 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X, M là một không gian đo được và f là một ánh xạ đo được trên X, M . Giả sử f X là
một tập hữu hạn chứa trong . Chứng minh f là một hàm đơn.
21
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Giải.
Do f X là một tập hữu hạn chứa trong nên đặt
f X = 1 , 2 , ......, n i và i 1, n
i 1, n đặt
Ai f 1 i f 1 , i i , = f 1 , i f 1 i , M
Do f 1 , i M, f 1 i , M
f x i , x Ai
Vậy ta có: n
A X , Ai A j , i j
i1 i
n
Suy ra f x i Ai x . Vậy f là một hàm đơn.
i1
Bài 2.18: trang 38 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Cho X, M là một không gian đo được và f là một hàm đơn. Chứng minh f là một ánh xạ đo
được trên X, M .
Giải.
m
Vì f là một hàm đơn suy ra f x k A k x
k 1
Với 1 , 2 , ......, m là họ hữu hạn trong và A1 , A 2 , ......, A m là họ hữu hạn trong M
B1 : Xét 1 , 2 , ......, m là họ hữu hạn trong và A i A j , i j , i 1, m , j 1, m
Khơng mất tính tổng qt, giả sử 1 2 ...... m
Ta chứng minh f là ánh xạ thực đo được trên X, M
Lấy a tùy ý thuộc , ta có: f 1 a , x \ a f x
22
a
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
f 1
m
a , ik Ai
X
Nhóm 3
a m
k1 a k , k 2, m
a 1
m
Do M , X M và A i M
k 2,m
i k
a
Nên f 1 a , M
Ta có thể viết f x dưới dạng chính tắc là
m
n
k1
j1
x với B B , i j , i 1, m , j 1,m
f x k Ak x
j Bj
i
j
Do đó, f là ánh xạ thực đo được trên X, M
B2 : Nếu k , k 1, m suy ra k a k ib k với a k , b k
m
m
m
k 1
k1
k 1
f x k Ak x a k Ak x i b k Ak x
m
m
k1
k 1
Đặt u x a k A k x và v x b k Ak x
m
Khi đó, f x k Ak x u x iv x
k1
Mà u , v là các hàm thực đo được trên X, M (Chứng minh ở B1)
Nên f là ánh xạ phức đo được trên X, M
Vậy f là một ánh xạ đo được trên X, M khi X, M là một không gian đo được và f là một
hàm đơn.
Bài 2.20: trang 39 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
Đặt
x 2
f ( x)
x \{0}
x 0.
23
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Ánh xạ f có là một ánh xạ đo được trên (, ) ?
Giải.
Ta cần chứng minh a , f 1 a, .
Ta có: f 1 a, x | a f ( x ) .
-
Với x 0 , ta có f ( x ) , suy ra x 0 f 1 a, , a .
-
Với x 0 , ta có x 2
1
ax 2 1
a
0
x2
x2
(1)
+ Nếu a 0 , ta có bảng xét dấu sau đây
x
ax 2 1
x2
1
a
0
1
a
0
||
0
Dựa vào bảng xét dấu trên, ta có
1 1
1 1
1
(1) x
;
;
\ 0 f a,
\ 0 .
a a
a a
+ Nếu a 0 , ta có
Khi đó, f
1
1
a x \ 0 .
x2
1 1
;
\ 0
if a 0
a, a a
; if a 0 .
Suy ra f 1 a, .
Vậy f là một ánh xạ đo được trên (, ) .
Bài 2.21: trang 39 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
x 1
Đặt: f x
-
x \ 0
x0
Ánh xạ f có là ánh xạ đo được trên , ?
Giải.
24
Tài liệu học tập mơn Độ đo và tích phân
Nhóm 3
Ta có: f 1 a , x \ a f x
a
TH1: x 0 ta có f x suy ra 0 f 1 a ,
ax 1
1
0 (1)
a suy ra
x
x
TH2: x 0 ta có:
1
0;
a
1
Với a 0 , (1) ⇔ x ;
Suy ra f 1 a , ; 0;
a
Với a 0 , (1) ⇔ x 0;
1
a
1
Suy ra f 1 a , 0;
a
Với a 0 , (1) ⇔ x 0;
Suy ra f 1 a , 0;
Vậy f 1 a ,
1
; 0;
a
1
0;
a
0;
a0
a0
a0
Hay f 1 a , ℬ. Vậy f là ánh xạ đo được trên , .
Bài 2.22: trang 39 – Giáo trình lý thuyết độ đo và tích phân
x1 x \ 0
Đặt f x
x0
0
Ánh xạ f có là ánh xạ đo được trên , ?
Giải.
25
