Chuỗi LAURENT p ADIC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (367.58 KB, 71 trang )
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Trần Nguyên Thanh Hà
CHUỖI LAURENT P-ADIC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TS Mỵ Vinh Quang
Thành phố Hồ Chí Minh - 2010
1
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã gặp không ít khó khăn do thời
gian không nhiều và kiến thức còn hạn chế, tuy nhiên tôi luôn nhận được sự
quan tâm, giúp đỡ và động viên của các thầy cô, bạn bè và gia đình.
Do vậy tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Phó Giáo sư - Tiến só Mỵ
Vinh Quang, thầy đã dành nhiều thời gian và công sức để trực tiếp hướng dẫn
tôi không chỉ về nội dung mà còn cả cách trình bày luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Giáo sư William Cherry đã nhiệt tình
giúp đỡ tôi trong việc tìm ra cách chứng minh định lí về số không điểm của
một chuỗi Laurent p -adic.
Tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy Trịnh Thanh Đèo đã giúp tôi sử dụng
Latex để soạn thảo luận văn một cách rõ ràng, sáng sủa.
Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán - Tin, đặc biệt
là các thầy cô bộ môn Đại số đã trực tiếp trang bị cho tôi không chỉ những
kiến thức Toán mà cả phương pháp tự học và nghiên cứu.
Ngoài ra, để sử dụng cho luận văn, tôi đã tham khảo một số tài liệu và
bài viết, xin cảm ơn các tác giả.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, anh chị ở phòng Khoa
học công nghệ sau đại học, gia đình và bạn bè đã luôn động viên và giúp đỡ
tôi khi tôi gặp khó khăn.
Tp.HCM, ngày 25 tháng 5 năm 2010
Tác giả
Trần Nguyên Thanh Hà
2
MỘT SỐ KÍ HIỆU
∗ Qp : Trường các số p-adic.
∗ Qap : Bao đóng đại số của Q p .
∗ Cp : Cái đầy đủ của Q ap - Trường các số phức p-adic.
∗ Cp [z]: Vành các đa thức trên C p .
∗ Cp [[z]]: Vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên C p .
∗ A[r]: Vành các hàm giải tích p−adic trên A[r].
∗ A[r1 , r2 ]: Vành các chuỗi Laurent p-adic trên hình vành khăn A[r 1 , r2 ] (vành
các hàm giải tích p−adic trên A[r 1 , r2 ]).
∗ |f |r : Chuẩn của f theo r.
∗ K(f, r): Chỉ số tối đại của f ( tại r).
∗ k(f, r): Chỉ số tối tiểu của f ( tại r).
∗ N (f, 0, r): Hàm đếm của f tại r.
3
MỤC LỤC
MỘT SỐ KÍ HIỆU
2
MỞ ĐẦU
5
1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
7
1.1
Định nghóa chuaån phi Archimede . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2
Moät số tính chất của chuẩn phi Archimede . . . . . . . . . . .
8
1.3
Nhóm giá trị, trường thặng dư
9
1.4
Tính chất đặc biệt của dãy trong trường với chuẩn phi Archimede
1.5
Cái đầy đủ của một trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6
Bao đóng đại số của một trường . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.7
Q p - Cái đầy đủ của Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.8
Q ap : Bao đóng đại số của Q p . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.9
C p : Cái đầy đủ của Q ap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.10 Một số kí hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
2
XÂY DỰNG CHUOÃI
2.1
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
LAURENT P-ADIC
9
16
Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.1
Hàm giải tích p− adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.1.2
Chuoãi Laurent p− adic . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.1.3
Chuẩn của một chuỗi Laurent p−adic . . . . . . . . . .
19
4
2.1.4
Chỉ số tối đại K(f, r), chỉ số tối tiểu k(f, r) và bán kính
tới hạn (điểm tới hạn) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
2.1.5
Đa thức r−dominant và đa thức r−extremal . . . . . .
25
2.1.6
Hàm ñeám . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.2
Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
2.3
Định lí Weierstrass cho hàm giải tích p - adic . . . . . . . . . .
46
3
CÁC ĐỊNH LÍ
QUAN TRỌNG
47
3.1
Định lí chia Euclide cho hàm giải tích p-adic . . . . . . . . . .
47
3.2
Định lí chia Euclide cho chuoãi Laurent p-adic: . . . . . . . . . .
51
3.3
Định lí Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
3.4
Moät số ứng dụng của định lí Weierstrass . . . . . . . . . . . . .
61
3.5
Định lí Poisson−Jensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
KẾT LUẬN
69
TÀI LIỆU THAM KHẢO
70
5
MỞ ĐẦU
Giải tích p-adic đứng một chân trong Giải tích cổ điển và chân còn lại
trong Đại số và lý thuyết số, do vậy nó cho ta một cái nhìn thú vị về sự kết
hợp giữa hai lónh lực lớn này của toán học.
Hơn thế, trong 40 năm trở lại đây, nhờ việc phát hiện những mối liên
quan sâu sắc với những vấn đề lớn của số học và hình học đại số mà giải tích
p-adic được phát triển mạnh mẽ và trở thành một chuyên ngành độc lập.
Trong giải tích p-adi, các hàm giải tích p-adic (tức là các hàm khai triển
được thành chuỗi lũy thừa trong một đóa) đã được nghiên cứu rất nhiều và thu
được nhiều kết quả đáng kể. Trong khi đó, chuỗi Laurent p-adic tức là các
hàm khai triển được thành chuỗi lũy thừa trên một hình vành khăn) là một mở
rộng khá thú vị của các hàm giải tích p-adic lại chưa được nghiên cứu nhiều.
Vì là mở rộng của các hàm giải tích p-adic nên khi nghiên cứu về chuỗi
Laurent p-adic, một cách tự nhiên, ta sẽ đặt ra các câu hỏi: Nó có những tính
chất gì và liệu nó còn giữ lại những tính chất đã biết của hàm giải tích p-adic
hay không? Không điểm của một chuỗi Laurent p-adic xác định như thế nào
và có tính được số không điểm của nó hay không? Có thể đem một chuỗi
Laurent p-adic chia cho một đa thức hay không? Nếu được thì kết quả sẽ như
thế nào và nó có còn bảo toàn các tính chất trong phép chia đa thức (như là:
tính duy nhất của thương và dư, bậc của đa thức dư nhỏ hơn bậc của đa thức
thương, ...) hay không?
Triển khai đề tài: Chuỗi Laurent p-adic , luận văn này sẽ lần lượt làm
sáng tỏ những vấn đề nêu trên .
Ngoài phần mở đầu và kết luận, nội dung chính của luận văn gồm 3
chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị :
Trình bày các kiến thức cơ bản cần cho các chương sau: Chuẩn phi
Archimede, số phức p-adic, trường số phức p-adic C p ,...
Chương 2: Xây dựng chuỗi Laurent p-adic :
Trình bày thêm một số khái niệm: Chuỗi Laurent p-adic, vành các chuỗi
6
Laurent p-adic, chuẩn của một chuỗi Laurent p-adic, chỉ số tối đại, chỉ
số tối tiểu, đa thức r − dominant, đa thức r − extremal, ... sau đó qua
các mệnh đề trình bày chi tiết hơn về chuỗi Laurent p-adic: Điều kiện
khả nghịch, số bán kính tới hạn,...
Chương 3: Các định lí quan trọng :
Chương này sẽ sử dụng phần kiến thức chuẩn bị ở chương 1 và các tính
chất ở chương 2 để chứng minh những định lí quan trọng về chuỗi Laurent p-adic: Định lí về phép chia Euclide, định lí Weierstrass. Cuối cùng
là một số ứng dụng của định lí Weierstrass: Định lí về số không điểm
và một số ví dụ cụ thể để tính số không điểm của một chuỗi Laurent
p-adic, định lí Poisson - Jensen.
Vì thời gian không nhiều và kiến thức còn hạn chế nên luận văn sẽ không
tránh khỏi những sai sót. Rất mong nhận được những góp ý của quý thầy cô
để luận văn hoàn chỉnh hơn.
7
Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Chương này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản cần cho các chương sau.
Bắt đầu từ Q, như đã biết là không đầy đủ và không đóng đại số, để thuận
tiện nghiên cứu, ta sẽ xây dựng một trường “đẹp” hơn - vừa đóng đại số vừa
đầy đủ.
Từ Q xây dựng cái đầy đủ của nó là Q p nhưng Q p dù đầy đủ lại không đóng
đại số, do vậy tiếp tục xét bao đóng đại số của Q p là Qap , tuy nhiên nó lại
không đầy đủ, cuối cùng phải xây dựng cái đầy đủ của Q ap để được trường số
phức p-adic C p “đẹp” như mong muốn.
Q → Qp → Qap → Cp
Do vậy, ở chương này, ngoài các khái niệm cơ bản như chuẩn phi Archimede,
nhóm giá trị, trường thặng dư của một trường -đã trang bị trên đó một chuẩn
phi Archimede- và các tính chất của nó, ... ta sẽ đi xây dựng trường các số p
- adic Q p để sau đó xây dựng trường số phức p-adic C p .
Vì phần chính sẽ là chương 2 và đặc biệt là chương 3 nên ở chương 1,
nhiều kết quả chỉ nêu ra chứ không chứng minh hoặc chỉ nêu tóm tắt chứ
không đi vào chi tiết cụ theå.
8
1.1 Định nghóa chuẩn phi Archimede
Cho F là một vành, một chuẩn phi Archimede trên F là một ánh xạ:
| |:
F → R+ thỏa các điều kiện:
(i)
(ii)
(iii)
|a| = 0 ⇔ a = 0.
|a.b| = |a||b|, ∀a, b ∈ F .
|a + b| ≤ max{|a|, |b|}, ∀a, b ∈ F .
Neáu F là một trường và | | là một chuẩn phi Archimede trên F thì ta sẽ
gọi cặp (F, | |) là trường phi Archimede.
1.2 Một số tính chất của chuẩn phi Archimede
Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede | |.
Chuẩn phi Archimede có các tính chất cơ bản như trị tuyệt đối thông thường:
1
1
.
| − x| = |x|,
|1| = 1,
| |=
x
|x|
Ngoài ra chuẩn phi Archimede còn có các tính chất sau đây:
Tính chất 1.2: Nếu |x| = |y| thì |x + y| = max{|x|, |y|}.
Tính chất này có thể phát biểu thành lời như sau: Trong F mọi tam giác đều cân.
Thật vậy, giả sử max{|x|, |y|} = |x|, mà |x| = |y| nên
|x| > |y|
Theo tính chất của chuẩn phi Archimede và (1.1):
|x + y| ≤ max{|x|, |y|} = |x|
|x| = |(x + y) − y| ≤ max{|x + y|, |y|} = |x + y|
Suy ra: |x + y| = |x|.
(1.1)
9
1.3 Nhóm giá trị, trường thặng dư
Cho F là một trường, | | là một chuẩn trên F , đặt F ∗ = F \ {0}.
Nhóm giá trị của (F, | |) laø: |F ∗ | = {|x| : x ∈ F ∗ }
Đặt: A = {x ∈ F : |x| ≤ 1}
Vaø: M = {x ∈ F : |x| < 1}
Dễ dàng chứng minh được rằng A là một vành con của F và M là một
ideal tối đại của A.
Do vậy F = A/M là một trường.
Ta gọi F là trường thặng dư của F .
1.4 Tính chất đặc biệt của dãy trong trường với
chuẩn phi Archimede
Cho F là một trường với chuẩn phi Archimede | |. Ta có:
a)
(xn ) là dãy Cauchy khi và chỉ khi (x n+1 − xn ) → 0.
Chiều (⇐) là hiển nhiên, ta sẽ chứng minh chiều (⇒).
Giả sử (x n+1 − xn ) → 0, khi đó:
∀ε > 0, ∃N : ∀n, n > N ⇒ |xn+1 − xn | < ε
(1.2)
Do vaäy, ∀m, n, m > N, n > N , giả sử m ≥ n, m = n + k, ta coù:
|xm − xn | = |xn+k − xn |
= |(xn+k − xn+k−1 ) + (xn+k−1 − xn+k−2 ) + ... + (xn+1 − xn )|
≤ max{|xn+k − xn+k−1 |, |xn+k−1 − xn+k−2 |, ..., |xn+1 − xn |} < ε
(Do (1.2))
Vậy (xn ) là dãy Cauchy.
b)
(xn ) là dãy Cauchy và x n
0 thì dãy |xn | là dãy dừng,
nghóa là tồn tại N sao cho: |x n | = |xN |, ∀n ≥ N
Vì xn
0 nên:
∃ε > 0 sao cho ∃(n k )k để |xnk | ≥ ε
(1.3)
Vì (xn ) là dãy Cauchy nên với ε ở treân, ∃N : ∀m, n, n > N, m > N
⇒ |xm − xn | < ε
Choïn n K0 sao cho n K0 > N , khi đó:
∀m > N ⇒ |xm − xnK0 | < ε
(1.4)
Vaäy ∀m > N
⇒ |(xm − xnK0 ) + xnK0 | = max{|xm − xnK0 |, |xnK0 |} = |xnK0 |.
(Do (1.3), (1.4))
10
c)
Cho (F, | |) là một trường phi Archimede, đóng đại số và đầy đủ.
Khi đó, ta có:
Nếu
lim
|n|→+∞
+∞
|an | = 0 thì
an hội tụ trong F .
n=−∞
Chứng minh:
+∞
an hội tụ trong F khi và chỉ khi lim |an | = 0
Trước hết ta chứng minh:
n→+∞
n=0
n
Mỗi n > 0, đặt : sn =
ai .
i=0
Do F là đầy đủ và theo nên:
(sn )n hội tụ ⇔ (sn )n là dãy Cauchy
⇔
lim |sn − sn−1 | = 0
n→+∞
⇔
lim
|n|→+∞
(theo b)
|an | = 0
+∞
Tiếp đó, ta chứng minh: Nếu
Ta có:
+∞
lim
|n|→+∞
an
an
=
+
an
n=−∞
+∞
n=0
+∞
=
an
+
lim
|n|→+∞
với m = −n, bm = a−m = an
bm
n=0
Do vậy:
an hội tụ trong F
n=−∞
−1
+∞
n=−∞
|an | = 0 thì
m=1
|an | = 0
⇔ lim |an | = 0
n→+∞
+∞
⇔
và
lim |bm | = 0
m→+∞
+∞
và
an
n=0
bm
m=1
+∞
an hội tụ trong F
⇒
n=−∞
hội tụ trong F
11
1.5 Cái đầy đủ của một trường
Lấy (F, | |) là một trường phi Archimede.
Đặt S là tập tất cả các dãy Cauchy trong F với chuẩn | |.
Trên S ta xét một quan hệ 2 ngôi ” ∼ ” nhö sau:
(xn ) ∼ (yn )
⇔
(xn − yn ) −→ 0 khi n −→ ∞.
Dễ thấy rằng quan hệ ” ∼ ” là một quan hệ tương đương (thỏa các tính
chất phản xạ, đối xứng và bắc cầu). Quan hệ tương đương này chia S
thành các lớp tương đương.
Kí hiệu lớp tương đương chứa dãy (x n ) là (xn ).
Đặt: F = {(xn ) : (xn ) ∈ S} là tập tất cả các lớp tương đương của S trên
quan hệ tương đương ” ∼ ”.
Như vậy:
(xn ) = (xn ) ⇔ (xn ) ∼ (xn ) ⇔ (xn − xn ) −→ 0
⇔ |xn − xn | −→ 0 khi n → +∞.
Trên F ta định nghóa các phép toán cộng và nhân như sau:
(i)
(xn ) + (yn ) = (xn + yn )
(ii)
(xn ).(yn ) = (xn .yn )
• Ta dễ dàng chứng minh phép toán cộng và nhân định nghóa ở trên là hợp lí.
• Phần tử 0 trong F là lớp các dãy số hội tụ đến 0 trong F, kí hiệu 0.
• Mọi x ∈ F , x = 0, ta chứng minh rằng x có nghịch đảo trong F .
Thật vậy, giả sử x = (x n ) = 0 ⇒ xn
0.
Theo tính chất 1.3 b, ta có: |x n | là dãy dừng, tức là:
∃N : |xn | = a, ∀n > N
với a > 0.
1
1
1
Suy ra:
là dãy Cauchy và (x n )
= xn
= 1.
xn n>N
xn
xn
Do đó:
1
x−1 =
là nghịch đảo củaxtrong F
xn n>N
Vậy F với hai phép toán cộng và nhân trên lập thành một trường.
12
• Chuẩn phi Archimede trên trường F :
∀x = (xn ) ∈ F , ta định nghóa |x| = lim|x n |.
Dễ dàng chứng minh được rằng (F , | |) là một trường phi Archimede
đầy đủ.
Hơn nữa có thể xem F là một trường con của F do phép nhúng:
i : F −→ F
a −→ (an ) với an = a, ∀n
Chuẩn phi Archimede trên F được gọi là mở rộng của chuẩn trên F .
Ta gọi F là cái đầy đủ của F .
1.6 Bao đóng đại số của một trường
Định nghóa: Cho F là trường con của trường K, ta gọi trường đóng đại
số nhỏ nhất trong K còn chứa F là bao đóng đại số của F , kí hiệu là: F a .
Chuẩn trên F a : Lấy bất kì α ∈ F a .
Do F a là bao đóng đại số của F nên α là nghiệm của một đa thức nào đó trên
F [z], ta gọi đa thức có hệ số cao nhất bằng 1 và có bậc nhỏ nhất trong các đa
thức trên F [z] nhận α làm nghiệm là đa thức tối tiểu của α trên F .
Giả sử đa thức tối tiểu của α trên F là f (z) = z n + an−1 z n−1 + ... + a1 z + a0
bậc n.
Khi đó ta định nghóa chuẩn của α trên F a như sau:
|α| = |a0 |1/n với |a0 | là chuẩn của a 0 trên F .
Ta chứng minh được chuẩn định nghóa ở trên là một chuẩn trên trường F
hơn nữa nó là mở rộng của chuẩn trường trên F .
a
,
13
1.7
Qp - Cái đầy đủ của Q
• Chuẩn phi Archimede trên Q :
Cho p là một số nguyên tố.
Với n ∈ Z, n = 0 : n = pα k với (k, p) = 1, ta đặt: ordp(n) = α.
Như vậy: ord p (n) = α ⇔ pα |n và pα+1 n.
Dễ thấy: ord p (m.n) = ordp (m) + ordp (n), ∀m, n ∈ Z.
Hơn nữa: ord p (m + n) ≥ min{ordp (m), ordp (n)}
Thật vậy, giả sử: min{ord p(m), ordp (n)} = α
⇒ ordp (m) ≥ α vaø ordp (n) ≥ α ⇒ pα |n vaø pα |m ⇒ pα |(m + n)
⇒ α ≤ ordp (m + n).
Với n = 0, ta quy ước ord p (0) = +∞.
m
với (m, n) = 1.
n
Ta định nghóa: ord p (x) = ordp(m) − ordp (n).
Với x ∈ Q, x = 0, giả sử x =
Tương tự như trường hợp số nguyên, ta có thể chứng minh được:
ordp (x.y) = ordp (x) + ordp (y), ∀x, y ∈ Q.
vaø ordp (x + y) ≥ min{ordp(x), ordp (y)}
Định nghóa chuẩn phi Archimede treân Q:
Q −→ R
| |p :
0 −→ |0|p = 0
x = 0, x −→ |x|p = p−ordp (x)
Deã thấy | | p thỏa các điều kiện (i), (ii) và (iii) trong định nghóa của
chuẩn phi Archimede.
• Chuẩn phi Archimede trên trường Q p :
∀x = (xn ) ∈ Qp , ta định nghóa |x| = lim|x n |
(Với | | = | |p )
( ) Dễ thấy | | là một chuẩn phi Archimede trên Q p .
( ) Chuẩn | | trên Q p là mở rộng của chuẩn | | trên Q.
Thật vậy, với a ∈ Q, ta xem a = (a n ) ∈ Qp , trong đó a n = a, ∀n.
Mà: |a| = lim|an | = lim|a| = |a|.
14
• Mệnh đề: Mô tả Qp :
Mỗi x ∈ Qp đều có khai triển duy nhất:
+∞
bn pn , m ∈ Z với 0 ≤ bn < p, ∀n và bm = 0
x=
n=m
Và khi đó: |x| = p−m .
• Nhóm giá trị, trường thặng dư của (Qp , | |) :
Ta có:
Nhóm giá trị của (Q p , | |) là: |Q∗p | = {|x| : x ∈ Q∗p } = {pm : m ∈ Z}
Đặt: Zp = {x ∈ Qp : |x| ≤ 1}
Vaø: M = {x ∈ Qp : |x| < 1} = pZp
Trường thặng dư của (Q p , | |) là: Qp = Zp /pZp .
• Mệnh đề: : Qp không đóng đại số.
Do vậy, ta sẽ xây dựng bao đóng đại số của Q p là Qap .
1.8
Qap : Bao đóng đại số của Q p
Nhóm giá trị của (Q ap , | |) là: |(Qap )∗ | = {|x| : | |x ∈ (Qap )∗ } = {pα : α ∈ Q}.
Thật vậy:
Với mọi x ∈ Qap , ta chứng minh |x| ∈ {p α : α ∈ Q}.
Giả sử đa thức tối tiểu của x trên Q p là f (z) = z n + an−1 z n−1 + ... +
a1 z + a0 .
Khi đó chuẩn của x trên (Q ap )∗ :
|x| = |a0 |1/n với |a0 | là chuẩn của a 0 trên Q p .
Vì a0 ∈ Qp nên |a 0 | ∈ |Q∗p | = {pm : m ∈ Z}.
Suy ra: |x| ∈ {p α : α ∈ Q}
Ngược lại, lấy p α , α ∈ Q, ta chứng minh p α ∈ |(Qap )∗ |.
m
Ta coù α ∈ Q, do vậy α =
với m, n ∈ Z, n > 0, (m, n) = 1.
n
Vì |Q∗p | = {pm : m ∈ Z} nên ∃b ∈ Q p để |b| = pm .
Xeùt g(z) = z n − b ∈ Qp [z], do Qap là bao đóng đại số của Q p nên g(z)
có một nghiệm thuộc Q ap , giả sử là y.
Khi đó: y n − b = 0 ⇒ |y|n = |b| = pm
⇒ |y| = pm/n = pα
Suy ra: p α = |y| ∈ |(Qap )∗ |
15
Mệnh đề:
Qap không đầy đủ.
Do vậy, ta sẽ đi xây dựng cái đầy đủ của Q ap .
1.9 Cp : Cái đầy đủ của Qap
Việc xây dựng C p là cái đầy đủ của Q ap tương tự như xây dựng Q p là cái đầy
đủ của Q.
Mệnh đề: Cp vừa đóng đại số vừa đầy đủ.
Nhóm giá trị, trường thặng dư của Cp :
Dễ thấy:
Nhóm giá trị của (C p , | |) laø:
|Cp∗ | = {|x| : x ∈ Cp∗ } = |(Qap )∗ | = {pα : α ∈ Q}
Đặt: O = {x ∈ Cp : |x| ≤ 1}
Vaø: M = {x ∈ Cp : |x| < 1}
Trường thặng dư của (C p , | |) là: Cp = O/M.
1.10 Một số kí hiệu
Cho các số thực r > 0, r 1 ≥ 0, r2 ≥ r1
A[r] = {z ∈ Cp :
|z| ≤ r}
A(r) = {z ∈ Cp :
|z| < r}
A[r1, r2 ] = {z ∈ Cp :
r1 ≤ |z| ≤ r2 }
A(r1, r2 ] = {z ∈ Cp :
r1 < |z| ≤ r2 }
A[r1, r2 ) = {z ∈ Cp :
r1 ≤ |z| < r2 }
16
Chương 2
XÂY DỰNG CHUỖI
LAURENT P-ADIC
Từ những kiến thức chuẩn bị ở chương 1, chương này tiếp tục trình bày
thêm một số khái niệm: Hàm giải tích p-adic, chuỗi Laurent p-adic, vành các
chuỗi Laurent p-adic, chuẩn của một chuỗi Laurent p-adic, chỉ số tối đại, chỉ
số tối tiểu, đa thức r − dominant, đa thức r − extremal, ... sau đó trình bày
chi tiết hơn về chuỗi Laurent p-adic. Từ mệnh đề 2.2.1 đến mệnh đề từ 2.2.9
sẽ mô tả các tính chất cơ bản của chuỗi Laurent p-adic và các tính chất này sẽ
được sử dụng rất nhiều ở chương 3. Do vậy, các mệnh đề này sẽ được chứng
minh rất rõ ràng, chi tiết.
2.1 Một số khái niệm
2.1.1
Hàm giải tích p− adic
Đặt:
n=+∞
Cp [[z]] =
c n z n | c n ∈ Cp
f=
n=0
Trên C p [[z]] ta trang bị phép toán cộng và nhân như sau:
Với:
n=+∞
f=
n=+∞
cn z
n=0
n
,
bn z n
g=
n=0
17
thì:
n=+∞
(cn + bn )z n
f +g =
n=0
và:
n=+∞
an z n
f.g =
trong đó
an =
n=0
ci bj
i+j=n
Dễ thấy C p [[z]] với các phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một vành, ta
thường gọi là vành các chuỗi lũy thừa hình thức trên C p .
Cho r là một số thực dương, ta đặt:
n=+∞
A[r] =
cn z n | cn ∈ Cp , lim |cn |r n = 0
f=
n→+∞
n=0
Khi đó, A[r] cùng với các phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một vành
con của vành các chuỗi lũy thừa hình thức C p [[z]], và được gọi là vành các
hàm giải tích p−adic trên hình cầu A[r].
n=+∞
cn z n ∈ A[r] được gọi là một hàm giải tích p− adic trên
Mỗi f =
n=0
A[r].
Tương tự, ta chứng minh được:
n=+∞
A(r) =
cn z n | cn ∈ Cp , lim |cn |r n = 0, ∀r < r
f=
n→+∞
n=0
Với các phép toán cộng và nhân ở trên lập thành một vành con của vành
Cp [[z]].
2.1.2
Chuỗi Laurent p− adic
Đặt:
n=+∞
c n z n | c n ∈ Cp ,
A[r1 , r2 ] =
n=−∞
lim
|n|→+∞
|cn |r n = 0, ∀r : r1 ≤ r ≤ r2
Treân A[r 1 , r2 ] ta trang bị phép toán cộng và nhân như sau:
Với:
n=+∞
f=
n=+∞
cn z
n=−∞
n
,
bn z n
g=
n=−∞
18
Ta định nghóa:
n=+∞
(cn + bn )z n
f +g =
n=−∞
và:
n=+∞
an z n với: an =
f.g =
n=−∞
cibj
i+j=n
Dễ dàng chứng minh được rằng A[r 1 , r2 ] cùng với phép toán cộng và nhân
trên lập thành một vành.
Thật vậy, với các kí hiệu ở trên, có thể thấy f + g ∈ A[r 1 , r2 ] do bất đẳng
thức tam giác của chuẩn phi Archimede.
Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng f.g ∈ A[r1 , r2 ]
Thật vậy, mỗi n ∈ Z cố định, ta sẽ chứng minh a n định nghóa như trên là
ci bj hội tụ.
hợp lí hay
i+j=n
+∞
Chọn r > 0, r 1 ≤ r ≤ r2 , ta có:
cibn−i
ci bj =
i=−∞
i+j=n
Mà |i| → +∞ thì |n − i| → +∞ do n là số cố định.
Do đó: Khi |i| → +∞ thì |c i bn−i | = (|ci|r i )(|bn−i |r n−i )r −n → 0
(Vì f, g ∈ A[r 1 , r2 ])
Hay: lim |ci bn−i | = 0 khi |i| → +∞
|i|→+∞
ci bj hội tụ
⇒
(theo mệnh đề 1.4).
i+j=n
Tiếp đó ta sẽ chứng minh:
lim
|n|→+∞
an r n = 0
Với mọi r : r 1 ≤ r ≤ r2 , ta coù:
an r n =
(ci r i)(bj r j )
i+j=n
Xét i, j mà i + j = n, nếu |n| → +∞ thì |i| → +∞ hoặc |j| → +∞.
Giả sử |i| → +∞, ta có:
|ci |r i|bj |r j ≤ |ci |r i|g|r → 0, do f ∈ A[r 1 , r2 ].
19
Trường hợp |j| → +∞ ta cũng có kết quả như trên.
Do đó:
(ci r i)(bj r j ) ≤ max {|ci |r i |bj |r j } → 0 khi |n| → +∞
|an |r n =
i+j=n
i+j=n
Phần tử không là:
n=+∞
0.z n , viết gọn là 0.
n=−∞
0.z n , viết gọn là 1.
Phần tử đơn vị là: 1 +
n∈Z,n=0
A[r1 , r2 ] được gọi là vành các chuỗi Laurent p- adic trên A[r1 , r2 ].
Moãi f ∈ A[r1 , r2 ] được gọi là một chuỗi Laurent p - adic trên A[r1 , r2 ]
hay f là giải tích trên A[r 1 , r2 ] .
Tương tự, ta cũng chứng minh được:
n=+∞
c n z n | c n ∈ Cp ,
A(r1 , r2 ] =
n=−∞
lim
|cn |r n = 0, ∀r : r1 < r ≤ r2
lim
|cn |r n = 0, ∀r : r1 ≤ r < r2
|n|→+∞
n=+∞
c n z n | c n ∈ Cp ,
A[r1 , r2 ) =
n=−∞
|n|→+∞
với phép toán cộng và nhân trên là các vành .
2.1.3
Chuẩn của một chuỗi Laurent p−adic
Cho vành A[r 1 , r2 ] và số r : r 1 ≤ r ≤ r2 .
Khi đó: Với mọi
n=+∞
cn z n ∈ A[r1 , r2 ]
f=
n=−∞
ta định nghóa:
|f |r = max |cn |r n
n∈Z
Ta sẽ chứng minh định nghóa trên là hợp lí, vì nếu r = 0 thì max |cn |r n = 0
nên chỉ cần chứng minh max |cn |r tồn tại với r > 0.
n
n∈Z
n∈Z
20
Thật vậy, xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: c k = 0, ∀k thì max |cn |r n = 0.
n∈Z
Trường hợp 2 : Giả sử tồn tại k sao cho c k = 0 .
Khi đó, do lim |cn | = 0 neân ∃N > 0 : ∀n, |n| > N ⇒ |c n |r n < |ck |r k
|n|→∞
Suy ra:
sup |cn |r n =
n∈Z
sup
−N≤n≤N
|cn |r n =
max
−N≤n≤N
|cn |r n = max |cn |r n
n∈Z
Như vậy, trong cả 2 trường hợp, ta đều chứng minh được max |cn |r n tồn tại.
n∈Z
Ngoài ra, từ chứng minh trên ta cũng suy ra rằng:
Trong trường hợp f = 0 và một trong 2 điều kiện hoặc r > 0 hoặc f (0) = 0
thì tập {n ∈ Z : |cn |r n = |f |r } chỉ có hữu hạn phần tử.
21
Hơn thế, ta còn có :
Mệnh đề:
Nếu f và g là các chuỗi Laurent p-adic trên A[r1 , r2 ] và với
mỗi r : r1 ≤ r ≤ r2 thì:
|f + g|r ≤ max{|f |r , |g|r }
|f g|r = |f |r |g|r
Hơn nữa: Nếu r > 0 thì | |r là một chuẩn phi Archimede trên A[r1 , r2 ]
Chứng minh:
Giả sử
n=+∞
f (z) =
n=+∞
an z
n
và
bn z n
g(z) =
n=−∞
n=−∞
Chứng minh |f + g|r ≤ max{|f |r , |g|r }
n=+∞
(an + bn )z n
f (z) + g(z) =
n=−∞
Vaäy: |f + g|r = max |an + bn |r n ≤ max{max{|an |, |bn |}r n }
n
n
≤ max{max{|an |r n , |bn |r n }}
n
≤ max{max |an |r n , max |bn |r n}
n
n
≤ max{|f |r , |g|r }
Chứng minh |f g|r = |f |r |g|r
n=+∞
cn z n
(f.g)(z) =
với
n=−∞
cn =
ai bj
i+j=n
Đặt: K1 = K(f, r),
K2 = K(g, r)
(2.1)
Nếu f = 0 hoặc g = 0 thì hiển nhiên ta có tính chất trên, ta xét trường
hợp f = 0 và g = 0, khi đó: K1, K2 là hữu hạn.
Xét cK1+K2 =
ai bj
i+j=K1 +K2
Trong các số hạng của c K1+K2 , có aK1 bK2 .
Nếu i > K1 thì |ai|r i < |aK1 |r K1 (do (2.1))
22
và vì: |bj |r j ≤ |bK2 |r K2 , ∀j ∈ Z
Neân:
|aK1 bK2 |r K1+K2 = |aK1 |r K1 |bK2 |r K2 > |ai |r i|bj |r j
⇒ |cK1+K2 |r K1+K2 =
max
i+j=K1 +K2
|ai |r i |bj |r j = |aK1 ||bK2 |r K1+K2
(Tính chất của chuẩn phi Archimede).
Tương tự, nếu i < K 1 thì j > K2 và chứng minh như trên ta cũng có:
|cK1+K2 |r K1+K2 = |aK1 ||bK2 |r K1+K2
Vaäy:
|f g|r ≥ |cK1+K2 |r K1+K2 = |aK1 ||bK2 |r K1+K2 = |f |r |g|r
(2.2)
cn z n , ta có:
Hơn nữa, ∀n ∈ Z, c n =
i+j=n
ai bj r n ≤ max |ai ||bj |r n ≤ max |ai |r i |bj |r j
|cn |r n =
i+j=n
i+j=n
i+j=n
≤ |aK1 |r K1 |bK2 |r K2 = |cK1+K2 |r K1+K2
⇒ |f g|r ≤ |cK1 +K2 |r K1+K2 = |f |r |g|r
Từ (2.2) và (2.3) suy ra: |f g| r = |f |r |g|r
Trong trường hợp r > 0 ta thấy ngay: |f |r = 0 ⇔ f = 0.
Do vaäy, | | r là một chuẩn phi Archimede trên A[r 1 , r2 ].
Nhận xét:
Mỗi f cố định, |
| r là hàm liên tục theo r, |f | r không giaûm theo r.
(2.3)
23
2.1.4
Chỉ số tối đại K(f, r), chỉ số tối tiểu k(f, r) và bán kính
tới hạn (điểm tới hạn)
Cho:
n=+∞
cn z n ∈ A[r1 , r2 ]
f=
n=−∞
Với mỗi r : r 1 ≤ r ≤ r2
Nếu f = 0, ta định nghóa:
Chỉ số tối đại K(f, r) = +∞ và chỉ số tối tiểu: k(f, r) = −∞
Nếu f = 0 và một trong 2 điều kiện hoặc r > 0 hoặc f (0) = 0 khi định
nghóa | | r ta đã chứng minh tập {n ∈ Z : |c n |r n = |f |r } chỉ có hữu hạn
phần tử, do đó:
min{n ∈ Z : |cn |r n = |f |r }
vaø
max{n ∈ Z : |cn |r n = |f |r } tồn tại.
Khi r = 0 hoặc f (0) = 0, ta định nghóa:
Chỉ số tối đại:
K(f, r) = max{n ∈ Z : |cn |r n = |f |r }
Chỉ số tối tiểu:
k(f, r) = min{n ∈ Z : |cn |r n = |f |r }
Khi r = 0 và f (0) = 0, ta quy ước:
K(f, r) = min{n ∈ Z : |cn | = 0} và k(f, r) = 0
Một bán kính r mà K(f, r) > k(f, r) được gọi là một bán kính tới hạn
(điểm tới hạn).
Nhận xét:
Cho trước
n=+∞
cn z n ∈ A[r1 , r2 ]
f=
n=−∞
khi đó: K(f, r) không giảm theo r, ∀r ∈ [r 1 , r2 ].
24
Chứng minh:
Giả sử r 1, r2 ∈ [r1 , r2 ] và r1 < r2 , ta sẽ chứng minh: K(f, r 1) ≤ K(f, r2 ).
Thật vậy, giả sử ngược lại K(f, r 1 ) > K(f, r2 ).
Đặt K1 = K(f, r1), K2 = K(f, r2 ), ta có: K1 > K2 và:
|aK1 |r2K1 < |aK2 |r2K2 và |aK1 |r1K1 ≥ |aK2 |r1K2
Do đó:
|aK1 |r2K1
=
r2
r1
K1
|aK1 |r1K1
≥
r2
r1
K1
|aK2 |r1K2
=
|aK2 |r2K1 r1K2−K1
>
|aK1 |r2K1
r2
r1
=
|aK2 |r2K2
K1 −K2
> |aK1 |r2K1
(Do r 2 > r1 và K1 > K2 )
Tức là:
r2
r1
|aK1 |r2K1 > |aK1 |r2K1 - vô lí.
Vậy ta phải có: K 1 ≤ K2 hay K(f, r 1 ) ≤ K(f, r2)
K1 −K2
