Lý thuyết tích phân và ứng dụng

1

2
Cơng trình được hồn thành tại

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

XAYAPHET KEODAVANH

Người hướng dẫn khoa học: TS. CAO VĂN NUÔI

Phản biện 1: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

Phản biện 2: PGS. TSKH. Trần Quốc Chiến

VÀ ỨNG DỤNG
Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ tốn học họp tại Đại học Đà Nẵng, vào ngày…..tháng ……

Chuyên ngành: Phương pháp tốn sơ cấp

năm …….

Mã số : 60.46.40

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Có thể tìm hiểu tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
Đà Nẵng – Năm 2012


3

4

MỞ ĐẦU

chứng tơi có xét một vài trường hợp mở rộng ñể chứng tỏ lĩnh vực

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong chương trình tốn của Lào, lý thuyết tích phân ñược học từ

này có thể phát triển xa hơn về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng.
IV. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

lớp 10, 11, 12, vậy có thể nói lý thuyết tích phân đóng một vai trị

Nội dung nghiên cứu của luận văn này ñược giới hạn trong phạm

khá quan trọng trong việc học và giảng dạy bộ mơn tốn. Trong

vi về lý thuyết tích phân theo độ đo, khuyếch độ đo và các ứng dụng

chương trình tốn ở bậc trung học, phần kiến thức về tích phân chiếm

của tích phân trong vật lý. Sau đó chúng tơi có đưa ra một số ví dụ cụ

một tỷ lệ lớn. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thơng, tơi phát

thể trong chương cuối ñể minh họa cho việc ứng dụng của chúng đến

hiện ra rằng thơng thường các học sinh đều cảm thấy lúng túng khi

việc giải toán ở bậc trung học phổ thơng.

giải các bài tốn về tích phân, chính vì vậy tơi muốn nghiên cứu một

V. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI

phần lý thuyết tích phân nhằm góp phần phục vụ cho cơng việc giảng

5.1. Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức về tiếp cận lý thuyết tích

dạy ở trường phổ thơng. Đó là lý do để tơi chọn để tài “Lý thuyết tích

phân và sử dụng tích phân vào việc giải một số bài toán thực tế.

phân và ứng dụng” làm luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình.

5.2. Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham

II. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

khảo bổ ích cho giáo viên, sinh viên ở các trường ñại học, cao ñẳng

Dựa vào sự ứng dụng sau này của đề tài nên chúng tơi sử dụng
các phương pháp giải quyết vấn ñề thiên về cách chứng minh của
toán sơ cấp. Mặc dù thế trong một vài tinh huống đặc biệt chúng tơi

và học sinh ở trường trung học phổ thơng, các bạn u tốn
VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN
Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:

cũng mạnh dạn mở rộng vấn ñề theo hướng tốn học hiện đại.

•

Mở đầu

Phương pháp chủ yếu được sử dụng trong luận văn này là kết hợp các

•

Chương 1: Độ đo dương

kết quả đã có trong các tài liệu chun khảo có liên quan đến đề tài

•

Chương 2: Lý thuyết tích phân

và sự liên hệ đến các ứng dụng của nó trong chương trình tốn phổ

•

Chương 3: Các ứng dụng của tích phân

thơng.

•

Kết luận

III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng mà chúng tôi tập trung nghiên cứu là lý thuyết tích
phân và sự ứng dụng của chúng để giải tốn ở bậc phổ thong trung
học và có thể dùng để giảng dạy cho các sinh viên đại học. Ngồi ra


5

6
Định lý 1.2.1 [ 2] Giả sử { X 1 , X 2 ,..., X n } là một phân hoạch của

Chương 1- ĐỘ ĐO DƯƠNG
1.1 TẬP HỢP
Định lý 1.1.1 [ 2] Nếu A = n , thì |P

tập S . Khi đó: S = X 1 + X 2 + ... + X n

( A) | = 2n .

Định lý 1.1.2 [ 2] Quan hệ bao hàm có các tính chất sau đây

- Phản xạ: Với mọi tập A thì A ⊂ A .
- Phản đối xứng: Với mọi tập A, B sao cho A⊂B và B ⊂ A thì A = B .

•

Hệ quả: A ∪ B = A + B − A ∩ B .

Định lý 1.2.2 [ 2] Cho các tập A, B,C trong tập vũ trụ U, khi đó ta có:
- Luật kết hợp:

( A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C )
( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C )

- Bắc cầu: Với mọi tập A, BC
, sao cho A ⊂ B và B ⊂ C thì A⊂C .
1.2. CÁC PHÉP TỐN TẬP HỢP
Cho các tập A và B . Ta ñịnh nghĩa các phép tốn sau:
•

}.

• Phần bù: Cho tập X và A ⊂ X . Phần bù của A (trong X )
là tập ký hiệu bởi C X ( A ) và ñược xác ñịnh bởi: CX ( A) = X \ A.
Phép hợp: Hợp của A và B , ký hiệu A ∪ B là tập ñược

{

xác ñịnh bởi: A ∪ B = x x ∈ A hoặc x ∈ B} .
•

Phép giao: Giao của A và B , ký hiệu A ∩ B là tập ñược

{

xác ñịnh bởi: A ∩ B = x x ∈ A và x ∈ B}
•

A∪ B = B ∪ A

phép hiệu: Hiệu của A và B , ký hiệu A \ B là tập

A \ B = { x x ∈ A và x ∉ B

•

- Luật giao hốn:

Phân hoạch một tập hợp:

Nếu A∩B=φ, ta nói A và B rời nhau. Nếu các tập X1, X2 ,..., Xn
thỏa mãnvà chúng rời nhau từng đơi một, ta nói { X 1 , X 2 ,..., X n } là
một phân hoạch của tập hợp A .

A∩ B = B ∩ A

-

Luật phân bố:

A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C )

A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C )

- Luật bù kép (đối hợp):

A= A

)

(trong đó: A = U \ A .

- Luật ñối ngẫu De Morgan:

A∪ B = A∩ B, A∩ B = A∪ B

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An
A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An = A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An .
1.3. CÁC CẤU TRÚC TRONG DẠI SỐ TẬP HỢP
1.3.1. Vành Boole (Boole, Boolean ring).
Định nghĩa 1.3.1 [1] Một vành Boole (Boole, Boolean ring), các tập


7

8

hợp là một tập hợp ℜ Các tập hợp thỏa mãn nếu A ∈ ℜ, B ∈ ℜ thì

Định lý 1.4.3 [1] Nếu ε là một lớp ñếm ñược các tập hợp, thì ℜ ( ε )

A ∪ B ∈ ℜ và A \ B ∈ ℜ .

là ñếm ñược.

Mệnh ñề 1.3.1 [1] cho ℜ là một vành Boole, khi ñó φ ∈ ℜ , các
phép hiệu ñối xứng và giao của hai tập hợp là đóng trong ℜ .
1.3.2. Đại số Boole (Boolean algebra).
Định nghĩa 1.3.2 [1] Một lớp các tập hợp A ñược gọi là một ñại số
Boole nếu thỏa mãn:

Định nghĩa 1.4.2 [1] Một lợp không rỗng S các tập hợp ñược gọi là

σ - vành nếu nó thỏa mãn:
a / Nếu E ∈ S và F ∈ S thì E \ F ∈ S .
b / Nếu { En }n∈N ⊂ S thì

UE

n∈N

n

∈S .

a / Nếu A ∈ ℜ và B ∈ ℜ thì A ∪ B ∈ ℜ .

Định nghĩa 1.4.3 [1] Cho một lớp bất kỳ các tâp hợp ε , σ - vành nhỏ

b / Nếu A ∈ ℜ thì Ac ∈ ℜ , ( Ac là phần bù của A ).

nhất chứa lớp ε ñược gọi là σ - vành sinh bởi lớp ε là ñược ký hiệu

Rõ rang mỗi ñại số Boole là một vành Boole vì:

(

)

c

A \ B = A ∩ B c = Ac ∪ B .

bởi σ ( ε ) .
Định lý 1.4.4 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp và E là một

Mệnh ñề 1.3.2 [1] cho ℜ là một vành Boole các tập con của X .

tập bất kỳ trong σ ( ε ) thì tồn tại một lớp đếm được D của ε sao

Vành ℜ là một ñại số khi và chỉ khi X ∈ ℜ .

cho E ∈ σ ( D ) .

1.4. VÀNH SINH (generated ring), σ - VÀNH ( σ - ring )
Định nghĩa 1.4.1 [1]

cho ε là một lớp các tập hợp. Vành nhỏ nhất

chứa ε ñược gọi là vành sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi R ( ε ) .

Định lý 1.4.5 [1] Nếu ε là lớp bất kỳ các tập hợp con của tập X và

A là tập con bất kỳ của X thì σ ( ε ) ∩ A = σ ( ε ∩ A ) .
1.5. CÁC LỚP ĐƠN ĐIỆU (monotone classes)

Định lý 1.4.1 [1] Nếu ε là lớp các tập hợp bất kỳ thì tồn tại một vành

1.5.1. Giới hạn trên (the superior limit)

sinh bởi lớp ε duy nhất R ( ε ) .

Định nghĩa 1.5.1 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X ,

Định lý 1.4.2 [1] Nếu ε là một lớp bất kỳ các tập hợp thì mỗi tập

tập E ∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc En với vơ hạn các giá

trong R ( ε ) được phủ bởi một họ hữu hạn các tập trong ε .

trị của n ñược gọi là giới hạn trên của dãy { En } và ký hiệu:

E ∗ = lim. sup En
n


9

10

1.5.2. Giới hạn dưới (the inferior limit)
Định nghĩa 1.5.2 [1] Cho { En }n∈N là một dãy các tập con của X , tập

Định nghĩa 1.6.1 [1] Ánh xạ µ : A → [ 0, +∞ ] ñược gọi là một ñộ ño
dương trên σ - ñại số A nếu với mọi họ đếm được các tập đơi một

E∗ gồm tất cả các phần tử của X thuộc mọi En trừ một số hữu hạn

không giao nhau { Ak }k∈N , trong đó Ak ∈ A với mọi k ∈ N , ta có:

các giá trị của n được gọi là giới hạn dưới của dãy { En } và ký hiệu:

µ



U

 k∈N

E∗ = lim inf En
n

Nếu xảy ra trường hợp E ∗ = E∗ thì ta ký hiệu E ∗ = E∗ = lim En và
n

gọi là giới hạn của dãy { En } .


Ak  =


∑ µ (A )

k∈N

k

và µ (φ ) = 0 .

Định nghĩa 1.6.2 [1] Tập X với σ - ñại số A các tập con của X và
độ đo dương µ trên A thì bộ ba ( X , A, µ ) được gọi là một khơng
gian đo.

- Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là tăng (ñồng biến) nếu

Định nghĩa 1.6.3 [1] Ta nói µ là σ - hữu hạn nếu X là hợp của một

En ⊂ En +1, ∀n ∈ N .

họ đếm được các tập có độ đo hữu hạn.

- Dãy các tập hợp { En } ñược gọi là giảm (nghịch biến) nếu

En +1 ⊂ En , ∀n ∈ N . Một dãy các tập hợp tăng hay là giảm ñược
gọi dãy ñơn ñiệu (monotone).
Định nghĩa 1.5.3 [1] Một lớp khơng rỗng M các tập được gọi là ñơn
ñiệu nếu mọi dãy ñơn ñiệu các tập { En } trong M ta có lim En ∈ M.
n

Định nghĩa 1.6.4 [1] Nếu với mọi A∈ A thỏa mãn µ ( A) = 0 và với
mọi A' ⊂ A ta có: A' ∈ A, thì ta nói rằng σ - ñại số A là µ − ñủ

(tức là ñủ theo ñộ ño µ ).
Định nghĩa 1.6.5 [1] Bộ ba ( X , A, µ ) được gọi là một khơng gian
có độ đo đủ, σ - hữu hạn nếu µ là ñộ ño dương σ - hữu hạn và A là

µ − đủ.

Định nghĩa 1.5.4 [1] Lớp đơn điệu nhỏ nhất chứa lớp ε được gọi là

1.7 . CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỘ ĐO CẢM SINH

lớp ñơn ñiệu sinh bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi M ( ε ) .

1.7.1. Độ đo ngồi

Định lý 1.5.1 [1] Một lớp ε là một σ - vành khi và chỉ khi nó là
vành đơn điệu.
1.6 . ĐỘ ĐO; KHƠNG GIAN ĐO; ĐỘ ĐO ĐỦ; ĐỘ ĐO σ HỮU HẠN .

Định nghĩa 1.7.1.1 [1] Một lớp không rỗng các tập hợp ε ñược gọi là
lớp di truyền nếu với mọi tập E ∈ ε và F ⊂ E thì F ∈ ε .


11

12

Định nghĩa 1.7.1.2 [1] σ - vành di truyền nhỏ nhất chứa lớp ε được

Nếu µ là (hồn tồn) σ - hữu hạn thì µ ∗ cũng vậy. Độ đo ngoài

gọi là σ -vành di truyền sinh ra bởi lớp ε và ñược ký hiệu bởi H ( ε ) .

µ ∗ được gọi là cảm sinh bởi độ đo µ .

Định nghĩa 1.7.1.3 [1] Một hàm tập µ ∗ có giá trị trên tập số thực mở

1.7.2. Các tập ño ñược

rộng, xác ñịnh trên lớp ε ñược gọi là:

Định nghĩa 1.7.2.1 [1] Cho µ ∗ là một độ đo ngồi trên σ - vành di

- Dưới cộng tính nếu với mọi tập E ∈ ε , F ∈ ε và E ∪ F ∈ ε

truyền H . Một tập E ∈ H được gọi là µ ∗ đo được nếu với mọi tập

thì: µ ∗ ( E ∪ F ) ≤ µ ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) .

A ∈ H , ta có: µ ∗ ( A) = µ ∗ ( A ∩ E ) + µ ∗ A ∩ E c

(

- Dưới cơng tính hữu hạn nếu với mọi hữu hạn tập E1 , E2 , ... , En



n

và

n



n

 i =1

i =1



i =1

- σ - dưới cơng tính (dưới cộng tính đếm được) nếu với mọi dãy các
tập { Ei } mà

n

UE ∈ ε
i =1

i



∞

∞


E  ≤ ∑ µ ( E ).
U



thì: µ ∗ 

i =1

i

∗

i =1

i

- Đơn ñiệu nếu E ∈ ε , F ∈ ε và E ⊂ F thì µ ( E ) ≤ µ ( F ) .
Định nghĩa 1.7.1.4 [1] Một hàm tập µ ∗ nhận giá trị trên tập số thực
mở rộng, xác ñịnh trên σ - vành di truyền H được gọi là một độ đo
ngồi nếu nó khơng âm, đơn điệu, σ - dưới cộng tính và µ ∗ (φ ) = 0.
Định lý 1.7.1.1 [1] Nếu µ là một độ đo trên vành ε và nếu với mọi

∞
tập E ∈ H ( ε ) ñặt: µ ∗ ( E ) = inf ∑ µ ( Ei ) : Ei ∈ ε ,
 i =1

E c là phần bù của E.
Định lý 1.7.2.1 [1] Nếu µ ∗ là một độ đo ngồi trên một σ - vành di

µ ∗  U Ei  ≤ ∑ µ ∗ ( Ei ) .

U Ei ∈ ε thì:

)

∞

∀i : E ⊂ UEi  .
i =1


Thì µ ∗ là một độ đo ngồi trên H ( ε ) và là một mở rộng của µ .

truyền H và nếu S là một lớp tất cả các tập µ ∗ - đo được thì S là
một vành.
Định lý 1.7.2.2 [1] Nếu µ ∗ là một độ đo ngồi trên σ - vành di
truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ đo được, thì S là một

σ - vành. Nếu A ∈ H và nếu { En } là dãy rời nhau các tập trong S
với

∞

∞

n =1

n =1

U En = E , thì: µ ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ ∗ ( A ∩ En ) .

Định lý 1.7.2.3 [1] Nếu µ ∗ là một độ đo ngồi trên σ - vành di
truyền H và nếu S là lớp tất cả các tập µ ∗ - đo được, thì mỗi tập có
độ đo ngồi bằng 0 thuộc vào S và hàm tập µ xác định trên S
được cho bởi µ ( E ) = µ ∗ ( E ) ,

∀E ∈ S là một ñộ ño ñủ trên S .


13

14

Độ đo µ được gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngồi µ ∗ . Độ đo µ

Định lý 1.8.1 [1] Nếu µ là độ đo σ - hữu hạn trên vành ε , thì tồn

là hạn chế của độ đo ngồi µ ∗ trên S và được ký hiệu µ = µ ∗ .

tại một độ đo duy nhất µ trên σ - vành σ ( ε ) sao cho µ = µ .

Định lý 1.7.1 [1] Mọi tập trong σ ( ε ) là các tập µ ∗ ño ñược.

Định lý 1.8.2 [1] Cho µ là ñộ ño trên σ - vành K và ñặt:

S

Định lý 1.7.2 [1] Nếu E ∈ H ( ε ) thì:

{
}
= inf {µ ( F ) : E ⊂ F ∈ σ ( ε )}

µ ∗ ( E ) = inf µ ( E ) : E ⊂ F ∈ S

ε

K = { E ∆N : E ∈ K , ∃B ∈ K , N ⊂ B, µ ( B ) = 0} .
Khi đó K là một σ - vành và hàm tập µ xác định bởi

µ ( E ∆N ) = µ ( E ) là một độ đo ñủ trên K .

Nghĩa là, ñộ ño ngoài cảm sinh bởi µ trên σ ( ε ) và độ đo ngồi

Định lý 1.8.3 [1] Nếu µ là độ đo σ - hữu hạn trên vành ε và µ ∗ là

cảm sinh bởi µ trên S trùng nhau.

độ đo ngồi được cảm sinh bởi độ đơ µ thì tính đủ của ñộ ño mở

Định nghĩa 1.7.1 [1] Tập F∈σ ( ε ) ñược gọi là một phủ ño ñược của

rộng của µ trên σ ( ε ) đồng nhất với tính ñủ của µ ∗ trên lớp tất cả

tập E∈H ( E) nếu mọi tập G ∈σ ( ε ) mà G ⊂ F \ E thì µ ( G ) = 0 .

các tập µ ∗ - đo được.

Định lý 1.7.3 [1] Nếu một tập E ∈ H ( ε ) có độ đo ngồi σ - hữu
hạn thì tồn tại một phủ ño ñược F ( ε ) ∈ σ ( ε ) sao cho: µ∗ ( E) = µ( F) .
Định lý 1.7.4 [1] Nếu F1 , F2 là các phủ ño ñược của E ∈ H ( ε ) thì

µ ( F1∆F2 ) = 0 , nếu F là phủ đo được của E thì µ ∗ ( E ) = µ ( F ) .
Định lý 1.7.5 [1] Nếu độ đo µ trên σ - vành ε là σ - hữu hạn thì

µ

σ (ε )

và µ

S

cũng σ - hữu hạn.

1.8. KHUYẾCH , ĐẦY ĐỦ VÀ XẤP XỈ MỘT ĐỘ ĐO

Định lý 1.8.4 [1] Nếu µ là ñộ ño σ - hữu hạn trên vành ε , thì với
mọi tập E có độ đo hữu hạn trong σ ( ε ) và với mọi số dương ε ,
tồn tại tập E0 ∈ ε sao cho µ ( E ∆E0 ) ≤ ε .
1.9. ĐỘ ĐO TRONG (Inner measures)
Định lý 1.9.1 [1] Nếu E ∈ H ( S ) , thì:

{

µ∗ ( E ) ≤ sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S

}

(1.12 )

Mặt khác do ñịnh lý 2.3.1 với mọi F ∈ S tồn tại tập G ∈ S sao cho

G ⊂ F và µ ( F ) = µ ( G ) . Nên:


15

{

16

}

sup µ ( F ) : E ⊃ F ∈ S = sup {µ ( G ) : E ⊃ G ∈ S}
= µ∗ ( E )

Định lý 1.9.8 [1] Nếu E ∈ S thì với mọi tập con A ⊂ X có:

(1.13)

µ ( A ∩ E ) + µ ∗ ( Ac ∩ E ) = µ ( E ) .

Từ ( 2.3.1) và ( 2.3.2 ) suy ra ñiều phải chứng minh.

1.10. ĐỘ ĐO LEBESGUE (Lebesgue measure)

Định nghĩa 1.9.1 [1] Tập F ∈ S ñược gọi là hạt nhân ño ñược của

Định lý 1.10.1 [1] Mỗi tập ñếm ñược trong ℜ là một tập Borel có ñộ

tập E∈H ( S ) nếu F ⊂Evà mọi tập G ∈S mà G ⊂ E \ F thì µ ( G) = 0 .

đo khong (tập A được gọi là có độ đo khơng nếu µ ( A ) = 0 ).

Định lý 1.9.2 [1] Mọi tập E ∈ H ( S ) có một hạt nhân đo được.

Định lý 1.10.2 [1] Gọi u là lớp tất cả các tập mở rộng ℜ . khi dó:

σ ( P ) = σ (u ) .

Định lý 1.9.3 [1] Nếu E ∈ H ( S ) và F là hạt nhân ño ñược của E
thì µ ( F ) = µ∗ ( E ) , nếu F1 và F2 ñều là các hạt nhân ño ñược của

Định lý 1.10.3 [1] Nếu E ⊂ ℜ thì: µ ∗ ( E ) = inf {µ (U ) : E ⊂ U ∈ u} .

E thì µ ( F1∆F2 ) = 0 .

Định lý 1.10.4 [1] Nếu T là một hàm từ ℜ ñược xác ñịnh bởi

Định lý 1.9.4 [1] Nếu

{En }

thì:

µ∗  U En  ≥ ∑ µ∗ ( En ) .



là dãy các tập rời nhau trong H ( S )
∞

 n =1



∞



n =1

T ( x ) = ax + β , trong đó α ∈ ℜ, β ∈ ℜ và α ≠ 0 , thì:

µ ∗ ( E ) = α .µ ∗ ( E ) và µ∗ (T ( E ) ) = α .µ∗ ( E ) .

Định lý 1.9.5 [1] Nếu A ∈ H ( S ) và nếu { En } là dãy các tập rời
∞

nhau với

(The Theory of the Integral)

∞

UE
n =1

Chương 2- LÝ THUYẾT TÍCH PHÂN

n

= E thì: µ∗ ( A ∩ E ) = ∑ µ∗ ( A ∩ En ) .
n =1

Định lý 1.9.6 [1] Nếu E ⊂ S thì µ ∗ ( E ) = µ∗ ( E ) = µ ( E ) .
Ngược lại nếu E ∈ H ( S ) và µ

∗

( E ) = µ∗ ( E ) < ∞

thì E ∈ S .

Định lý 1.9.7. [1] Nếu E ∈ H ( S ) .F ∈ H ( S ) và E ∩ F = φ thì:

µ ( E ∪ F ) ≤ µ∗ ( E ) + µ ∗ ( F ) ≤ µ ∗ ( E ∪ F ) .

2.1. ĐỊNH NGHĨA VÀ KHÁI NIỆM
Định nghĩa 2.1.1 [3] Nếu f là đo được khơng âm trên khơng gian
đo ( χ :F: µ ) thì tích thân của f theo ñộ ño µ ñược xác ñịnh như
sau:

∫ f ( x )µ ( dx ) = lim ∫ f ( x ) µ ( dx ) .

Suy ra:

n

n

lim ∫ f n ( x ) µ ( dx ) = lim ∫ g m ( x ) µ ( dx ) .
n

m


17

18

Định nghĩa 2.1.2 [3] Tích phân bất định của một hàm ño ñược f là

v ( E ) = lim vn ( E ) và λ ( E ) = lim λn ( E )
n

n

hàm tập xác ñịnh trên lớp các tập ño ñược E bởi v ( E) = ∫ f ( x)µ ( dx) .

Thì các hàm tập v và λ trùng nhau.

Định nghĩa 2.1.3 [3] Với f là hàm ño ñược ta ñặt f + = max ( f ;0 )

Định lý 2.1.5 [3] Nếu

và f −1 = − min ( f ;0 ) .

trung bình tới f thì

E

Giả sử min

(∫ f

+

)

µ ( dx ) : ∫ f −1µ ( dx ) < ∞ , ta xác ñịnh tích phân

của f theo ñộ ño bởi: f ( x)µ( dx) = f

∫ ( x) µ( dx) −∫ f ( x)µ( dx) .

∫

+

−

{ f n } các hàm

{ f n } là dãy cơ bản theo trung bình các hàm

đơn giản khả tích và tích phân bất định của f n là vn , n ∈ N thì

a / Nếu f là một hàm ño ñược và c là một hằng số thì:

∫ c. f ( x )µ ( dx ) = c.∫ f ( x )µ ( dx )
b / Nếu f và g các hàm ño ñược và f ≤ g thì:

∫ f ( x )µ ( dx ) ≤ ∫ g ( x )µ ( dx ) .
Định lý 2.2.2 [3]

v ( E ) = lim vn ( E ) . Tồn tại với mỗi tập ño ñược E và hàm tập v có

a / Nếu ∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì

giá trị hữu hạn và cộng tính đếm được ( σ cộng tính).

b / Nếu

n

Định lý 2.1.3 [3] Nếu

{ fn }

là dãy cơ bản theo trung bình các hàm

khả tích và tích phân bất định của f n là vn , n ∈ N thì hàm tập vn là

∫ f ( x ) µ ( dx ) ≤ ∫ f ( x ) µ ( dx ) .

∫ f ( x )µ ( dx ) tồn tại thì ∫ f ( x ).χ ( x ) µ ( dx ) tồn tại

A

với mỗi A ∈ χ ; nếu f ( x )µ ( dx ) hữu hạn thì f ( x ).χ A ( x ) µ ( dx )

∫

∫

cũng hữu hạn.

c / Nếu f và g là các hàm ño ñược không âm hay

liên tục tuyệt ñối ñều.
Định lý 2.1.4 [3] Nếu

f theo độ đo.

Định lý 2.2.1 [3]

khả tích cũng là dãy hàm cơ bản theo ñộ ño.
Định lý 2.1.2 [3] Nếu

{ f n } hội tụ tới

2.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

Dãy cơ bản theo trung bình và sự hội tụ theo ñộ ño.
Định lý 2.1.1 [3] Một dãy hàm cơ bản theo trung bình

{ f n } là một dãy các hàm khả tích hội tụ theo

{ fn }

và

{gn }

là các dãy hàm cơ bản theo

trung bình các hàm đơn giản khả tích hội tụ theo ñộ ño tới cùng một
giới hạn là hàm ño ñược f và nếu vn và λn lần lượt là các tích
phân bất định của f n và g n . Với mỗi tập ño ñược E , ta ñặt:

∫ f ( x ) µ ( dx ) < ∞ và ∫ g ( x ) µ ( dx ) < ∞ thì:
∫  f ( x ) + g ( x ) µ ( dx ) = ∫ f ( x )µ ( dx ) + ∫ g ( x )µ ( dx ) .
Định lý 2.2.3 [3] Nếu f là một hàm khả tích khơng âm hẩu khắp


19

20

∫ f ( x )µ ( dx ) = 0 là

nơi, thì diều kiện cần và đủ để

•

f = 0 a. e

sao cho: ∀n ∈ N , f n ≤ ϕ (giả thiết bị chặn)

Định lý 2.2.4 [3] Nếu f là hàm khả tích và dương hầu khắp nơi
Thì:

trên tập ño ñược E và f ( x )µ ( dx ) = 0 , thì µ ( E ) = 0 .

∫

•

E

Định lý 2.2.5 [3] Nếu f là hàm khả tích sao cho

∫ f ( x )µ ( dx ) = 0

lý

2.2.6 [3] Nếu f là

{

một

hàm

khả

tích

thì

}

tập N ( f ) = x : f ( x) ≠ 0

Với mọi n thuộc N , f n khả tích trên I .

•

f khả tích trên I .

•

∫ f ( x )dx → ∫ f ( x ) dx .

F

với mọi tập ño được f , thì f = 0 hầu khắp nơi.
Định

Có ϕ : I → ℜ liên tục từng khúc, không âm khả tích trên I

I

n →∞

n

I

Mệnh đề 2.4.1 [ 4] Cho một dãy ánh xạ ( f n : I → K )n∈N . Nếu:
•

Với mọi n thuộc N , f n liên tục và khả tích trên I .

có ñộ ño σ -hữu hạn.

•

( f n )n∈N

2.3. ĐÃY CÁC HÀM KHẢ TÍCH (Sequences of integrable function)

•

I bị chặn

Định lý 2.3.1 [ 4] Nếu

{ fn }

là dãy hàm cơ bản theo trung bình các

hàm đơn giản khả tích hội tụ. Theo độ đo tới hàm khả tích f thì:

ρ ( f , f n ) = ∫ f ( x ) − f n ( x ) µ ( dx ) → 0 khi n → ∞ .
Định lý 2.3.2 [ 4] Nếu

{ f n } là dãy hàm cơ bản khả tích tồn tại hàm

khả tích f sao cho ρ ( f n , f ) → 0 .

( f n : I → ℜ )n∈N .

Thì:
•

f liên tục và khả tích trên I .

•

∫ f ( x ) dx → ∫ f ( x ) dx .
I

n →∞

n

I

2.5. HỘI TỤ ĐỀU VÀ LẤY TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN
Định lý2.5.1 [ 4] Giả sử ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b và

∑( f : [a; b] → E)
n≥0

là một chuỗi ánh xạ. Nếu:

2.4. ĐỊNH LÝ VỀ HỘI TỤ BỊ CHẶN
Cho dãy ánh xạ

hội tụ ñều trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f .

Nếu:

•

Với mọi n thuộc N , f n liên tục từng khúc trên I .

•

( f n )n∈N

•

f liên tục từng khác trên I .

hội tụ ñơn trên I ñến một ánh xạ ký hiệu là f .

•

Với mọi n ∈ N , f n liên tục trên [ a; b ] .

•

∑f
n≥0

Thì:

n

hội tụ đều trên [ a; b ] .

n


21
•

+∞

∑f
n =0

•
•

b

a

n≥0

f n ( x ) dx

+∞



∫  ∑ f ( x )  dx = ∑ ∫
a

n=0

n

n=0

b

a

b

hội tụ chuẩn tắc trên [ a; b ] . Khi đó,
+∞

∑f
n =0

a

∑
n ≥0

( ak )0≤k ≤ N

∑ ( f : [ a; b ] → E )
n≥0

f n 1 hội tụ trong ℜ ,

∑f
n =0

n

(

)

∫ g(t) dt .
b

)

n∈N

∀x ∈]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t )e dt = ∑λk ∫
a

những ánh xạ bậc thang trên [ a; b ]

Định lý 3.1.2 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E lien tục, có một dãy
n

n∈N

b−a

. Ký hiệu

bk+1

ak

k=0

eixak+1 − eixak
e dt = ∑λk
ix
k=0
N−1

ixt

N −1

ixt

Trong đó: M = Max λk . Vì N cổ định nên có x0 ∈ ]0; +∞[
0≤ k ≤ N

cho : ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ ,
ta có:

∫ f (t ) e

b

ixt

sao

a

những ánh xạ afin từng khúc và liên tục, hội tụ

2 NM
≤ ε . Khi đó, với mọi x thuộc [ x0 ; +∞[
x

dt ≤

∫ ( f (t ) − ϕ (t )) e
b

a

≤ (b − a ) f − ϕ

hơi tụ đều đến f trên [ a; b ] .

( ϕ : [ a; b ] → E )

ε

a

Định lý 3.1.1 [5] Với mọi ánh xạ f : [ a; b ] → E liên tục từng khúc,

(

≤

eixak +1 − eixak 2 NM
≤
Từ ñó : ∀x ∈ ]0; +∞[ , ∫ ϕ ( t ) e dt = ∑ λk
a
x
x
k =0

Chương 3- CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

có một dãy en : [ a; b ] → E

ta có:

N−1

ixt

b

n =0

Nhắc lại, nhận xét với g ∈C [ a;b] , E , ta kýhiệu: g 1 = N1 ( g) =

∞

là mọt phần hoạch của [ a; b ] tương thích với ϕ và λk là

b

+∞

≤ ∑ fn 1 .
1

dt 
→ 0 . Cho ε > 0 . Theo định lý 3.1.1, có một
x →+∞

giá trị của ϕ trên ]ak ; ak +1 [ với mọi k thuộc {0,..., N − 1} .Khi đó,

n

+∞

n

ixt

ánh xạ bậc thang ϕ : [ a; b ] → N sao cho f − ϕ

f n ( x ) dx .

Mệnh ñề 2.5.1 [ 4] Cho chuỗi ánh xạ liên tục

liên tục trên [ a; b ] và

∫ f ( t )e

) hội tụ trong E .

+∞

b

Cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc.

liên tục trên [ a; b ] .

n

∑(∫

22

∞

ixt

dt +

∫ ϕ (t ) e
b

a

ixt

dt

+ ε ≤ 2ε

Vậy, ta ñã chứng minh:

∀ε > 0, ∃x0 ∈ ]0; +∞[ , ∀x ∈ ] x0 ; +∞[ ,

∫ f ( t )e

∫ f (t ) e
b

a

ixt

dt ≤ ε

ñều ñến f trên [ a; b ] .

Tức là:

3.1. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT ĐOẠN

3.2. ĐỊNH LÝ RIEMANN-LEBESGUE TRÊN MỘT KHOẢNG

b

ixt

a

Bồ ñề Lebesgue:

dt 
→0 .
x →+∞


23

24

Cho ( a, b ) ∈ ℜ2 sao cho a ≤ b, f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc.

∫ f ( t )e
b

Khi đó:

a

iλ t

dt 
→0
λ →+∞

∫

a

hiệu:

∫

b

f

a

[ a; b] .

c/ Cuối cùng, cho f : [ a; b ] → C liên tục từng khúc, cho ε > 0 , có
một ánh xạ bậc thang e : [ a; b ] → C sao cho f − e
ta có: ∀λ ∈ℜ+ ,

∫

b

a

< ε . Khi ñó

∞

( f ( t ) − e ( t ) ) eiλt dt ≤ ∫ f ( t ) − e ( t ) dt ≤ ( b − a) ε
b



∫ e( t ) e
b

a

iλt

dt ≤ ε 


∫

a

∫(
b

a

) ∫

f ( t ) − e ( t ) eiλt dt +

b

a

e ( t ) eiλt dt

Nó chứng tỏ

λ
→0 .
λ
∫ f ( t )e dt 
a

∫[

hay:

a ,b ]

f hay:

b

b

a

a

i t

→+∞

3.3. TÍCH PHÂN TRÊN MỘT ĐOẠN MỘT ÁNH XẠ LIÊN
TỤC TỪNG KHÚC
Mệnh ñề 3.3.1 [ 4] Cho f : [ a, b ] → ℜ , liên tục từng khúc. Các bộ

∫ f ( x )dx
b

a

f = Sup

ϕ∈E ( a ,b )
ϕ ≤≤ f

n −1

Số thực

∑ (a
i =0

i +1

(∫ ϕ ) =

b

a

Inf

ψ ∈E ( a ,b )
f ≤ψ

(∫ ψ )
b

a

− ai )λi không phụ thuộc phân hoạch s tương tích

với e số thực này được gọi là tích phân của e trên [ a, b ] và ñược ký

∫

b

a

e hay

∫ e ( x )dx .
b

a

3.4. Các tịnh chất ñại số
Mệnh ñề 3.4.1 Ánh xạ CM 
→ℜ là một dạng tuyền tính,
b
fa

≤ (1 + ( b − a ) ) ε
b

a

e , và với mọi i ∈ {0,..., ( n − 1)} , λi là giá trị của e trên ]ai , ai +1 [ .

hiệu là

Vậy với mọi λ ∈ ℜ+ sao cho λ ≥ λ0 , ta có:

f ( t ) eiλt dt ≤

a

Mệnh ñề 3.3.2 Cho e ∈ E ( a, b ) , s = ( ai )0≤i ≤ n ∈ S , tương thích với

a

Mặt khác, có ∀λ0 ∈ ℜ+ sao cho: ∀λ ∈ℜ+ , λ ≥ λ0 ⇒

b

b

∫ f ( x )dx = ∫

b/ sử dụng hệ thức Chasles , suy ra từ đó rằng tính chất vẫn ñúng khi

f là hàm bậc thang trên

b

nhau. Ta gọi biên chung đó là tích phân của f (trên [ a, b ] ) và ký

ei λ b − e i λ a
2
≤
→ 0 .
iλ
λ λ →+∞

eiλt dt =

{∫ ϕ;ϕ ∈ E ( a,b) ,ϕ ≤ f } và {∫ ψ ;ψ ∈E ( a,b) , f ≤ψ}

theo thứ tự biên trên và Biên dưới trong ℜ , và các biên đó bằng

a/ Tính chất đó là ngay tức khắc khi f = 1 , vì:
b

phận của ℜ :

∫a f ( x )dx

nghĩa là: ∀( f , g) ∈( CM )2

∀λ ∈ℜ, ∫ ( λ f ( x) dx + g ( x) dx) = λ∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx .
b

b

b

a

a

a

3.5 CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN TRONG VẬT LÝ
3.5.1 Tích phân mặt

ur

Định nghĩa 3.5.1.1 [5] Giả sử D là một compăc của ℜ . F : D→ℜ3


25

26

là một lớp tham số hóa thuộc lớp C1 . f : D → ℜ là một ánh xạ

uuur

một ñiểm G thuộc ℜ3 xác ñịnh bởi: OG =

thuộc lớp C1 . Ta gọi tích phân kép:

∫∫

D

ur
ur
∂F ∂F
∧
f ( u, v )
dudv
∂u ∂v

uuuur
1
σ ( M)OMdS .
∫∫
µ( S,σ ) S

3.5.5. Moment quán tính của một bản ghềnh
là tích phân mặt.

Định nghĩa 3.5.5.1 [5] Giả sử H là một ñường thẳng hoặc một mặt
phẳng của ℜ3 , với mọi M thuộc ℜ3 ta ký hiệu d ( M , H ) là

3.5.2. Diện tích một phần của mặt

khoảng cách từ M đến H . Moment quán tính của một bản ghềnh

Định nghĩa 3.5.2 [5] Giả sử S là một mặt có biểu diễn tham số

( S,σ ) ñối với H là số thực IH xác ñịnh bởi: IH = ∫∫sσ ( M) ( d ( M, H) )

ur
F : D → ℜ3 thuộc lớp C1 Ta gọi số thực ký hiệu là:
ur
ur
∂F ∂F
là diện tích của S .
A ( S ) = ∫∫
∧
dudv
D ∂u
∂v

2

dS ,

Trong đó M chạy trên S và dS là yếu tố diện tích của S .
KẾT LUẬN

3.5.3. Khối lượng của một bản ghềnh
Định nghĩa 3.5.3.1 [5] Ta gọi, số thực µ xác định bởi tích phân

mặt: µ =

∫∫ σ ( M )dS , trong đó
S

M là một điểm chạy của S và

dS là một yếu tố diện tích, là khối lượng của một bản ghềnh ( S , σ )
ur
của ℜ3 . Như vậy, nếu S có một biểu diễn tham số F : D → ℜ3
( u ,v ) a F ( u ,v )

(

ur

µ = ∫∫ σ F ( u, v )
D

hợp một cách chặc chẽ. Luận văn đã thực hiện được các nội dung
sau:
1. Trình bày các cấu trúc về tập hợp như σ - vành, σ - đại số,
vành đơn điệu…
2. Trình bày lý thuyết ñộ ño và các vấn ñề liên quan.
3. Trình bày lý thuyết tích phân và các ứng dụng của chúng.

thì khối lượng của ( S , σ ) .
Sẽ là:

Luận văn đã trình bày lý thuyết tích phân dựa trên lý thuyết tập

)

ur
ur
∂F ∂F
∧
dudv .
∂u ∂v

3.5.4. Tâm quán tính của một bản ghềnh
Định nghĩa 3.5.4.1 [5] Tâm quán tính của một bản ghềnh ( S , σ ) là

Thời gian thực hiện luận văn có hạn nên nhiều vấn đề sâu sắc
hơn chưa được đề cập và chắc chắn khơng tránh khỏi những kiếm
khuyết, chúng tơi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của q
thầy cơ giao và các ñồng nghiệp.