De 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>§Ò thi SỐ 10 3. C©u 1 : (2 ®iÓm). Cho. P=. 2. a − 4 a −a+ 4 3 2 a − 7 a +14 a− 8. a) Rót gän P b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên C©u 2 : (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp phư¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) Tìm các giá trị của x để biểu thức : P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất . Tìm giá trị nhỏ nhất đó . C©u 3 : (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh :. 1 1 1 1 + 2 + 2 = 18 x +9 x +20 x + 11 x+30 x +13 x +42 2. b) Cho a , b , c lµ 3 c¹nh cña mét tam gi¸c . Chøng minh r»ng : A=. a b c + + ≥3 b+c − a a+c −b a+b − c. C©u 4 : (3 ®iÓm) Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC . Một góc xMy bằng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho 2 c¹nh Mx , My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E . Chøng minh : 2 a) BD.CE= BC. 4. b) DM,EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. c) Chu vi tam giác ADE không đổi. C©u 5 : (1 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi .. đáp án đề thi học sinh giỏi C©u 1 : (2 ®) a) (1,5) a3 - 4a2 - a + 4 = a( a2 - 1 ) - 4(a2 - 1 ) =( a2 - 1)(a-4).

<span class='text_page_counter'>(2)</span> =(a-1)(a+1)(a-4). 0,5. a3 -7a2 + 14a - 8 =( a3 -8 ) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 + 2a + 4) - 7a( a-2 ) =( a -2 )(a2 - 5a + 4) = (a-2)(a-1)(a-4). 0,5. Nªu §KX§ : a 1; a≠ 2 ; a ≠ 4. 0,25. Rót gän P= a+1. 0,25. a− 2. b) (0,5®) P= a− 2+3 =1+ 3 a−2. a −2. ; ta thÊy P nguyªn khi a-2 lµ íc cña 3,. mµ ¦(3)= { −1 ; 1; − 3 ;3 }. 0,25. Từ đó tìm đợc a { −1 ;3 ; 5 }. 0,25. C©u 2 : (2®) a)(1®) Gäi 2 sè ph¶i t×m lµ a vµ b , ta cã a+b chia hÕt cho 3 .. 0,25. Ta cã a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b) [(a2 +2 ab+b2 )− 3 ab ] = a+b ¿ 2 − 3 ab =(a+b) ¿ ¿. 0,5. V× a+b chia hÕt cho 3 nªn (a+b)2-3ab chia hÕt cho 3 ; Do vËy (a+b). a+b ¿ 2 − 3 ab chia hÕt cho 9 ¿ ¿. 0,25. b) (1®) P=(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)=(x2+5x-6)(x2+5x+6)=(x2+5x)2-36 Ta thÊy (x2+5x)2. 0 nªn P=(x2+5x)2-36. -36. 0,5 0,25. Do đó Min P=-36 khi (x2+5x)2=0 Từ đó ta tìm đợc x=0 hoặc x=-5 thì Min P=-36. 0,25. C©u 3 : (2®) a) (1®) x2+9x+20 =(x+4)(x+5) ; x2+11x+30 =(x+6)(x+5) ; x2+13x+42 =(x+6)(x+7) ;. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> §KX§ : x ≠ − 4 ; x ≠ −5 ; x ≠ − 6 ; x ≠ −7. 0,25. Ph¬ng tr×nh trë thµnh : ¿ 1 1 1 1 + + = ( x+ 4)(x +5) (x+5)(x +6) (x+6)(x +7) 18 ¿ 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − = x + 4 x +5 x +5 x +6 x+ 6 x +7 18 1 1 1 − = x + 4 x +7 18. 0,25. 18(x+7)-18(x+4)=(x+7)(x+4) (x+13)(x-2)=0 Từ đó tìm đợc x=-13; x=2;. 0,25. b) (1®) §Æt b+c-a=x >0; c+a-b=y >0; a+b-c=z >0 Từ đó suy ra a= y + z ; b= x+ z ; c= x+ y 2. 2. ;. 2. 0,5. Thay vào ta đợc A= y + z + x + z + x + y = 1 ( y + x )+( x + z )+( y + z ) 2x. 2y. 2z. 2. [. x. y. z x. z. y. ]. 0,25. Từ đó suy ra A 1 (2+2+2) hay A 3. 0,25. 2. C©u 4 : (3 ®) a) (1®) 0 ^1 Trong tam gi¸c BDM ta cã : ^ D1=120 − M. V×. ^ M 2 =600 nªn ta cã. Suy ra. : ^ M 3=1200 − ^ M1 x. ^ D 1= ^ M3. E. Chøng minh Δ BMD ∾ ΔCEM. D. (1). 1. B. Suy ra BD =CM BM. y. A. CE. V× BM=CM= BC 2. 2. 0,5 2 3 1. M. C. , từ đó BD.CE=BM.CM , nªn ta cã. 2 BD.CE= BC. 4. 0,5.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> b) (1®) Tõ (1) suy ra. BD MD = CM EM. mµ BM=CM nªn ta cã. BD MD = BM EM. Chøng minh. Δ BMD ∾ Δ MED. Từ đó suy ra. ^ D 1= ^ D2. 0,5. , do đó DM là tia phân giác của góc BDE. Chøng minh t¬ng tù ta cã EM lµ tia ph©n gi¸c cña gãc CED. 0,5. c) (1®) Gäi H, I, K lµ h×nh chiÕu cña M trªn AB, DE, AC Chøng minh DH = DI, EI = EK. 0,5. TÝnh chu vi tam gi¸c b»ng 2AH; KÕt luËn.. 0,5. C©u 5 : (1®) Gọi các cạnh của tam giác vuông là x , y , z ; trong đó cạnh huyền là z (x, y, z lµ c¸c sè nguyªn d¬ng ) Ta cã xy = 2(x+y+z) (1) vµ x2 + y2 = z2 (2). 0,25. Tõ (2) suy ra z2 = (x+y)2 -2xy , thay (1) vµo ta cã : z2 = (x+y)2 - 4(x+y+z) z2 +4z =(x+y)2 - 4(x+y) z2 +4z +4=(x+y)2 - 4(x+y)+4 (z+2)2=(x+y-2)2 , suy ra z+2 = x+y-2. 0,25. z=x+y-4 ; thay vào (1) ta đợc : xy=2(x+y+x+y-4) xy-4x-4y=-8 (x-4)(y-4)=8=1.8=2.4 Từ đó ta tìm đợc các giá trị của x , y , z là : (x=5,y=12,z=13) ; (x=12,y=5,z=13) ;. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> (x=6,y=8,z=10) ; (x=8,y=6,z=10). 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>