Phân tích nội lực hệ kết cấu phẳng siêu tĩnh bằng phương pháp lực sử dụng phần mềm Mathcad

PHÂN TÍCH NỘI LỰC HỆ KẾT CẤU PHẲNG SIÊU TĨNH
BẰNG PHƯƠNG PHÁP LỰC SỬ DỤNG PHẦN MỀM MATHCAD
Đinh Hoàng Long, Phạm Đình Nhật
Khoa Xây dựng, trường Đại học Cơng nghệ TP. Hồ Chí Minh
GVHD: TS. Võ Minh Thiện

TĨM TẮT
Bài báo dùng phương pháp lực trong phân tích kết cấu hệ siêu tĩnh dùng cơng cụ lập trình tính tốn
Mathcad. Nội lực của kết cấu siêu tĩnh được xác định bằng cách giải hệ phương trình cân bằng tĩnh
học và điều kiện tương thích biến dạng. Một số ví dụ tính tốn kết cấu phẳng được thực hiện nhằm
đánh giá tính chính xác và độ tin cậy của phương pháp đề xuất.
Từ khóa: hương pháp lực, Mathcad, phân tích nội lực, hệ siêu tĩnh.

1 ĐẶT VẤN ĐỀ
Trong thiết kế cơng trình, kỹ sư xây dựng thường sử dụng hệ kết cấu siêu tĩnh bậc cao có tác dụng
làm tăng độ cứng của hệ và đảm bảo điều kiện biến dạng bé. Tuy nhiên, việc phân tính nội lực và
biến dạng kết cấu siêu tĩnh thường rất phức tạp do khối lượng tính tốn lớn. Việc giải hệ siêu tĩnh
bậc cao bằng cách sử dụng các phương trình cân bằng tĩnh học kết hợp với phương trình biến
dạng là việc khơng đơn giản. Do đó, trong bài báo này nhóm tác giả đề xuất sử dụng phần mềm
tính tốn Mathcad[1] để phân tích nội lực hệ siêu tĩnh bằng phương pháp lực giải quyết các bài toán
dầm, khung chịu tác dụng của tải trọng. Đ

là cơng cụ lập trình mạnh, hỗ trợ tốt trong việc tính

tốn kết cấu.

2 CƠ SỞ LÝ THUYẾT
2.1 Công của thành phần nội lực

2.1.1 Thành phần lực dọc và lực cắt
Công của ngoại lực do thành phần lực dọc [2] được xác định theo Hình 1.

Hình 1

Ta lấy

460

,
∫

∫

(

)(1)


Công của ngoại lực do thành phần lực cắt [3] được xác định như Hình 2.

Hình 2

Ta lấy

,
∫

Ta có:

Thay (4) vào (3):

∫

∫

(2)

(3)

∫

với:

(4)

)

(5)

(

với µ – hệ số phụ thuộc hình dạng mặt cắt ngang.
∫

(6)

2.1.2 Thành phần momen
Công của ngoại lực do thành phần momen uốn

∫

, xác định bởi:

,

∫

(7)

Ta có:
(

Cơng do các thành phần nội lực tác dụng đồng thời:

(

Thế năng biến dạng đ n hồi của hệ:

)

(

(

)

)

(8)

)

(

)

(9)

461


∑ ∫ (

)

(10)

2.2 Công khả dĩ của ngoại lực và nội lực

2.2.1 Cơng khả dĩ của ngoại lực

Hình 3

Hình 4

Nếu lực

tác dụng tại một điểm nhất định của cơ hệ, và sau đó tại một điểm khác tác dụng lực

sẽ xuất hiện chuyển dịch khả dĩ

(Hình 3). Vì tại thời điểm này lực

không thay đổi độ lớn nên

công khả dĩ được xác định bởi diện tích hình chữ nhật (Hình 4).
(11)
Định lý về tính tương hỗ của cơng khả dĩ ngoại lực đã được chứng minh bởi Enrico Betti Glaoui
(1823–1892).
Công khả dĩ của lực ở trạng thái thứ i đối với các chuyển vị ở trạng thái thứ j bằng với công khả dĩ
của các lực ở trạng thái thứ j đối với các các chuyển vị ở trạng thái thứ i.

Hình 5

Hình 6

(12)
462


(13)
Dựa trên ngun lý bảo tồn năng lượng, ta có:
(14)

2.2.2 Công khả dĩ của nội lực
Xét 2 trạng thái làm việc cơ hệ: Trạng thái i: do lực Pi tác dụng gây ra nội lực Mi, Qi, Ni
Trạng thái j: Do lực Pj tác dụng lên phân tố ds gây ra biến dạng khả dĩ:
(15)
Công khả dĩ do nội lực trạng thái i đối với các biến dạng khả dĩ của trạng thái j:
(16)
Thay (15) vào (16), ta có:

(17)
Nếu xét trên tồn hệ với n thanh có chiều dài L, thì (17) có thể được viết lại:

∑∫ (

)

(18)

Xét 2 trạng thái của hệ:

Hình 7

Hình 8

Cơ hệ chịu tải trọng như Hình 7 gây ra nội lực MP, QP, NP. Tác dụng lực đơn vị P=1 như Hình 8 gây ra
nội lực ̅ , ̅ , ̅. Chúng gây ra các biến dạng đơn vị và sinh công khả dĩ:
∑∫ (

̅

̅

̅

)

(19)

Công khả dĩ được viết lại:

463


(20)

Hay

̅

∑∫ (

̅

̅

(21)

)

Công thức trên được gọi là công thức Mohr [4] dùng để xác định chuyển vị của cơ hệ khi chịu tải
trọng.
Định lý Maxwell [5]: Chuyển động theo hướng thứ i do lực đơn vị hướng j bằng với chuyển động
theo hướng j từ lực đơn vị theo hướng thứ i:
(22)
Theo định luật Hooke, đối với một hệ đ n hồi tuyến tính, ta có:
(23)
Cơng thức (23) có thể viết lại:
(24)
Theo Mohr:

∑∫ (

̅ ̅

)

∑∫ (

(25)

̅ ̅

)

(26)

Giá trị nội lực xác định theo:
∑̅

(27)

∑̅

(28)

∑̅

(29)

Để giải các cơng thức tích phân (25) và (26) của Mohr là phức tạp, giả sử biểu đồ Mi có dạng đường

cong bất kỳ như Hình 9.

Hình 9

Theo Hình 9, ta có:
464


̅

(30)

Tích phân theo cơng thức (25), (26) viết lại:

Với

∫ ̅ ̅

∫

̅

là diện tích vi phân của biểu đồ ̅ ,
∫ ̅ ̅

̅

, (31) trở thành:

∫

(32)

là momen tĩnh của diện tích

Từ (32) nhận thấy rằng ∫

(31)

biểu đồ ̅ đối với trục Oy, nên:

∫
thay

(33)

, (31) viết lại:
∫̅ ̅

(34)

Theo công thức (34), tùy dạng tải trọng tác dụng, áp dụng quy tắc Vereshchagin [6] được thiết lập
dưới dạng ma trận dưới dạng tổng quát áp dụng cho các trường hợp phần tử chịu tải trọng tập
trung (Hình 10) và phân bố đều (Hình 11).

Hình 10

Hình 11

Áp dụng cơng thức (34), khi đó (25) viết lại:

∑∫ (

̅ ̅

)

̅

̅

(35)

Trường hợp tải trọng tập trung:
̅

̅
[ ̅ ];

̅

Trường hợp tải trọng phân bố đều:

*

̅
+;
̅

*

+

(36)

465


̅

3 VÍ DỤ ÁP DỤNG

̅
[̅ ] ;
̅

̅

̅

[ ̅ ];
̅

[

]

(37)

Vẽ biểu đồ nội lực cho dầm. Cho EI=const, q=const, a=const.

Hình 12

Lời giải
Bước 1: Xác định hệ cơ bản (Hình 13), vẽ các biểu đồ đơn vị Mi,j, Qi,j (Hình 14, 15) và MP, QP (Hình 16, 17).

Hình 13: Hệ cơ bản

Hình 14: Biểu đồ momen đơn vị M1

Hình 15: Biểu đồ lực cắt đơn vị Q1;

Hình 16: Biểu đồ momen hệ cơ bản MP;

Hình 17: Biểu đồ lực cắt hệ cơ bản QP

466


Bước 2: Xác định các ma trận phần tử, ma trận biểu đồ momen, lực cắt đơn vị và ma trận biểu đồ
moment, lực cắt cơ sở.
a 2 1 
B1(a,EI) :
.
,
6.EI 1 2

a 2 1 
B2 (a,EI) :
.

,
6.EI 1 2

B1(a,EI) 


B(a,EI) : B2 (a,EI)


B3 (a,EI)

0 
 
1 
 
1 
 
Mu (a) : a  2
 
 2
 
1 
 
0 
 

B(a,EI):=MGraft(B(a,EI))

 
0 

 
0 
 
0 
 
MP (q,a) : q.a 2 2 
 
2 
 
 23 
 
8
 
4 

A(a,EI) : Mu (a)T .B(a,EI).Mu(a)

1 0 0 

a 
B3 (a,EI) :
. 0 4 0 
6.EI 

0 0 1

1 
 
1 
 

1 
 
Qu : 1 
 
 2
 
 2
 
 2
 

 
 
0 
 
0 
 
 2 
 
QP (q,a) : q.a  2 
 
 
 3 
 2
 
 2 
 
 
  

P (q,a,EI) : Mu (a)T .B(a,EI).MP (q,a)

X(q,a,EI) : A(a,EI)1.P (q,a,EI) 

17.a.q
16

Bước 3: Xác định giá trị momen và lực cắt.

Mx (q,a,EI) : MP (q,a)  Mu(a).X(q,a,EI)

0



 17.a 2 .q 


 16

 17.a 2 .q 


 16

Mx (q,a,EI)  

2
 a .q


 8



 (29.a 2 .q) 


16 



2
 (4.a .q) 

Qy (q,a,EI) : QP (q,a)  Qu.X(q,a,EI)
 17.a.q 
 16



 17.a.q 


 16



 (15.a.q) 
 16




(15.a.q) 

Qy (q,a,EI) 
 16



 (29.a.q) 


8


 (33.a.q) 


8





(37.a.q)




8

Bước 4: Vẽ biểu đồ lực cắt Qy (Hình 18) và momen uốn Mx (Hình 19).

467


Hình 18: Biểu đồ lực cắt Qy

Hình 19: Biểu đồ momen uốn Mx

4 KẾT LUẬN
Việc sử dụng phương pháp lực dưới dạng ma trận bằng phần mềm Mathcad rất hiệu quả khi xác
định nội lực trong dầm hay khung siêu tĩnh bậc cao. Với sự hỗ trợ của phần mềm Mathcad, các
bước tính tốn trong bài tốn siêu tĩnh trở nên trực quan và dễ kiểm soát. Trong hướng nghiên cứu
tiếp theo, nhóm tác giả thực hiện phân tính các bài tốn siêu tĩnh bậc cao có đặc tính phi tuyến về
vật liệu, đặc trưng hình học sử dụng Mathcad.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]

B. Maxfield, Engineering with Mathcad. Elsevier’s Science, 2006.

[2]

K.-G. Olsson, Structural mechanics: Modelling and analysis of frames and trusses. John Wiley
& Sons, 2016.

[3]

S. T. Mau, Introduction to structural analysis displacement and force methods. 2012.

[4]

R. Subramanian, Strength of Materials. Oxford University Press, 2010.

[5]

R. Mott and J. A. Untener, Applied Strength of Materials. 2016.

[6]

S. S. Rattan, “Strength Of Materials.” Tata McGraw Hill Education Private Limited, 2011.

468