BÀI tập TOÁN CAO cấp ôn GIỮA kỳ

BÀI TẬP TỐN CAO CẤP
ƠN GIỮA KỲ
Câu 1: Giải hệ phương trình:

 2 x1  x2  x3  x4 1
 x  2 x  x  x 1
 1
2
3
4
1) 
 x1  x2  2 x3  x4 1
 x1  x2  x3  2 x4 1
 x1  x2  2 x3  2 x4
 2 x  x  5x  2 x
 1
2
3
4
3) 
 6 x4
  x1  4 x2
  2 x1  4 x2  4 x3  x4
 x1  2 x2  3x3
x  x  x
 1
2
3
3) 
 x1  3 x2  x3
 3x1  4 x2  3 x3

 x1  x2  2 x3  3x4 1
 3x  x  x  2 x  4
 1 2 3
4
2) 
 2 x1  3 x2  x3  x4  6
 x1  2 x2  3x3  x4  4
 x1  2 x2  3x3  4 x4 5
 2 x  x  2 x  3 x 1
 1
2
3
4
4) 
 3 x1  2 x2  x3  2 x4 1
 4 x1  3x2  2 x3  x4  5

3
6
 3
 3

2

 4 x1  2 x2  x3 7
x  x  x
 2
 1 2
3

6) 
 2 x1  3 x2  3x3 11
 4 x1  x2  x3 7

0
 2
0

�x1  2 x2  x3  2 x4
�
2 x1  x2  x3  x4
�
7) �
 x1  3x2  2 x3  x4
�
�
3 x1  x2  2 x3  x4
�

 x1  x2  x3  x4 2
x
 x3  2 x4 0
 1
8) 
  x1  2 x2  2 x3  7 x4  7
 2 x1  x2  x3
3

 2
3

5
1

 x2  3 x3  4 x4  5
 x  2 x  3 x  4
 1
3
4
9) 
 3x1  2 x2  5 x4 12
 4 x1  3 x2  5 x3 5

 x  y  z 3
 2 x  y  2 z 0

10) 
;
 z 3
 2x
 2 x  3 y  z  3

Câu 2: Giải các phương trình sau:

2

1)  3
1

1


3)  3
2

1

5)  2
0


1
0 
1  1


 1 1  X  2 0
4 1
3  2 

2  3
1 3


2  4  X 10 2
10 7
 1 0 

1 0
1 2 0



1 1  X  0  1 2
2 1 1
2  1


5 

 3
1 
0

7 ;
8 
1 

3 ;
 2 

0  1
2 1

 
2) X  3  1 1   2
 1 3  2  4

 
 1 1  1  1

 
4) X  2 1 0   4

1  1 1  1

 
1  1 1 

 6
6) X 1 0  1  
1 1  2  15



1
0
1
1
3
 2

5 

 3
0 
3

2
5 

2  7

2  13 

3
1    8 3 0
5

 

7) X.  1  3  2 =   5 9 0
  5 2
1    2 15 0

3 1 1
 1 1  1




8)  2 1 2 . X  2  1 1 
 1 2 3 
 1 0
1 

1 1  1
 1  1 3
2 1 0 


9) 
 .X =  4 3 2 ;

1  1 1 
1  2 5
1 1  1
1 1 0 




11) X.  2 1 0  =  2 1 1  ;
1  1 1 
 0 2  1
1 1  1
 3 1 1




13) X.  2  1 1  =  2 1 2 ;
1 0 1 
1 2 3

1 1  1
1 1
2 1 0 

10) 
 . X = 2 1
1  1 1 
 0 2
1 1  1

3 1



12)  2  1 1  .X =  2 1
1 0 1 
1 2
 3 1 1
1 1



14) X .  2 1 2 =  2  1
1 2 3
1 0

0
1 
 1
1
2 ;
3
 1
1  ;
1 

Câu 3: Tính y (n ) với:
1/ y  x 2 .e 2 x ;

2/ y x 2 .e  2 x ;

3/ y ( x 2  1).e 2 x ;

5/ y ( x 2  3 x)e 3 x ;

6/ y (2 x 2  1).e 4 x ; 7/ y ( 2 x 2  2).e 4 x ; 8/ y ( x 2  3).e 3 x

4/ y (2 x 2  1)e  2 x

9/ y (2 x 2  3).e 3 x ; 10/ y (2 x 2  3).e  3 x ; 11/ y ( x 2  4).e 2 x ; 12/ y ( x 2  4).e  2 x
13/ y ( x 2  x).e  2 x ; 14/ y ( x 2  x ).e  2 x ;
16/ y ( x 2  2 x ).e x ;

17/ y ( x 2  1).e x ;

15/ y ( x 2  2 x ).e  2 x
18/ y ( x 2  2 x  1).e x

19/ y ( x 2  2 x  1).e x ; 20/ y ( x 2  2 x  1).e 2 x
Câu 4: Các bài tập ứng dụng
1/ Lợi nhuận của một cửa hàng bán bánh hamburgers được cho bởi hàm số:
x2
P 2,44 x 
 5000 ; 0  x 50000.
20000
Hỏi cửa hàng bán bao nhiêu chiếc bánh thì lợi nhuận cao nhất?
2/ Một người bán hàng muốn đóng một hộp có một mặt đáy hình vng, có tổng diện tích
các mặt xung quanh và mặt đáy là 108 cm 2 . Hỏi kích thước của hộp như thế nào để hộp
có thể tích lớn nhất?
3/ Một người nông dân cần quây 3 chuồng nuôi bị liền nhau hình chữ nhật có cùng diện

tích là 15m2 bằng dây thép phi 40. Hỏi người nông dân nên qy chuồng có kích thước
như thế nào để vừa đủ yêu cầu về diện tích mỗi chuồng mà tốn ít dây thép nhất?
4/ Một người chăn ni bị sữa có 200 mét rào để qy hai chuồng bị bằng nhau hình chữ
nhật liền nhau. Hỏi người đó nên qy chuồng có kích thước như thế nào để diện tích mỗi
chuồng là lớn nhất?
5/ Một công ty vừa xác định tổng doanh thu (đôla) cho một sản phẩm được cho bởi hàm
số sau: R  x 3  450 x 2  52500 x . Trong đó x là số lượng sản phẩm được sản xuất
( x  0) . Hỏi công ty nên đưa ra mức sản suất là bao nhiêu sản phẩm để có được doanh thu
lớn nhất.
6/ Một cơng ty vừa ước lượng rằng chi phí (đơla) cho x đơn vị sản phẩm ( x  0) của một
loại sản phẩm nào đó được mơ hình bởi: C 800  0,04 x  00002 x 2 . Hỏi công ty nên đưa
ra mức sản suất là bao nhiêu sản phẩm để chi phí trung bình cho một sản phẩm là nhỏ
nhất?


7/ Phịng marketing của một cơng ty vừa mới xác định rằng giá cho một sản phẩm có thể
50
cho bởi: p  . Chi phí để sản suất x , ( x  0) sản phẩm được cho bởi: C 0,5 x  500.
x
Hỏi công ty nên đưa ra giá của sản phẩm là bao nhiêu để thu được lợi nhuận cao nhất?
8/ Sự lây lan của virut có thể được mơ hình bởi: N  t 3  12t 2 ; 0 t 12. Với N số
lượng người bị nhiễm (tính bằng hàng trăm người), t là thời gian (tính bằng tuần).
a) Theo anh (chị) dự đốn tối đa có bao nhiêu người bị nhiễm virut trên?
b) Virut sẽ lây lan nhanh nhất vào thời điểm nào?
9/ Lợi nhuận thu được từ việc bán x cái đồng hồ báo thức được mơ hình bởi hàm số
P 0,0002 x 3  10 x ; (đơla)
a) Tìm lợi nhuận biên cho mức sản xuất 50 chiếc.
b) Lợi nhuận thực tế tăng lên bao nhiêu khi tăng mức sản xuất từ 50 đến 51 chiếc.
So sánh con số đó với lợi nhuận biên ở trên rồi rút ra kết luận.
10/ Tác dụng E của một loại thuốc giảm đau sau khi vào dòng máu t giờ được cho bởi:

1
E  (9t  3t 2  t 3 ) ; 0 t 4,5 . Tìm tỷ lệ tác dụng trung bình của E trong khoảng thời
27
gian từ 1 đến 2 giờ và tỷ lệ tác dụng tức thời tại thời điểm t 2 giờ.
11/ Khi ni cá thí nghiệm trong hồ, một nhà sinh vật học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị
diện tích của mặt hồ có n con cá thì sản lượng thu được sau một vụ được đo bởi hàm số:
P(n) 480n  20n 2 , ( gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt
hồ để sau một vụ sản lượng cá thu hoạch được là lớn nhất?
12/ Một người trồng cây ăn quả trên một mảnh vườn của nhà ước tính rằng nếu cơ trồng
16 cây thì trung bình năng suất là 80 quả táo trên cây. Nhưng vẫn với diện tích vườn đó,
cứ trồng thêm mỗi một cây táo thì năng suất sẽ giảm đi 4 quả/cây. Hỏi nên trồng bao nhiêu
cây trên mảnh vườn đó để tổng số táo thu được là lớn nhất?
13/ Từ năm 1998 đến năm 2003, doanh thu R (triệu đôla/năm) của công ty Microsoft
Corporation được mơ hình bởi hàm số:
R 174,343t 3  5630,45t 2  63029,8 t  218,635 ; 8 t 13.
Khi t 8 chỉ ra là năm 1998. Doanh thu của công ty đã thay đổi với tốc độ như thế
nào vào thời điểm năm 1999?
14/ Giá cà chua trong tuần đầu tiên của vụ thu hoạch là 40 (ngàn đồng) trên một thùng cà
chua (1 thùng = 36 lít). Trong mỗi tuần tiếp theo giá sẽ giảm đi 1 (ngàn đồng) trên mỗi
thùng. Người trồng cà chua ước tính rằng hiện tại tuần đầu có khoảng 120 thùng cà chua
trên cánh đồng có thể thu hoạch được và lượng cà chua đến kì thu hoạch đang tăng lên với
tỷ lệ 4 thùng trên một tuần. Hỏi người trồng cà chua nên thu hoạch vào thời điểm nào để
số tiền thu được là lớn nhất? Thời điểm đó người trồng thu hoạch được bao nhiêu thùng cà
chua? Số tiền lớn nhất mà người trồng cà chua có thể nhận được là bao nhiêu?
15/ Khi rác thải đổ xuống ao, sự phân hủy của rác thải tiêu hao oxy. Mức oxy có trong ao
t 2  t 1
; t 0 , với t là thời gian tính bằng
khi rác thải bị oxy hóa được mơ hình bởi: P  2
t 1
tuần.

a/ Khi nào mức oxy là thấp nhất? Mức đó là bao nhiêu?
b/ Khi nào mức oxy là cao nhất? Mức đó là bao nhiêu?
16/ Tổng doanh thu và tổng chi phí (tính bằng đôla) để một nhà máy sản xuất q đơn vị
sản phẩm (đvsp) lần lượt được cho bởi các hàm số sau:
R(q) 5 q  0,003 q 2
C (q) 300 1,1 q


Với 0 �q �1000 (đơn vị sản phẩm), nhà máy đó phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi
nhuận thu được lớn nhất? Ở mức sản suất đó chi phí doanh nghiệp phải bỏ ra là bao
nhiêu?
17/ Doanh thu (đôla) từ sản xuất q đơn vị sản phẩm được cho bởi hàm số:
R(q)  1000q  3q 2 . Tìm R (125) và R' (125) và nêu ý nghĩa của chúng.
4t 

18/ Sự phát triển của một loài vi khuẩn được mơ hình bởi hàm số: P 5001 

 50  t 2 
Với t là thời gian tính bằng giờ (h). Tìm tỷ lệ tăng trưởng của số lượng vi khuẩn tại thời
điểm t 2 .
19/ Tổng chi phí (đơla) khi sản xuất x sản phẩm của một nhà máy được cho bởi hàm số
sau: C  x  0,01 x 2  0,6 x  13; ( x  0) . Hỏi công ty nên đưa ra mức sản suất bao nhiêu sản
phẩm để chi phí là nhỏ nhất.