Tài liệu Sức bền vật liệu P4 pdf

Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

27
Chơng 4.
đặc trng hình học
của mặt cắt ngang - Các thuyết bền

A. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang
I. Khái niệm
Thí nghiệm kéo (nén): khả năng chịu tải của thanh phụ
thuộc vo diện tích mặt cắt ngang
(MCN).
Thí nghiệm uốn, xoắn,...: khả
năng chịu lực của thanh không
những phụ thuộc vo diện tích MCN,
m còn hình dạng v sự bố trí MCN.
Ví dụ thanh tròn rỗng (hình 4.1a)
chịu đợc M
z
gấp 2 lần thanh tròn
đặc cùng diện tích MCN. Thanh hình
chữ nhật đặt đứng (hình 4.1b) ứng
suất nhỏ hơn 4 lần khi đặt ngang
(hình 4.1c) với cùng diện tích MCN.
Do đó, ngoi diện tích MCN, ta
cần xét đến những đại lợng khác
đặc trng cho hình dạng MCN về
mặt hình học, đó l
mômen tĩnh v
mômen quán tính
.

II. Mômen tĩnh của mặt cắt ngang
Hình phẳng F nằm trong mặt
phẳng toạ độ Oxy (hình 4.2).
Ngời ta gọi tích phân:

mn
F
x y dF

(4.1)
l
mômen diện tích hỗn hợp cấp (m+n)
của hình phẳng F đối với hệ Oxy.
Khi m = 0, n = 1 tích phân (4.1)
có dạng:

=

x
F
SydF
(m
3
) (4.2)
Hình 4.2
Hình 4.1
a)
c)
b)
4a

4a
a
0,7D
D
d
a

P
P
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

28
Khi m = 1, n = 0 tích phân (4.1) có dạng:

=

y
F
SxdF
(m
3
) (4.3)
S
x
v S
y
đợc gọi l
mômen diện tích cấp một
hay
mômen

tĩnh
của hình phẳng đối với trục x v trục y.
Khi S
X
= S
Y
= 0 thì trục X, Y
đợc gọi l
trục trung tâm
. Giao
điểm của hai trục trung tâm l
trọng tâm
của hình phẳng. (hình
4.3).
Công thức xác định toạ độ của
trọng tâm C cũng tơng tự nh công
thức xác định toạ độ của khối tâm:

y
C
S
x
F
=
;
x
C
S
y
F

=
(4.4)
Nếu diện tích F bao gồm nhiều
diện tích đơn giản F
i
:

=
=

n
ii
i1
C
xF
x
F
;
=
=

n
ii
i1
C
yF
y
F
(4.5)
trong đó x

i
, y
i
l toạ độ trọng tâm của diện tích F
i
.
III. Mômen quán tính (diện tích cấp hai)
Khi m = n = 1, tích phân (4.1) có dạng:

xy
F
JxydF=

(m
4
) (4.6)
đợc gọi l
mômen diện tích hỗn hợp cấp hai,
hay
mômen quán
tính li tâm
của hình phẳng đối với hệ trục Oxy.
Khi m = 0, n = 2 hoặc m = 2, n = 0, các tích phân:

2
x
F
JydF=

v

2
y
F
JxdF=

(4.7)
đợc gọi l
mômen quán tính
(hay
mômen diện tích cấp hai
) của
hình phẳng F đối với trục x hoặc trục y.
J
xy
có thể dơng hoặc âm, còn các J
x
, J
y
luôn luôn dơng.
Tổng:
( )
+= + = =

22 2
xy p
FF
J J y x dF dF J
(4.8)
đợc gọi l
mômen quán tính độc cực

đối với gốc toạ độ O.
Nếu J
xy
= 0 thì hệ trục đợc gọi l
hệ trục quán tính chính
.
Hình 4.3
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

29
Nếu J
xy
=0, S
x
=S
y
=0 thì ta có
hệ trục quán tính chính trung tâm.
IV. Công thức chuyển trục song song của mômen quán tính
Công thức chuyển trục song song
mômen quán tính của hệ trục OXY với
hệ trục trung tâm oxy (hình 4.4):
J
X
= J
x
+ Fb
2
J
Y

= J
y
+ Fa
2
(4.9)
J
XY
= J
xy
+ Fab
Chứng minh các công thức (4.9)
nh sau: ta có, X = x + a ; Y = y + b (a)
Theo định nghĩa:
== =

22
XYXY
FF F
J Y dF, J X dF, J XYdF
(b)
Thay (a) vo (b) suy ra:
J
X
= J
x
+2bS
x
+Fb
2
; J

Y
= J
y
+2aS
y
+Fa
2
; J
XY
= J
xy
+aS
x
+bS
y
+Fab
Khi x v y l các trục trung tâm thì S
x
= S
y
= 0 (4.9).
V. Công thức xoay trục của mômen quán tính
Cho biết J
x
, J
y
, J
xy
của hình
phẳng F đối với hệ trục Oxy. Hãy

tính J
u
, J
v
, J
uv
của hình phẳng F đối
với hệ trục Ouv (hình 4.5). Ta có:
u = xcos + ysin
v = ycos xsin
=

2
u
F
JvdF
;
=

2
v
F
JudF
;
=

uv
F
JuvdF

Thay u, v ở trên v khai triển
các tích phân ny, ta đợc:

+
=+
+
= +

=+
xy xy
uxy
xy xy
vxy
xy
uv xy
JJ JJ
Jcos2Jsin2
22
JJ JJ
Jcos2Jsin2
22
JJ
Jsin2Jcos2
2
(4.10)
Nếu hệ trục Ouv l hệ trục quán tính chính (J
uv
= 0) thì phơng
các trục quán tính chính rút ra từ công thức thứ ba của (4.10):
Hình 4.4

Hình 4.5
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

30

=

xy
xy
2J
tg
JJ
(4.11)
VI. Mômen quán tính của một số mặt cắt ngang
1. Hình chữ nhật (hình 4.6)
Hệ trục đối xứng Oxy l hệ trục quán tính
chính trung tâm.
Ta có: J
x
=
h
h
2
2
22 3
h
h
F
2
2

1
ydF ybdy by
3

+

==


hay:
3
x
bh
J
12
=

3
y
hb
J
12
=
(4.14)
2. Hình tam giác (hình 4.7)
Chọn dải phân tố diện tích dF
song song với
trục đáy
x
1

v cách
trục x
1
một khoảng y. Chiều di
b(y) của dải phân tố diện tích ny
suy ra từ điều kiện đồng dạng:

b(y) h y
bh

=

b(h y)
b(y)
h

=

Nh vậy, đối với trục đáy x
1
:
()
1
h
h
34
22
x
Fo
o

bh y
bhy y
JydFy dy
hh34


== =




1
3
x
bh
J
12
=
(4.15)
Nếu x l trục trung tâm thì theo công thức (4.9):

J
x
=

2
332
bh h bh bh h
F.
12 3 12 2 9

=



hay
=
3
x
bh
J
36
(4.16)
3. Hình tròn (hình 4.8)
Đối với hệ trục trung tâm Oxy: J
x
= J
y
=
p
J
2

trong đó:

=
4
4
p
R

J0,1D
2
nên:


== =
44
4
xy
RD
JJ 0,05D
464
(4.17)
Hình 4.8
Hình 4.6
Hình 4.7
Chơng 4. Đặc trng hình học của mặt cắt ngang Các thuyết bền

31
4. Hình vnh khăn
Đối với hình vnh khăn có đờng kính ngoi D v đờng kính
trong d:

() ()

== =
4
444
xy p
1D

JJ J 1 0,05D1
264
; = d/D (4.18)
VII. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 4.1.
Xác định vị trí trọng
tâm C
o
v các mômen diện tích cấp
hai J
x
, J
y
của mặt cắt cho trên
hình 4.9 (đơn vị l cm).
Giải
Coi mặt cắt đã cho l hiệu của
hai hình chữ nhật ABCD (kí hiệu
l 1) v EFGH (kí hiệu l 2). Ta có: S
x
=
12
xx
SS

trong đó:
()
1
13
x1C

60
S F y 100 60 180.000cm
2

==ì =




()
2
23
x2C
40
S F y 30 40 20 48.000cm
2

==ì +=



Do đó: S
x
= 180.000 48.000 = 132.000cm
3
;
12
yyy
SSS=

trong đó:
()
1
13
y1C
100
S F x 100 60 300.000cm
2

==ì =




()
2
23
y2C
30
S F x 30 40 50 78.000cm
2

==ì +=



Vậy: S
y
= 300.000 78.000 = 222.000cm
3

Toạ độ trọng tâm C
o
của mặt cắt l:
()()
== =
ìì
o
y
C
S
222.000
x46,25cm
F 100 60 30 40
;
o
x
C
S
132.000
y27,5cm
F 4800
== =


12
xxx
JJJ=

trong đó:

3
3
154
11
x
bh 100 60
J7210cm
33
ì
== =ì


()
2
3
3
22 2
22
x2C
bh 30 40
JFy 3040.40
12 12
ì
=+ = +ì
= 20,8 ì 10
5
cm
4

Hình 4.9