Tài liệu Sức bền vật liệu P5 pdf

Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

37
Chơng 5.
xoắn thuần tuý thanh thẳng

I.
Khái niệm về xoắn thuần tuý
1. Định nghĩa

Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi
trên MCN chỉ có một thnh phần nội
lực l mômen xoắn nh trên hình 5.1.

Ngẫu lực P-P tạo ra mômen xoắn,
có giá trị bằng P.a.
2. Liên hệ giữa mômen xoắn ngoại lực
với công suất v số vòng quay

Công suất do mômen xoắn ngoại
lực M (Nm) thực hiện khi trục quay một góc

theo thời gian t: A = M



Do đó công suất N (watt-W):
AM
NM
tt

= ==

N
M =


trong đó

- vận tốc góc (rad/s); n l tốc độ [vòng/phút (v/ph)].

Vận tốc góc:
n
rad /s
30

=

Nếu công suất N tính bằng kW thì:
()
=
N
M9549 Nm
n

Nếu công suất tính bằng mã lực thì:
()
=
N
M7162 Nm
n

.
3. Các giả thuyết tính toán
Quan sát đoạn thanh tròn chịu xoắn (hình 5.2)
trớc v sau khi biến dạng, thấy:
MCN ban đầu phẳng v thẳng góc với trục
thanh thì sau khi biến dạng vẫn phẳng v thẳng góc
với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt không
thay đổi.
Các bán kính của thanh trớc v sau khi biến
dạng vẫn thẳng v có độ di không đổi.
Nói một cách vắn tắt, khi thanh tròn chịu
xoắn, chỉ xảy ra hiện tợng quay của tiết diện
ngang quanh trục thanh. Nhận xét ny đã đợc lí thuyết v thực nghiệm
xác minh l đúng.
II. ứng suất trên mặt cắt của thanh tròn chịu xoắn







Hình 5.1
b) Sau biến dạng
a) Trớc biến dạng
Hình 5.2
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

38

Khảo sát một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình 5.3a).











Hình 5.3

Tách từ thanh một đoạn di dz (hình 5.4)

Theo quan hệ giữa nội lực v ứng suất ta có:

z
F
MdF

=

(a)

Mặt khác theo định luật
Húc:
G.

=
(b)


l ứng suất tiếp trên MCN tại
điểm cách trọng tâm mặt cắt một
khoảng bằng

.

Theo hình 5.4, ta có:

d
tg
dz

=
(c)
với d

l góc xoắn tơng đối giữa 2 mặt cắt 3-3 v 4-4; dz l khoảng
cách giữa 2 mặt cắt đó.

Ký hiệu
d
dz

=
l góc xoắn tỷ đối trên một đơn vị di.

Thay (c) vo (b) rồi vo (a), ta có:

2
zp
F
MG..dFG..J==

(d)

Từ (d) suy ra:
z
p
M
G.J
=
(5-1)
Hình 5.4
d




dz
3
3
4

4

Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

39

Thay (5-1) vo (c) rồi vo (b), ta có:
z
p
M
.
J

=
(5-2)

ứng suất tiếp lớn nhất:
z
max
p
M
W
=
(5-3)
trong đó:
p
p
J
W
R
=
gọi l môđun chống xoắn của mặt cắt ngang có thứ

nguyên l (chiều di)
3
; R l bán kính của mặt cắt ngang.
- Đối với hình tròn:
3
p
3
p
J
D
W0,2D
R16

==

- Đối với hình vnh khăn:
() ()
3
434
p
D
W10,2D1
16

=
;
d
D
=

Biểu đồ ứng suất biểu diễn nh trên hình (5.3b). Ta thấy ứng suất
tiếp phân bố theo quy luật bậc nhất phụ thuộc vo khoảng cách

đến
trọng tâm mặt cắt ngang.
III. Biến dạng
Biến dạng tại mặt cắt z của thanh tròn khi xoắn đợc thể hiện bằng
góc xoắn tơng đối giữa hai mặt cắt ngang lân cận z, từ (5.1) ta có:

==
z
p
M
d
dz GJ
(rad/m) (5-4)
Góc xoắn giữa hai MCN cách nhau một khoảng l l:

=

z
p
0
M
dz
GJ
l
(rad) (5-5)

GJ
p
đợc gọi l
độ cứng xoắn
. Với chiều di v ngoại lực nh nhau,
độ cứng xoắn cng lớn

góc xoắn cng nhỏ.

Nếu trong suốt chiều di
l
của thanh, tỷ số
z
p
M
G.J
không đổi hoặc
không đổi trong từng đoạn có chiều di
l
i
, ta có:

=
z
p
M
G.J
l
hoặc
n

zi
i1
ipi
M
GJ
=
=

l
(5-6)
Từ các công thức trên ta thấy khi chịu xoắn, đặc trng hình học của
MCN không phải l diện tích F m l mômen độc cực J
p
.
IV. Tính toán về xoắn thuần tuý
Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

40
Đảm bảo điều kiện bền v điều kiện cứng.
1. Điều kiện bền
Điều kiện bền :
[]
=
zmax
max
p
M
W
(5.7)
[] l ứng suất tiếp cho phép của vật liệu, xác định nh sau:

[]
[
]
k
2

=
hoặc
[]
[ ]
k
3

=
(5.8)

Đối với vật liệu dẻo:
[]
ch
n

=
, vật liệu giòn:
[]
B
n

=
(5.9)

Điều kiện bền trên ton thanh khi đờng kính thay đổi:

[]
z
max
p
max
M
W

=



(5-10)
Với công thức (5.7) ta có ba loại bi toán cơ bản sau:
a. Kiểm tra bền: theo công thức (5.7).
b. Chọn kích thớc mặt cắt ngang:
[]

=


z
pp
M
WW
(5.11)
c. Tính tải trọng cho phép: M

z
W
p
[] = [M
z
] (5.12)
2. Điều kiện cứng
Góc xoắn tơng đối (hay biến dạng xoắn) lớn nhất không vợt quá
giới hạn cho phép:

[]
=
z
max
p
M
GJ
[rad/chiều di] hoặc [độ/chiều di] (5.13)
trong đó [

] l góc
xoắn tơng đối cho phép
(tra bảng). Nếu [

] đợc cho
bằng (độ/chiều di)

công thức quy đổi sau:
[] rad/chiều di =
.[ ]

180


độ/ chiều di (5.14)
Theo công thức 5.13 ta cũng có ba loại bi toán sau:
a. Kiểm tra điều kiện cứng: theo công thức 5.13
b. Tính kích thớc mặt cắt ngang:
[]

=


z
pp
M
JJ
G
(5.15)
c. Tính tải trọng cho phép: M
z
GJ
p
[] = [M
z
] (5.17)
Khi tính toán theo cả điều kiện bền v cứng, điều kiện no có ảnh
hởng nhiều hơn thì lấy kết quả theo điều kiện ấy. Đối với thanh mảnh,
điều kiện cứng thờng có ảnh hởng nhiều hơn.
V. Xoắn thanh có mặt cắt ngang không tròn
1. Thanh có mặt cắt ngang hình chữ nhật

Chơng 5. Xoắn thuần tuý thanh thẳng

41
Sau khi bị xoắn, các tiết diện
ngang nói chung đều bị vênh đi.
Trên MCN của thanh chỉ có ứng
suất tiếp. Phân bố của ứng suất tiếp
thanh MCN hình chữ nhật nh trên
hình 5.5.
ứng suất lớn nhất tại điểm giữa
cạnh di:

z
max
2
M
ab
=

(5.18)
ứng suất tại điểm giữa cạnh ngắn:

1
=
max
( 1) (5.19)
Góc xoắn tơng đối: =
z
3
M

ab
(5.20)
Các hệ số , , phụ thuộc vo tỉ số a/b, cho trong các ti liệu SBVL,
ví dụ a/b = 1 = 0,208; = 0,141; = 1,0.
2. Thanh có thnh mỏng kín hoặc hở
Thanh thnh mỏng kín (hình
5.6a) v hở (hình 5.6b).
a. Thanh có thnh mỏng kín
ứng suất tiếp đợc phân bố
đều theo bề dy b của thnh, ví dụ
tại một điểm A:

z
A
*A
M
2F b
=
(5.21)
F
*
diện tích giới hạn bởi đờng
tâm của thnh (chu vi trung gian).
ứng suất tiếp lớn nhất tại vị trí
bề dy của thnh nhỏ nhất. Góc
xoắn tơng đối :

z
2
*

M
ds
b
4GF
=
v
(5.22)
b. Thanh có thnh mỏng hở
Trên MCN của thanh cũng chỉ có ứng suất tiếp.
Nếu MCN của thanh do nhiều hình chữ nhật ghép thnh (hình 5.7),
ứng suất tiếp lớn nhất tại điểm giữa của cạnh a
i
:
Hình 5.5
Hình 5.6
Chu vi
trung gian
b)
a)