Tài liệu Sức bền vật liệu P6 pptx

Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

47
Chơng 6.
Uốn phẳng

I. Khái niệm về uốn phẳng
Mặt phẳng chứa các lực v
mômen đợc gọi l mặt phẳng
tải trọng (hình 6.1).
Đờng tải trọng l giao
tuyến giữa mặt phẳng tải trọng
v MCN của thanh.
Mặt phẳng quán tính chính
trung tâm tạo nên bởi trục của
thanh v một trục quán tính
chính trung tâm của MCN.
Một thanh chủ yếu chịu
uốn gọi l dầm. Trục của dầm
sau khi bị uốn cong vẫn nằm
trong một mặt phẳng quán tính
chính trung tâm thì sự uốn đó đợc gọi l uốn phẳng.
Uốn phẳng chia ra lm hai loại: uốn thuần tuý v uốn ngang phẳng.

Uốn thuần tuý phẳng
: Trên MCN của dầm chỉ có một thnh phần
mômen uốn M
x
(M
y
)

nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm.
Uốn ngang phẳng: Trên MCN của nó có hai thnh phần nội lực l lực
cắt Q
y
v mômen uốn M
x
(hoặc Q
x
v M
y
).
II. dầm chịu uốn phẳng thuần tuý
1.
ứ
ng suất trên MCN của dầm chịu uốn thuần tuý
b) Thí nghiệm

Quan sát một đoạn dầm chịu uốn phẳng thuần tuý có MCN hình
chữ nhật trớc v sau khi biến dạng (hình 6.2).







Hình 6.2

Hình 6.1
Trớc khi biến dạng
Sau khi biến dạng
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

48
Từ các thí nghiệm dầm chịu uốn phẳng thuần tuý

một số giả thiết:


Giả thiết về MCN phẳng
: MCN của thanh trớc v sau biến dạng
vẫn phẳng v vuông góc với trục của thanh.


Giả thiết về các thớ
dọc
: trong suốt quá trình

biến dạng các thớ dọc luôn
song song với nhau v song
song với trục thanh.
Thớ không bị dãn, không
bị co gọi l thớ trung ho. Các
thớ trung ho tạo thnh mặt
trung ho (lớp trung ho).
Giao tuyến của mặt trung ho
với MCN gọi l đờng trung
ho.
b) ứng suất trên MCN
Xét một MCN no đó v chọn hệ trục toạ độ nh hình 6.1 với trục Ox
l trục đờng trung ho.
Trên MCN chỉ có ứng suất
pháp, không có ứng suất
tiếp vì ứng suất tiếp lm
MCN sẽ bị vênh đi góc sẽ
không còn vuông nữa.
Theo định luật Húc:

zz
E=
(a)

Thớ trung ho không
bị biến dạng:
12 12
OO z OO .= =

Xét một thớ mn (hình 6.4): Trớc khi biến dạng ta có:

mn z= =
.
Sau khi biến dạng, ta có:
+= )y(mn


Độ dãn di tỷ đối của thớ mn bằng:
z
(y) y +
==

(b)

Thay (b) vo (a), ta đợc:
z
y
E=

(c)
Tại một MCN bán kính

có trị số xác định, E l một hằng số. Vậy quy
luật phân bố ứng suất pháp trên MCN l phẳng nh trên hình 6.5a. Giao
tuyến của mặt phẳng ứng suất với MCN chính l trục trung ho (đờng trung
Hình 6.4
z
y
Hình 6.3
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

49
ho). Rõ rng ứng suất pháp trên các đờng thẳng song song với trục trung
ho có trị số nh nhau. Do đó ta có thể vẽ biểu đồ phân bố ứng suất pháp nh
trên hình 6.5b.









Hình 6.5
Ta có quan hệ giữa mômen uốn M
x
v ứng suất pháp
z
:

= = =


2
xz x
FF
EE
MydFydFJ

x

x
M1
EJ
=

(6.1)
So sánh (c) v (6.2) ta suy ra công thức ứng suất pháp trên MCN:

x
z
x
M
y
J
=
(6.2)
2. Vị trí trục trung ho
Uốn phẳng thuần tuý trên mọi MCN thnh phần lực dọc N
z
= 0. Ta có:

= =

zz
F
NdF0

z
F
E

NydF0
= =


(6.3)
Đẳng thức trên đợc thoả mãn, khi:
= =

x
F
ydF S 0
(6.4)
trong đó
x
S
l mômen tĩnh của MCN đối với trục trung ho.
Vậy trục trung ho l một trục trung tâm.
3. ứ
ng suất kéo v nén lớn nhất

z
có trị số tuyệt đối lớn nhất tại các điểm mép trên hay mép dới.
Nếu trục trung ho l đối xứng, ví dụ MCN l hình chữ nhật, hình tròn, chữ I, ...

kn
zz
max max
=
. Tổng quát ta viết:
x

z
max
x
M
W
=
;
x
x
max
J
W
y
=
(6.5)
MCN m đờng trung ho không chia đều chiều cao (hình 6.6)
kn
zmax zmax

. Kí hiệu khoảng cách từ điểm xa nhất tới trục trung ho l
kn
max max
y(y)
ứng suất kéo (nén) lớn nhất:
= =
xx
k
zmax
kk
xmax x

MM
Jy W
(6.6)
y
_

+

Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

50

= =
xx
n
zmin
nn
xmax x
MM
Jy W
(6.7)
trong đó, đại lợng:
()
3
x
x
max
J
Wm
y

=
l mômen
chống uốn của MCN đối với trục trung ho.
Ví dụ, MCN hình chữ nhật

32
x
x
J2bhbh
W
h2 12h 6
== =
,
Hình tròn:
3
3
x
x
J
d
W0,1d
d/2 32

==
;
Hình vnh khăn:
() ()
3
434
x

D
W10,1D1
32

=
;
d
D
=

Điều kiện dầm có độ bền đều:
kn
z max z max
=

Nếu dầm lm bằng vật liệu dẻo thì MCN phải đối xứng qua đờng trung
ho, nếu dầm lm bằng vật liệu giòn thì MCN phải thoả mãn điều kiện:

[]
[]
k
k
max
n
n
max
y
y

=

Biểu thức trên cho thấy: cùng MCN có diện tích F, nếu môđun chống
uốn lớn thì cng tiết kiệm vật liệu ngời ta đa vo tỷ số không thứ
nguyên
x
3
W
F
=
, đợc gọi l mômen chống uốn riêng của mặt cắt.
cng lớn thì mức độ tiết kiệm vật liệu cng tốt. MCN hợp lý khi dầm
chịu uốn l tính chất lm tiết kiệm nguyên vật liệu. Việc chế tạo các thép cán
định hình có MCN hình chữ I, hình chữ C dựa trên tính chất hợp lý ny.
4. Điều kiện bền
Dầm lm từ vật liệu dẻo vì
n
ch
k
ch
=
theo (6.5), ta có:

[]
x
z
max
x
M
W

=
(6.13)

Dầm lm từ vật liệu giòn, vì
kn
ch ch



phải viết 2 điều kiện bền:

[]
k
x
zmax
k
k
x
M
W
=
(6.14);
[]
n
n
x
zmin z
n
max n
x

M
W
= =
(6.15)
Tìm vị trí MCN có ứng suất pháp lớn nhất. Nếu dầm có MCN không
thay đổi v vật liệu của dầm l dẻo thì lấy ở MCN có mômen uốn lớn nhất.
Trờng hợp dầm có MCN thay đổi ta phải lấy MCN có ứng suất pháp lớn
nhất. Trờng hợp dầm lm bằng vật liệu giòn ta phải tìm MCN thoả mãn các
biểu thức (6.14), (6.15) (kéo - nén).

Hình 6.6
Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

51
III. Uốn ngang phẳng

Uốn ngang phẳng, trên MCN của thanh có ứng suất pháp do
mômen uốn v ứng suất tiếp do lực ngang gây ra. Hình 6.7 mô tả hiện
tợng uốn ngang (trục bị uốn cong), lm cho các MCN ban đầu không
còn phẳng nữa sau khi bị uốn ngang.

Hình 6.7
1. ứ
ng suất pháp
Trong uốn phẳng, lực cắt ứng suất tiếp. Các ứng suất tiếp phân bố theo
chiều cao mặt cắt không đều. Do ảnh hởng đó, các biến dạng góc cũng có
trị số thay đổi theo chiều cao của MCN lm cho mặt cắt sau khi bị uốn không
còn phẳng nữa m hơi bị vênh theo chữ S (hình 6.8).
Nếu lực cắt bằng hằng số thì MCN đều vênh nh nhau
sự vênh không ảnh hởng đến độ dãn hoặc độ co

công thức tính ứng suất pháp (6.2) vẫn còn đúng
trong trờng hợp uốn ngang phẳng:
x
z
x
M
y
J
=
.
2. ứ
ng suất tiếp

ứng suất tiếp trên MCN:
zx
v
zy
(hình 6.9a). Theo định luật đối ứng
ứng suất tiếp (mặt ngoi dầm không chịu ngoại lực theo phơng z)
zx

=0, có nghĩa tại điểm xét có =
zy
. Từ lý thuyết đn hồi giả thiết:
Tất cả các ứng suất tiếp trên MCN đều // với lực cắt.
ứng suất tiếp phân bố đều theo chiều rộng của MCN.
Tách từ dầm một đoạn có chiều di dz (hình 6.9), sau đó bằng mặt cắt
ABCD song song v cách mặt phẳng Oxz một khoảng y chia đoạn thanh
ny thnh hai phần v xét phần không chứa gốc O (ABCDEFGH).
Hình 6.8

Chơng 6. Uốn phẳng thanh thẳng

52

Gọi
12

z z
va
l ứng suất pháp trên các mặt cắt 11 v 22, b(y) = AB v
c
F
l diện tích của mặt cắt ABEF, b
c
chiều rộng của phần diện tích đó tại
điểm cách trục trung ho y. Có thể thấy:

+
= =
12
xzx
zz
xx
MMdM
y; y
JJ
(a)
Xét sự cân bằng phân tố phần dới, ta có:

12

cc
zz z yzc
FF
FdFdFb.dz0= + =


.
(b)
Thay (a) vo (b) v chú ý rằng
=
x
y
dM
Q
dz
, ta có:

==

c
y
zy yz
c
x
F
Q.y
dF
Jb

.

= =

c
c
yyx
zy
cc
xx
F
QQS
ydF
J bJb
(6.16)
trong đó
()
c
x
Sy
l mômen tĩnh của diện tích F
c
đối với trục trung ho x.Với
mặt cắt l dải chữ nhật hẹp:

c
c
x
FS =
(6.17)
- toạ độ trọng tâm phần tiết diện bị cắt đối với trục trung ho.
Công thức (6.16) đợc gọi l công thức Juravxky (1855). Công thức

ny cho thấy: trị số ứng suất tiếp ứng với "lớp thớ dọc" bất kì cách trục
trung ho x một khoảng y, tỉ lệ thuận với lực cắt Q
y
v mômen tĩnh S
x
(y)
của phần MCN giới hạn bởi "lớp thớ" đó, nhng tỉ lệ nghịch với mômen
quán tính J
x
của MCN v chiều rộng b(y) của "lớp thớ" đợc xét.



x
y
Q
y


zy


zx


tp

a)
b)
c)

Hình 6.9