slide bài giảng bai2 tich phan

KIỂM TRA BÀI CŨ
Cho hàm số y = f(t) = 2t + 1
1.Tìm họ nguyên hàm F(t) của hàm số đó .
2.Tính F(5) – F(1).

Đáp án

1. Họ ngun hàm của hàm số f(t) là F(t) = t2 + t + C , C R.

2. Ta có F(5) – F(1) = 25 +5 + C – 1 – 1 – C = 28


TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong

TÍCH PHÂN

BÀI 2

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Hoạt động 1
y
11

y = 2x + 1

f(t)

gsp
3
O1

S

x
t 5

Graph

Gọi T hình thang vng giới hạn bởi đường thẳng y =2x + 1 ,
trục hoành và hai đường thẳng x = 1 , x = t ( 1  t  5 ) .
1. Tính diện tích S của hình thang T khi t = 5
2. Tính diện tích S(t) của hình thang T khi t [ 1 ; 5]
3. Chứng minh rằng :
S(t) là một nguyên hàm của f(t) = 2t + 1 , t [1 ; 5].


TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH

TÍCH PHÂN

BÀI 2

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong

y

y = f(x)
B

A

x
O 1 a

gsp2

b

Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ].
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và
Hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong .


TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN

TÍCH PHÂN

BÀI 2

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong

1.Diện tích hình thang
cong

y
y = f(x)

a

x


A

1

x

gsp

Hình phẳng trên đây có phải là một hình thang cong
theo định nghĩa trên không ?

BÀI 2

TIẾT 46
Nội dung

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

3

x
F ( x)   C , C  R
3

I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN

1.Diện tích hình thang
cong

1. Diện tích hình thang cong

Hình thang cong sau được giới hạn bởi các đường nào ?

Hình thang cong như thế cịn gọi là hình tam giác cong .
Ví dụ 1

Cho hình thang cong giới hạn bởi đường cong y
= x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x =

1.
1.Tìm họ nguyên hàm F(x) của hàm số đã cho .
2. Tính F(1) – F(0) .
3.Tính diện tích S của hình phẳng đó .

y

y =x2

1

x
O

x

gsp

1


TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong

TÍCH PHÂN

BÀI 2

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong

Trả lời
1. Họ nguyên hàm của hàm
số y = x2 là :

3

y

3

1 0 1
2. F(1) - F(0)   C   C 
3 3 3

y =x2

1

x3
F ( x)   C , C  R
3
3

2 . F(1) - F(0) 

3

1
0
1
C 
 C
3
3
3

O

x

x

1

Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này .
Tính S(0)
Tính S(1)
Graph


BÀI 2

TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH

PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong

Gọi S(x) là diện tích của hình thang cong này .
S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2

.

Người ta chứng minh được S’(x) = x2 , x [0 ; 1 ]

y
A

1

y = f(x)
F

O

gsp

E

Q

P

M
x

N
x+h

x
1


BÀI 2

TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN

1.Diện tích hình thang
cong

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Diện tích S(x) của hình thang cong đã cho là một hàm số theo x
và S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2 trên [ 0 ; 1 ].

Tính S(x)

x3
F(x)  là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x2
3
3
x
S
(
x
)
C
, C

R
3
Mà S(0) = 0 nên C = 0

Vậy:

Ví dụ

S(3) = 9

x3
S(x) 
3
S (1) 

1

3


TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong

BÀI 2

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = f(x) lên tục , không đổi dấu trên đoạn [ a ; b ].
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y =f(x) , trục hoành và
hai đường thẳng x = a , x = b được gọi là hình thang cong .
Với mỗi x  [ a ; b ] , kí hiệu S(x)
của phần hình thang cong đó nằm
giữa hai đường thẳng vng góc
với trục Ox lần lượt tại a và tại x
.

Ta cũng chứng minh được
S(x) là một nguyên hàm của
hàm số f(x) trên đoạn [a ; b ] .
S(a) = 0

y

y = f(x)
B
A

M
O 1 a

E

x

gsp

N

K
b

x


TIẾT 46
Nội dung
I.KHÁI NiỆM TÍCH

BÀI 2

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN
1. Diện tích hình thang cong

PHÂN
1.Diện tích hình thang
cong

Với mỗi x  [ a ; b ] , kí hiệu
S(x) của phần hình thang cong
đó nằm giữa hai đường thẳng
vng góc với trục Ox lần lượt
tại a và tại x .

y

y = f(x)
B
A

M
O 1 a

E

x

N

K

b

Chứng minh rằng :
Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn
[a ; b] thì sao S(b) = F(b) – F(a) .
Vì F(x) cũng là một nguyên hàm của hàm số f(x) nên
ta có
S(x) = F(x) + C , với C là một hằng số thực .
Mà S(a) = 0 , do đó S(a) = F(a) + C = 0
Suy ra C = - F(a)
Graph
Vậy S(b) = F(b) – F(a) .

x


TIẾT 46
Nội dung

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN

1. Diện tích hình thang cong
2. Định nghĩa tích phân

1.Diện tích hình thang

cong
y

BÀI 2

?2

y = f(x)
B

A
E
M
O 1 a

x

N

K
b

S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích
phân

x

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b ] .
F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x) .
Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a)
Với mỗi x  [a ; b] ,gọi S(x) là diện tích của hình
thang cong đã cho giới bởi đồ thị của f(x) , trục hoành
và các đường thẳng vng góc với trục hồnh tại a và
tại x .
Vì F( x) và G(x) là các nguyên hàm của hàm số f(x)
trên đoạn [a ; b] nên ta có :
S(b) = F(b) – F(a)
S(b) = G(b) – G(a)
Do đó F(b) – F(a) = G(b) – G(a) .


BÀI 2

TIẾT 46
Nội dung

I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN

I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN

2. Định nghĩa tích phân

1.Diện tích hình thang
cong
y

TÍCH PHÂN

Định nghĩa :
b

b

f ( x)dx F ( x) a F (b)  F (a)

y = f(x)
B

a

A
E
M
O 1 a

x

N

K
b

x

b

Ta gọi



Là dấu tích phân , a là cận dưới , b là cận trên

a

S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích
phân

f(x)dx gọi là biểu thức dưới dấu tích phân
Chú ý :

f(x) là hàm số dưới dấu tích phân .

a

b

f ( x)dx 0

f ( x)dx  f ( x)dx

a

a

a

b


TIẾT 46
Nội dung

I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN

I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN

2. Định nghĩa tích phân

1.Diện tích hình thang
cong
y

b

f ( x)dx F ( x)

B

A

a

F (b)  F (a )

a

E

x

Định nghĩa :
b

y = f(x)

M
O 1 a

TÍCH PHÂN

BÀI 2

N

K
b

x

2

S( b) = F( b) – F(a)

F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích
phân

Ví dụ 2

Tính

2 xdx
1

2

Giải

1)

2 xdx x
1

2 2
1

2 2  1 4  1 3


BÀI 2

TIẾT 46

Nội dung

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NiỆM TÍCH PHÂN

I.KHÁI NiỆM TÍCH
PHÂN

2. Định nghĩa tích phân

1.Diện tích hình thang
cong

Ví dụ 3
Tính các tích phân sau :

1/
y

y = f(x)

1/

A
E
M
O 1 a

x

e

4

B

x dx
�
2

2/

1

N

K
b

1
1 t dt

x

Giải
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích

phân

4

1/

4
3

3 3
x
4
1
2
x
d
x
  
2
1
�
3
33
1
1

e

1
e

2)  dt ln 1 ln e  ln 1 1  0 1
t
1


TIẾT 46
Nội dung

2. Định nghĩa tích phân

1.Diện tích hình thang
cong
y = f(x)
B

A
E
M
O 1 a

x

N

K
b

TÍCH PHÂN

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN

y

BÀI 2

Nhận xét :
a/ Tích phân của một hàm số f từ a đến b chỉ
phụ thuộc vào quy tắc f và các cận a , b mà
không phụ thuộc vào kí hiệu biến x , t .

x

S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích
phân

b/ Ý nghĩa hình học của tích phân .
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn
[a ; b ] ,thì tích phân là diện tích S của hình
thang cong giới hạnbởi đồ thị của f(x) , trục Ox
và hai đường thẳng
x =a; x=b.


TIẾT 46

Nội dung

BÀI 2
Củng cố :

I.KHÁI NIỆM TÍCH
PHÂN

y

1.Diện tích hình thang
cong
y

y = f(x)
B

A
E
M
O 1 a

x

N

TÍCH PHÂN

x

K
b

Sử dụng ý nghĩa của
tích phân hãy tính
diện tích hình thang
cong bên .

y = x2
1
x
O

1

2

Giải :
S( b) = F( b) – F(a)
F(x) là một nguyên
hàm của f(x)
2. Định nghĩa tích
phân
b

b

f ( x)dx  F ( x) a
�
a

 F (b)  F ( a)

Hình thang cong trên được giới hạn bởi đồ thị hàm
số
y = x2 , trục hoành và các đường thẳng x = 1 , x = 2
2
.
2
3
3
2
x
2
1
7
2
Do đó diện
tích
S
của
hình
thang
cong
trên
là :
x
d
x




S= �
3
3 33
1
1


HƯỚNG DẪN VỀ NHÀ
1. Học khái niệm hình thang cong , diện tích hình thang cong.
2. Học định nghĩa tích phân xác định , các kí hiệu và cách đọc
các
kí hiệu đó ; cách tính tích phân ; xem lại các ví dụ .
3. Ý nghĩa hình học của tích phân .
4. Làm bài tập 1 , 2 SGK .