Một số phương trình với đạo hàm cấp không nguyên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN BẢO NGỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHƠNG NGUN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC

TP. Hồ Chí Minh – 2020


VIET NAM NATIONAL UNIVERSITY - HO CHI MINH
UNIVERSITY OF SCIENCE

TRAN BAO NGOC

SOME EQUATIONS
WITH FRACTIONAL DERIVATIVES

Doctoral Thesis

Ho Chi Minh City – 2020


ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HCM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

TRẦN BẢO NGỌC

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH
VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHƠNG NGUN
Ngành: Tốn giải tích
Mã số Ngành: 9460102
Phản biện 1: PGS.TS. Nguyễn Đình Huy
Phản biện 2: PGS.TS. Mai Đức Thành
Phản biện 3: PGS.TS. Lê Xuân Trường
Phản biện độc lập 1: miễn
Phản biện độc lập 2: miễn

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Huy Tuấn

TP. Hồ Chí Minh – 2020


LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan luận án tiến sĩ ngành Tốn giải tích, với đề tài "Một số phương
trình với đạo hàm cấp khơng ngun" là cơng trình khoa học do Tôi thực hiện
dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn.
Những kết quả nghiên cứu của luận án hồn tồn trung thực, chính xác và
khơng trùng lắp với các cơng trình đã cơng bố trong và ngồi nước.

Nghiên cứu sinh

Trần Bảo Ngọc

i

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên với tình cảm sâu sắc và chân thành nhất, cho phép tơi được bày
tỏ lịng biết ơn đến Thầy hướng dẫn - PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn. Thầy đã
tận tình hướng dẫn, quan tâm tơi rất nhiều trong suốt thời gian học tập. Thầy
luôn động viên và giúp đỡ tơi trước những khó khăn của việc học tập cũng
như trong cuộc sống. Ngoài những kiến thức chun mơn, Thầy ln giúp tơi
có thật nhiều động lực và cảm hứng để có thể hồn thành luận án này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy, Cô Trường Đại học Khoa học Tự
nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình dạy dỗ, truyền
đạt những kiến thức quý báu, đặc biệt là quý Thầy, Cơ của Khoa Tốn - Tin.
Tơi xin chân thành cảm ơn quý Phòng, Ban đã giúp đỡ về các quy chế học vụ.
Tôi xin cảm ơn sâu sắc đến Trường Đại học Nơng Lâm Thành phố Hồ Chí
Minh đã tạo điều kiện để tơi có thể an tâm học tập cũng như hồn thành các
cơng việc của nhà trường. Bên cạnh đó, tơi xin chân thành cảm ơn q Thầy,
Cơ, Thủ trưởng đơn vị đã luôn động viên và giúp đỡ tôi.
Tôi xin cảm ơn sự hỗ trợ cũng như tình cảm nhiệt thành của các bạn trong
Nhóm nghiên cứu. Tôi cũng xin cảm ơn các bạn nghiên cứu sinh ngành Tốn
Giải tích, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Thành phố
Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và ủng hộ tơi trong suốt q trình học tập.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, cảm ơn vợ tôi đã luôn là chỗ dựa vững
chắc và cho tơi những động lực lớn để tơi có thể hồn thành chương trình học
và luận án tiến sĩ này.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận án khó tránh khỏi thiếu sót, rất mong
nhận được sự chỉ bảo của quý Thầy, Cơ, và sự góp ý chân thành của bạn bè,
quý độc giả.

ii

TRANG THÔNG TIN LUẬN ÁN

Tên đề tài luận án: Một số phương trình với đạo hàm cấp khơng ngun
Ngành: Tốn giải tích
Mã số Ngành: 9460102
Họ tên nghiên cứu sinh: TRẦN BẢO NGỌC
Khóa đào tạo: 2018
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN HUY TUẤN
Cơ sở đào tạo: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG.HCM

1. TÓM TẮT NỘI DUNG LUẬN ÁN:
Kết quả của luận án này được tổng hợp từ 3 bài báo đã được cơng bố trên
các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers and Mathematics with Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, và được chia thành 3 chương chính sau đây

• Chương 4: Bài tốn biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến
với đạo hàm cấp không nguyên



∂αt u( x, t) − u xx ( x, t) = f ( x, t, u( x, t)), x > 0, t > 0,






u( x, 0) = 0,
x ≥ 0,










u(0, t) = g(t),

t ≥ 0,

u x (0, t) = h(t),

t ≥ 0,

(1)

trong đó α ∈ (0, 1), ∂αt là đạo hàm Caputo cấp α theo thời gian, hàm nguồn
phi tuyến f và các dữ liệu biên g, h thỏa mãn một số giả thiết cho trước.
Bài tốn này được chỉ ra khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard, và được đề
xuất chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt Fourier. Kết quả chính của chương
iii


này là đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác trong
khơng gian L2 (R).

• Chương 5: Bài toán giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch
tán phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun



∂αt u( x, t) + Au( x, t) = F ( x, t, u( x, t)), x ∈ Ω, 0 ≤ t < T,





u( x, t) = 0,
x ∈ O , 0 ≤ t < T,

m



u
(
x,
T
)
−
(
G
(
u
))(
x
)
=

∑ ϑj u(x, t j ), x ∈ Ω,



(2)

j =1

trong đó O ký hiệu biên của Ω ⊂ Rd , ∂αt là đạo hàm Caputo cấp α ∈ (0, 1)
theo thời gian, A là toán tử elliptic xác định dương, các hàm phi tuyến F, G,
các hệ số ϑ j , và các điểm thời gian t j thỏa mãn một số giả thiết cho trước.
Kết quả chính của chương này là sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài tốn
α ((0, T ]; L2 ( Ω )) thông qua định lý điểm bất động Krasnoselskii.
trong Cw

• Chương 6: Bài tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến
với đạo hàm cấp khơng nguyên



∂αt u( x, t) + Au( x, t) = F ( x, t, u( x, t), v( x, t)), x ∈ Ω, 0 ≤ t < T,






 ∂αt v( x, t) + Bv( x, t) = G ( x, t, u( x, t), v( x, t)), x ∈ Ω, 0 ≤ t < T,



u( x, t) = 0, v( x, t) = 0,






 u( x, T ) = h ( x ), v( x, T ) = h ( x ),
2
1

(3)

x ∈ O , 0 ≤ t < T,
x ∈ Ω,

trong đó O ký hiệu biên của Ω ⊂ Rd , ∂αt là đạo hàm Caputo cấp α ∈ (0, 1)
theo thời gian, A, B là các toán tử elliptic xác định dương, các hàm phi tuyến
F, G, và dữ liệu tại thời điểm cuối h1 , h2 thỏa mãn một số giả thiết cho trước.
Kết quả chính của chương này là sự tồn tại nghiệm tích phân trong khơng
gian W p,∞ (0, T; Ω). Hơn nữa, việc áp dụng kết quả chính thu được sự tồn tại
nghiệm tích phân của một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình tích
phân Volterra với đạo hàm, tích phân cấp không nguyên.
iv


2. NHỮNG KẾT QUẢ MỚI CỦA LUẬN ÁN:
Luận án chứa đựng nhiều kết quả mới, mạnh hơn những kết quả đã có, và
được cơng bố trên các tạp chí khoa học uy tín trên thế giới. Trong luận án này,
chúng tơi đưa ra các kết quả mới sau

• Chỉ ra sự không chỉnh, đề xuất phương pháp chặt cụt Fourier chỉnh hóa

bài tốn biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm
cấp không nguyên. Như đã biết, các bài tốn khơng chỉnh chứa hàm nguồn
phi tuyến ln là các bài tốn hóc búa và khó xử lý.
α ((0, T ]; L2 ( Ω )), và
• Xây dựng các tính chất compact trong khơng gian Cω

thiết lập sự tồn tại nghiệm tích phân cho bài tốn điều kiện cuối phi địa
phương với đạo hàm cấp không nguyên thơng qua định lý điểm bất động
Krasnoselskii.

• Thiết lập được sự tồn tại nghiệm tích phân của bài tốn giá trị cuối cho
hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp không nguyên trong
trường hợp A = B. Giải quyết được một lớp bài toán giá trị cuối cho hệ
phương trình tích phân Volterra tương ứng.
3. CÁC ỨNG DỤNG/KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG TRONG THỰC TIỄN HAY
NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN BỎ NGỎ CẦN TIẾP TỤC NGHIÊN CỨU:
Trong tương lai, chúng tôi sẽ mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau

• Hướng 1: Khảo sát sự tồn tại, tính chính qui nghiệm cho các bài toán giá
trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện phi địa phương với các đạo hàm
cấp khơng ngun theo cả biến thời gian và khơng gian.

• Hướng 2: Khảo sát sự tồn tại nghiệm cổ điển, tính chất tắt dần, bùng nổ...
của nghiệm cho các bài toán giá trị biên/giá trị đầu/giá trị cuối/điều kiện
phi địa phương với các đạo hàm cấp không nguyên theo cả biến thời gian và
không gian.
v


• Hướng 3: Mở rộng hai hướng nghiên cứu trên cho các loại đạo hàm cấp

khơng ngun có nhiều ứng dụng trong khoa học kỹ thuật. Ngoài ra, khảo
sát thêm các bài toán mở với đạo hàm cấp nguyên theo chủ đề của luận án.

• Hướng 4: Nghiên cứu các hướng 1 và 2 ở trên cho các phương trình vi
phân - đạo hàm riêng ngẫu nhiên.

vi


THESIS INFORMATION

Thesis title: Some equations with fractional derivatives
Speciality: Mathematical Analysis
Code: 9460102
Name of PhD Student: TRAN BAO NGOC
Academic year: 2018
Supervisor: Associate Professor NGUYEN HUY TUAN
At: VNUHCM - University of Science

1. SUMMARY:
Results of this thesis have been combined from 3 papers, which are published on Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers and Mathematics with Applications, Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. We divide this thesis into three main chapters as follows

• Chapter 4 studies a sideways problem for the time fractional diffusion
equation with nonlinear source



∂αt u( x, t) − u xx ( x, t) = f ( x, t, u( x, t)), x > 0, t > 0,







u( x, 0) = 0,
x ≥ 0,









u(0, t) = g(t),

t ≥ 0,

u x (0, t) = h(t),

t ≥ 0,

(4)

where α ∈ (0, 1), ∂αt is the Caputo’s derivative of fractional order α with respect to time variable, the nonlinearity f and data g, h are satisfied some assumptions.
This problem is ill-posed in the sense of Hadamard. We propose the Fourier
vii

truncation method to regularize this problem. Our main result is the error estimate between regularized and exact solutions in the space L2 (R).

• Chapter 5 investigates a time fractional semilinear differential equation
with nonlocal final condition


∂αt u( x, t) + Au( x, t) = F ( x, t, u( x, t)), x ∈ Ω, 0 ≤ t < T,





u( x, t) = 0,
x ∈ O , 0 ≤ t < T,

m




 u( x, T ) − ( G (u))( x ) = ∑ ϑ j u( x, t j ), x ∈ Ω,

(5)

j =1

where O denotes the boundary of Ω ⊂ Rd , ∂αt is the Caputo’s derivative of
fractional order α ∈ (0, 1) with respect to time variable, A is an elliptic operator and is positive definite, the nonlinearities F, G, and ϑ j , t j are satisfied
some assumptions.
The main result of this chapter is existence of a mild solution in the space

α ((0, T ]; L2 ( Ω )), which is obtained by applying the fixed-point theorem KrasCw

noselskii.

• Chapter 6 is devoted to study a final value problem for the nonlinear
fractional diffusion system



∂αt u( x, t) + Au( x, t) = F ( x, t, u( x, t), v( x, t)), x ∈ Ω, 0 ≤ t < T,






 ∂αt v( x, t) + Bv( x, t) = G ( x, t, u( x, t), v( x, t)), x ∈ Ω, 0 ≤ t < T,



u( x, t) = 0, v( x, t) = 0,





 u( x, T ) = h ( x ), v( x, T ) = h ( x ),
2
1

(6)

x ∈ O , 0 ≤ t < T,
x ∈ Ω,

where O denotes the boundary of Ω ⊂ Rd , ∂αt is the Caputo’s derivative of
fractional order α ∈ (0, 1) with respect to time variable, A, B are elliptic operators and are positive definite, the nonlinearities F, G, the final value data
h1 , h2 are given.
The main result of this chapter is existence of a mild solution in the product
space W p,∞ (0, T; Ω). Moreover, this result can be applied to derive existence of
viii


mild solutions to a class of final value problems for fractional Volterra integrodifferential systems.
2. NOVELTY OF THESIS:
Thesis contains many new results, which have been published on prestigious scientific journals. The novelty of thesis can be mentioned as follows

• Showing the ill-posedness and proposing the Fourier truncation method
to regularize a sideways problem for the time fractional diffusion equation
with nonlinear source. Here, it is well-known that regularizing nonlinear problems are always difficult with many challenges.
α ((0, T ]; L2 ( Ω )), and es• Constructing compact properties in the space Cω

tablishing existence of a mild solution for the time fractional semilinear differential equations with a nonlocal final condition due to the fixed-point theorem Krasnoselskii.

• Establishing existence of a mild solution to final value problems for the
nonlinear fractional diffusion systems in the case A = B. Establishing existence of a mild solution to a class of final value problems for fractional
Volterra integro-differential systems.
3. APPLICATIONS/APPLICABILITY/PERSPECTIVE:
In the near future, we will extend our research to the following topics

• Topic 1: Existence, uniqueness, and regularity for boundary value problems/ initial value problems/final value problems/problems with nonlocal
condition containing both space-time fractional derivatives.

• Topic 2: Decay, blowup, asymptotic behaviors properties... of solutions
for boundary value problems/initial value problems/final value problems
or problems with nonlocal condition containing both space-time fractional
derivatives.
ix


• Topic 3: Extending the two first topics to many kinds of fractional derivatives, which are widely applied in many fields of science. Furthermore, some
open problems with well-known integer derivatives will be considered.

• Topic 4: Considering the two first topics above for stochastic differential
equations/stochastic partial differential equations.

x


Mục lục

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Trang thông tin luận án tiếng Việt

iii

Trang thông tin luận án tiếng Anh

vii

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

xv

1

2

MỞ ĐẦU

1

1.1

Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Đối tượng nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4

Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài . . . . . . . . . . . . . . .

3

TỔNG QUAN

4

2.1

Tình hình nghiên cứu trên thế giới . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.2

Tình hình nghiên cứu trong nước . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Mục tiêu nghiên cứu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Nội dung nghiên cứu của luận án . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
xi


3

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.1

3.2

4

14

Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1

Các phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.2

Tiếp cận nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Cơ sở lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1

Các hàm số cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.2

Giải tích khơng ngun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2.3

Các phép biến đổi tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2.4

Bài tốn khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard . . . . . . . 25

3.2.5

Toán tử elliptic đều, đối xứng, và xác định dương . . . . 26

3.2.6

Phương trình vi phân với đạo hàm cấp khơng ngun . . 27

3.2.7

Một số định lý điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . 29

BÀI TOÁN BIÊN MỘT BÊN
CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN
VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHƠNG NGUN

31

4.1

Nghiệm Fourier của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2

Sự không chỉnh của bài tốn

4.3

Phương pháp chỉnh hóa chặt cụt Fourier . . . . . . . . . . . . . . 38

4.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3.1

Mơ hình nghiệm chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3.2

Tính chỉnh của mơ hình chỉnh hóa . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.3

Đánh giá sai số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Kết luận chương 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

xii


5

BÀI TỐN GIÁ TRỊ CUỐI PHI ĐỊA PHƯƠNG
CHO PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN
VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHÔNG NGUYÊN
5.1

5.2

6

50

Dạng nghiệm tích phân và các giả thiết . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.1

Các giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.1.2

Dạng nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Một số tính chất của các tốn tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 57
5.2.1

Tính bị chặn của tốn tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 57

5.2.2

Tính liên tục của toán tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2.3

Tính compact của toán tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . 61

5.2.4

Tính compact tương đối trong khơng gian có trọng . . . 64

5.3

Sự tồn tại nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4

Kết luận chương 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI
CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHUẾCH TÁN PHI TUYẾN
VỚI ĐẠO HÀM CẤP KHƠNG NGUN
6.1

6.2

6.3

74

Dạng nghiệm tích phân và các giả thiết . . . . . . . . . . . . . . 77
6.1.1

Các giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1.2

Dạng nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Tính chất các tốn tử và đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . 80
6.2.1

Tính chất tốn tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

6.2.2

Đánh giá tiên nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

Sự tồn tại nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
xiii


7

6.4

Hệ phương trình tích phân Volterra với nhân kỳ dị . . . . . . . . 89

6.5

Kết luận chương 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

92

TÀI LIỆU THAM KHẢO

94

DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA NCS

xiv

104


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

R

: Tập hợp số thực.

C

: Tập hợp số phức.

B( X, Y )

: Khơng gian các tốn tử tuyến tính bị chặn từ X vào Y,
trong đó X, Y là các khơng gian Banach.

C ([0, T ]; X )

: Không gian tất cả các hàm liên tục từ [0, T ] vào X.

α ((0, T ]; X ) : Không gian tất cả các hàm v liên tục từ (0, T ] vào X thỏa
Cω

v
L p (0, T; X )

α
Cω

:= sup tα v(t)

X

< ∞.

0< t ≤ T

: Không gian gồm các lớp tương đương chứa hàm đo được
v từ [0, T ] vào X đối với chuẩn

1/p
T

p

v(t) X dt
, 1 ≤ p < ∞,
v L p (0,T;X ) :=
0


ess sup0≤t≤T v(t) X . p = ∞.

V p,∞ (0, T; Ω) : Không gian giao định nghĩa bởi
V p,∞ (0, T; Ω) = L p (0, T; H 2 (Ω)) ∩ L∞ (0, T; L2 (Ω)),
trang bị chuẩn v

V p,∞

= v

L p (0,T;H 2 (Ω))

+ v

L∞ (0,T;L2 (Ω)) ,

với mọi v ∈ V p,∞ (0, T; Ω).
W p,∞ (0, T; Ω) : Không gian tích định nghĩa bởi
W p,∞ (0, T; Ω) = V p,∞ (0, T; Ω) × V p,∞ (0, T; Ω),
trang bị chuẩn w

W p,∞

= u

w = (u, v) ∈ W p,∞ (0, T; Ω).

xv

V p,∞

+ v

V p,∞ ,

với mọi


Chương 1
MỞ ĐẦU

Kết quả của luận án này được tổng hợp từ các bài báo [A1,A2,A3] đã được
công bố trên các tạp chí Journal of Inverse and Ill-posed Problems, Computers
and Mathematics with Applications, và Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.
Bài báo [A1] khảo sát bài toán biên một bên cho phương trình khuếch tán
phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun. Bài tốn này là khơng chỉnh theo

nghĩa Hadamard. Nghiệm chỉnh hóa được xây dựng dựa trên việc chặt cụt
tần số lớn trong khai triển Fourier. Kết quả chính của bài báo là các đánh giá
sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác dựa trên giả thiết về mức
độ sai số của dữ liệu đo đạc, nghiệm chính xác, và tham số chỉnh hóa.
Bài báo [A2] khảo sát bài toán giá trị cuối phi địa phương cho phương trình
khuếch tán phi tuyến với đạo hàm cấp khơng nguyên. Kết quả chính của bài
báo là các thiết lập về sự tồn tại nghiệm tích phân của bài tốn, và được xây
dựng dựa vào định lý điểm bất động Krasnoselskii với một số giả thiết phù
hợp cho các hàm phi tuyến.
Bài báo [A3] khảo sát bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán
phi tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun. Kết quả chính của bài báo là sự
tồn tại nghiệm tích phân của bài tốn ứng với giả thiết phù hợp trên các hàm
phi tuyến. Ngoài ra, bài báo cịn giải quyết một lớp bài tốn giá trị cuối cho hệ
phương trình tích phân Volterra với đạo hàm, tích phân khơng ngun.
1


Luận án chứa đựng nhiều kết quả mới, mạnh hơn những kết quả đã có,
và được cơng bố trên các tạp chí khoa học uy tín trên thế giới. Đặc biệt, từ
hai chương 5 và 6, luận án đã xây dựng được hướng đi riêng trong lĩnh vực
phương trình đạo hàm riêng: Khảo sát sự tồn tại nghiệm và tính chính qui nghiệm
cho các bài tốn giá trị cuối và điều kiện cuối phi địa phương.
Một phần các kết quả này đã được báo cáo tại Hội nghị khoa học lần thứ
XI của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, 09-10/11/2018,
Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 9, Nha Trang 14-18/8/2018, Hội nghị
Toán học Miền Trung Tây Nguyên lần thứ 3, Trường Đại học Tây Nguyên,
02-04/08/2019.

1.1

Lý do chọn đề tài

Các vấn đề liên quan đến Phương trình vi phân - đạo hàm riêng cấp không
nguyên là một hướng nghiên cứu mới mẻ, có nhiều tiềm năng để phát triển
cũng như có nhiều thử thách. Sau một thời gian theo học, nghiên cứu dưới sự
chỉ dẫn của PGS. TS. Nguyễn Huy Tuấn, năm 2018 tôi bắt đầu gặt hái được
những kết quả bước đầu khả quan về hướng nghiên cứu này.
Bản thân tôi chọn hướng nghiên cứu này chủ yếu từ sự định hướng của
Thầy Nguyễn Huy Tuấn. Bên cạnh đó, sự đam mê nghiên cứu cũng như
những kết quả khả quan đã thúc đẩy tôi đi theo hướng nghiên cứu này, và
lựa chọn đề tài “Một số phương trình với đạo hàm cấp khơng ngun”.

1.2

Đối tượng nghiên cứu

Đề tài xem xét các bài tốn sau
• Bài tốn biên một bên cho phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo
hàm cấp không nguyên.

2


• Bài toán giá trị cuối phi địa phương cho phương trình khuếch tán phi
tuyến với đạo hàm cấp khơng ngun.
• Bài tốn giá trị cuối cho hệ phương trình khuếch tán phi tuyến với đạo
hàm cấp không nguyên.

1.3

Phạm vi nghiên cứu

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân - đạo
hàm riêng, tập trung chính vào các phương trình đạo hàm riêng cấp khơng
ngun.

1.4

Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Trước hết, đề tài góp phần nâng cao phong trào nghiên cứu, thứ hạng và uy
tín khoa học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG - HCM ở trong
nước cũng như trên trường quốc tế.
Các kết quả của đề tài công bố trên tạp chí khoa học quốc tế có uy tín sẽ
tiếp tục trình bày thảo luận trong các nhóm Sêmina để các thành viên trong
nhóm học hỏi, tiếp cận thêm các cơng cụ mới. Từ đó, đề tài sẽ gợi mở và làm
nảy sinh một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu. Mặt khác, đề tài cũng ứng
dụng trực tiếp trong giảng dạy, đào tạo cùng với việc triển khai nó vào các đề
tài luận án tiến sĩ và luận văn thạc sĩ.
Đề tài tập trung nghiên cứu theo hướng khảo sát các bài tốn liên quan đến
mơ hình tốn học cho những vấn đề được đặt ra trong khoa học kỹ thuật. Vì
vậy, kết quả nghiên cứu của đề tài góp phần giải quyết nhiều bài tốn ứng
dụng khác nhau trong các lĩnh vực khoa học công nghệ, vật lý, cơ học, y học,
xử lý ảnh, kinh tế... Ngồi ra, những kết quả về tính chính qui và tính ổn định
nghiệm có ảnh hưởng quan trọng trong việc xây dựng các phương pháp sai
phân hữu hạn hay phương pháp phần tử hữu hạn ứng dụng vào thực tế.
3


Chương 2

TỔNG QUAN
Giải tích Tốn học là một trong những nhánh chính của Tốn học, và có
ứng dụng rộng rãi trong hầu hết các ngành khoa học như vật lý, sinh học,
cơng nghệ hố, điều khiển tối ưu, tài chính, xử lý tín hiệu... Các bài tốn khoa
học, thực tiễn thường được mơ hình thành những phương trình vi phân đạo hàm riêng mà trong đó khái niệm đạo hàm, tích phân đóng vai trị cốt
lõi. Trong những năm gần đây, rất nhiều bài tốn đã khơng thể mơ hình hố
bởi đạo hàm, tích phân cấp ngun như các phương trình elliptic, parabolic
hay hyperbolic đã biết. Việc mơ hình hố các bài toán như vậy dẫn đến khái
niệm đạo hàm, tích phân cấp khơng ngun thay cho đạo hàm cấp ngun
quen thuộc. Vì thế, Giải tích khơng ngun (bao gồm đạo hàm, tích phân cấp
khơng ngun và các vấn đề liên quan) trở thành một trong những hướng
nghiên cứu quan trọng của Giải tích Tốn học.
Giải tích khơng ngun khởi nguồn ở thế kỷ XVII bởi câu hỏi của Guillaume de l’Hôpital (1661-1704) với Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) về
đạo hàm d1/2 /dx1/2 . Từ thời gian này đến thế kỷ XX, nhiều định nghĩa tích
phân, đạo hàm cấp khơng ngun như Riemann-Liouville, Caputo, Weyl,
Hadamard... được hình thành. Đầu thế kỷ XX, Giải tích khơng ngun được
lý giải thơng qua các ứng dụng trong vật lý và hình học. Cuối thế kỷ XX - đầu
thế kỷ XXI, Giải tích khơng ngun phát triển mạnh mẽ và ứng dụng sâu rộng
vào rất nhiều lĩnh vực khoa học với số lượng lớn các bài báo khoa học, sách
chuyên khảo của nhiều nhà toán học trên thế giới như Stefan Grigor’evich

4


Samko và cộng sự [48], Rudolf Gorenflo và cộng sự [20], Kenneth S Miller
và cộng sự [39], Igor Podlubny [44], Kai Diethelm [15]... Đặc biệt, lĩnh vực
phương trình vi phân - đạo hàm riêng cấp không nguyên thu hút được sự
quan tâm lớn trong khoảng vài thập kỷ vừa qua.

2.1

Tình hình nghiên cứu trên thế giới

Các nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng cấp khơng ngun có thể
mơ tả sơ lược như sau. Cho X là một không gian Banach, xét phương trình
∂αt u(t) + Au(t) = F (t, u(t)),

0 < t < T,

(2.1)

trong đó ∂αt ký hiệu đạo hàm Riemann-Liouville, Caputo, Weyl, Hadamard...
cấp α ∈ (0, 1) theo thời gian, A là tốn tử tuyến tính, khơng bị chận, trù mật
trên X, và F là một hàm cho trước.
Trường hợp X là một không gian Banach tổng quát, phương trình (2.1) kết
hợp điều kiện u(0) = u0 ∈ X được gọi là bài toán giá trị đầu cho phương
trình tiến hóa cấp khơng ngun. Các bài tốn dạng này được nghiên cứu
mạnh mẽ trong những năm đầu của thế kỷ XXI dựa trên cơng cụ nửa nhóm
tốn tử và lớp hàm mật độ xác suất, chẳng hạn như kết quả của Yong Zhou
và cộng sự [72], Krishnan Balachandran và cộng sự [32], Rong-Nian Wang và
cộng sự [66].
Trường hợp X là không gian Hilbert hay Sobolev theo biến không gian
x ∈ Ω với Ω ⊆ Rd (d ≥ 1), chẳng hạn như L2 (Ω), Hs (Ω), L p (Ω), W s,p (Ω)
(s ∈ R, p ≥ 1), và A = L với L là toán tử elliptic xác định dương trên Ω,
phương trình (2.1) trở thành phương trình đạo hàm riêng cấp không nguyên
α ∈ (0, 1)
∂αt u( x, t) + Lu( x, t) = F ( x, t, u( x, t)),

x ∈ Ω, 0 < t < T.

(2.2)

Phương trình (2.2) được gọi là phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp
không nguyên. Bởi những ứng dụng rộng rãi trong khoa học kỹ thuật, các
5


bài tốn liên quan đến phương trình này được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán
học trên thế giới với việc xét dữ liệu được cho bởi điều kiện biên (Dirichlet,
Neumann, Robin, hoặc Wentzell), điều kiện về thời gian (điều kiện đầu, điều
kiện cuối, hoặc điều kiện phi địa phương), và một số giả thiết trên hàm phi
tuyến F. Các nghiên cứu này tập trung chính vào hai loại bài tốn sau
Loại I. Thiết lập sự tồn tại và tính chính qui của nghiệm, nghiên cứu các tính
chất nghiệm. Các nghiên cứu hầu hết khảo sát bài toán giá trị đầu/biên cho
phương trình khuếch tán với đạo hàm cấp khơng ngun



∂α u( x, t) + Lu( x, t) = F ( x, t, u( x, t)), x ∈ Ω, 0 < t < T,

 t

x ∈ O , 0 < t < T,

Bu( x, t) = 0,






u( x, 0) = u0 ( x ),

(2.3)

x ∈ Ω,

trong đó O := ∂Ω, B là toán tử trên biên O ứng với một trong các điều kiện
Dirichlet, Neumann, Robin, Wentzell, F là hàm số cho trước, và u0 là dữ kiện
tại thời điểm ban đầu t = 0.
Năm 2010, Yury Luchko [38] đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho
trường hợp thuần nhất F = 0 ứng với việc xét điều kiện biên Dirichlet. Ở kết
quả này, tác giả đã sử dụng nguyên lý cực đại trong [37] và phương pháp khai
triển phổ. Năm 2011, thông qua việc phát triển phương pháp phổ (của toán
tử elliptic đều, đối xứng, và xác định dương), Kenichi Sakamoto và cộng sự
[47] đã thu được sự tồn tại nghiệm trong không gian C ([0, T ]; L2 (Ω)) cho bài
tốn khơng thuần nhất (F = 0 và không phụ thuộc vào u) ứng với điều kiện
biên Dirichlet. Năm 2015, dựa vào giải thức (resolvent) của các toán tử quạt
xác định dương (positive sectorial operator), Alexandre Nolasco Carvalho và
cộng sự [10] đã xử lý trường hợp F là hàm phi tuyến tới hạn, và đạt được sự
tồn tại nghiệm trong không gian C ([0, T ]; X ) với X = Lq (Ω), q ≥ 1. Năm 2019,
Ciprian G. Gal và cộng sự [19] đã khảo sát sự tồn tại nghiệm trong trường hợp
F là hàm phi tuyến Lipschitz địa phương ứng với các điều kiên biên Dirichlet,
Neumann, Robin, Wentzell.
6


Loại II. Sự không chỉnh và các phương pháp chỉnh hóa cho phương trình đạo hàm
riêng cấp khơng ngun. Một cách cụ thể hơn, ta có thể liệt kê các lớp bài tốn
sau

• Các bài tốn biên cho phương trình đối lưu – khuếch tán (advection dispersion) với đạo hàm cấp không nguyên

 ∂α u( x, t) + Lu( x, t) = F ( x, t, u( x, t)), x > 0, t > 0,
t

u( x, 0) = 0,
x > 0,

(2.4)

trang bị hai trong các điều kiện sau
u(0, t) = g0 (t), u(1, t) = g1 (t), u x (0, t) = h0 (t), u x (1, t) = h1 (t),

(2.5)

với t > 0. Một trong các điều kiện trên có thể được thay bởi: lim u( x, t) bị
x →∞

chặn trên miền {t > 0}. Bài toán ứng với các dữ liệu g0 , h0 hoặc g1 , h1 được
gọi là bài toán biên một bên (sideways problems).
Năm 2005, Fenghui Huang và cộng sự [25] đưa ra công thức nghiệm cơ
bản cho phương trình đối lưu – khuếch tán cấp không nguyên. Năm 2010,
Guanghui Zheng và cộng sự [69], nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa phổ
cho bài tốn biên một bên trong trường hợp thuần nhất. Năm 2011, Guanghui
Zheng và cộng sự [70], đề xuất phương pháp sử dụng tốn tử tích chập cho
bài tốn thuần nhất với dữ liệu biên g1 và điều kiện lim u( x, t) bị chặn. Một
x →∞

số kết quả khác cho trường hợp thuần nhất có thể xem trong [34, 68] và các tài

liệu liên quan. Năm 2015, Guanghui Zheng [71] chỉnh hóa bài tốn biên một
bên khơng thuần nhất với hàm nguồn tuyến tính chỉ phụ thuộc biến thời gian
thơng qua phương pháp tốn tử tích chập. Năm 2018, Nguyễn Huy Tuấn và
cộng sự [60] sử dụng phương pháp chặt cụt Fourier chỉnh hóa bài tốn biên
một bên với hàm nguồn khơng thuần nhất tổng quát. Ngoài ra, một số kết
quả khác nghiên cứu các bài tốn nhiều chiều, hay tìm hàm nguồn.

• Các bài tốn giá trị cuối (terminal/final value problems) cho phương trình
7