Lý thuyết số mũ lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
————————————

TỐNG THU TRANG

LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI
PHÂN PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
————————————

TỐNG THU TRANG

LÝ THUYẾT SỐ MŨ LYAPUNOV CHO
NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
PHÂN THỨ TUYẾN TÍNH
Chun ngành: Tốn Giải Tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. HOÀNG THẾ TUẤN

THÁI NGUYÊN - 2020


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đề tài luận văn "Lý thuyết số mũ Lyapunov cho nghiệm
của phương trình vi phân phân thứ tuyến tính" khơng có sự sao chép của
người khác. Khi viết luận văn tơi có tham khảo một số tài liệu, tất cả đều có
nguồn gốc rõ ràng và được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Hồng Thế
Tuấn . Tơi xin hồn tồn chịu trách nhiệm về nội dung luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020
Tác giả luận văn

Tống Thu Trang

i


Lời cảm ơn
Lời đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Hồng Thế Tuấn - Viện
Tốn học đã tận tình chỉ dẫn và nhiệt tình đóng góp những ý kiến q báu giúp
đỡ tơi hồn thành luận văn này. Tơi cũng xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến
các thầy, cô giáo trong khoa Sau đại học, khoa Toán trường Đại học Sư phạm
- Đại học Thái Nguyên đã tạo những điều kiện tốt nhất giúp đỡ tơi trong suốt
q trình học tập và nghiên cứu tại khoa. Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu, các
thầy cô và các bạn ở trường Đại học Sư phạm Thái Ngun đã tạo điều kiện và
nhiệt tình đóng góp ý kiến giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này.
Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi. Những người luôn yêu thương và ủng
hộ tôi vô điều kiện.
Thái Nguyên, ngày 10 tháng 6 năm 2020
Người thực hiện

Tống Thu Trang

ii


Mục lục
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1

Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.1

Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1.2

Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.3

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân
phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Hàm Mittag-Leffler và bất đẳng thức Gronwall suy rộng .

5

Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân . .

7

1.2.1

Số mũ Lyapunov của một hàm . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.2.2

Phổ Lyapunov của các hệ phương trình vi phân tuyến tính 10

1.1.4
1.2

1.3

1

Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi phân
phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ
2.1

13

Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ . . . . . . . . . 13
2.1.1

Số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm . . . . . . . . . . 13

2.1.2

Số mũ Lyapunov cho nghiệm của phương trình vi phân
phân thứ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2

Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ của các nghiệm xuất phát từ
mặt cầu đơn vị trong không gian Euclide Rd . . . . . . . . . . . . 23

2.3

Số mũ Lyapunov phân thứ của các nghiệm của phương trình vi
phân phân thứ tuyến tính hệ số hằng hai chiều . . . . . . . . . . . 27

Tài liệu tham khảo

32

iii


Lời nói đầu
Phép tính vi-tích phân là một cơng cụ lý tưởng để mơ tả các q trình tiến
hóa. Thơng thường, mỗi q trình tiến hóa được biểu diễn bởi các phương trình
vi phân thường. Bằng việc nghiên cứu (định tính hoặc định lượng) nghiệm của
phương trình, người ta có thể biết trạng thái hiện thời cũng như dự đoán được
dáng điệu ở quá khứ hay tương lai của quá trình đó. Tuy nhiên, các hiện tượng
hay gặp trong cuộc sống có tính chất phụ thuộc vào lịch sử. Đối với các hiện
tượng này, việc ngoại suy dáng điệu của nó tại một thời điểm tương lai từ quá
khứ phụ thuộc cả vào quan sát địa phương lẫn toàn bộ q khứ. Hơn nữa, sự
phụ thuộc nói chung cũng khơng giống nhau ở tất cả các thời điểm. Phương
trình vi phân phân thứ là một trong các lý thuyết ra đời để đáp ứng những u
cầu đó.
Bài tốn quan trọng trong lý thuyết định tính của phương trình vi phân là
nghiên cứu dáng điệu tiệm cận của các nghiệm. Đối với trường hợp phương trình
tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, dáng điệu các nghiệm được mô tả đầy đủ
thông qua phần thực các giá trị riêng của ma trận hệ số và bội của chúng. Với
phương trình tuyến tính thuần nhất có hệ số tuần hồn, lý thuyết Floquet được
sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu của tất cả các nghiệm, xem [1]. Đối với các
hệ phương trình vi phân tuyến tính có hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặc
trưng được đề xuất bởi Lyapunov, xem [1,6], là một công cụ rất hữu hiệu. Ý
tưởng chính của phương pháp này là so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm của
nghiệm với hàm mũ. Độ tăng trưởng (suy giảm) được xác định thông qua số mũ
đặc trưng (ngày nay gọi là số mũ Lyapunov cổ điển). Người ta biết rằng một
phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong khơng gian Euclide Rd có
nhiều nhất d số mũ Lyapunov phân biệt. Tập tất cả các số mũ này cùng với bội
của chúng được gọi là phổ Lyapunov. Nhiều tính chất quan trọng của phương
iv

trình như tính ổn định, tính hyperbolic, tính rẽ nhánh,...v.v, có thể được đặc
trưng bởi phổ Lyapunov của nó.
Tuy nhiên, đối với phương trình vi phân phân thứ tuyến tính, người ta đã
chứng minh được rằng số mũ Lyapunov của các nghiệm khơng tầm thường ln
khơng âm. Do đó, số mũ này không thể được dùng để đặc trưng cho tốc độ tăng
trưởng hay suy giảm nghiệm của các loại phương trình này. Nó dẫn đến địi hỏi
là phải xây dựng một lý thuyết số mũ mới phù hợp cho các phương trình phân
thứ. Trong năm 2014, các tác giả Nguyễn Đình Cơng, Đồn Thái Sơn, Hồng
Thế Tuấn và Stefan Siegmund đã giải quyết được vấn đề nói trên và công bố
các kết quả mới của họ trong bài báo [3,4]. Mục đích của luận văn này là trình
bày lại kết quả trong [3,4]. Chúng tôi chia luận văn ra làm hai chương.
Chương 1: Giới thiệu các kiến thức chuẩn bị. Cụ thể như sau: Phần 1.1 giới
thiệu những nét cơ sở về phương trình vi phân phân thứ tuyến tính; Phần 1.2
đề cập về cơ sở của lý thuyết số mũ Lyapunov cho các phương trình vi phân cổ
điển; Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của các phương
trình vi phân phân thứ tuyến tính.
Chương 2: Trình bày về lý thuyết số mũ Lyapunov phân thứ cho các phương
trình vi phân phân thứ tuyến tính. Chương này gồm ba phân chính. Thứ nhất,
trong Phần 2.1, chúng tơi nói về số mũ Lyapunov phân thứ, cách tính số mũ này,
một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov phân thứ, phổ Lyapunov phân thứ
cho các phương trình phân thứ tuyến tính và mối liên hệ giữa phổ Lyapunov với
tính ổn định của các hệ này. Tiếp đến, trong Phần 2.2, chúng tôi thảo luận về
cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị
của hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Cuối cùng, chúng tơi tính số
mũ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm của một số phương trình vi phân phân
thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3.
Do thời gian và năng lực có hạn, một số điểm trình bày trong luận văn có
thể cịn thiếu xót. Tác giả mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy, các cơ

cũng như của các bạn đồng nghiệp.

v


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của luận văn. Nội dung của chương
gồm ba phần chính. Phần 1.1 giới thiệu những nét cơ sở về phương trình vi phân
phân thứ tuyến tính. Phần 1.2 đề cập về cơ sở của lý thuyết số mũ Lyapunov
cho các phương trình vi phân cổ điển. Phần 1.3 thảo luận số mũ Lyapunov cổ
điển cho nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính.

1.1

Phương trình vi phân phân thứ tuyến tính

Phần này được dành để giới thiệu sơ lược về phương trình vi phân phân thứ
tuyến tính. Nội dung chính của nó gồm bốn mục chính. Mục 1.1.1 nhắc lại khái
niệm tích phân phân thứ Riemann–Liouville và một số tính chất của nó. Mục
1.1.2 nói về đạo hàm Riemann–Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo và các tính
chất cơ bản. Mục 1.1.3 thảo luận về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của các
phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Cuối cùng, Mục 1.1.4 liên quan tới
các hàm Mittag-Leffler và dáng điệu tiệm cận của chúng.
1.1.1

Tích phân phân thứ

Hiểu theo một nghĩa nào đó, tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của

khái niệm tích phân lặp thơng thường. Cụ thể, cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, chúng ta
định nghĩa tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] → R
là
α
Ia+
x(t)

1
:=
Γ(α)

t

(t − τ )α−1 x(τ ) dτ
a

1

với t ∈ (a, b],


ở đây hàm Gamma Γ : (0, ∞) → R>0 có biểu diễn
∞

tα−1 exp(−t) dt,

Γ(α) :=
0

0 := I với I là toán

xem [5, Definition 2.1, p. 13]. Khi α = 0, chúng ta quy ước Ia+

tử đồng nhất. Dễ thấy trong định nghĩa ở trên, với α ∈ (0, 1), nếu x khả tích trên
đoạn [a, b], tức là

b
|x(t)|
a

dt < ∞, thì tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp

α của x tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, chính bản thân tích phân này

cũng là một hàm khả tích.
Bổ đề 1.1.1. ([5, Theorem 2.1]) Giả sử x : [a, b] → R là một hàm khả tích trên
α x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, I α x cũng
[a, b]. Khi đó, tích phân Ia+
a+

là một hàm khả tích trên [a, b].
Dưới đây là tích phân của một số hàm đơn giản.
Ví dụ 1.1.2. (i) Cho x(t) = t2 , ở đây t > 0. Chúng ta có
0.5
I0+
x(t) =

Γ(3) 2.5
t
Γ(3.5)

với mọi t > 0.
(ii) Cho x(t) = exp(t). Chúng ta có
∞
0.5
I0+
x(t)

=
j=0

t0.5+j
Γ(j + 1.5)

với mọi t > 0.
1.1.2

Đạo hàm phân thứ

Cùng với tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ là một trong hai khái niệm
quan trọng của phép tính vi–tích phân phân thứ. Có nhiều khái niệm đạo hàm
phân thứ đã được xây dựng. Tuy nhiên, đạo hàm Riemann–Liouville và đạo hàm
Caputo được dùng rộng rãi hơn cả. Sau đây chúng ta nhắc lại định nghĩa của
hai loại đạo hàm này.
Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂ R. Người ta định nghĩa
đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] → R là
m−α
α
Da+
x(t) := Dm Ia+
x(t),

2

t ∈ (a, b],


ở đây m := α là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dm =

dm
dtm

là đạo

hàm thông thường cấp m. Trong khi đó, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của
hàm x(t) được định nghĩa là
C

m−α m
α
Da+
x(t) := Ia+
D x(t),

t ∈ (a, b],

xem [5, Chapter 3, p. 49]. Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), . . . , xd (t))T , đạo
hàm phân thứ Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C

α

α
α
x(t) := (C Da+
x1 (t), . . . ,C Da+
xd (t))T .
Da+

Nhận xét 1.1.3. (i) Nếu α là một số nguyên, đạo hàm phân thứ cấp α (theo
nghĩa Riemann–Liouville hoặc Caputo) chính là đạo hàm thơng thường cấp
0 (hoặc C D 0 ) là toán tử
α. Trong trường hợp α = 0, chúng ta quy ước Da+
a+

đồng nhất.
(ii) Nếu x là một hàm liên tục tuyệt đối trên [a, b], tức x ∈ AC 1 ([a, b]; R), thì các
đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo của hàm này tồn tại hầu
khắp nơi trên [a, b], xem [5, Lemma 2.12, p. 27] .
(iii) Khác với đạo hàm thông thường, đạo hàm phân thứ khơng có tính chất nửa
nhóm. Cụ thể, cho α1 , α2 là các hằng số dương bất kì và x là một hàm liên
tục tuyệt đối trên đoạn [a, b]. Khi đó, nói chung chúng ta có
α1 α2
α2 α1
α1 +α2
Da+
Da+ x(t) = Da+
Da+ x(t) = Da+
x(t),

t ∈ (a, b],

xem [5, p. 30] và [5, Remark 3.3, p. 56].
Với hàm x đủ chính quy, đạo hàm phân thứ là nghịch đảo trái của tốn tử
tích phân phân thứ.
Bổ đề 1.1.4. ([5, Theorem 2.14]) Cho α ≥ 0. Khi đó, với mọi x ∈ L1 [a, b], chúng
ta có
α α
Da+
Ia+ x(t) = x(t)

với hầu hết t ∈ [a, b].
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ nói chung khơng là tốn tử nghịch đảo phải
của tích phân phân thứ.

3


1−α
Bổ đề 1.1.5. ([5, Lemma 2.23]) Cho α ∈ (0, 1), và I0+
x ∈ AC 1 [a, b]. Khi đó,
α
α
Ia+
Da+
x(t)

(t − a)α−1
1−α
lim Ia+
x(τ ).
= x(t) −

τ
→a+
Γ(α)

Giữa các đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville và Caputo có quan hệ sau.
Bổ đề 1.1.6. ([5, Theorem 3.1]) Cho α ∈ (0, 1). Với bất kì x ∈ AC 1 ([a, b]; R),
chúng ta có
C

α
α
Da+
x(t) = Da+
(x(t) − x(a))

với hầu hết t ∈ [a, b].
Tương tự như đối với đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, chúng ta cũng
có những tính chất sau đối với đạo hàm phân thứ Caputo.
Bổ đề 1.1.7. ([5, Theorem 3.7, 3.8])
(i) Cho α ∈ (0, 1). Khi đó, với mọi x ∈ C([a, b]; R), chúng ta có
C

α α
Da+
Ia+ x(t) = x(t)

với mọi t ∈ [a, b].
(ii) Cho α ∈ (0, 1) và giả sử rằng x ∈ AC 1 ([a, b]; R). Khi đó,
α C α
Ia+

Da+ x(t) = x(t) − x(a)

với mọi t ∈ [a, b].
1.1.3

Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình vi phân phân thứ
tuyến tính

Cho T > 0, α ∈ (0, 1), d ≥ 1 và A : [0, T ] → Rd×d là một hàm liên tục nhận giá
trị ma trận. Xét hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1)
C

α
D0+
x(t) = A(t)x(t),

∀t ∈ (0, T ],

x(0) = x0 ∈ Rd .

(1.1)
(1.2)

Định nghĩa 1.1.1. Một hàm liên tục φ(·, x0 ) : [0, T ] → Rd được gọi là nghiệm
của bài toán giá trị đầu (1.1)–(1.2) nếu φ(0, x0 ) = x0 và
C

α
D0+
φ(t, x0 ) = A(t)φ(t, x0 )),

4

∀t ∈ (0, T ].


Để nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị đầu (1.1)–
(1.2), người ta thường chuyển nó thành một phương trình tích phân tương đương.
Điều này thực hiện được nhờ kết quả sau đây.
Định lý 1.1.8. Hàm liên tục φ(·, x0 ) : [0, T ] → Rd là nghiệm của (1.1), x(0) = x0
khi và chỉ khi nó thoả mãn phương trình tích phân sau
φ(t, x0 ) = x0 +

1
Γ(α)

t

(t − τ )α−1 A(τ )φ(τ, x0 ) dτ,

∀t ∈ [0, T ].

(1.3)

0

Chứng minh. Xem [5, Lemma 6.2, p. 86].
Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán giá trị ban đầu (1.1)–(1.2) trên
đoạn [0, T ] được suy ra từ định lý sau.
Định lý 1.1.9. Xét phương trình vi phân phân thứ (1.1). Ở đây A(·) là hàm

liên tục trên [0, T ] × Rd×d . Khi đó, với mọi x0 ∈ Rd , bài tốn giá trị ban đầu
(1.1)–(1.2) có duy nhất nghiệm trên đoạn [0, T ].
Người ta có thể chứng minh Định lý 1.1.9 bằng cách sử dụng một chuẩn có
trọng mũ và Định lý điểm bất động Banach. Người đọc quan tâm có thể xem
trong [2]. Ngồi ra, ánh xạ φ(t, ·) với mỗi t ∈ [0, T ] là tuyến tính, tức là,
φ(t, ax1 + bx2 ) = aφ(t, x1 ) + bφ(t, x2 )
1.1.4

với a, b ∈ R, x1 , x2 ∈ Rd .

Hàm Mittag-Leffler và bất đẳng thức Gronwall suy rộng

Trường hợp đơn giản nhất của hệ phương trình vi phân phân thứ (1.1) là
C

α
D0+
x(t) = Ax(t),

∀t ∈ (0, T ],

(1.4)
(1.5)

x(0) = x0 ,

ở đây A là một ma trân thực cỡ d × d. Bằng cách sử dụng biến đổi Laplace, hệ
(1.4)–(1.5) có nghiệm duy nhất là
x(t) = Eα,1 (tα A),

t ∈ [0, T ].

Ở đây, với mọi α, β ∈ R, hàm Mittag-Leffler hai tham số Eα,β (·) : Cd×d → Cd×d
được định nghĩa bởi

∞

Eα,β (A) =
k=0

5

Ak
Γ(αk + β)


với mọi A ∈ Cd×d . Trong trường hợp β = 1, để đơn giản chúng ta viết Eα (·)
thay vì Eα,β (·). Hàm Mittag-Leffler đóng vai trị quan trọng trong nghiên cứu lý
thuyết định tính của phương trình vi phân phân thứ giống như hàm mũ trong
phương trình vi phân cổ điển. Sau đây chúng ta nhắc lại một số tính chất quan
trọng của hàm này.
Bổ đề 1.1.10. Cho số nguyên p ≥ 1 bất kỳ, các khẳng định sau đúng:
(i) Cho z ∈ C với |arg(z)| ≤ απ/2, ta có
1
Eα (z) = exp(z 1/α ) −
α

p

k=1

z −k
+ O(|z|−1−p ),
Γ(1 − αk)

khi |z| → ∞.
(ii) Cho z ∈ C với απ/2 < |arg(z)| ≤ π , ta có
p

Eα (z) = −
k=1

z −k
+ O(|z|−1−p ),
Γ(1 − αk)

khi |z| → ∞.
Chứng minh. Xem [7, Theorems 1.3, 1.4, pp. 33–34].
Xét hàm Mittag-Leffler một tham số thực Eα : R → R. Hàm này là đơn điệu
tăng. Hơn nữa, sử dụng Bổ đề 1.1.10, chúng ta có
lim Eα (z) = ∞

z→∞

và

lim Eα (z) = 0.

z→−∞

Vì vậy Eα (R) = R>0 và do đó Eα có nghịch đảo liên tục. Kí hiệu hàm này là
logM
α : R>0 → R.

Để kết thúc phần này chúng ta giới thiệu một bổ đề hay được dùng trong ước
lượng nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ (xem [5, Lemma 6.19, p.
111]).
Bổ đề 1.1.11 (Bất đẳng thức Gronwall suy rộng). Cho α ∈ (0, 1) và T, K, L > 0
là các hằng số dương tùy ý. Hơn nữa, giả sử rằng δ : [0, T ] → R là một hàm liên
tục, thỏa mãn bất đẳng thức
L
|δ(t)| ≤ K +
Γ(α)

t

(t − τ )α−1 |δ(τ )| dτ
0

với mọi t ∈ [0, T ]. Khi đó, với mọi t ∈ [0, T ]
|δ(t)| ≤ KEα (Ltα ).
6


1.2

Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi
phân

Phần này được dành để nhắc lại những kiến thức cơ bản của lý thuyết số mũ

Lyapunov cho các phương trình vi phân. Nội dung của nó gồm hai phần chính:
số mũ Lyapunov của một hàm và phổ Lyapunov của một hệ phương trình vi
phân tuyến tính.
1.2.1

Số mũ Lyapunov của một hàm

Định nghĩa sau đây là một khái niệm quan trọng trong nghiên cứu tính ổn
định nghiệm của các phương trình vi phân phân thứ.
Định nghĩa 1.2.1. Cho t0 ∈ R và f : [t0 , R) → R. Số mũ Lyapunov của hàm f
là đại lượng được định nghĩa bởi
χ(f ) := lim sup
t→∞

1
log |f (t)|.
t

Số mũ Lyapunov của một hàm cho chúng ta biết về tốc độ tăng trưởng của
nó trong sự so sánh với hàm mũ. Dưới đây là số mũ của một số hàm đơn giản.
Ví dụ 1.2.1.

• χ(tm ) = 0 với m ∈ N;

• χ(0) = −∞;
• χ(exp(t cos 1t )) = 1;
• χ(exp(−t cos 1t )) = −1;
• χ(exp(± ± t sin t)) = 1;
• χ(exp(−t exp(sin t))) = − exp(−1);
• χ(exp(t exp(sin t))) = e;

• χ(tt ) = ∞;
• χ(t−1 ) = −∞.

Từ định nghĩa của số mũ Lyapunov, chúng ta dễ dàng thu được các tính chất
sau.
7


1. χ(f ) = χ(|f |).
2. χ(cf ) = cχ(f ), c = 0.
3. Nếu |f (t)| ≤ |F (t)| với t ≥ a, thì
χ(f ) ≤ χ(F ).

Để tính số mũ Lyapunov của một hàm, bổ đề sau đóng một vai trò quan trọng.
Bổ đề 1.2.2. Cho t0 ∈ R và f : [t0 , ∞) → R. Khi đó, χ(f ) = α = ±∞ nếu và chỉ
nếu với bất kỳ ε > 0 những điều kiện sau được thỏa mãn:
|f (t)|
= 0;
1. limt→∞ exp((α+ε)t)
|f (t)|
= ∞.
2. lim supt→∞ exp((α−ε)t)

Kết quả trên có trong [1, Lemma 2.1.1]. Tuy nhiên, để người đọc dễ dàng
hình dung được đặc trưng của các số mũ Lyapunov, chúng tơi trình bày ở dưới
đây chứng minh của nó.
Chứng minh Bổ đề 1.2.2. Điều kiện cần: Cho χ(f ) = α. Tồn tại ε > 0 và T > 0
sao cho
1
ε

log |f (t)| < α +
t
2

đúng với mọi t ≥ T . Nói cách khác,
ε
|f (t)| < exp((α + )t).
2

Vì vậy, chúng ta có
|f (t)|
≤ lim exp(−(ε/2)t) = 0.
t→∞ exp((α + ε/2)t) exp((ε/2)t)
t→∞
lim

Như vậy điều kiện 1 ở trên được chứng minh.
Xét dãy tk → ∞ khi k → ∞ mà
1
log |f (tk )| = α.
k→∞ tk
lim

Chúng ta tìm được N > 0 sao cho
log |f (tk )| > (α − ε/2)tk

8


với mọi k > N . Vì vậy,

|f (tk )|
|f (tk )|
= lim (
exp((ε/2)tk ))
k→∞ exp((α − ε)tk )
k→∞ exp((α − ε/2)tk )
lim

≥ lim exp((ε/2)tk ) = ∞,
k→∞

điều kiện 2 ở trên được thỏa mãn.
Điều kiện đủ: Từ điều kiện 1 ở trên, với t đủ lớn, |f (t)| < exp((ε + ε)t), và bởi vì
ε > 0 tùy ý, chúng ta có
χ(f ) ≤ α.

Cho dãy tk , tk → ∞ khi k → ∞ mà
lim sup
k→∞

|f (tk )|
= ∞.
exp((α − ε)tk )

Vì vậy, với k đủ lớn, |f (tk )| > exp((α − ε)tk ), hoặc
1
log |f (tk )| ≥ α − ε.
k→∞ tk

χ(f ) ≥ lim

Vì vậy χ(f ) ≥ α. Điều kiện đủ được chứng minh xong.
Sau đây là những tính chất sâu hơn của các số mũ Lyapunov.
Định lý 1.2.3. Cho t0 ∈ R và m hàm fi : [t0 , ∞) → R, 1 ≤ i ≤ m. Khi đó
χ(f1 + · · · + fm ) ≤ max χ(fi ).
1≤i≤m

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra nếu tồn tại i0 ∈ {1, . . . , m} sao cho
χ(fi0 ) > χ(fi ) với i = i0 .

Chứng minh. Xem [1, Theorem 2.1.1].
Định lý 1.2.4. Cho t0 ∈ R và m hàm fi : [t0 ∞) → R, 1 ≤ i ≤ m. Khi đó
χ(

m
k=1 fk (·))

≤

χ(fk (·)).
1≤i≤m

Chứng minh. Xem [1, Theorem 2.1.2].
Để kết thúc mục này, chúng ta giới thiệu định nghĩa số mũ Lyapunov cho
hàm nhận giá trị véc-tơ. Cho t0 ∈ R và f : [t0 , R) → Rd . Số mũ Lyapunov của f
được định nghĩa bởi
χ(f ) = max χ(fi (·)).
1≤i≤d

9

Bổ đề sau dẫn đến một định nghĩa khác của số mũ Lyapunov cho hàm nhận giá
trị véc-tơ.
Bổ đề 1.2.5. χ(f (·)) = χ( f (·) ).
Chứng minh. Xem [1, Corollary 2.2.1].
1.2.2

Phổ Lyapunov của các hệ phương trình vi phân tuyến tính

Cho t0 ∈ R và A : [t0 , ∞) → Rd×d là một hàm nhận giá trị ma trận liên tục.
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính
d
x(t) = A(t)x(t), t ≥ t0 .
dt

(1.6)

Định lý 1.2.6. ([1, Theorem 2.3.1]) Giả sử supt≥t0 A(t) ≤ M . Khi đó mọi
nghiệm khơng tầm thường x(·) của hệ (1.6) đều có số mũ Lyapunov hữu hạn.
Cụ thể,
−M ≤ χ(x(·)) ≤ M.

Chứng minh. Giả sử x(·) là một nghiệm không tầm thường của hệ (1.6). Chúng
ta có
|d x(t) 2 /dt| = 2

x(t),

dx(t)

dt

≤ 2M x(t) 2 .

Vì vậy,
−2M ≤

d x(t) 2 /dt
≤ 2M.
x(t) 2

Điều này dẫn tới
−2M (t − t0 ) ≤ 2 log x(t) − 2 log x(t0 ) ≤ 2M (t − t0 ).

Chia các đại lượng trên cho t và cho t → ∞, chúng ta được
−M ≤ χ( x(·) ) ≤ M.

Định lý được hồn thành.
Nói chung, mỗi hệ phương trình vi phân tuyến tính d-chiều có khơng q d
số mũ Lyapunov phân biệt.
10


Định lý 1.2.7. ([1, Corollary 2.3.1]) Các nghiệm không tầm thường của một
hệ tuyến tính d-chiều có khơng q d số mũ Lyapunov phân biệt.
Từ đây, chúng ta có định nghĩa sau về phổ Lyapunov của hệ (1.6).
Định nghĩa 1.2.2. Tập tất cả các số mũ Lyapunov khác nhau của các nghiệm
của (1.6) được gọi là phổ Lyapunov của nó.
Phổ Lyapunov có vai trị quan trọng trong nghiên cứu dáng điệu tiệm cận
nghiệm của các phương trình vi phân qua định lý đơn giản dưới đây.

Định lý 1.2.8. Xét hệ (1.6). Nếu phổ Lyapunov của hệ này chỉ chứa các số
mũ âm thì hệ này ổn định tiệm cận.

1.3

Số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương trình vi
phân phân thứ tuyến tính

Trong phần này chúng ta sẽ thảo luận về số mũ Lyapunov cho các nghiệm
không tầm thường của các phương trình vi phân phân thứ tuyến tính.
Cho d ≥ 1 và A : [0, ∞) → Rd×d là một hàm liên tục nhận giá trị ma trận. Xét
hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính cấp α ∈ (0, 1)
C

α
D0+
x(t) = A(t)x(t),

∀t ∈ (0, ∞),

x(0) = x0 ∈ Rd .

(1.7)
(1.8)

Như đã chỉ ra ở trên, hệ (1.7)–(1.8) có nghiệm duy nhất trên [0, ∞). Một điều
đáng ngạc nhiên được chỉ ra trong bài báo [3] rằng mọi nghiệm khơng tầm
thường của bài tốn giá trị đầu (1.7)–(1.8) luôn không âm.
Bổ đề 1.3.1. [3, Lemma 3.1] Xét hệ (1.7)–(1.8). Giả sử M := supt∈R≥0 A(t) <
∞. Khi đó, mọi nghiệm khơng tầm thường đều có số mũ Lyapunov không âm,

tức là,
χ(Φ(·, x0 )) ≥ 0

với x0 ∈ Rd \ {0}.

Chứng minh. Giả sử phản chứng, tồn tại x0 ∈ Rd \ {0} sao cho
λ := χ(Φ(·, x0 )) = lim sup
t→∞

11

1
log Φ(t, x0 ) < 0.
t

(1.9)


Khi đó, tồn tại K > 0 và T > 0 mà
λ

Φ(t, x0 ) < Ke 2 t

với t ≥ T.

(1.10)

Tuy nhiên chúng ta sẽ chỉ ra lim supt→∞ Φ(t, x0 ) = x0 , một điều mâu thuẫn
với (1.9). Thật vậy, từ (1.10) và supt∈R≥0 A(t) ≤ M , ta có

t

t

(t − s)

α−1

λ

(t − s)α−1 e 2 s ds.

A(s)Φ(s, x0 ) ds ≤ KM
T

T

Mặt khác, bằng tính tốn trực tiếp ta có
t
t→∞

λ

(t − s)α−1 e 2 s ds = 0.

lim sup
0

Vì vậy
t

(t − s)α−1 A(s)Φ(s, x0 ) ds = 0.

lim sup
t→∞

T

Chú ý,
T

(t − s)α−1 A(s)φ(s, x0 )ds = 0.

lim

t→∞

0

Kết hợp các nhận xét trên với biểu diễn (1.3) dẫn tới lim supt→∞ Φ(t, x0 ) = x0 .
Ta có điều phải chứng minh.

12


Chương 2

Lý thuyết số mũ Lyapunov phân
thứ
Chương này trình bày nội dung chính của luận văn. Nó gồm ba phần chính.

Thứ nhất, trong Phần 2.1, chúng tơi nói về số mũ Lyapunov phân thứ, cách
tính số mũ này, một số tính chất cơ bản của số mũ Lyapunov phân thứ, phổ
Lyapunov phân thứ cho các phương trình phân thứ tuyến tính và mối liên hệ
giữa phổ Lyapunov với tính ổn định của các hệ này. Tiếp đến, trong Phần 2.2,
chúng tôi thảo luận về cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm xuất
phát từ mặt cầu đơn vị của hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. Cuối
cùng, chúng tơi tính số mũ Lyapunov phân thứ cho các nghiệm của một số
phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số hằng, xem Phần 2.3.

2.1
2.1.1

Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ
Số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm

Như đã biết trong Phần 1.3, số mũ Lyapunov cổ điển của các nghiệm không
tầm thường của một hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính luôn không
âm. Điều này dẫn đến nhu cầu phải xây dựng một khái niệm số mũ mới phù hợp
cho các hệ phân thứ. Mặt khác, chú ý rằng khi định nghĩa số mũ Lyapunov cổ
điển, người ta đã sử dụng hàm log (là hàm ngược của hàm mũ) để thu được tốc
độ tăng trưởng hay suy giảm so với hàm mũ của một hàm số cho trước. Trong
khi đó, trong phương trình vi phân phân thứ, hàm Mittag-Leffler một tham số
13


đóng vai trị tương tự như hàm mũ đối với phương trình vi phân thường. Điều
này gợi ý cho chúng ta sử dụng hàm ngược của hàm Mittag-Leffler thực một
tham số để mở rộng khái niệm số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm của phương
trình phân thứ.
Xét hàm Mittag-Leffler một tham số nhận giá trị thực Eα : R → R≥0 . Từ

Mục 1.1.4, chúng ta thấy hàm này đơn điệu và có hàm ngược là logM
α : R>0 → R.
Hiển nhiên logM
α cũng là một hàm liên tục và đơn điệu tăng. Bây giờ chúng ta
định nghĩa số mũ Lyapunov phân thứ của một hàm tùy ý.
Định nghĩa 2.1.1. Cho f : R≥0 → Rd là một hàm nhận giá trị vectơ bất kì. Số
mũ Lyapunov phân thứ cấp α của f được định nghĩa bởi
χα (f ) = lim sup
t→∞

1
logM
α ( f (t) ).
α
t

(2.1)

Sau đây chúng ta tính giới hạn tại vô cực của hai đại lượng cơ bản liên quan
tới các hàm logM
α .
Bổ đề 2.1.1. Xét λ ∈ R \ {0}.
(i) Nếu λ > 0 thì
lim sup
t→∞

1
1
M λα
log

(e
t) = λ;
α
tα

(ii) Nếu λ < 0 thì
lim sup
t→∞

1
−λΓ(1 − α)tα

1
logM
α
α
t

= λ.

Chứng minh. (i) Theo Bổ đề 1.1.10, với mọi ε1 > 0 nhỏ tùy ý (chúng ta có thể
giả sử 0 < ε1 < λ4 ), có T1 (ε1 ) > 0 sao cho
1

exp(λ α t) ≤ Eα ((λ + ε1 )tα ),

∀t ≥ T1 (ε1 ).

Từ đây cùng với tính đơn điệu tăng của hàm logM
α suy ra

1

α
logM
exp(λ α t) ≤ logM
α
α (Eα ((λ + ε1 )t ))

≤ (λ + ε1 )tα

với mọi t ≥ T1 (ε1 ). Vì vậy,
lim sup
t→∞

1
1
logM
exp(λ α t) ≤ λ + ε1 .
α
α
t

14


Cho ε1 → 0 trong bất đẳng thức trên dẫn đến
lim sup
t→∞

1

1
exp(λ α t) ≤ λ.
logM
α
α
t

(2.2)

Mặt khác, cũng theo Bổ đề 1.1.10, có T2 (ε1 ) sao cho
1

exp(λ α t) ≥ αEα ((λ − ε1 )tα )
1

≥ exp ((λ − 2ε1 ) α t)
1
1
≥ exp ((λ − 3ε1 ) α t)
α
≥ Eα ((λ − 4ε1 )tα ), ∀t ≥ T2 (ε1 ).

Lập luận tương tự như ở trên dẫn tới
lim sup
t→∞

1
1
M
α t)

exp(λ
log
≥ λ.
α
tα

(2.3)

Kết hợp (2.2) và (2.3) chúng ta thu được
lim sup
t→∞

1
1
logM
exp(λ α t) = λ.
α
α
t

(ii) Theo Bổ đề 1.1.10, với mọi ε2 > 0 tùy ý, có T3 (ε2 ) > 0 sao cho
−

1
≥ Eα ((λ − ε2 )tα ),
λΓ(1 − α)tα

∀t ≥ T3 (ε2 ).

Do vậy

lim sup
t→∞

1
logM
α
tα

1
−λΓ(1 − α)tα

≥ λ − ε2 .

Cho ε2 → 0 trong bất đẳng thức trên dẫn tới
lim sup
t→∞

1
logM
α
α
t

1
−λΓ(1 − α)tα

≥ λ.

(2.4)

Mặt khác, có T4 (ε2 ) > 0 sao cho
−

1
≤ Eα ((λ + ε2 )tα ),
λΓ(1 − α)tα

∀t ≥ T4 (ε2 ).

Bằng lập luận tương tự như ở trên
lim sup
t→∞

1
logM
α
tα

1
−λΓ(1 − α)tα

≤ λ.

(2.5)

Kết hợp (2.4) và (2.5) dẫn tới điều phải chứng minh.
Để thuận tiện cho việc tính tốn số mũ Lyapunov phân thứ, chúng ta thiết
lập dưới đây các mối quan hệ giữa số mũ Lyapunov cổ điển và số mũ Lyapunov
phân thứ.
15

Định lý 2.1.2. Cho hàm tùy ý f : R≥0 → Rd .
(i) χα (f ) > 0 khi và chỉ khi χ(f ) > 0. Hơn nữa,
1
log( f (t) )
t

χα (f ) = χ(f )α = lim sup
t→∞

α

(2.6)

.

(ii) χα (f ) < 0 khi và chỉ khi lim supt→∞ tα f (t) < ∞. Trong trường hợp này,
χα (f ) = −

1
.
Γ(1 − α) lim supt→∞ tα f (t)

(2.7)

(iii) χα (f ) = 0 khi và chỉ khi
χ(f ) ≤ 0

lim sup tα f (t) = ∞.

và

t→∞

Chứng minh. (i) Giả sử λ := χα (f ) > 0. Chúng ta sẽ chỉ ra χ(f ) > 0 và đẳng thức
(2.6) đúng. Quả vậy, cho ε ∈ (0, λ) tùy ý. Theo Bổ đề 2.1.1(i),
λ = lim sup
t→∞

1
1
logM
exp(λ α t) .
α
α
t

Cùng với định nghĩa của χα (f ) dẫn đến
lim sup
t→∞

1
1
1
M (λ+ε) α
log
(e
t)
>

lim
sup
logM
α
α ( f (t) )
α
tα
t
t→∞

và
lim sup
t→∞

1
1
1
M
M
(λ−ε) α t
log
(
f
(t)
)
>
lim
sup
log
e

.
α
α
α
tα
t→∞ t

Từ những khẳng định trên và tính đơn điệu tăng của hàm Mittag-Leffler ngược
logM
α , có T1 > 0 để
e(λ+ε)

1
αt

1
α

≥ f (t) ≥ e(λ−ε) t ,

∀t ≥ T1 .

Do đó,
1

(λ + ε) α ≥ lim sup
t→∞

1
1

log( f (t) ) ≥ (λ − ε) α .
t

1
α

Cho ε → 0, thì χ(f ) = χα (f ) .
Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu χ(f ) > 0 thì χα (f ) > 0. Quả vậy,
đặt γ := χ(f ) > 0. Từ định nghĩa của χ(f ), có T2 > 0 mà
γ

||f (t)|| ≥ e 2 t ,

∀t > T2 .

Điều này cùng với Bổ đề 2.1.1(i) cho
χα (f ) = lim sup
t→∞

γ
1
1
M
t
2
logM
=
α ( f (t) ) ≥ lim sup α logα e
α
t

t
t→∞

16

γ
2

α

> 0.


(ii) Trước hết chúng ta chứng minh rằng nếu χα (f ) < 0 thì lim supt→∞ tα ||f (t)|| <
∞ và (2.7) đúng. Đặt λ := χα (f ) < 0 và lấy ε ∈ (0, −λ) tùy ý. Theo Bổ đề 2.1.1(ii),

thì
λ = lim sup
t→∞

1
logM
α
tα

1
−λΓ(1 − α)tα

,

kết hợp với định nghĩa của χα (f ) cho
lim sup
t→∞

1
logM
α
tα

1
−(λ + ε)Γ(1 − α)tα

> lim sup
t→∞

1
logM
α ( f (t) )
tα

và
lim sup
t→∞

1
1
M
logM
α ( f (t) ) > lim sup α logα
α

t
t→∞ t

1
−(λ − ε)Γ(1 − α)tα

.

Do tính đơn điệu của hàm Mittag-Leffler ngược logM
α , có T3 > 0 mà
1
1
≥
f
(t)
≥
,
−(λ + ε)Γ(1 − α)tα
−(λ − ε)Γ(1 − α)tα

∀t ≥ T3 .

Do đó,
1
1
≥ lim sup tα f (t) ≥
.
−(λ + ε)Γ(1 − α)
−(λ − ε)Γ(1 − α)
t→∞

Cho ε → 0, chúng ta thu được
lim sup tα f (t) =
t→∞

1
.
−λΓ(1 − α)

Để hoàn thành chứng minh của (ii), chúng ta sẽ chỉ ra rằng nếu
γ := lim sup tα ||f (t)|| < ∞
t→∞

thì χα (f ) < 0. Xét trường hợp lim supt→∞ tα ||f (t)|| = 0. Với bất kì ε > 0, tồn tại
T4 > 0 thỏa mãn
f (t) <

ε
,
tα

∀t ≥ T4 .

(2.8)

Giả sử phản chứng rằng tồn tại một hằng số L > 0 sao cho
λ = χα (f ) > −L.

(2.9)

Từ đây chúng ta tìm được một dãy số thực dương tăng dần về vô cực {tn }∞
n=1
để cho
1
logM
α ( f (tn ) ) > −L.
α
n→∞ tn
lim

Gọi N1 > 0 là một số nguyên dương thỏa mãn
1
logM
α ( f (tn ) ) ≥ −L,
tαn
17

∀n ≥ N1 .


Từ tính đơn điệu tăng của hàm Mittag-Leffler ngược chúng ta có
f (tn ) ≥ Eα (−Ltαn ),

∀n ≥ N1 .

Điều này cùng với Bổ đề 1.1.10 dẫn đến
f (tn ) ≥

1
,

2LΓ(1 − α)tαn

∀n ≥ N2 ,

ở đây N2 > N1 là một số nguyên dương đủ lớn. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn
với (2.8). Vậy giả thiết phản chứng (2.9) là sai và χα (f ) = −∞. Bây giờ xét
trường hợp 0 < γ := lim supt→∞ tα ||f (t)|| < ∞. Từ định nghĩa của khái niệm cận
trên đúng, chúng ta tìm được T5 > 0 sao cho
||f (t)|| ≤

2γ
,
tα

∀t > T5 .

Do đó,
lim sup
t→∞

1
1
M
logM
α ( f (t) ) ≤ lim sup α logα
α
t
t→∞ t

2γ

tα

=−

1
< 0.
2γΓ(1 − α)

Như vậy trong cả hai trường hợp chúng ta đều có χα (f ) < 0.
(iii) Suy ra trực tiếp từ (i) và (ii).
Sau đây là một số tính chất đơn giản của các số mũ Lyapunov phân thứ.
Chứng minh của các tính chất này thu được từ định nghĩa và Định lý 2.1.2.
Bổ đề 2.1.3. Những phát biểu sau đây đúng.
(i) Cho hàm f : R≥0 → Rd và hằng số c ∈ R \ {0} tùy ý, chúng ta có


 χα (f ), nếu χα (f ) > 0,
χα (c f ) =

χ (f )

 α , nếu χα (f ) ≤ 0.
|c|

(ii) Cho f, g : R≥0 → Rd là các hàm tùy ý và χα (f ) ≥ 0. Khi đó, χα (f + g) ≤
max{χα (f ), χα (g)}, dấu đẳng thức xảy ra khi χα (f ) = χα (g).

(iii) Cho f, g : R≥0 → Rd là các hàm tùy ý thỏa mãn χα (f ), χα (g) < 0. Khi đó,
χα (f + g) < 0.

(iv) Cho f, g : R≥0 → R≥0 là các hàm liên tục bất kì. Khi đó,
χα (max{f, g}) = max{χα (f ), χα (g)},

ở đây max{f, g} : R≥0 → R≥0 được định nghĩa bởi
max{f, g}(t) = max{f (t), g(t)},
18

∀t ∈ R≥0 .