Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian Bd - metric sắp thứ tự và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LITNA AMPHONEPADID

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU
TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC
SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LITNA AMPHONEPADID

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG
ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU
TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC
SẮP THỪ TỰ VÀ ỨNG DỤNG
Ngành: Toán Giải tích
Mã số: 8.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng

THÁI NGUYÊN - 2020


LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung
thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận
văn Thạc sĩ của các tác giả khác.
Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này
đã được cảm ơn và các thơng tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn
gốc.
Tác giả

Litna AMPHONEPADID

i


LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phịng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Tốn, các thầy cơ giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong q trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Bản luận văn chắc chắn sẽ khơng tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cơ giáo và các bạn học

viên để luận văn này được hồn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tơi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 11 năm 2020
Tác giả

Litna AMPHONEPADID

ii


MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN .............................................................................................. i
LỜI CẢM ƠN ................................................................................................... ii
MỤC LỤC ........................................................................................................ iii
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ....................................................... 2
1.1. Không gian b - metric ......................................................................... 2
1.2. Không gian bd - metric ........................................................................ 5
1.3. Tôpô trên không gian bd - metric .......................................................... 8
CHƯƠNG 2: ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ
CO YẾU TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỨ TỰ .......... 13
2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian b-metric ...................... 13
2.2. Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian b - metric ..... 14
2.3. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian
bd - metric sắp thứ tự .................................................................................. 19

2.4. Sự tồn tại nghiệm chung của hệ các phương trình tích phân ................ 36
KẾT LUẬN .................................................................................................... 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 40

iii


MỞ ĐẦU
Nguyên lí ánh xạ co Banach là một trong những kết quả đơn giản nhưng
có nhiều ứng dụng của lí thuyết điểm bất động metric. Nó là một cơng cụ phổ
biến để chứng minh sự tồn tại của nghiệm của các bài toán trong các lĩnh vực
khác nhau của toán học. Nguyên lý ánh xạ co Banach đã được mở rộng theo
hai hướng. Hướng thứ nhất là mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach cho các loại
ánh xạ khác nhau như ánh xạ co yếu, ánh xạ dãn, ánh xạ tương thích yếu, ánh
xạ tương thích,… Hướng thứ hai là thiết lập nguyên lí ánh xạ co Banach cho
các không gian kiểu metric: chẳng hạn các không gian 2-metric, D-metric, b metric, b2 - metric, G - metric,… Năm 2000, Hitzler và Seda đã giới thiệu
khái niệm dl - metric và dl - tôpô và thiết lập định lí điểm bất động trong
khơng gian dl - metric đầy đủ. Năm 2013, N. Hussain, J.R. Roshan, V.
Parvaneh và M.Abbas đã giới thiệu khái niệm bd - metric và thiết lập định lí
về điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd - metric.
Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối
với các ánh xạ co yếu trong không gian bd - metric sắp thứ tự và ứng dụng”.
Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà tốn học trong và ngồi
nước quan tâm nghiên cứu.
Nội dung luận văn được viết chủ yếu dựa trên các tài liệu [3], [6] và [8],
gồm 40 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và
danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Giới thiệu khái niệm và một vài tính chất của không gian b metric và không gian bd - metric.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn, trình bày lại các kết quả
nghiên cứu gần đây của N. Hussain, J.R. Roshan, V. Parvaneh và M.Abbas về
điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd - metric.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.

1


CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.

Không gian b - metric

Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một tập khác rỗng và l ³ 1 là một số thực. Một
hàm d : E ´ E ® ¡

+

được gọi là một b - metric nếu với mọi u, v, w Ỵ E , các

điều kiện sau được thỏa mãn:
(i ) d (u, v ) = 0 nếu và chỉ nếu u = v ,
(ii ) d (u, v ) = d (v, u ) ,

(𝑖𝑖𝑖) d (u, v ) £ l [d (u, w) + d(w, v )].
Cặp (E , d ) được gọi là không gian b - metric.
Chú ý rằng lớp các không gian b - metric rộng hơn lớp các không gian metric.
Thật vậy, một b - metric là một metric khi và chỉ khi l = 1 .
Ví dụ 1.1.2 Khơng gian lp (0 < p < 1),

ìï
ü

p
ï
lp = ïí (un ) ẻ Ă : ồ un ỏƠ ùý ,
ùùợ
ùùỵ
n
vi hàm số d : lp ´ lp ® ¡ + , xác định bởi
p

d (u, v ) = ( å u n - vn )1/ p ,
n

trong đó u = (un ), v = (vn ) Ỵ lp là một không gian b -metric với l = 21/ p .
Ví dụ 1.1.3. Cho (E , d ) là một không gian metric và p(u , v ) = (d (u , v )) p , trong
đó p > 1 . Khi đó p là một b - metric với l = 2p - 1 . Thật vậy:
Hiển nhiên, các điều kiện (i) và (ii) của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn.
Nếu 1 < p < ¥ thì sử dụng tính lồi của hàm số f (u ) = u p (u > 0) ta có bất
đẳng thức

2


p

ổa + b ửữ
1 p
ỗỗ
ữ
Ê
a + b p ngha l, (a + b) p £ 2p - 1(a p + b p ) .

ữ
ỗố 2 ứ
ữ
2

(

)

Do ú vi mi u, v, w Ỵ E , ta có:
p(u , v ) = (d (u, v )) p £ (d (u, w ) + d (w, v )) p

£ 2p - 1((d (u, w )) p + (d (w, v )) p ) = 2p - 1( p(u, w ) + p(w, v )).

Vì vậy, điều kiện (iii) của Định nghĩa 1.1.1 được thỏa mãn và p là một b metric.
Định nghĩa 1.1.4. Cho (E , d ) là một không gian b - metric. Khi đó, dãy
{u n } Ì E được gọi là:
a ) hội tụ nếu và chỉ nếu tồn tại u Ỵ E sao cho d (u n , u ) đ 0, khi n đ Ơ .

Trong trường hợp này, ta viết lim un = u .
x® ¥

b) dãy Cauchy khi và chỉ khi d (u n , u m ) ® 0, khi m , n ® + ¥ .

Mệnh đề 1.1.5. Trong một khơng gian b - metric (E , d ) các khẳng định sau
đây được thỏa mãn:
i ) một dãy hội tụ có giới hạn duy nhất,
ii ) mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy,
iii ) nói chung, một b - metric là không liên tục.

Định nghĩa 1.1.6. Không gian b - metric (E , d ) được gọi là đầy đủ nếu mọi
dãy Cauchy trong E đều hội tụ.
Nói chung, một hàm b - metric d với l > 1 không liên tục theo cả hai biến.
Sau đây là ví dụ về một b - metric không liên tục.
Ví dụ 1.1.7. Cho E = ¥ È {¥

} và d : E ´

E ® ¡ xác định bởi

d (m , n ) = 0 nếu m = n ,

d (m , n ) =

1 1
nếu m , n là các số chẵn hoặc m .n = ¥
m n

3


d (m , n ) = 5 nếu m , n là các số lẻ và m ¹ n
d (m , n ) = 2 tại m, n còn lại.

Khi đó với mọi m , n , p Ỵ E , ta có
d (m , p) £ 3(d (m , n ) + d (n , p)).

Do đó, (E , d ) là không gian b - metric với l = 3 . Nếu u n = 2n , với mi

n ẻ Ơ , thỡ d (2n , Ơ ) =

1
đ 0 , khi n đ Ơ
2n

/ d (Ơ ,1), khi n đ Ơ
Ngha l, u n đ Ơ , nhưng d (u 2n ,1) = 2 ®

Nói chung b - metric không liên tục, nên ta cần bổ đề đơn giản sau đây về các
dãy b - hội tụ.
Bổ đề 1.1.8. Cho (E , d ) là không gian b - metric và {u n } là dãy trong E sao
cho u n ® u và u n ® v . Khi đó u = v .
Bổ đề 1.1.9. Cho (E , d ) là không gian b - metric , {uk }kn = 0 Ì E . Khi đó:
d(un , u 0 ) £ l d(u 0, u1) + K + l

d(un - 2, un - 1) + l

n- 1

n- 1

d(un - 1, un ) .

Bổ đề 1.1.10. Cho {vn } là dãy trong không gian b - metric (E , d ) sao cho
d(vn , vn + 1) £ qd(vn - 1, vn )

với 0 < q < 1 / l v mi n ẻ Ơ . Khi đó {vn } là dãy Cauchy trong E .
Bổ đề 1.1.11. Cho (E , d ) là không gian b - metric với l ³ 1 . Giả sử rằng
{u n } và {vn } là b - hội tụ đến u và v tương ứng. Khi đó ta có:

1
d (u, v ) £ lim inf d (u n , vn ) £ lim sup d (u n , vn ) Ê l 2d (u, v ).
2
nđ Ơ
nđ Ơ
l
c biệt, nếu u = v , thì lim d (un , vn ) = 0 , hơn nữa với mỗi w ẻ E ta cú
xđ Ơ

4


1
d (u, w ) £ lim inf d (u n , w ) £ lim sup d(u n , w ) Ê l d (u, w ).
nđ Ơ
nđ Ơ
l

nh ngha 1.1.12. Cho (E , d ) là một không gian b - metric. Một cặp ánh xạ
{f , g} được gọi là tương thích nếu và chỉ nếu lim d( fgun , gfun ) = 0 , trong ú
nđ Ơ

{u n } là một dãy trong E sao cho lim fun = lim gun = t , với t Ỵ E no ú.
nđ Ơ

xđ Ơ

nh ngha 1.1.13. Cho f v g là định nghĩa hai tự ánh xạ trên tập không rỗng

E . Nếu w = fu = gu với u Ỵ E , thì u được gọi là điểm trùng của f và g ,

trong đó w được gọi là điểm trùng nhau của f và g .
Định nghĩa 1.1.14. Cho f và g là hai tự ánh xạ xác định trên tập E . Khi đó
f và g được gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hốn tại mỗi điểm trùng.

1.2.

Không gian bd - metric

Định nghĩa 1.2.1. Cho E là tập không rỗng. Ánh xạ dl : E E đ [0, Ơ ) c
gi l dl - metric nếu thoả mãn điều kiện sau với mọi u, v, w Ỵ E :
(i ) Nếu dl (u , v ) = 0 thì u = v ;
(ii ) dl (u , v ) = dl (v, u ) ;
(iii ) dl (u , v ) £ dl (u , w ) + dl (w, v ) .

Cặp (E , dl ) được gọi là không gian dl - metric.
Chú ý rằng khi u = v , dl (u, v ) có thể khơng bằng 0.
Ví dụ 1.2.2. Nếu E = ¡

+

È {0} , thì dl (u , v ) = u + v xác định một dl - metric

trên E .
Định nghĩa 1.2.3. Dãy {u n } trong không gian dl - metric được gọi là:
(1) dãy Cauchy nếu với e > 0 , tồn tại $ n 0 ẻ Ơ sao cho vi " n , m ³ n 0 , ta có
dl (u m , u n ) < e hoặc

lim dl (um , un ) = 0 .

n ,m đ Ơ

5


(2) hội tụ đối với dl nếu $u Ỵ E sao cho dl (u n , u ) ® 0 khi n đ Ơ . Trong
trng hp ny u c gọi là giới hạn của dãy {u n } và ta viết u n ® u .
Khơng gian dl - metric E được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy trong E hội tụ đến
một điểm thuộc E .
Định nghĩa 1.2.4. Tập không rỗng E được gọi là không gian dl - metric sắp
thứ tự nếu nó được trang bị một quan hệ thứ tự bộ phận ° và tồn tại dl - metric
trên E .
Định nghĩa 1.2.5. Cho (E , °

) là tập được sắp thứ tự bộ phận. Khi đó u, v Ỵ

E

gọi là so sánh được nếu u ° v hoặc v ° u .
Định nghĩa 1.2.6. Cho (E , °

) là tập được sắp thứ tự bộ phận. Tự ánh xạ f

trên

E được gọi là trội nếu u ° fu với mỗi u Ỵ E .
Ví dụ 1.2.7. Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thơng thường và f : E ® E
được xác định bởi fu =

n

u . Vì u £ u 1/ n = fu với mọi u Ỵ E , nên f là ánh

xạ trội.
Định nghĩa 1.2.8. Cho (E , °

) là tập được sắp thứ tự bộ phận. Tự ánh xạ f

trên

E được gọi là bị trội nếu fu ° u với mỗi u Ỵ E .
Ví dụ 1.2.9. Cho E = [0,1] được trang bị thứ tự thông thường và f : E ® E
được xác định bởi fu = u n vi n ẻ Ơ . Vỡ fu = u n £ u với mọi u Ỵ E , nên
f là ánh xạ bị trội.

Định nghĩa 1.2.10. Cho E là tập không rỗng. Ánh xạ bd : E E đ [0,Ơ )
c gi l bd - metric nếu các điều kiện sau thoả mãn với mọi u, v, w Ỵ E và
l ³ 1:
(bd 1 ) nếu bd (u, v ) = 0 thì u = v ;

(bd 2 ) bd (u , v ) = bd (v, u ) ;

6


(bd 3 ) bd (u, v ) £ l (bd (u, w) + bd (w, v)).

Cặp (E , bd ) được gọi là không gian bd - metric.
Chú ý rằng lớp các không gian bd - metric rộng hơn lớp các khơng gian dl metric, vì bd - metric là dl - metric khi l = 1 .
Sau đây là một ví dụ chỉ ra rằng nói chung bd - metric khơng phải
dl - metric.

Ví dụ 1.2.11. Cho (E , dl ) là không gian dl - metric và bd (u, v) = (dl (u, v))p
trong đó p > 1 . Ta sẽ chỉ ra bd là một bd - metric với l = 2p - 1 .
Rõ ràng, các điều khiện (bd 1 ) và (bd 2 ) của Định nghĩa 1.2.10 được thoả mãn.
Nếu 1 < p < ¥ , thì tính lồi của hàm f (u ) = u p (u > 0) kộo theo

ổa +
ỗỗ
ỗố 2

p

b ư÷
1 p
÷
£
a + bp .
÷
2
ø÷

(

)

p

Vì thế, (a + b) £ 2p - 1 (a p + b p ). Như vậy, với mỗi u, v, w Ỵ E , ta được:
p

p
bd (u, v ) = (dl (u , v )) £ éêdl (u , w ) + (dl (w, v ))ù
ú
ë
û
p
pù
é
£ 2p - 1 ê(dl (u, w )) + (dl (w, v )) ú
ú
ëê
û

.
= 2p- 1 éêëbd (u, w) + bd (w, v )ù
ú
û
Do đó, điều kiện (bd 3 ) của Định nghĩa 1.2.10 được thoả mãn và bd là
bd - metric.

Tuy nhiện, nếu (E , dl ) là không gian dl - metric, thì (E , bd ) khơng nhất
thiết là không gian dl - metric. Chẳng hạn, nếu E = ¡ là tập hợp các số thực,

7


2

thì dl (u, v ) = | u | + | v | là dl - metric và bd (u, v ) = (| u | + | v |) là bd metric trên ¡ với l = 2 nhưng không phải dl - metric trên ¡ .
1.3. Tôpô trên không gian bd - metric

Sarma và Kumari [9] đã thiết lập sự tồn tại của tôpô cảm sinh bởi dl metric mà nó metric hóa được với họ các tập hợp {B (u, e) È {u } : u Ỵ E },

e > 0 là cơ sở, ở đó B (u, e) = {v Ỵ E : dl (u, v ) < e} với mọi u Ỵ E và e > 0
. Ngồi ra,

{

B (u, e) = v Ỵ E : dl (u, v ) £ e

}

là tập đóng.
Tương tự, mỗi bd - metric trên E sinh ra một tôpô t b mà cơ sở của nó
d
là họ các bd - hình cầu mở

Bb (u, e) = {v Ỵ E : bd (u, v ) < e}.
d

Định nghĩa 1.3.1. Ta nói rằng lưới (u a : a Ỵ D ) trong E hội tụ đến u Ỵ (E , bd )
và viết lim u a = u nếu lim bd (u a , u ) = 0 .
V

V

Chú ý rằng giới hạn của lưới trong (E , bd ) là duy nhất.
Với A Í E , ta viết D(A ) = {u Ỵ E : u là giới hạn của lưới trong (A, bd )}.
Mệnh đề 1.3.2. [9] Nếu A, B Í E , thì

(i ) D(A) = Æ nếu A = Æ,

(ii ) D(A ) Í D(B ) nếu A Í B ,

(iii ) D(A È B ) = D(A ) È D(B ) ,
(iv) D(D(A )) Í D(A) .

8


Hệ quả 1.3.3. [9] Với mọi A Ì E , đặt A = A È D (A ) . Khi ú, toỏn t A đ A
tho món

(i ) ặ= ặ
(ii ) A Ì A
(iii ) A = A

(iv ) A È B = A È B
Mệnh đề 1.3.4. Cho ¡ là họ tất cả các tập hợp con A Ì E mà A = A và
t b là họ các tập hợp là phần bù của các tập hợp thuộc ¡ . Khi đó, t b là tơ
d

d

pơ của E và t b - bao đóng của A là A .
d

Định nghĩa 1.3.5. Tô pô t b nhận được trong Mệnh đề 1.3.4 gọi là tôpô cảm
d

sinh bởi bd và gọi là bd - tô pô của E và ký hiệu là (E , bd , t b ) .
d

Bây giờ chúng ta nêu một số mệnh đề và hệ quả trong (E , bd , t b ) được
d

chứng minh tương tự với các kết quả được đưa ra trong [9].
Mệnh đề 1.3.6. Cho A Í E . Khi đó u Ỵ D(A ) nếu với mọi d > 0 ,
B d (u ) ầ A ạ ặ.

H qua 1.3.7. u Ỵ A Û u Ỵ A hoặc B d (u ) ầ A ạ ặ, " d > 0 .
Hệ quả 1.3.8. Tập A Í E là mở trong (E , bd , t b ) Û với mọi u Ỵ A , tồn tại
d

d > 0 sao cho {u } È B d (u ) Í A .
Mệnh đề 1.3.9. Nếu u Ỵ E và d > 0 , thì {u } È B d (u ) mở trong (E , bd , t b ) .
d

Hệ quả 1.3.10. Nếu u Ỵ E và V r (u ) = B r (u ) È {u } với r > 0 , thì tập hợp
{V r (u ) | u Ỵ E } là cơ sở mở tại u trong (E , bd , t b ) . Nếu bd là b - metric và
d

V = B (u ) , thì t b trùng với tơpơ metric.
d

9


Mệnh đề 1.3.11. (E , bd , t b ) là khơng gian Hausdorff.
d

Chứng minh. Nếu u, v Ỵ E và

bd (u, v )
= r > 0 , thì V r (u ) ầV r (v ) = ặ.
2l

Da theo Mệnh đề 3.2 trong [2], ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.3.12. Cho (E , bd ) là không gian bd - metric. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương:
(i ) Với mọi u Ỵ E , ta có bd (u , u ) = 0 .
(ii ) bd là b - metric.
(iii ) Với mọi u Ỵ E và mọi r > 0 , ta có B r (u ) ạ ặ .

nh ngha 1.3.13. Dóy {u n } trong không gian bd - metric (E , bd ) hội tụ đối
với bd (bd - hội tụ) nếu $u Ỵ E sao cho bd (u n , u ) hi t n 0 khi n đ Ơ .
Trong trường hợp hày, u được gọi là giới hạn của {u n } và ta viết u n ® u .
Mệnh đề 1.3.14. Giới hạn của dãy hội tụ trong không gian bd - metric là
duy nhất.
Chứng minh. Giả sử u và v là các giới hạn của dãy {u n } . Theo tính chất (bd 2 )
và (bd 3 ) của Định nghĩa 1.2.10, ta có
bd (u, v ) £ k (bd (un , u ) + bd (un , v)) ® 0 .

Suy ra bd (u, v ) = 0 . Theo tính chất (bd 1 ) của Định nghĩa 1.10 suy ra u = v .
Định nghĩa 1.3.15. Dãy {u n } trong không gian bd - metric (E , bd ) được gọi là
dãy bd - Cauchy nếu với e > 0 , $ n 0 ẻ Ơ sao cho vi mi n , m ³ n 0 ta có
bd (um , un ) < e hoặc lim bd (u n , u m ) = 0 .
n ,m đ Ơ

Mnh 1.3.16. Mi dóy hội tụ trong không gian bd - metric là bd - Cauchy.

10

Chứng minh. Giả sử {u n } là dãy hội tụ đến u Ỵ (E , bd ) . Khi ú vi e > 0 tn
ti n 0 ẻ Ơ sao cho bd (u n , u ) <

e
, " n ³ n0 .
2l

Từ đó với mọi m , n ³ n 0 ta nhận được

(

)

bd (u n , u m ) £ k bd (u n , u ) + bd (u m , u ) < 2l

e
= e.
2l

Vậy {u n } là dãy bd - Cauchy.
Định nghĩa 1.3.17. Không gian bd - metric (E , bd ) được gọi là đầy đủ nếu mỗi
dãy bd - Cauchy trong E đều bd - hội tụ.
Ví dụ sau đây chỉ ra rằng nói chung bd - metric khơng liên tục.
Ví dụ 1.3.18. Lấy E = ¥ È {¥ } và bd : E ´ E ® ¡ được xác định bởi
bd (m , n ) =

1
1

+
nếu m, n chẵn hoặc mn = ¥
m n

bd (m , n ) = 5 nếu m và n lẻ và m ¹ n
bd (m , n ) = 2 trong các trường hợp còn lại.

Khi đó, dễ thấy rằng với mọi m , n , p Ỵ E , ta có
bd (m , p) £ 5 (bd (m , n ) + bd (n , p)).

Như vậy, (E , bd ) là không gian bd - metric. Lấy u 2n = 2n với mỗi n ẻ Ơ .
Khi dú
bd (2n , Ơ

)=

1
đ 0 khi n đ Ơ
2n

Ngha l, u n đ Ơ nhng bd (un ,1) = 2 đ
/ bd (Ơ ,1) khi n ® ¥ .
Bổ đề sau về dãy bd - hội tụ sẽ cần thiết trong chứng minh kết quả chính.

11


Bổ đề 1.3.19. Cho (E , bd ) là không gian bd - metric với hệ số k ³ 1 . Giả sử
{u n } và {vn } là các dãy bd - hội tụ đến u, v tương ứng. Khi đó

1
b (u, v ) £ lim inf bd (u n , vn ) £ lim sup bd (u n , vn ) £ l 2bd (u, v ) .
2 d
nđ Ơ
nđ Ơ
l
Núi riờng, nu bd (u, v ) = 0 , thỡ ta cú lim n đ Ơ bd (u n , vn ) = 0 = bd (u, v ) .
Ngồi ra, với mỗi w Ỵ E , ta có
1
b (u, w ) £ lim inf bd (u n , w ) £ lim sup bd (u n , w ) £ l bd (u, w ) .
n® ¥
n® ¥
l d

Nói riêng, nếu bd (u , w ) = 0 , thỡ lim n đ Ơ bd (u n , w ) = 0 = bd (u , w ) .
Chứng minh. Sử dụng bất đẳng thức tam giác trong không gian bd - metric, ta
nhận được
bd (u, v ) £ l bd (u, un ) + l 2bd (un , vn ) + l 2bd (vn , v ) và
bd (un , vn ) £ l bd (un , u ) + l 2bd (u, v ) + l 2bd (v, vn )

Lấy giới hạn dưới khi n đ Ơ trong bt ng thc th nht v gii hn trờn
khi n đ Ơ trong bt ng thc thứ hai, ta được kết quả cần chứng minh.
Khẳng định cuối cùng được chứng minh tương tự, nhờ sử dụng bất đẳng thức
tam giác.
Định nghĩa 1.3.20. Cho (E , bd ) là khơng gian bd - metric. Khi đó cặp ( f , g)
được gọi là tương thích khi và ch khi limn đ Ơ bd (fgun , gfun ) = 0 , với mọi dãy
{u n } Ì E sao cho lim n đ Ơ fu n = lim n đ Ơ gu n = t vi t ẻ E nào đó.

CHƯƠNG 2
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ CO YẾU

12


TRONG KHÔNG GIAN bd - METRIC SẮP THỨ TỰ
2.1. Nguyên lí ánh xạ co Banach trong khơng gian b-metric
Định lý 2.1.1. Cho (E , d ) là không gian b - metric đầy đủ, và f : E ® E là
ánh xạ sao cho tồn tại 0 < q <

1
,
l

d ( fu, fv ) £ qd (u, v )

với mọi u, v Ỵ E . Khi đó f có điểm bất động duy nhất w , và với u 0 Î E , dãy

{f n u0} hội tụ đến w .
Chứng minh. Lấy u 0 Ỵ E bất kì và kí hiệu vn = f nu 0 . Khi đó

d(vn , vn + 1) = d( fvn - 1, fvn ) £ qd(vn - 1, vn ) với mỗi n = 1, 2....
Theo Bổ đề 1.1.10, {vn } là dãy Cauchy, và vì (E , d ) là khơng gian đầy đủ, nên
tồn tại w Ỵ E sao cho vn ® w khi n ® ¥ . Khi đó

d( fw, w) £ l (d( fw, fvn ) + d(vn + 1, w))
£ l (qd(w, vn ) + d(vn + 1, w)) đ 0
khi n đ Ơ . Do ú, d ( fw, w ) = 0 và w là điểm bất động của f .
Nếu w 1 là điểm bất động khác của f , thì ta có
d (w, w1 ) = d ( fw, fw1 ) £ qd (w, w1 ) .

Điều này chỉ có thể xảy ra khi w = w1 .

Định lý 2.1.2. Cho (E , d ) là không gian b - metric đầy đủ, f : E ® E là

13

W


ỏnh x tha món vi mi n ẻ Ơ tn tại qn Ỵ (0,1) sao cho lim qn = 0 v
nđ Ơ

d( f nu, f nv) Ê qnd(u, v) vi mọi u, v Ỵ E .
Khi đó f có điểm bất động duy nhất .
Chứng minh. Lấy q sao cho 0 < q <

1
. Vì qn ® 0 khi n đ Ơ , nờn tn ti
l

n 0 ẻ Ơ sao cho qn < q với mỗi n ³ n 0 . Khi đó

d ( f n u , f n v ) £ qd (u , v ) với mọi u, v Ỵ E khi n ³ n 0 .

Nói cách khác, với m ³ n 0 tùy ý, g = f m thỏa mãn
d (gu, gv ) £ qd(u, v ) với mọi u, v Ỵ E .

Định lý 2.1.1 kéo theo g có điểm bất động duy nhất, gọi điểm đó là w . Khi đó
f m w = w , kéo theo f m + 1w = f m ( fw ) = fw và fw là điểm bất động của
g = f m . Vì điểm bất động của g là duy nhất, nên fw = w và w là điểm bất

động của f .

W

2.2. Điểm bất động chung của các ánh xạ trong không gian b - metric
Định lý 2.2.1. Giả sử f , g, S ,T là các ánh xạ từ không gian b - metric đầy đủ
(E , d ) vào chính nó sao cho f (E ) Í T (E ), g(E ) Í S (E ) và

d ( fu, gv ) £

s
max{d (Su,T v ), d ( fu, Su ), d (gv,T v ),
l4
1
(d (Su, gv ) + d ( fu,T v ))},
2

(2.1)

với mọi u, v Ỵ E , 0 < s < 1 , đồng thời S và T liên tục và cặp {f , S } và

{g,T } là tương thích. Khi đó f , g, S và T có một điểm bất động chung duy
nhất trong E .
Chứng minh. Lấy u 0 Ỵ E . Vì f (E ) Í T (E ) , nên tồn tại u 1 Ỵ E sao cho

14


fu 0 = T u 1 . Vì gu 1 Î S (E ) , nên chọn u 2 Î E sao cho gu 1 = Su 2 . Nói chung,

u2n + 1 và u2n + 2 được chọn trong E sao cho

fu2n = T u2n + 1 và gu2n + 1 = Su2n + 2 .
Xác định một dãy {vn } Ì E sao cho

v2n = T u2n = T u2n + 1 và v2n + 1 = gu2n + 1 = Su2n + 2 , với mọi n ³ 0 .
Ta sẽ chỉ ra {vn } là một dãy Cauchy. Ta có
d(v2n , v2n + 1) = d (fu2n , gu2n + 1 )

£

s
max d (Su 2n ,T u 2n + 1 ), d (fu 2n , Su 2n ), d (gu 2n + 1,T u 2n + 1 ),
l4
üï
1
d (Su 2n , gu 2n + 1 ) + d (fu 2n ,T u 2n + 1 ) ùý
ùùỵ
2

{

(

=

)

s
max {d (v2n - 1, v2n ), d (v2n , v2n - 1 ), d (v2n + 1, v2n ),
l4
1

(d(v2n - 1, v2n + 1 ) + d (v2n , v2n )
2

}

s
1
max
d
(
v
,
v
),
d
(
v
,
v
),
{
(d(v2n - 1, v2n + 1 )
2n - 1 2n
2n + 1 2 n
2
l4
ìï
ü
ï
s

l
£ 4 max ïí d(v2n - 1, v2n ), d(v2n , v2n + 1), (d(v2n - 1, v2n ) + d(v2n , v2n + 1))ùý .
ùợù
ùỵ
2
l
ù

}

=

Nu d(v2n , v2n + 1) > d(v2n - 1, v2n ) với n nào đó, thì từ bất đẳng thức trên ta có

d (v2n , v2n + 1 ) <

s
d (v2n , v2n + 1 ).
l3

Điều này là mâu thuẫn. Do đó

d(v2n , v2n + 1) £ d(v2n - 1, v2n ) vi mi n ẻ Ơ .
Cng nh vy, theo bất đẳng thức trên ta được

d (v2n , v2n + 1 ) £
Tương tự

15

s
d (v2n - 1, v2n ).
l3


s
d (v2n - 2, v2n - 1 ).
l3

d (v2n - 1, v2n ) £
Từ đó suy ra

d (vn , vn - 1 ) £ hd (vn - 1, vn - 2 ).

Khi h =

s
< 1 và n ³ 2. Do đó, với mọi n ³ 2 ta nhận được
l3

d(vn , vn - 1) £ K £ hn - 1d(v1, v0 ).

(2.2)

Vì vậy với mọi n > m , ta có

d(vn , vm ) £ l d(vm , vm - 1) + l 2d(vm + 1, vm + 2 ) + K + l

n- m- 1

d(vn - 1, vn ).

Theo (2.2) ta có

d(vn , vm ) £ (l hm + l 2hm + 1 + K + l

n- m- 1 n- 1

h

)d(v1, v0 )

2
é
ù
£ l hm ê1 + l h + (l h ) + K úd (v1, v 0 )
êë
ú
û

l hm
£
d(v , v ).
1- l h 1 0
Cho m, n ® ¥ , ta được d (vn , vm ) ® 0 khi l h < 1 . Vì vậy {vn } là một dãy
Cauchy. Vì E là khơng gian b - metric đầy đủ, nên tồn tại v Ỵ E sao cho
lim fu 2n = lim T u 2n + 1 = lim gu 2n + 1 = lim Su 2n + 2 = v .

xđ Ơ

xđ Ơ

xđ Ơ

xđ ¥

Ta sẽ chỉ ra v là điểm bất động chung của f, g,S,T . Vì S liên tục, nên

lim S 2u 2n + 2 = Sv và lim Sfu 2n = Sv .

xđ Ơ

xđ Ơ

Vỡ cp {f , S } là tương thích, nên
lim d(fSu2n ,Sfu 2n ) = 0 .

xđ Ơ

Do ú theo B 1.1.11 ta cú
lim fSu 2n = Sv.

xđ Ơ

t u = Su 2n v v = u2n + 1 trong (2.1), ta được

16


d ( fSu 2n , gu 2n + 1 ) £

s
max{d (S 2u 2n ,T u 2n + 1 ), d ( fSu 2n , S 2u 2n ),(gu 2n + 1,T u 2n + 1),
4
l
1
d (S 2u 2n , gu 2n + 1 ) + d ( fSu 2n ,T u 2n + 1 )
2

(

ỹ
ùù
ý.
ùùỵ

)

(2.3)

Ly gii hn trờn khi n đ Ơ trong (2.3) v s dng B 1.1.10 ta có

d (Sv, v )
l

2

£ limsup d (fSu 2n , gu 2n + 1 )
nđ Ơ

Ê

s
max lim sup d S 2u 2n ,T u 2n + 1 , lim sup d fSu 2n , S 2u 2n + 1 ,
4
nđ Ơ
nđ Ơ
l

{

(

)

(

)

1
lim sup d (gu 2n + 1,T u 2n + 1 ), lim sup d S 2u 2n , gu 2n + 1 +
nđ Ơ
2 nđ Ơ

(

)

}

+ lim sup d (fSu 2n ,T u 2n + 1 )
n® ¥

ïìï 2
ïü
s
l2
£ 4 max í l d (Sv, v ), 0, 0, (d (Sv, v ) + d (Sv, v ))ùý
ùù
ùù
2
l
ợ
ỵ

=

s 2
s
k
d
(
Sv
,
v
)
=
d (Sv, v ).
l4
l2

Do ú,
d (Sv, v ) Ê sd (Sv, v ) Þ (1 - s )d (Sv, v ) £ 0 .

Vì 0 < s < 1 , nên suy ra d (Sv, v ) = 0 . Vậy Sv = v.
Sử dụng tính liên tục của T , ta được

lim T 2u 2n + 1 = T v và lim T gu 2n + 1 = T v.

xđ Ơ

xđ Ơ

Vỡ g v T tng thớch, nờn
lim d(gT un ,T gu n ) = 0.

xđ Ơ

Do ú, theo Bổ đề 1.1.11, ta có
lim gT u 2n = T v.

xđ Ơ

t u = u 2n v v = T u2n + 1 trong (2.1), ta nhận được

17


d ( fu 2n , gT u 2n + 1 ) £

s
max{d Su 2n ,T 2u 2n + 1 , d (fu 2n , Su 2n ), d gT u 2n + 1,T 2u 2n + 1 ,
4
l

(

)

(

)

1
(d (Su 2n , gT u 2n + 1 ) + d fu 2n ,T 2u 2n + 1 )}.
2

(

)

(2.4)

Lấy giới hạn trên khi n đ Ơ trong (2.4) v s dng B đề 1.1.10 ta nhận được

d (v,T v )
£ limsup d ( fu 2n , gT u 2n + 1 )
n® ¥
l2
s

l2
2
£ 4 max{l d (v,T v ), 0, 0, (d (v,T v ) + d (v,T v )}
2
l

=

s
sd (v,T v )
2
2
max{
l
d
(
v
,
T
v
),
0,
0,
l
d
(
v
,
T
v

)}
=
.
l4
l2

Điều này chỉ có thể xảy ra khi d (v,T v ) = 0 , suy ra T v = v .
Áp dụng điều kiện (2.1) ta nhận được

d ( fv, gu 2n + 1 ) £

s
max{d (Sv,T u 2n + 1 ), d ( fv, Sv ), d (gu 2n + 1,T u 2n + 1),
l4
1
(d (Sv, gu 2n + 1 ) + d ( fv,T u 2n + 1 ))}.
2

(2.5)

Ly gii hn trờn khi n đ Ơ trong (2.5), và sử dụng Sv = Tv = v , ta có

d ( fv, v )
s
£ 4 max{l 2d (Sv, v ), l 2d ( fv, Sv ), l 2d (v, v ),
2
l
l
l2
s

(d (Sv, v ) + d ( fv, v ))} = 2 d ( fv, v ).
2
l
Suy ra (1 - s )d( fv, v ) £ 0 . Vì 0 < s < 1 , nên bất đẳng thức chỉ có thể xảy ra
khi d ( fv, v ) = 0 . Do đó fv = v .
Cuối cùng, từ điều kiện (2.1), và Sv = T v = fv = v , suy ra
d (v, gv ) = d( fv, v )

£

s
1
max{
d
(
Sv
,
T
v
),
d
(
fv
,
Sv
),
d
(
gv
,

T
v
),
(d (Sv, gv ) + d ( fv,T v ))}
2
l4

18


=

s
d (v, gv ) £ sd (v, gv ).
l4

Điều này kéo theo d (v, gv ) = 0 và gv = v . Do đó Sv = T v = fv = gv = v .
Nếu tồn tại u Ỵ E là một điểm bất động khác đối với f , g, S và T thì
d (u, v ) = d( fu, gv )

£

s
max{d (Su,T v ), d ( fu, Su ), d (gv,T v ),
l4
1
(d (Su, gv ) + d ( fv,T v ))}
2

=

s
1
max{d (u, v ), d (u, u ), d (v, v ), (d (u, v ) + d (u, v ))}
4
2
l

=

s
d (u, v ) £ sd (u, v ) .
l4

Suy ra d (u, v ) = 0 , do đó u = v . Vậy v là điểm bất động chung duy nhất của
của bốn ánh xạ f , g, S và T .
2.3. Điểm bất động chung đối với các ánh xạ co yếu trong không gian bd metric sắp thứ tự
Giả sử
Y = {y : [0, Ơ ) đ [0, Ơ ) y khụng giảm, liên tục, y (t ) = 0 Û t = 0} v

{

F = j : [0, Ơ ) đ [0, ¥ ) j nửa liên tục dưới, j (t ) = 0 Û t = 0}
Định lý 2.3.1. Cho (E , bd , ° ) là không gian bd - metric đầy đủ được sắp thứ tự
và f , g, S ,T là các tự ánh xạ trên E sao cho ( f , g) và (S ,T ) là các ánh xạ bị
trội và ánh xạ trội tương ứng, với f (E ) Í T (E ) và g(E ) Í S (E ) . Giả sử với
mọi cặp u, v Ỵ E so sánh được với nhau, bất đẳng thức

(

)

y 2l 4bd ( fu, gv ) £ y (Ll (u, v )) - j (Ll (u, v ))

19

(2.6)


được thỏa mãn, trong đó
ìï b (Su,T v ), b ( fu, Su ), b (gv,T v ),ü
ïï
d
d
ï d
ï
ïý
Ll (u, v ) = max í b (Su, gv ) + b ( fu,T v )
d
d
ùù
ùù
ùợù
ùỵ
4l
ù
y ẻ Y v j ẻ F . Nếu với mỗi dãy không tăng {u n } và dãy {vn } với vn ° u n

với mọi n sao cho vn ® u , ta có u ° u n và
(a1 ) ( f , S ) tương thích, f hoặc S liên tục và (g,T ) tương thích yếu, hoặc

(a 2 ) (g,T ) tương thích, g hoặc T liên tục và ( f , S ) tương thích yếu ,

thì f , g, S và T có điểm bất động chung. Ngồi ra, tập điểm bất động chung
của f , g, S và T được sắp thứ tự tốt Û f , g, S và T có một và chỉ một điểm
bất động chung.
Chứng minh. Lấy u 0 Ỵ E tuỳ ý. Bằng qui nạp, ta xác định các dãy {un } và

{v } trong E
n

bởi

v2n + 1 = fu2n = T u2n + 1, v2n + 2 = gu2n + 1 = Su2n + 2, n = 0,1, 2,... .

Điều này có thể được thực hiện vì f (E ) Í T (E ) và g(E ) Í S (E ) . Bởi giả thiết
đã cho, ta có

u2n + 1 ° T u2n + 1 = fu2n ° u2n
và
u 2n ° Su 2n = gu 2n - 1 ° u 2n - 1 .

Như vậy, un + 1 ° un với " n ³ 0 . Ta sẽ chỉ ra {vn } là dãybd - Cauchy.
Giả sử bd (v2n , v2n + 1) > 0 với mỗi n . Nếu khơng thì đối với một số k nào đó

bd (v2k , v2k + 1) = 0 và từ (2.6), ta được

(
= y (2l

)

))

y (bd (v2k + 1, v2k + 2 )) £ y 2l 4bd (v2k + 1, v2k + 2 )
4

bd ( fu 2k , gu 2k + 1

£ y (Ll (u2k , u2k + 1)) - j (Ll (u2k , u 2k + 1)),

20

(2.7)