CỦNG CỐ HÌNH HỌC 8 TẬP 1

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.68 MB, 97 trang )

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
PHN B. HÌNH HỌC
CHUYÊN ĐỀ I. TỨ GIÁC
CHỦ ĐỀ 1. TỨ GIÁC
I. TĨM TẮT LÝ THUYẾT
* Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD và DA; trong đó bất kỳ
hai đoạn thẳng nào cũng khơng nằm trên một đường thẳng.
* Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng
chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác.
* Chú ý: Khi nói đến tứ giác mà khơng chú thích gì thêm, ta hiểu đó là tứ giác lồi.

a) Tứ giác lồi

b) Tứ giác không lồi

a) Tứ giác không lồi
b) Không phải tứ giác
* Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 3600.
* Mở rộng: Tổng bốn góc ngồi ở bốn đỉnh của một tứ giác bằng 3600.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng định lý tổng bốn góc trong một tứ giác. Kết hợp các
kiến thức đã học về tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tốn tổng hiệu... để tính ra số đo
các góc.
µ = 4:3:2:1.
1A. Cho tứ giác ABCD biết µA : Bµ : Cµ : D
a) Tính các góc của tứ giác ABCD.
µ cắt nhau tại E. Các đường phân giác của góc ngồi
b) Các tia phân giác của Cµ và D
· D và CF
· D.

tại các đỉnh C và D cắt nhau tại F. Tính CE
µ của tứ giác ABCD biết µA = 120°, B
µ = 90° và
1B. Tính số đo các góc Cµ và D
µ = 2D
µ.
C

Dạng 2. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh, đường chéo của tứ giác
Phương pháp giải: Có thể chia tứ giác thành các tam giác để sử dụng bất đẳng thức
tam giác.
GV:

- Trêng THCS

1

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
2A. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh:
a) Tổng hai cạnh đối nhỏ hơn tổng hai đường chéo;
b) Tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy.
2B. Cho tứ giác ABCD và một điểm M thuộc miền trong của tứ giác. Chứng minh:
a) MA + MB + MC + M D ≥ A B + CD;
b) MA + MB + MC + MD ≥

1
(AB + BC + CD + DA).
2

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3. Cho tứ giác ABCD có AB = AD, CB = CD (ta gọi tứ giác ABCD trong trường hợp
này là tứ giác có hình cánh diêu).
a) Chứng minh AC là đường trung trực của BD.
µ biết µA = 100°, C
µ = 60°.
b) Tính Bµ , D
µ ,D
µ cắt nhau tại I và CID
µ = 500. Các tia phân giác của C
·
4. Tứ giác ABCD có µA − B
=
0
µ .
115 . Tính các góc µA, B
5. a) Chứng minh trong một tứ giác có hai đường chéo vng góc, tổng bình
phương của hai cạnh đối này bằng tổng các bình phương của hai cạnh đối kia.
b) Tứ giác ABCD có AC vng góc với BD. Biết AD = 5cm, AB = 2 cm, BC = 10
cm. Tính độ dài CD.
6. Cho tứ giác ABCD có µA = Bµ và BC = AD. Chứng minh:
a) ∆DAB = ∆CBA, từ đó suy ra BD = AC;
· D;
b) ·ADC = BC
c) AB // CD.
µ và
7. Cho tứ giác ABCD, AB Cắt CD tại E, BC cắt AD tại F. Các tia phân giác của E
µ cắt nhau tại I. Chứng minh
F
·ABC + ·ADC

·
a) EIF
=
;

2
·
·
b) Nếu BAD = 1300 và BCD
= 500 thì IE ⊥ IF .

HƯỚNG DẪN
1A. a) Sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau.
µA = 1440 , B
µ = 1080 , C
µ = 720 , D
µ = 360

b) Sử dụng tổng ba góc trong tam giác tính được
·
CED
= 1260 .
Chú ý hai phân giác trong và ngồi tại mỗi góc
của một tam giác thì vng góc nhau, cùng với
·
tổng bốn góc trong tứ giác, ta tính được CFD
= 540
1B. HS tự chứng minh:
µ = 500 , C
µ = 1000

D

2A. a) Sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một
tam giác thì lớn hơn cạnh cịn lại cho các tam giác
2

GV:

- Trêng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
OAB, OBC,OCD và ODA.
b) Chứng minh tổng hai đường chéo lớn hơn nửa
chu vi tứ giác sử dụng kết quả của a).
Chứng minh tổng hai đường chéo nhỏ hơn chu vi
tứ giác sử dụng tính chất tổng hai cạnh trong một
tam giác thì lớn hơn cạnh cịn lại cho các tam giác
ABC, ADC, ABD và CBD.
2B. a) HS tự chứng minh
b) Tương tự 2A a)
3. a) HS tự chứng minh
b) Sử dụng tổng bốn góc trong tứ giác và chú ý
µ =D
µ
B

µ
4. Tính tổng Cµ + D
5. a) Sử dụng Pytago

b) Áp dụng a)
6. a) HS tự chứng minh
b) HS tự chứng minh
c) Sử dụng a), b) và tổng bốn góc trong tứ giác
7) a) Gọi IF ∩ CD = { N }
Theo định lý về góc ngồi của tam giác
µ
E
·
·
VNIE có FIE
= FNE
+ ;
2
µE
·
µ +
VDNF có FNE
=D
;
2
µ µ
·
µ + E + F (1) .
=D
Vậy FIF
2

∆ ADE có

µ = 1800 − ( D
µ + µA );
E
1
µ = 1800 − ( D
µ +C
µ );
VDFC có F
1
0
µ
µ
µ
µ
µ
⇒ E + F = 360 − (2 D + A + C )
1

1

µ +C
µ +D
µ − (2 D
µ +µ
µ )=B
µ −D
µ;
=µ
A1 + B
A1 + C

1
1
1
1
µ µ µ µ
·
µ + B1 − D = D + B1 (ĐPCM)
Thay vào (1) được EIF
=D
2
2

b) Áp dụng a).
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

GV:

- Trêng THCS

3

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

* Hình thang vng là hình thang có một góc vng.

II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hai đường thẳng song song và tổng bốn góc
của một tứ giác. Kết hợp các kiến thức đã học và tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tốn
tổng hiệu … để tính ra số đo các góc.
µ = 600.
1A. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có D
a) Tính chất
µ

B 4
µ.
b) Biết µ = . Tính Bµ và C
5
D

µ = 200 , B
µ = 2C
µ . Tính các góc của hình thang.
1B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có µA − D
Dạng 2. Chứng minh hình thang, hình thang vng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hình thang, hình thang vng.
µ . Chứng minh rằng ABCD
2A. Tứ giác ABCD có BC = CD và DB là tia phân giác D
là hình thang và chỉ rõ cạnh đáy và cạnh bên của hình thang.
2B. Cho tam giác ABC vng cân tại A. Vẽ về phái ngoài tam giác ACD vng cân
tại D. Tứ giácABCD là hình gì ? Vì sao?
GV:

- Tr- 5
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
Dng 3. Chứng minh mối liên hệ giữa các cạnh, tính diện tích của hình thang,
hình thang vng
3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) hai tia phân giác của Bµ và Cµ cắt
nhau ở I. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD lần lượt ở E và F.
a) Tìm các hình thang.
b) Chứng minh rằng tam giác BEI cân ở E và tam giác IFC cân ở F.
c) Chứng minh EF = BE + CF.
µ = 900 , AB = AD = 2 cm, DC = 4 cm và
3B. Cho hình thang vng ABCD có µA = D
BH vng góc với CD tại H.
a) Chứng minh ∆ABD = ∆HDB.
b) Chứng minh tam giác BHC vng cân tại H.
c) Tính diện tích hình thang ABCD.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
1µ µ µ
, B − C = 500.
4. Tính các góc của hình thang ABCD (AB//CD) biết rằng: có µA = D
3

µ ,B
µ =C
µ , AB = 3cm, CD = 4 cm. Tính
5. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có µA = 3D
đường cao AH của hình thang và tính diện tích hình thang.
6. Cho hình thang ABCD (AB//CD ) có CD = AD + BC. Gọi K là điểm thuộc đáy CD

sao cho KD = AD. Chứng minh rằng:
a) AK là tia phân giác cùa µA ;
b) KC = BC;
c) BK là tia phân giác của Bµ .
7. Cho tam giác ABC vng cân tại A có AB = 4 cm. Vẽ về phía ngồi tam giác ACD
vng cân tại D. Tính diện tích tứ giác ABCD.

HƯỚNG DẪN
1A. a) HS tự làm> Tìm được Â = 1200
b) HS tự làm. Tìm được Bµ = 480 và Cµ = 1320
µ = 800 , B
µ = 1200 ,
1B. Chú ý ảA , àD v Bả , Cà l cỏc cặp góc trong cùng phía. µA = 1000 , D
µ = 600
C

2A. Chú ý tam giác CBD cân tại C. Khi đó cùng với DB là phân giác góc S ta chứng
·
minh được ·ADB = CBD
.
2B.HS tự chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vng.
3A.a) HS tự tìm
b) Sử dụng các cặp góc so le trong của hai đường thẳng song song và tính chất tia
phân giác.
c) Suy ra từ b)

6

GV:

- Trêng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1

3B. HS tự chứng minh.
µ = 650
4. Tương tự 1B. Ta tính được µA = 450 , µD = 1350 , Bµ = 1150 , C
µ = 900 , C
µ = 900 , D
µ = 450 , từ đó suy ra
5. Tương tự 1B. Tính được số đo của µA = 1350 , B
ABCD là hình thang vng ⇒ BC ⊥ DC . Vận dụng nhận xét hình thang ABCH
(AB//CH) có hai cạnh bên song song thì hai cạnh đáy bằng nhau, để tính được CH =
3cm, từ đó suy ra DH = 1cm.
Chứng minh được ∆AHD vuông cân tại H ⇒AH = 1cm
⇒ diện tích hình thang ABCD là 3,5cm2
6. a) Sử dụng các cặp góc so le trong và tính chất tam giác cân.
b) HS tự chứng minh.
c) Tương tự a).
7. Tương tự 2B. Ta chứng minh được ABCD là hình thang vng. Từ đó tính được
diện tích ABCD là:
S ABCD = s ABC + s ACD =

1
1
1
1
AC. AB + CA.DH = .4.4 + .4.2 = 12cm 2
2

2
2
2

(Với DH là đường cao tam giác ACD)
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

GV:

- Trêng THCS

7

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1

- Hình thang có hai góc kề một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Chú ý: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau khơng phải ln là hình thang cân.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN
Dạng 1. Tính số đo góc, độ dài cạnh và diện tích hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng tính chất hình thang cân về cạnh góc, đường chéo và
cơng thức tính diện tích hình thang để tính tốn.
1A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có µA = 2Cµ . Tính các góc của hình thang cân.
µ . Tính các góc của hình thang cân.
1B. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có µA = 3D
2A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AH và BK là hai đường cao của hình
thang.
a) Chứng minh DH =

CD − AB
.
2

b) Biết AB = 6 cm, CD = 14 cm, AD = 5 cm, tính DH, AH và diện tích hình
thang cân ABCD.
2B. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có µA = Bµ = 600 , AB = 4,5cm; AD = BC = 2
cm. Tính độ dài đáy CD và diện tích hình thang cân ABCD.
Dạng 2. Chứng minh hình thang cân
Phương pháp giải: Sử dụng dấu hiệu nhận biết hình thang cân.
3A. Cho tam giác ABC cân tại A có BD và CE là hai đường trung tuyến của tam
giác. Chứng minh BCDE là hình thang cân.
3B. Cho tam giác ABC cân tại A có BH và CK là hai đường cao của tam giác.
Chứng minh BCHK là hình thang cân.
Dạng 3. Chứng minh các cạnh bằng nhau, các góc bằng nhau trong hình thang cân
4A. Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD ). Gọi O là giao điểm của AD

và BC; Gọi E là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:
a) Tam giác AOB cân tại O;
b) Các tam giác ABD và BAC bằng nhau;
c) EC = ED;
d) OE là trung trực chung của AB và CD.

GV:

- Trêng THCS

9

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
4B. Cho tam giác ABC cân tại A và điểm M tùy ý nằm trong tam giác. Kẻ tia Mx
song song vói BC cắt AB ở D, tia My song song với AC cắt BC ỏ E. Chứng minh
µA
·
DME
= 900 + .
2

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
5. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên BC. Chứng minh CA là tia
·
phân giác của BCD
.
6. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai đáy AB
và CD. Chứng minh EF vng góc với AB.
7. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có hai đường chéo vng góc với nhau.

Chứng minh chiều cao của hình thang cân bằng nửa tổng độ dài hai cạnh đáy.
8. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD) có đường chéo BD vng góc với cạnh bên
BC và đồng thời DB là tia phân giác của ·ADC.
a) Tính các góc của hình thang cân ABCD.
b) Biết BC = 6 cm, tính chu vi và diện tích của hình thang cân ABCD.
HƯỚNG DẪN

µ = 2D
µ
µ = 180 và µA = 2C
1A. Ta có µA + D
µ = 600 , µA = B
µ = 1200
Suy ra Cµ = D
0

µ = 450 , µA = B
µ = 1350
1B. Tương tự bài 1A. Ta có: Cµ = D
2A. a) Chứng minh
∆ADH = ∆BCK (ch-gnh)
⇒ DH = CK
Vận dụng nhận xét hình thang ABKH (AB//KH) có AH//BK ⇒AB = HK

b) Vậy DH =

CD − AB
2

c) DH = 4cm, AH = 3cm; SABCD = 30cm2

2B. Hạ CH và DK vng góc với AB
Ta có:
AK = BH =

1
AD = 1cm
2

Từ đó: CD = 2,5cm
CH = 3cm
( AB + CD ) .CD = 7 3 cm2
S ABCD =
2
2

3A. Sử dụng tính chất đường trung bình, ta chứng minh được DE//BC.
3B. Chứng minh ∆BKC = ∆CHB (ch-gnh)
10 GV:

- Trêng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
Suy ra CK = BH & AK = AH.

·
1800 − KAH
= ·ABC hay KH / / BC.
Từ đó ·AKH =

·
·
4A. a) OAB
= OBA

2

suy ra ∆OAB cân tại O.
b) HS tự chứng minh.
·
·
·
c) ·ADB = BCA
, suy ra EDC
hay
= ECD
∆ECD cân tại E.
d) ta có: OA = OB, EA = EB, suy ra
OE là đường trung trực của đoạn AB.
Tương tự có OE cũng là đường trung
trực của đoạn CD. Vậy OE là đường
trung trực chung của AB và CD.
·
·
4B. Do MD / / BC ⇒ DME
+ MEB
= 1800
·
·
Suy ra DME

= 1800 − MEB
µA
= 1800 − ·ACB = 900 +
2

5. Chứng minh:

·ACB = CAB
·
·
·
. Suy ra CA là tia phân giác của BCD
= DCA

6. Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Chứng minh: OE ⊥ AB.
Tương tự, có OF ⊥ CD.
Suy ra OF ⊥ AB. Vậy EF ⊥ AB.
7. Xét hình thang ABCD có các đường cao AH và BK. Từ A kẻ đường thẳng song
song với BD cắt CD ở E ⇒AB = ED.
AB + CD
Chứng minh ·ACH = 450 . Do ∆EAC vuông cân ở A nên AH = CH = EH =
2
·
·
a) ∆DBC vng
có BCD
nên
= 2 BDC
·ADC = BCD

·
·
·
= 600 và DAB
= CBA
= 1200
b) Tính được DC = 2.BC = 12cm, suy ra
PABCD = 30cm.
Hạ đường cao BK, ta có BK = 3 3cm .
Vậy SABCD = 27 3cm 2

..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

GV:

- Tr- 11
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

Dạng 1. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bìn của tam giác để
chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định lí 1,
Định lí 2 để suy ra điều cân chứng minh.
1A. Cho tam giác ABC cân tại A, có M là trung điểm của BC. Kẻ tií Mx song song
với AC cắt AB tại E và tia My song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh:
a) EF là đường trung bình của tam giác ABC;
b) AM là đường trung trực của EF.
1B. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Trên cạnh AB lấy điểm D
và E sao cho AD = DE = EB. Đoạn CD cắt AM tại I. Chứng minh:
a) EM song song vói DC;
b) I là trung điểm của AM;
c) DC = 4DI.
Dạng 2. Sử dụng định nghĩa và định lí về đường trung bình của hình thang để
chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của hình thang, Định lí 3,
Định lí 4 để suy ra điều cần chứng minh.
2A. Cho hình thang vuông ABCD tại A và D. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của
AD, BC. Chứng minh:
·
·
a) ∆AFD cân tại F;
b) BAF
= CDF
.
GV:

- Tr- 13
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
à cắt
2B. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Các đường phân giác ngồi của µA và D
nhau tại E, các đường phân giác ngồi của Bµ và Cµ cắt nhau tại F. Chứng minh:
a) EF song song với AB và CD;
b) EF có độ dài bằng nửa chu vi hình thang ABCD.
Dạng 3. Sử dụng phối hợp đường trung bình của tam giác và đường trung bình
của hình thang đê chứng minh
Phương pháp giải: Sử dụng Định nghĩa đường trung bình của tam giác, Định
nghĩa đường trung bình của hình thang và các Định lí : 1, 2, 3, 4 để suy ra điều cần
chứng minh.
3A. Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AD,
BD, AC, BC. Chứng minh:
a) M, N, P, Q cùng nằm trên một đường thẳng;

b) NP =

1
DC − AB .
2

3B. Cho hình thang ABCD (AB//CD) với AB = a, BC = b, CD = c và DA = d. Các
tia phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại E, các tia phân giác của Bµ và Cµ cắt
nhau tại F. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AD và BC.
a) Chứng minh M, E, N, F cùng nằm trên một đường thẳng.
b) Tính độ dài MN, MF, FN theo a, b, c, d.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
4. Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Từ H kẻ tia Hx vuông góc với
AB tại P và tia Hy vng góc vói AC tại Q. Trên các tia Hx, Hy lần lượt lấy các điếm

D và E sao cho PH = PD, QH = QE. Chứng minh:
a) A là trung điểm của DE;
b) PQ =

1
DE ;
2

c) PQ = AH.
5. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến ứng vói BC. Trên cạnh AC lấy điểm D
sao cho AD =

1
C. Kẻ Mx song song với BD và cắt AC tại E. Đoạn BD cắt AM tại I.
2

Chứng minh:
a) AD = DE = EC;
b) SAIB = SIBM;
C)SABC = 2SIBC.
6. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.
a) Chứng minh EK song song với CD, FK song song với AB.
b) So sánh EF và

1
( AB + CD).
2

c) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để ba điểm E, F, K thẳng hàng. Từ đó
chứng minh EF =

1
(AB + CD).
2

14 GV:

- Trêng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
7. Cho tứ giác ABCD. Có G là trung điểm của đoạn nối các trung điểm của hai
đường chéo AC và BD. Gọi m là một đường thẳng không cắt cạnh nào của hình
thang ABCD; Gọi A', B', C’, D’, G' lần lượt là hình chiếu của A, B, C, D, G lên
đường thẳng m. Chứng minh GG' =

1
(AA'+BB'+CC'+DD’).
2

HƯỚNG DẪN
1a. a) Mx đi qua trung điểm M của BC và song
song với AC. Suy ra Mx đi qua trung điểm E của
AB (theo Định lí 1).
Tương tự, ta được F cũng là trung điểm của AC.
Khi đó EF trở thành đường trung bình của tam
giác ABC;
b) Do ME và MF cũng là đường trung bình nên
có ME = MF = AE = AF. Suy ra AM là đường
trung trực của EF.

1B. a) Ta có EM là đường trung bình của tam giác
BCD ⇒ ĐPCM.
b) DC đi qua trung điểm D của AE và song song
với EM ⇒ DC đi qua trung điểm I của AM.
c) Vì DI là đường trung bình của tam giác AEM
nên DI =

1
EM.(1)
2

Tương tự, ta được: EM =

1
DC (2)
2

Từ (1) và (2) ⇒ DC = 4DI
2A. a) Ta có È là đường trung bình của hình thang
ABCD.
⇒ EF//AB.
Suy ra EF ⊥ AD
Khi đó EF vừa trung tuyến, vừa là đường cao của
tam giác AFD ⇒ ĐPCM.
·
·
b) Tam giác AFD cân tại F nên EAF
= EDF
·
·

Suy ra FAB
= CDF
2B.

a) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của AE, BF với CD.
1µ
1
·
= µA ngồi.
Ta có: ·ADE = D
ngồi, DAE

2
2
0
µ
µ
Mà A ngồi + D ngồi = 180 (do AB//CD)

GV:

- Tr- 15
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
Ã
·ADE + DAE
= 900 , tức là tam giác ADE vng tại E.

Khi đó, tam giác ADM cân tại D (do có DE vừa là đường phân giác, vừa là đường
cao) và E là trung điểm của AM.
Chứng minh tương tự, ta được F olaf trung điểm của BN.
Từ khó, suy ra EF là đường trung bình của hình thang ABNM và ta được ĐPCM
1
2

b) Từ ý a), EF = ( AB + BC + CD + DA)
Lưu ý: Có thể sử dụng tính chất đường phân giác để chứng minh.
3A. a) Ta có MN là đường trung bình của tam
giác ABD
⇒ MN / / AB

Tương tự, ta được MP//CD và MQ//AB, CD.
Như vậy, MN, MP, MQ cùng song song AB ⇒
ĐPCM.
b) Ta có:

1
1
DC − AB = 2 MP − 2 MN = MP − MN = NP
2
2

3B.a)Gọi P và Q lần lượt là giao điểm của AE, AF
với CD.
Chứng minh tương tự 2B.
b) Ta có:
MN =

1
1
( AB + CD ) = (a + c)
2
2

Lại có:
c = CD = CQ + QD = BC + QD = b + QD (do tam
giác BCQ cân) ⇒ QD = c - b.
Trong hình thang ABQD có M là trung điểm của AD và MF//DQ nên chứng minh
được F là trung điểm của BQ, từ đó chứng minh MF là đường trung bình của hình
thang ABQD.
Vì MF là đường trung bình của hình thang ABQD.
1
2

1
2

⇒ MF = ( AB + DQ) = (a + c − b)
1
2

1
2

Mặt khác, FN là đường trung bình của tam giác BCQ, tức là FN = CQ = b.
4. a) Chứng minh được tam giác ADH và AEH
cân tại A.
·

·
·
·
Khi đó: DAP
= HAP
, EAQ
= HAQ
và AD = AH
= AE.
Từ đó, suy ra được A, A, E thẳng hàng và A là
trung điểm DE.
b) PQ là đường trung bình của tam giác DHE
⇒ ĐPCM.
c) Có AH = AD = AE =
⇒AH = PQ.

1
1
DE, mà PQ = DE
2
2

16 GV:

- Trêng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
5. a) Theo định lý 1, trong tam giác BDC có:
M là trung điểm của BC, ME//BD ⇒ E là trung

điểm của DC ⇒ DE = EC =

1
DC.
2

Suy ra AD = DE = EC.
b) Từ ý a) D là trung điểm của AE. Suy ra ID là đường trung bình của tam giác AME
hay IA = IM.
Vậy SAIB= SIBM.
c) Hạ hai đường cao AH và IK của tam giác ABC và IBC
Chứng minh được IK là đường trung bình của tam giác AHM ⇒ IK =

1
AH.
2

Xét hai tam giác ABC và IBC có chung đáy BC và hai đường cao AH = 2IK ⇒
ĐPCM.
6. a) HS tự chứng minh.
b) Xét tam giác
1
1
1
EFK : EF ≤ EK + KF = CD + AB = ( AB + CD );
2
2
2

c) Để E, F, K thẳng hàng, khi đó EF đồng

thời song song với AB và CD. Tức là tứ giác
ABCD là hình thang (AB//CD)
1
2

Theo định lý 4, EF = ( AB + CD).
7. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của AC và BD; E' và F' lần lượt là hình chiếu
của E, F trên đường thẳng m.
Khi đó, GG' là đường trung bình của hình thang EE'F'F

⇒ GG ' =

1
EE' +FF').
2

Mà EE' và FF' lần lượt là đường trung bình của hình thang AA'C'C và
BB'D'D.
1
1
⇒ EE ' = (AA' +CC') và FF ' = (BB' +DD')
2
2

Thay vào (1) ta được ĐPCM.
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

GV:

- Tr- 17
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

Khi đó ta cịn nói:
A' đối xứng với A qua d.
Hoặc
A và A' đối xứng nhau qua d.
* Quy ước. Một điểm nằm trên trục đối xứng thì điểm đối xứng với nó qua trục đối
xứng là chính nó.
* Hai hình đối xứng qua một đường thẳng: Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua
đường thẳng d nếu một điểm bất kì thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc
hình kia qua đường thẳng d và ngược lại.
* Nhận xét: Nếu hai đoạn thẳng (góc, tam giác) đối xứng với nhau qua một đường
thắng thì bằng nhau.
* Hình có trục đối xứng: Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hình H nếu điểm
đối xúng với mỗi điểm thuộc hình H qua đường thẳng d cũng thuộc hình H
* Định lí: Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy của hình thang cân là trục đối
xứng của hình thang cân đó.
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1. Chứng minh hai điểm hoặc hai hình đối xứng với nhau qua một đường thẳng
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa hai điểm đối xúng hoặc hai hình đối xứng
với nhau qua một đường thẳng.
1A. Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ đường cao AH. Lấy các đi K theo thứ tự trên
AB, AC sao cho AI = AK. Chứng minh hai điếm I, K đối xứng với nhau qua AH.
1B. Cho tam giác cân ABC, có AM là trung tuyến ứng với BC. Chứng minh rằng
cạnh AB đối xứng vói AC qua AM.
Dạng 2. Sử dụng tính chất đối xứng trục để giải tốn
Phương pháp giải: Sử dụng nhận xét hai đoạn thẳng (góc, giác) đối xứng vói nhau
qua một đường thẳng thì bằng nhau.
2A. Cho tam giác vng ABC( µA = 90°). Lấy M bất kì trên cạnh Gọi E, F lần lượt là các
điếm đối xứng với M qua AB và AC. Chứng minh: A là trung điểm của EF.
2B. Cho đường thẳng d và hai điểm A, B (như hình vẽ). Tìm vị điểm C trên d để chu
vi tam giác ABC nhỏ nhất.

GV:

- Tr- 19
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1

III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
3. Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối xứng
với A qua d.
a) Tìm đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua đường thẳng d; tìm đoạn
thẳng đối xứng với đoạn thẳng AC qua đường thẳng d.
b) Tứ giác AKCB là hình gì?
4. Cho tam giác ABC, có µA = 60°, trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC.
a) Chứng minh ∆BHC = ∆BMC.
·
b) Tính BMC
.
5. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngồi đỉnh C.
Chứng minh AC + CB < AM + MB.
6. Cho tam giác nhọn ABC. Lấy M bất kì trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là các
điểm đối xứng vói M qua AB và AC. Gọi I, K là giao điểm của EF với AB và AC.
·
a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của IMK
.
b) Khi M cố định, tìm vị trí điểm P ∈ AB và Q ∈ AC để chu vi tam giác MPQ
đạt giá trị nhỏ nhất.
HƯỚNG DẪN
1A. Sử dụng tính chất của tam giác cân chỉ ra được AH là

·
phân giác của góc IAK
. Tiếp tục chỉ ra được AH là đường
trung trực của IK. Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
1B. Chứng minh được B đối xứng với C qua AM, A đối
xứng với chính A qua AM. Từ đó suy ra điều phải chứng
minh.
2A. Sử dụng tính chất đối xng trc AE = AF (=AM) (1).
ả ;à
ả
S dng tớnh chất của tam giác cân ⇒ ¶A1 = A
2 A3 = A 4 . Từ
·
= 1800 ⇒ A, E , F thằng hàng (2).
đó chỉ ra được EAF
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
2B. Gọi A' là điểm đối xứng của A qua d ⇒ A' cố định.
Vì C ∈ d ⇒ CA = CA' (tính chất đối xứng trục). Ta có:
P∆ABC = AB + AC + BC
= AB + (CA' + CB) ≥ AB + BA' (không đổi. Dấu "=" xảy ra
tức là chu vi tam giác nhỏ nhất khi C là giao điểm của d và
BA'.
3. a) Đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d
20 GV:

- Trêng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
ln lượt là KC, KB.

b) ta có AK//BC (vì cùng vng góc với d) và AC = KB
(tính chất đối xứng trục) ⇒ tứ giác AKCB là hình thang
cân.
4. a) Chứng minh được ∆BHC = ∆BMC (c.c.c).
b) Gọi {C'} = CH ∩ AB. Sử dụng định lý tổng 4 góc trong
· ' HC ' = 1200
tứ giác AB'HC' ta tính được B
· ' HC ' = BHC
·
Ta
có
(đối
đỉnh)
và
B
·
·
·
BCH
= BMC
(do VBHC =VBMC ) ⇒ BMC
= 1200

5. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A' sao cho CA' = CA.
Sử dụng tính chất của tam giác cân ta có được CM là đường
trung trực của AA' ⇒ MA = MA'. Sử dụng bất đẳng thức
trong tam giác A'MB ta có: CA + CB = CA' + CB = BA'
6. a) Sử dụng tính cht i xng trc kt hp vi chng
à =M

ả v F
à =M
ả , m
minh tam giỏc bng nhau ta cú c E
1
1
1
2
à =F
à (Tớnh cht tam giỏc cõn)
E
1
1
ả
ả PCM.
M1 = M
2
b) Sử dụng tính chất đối xứng trục ta có PM = PE; QM =
QF. Theo bất đẳng thức trong tam giacs MPQ, ta có:
P∆MPQ = MP + PQ + QM= (PE + PQ) + QF ≥ EQ + QF ≥
EF.
Do M cố định, tam giác ABC cố định ⇒ E, F, I, K cố định.
Vậy (P∆MPQ)min = EF ⇔ P ≡ I, Q ≡ K.
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

GV:

- Tr- 21
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

22 GV:

- Trêng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

a) BE = DF và ·ABE = CDF
;
b) BE // DF.
1B. Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và
CD. Gọi M v à N lần lượt là giao điểm của AI và CK với BD. Chứng minh:
a) ∆ ADM = ∆ CBN;
·
·
b) MAC
và IM//CN;
= NCA
c) DM = MN = NB.
Dạng 2. Chứng minh tứ giác là hình bình hành
Phương pháp giải: Vận dụng các dấu hiệu nhận biết để chứng minh một tứ giác là
hình bình hành.
2A. Cho hình bình hành ABCD, đường chéo BD. Kẻ AH và CK vng góc với BD ở
H và ở K. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.
2B. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Qua
điểm O, vẽ đường thẳng a cắt hai đường thẳng AD, BC lần lượt tại E, F. Qua O vẽ
GV:

- Tr- 23
êng THCS

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
ũng thẳng b cắt hai cạnh AB, CD lần lượt tại K, H. Chứng minh tứ giác EKFH là
hình bình hành.
Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy
Phương pháp giải: Vận dụng tính chất về đường chéo của hình bình hành.

3A. Cho tam giác ABC và O là một điểm thuộc miền trong của tam giác. Gọi D, E, F
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA và L, M, N lần lượt là trung điểm của
các đoạn OA, OB, OC. Chứng minh rằng các đoạn thẳng EL, FM và DN đồng quy.
3B. Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm hai đường chéo. Trên AB lấy điểm
K, trên CD lấy điểm I sao cho AK = CI. Chứng minh ba điểm K, O, I thẳng hàng.
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ
4. Cho hình bình hành ABCD (AB > BC). Tia phân giác của góc D cắt AB ở E, tia
phân giác của góc B cắt CD ở F.
a) Chứng minh DE//BE.
b) Tứ giác DEBF là hình gì?
5. Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với
BC cắt AB tại F và đường thăng song song vói AB cắt BC tại D. Giả sử AE = BF,
chứng minh:
a) Tam giác AED cân;
b) AD là phân giác của góc A.
6. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC,
CD, DA và I, K là trung điểm các đường chéo AC, BD. Chứng minh:
a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.
b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.
7. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vng góc với AB tại B,
vng góc với AC tại C cắt nhau ở D.
a) Chứng minh tứ giác BDCH là hình bình hành.
·
·
b) Tính số đo góc BDC
, biết BAC
= 60°.
8. Cho hình bình hành ABCD có AD = 2AB. Từ C vẽ CE vng góc với AB. Nối E
với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vng góc với CE cắt BC tại N.
a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Tam giác EMC là tam giác gì?
·
c) Chứng minh BAD
= 2 ·AEM .
HƯỚNG DẪN
1A.a) Ta chứng minh được BEDF là hình bình hành ⇒ BE
·
·
= DF và EBF
.
= CDF
Cách khác: ∆AEB = ∆CFD (c.g.c) suy ra BE = DF và
·ABE = CDF
·
.
b) Vì BEDF hình bình hành ⇒ ĐPCM.
1B.a) Chứng minh được AKCI là hình bình hành ⇒ ∆ADI
= ∆CBK (c-c-c-) ⇒ ∆ADM = ∆CBN (g-c-g)
b) Vì AKCI là hình bình hành ⇒ ĐPCM.
c) Từ câu a) ⇒ DM= NB. Mặt khác MN = NB (định lý 1
24 GV:
êng THCS

- Tr-

Củng cố và ôn luyện hình 8 Tập 1
ca đường trung bình), từ đó suy ra ĐPCM.
2A. Ta chứng minh AH//CK, AH = CK (∆AHD = ∆CKB)
⇒ AHCK là hình bình hành (cặp cạnh đối song song và

bằng nhau).
2B. Ta có ∆AOK = ∆COH ⇒ OK =OH, ∆DOE = ∆BOF ⇒
OE = OF ⇒ EHFK là hình bình hành.
3A. Gọi I trung điểm LE. Ta có DL//EN//OB và DL = EN =
1
OB ⇒ DENL là hình bình hành. Tương tự chứng minh
2

LMEF là hình bình hành. Từ đó suy ra EL,FM, DN đồng
quy tại I.
3B. Chứng minh được AKCI là hình bình hành ⇒ ĐPCM.
·
·
4.a) Ta có ·AED = EDC
và ·ABF = EDC
⇒ DE / / BF (có góc ở
vị trí đồng vị bằng nhau).
b) Từ câu a) suy ra DEBF là hình bình hành.
5.a) Chứng minh BDEF là hình bình hành ⇒ ED= BF = AE
⇒ ∆AED cân ở E.
·
·
b) Ta có BAD
(vì cùng bằng ·ADE ) ⇒ AD là phân
= DAC
giác Â.
6. Tương tự bài 3A.
7. a) Vì BHCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình
bình hành.
·

b) Tứ giác ABCD có ·ABD = ·ACD = 900 mà BAC
= 600 nên
·
BDC
= 1200

8.a) Ta có MNCD là hình bình hành.
b) Chứng minh được F trung điểm CE ⇒ ∆EMC cân tại M.
·
·
·
·
·
c) Chứng minh được ·AEM = FME
= FMC
= CMD
= DCM
= MCB
·
·
·
mà AE//MF nên BAD
= FMD
= 2CMD
= 2 ·AEM .
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................
..............................................................................................................................................................................................

CỦNG CỐ HÌNH HỌC 8 TẬP 1

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về