Luận văn Thạc sĩ Toán học Thuật toán tách cho bài toán cân bằng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

THUẬT TOÁN TÁCH CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2020


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

TRẦN THỊ HỒNG NHUNG

THUẬT TỐN TÁCH CHO BÀI TỐN CÂN BẰNG
Ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Cán bộ hướng dẫn khoa học: GS.TS. Nguyễn Xuân Tấn

THÁI NGUYÊN - 2020


i

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, các kết quả
nghiên cứu là trung thực và chưa được cơng bố trong bất kì cơng trình nào
khác.

Thái Ngun, tháng 6 năm 2020
Tác giả luận văn

Trần Thị Hồng Nhung


ii

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tác giả xin được trân trọng bày tỏ lịng biết ơn chân thành và
sự kính trọng sâu sắc đến GS.TS. Nguyễn Xuân Tấn, người thầy đã nghiêm
túc hướng dẫn, tận tâm chỉ bảo cho tác giả những kinh nghiệm trong học tập,
nghiên cứu khoa học và sáng tạo, định hướng đúng đắn để tác giả hoàn thành
tốt luận văn.
Tác giả xin chân thành bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới Ban lãnh đạo
Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong thời gian học tập tại trường.
Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Tốn cùng các thầy
cơ đã tạo điều kiện giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn
thành luận văn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè và những người thân trong gia đình
đã ủng hộ, động viên, giúp đỡ và đồng hành cùng tác giả trong suốt thời gian
học Cao học cũng như trong thời gian tác giả thực hiện luận văn này.
Thái Nguyên, ngày tháng năm 2020
Học viên

Trần Thị Hồng Nhung


iii
MỤC LỤC
Trang
Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iii

MỞ ĐẦU

1

Chƣơng 1. Bài toán cân bằng giả đơn điệu mạnh

3

1.1. Các kiến thức cơ sở về giải tích lồi

3

1.2. Bài tốn cân bằng giả đơn điệu

13

Chƣơng 2. Bài toán cân bằng tách

29

2.1. Phát biểu bài toán

29

2.2. Thuật toán giải

30

2.3. Sự hội tụ của thuật toán

31

KẾT LUẬN VÀ ĐỀ NGHỊ

38

TÀI LIỆU THAM KHẢO

39


✶

▼Ð ✣❺❯
❈❤♦ ❈ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣✱ f : C×C → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = 0✳
❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ x¯ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ f (x, y) 0 ợ ồ y C ữủ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥
❝➙♥ ❜➡♥❣✱ x¯ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤✐➸♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❇➔✐ t♦→♥ ♥➔② ✤â♥❣ ✈❛✐ trá q✉❛♥
trå♥❣ ❝↔ t tt tỹ t õ ỗ t tr
ỵ tt tố ữ ữ ỳ trữớ ❤ñ♣ ✤➦❝ ❜✐➺t✳ ❱✐➺❝ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤➸
❜➔✐ t♦→♥ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ✈➔ ✈✐➺❝ t➻♠ r❛ t❤✉➟t t♦→♥ ✤➸ t➼♥❤ ♥❣❤✐➺♠ ✤â♥❣ ✈❛✐ trá
q✉❛♥ trå♥❣✳
❚❤✉➟t ♥❣ú ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ tø ❧➙✉ ✤÷đ❝ sû ❞ư♥❣ rë♥❣ r➣✐ tr♦♥❣ ❝→❝ ♥❣➔♥❤
❦❤♦❛ ❤å❝ ữ t ỵ õ ồ tt t ữợ tự
tũ tở ♠ỉ ❤➻♥❤ t♦→♥ ❤å❝ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥
❣➛♥ ✤➙②✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤➣ t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ sü q✉❛♥ t➙♠ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉ ❝õ❛ ❝→❝ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝✱ ❝↔ ữỡ ỵ tt tt t
ữỡ ỵ tt õ ự sỹ tỗ t
t ờ sỹ rở ừ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❈→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❤✐➺♥ ♥❛②
❝ì ❜↔♥ ❞ü❛ tr➯♥ ❝→❝ ❦➽ t❤✉➟t t➻♠ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ♥❤÷ t❤✉➟t t♦→♥
❝❤✐➳✉✱ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉ t➠♥❣ ❝÷í♥❣✱ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❤➔♠ ✤→♥❤ ❣✐→✱✳ ✳ ✳ ✳P❤➛♥
❧ỵ♥ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t❤✉ë❝ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✤↕t ❦❤ỉ♥❣ ❝❤➾♥❤✱ ♠✉è♥ ❣✐↔✐ ✤÷đ❝
t❤➻ t❛ ♣❤↔✐ ✤÷❛ ❜➔✐ t♦→♥ ✤➦t ❝❤➾♥❤✳ ❱✐➺❝ →♣ ❞ư♥❣ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❝❤✐➳✉✱
❤♦➦❝ ❝❤✐➳✉ t➠♥❣ ❝÷í♥❣ ✤➸ ❣✐↔✐ ♠ët ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝â t❤➸
❣➦♣ ❦❤â ❦❤➠♥ tr♦♥❣ t➼♥❤ t♦→♥ ❦❤✐ s♦♥❣ ❤➔♠ ❤✐➺✉ ❝❤➾♥❤ ❝â ❝➜✉ tró❝ ♣❤ù❝
t↕♣ ❤ì♥ s♦ ✈ỵ✐ tø♥❣ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✳ ❱✐➺❝ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ♥❤✉ ❝➛✉ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥
❝➙♥ ❜➡♥❣ ❦❤✐ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❝â t❤➸ t→❝❤ t❤➔♥❤ tê♥❣ ❝õ❛ ❤❛✐ ❤❛② ♥❤✐➲✉
❤➔♠ ❦❤→❝ ✈➔ ♠é✐ ❤➔♠ ❝â ♥❤ú♥❣ t➼♥❤ ❝❤➜t tèt ❤ì♥ ❤♦➦❝ ❞➵ t➼♥❤ t♦→♥ ❤ì♥✳
▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥
❜➡♥❣✳
▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② t❤❡♦ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✿

✷

❈❤÷ì♥❣ ✶✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ t ỗ t
ỡ ụ ữ sỹ tỗ t ừ t ❝➙♥ ❜➡♥❣
❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤
❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② t❤✉➟t t♦→♥ t→❝❤ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣
❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✶✺ t❤→♥❣


r ỗ


✸

❈❤÷ì♥❣ ✶
❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤
❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ ♥➔②✱ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ✈➲ t ỗ ởt
số ờ tt s ữủ sỷ ử tr ự sỹ tỗ t
ụ ♥❤÷ sü ❤ë✐ tư ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr♦♥❣ ❝→❝
❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳ ◆❤ú♥❣ ❦➳t q✉↔ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ ❝â t❤➸ ✤ó♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ tê♥❣ q✉→t ❤ì♥ ♥❤÷♥❣ ✤➸ t❤✉➟♥ t✐➺♥ ❝❤♦ ✈✐➺❝ tr➻♥❤ ❜➔②✱ t❛ ❝❤➾ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥
tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳

✶✳✶ ❈→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ỡ s t ỗ
ổ rt

H ổ t t tr R ổ ữợ tr➯♥ H ❧➔ →♥❤
①↕ ., . : H × H → R✱ (x, y) → x, y t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭❛✮ x, x ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H✱ x, x = 0 ⇔ x = 0✳
✭❜✮ x, y = y, x ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ H✳

✭❝✮ ❱ỵ✐ x ∈ H ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ❤➔♠ x, . : H → R ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
✭❞✮ ❱ỵ✐ y ∈ H ❝è ✤à♥❤ t❤➻ ❤➔♠ ., y : H → R ❧➔ t✉②➳♥ t➼♥❤✳
◆➳✉ ., . ❧➔ ♠ët t➼❝❤ ổ ữợ tr H t x x, x ✈ỵ✐ x ∈ H ❧➔
♠ët ❝❤✉➞♥ tr➯♥ H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ||.|| ✈➔ →♥❤ ①↕ (x, y) → ||x − y|| ✈ỵ✐ x, y ∈ H
❧➔ ❦❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tr➯♥ H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ d(x, y)✳ ❚❛ ♥â✐ ❝➦♣ ✭H, ., . ✮ ❧➔ ❦❤æ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ tữỡ ự ừ

ỗ




a, b H. õ
ã ữớ t❤➥♥❣ ✤✐ q✉❛ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a✱ b ❧➔ t➟♣ ❤ñ♣ ❝â ❞↕♥❣✿
{x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ R},
•

✣♦↕♥ t❤➥♥❣ ♥è✐ ❤❛✐ ✤✐➸♠ a, b tr♦♥❣ H ❝â ❞↕♥❣✿
[a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, λ ∈ [0, 1]}

❈❤♦ u ∈ H \ {0} ✈➔ η ∈ R✳ ▼ët s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ✈ỵ✐ ✈➨❝ tì ♣❤→♣ t✉②➳♥ u
tr♦♥❣ H ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝â ❞↕♥❣
{x ∈ H : x, u = η}.

▼é✐ s✐➯✉ ♣❤➥♥❣ ❝❤✐❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t❤➔♥❤ ❤❛✐ ♥û❛✱ ❝→❝ t➟♣
{x ∈ H : x, u ≤ η}

✈➔
{x ∈ H : x, u < η}

❧➛♥ ❧÷đt ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤â♥❣ ✈➔ ♥û❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♠ð ✈ỵ✐ ✈➨❝ tì
♣❤→♣ t✉②➳♥ ♥❣♦➔✐ u✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ▼ët t➟♣ C ừ H ữủ ồ ỗ ợ ♠å✐
x, y ∈ C t❤➻ [x, y] ⊂ C tù❝ ❧➔
λx + (1 − λ)y, ∀λ ∈ [0, 1] .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H✱ u
❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ tø u ✤➳♥ C ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ dC (u)✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

∈ H.

dC (u) = inf {d(u, y) : y ∈ C} = inf {||u − y|| : y ∈ C}.

◆➳✉ ❝â ✤✐➸♠ p ∈ C s❛♦ ❝❤♦ ||u − p|| = dC (u) t❤➻ p ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ❤➻♥❤
❝❤✐➳✉ ❝õ❛ u tr➯♥ C ✳ ◆➳✉ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ H ✤➲✉ ❝â ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉
tr➯♥ C t❤➻ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t s r trữớ ủ q t
ự ợ ộ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ H ♠ët ❤➻♥❤ ❝❤✐➳✉ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ♥â tr➯♥ C ❝❤♦ t❛
♠ët t♦→♥ tû ❣å✐ ❧➔ t♦→♥ tû ❝❤✐➳✉ tr➯♥ C ✱ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ PC ✳


✺

❚❛ ❝â ♠ët ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ q✉❡♥ t❤✉ë❝ ❝❤♦ ừ ởt tr
ởt t ỗ õ rộ s
ỵ C ởt t ỗ õ rộ ừ H õ
C ởt t➟♣ ❈❤❡❜②s❤❡✈ ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ✈➔ p tr♦♥❣ H✱
p = PC (u) ⇐⇒ p ∈ C

✈➔ (∀y ∈ C) u − p, y − p

≤0 .

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✸✳ ❈❤♦ C ởt t ỗ õ rộ ừ H✱
x ∈ H✳

◆â♥ ♣❤→♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ C t↕✐ x✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ NC x✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
{u ∈ H | u, y − x ≤ 0, ∀y ∈ C} ♥➳✉ x ∈ C ,
NC x =
∅
♥➳✉ x ∈/ C.
❚✐➳♣ t❤❡♦ ✤➙② ❧➔ ❝→❝ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➔ ❤ë✐ tư ②➳✉ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣
❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✹✳ ▼ët ❞➣② {xn} tr♦♥❣ H ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ✤➳♥ ✤✐➸♠ x ♥➳✉ ||xn − x|| → 0 ❦❤✐ n → ∞✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔
xn → x❀
✭✐✐✮ ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ✤✐➸♠ x ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ u ∈ H✱ xn − x, u → 0 ❦❤✐ n → ∞✱
❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ xn → x✳
❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✶✳ ❈❤♦ {xn}n≥0 ✈➔ {un}n≥0 ❧➔ ❝→❝ ❞➣② tr♦♥❣ H✱ x ✈➔ u ❧➔ ❝→❝
✤✐➸♠ tr♦♥❣ H✳ ●✐↔ sû xn → x✱ un → ∞✳ ❑❤✐ ✤â xn, un → x, u ❦❤✐
n → ∞✳
❇ê ✤➲ ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ {xn}n≥0 ❧➔ ♠ët ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ H✳ ❑❤✐ ✤â ❝â ♠ët ❞➣②
❝♦♥ ❝õ❛ {xn}n ≥ 0 ❤ë✐ tö ②➳✉✳
❚✐➳♣ t❤❡♦ s❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❦❤→✐ q tở số

ỗ
❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H ✈➔ ❤➔♠ f :

C → [−∞, +∞]✳
•

▼✐➲♥ ❤ú✉ ❤✐➺✉ ❝õ❛ f ❧➔ t➟♣✿ domf = {x ∈ C | f (x) < +∞}✳




ỗ t ừ f t graf = {(x, ) C ì R | f (x) = }
ã r ỗ t ừ f t epif = {(x, ) C ì R | f (x) }
ã ữợ ự ừ f t R t lev≤ξ f = {x ∈ C | f (x) ≤ }.
ã f ữủ ồ tữớ ∈
/ f (C) ✈➔ domf = ∅.
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✻✳ ▼ët ❤➔♠ f : C → [−∞, +∞] ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ỗ tr C
tr ỗ t ừ õ ởt t ỗ f ồ ó f ỗ
r trữớ ủ f tữớ t f ỗ tr C
ợ ồ x, y ∈ C ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ λ ∈ [0, 1]✱ t❛ ❝â
•

f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 )f (y).

t r f ỗ tr C ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤å ❤ú✉ ❤↕♥
x1 , x2 , . . . , xn ∈ C ✈➔ ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ λ1 , λ2 , . . . , λn ♠➔ nk=1 λk = 1✱
t❛ ❝â
n
n
λk xk ) ≤

f(
k=1

λk f (xk )
k=1

✭❇➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❏❡♥s❡♥✮✳
❍➔♠ tữớ f ữủ ồ ỗ ợ số > 0 tr t ỗ
C ợ ồ x, y ∈ C ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ λ ∈ [0, 1]✱ t❛ ❝â
f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) −

τ (1 − τ )
||x y||2 .
2

f ữủ ồ tỹ ỗ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ ❝➦♣ x, y ∈ C ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ [0, 1]✱
t❛ ❝â
f (λx + (1 − λ)y) ≤ max{f (x), f (y)},

✈➔ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tü❛ ỗ t õ tỹ ỗ ợ ộ ❝➦♣ x, y ∈ C s❛♦
❝❤♦ f (x) = f (y) ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ α ∈ (0, 1)✱ t❛ ❝â
f (λx + (1 − λ)y) < max{f (x), f (y)}.

●✐ỵ✐ ữợ ừ {ak }k0 tr [, +]
lim ak = lim inf an ,
k→∞ n≥k


✼

✈➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr➯♥ ❝õ❛ ❞➣② {ak }k≥0 tr♦♥❣ [−∞, +∞] ❧➔
lim ak = lim sup an .
k→∞ n≥k

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✼✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ H✳ ▼ët f

: C

ữủ ồ ỷ tử ữợ ỷ tử ữợ t
x C ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂ C
R ∪ {+∞}

xn → x¯ =⇒ f (¯
x) ≤ lim f (xn ).
(xn

x¯ ⇐⇒ f (¯
x) ≤ lim f (xn ).)

❍➔♠ f ❣å✐ ❧➔ ỷ tử ữợ ỷ tử ữợ tr C õ
ỷ tử ữợ ỷ tử ữợ t ồ tr C
f ữủ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✭♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ②➳✉✮ t↕✐ ✤✐➸♠
x¯ ∈ C ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② {xn } ⊂ C
xn → x¯ =⇒ f (¯
x) ≥ lim f (xn ).
(xn

x¯ ⇐⇒ f (¯
x) ≥ lim f (xn ).)

❍➔♠ f ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✭♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ②➳✉✮ ð tr➯♥ C ♥➳✉ ♥â ♥û❛
❧✐➯♥ tö❝ ữợ ỷ tử ữợ t ồ tr C ✳
❍➔♠ f ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✭❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉✮ t↕✐ x õ ỗ tớ ỷ
tử tr ỷ tử tr ỷ tử ữợ ỷ tử ữợ
t õ f ữủ ồ ❧✐➯♥ tö❝ ✭❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉✮ ð tr➯♥ C ♥➳✉ ♥â ❧✐➯♥

tö❝ ✭❧✐➯♥ tö❝ ②➳✉✮ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ tr♦♥❣ C ✳
❍➔♠ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜→♥ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ð tr➯♥ C ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ C ✈➔
α ∈ [0, 1]✱ ❤➔♠ sè τ (α) = f [αx + (1 − α)y] ❧➔ ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ t↕✐ 0+

ữợ ỗ

f tr➯♥ C t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ t❤→❝ tr✐➸♥ ❧➯♥ t♦➔♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥
❜➡♥❣ ❝→❝❤ ✤➦t
f (x) ♥➳✉ x ∈ C
F (x) =
+∞ ♥➳✉ x ∈
/ C.
❉♦ ✤â s❛✉ ✤➙② t❛ ❝â t❤➸ ①➨t ✈ỵ✐ ❤➔♠ ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ t♦➔♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥✳


✽

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✽✳ ❈❤♦ f : H → R ∪ +∞ ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣✱ x ∈ domf
✈➔ y ∈ H tỗ t ợ
lim
0

f (x + y) f (x)


t ợ ữủ ồ ừ f t x t ữợ y
f (x; y)✳
◆➳✉ ❤➔♠ f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ x t❤❡♦ ồ ữợ f (x; .) ởt
t t➼♥❤ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ H t❤➻ f ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ t t x t
srt tỗ t↕✐ ❞✉② ♥❤➜t ♠ët ✈➨❝ tì f (x) ∈ H s❛♦ ❝❤♦

(∀y ∈ H)f (x; y) = y,

◆➳✉ ❝â

f (x + y) − f (x) − y,
0=y→0
||y||
lim

f (x) .
f (x)

=0

t❤➻ t❛ ♥â✐ f ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r❡❝❤❡t t↕✐ x ✈➔ f (x) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ❋r❡❝❤❡t
❝õ❛ f t↕✐ x✳
▼ët ❤➔♠ ❝â t❤➸ ❦❤æ♥❣ ❦❤↔ ✈✐ t↕✐ ♠ët ✤✐➸♠✱ ❦❤✐ ✤â tr♦♥❣ ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥
t❛ ❝â t❤➸ sû ❞ö♥❣ ữợ ừ t ởt ✤➸ ♥❣❤✐➯♥
❝ù✉✱ ✤→♥❤ ❣✐→✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✾✳ ❈❤♦ f : H → R ∪ {+∞} ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣✳
✭✐✮ ▼ët ✈❡❝tì p H ữủ ồ ữợ ừ f t↕✐ x ∈ H ♥➳✉
f (x) + p, y − x ≤ f (y), ∀y ∈ H.

❚➟♣ t➜t ❝↔ ữợ ừ f t x ữủ ồ ữợ ừ
f t x f (x) f ữủ ồ ữợ ✈✐ ♣❤➙♥ t↕✐
x ♥➳✉ ∂f (x) = ∅✳
✭✐✐✮ ❈❤♦ sè t❤ü❝ ❞÷ì♥❣ ✱ ♠ët ✈❡❝tì p ∈ H ✤÷đ❝ ❣å✐ ởt ữợ
ừ f t x H ♥➳✉
f (x) + p, y − x − ≤ f (y), y H.

tt ữợ ừ f t x ữủ ồ ữợ ♣❤➙♥
❝õ❛ f t↕✐ x✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ∂ f (x)✳


✾

❍➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ t➟♣ C ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ιC ✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
0
♥➳✉ x ∈ C ,
ιC (x) =
+∞ ♥➳✉ x ∈
/ C.
◆➳✉ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ỗ rộ ừ H t t õ C (x) = NC (x).
❚✐➳♣ t❤❡♦ ✤➙② ❧➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ✈➲ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✵✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ H ✈➔ →♥❤ ①↕
T : C → H.

✭✐✮ T ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè L > 0 ♥➳✉
||T x − T y|| ≤ L||x − y|| ∀x, y ∈ C.

◆➳✉ L = 1 t❤➻ T ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ ♥➳✉ 0 < L < 1 t❤➻
T ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦✳
✭✐✐✮ T ữủ ồ tử tr C ợ x ∈ C, y ∈ H ✈➔ x+tny ∈ C ✱ ð
✤â {tn} ❧➔ ♠ët ❞➣② sè ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ n→∞
lim tn = 0✱ ❦➨♦ t❤❡♦ T (x+tn y)
T (x).

✣à♥❤ C ởt t ỗ rộ tr H
ữủ ồ
ỡ ợ ❤➺ sè β > 0 tr➯♥ C ♥➳✉

T :C→H

T x − T y, x − y ≥ β||x − y||2

∀x, y ∈ C;

✭✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ♥➳✉
T x − T y, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ C;

✭✐✐✐✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β > 0 tr➯♥ C ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ C
T y, x − y ≥ 0 =⇒ T x, x − y ≥ β||x − y||2 ;

✭✐✈✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ C
T y, x − y ≥=⇒ T x, x − y ≥ 0;




ỡ ữủ ỗ ự ổ ỳ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β > 0
tr➯♥ C ♥➳✉

T x − T y, x − y ≥ β||T x − T y||2

∀x, y ∈ C.

❚÷ì♥❣ tü t❛ ❝â ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➯♠ ✈➲ →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳
❈❤♦ F : H → 2H ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✳ ❚➟♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❝õ❛ F ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔
domF ✱ ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤
domF = {x H : F (x) = },

ỗ t❤à ❝õ❛ F ❧➔ t➟♣
graF = {(x, y) ∈ H × H : y ∈ F (x)}.

❈❤♦ A ✈➔ B ❧➔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ H✳ ❑❤♦↔♥❣ ❝→❝❤ ❍❛✉s❞♦r❢❢ ❣✐ú❛ A ✈➔
B ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
dH (A, B) := max{d(A, B), d(B, A)},

ð ✤â
d(A, B) = sup inf ||a − b||, d(B, A) = sup inf ||a − b||.
a∈A b∈B

b∈B a∈A

⑩♥❤ ①↕ F ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè L > 0 ♥➳✉
dH (F (x), F (y)) ≤ L||x − y|| ∀x, y ∈ C.

✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✷✳ ❈❤♦ F ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ ✤❛ trà✱ C ⊆ domF ✳ ⑩♥❤ ①↕ F
✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè β > 0 ♥➳✉

y − y , x − x ≥ β||y − x||2 , ∀x, x ∈ C, ∀y ∈ F (x), ∀y ∈ F (x );

✭✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ♥➳✉
y − y , x − x ≥ 0, ∀x, x ∈ C, ∀y ∈ F (x), ∀y ∈ F (x );

✭✐✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝ü❝ ✤↕✐ ♥➳✉ F ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ợ ồ (x, u) H ì H
(x, u) graF ⇔ ∀(y, v) ∈ graF : x − y, u − v ≥ 0.

✶✶

P❤➛♥ ❝✉è✐ tr♦♥❣ ♠ö❝ ♥➔② ❧➔ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝❤♦ s♦♥❣ ❤➔♠✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✸✳ ❈❤♦ s♦♥❣ ❤➔♠ f : H ì H R ữợ ữớ
ừ f t↕✐ x ∈ H✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ ∂2f (x, x) ❧➔ t➟♣✿
∂2 f (x, x) = {g ∈ H : f (x, x) + g, y − x ≤ f (x, y), ∀y ∈ H}.

❈❤♦
∂2 f (x, x)

> 0✱

❧➔ t

ữợ ữớ ừ

t

f

x H



2 f (x, x) = {g ∈ H : f (x, x) + g, y − x − ≤ f (x, x), ∀y ∈ H}.

❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ s➩ ①➨t ✤➳♥ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ s♦♥❣ ❤➔♠ f ✳

✺✳ ❚➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹✳ ❈❤♦ C

⊂ H

❧➔ ♠ët t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣✱ s♦♥❣ ❤➔♠ f

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔
✭✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ợ số > 0

:

C ìC R

f (x, y) + f (y, x) ≤ −β||y − x||2

∀x, y ∈ C;

✭✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ♥➳✉
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0

∀x, y ∈ C;

✭✐✐✐✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈ỵ✐ ❤➺ sè β > 0 ♥➳✉
f (x, y) ≥ 0 =⇒ f (y, x) ≤ −β||y − x||2

∀x, y ∈ C;

✭✐✈✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ♥➳✉
f (x, y) ≥ 0 =⇒ f (y, x) 0

x, y C.

ú ỵ r ợ f (x, y) = F (x), y − x t❤➻ f ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤ì♥ ✤✐➺✉
tr➯♥ C ❦❤✐ ✈➔ ❝❤➾ ❦❤✐ F ❝â ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝→❝ ❦❤→✐
♥✐➺♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝õ❛ t♦→♥ tû tr♦♥❣ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✶ ✈➔ ❝õ❛ s♦♥❣ ❤➔♠ tr♦♥❣
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✹ ❝â ❝→❝ ♠è✐ q✉❛♥ ❤➺ ♥❤÷ s❛✉✿


✶✷

t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❦➨♦ t❤❡♦ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❦➨♦ t❤❡♦
t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉❀
• t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❦➨♦ t❤❡♦ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥
✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❦➨♦ t❤❡♦ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳
❚✉② ♥❤✐➯♥✱ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❦❤ỉ♥❣ s✉② ♥❣÷đ❝ r❛ ✤÷đ❝ t ỡ
ỡ ỗ tớ t ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❝â ❦➳t ❧✉➟♥ ♥➔♦ ✈➲ ♠è✐ q✉❛♥
❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ t➼♥❤ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ö s❛✉ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉
♥➔②✳
❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✶✳ ❳➨t tr♦♥❣ R2✱ C := R✱ ❝❤♦
•

A=

0 1
.
−1 0

❳➨t s♦♥❣ ❤➔♠
f (x, y) := Ax, y − x .

❉➵ t❤➜②✱ f (x, y) + f (y, x) = 0, ∀x, y ∈ C ♥➯♥ f ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ♥❤÷♥❣

❦❤ỉ♥❣ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✈➔ ❞♦ ✤â ❦❤ỉ♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✳
❳➨t s♦♥❣ ❤➔♠
g(x, y) := ||x||2 AT x, y − x .

❙♦♥❣ ❤➔♠ g ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✱ t✉② ♥❤✐➯♥ ♥â ❦❤ỉ♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉
♠↕♥❤ ✈➔ ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ❚❤➟t ✈➟②✱ ❧➜② x = (1, 1), y = (0, 1)✱ t❛ ❝â✿
f (x, y) + f (y, x) = 1 > 0.

❱➼ ❞ö ✶✳✶✳✷✳ ❈❤♦ 0 < r < R✱ ✤➦t C = B(r) := {x ∈ H : ||x|| ≤ r} ✈➔
s♦♥❣ ❤➔♠ f ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐

f (x, y) := h(x, y) + (R − ||x||)g(x, y),

ð ✤â h ✈➔ g t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮ h(x, y) ≤ 0, ∀x, y ∈ C ✈➔ g ❧➔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❤➺ sè β tr➯♥ C ❀
✭✐✐✮ ∃y0 ∈ C s❛♦ ❝❤♦
h(0, y 0 ) + h(y 0 , 0) = 0;
Rg(0, y 0 ) + (R − ||y 0 ||)g(y 0 , 0) > 0.


✶✸

✣➸ ❝❤➾ r❛ f ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✱ t❛ ❣✐↔ t❤✐➳t r➡♥❣ f (x, y) ≥ 0✳
❑❤✐ ✤â✱ ❞♦ h(x, y) ≤ 0✱ t❛ s✉② r❛ g(x, y) ≥ 0✳ ❉♦ t➼♥❤ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❝õ❛
g ✱ ❦➨♦ t❤❡♦ g(y, x) ≤ −β||x − y||2 ✳ ❚ø ✤â✱ t❤❡♦ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❝õ❛ f (y, x) t❛
❝â
f (y, x) = h(y, x) + (R − ||y||)g(y, x) ≤ −(R − r)β||y − x||2 ∀x, y ∈ C.

❉♦ ✤â f ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ❤➺ sè (R − r)β tr➯♥ C ✳
❙♦♥❣ ❤➔♠ f ❦❤ỉ♥❣ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✈➻ tø ❣✐↔ t❤✐➳t ✭✐✐✮ t❛ ✤÷đ❝

f (0, y 0 ) + f (y 0 , 0) = h(0, y 0 ) + Rg(0, y 0 ) + h(y 0 , 0) + (R − ||y 0 ||)g(y 0 , 0) > 0.

▼ët ✈➼ ❞ö ❝ö t❤➸ ✈➲ ❝→❝ ❤➔♠ g ✈➔ h t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✐✮ ✈➔ ✭✐✐✮ ❧➔
g(x, y) := x, y − x + m(||y||2 − ||x||2 ) ✈ỵ✐ m > 0
✈➔
h(x, y) := (x − y)T A(y − x)

✈ỵ✐ A : H → H ❧➔ ♠ët t♦→♥ tû t✉②➳♥ t➼♥❤ t❤ä❛ ♠➣♥ h(x, y) ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐
x, y ∈ C ✳
❉➵ t❤➜② g ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ♠å✐ m > 0✳ ❍ì♥ ♥ú❛ t❛ ❝â
Rg(0, y) + (R − ||y||)g(y, 0) = [mR − (m + 1)R + (m + 1)||y||] |y||2 |
= [(m + 1)||y|| − R] ||y||2 .
0
❉♦ ✤â✱ ♥➳✉ m > R−r
r ✱ t❤➻ ✤✐➲✉ ữủ tọ ợ ồ y C =
R
B(r) ✈ỵ✐ ||y 0 || > m+1
✈➔ (y0)T Ay0 = 0✳

✶✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉
❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔②✱ tỉ✐ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ❦➳t q✉↔ s➩ ✤÷đ❝ ❞ị♥❣ tr ự
sỹ tỗ t ụ ữ sỹ ở tö ❝õ❛ ❝→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ❣✐↔✐ ❜➔✐
t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ð ♥❤ú♥❣ ❝❤÷ì♥❣ s❛✉✳

✶✳ ❇➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉✳

❈❤♦ f : H → R ∪ {+∞} ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➼♥❤ t❤÷í♥❣✱ x¯ ∈ H✳ ❑❤✐ ✤â x¯ ✤÷đ❝
❣å✐ ❧➔ ♠ët ❝ü❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ trà ❝õ❛ f ♥➳✉ f (¯x) ≤ f (x) ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ H ✈➔ f (¯x)

✶✹

✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f ✱ t❛ ✈✐➳t f (¯x) = minHf ✳ ❚➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝
t✐➸✉ ❝õ❛ f ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ argminf ✳
❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ H s❛♦ ❝❤♦ C ∩ domf = ∅✳ ✣✐➸♠ x¯ ∈ C ✤÷đ❝
❣å✐ ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f tr➯♥ C ♥➳✉ f (¯x) ≤ f (x) ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ✈➔
f (¯
x) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❣✐→ trà ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f tr➯♥ C ✱ t❛ ✈✐➳t f (¯
x) = minC f ✳ ❚➟♣
❝→❝ ✤✐➸♠ ❝ü❝ t✐➸✉ ❝õ❛ f tr➯♥ C ✤÷đ❝ ❦➼ argminC f
ú ỵ r minC f = minH(f + ιC )✱ ð ✤â ιC ❧➔ ❤➔♠ ❝❤➾ ❝õ❛ t➟♣ C ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ C ⊂ H ởt t ỗ õ rộ f :
C ì C → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ sè t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = 0✳ ❇➔✐ t♦→♥✿ t➻♠ x¯ ∈ C s❛♦
❝❤♦ f (¯x, y) ≥ 0 ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ C ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣✱ x¯ ✤÷đ❝ ồ

t õ ỵ q✉❛♥ trå♥❣ tr♦♥❣ ❦✐♥❤ t➳ ✈➔ ♥❤✐➲✉ ❧➽♥❤
✈ü❝ ❦❤→❝✱ ♥â ❜❛♦ ❤➔♠ ✤÷đ❝ r➜t ♥❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✿ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉✱ ❜➔✐
t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✳✳✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✷✳ C H t ỗ õ rộ ✈➔ f : C ×C → R
①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ C ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❚➻♠
x¯ ∈ C : f (x, y) ≥ f (¯
x, y), ∀y ∈ C ✳ ✣✐➸♠ x¯ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥
tè✐ ÷✉✳
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ❈❤♦ C H ởt t ỗ õ rộ f : H × H →
R ∪ {+∞} ❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ tr➯♥ C ✱ tù❝ ❧➔ f (x, x) = 0, ∀x ∈ C ✳
❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t tố ữ tữỡ ữỡ ợ t
t ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣
❚➻♠ x¯ ∈ C : f (¯x, y) ≥ 0, ∀y ∈ C.

(EP )

❇➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ✭❊P✮ ❧➔ ❜➔✐ t♦→♥
❚➻♠ x¯ ∈ C : f (y, x¯) ≤, ∀y ∈ C.

(DEP )

❚➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✭❊P✮ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝õ❛ ♥â
✭❉❊P✮ ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➛♥ ❧÷đt ❧➔ ✭❙❊P✮ ✈➔ ✭❙❉❊P✮✳ ❚❛ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛
❤❛✐ t➟♣ ♥❣❤✐➺♠ ✭❙❊P✮ ✈➔ ✭❙❉❊P✮ ♥❤÷ s❛✉✳


✶✺

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✷✳ ✭❛✮ ◆➳✉ f ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ t❤➻ (SEP ) ⊆ (SDEP )❀
✭❜✮ ◆➳✉ f (., y) ❜→♥ tử tr f (x, .) tỹ ỗ ❝❤➦t ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ C

t❤➻ (SDEP ) ⊆ (SEP )✳
❉♦ ✤â✱ ♥➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ f ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ C ✈➔ f (., y) ♥û❛ ❧✐➯♥ tö❝
tr➯♥ ð tr➯♥ C t❤➻ t❛ ❝â (SEP ) = (SDEP )✳
❈❤♦ →♥❤ ①↕ T : H → H✱ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ✱ ❦➼ ❤✐➺✉ ❧➔ F ixT ✱
❧➔ t➟♣✿
F ixT = {x ∈ H : T x = x}.

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✸✳ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ỗ õ rộ ừ H, T : C H ❧➔

♠ët →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ {xk }k≥0 ⊂ C ✈➔ x ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû tr♦♥❣ H✳ ●✐↔ sû
r➡♥❣ xk x ✈➔ xk − T (xk ) → 0✳ ❑❤✐ ✤â x ∈ F ixT ✳
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✹✳ ❈❤♦ C ởt t ỗ õ rộ tr H ✈➔ T : C → H
❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ õ F ixT t ỗ õ
ờ ●✐↔ sû t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ S ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣

❣✐➣♥ Tj ✱ j = 1, . . . , N ❦❤æ♥❣ ré♥❣✳ ✣➦t T (x) := Nj=1 µj Tj (x) ✈ỵ✐ 0 < µj <
1, j = 1, . . . , N ✈➔ N
j=1 µj = 1✳ ❑❤✐ ✤â T ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✈➔ S trị♥❣
✈ỵ✐ t➟♣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ✳
❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ rữợ t t T ổ ✈➔ S ⊆ F ix(T )✳
✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ F ix(T ) ⊆ S ✱ t❛ ❧➜② x ∈ F ix(T ) ✈➔ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ x ∈ S ✳ ❚❤➟t
✈➟②✱ ❧➜② u ∈ S ✱ t❛ ❝â✿
N
2

µj Tj (x) − u||2

||x − u|| = ||
j=1
N

µj [Tj (x) − Tj (u)] ||2

= ||
j=1
N

µj || [Tj (x) − Tj (u)] ||2 −

=
j=1

µj µk || [j (x) − Tk (x)] ||2
1≤j

N

µj || [x − u] ||2 −

≤
j=1

µj µk || [j (x) − Tk (x)] ||2
1≤j

✶✻

µj µk || [j (x) − Tk (x)] ||2 ,

= || [x − u] ||2 −
1≤j
✤✐➲✉ ✤â ❦➨♦ t❤❡♦ Tj (x) = Tk (x) ∀1 ≤ j < k ≤ N ✳ ❉♦ ✤â
N

µk Tk (x) = T (x) = x, ∀j = 1, 2, . . . , N.

Tj (x) =
k=1

✣✐➲✉ ✤â ❝â ♥❣❤➽❛ x ∈ F ix(Tj ) ∀j = 1, 2, . . . , N ✱ tù❝ ❧➔ x ∈ S ✳
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✻✳ ●✐↔ sû {αk } ❧➔ ❞➣② sè ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥
αk+1 ≤ αk + σk

n = 0, 1, 2, . . . ,

ð ✤â ❞➣② {σk } t❤ä❛ ♠➣♥ ∞k=1 |σk | < ∞✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {αk } ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✳
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✼✳ ●✐↔ sû {αk } ❧➔ ❞➣② sè ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥
αk+1 ≤ (1 − λk )αk + λk δk + σk

n = 0, 1, 2 . . . ,

ð ✤â λk ⊂ (0, 1)✱ {δk } ✈➔ {σk } t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿
✭✐✮ ∞k=1 λk = ∞❀
✭✐✐✮ lim sup δk ≤ 0❀

✭✐✐✐✮

k→∞

∞
k=1 |σk |

< ∞✳

❑❤✐ ✤â k→∞
lim αk = 0✳

❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✽✳ ❈❤♦ H ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ {xn} ❧➔ ♠ët ❞➣② ♣❤➛♥ tû

tr♦♥❣ H✳ ❈❤♦ {rn} ❧➔ ♠ët ❞➣② sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ s❛♦ n=1 rn = +
rx
sỷ tỗ t ởt t ỗ õ rộ S H
t xn :=

r
t❤ä❛ ♠➣♥✿
✭✐✮ ❱ỵ✐ ♠å✐ u ∈ S ✱ n→∞
lim ||xn u|| tỗ t
n
i
i=1 i
n
i=1 i

ồ tử ❝õ❛ ❞➣② {¯xn} ✤➲✉ t❤✉ë❝ ✈➔♦ S ✳
❑❤✐ ✤â {¯xn} ❤ë✐ tö ②➳✉ ✤➳♥ ♠ët ♣❤➛♥ tû x¯ ∈ S ✳


✶✼

❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝❤➾ r❛ ✈ỵ✐ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✱ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧✉æ♥ ❝â
♥❣❤✐➺♠ ♥➳✉ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❧➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈➔ ♥❣❤✐➺♠ ✤â ❧➔ ❞✉②
♥❤➜t✳

✷✳ ❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤

❇➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤♦ C ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤đ♣✱
f : C × C → R ❧➔ ♠ët ❤➔♠ sè t❤ä❛ ♠➣♥ f (x, x) = 0✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ C ✱ ❦❤✐ ✤â
f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳ ❚➻♠ x¯ ∈ C s❛♦ ❝❤♦ f (¯
x, y) ≥ 0✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ y ∈ C ✳
✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✸✳ ●✐↔ sû f : C × C → R ∪ {+∞} ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣✳
❑❤✐ ✤â ❤➔♠ f ữủ ồ
ỡ tr C ợ ❤➺ sè λ > 0✱ ♥➳✉✿
f (x, y) + f (y, x) ≤ −λ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C.

✭✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ❝❤➦t tr➯♥ ❈✱ ♥➳✉✿
f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ C.

✭✐✐✐✮ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ ❈✱ ♥➳✉✿
f (x, y) + f (y, x) ≤ 0∀x, y ∈ C.

✭✐✈✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ ❈✱ ♥➳✉✿
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C.

✭✈✮ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ ❈ ✈ỵ✐ ❤➺ sè λ > 0✱ ♥➳✉✿
f (x, y) ≥ 0 ⇒ f (y, x) ≤ −λ||x − y||2 , ∀x, y ∈ C.

✭✈✐✮ tü❛ ✤ì♥ ✤✐➺✉ tr➯♥ ❈✱ ♥➳✉✿
f (x, y) > 0 ⇒ f (y, x) ≤ 0, ∀x, y ∈ C.

❚ø ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ tr➯♥ t❛ ❝â ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ t❤➻ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ✈➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉✱
✤ì♥ ✤✐➺✉ t❤➻ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉✳ ❙❛✉ ✤➙② t❛ s➩ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔




ỡ ữợ ởt số tt ỡ s ổ õ t

ỹ tỗ t

sỷ C ởt t ỗ õ rộ tr♦♥❣ H ✈➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥
❜➡♥❣ f : H × H → R✳
●✐↔ t❤✐➳t
✭❆✶✮ f (., y) ❧➔ ❤➔♠ ♥û❛ ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ ð tr➯♥ C ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ C

f (x, .) ỗ ữợ ợ ộ x C
f (x, .) ỗ ỷ tử ữợ tr C ợ ộ x C
ú ỵ r ởt tữớ ữợ t ởt t
ỷ tử ữợ t õ t ởt ỗ ỷ tử ữợ tr
ởt t C ữ ữợ tr õ ữ õ ữợ
tr C ợ ồ > 0
ỵ s s ữủ ũ ự sỹ tỗ t ừ t
❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤✳ ✭①❡♠ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✶❪✮
✣à♥❤ ỵ f : C ì C R ❧➔ ♠ët s♦♥❣ ❤➔♠ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥
✤✐➺✉ s❛♦ ❝❤♦ f (., y) ❧➔ ❜→♥ ❧✐➯♥ tö❝ ð tr➯♥ C ợ ộ y C f (x, .) ỗ
ỷ tử ữợ tr C ợ ộ x C sỷ ự s tọ
tỗ t↕✐ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ B s❛♦ ❝❤♦
∀x ∈ C \ B, ∃y ∈ C ∩ B : f (x, y) < 0.

❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✭❊P✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠✳
❚❛ õ t q sỹ tỗ t ừ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉
♠↕♥❤ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿
▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔ sû f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β tr➯♥
C ✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ❝→❝ ❣✐↔ t❤✐➳t ✭❆✶✮✱ ✭❆✷❛✮✱ ❜➔✐ t♦→♥ ✭❊P✮ õ t
ự ú ỵ r tr trữớ ❤ñ♣ t➟♣ C ❜à ❝❤➦♥✱ ♠➺♥❤ ✤➲ tr➯♥
❧➔ ♠ët ❤➺ q ừ ỵ
sỷ C ổ ❝❤➦♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ tø ❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✶✱ ❝❤➾ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣
ự s ữủ tọ tỗ t ❝➛✉ ✤â♥❣ B s❛♦ ❝❤♦
∀x ∈ C \ B, ∃y ∈ C ∩ B : f (x, y) < 0.

(C0)

t sỷ ữủ tự ổ tỗ t↕✐ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ ♥➔♦ t❤ä❛
♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜ù❝ tr➯♥✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤➻♥❤ ❝➛✉ ✤â♥❣ Br t➙♠ ð ố
r tỗ t xr C \ Br s❛♦ ❝❤♦ f (x, y) ≥ 0✱ ∀y ∈ C ∩ Br ✳ ❈è ✤à♥❤
r0 > 0✱ ❦❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ồ r > r0 tỗ t xr C \ Br s❛♦ ❝❤♦ f (xr , y 0 ) ≥ 0 ✈ỵ✐
y 0 ∈ C ∩ Br ✳ ❚ø ✤â✱ ❞♦ f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ ✈ỵ✐ ❤➺ sè β ✱ t❛
❝â
f (y 0 , xr ) + β||xr − y 0 ||2 ≤ 0, ∀r > 0.

t C ỗ f (y0, .) ỗ tr C ợ r := 1/r tỗ t x0 ∈ C
s❛♦ ❝❤♦ ∂2 f (y0, x0) = ∅✳ tũ ỵ w 2 f (y0, x0) t ❝â
0

r

r

f (y 0 , x) + 1/r ≥ w∗ , x − x0 + f (y 0 , x0 ), x.

ợ x = xr t ữủ
f (y 0 , xr ) + β||xr − y 0 ||2 + 1/r ≥ f (y 0 , x0 ) + w∗ , xr − x0 + β||xr − y 0 ||2
≥ f (y 0 , x0 ) − ||w∗ ||||xr − x0 || + β||xr − y 0 ||2 .

❈❤♦ r → ∞✱ t❛ ✤÷đ❝ |xr | → ∞ ✈➔ ❞♦ ✤â f (y0, xr ) + β||xr − y0||2 → ∞,
✤✐➲✉ ♥➔② tr→✐ ✈ỵ✐ ✭✶✳✷✳✶✮✳ ❱➟② ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜ù❝ ✭❈✵✮ ❧✉ỉ♥ ú õ t
ỵ t P õ ♥❣❤✐➺♠✳
●✐↔ sû x1, x2 ∈ C ❧➔ ❤❛✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥✱ t❛ ❝â f (x1, x2) ≥ 0✱
f (x2 , x1 ) ≥ 0. ❉♦ f ❧➔ s♦♥❣ ❤➔♠ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ♥➯♥ tø
f (x1 , x2 ) ≥ 0✱ ❦➨♦ t❤❡♦
0 ≤ f (x2 , x1 ) ≤ −β||x2 − x1 ||2 ,

❞♦ ✤â x1 = x2.
❳➨t ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥
❚➻♠ x¯ ∈ C : F (¯x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ C,
(V I)
ð ✤â F : C → H ❧➔ t♦→♥ tû ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥ C ✳
⑩♣ ❞ư♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳✶ ✈ỵ✐ s♦♥❣ ❤➔♠ f ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
f (x, y) := F (x), y x ,

t t ữủ t q sỹ tỗ t↕✐ ♥❣❤✐➺♠ ❝❤♦ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥
♣❤➙♥ ♥❤÷ s❛✉✳


✷✵

❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳✶✳ ●✐↔ sû F : C → H ❜→♥ ❧✐➯♥ tư❝ ✈➔ ❣✐↔ ✤ì♥ ✤✐➺✉ ♠↕♥❤ tr➯♥

C✳

❑❤✐ ✤â ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥ ✭❱■✮ ❝â ♥❣❤✐➺♠ ❞✉② ♥❤➜t✳
❙❛✉ ✤➙② t❛ s➩ ✤÷❛ r❛ ♠ët ✈➔✐ ✤→♥❤ ❣✐→ ✈➲ sü ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛
❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ❦❤→❝✳

✹✳ ❙ü t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣

❈→❝ t❤✉➟t t♦→♥ ✤÷❛ r❛ tr♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② ❞ü❛ tr➯♥ t❤✉➟t t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t
✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ s : C → C ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐
1
s(x) : argmin{ρf (x, y) + ||y − x||2 }
2
y∈C

✭✶✳✷✳✸✮

ð ✤â ρ > 0 ợ tt f (x, .) ỗ õ tr t ỗ õ C s
ổ ử t ỗ
ố ỳ ♥❣❤✐➺♠ ❝õ❛ ❜➔✐ t♦→♥ ❝➙♥ ❜➡♥❣ ✈➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛
→♥❤ ①↕ s ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ♥❤÷ s❛✉✿
❇ê ✤➲ ✶✳✷✳✾✳ ❈❤♦ s ✤÷đ❝ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✷✳✸✮✳ ❑❤✐ õ ữợ
tt x ởt ❝õ❛ ✭❊P✮ ♥➳✉ ✈➔ ❝❤➾ ♥➳✉ x¯ = s(¯x).
❚❛ ♥â✐ f t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❦✐➸✉ ▲✐♣s❝❤✐t③ tr➯♥ C ✱ tỗ t L1, L2 > 0
s
f (x, y) + f (y, z) ≥ f (x, z) − L1 ||x − y||2 − L2 ||y − z||2 , ∀x, y, z ∈ C.

✭✶✳✷✳✹✮
❈â t❤➸ t❤➜②✱ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❜➔✐ t♦→♥ tè✐ ÷✉ ✭❖P✮✿ ❚➻♠ x¯ ∈ C ❝ü❝
t✐➸✉ ❤➔♠ φ : C → R✱ t❤➻ ✈ỵ✐
f (x, y) = φ(y) − φ(x),

✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭✶✳✷✳✹✮ ❧✉ỉ♥ ✤÷đ❝ t❤ä❛ ♠➣♥✳
❚r♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤ñ♣ ❜➔✐ t♦→♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❜✐➳♥ ♣❤➙♥✿
❚➻♠ x¯ ∈ C s❛♦ ❝❤♦

F (¯
x), y − x¯ ≥ 0, ∀y ∈ C,

t❤➻ ✈ỵ✐
f (x, y) = F (x), y − x ,