Khao sat HSG Toan 9

<span class='text_page_counter'>(1)</span>TRƯỜNG THCS TIÊN PHONG. Khảo sát học sinh giỏi -chọn đội tuyển lớp 9 dự thi cấp huyện Năm học : 2012 - 2013 Môn thi : Toán học (Thời gian làm bài : 150 phút, không kể thời gian giao đề). Câu 1: (3 điểm) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức (y + 2)x2 + 1 = y2 Câu 2: ( 5 điểm) Cho x; y là các số dương. x y  2 a) Chứng minh: y x x y xy M   2 y x x  y2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. Câu 3: (5 điểm) a) Xác định x  R để biểu thức: b) Cho biểu thức: P. x xy  x  2. . A  x2 1  x . y yz  y  1. . 1 2. x  1  x là số tự nhiên.. 2 z zx  2 z  2. Biết x.y.z = 4, Tính P . Câu 4: ( 5 điểm) Cho  ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi qua điểm A. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy. a) Trong trường hợp BC cắt xy tại G, hãy chứng minh rằng: AG.(BE + CF) = 2S b) Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó. Câu 5:(2 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng nếu a2 + b2 > 5 c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất. Hết Họ và tên thí sinh: …………………………., số báo danh:………………. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Hướng dẫn chấm Câu 1: (3 điểm) Tìm các giá trị nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức (y + 2)x2 + 1 = y2 Đáp án (y + 2)x2 + 1 = y2  (y +2)x2 = y2 - 1 (1) Khi y = -2 phương trình vô nghiệm. y2  1 Khi y -2 ta có: x2 = y  2 y 2  22  3 3 x2   x 2 y  2  y2 y2 . Thang điểm 1. (2). y 2. 3  Z  y  2 là íc cña 3 y 2. Vì ( x,y) là nghiệm nguyên nên: (tức là y+2 chỉ có thể nhận các giá trị 1; 3. -Với y+2 = 1=> y = -1 thì (2) có dạng: x2 = 0  x = 0 (TM) -Với y+2 = -1=> y = -3 thì (2) có dạng: x2 = -8 (Loại) -Với y+2 = 3=> y = 1 thì (2) có dạng: x2 = 0  x = 0 (TM) -Với y+2 = -3=> y = -5 thì (2) có dạng: x2 = -8 (loại) Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là: x = 0; y= -1 và x = 0; y =1 Câu 2: ( 5 điểm) Cho x; y là các số dương.. 1. 1. x y  2 y x c) Chứng minh: x y xy M   2 y x x  y2 d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:. Đáp án x y 0 0 a) Vì x > 0, y > 0 nên y và x Áp dụng bất đẳng thức: a+b  2 ab dấu “ =” xảy ra  a = b x y x y  2 . 2 y x Ta có: y x x y  2 Vậy: y x x y  Dấu “ =” xảy ra  y x  x2 = y2  x = y (vì x > 0, y > 0) x y 1 3a a 1  a    y x a 4 4 a b) Đặt a = , ta có M =. Thang điểm 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x y 3a 3  2  Vì a = y x nên 4 2 a 1 a 1 1  2 . 2. 1 4 a 2 Ta có: 4 a. 0,5 0,5. 1 3a a 1 3 5 5 a      1  2 ; M= 2  a = 2  x = y Do đó: M = a 4 4 a 2 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của M = 2 khi và chỉ khi x = y. 0,5 0,5. Câu 3: (5 điểm) 1. A  x2 1  x . 2. x  1  x là số tự nhiên. y x 2 z P   xy  x  2 yz  y  1 zx  2 z  2 d) Cho biểu thức: Biết x.y.z = 4, Tính P .. c) Xác định x  R để biểu thức:. Than g điểm. Đáp án. a) Ta có:. A  x2 1  x . x 1  x =. x2  1  x. 2. x 1  x . 1 2. . x2  1  x. . 2. x2  1  x. .  x 1  x . 1. 2. x  1  x  2x. k A là số tự nhiên  -2x là số tự nhiên  x = 2 ( trong đó k  Z và k 0) b) Ta có: Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hợp với x.y.z =4 ta được:. 1. X,y,z > 0 và xyz 2 Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x ; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi xyz ta được: P. x xy  x  2. . xy xy  x  2. . xy  x  2 2 z  1 z( x  2  xy) xy  x  2. 1 2 1. => P = 1 vì P > 0 Câu 4: ( 5 điểm) Cho  ABC có diện tích là S. Một đường thẳng xy chuyển động và luôn đi qua điểm A. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và C trên xy. a)Trong trường hợp BC cắt xy tại G, hãy chứng minh rằng: AG.(BE + CF) = 2S b)Đường thẳng xy phải ở vị trí nào để tổng BE + CF có giá trị nhỏ nhất và xác định giá trị đó. Thang Đáp án điểm a) Ta có: 1 D. A. E. A. F K C.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> E B. G F. C. SABC = S = SAGB + SACG 1 1 = 2 BE.AG + 2 CF.AG.  2S = AG.(BE + CF) (đpcm) b) + Nếu xy cắt cạnh BC tại G 2S Ta có: 2S = AG(BE + CF) => BE + CF = AG. Vì 2S không đổi nên (BE +CF) nhỏ nhất khi AG đạt giá trị Max Vậy AG lớn nhất nếu AG là độ dài lớn nhất của một trong hai cạnh AB, AC. -Nếu AC AB thì AG = AC thì max AG = AC và min (BE + CF) bằng độ dài đường cao hạ từ đỉnh B xuống AC. -Nếu AC AB thì max AG = AB và min(BE + CF) bằng độ dài đường cao hạ từ đỉnh C đến AB. Vậy khi đó xy đi qua cạnh lớn trong hai cạnh AB; AC. +Nếu xy không cắt BC. - Trên tia đối của tia Ab lấy điểm D sao cho AB = AD. - Xét  ACD có đường xy cắt cạnh CD. Vẽ DK  xy Theo trường hợp 1: min(CF + DK) = hc hoặc min (CF + DK) = hd Ta có:  ABE =  ADK ( cạnh huyền - góc nhọn) => BE = DK hay hd = hb  Min( CF + DK) = min(BE +CF) = hb khi AC  AB  Min( CF + DK) = min(BE +CF) = hb khi AC  AB Khi đó xy đi qua cạnh lớn trong hai cạnh AB; AC. Câu 5:(2 điểm) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác Chứng minh rằng nếu a2 + b2 > 5 c2 thì c là độ dài cạnh nhỏ nhất. Đáp án Giả sử c không là cạnh nhỏ nhất, chẳng hạn có a  c  a2  c2 (1) và theo bất đẳng thức tam giác có b < ( a+c) hay b2 < (a+c)2  (c+c)2 = 4c2 (2)  Từ (1) và (2) ta có: a2 + b2 < c2 + 4c2 = 5c2; trái giả thiết. Vậy c là độ dài cạnh nhỏ nhất.. 2. 2. Thang điểm 0,5 1 0,5.

<span class='text_page_counter'>(5)</span>