Khảo sát chuyển động của một vật thể trong trường hấp dẫn newton và trường hấp dẫn newton cải tiến bằng phần mêm maple

TRƢỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2014-2015

KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT VẬT
THỂ TRONG TRƢỜNG HẤP DẪN NEWTON VÀ
TRƢỜNG HẤP DẪN NEWTON CẢI TIẾN BẰNG
PHẦN MỀM MAPLE

Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên


TRƢỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN THAM GIA
CUỘC THI SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2014 - 2015

KHẢO SÁT CHUYỂN ĐỘNG CỦA MỘT VẬT
THỂ TRONG TRƢỜNG HẤP DẪN NEWTON VÀ
TRƢỜNG HẤP DẪN NEWTON CẢI TIẾN BẰNG
PHẦN MỀM MAPLE
Thuộc nhóm ngành khoa học: Khoa học Tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Thu Hà
Dân tộc: Kinh
Lớp, khoa: C13VL01 Khoa học Tự Nhiên

Ngành học: Sƣ phạm Vật lí
Ngƣời hƣớng dẫn: Tiến sĩ Võ Văn Ớn

Nam, Nữ: Nữ
Năm thứ: 2

/Số năm đào tạo: 3


UBND TỈNH BÌNH DƢƠNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Khảo sát chuyển động của một vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton
và trƣờng hấp dẫn Newton cải tiến bằng phần mềm Maple.
- Sinh viên thực hiện: Phạm Thị Thu Hà
- Lớp: C13VL01

Khoa: Khoa học Tự nhiên

Năm thứ: 2

Số năm đào tạo:3

- Ngƣời hƣớng dẫn: Tiến sĩ Võ Văn Ớn

2. Mục tiêu đề tài: Ứng dụng phần mềm Maple để tìm nghiệm số của bài toán về chuyển
động của một vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton và trƣờng hấp dẫn Newton cải tiến.
3. Tính mới và sáng tạo: Khảo sát chuyển động của vật thể trong trƣờng thế Newton cải
tiến bằng Maple.
4. Kết quả nghiên cứu:
 Tìm hiểu đƣợc cách sử dụng phần mềm Maple.
 Khảo sát đƣợc chuyển động của một vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton bằng
Maple.
 Khảo sát đƣợc chuyển động của một vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton cải tiến
bằng Maple.
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và khả
năng áp dụng của đề tài:
Trong mơn Vật Lí, có nhiều bài tốn khó tìm lời giải bằng giải tích chính xác, lúc
này các phƣơng pháp giải gần đúng là hết sức cấp thiết và quan trọng. Phần mềm Maple
là phần mềm mạnh cho phép ta tính tốn hình thức trên các biểu thức và cả giải số. Ứng
dụng của phần mềm Maple để tìm lời giải gần đúng của các bài toán khảo sát chuyển
động của một vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton và trƣờng hấp dẫn Newton cải tiến là
một công việc hết sức quan trọng và có ý nghĩa giúp cho sinh viên bƣớc đầu làm quen dần
với nghiên cứu khoa học.


6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài (ghi rõ họ tên tác
giả, nhan đề và các yếu tố về xuất bản nếu có) hoặc nhận xét, đánh giá của cơ sở đã áp
dụng các kết quả nghiên cứu (nếu có): .............................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
Ngày
tháng
năm 2015

Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)

Nhận xét của ngƣời hƣớng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực hiện
đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi): ......................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................
.........................................................................................................................................

Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

Ngày
tháng
năm 2015
Ngƣời hƣớng dẫn
(ký, họ và tên)


UBND TỈNH BÌNH DƢƠNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC THỦ DẦU MỘT

CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

THƠNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
Ảnh 4x6
I. SƠ LƢỢC VỀ SINH VIÊN:
Họ và tên: Phạm Thị Thu Hà
Sinh ngày: 03 tháng 10 năm 1994
Nơi sinh: Ninh Bình
Lớp: C13VL01

Khóa: 2013-2015

Khoa: Khoa học tự nhiên
Địa chỉ liên hệ: 70/10 tổ 74 khu 8 phƣờng Phú Lợi, Tp.TDM, Bình Dƣơng.
Điện thoại: 0989992238

Email:

II. Q TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích của sinh viên từ năm thứ 1 đến năm
đang học):
* Năm thứ 1:
Ngành học: Sƣ phạm vật lý

Khoa: Khoa học Tự nhiên

Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lƣợc thành tích: 7.71
* Năm thứ 2:
Ngành học: Sƣ phạm vật lý
Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lƣợc thành tích: 7.5

Khoa: Khoa học Tự nhiên


DANH SÁCH NHỮNG THÀNH VIÊN THAM GIA NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI

STT

Họ và tên

MSSV

Lớp

Khoa

1

Phạm Thị Thu Hà

1311402110027

C13VL01

Khoa học tự nhiên

2

Nguyễn Thị Kim Tuyền

13114021100

C13VL01

Khoa học tự nhiên

Ngày
Xác nhận của lãnh đạo khoa
(ký, họ và tên)

tháng

năm 2015

Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)


MỤC LỤC
Mục lục ..................................................................................................................................
Danh mục hình .......................................................................................................................
MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài............................................... 1
2. Lý do lựa chọn đề tài ................................................................................................ 1
3. Mục tiêu đề tài .......................................................................................................... 1
4. Phƣơng pháp nghiên cứu .......................................................................................... 1
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ............................................................................. 1
6. Bố cục của đề tài ...................................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MAPLE ..................................................... 2

1.1. Mở đầu ...................................................................................................................... 2
1.2. Các phép tính cơ bản ................................................................................................ 2
1.3. Vẽ đồ thị hàm số ........................................................................................................ 3
1.4. Vẽ đồ thị phƣơng trình vi phân ................................................................................... 7
CHƢƠNG 2: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT TRONG TRƢỜNG THẾ HẤP DẪN

NEWTON BẰNG MAPLE ................................................................................................ 8
2.1. Giới thiệu về trƣờng thế Newton ................................................................................. 8
2.2. Bài toán 2 vật trong trƣờng thế Newton ...................................................................... 9
2.3. Khảo sát chuyển động của vật trong trƣờng thế Newton bằng phần mềm Maple ....... 11
CHƢƠNG 3: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT TRONG TRƢỜNG THẾ HẤP DẪN

NEWTON CẢI TIẾN BẰNG MAPLE. ...................................................................... 18
2.1. Sơ lƣợc về lực hấp dẫn Newton cải tiến .................................................................... 18
2.2. Sơ lƣợc về lực hấp dẫn cải tiến của mơ hình vecto .................................................... 18
2.3. Khảo sát chuyển động của vật trong trƣờng hấp dẫn cải tiến bằng phần mềm Maple 19
CHƢƠNG 4: BIỆN LUẬN CÁC KẾT QUẢ THU ĐƢỢC……………………….....30
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ............................................................................................. 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................. 31


DANH MỤC HÌNH
Tên hình

Trang

Hình 1: Đồ thị cosx + sinx

3

Hình 2: Đồ thị sinx

4

Hình 3: Đồ thị của 2 hàm sinx và x
Hình 4: Đồ thị x3 – 3x2 + 5x – 7
Hình 5: Đồ thị của 3 hàm x, x2, exp(-x)

4
5
5

Hình 6: Đồ thị sinxy

6

Hình 7: Đồ thị của hàm exp(-(x2+y2))*sinxy

6

Hình 8: Đồ thị của 3 hàm

7

Hình 9: Đồ thị phƣơng trình vi phân 1

7

Hình 10: Đồ thị phƣơng trình vi phân 2

8

Hình 11: Hình biểu diễn lực hấp dẫn tác dụng lên vật m

8

Hình 12: Hình biểu diễn hai vật m1 và m2 chuyển động quanh khối tâm chung C

9

Hình 13: Hình biểu diễn hệ tọa độ cực (r, )

10

Hình 14: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném nhỏ hơn vận tốc vũ trụ cấp 1 của Trái
Đất trong trƣờng Newton

12

Hình 15: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném vI ≤ v0 < vII trong trƣờng Newton

13

Hình 16: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném vII ≤ v0
14


Hình 17: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném v0 ≥ vIII trong trƣờng Newton

15

Hình 18: Hình biểu diễn quỹ đạo của vật với e = 0

16

Hình 19: Hình biểu diễn quỹ đạo của vật với 0 ≤ e < 1

16

Hình 20: Hình biểu diễn quỹ đạo của vật với e = 1

17

Hinh 21: Hình biểu diễn quỹ đạo của vật với e > 1

17

Hình 22: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném nhỏ hơn vận tốc vũ trụ cấp 1 của Trái
Đất trong trƣờng Newton cải tiến

20

Hình 23: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném vI ≤ v0 < vII trong trƣờng Newton cải
tiến

21

Hình 24: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném vII ≤ v0 tiến

22

Hình 25: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném bằng 0 trong vùng vật chất tối

24

Hình 26: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném vI < v0 < vII trong vùng vật chất tối

25

Hình 27: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném vII ≤ v0
26

Hình 28: Hình biểu diễn vật trong vùng năng lƣợng tối

27

Hình 29: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném bằng 0 trong vùng hút xa

28

Hình 30: Hình biểu diễn vật có vận tốc ném khác 0 trong vùng hút xa

29


MỞ ĐẦU
1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài:

Dùng các phần mềm để khảo sát số chuyển động của các vật thể trong trƣờng hấp
dẫn Newton cũng đã đƣợc một số tác giả nghiên cứu từ lâu nhƣng dùng phần mềm
Maple để khảo sát số chuyển động của vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton cải tiến thì
chƣa có tác giả nào thực hiện.
2. Lý do lựa chọn đề tài
Trong mơn Vật Lí, có nhiều bài tốn khó tìm lời giải bằng giải tích chính xác, lúc
này các phƣơng pháp giải gần đúng là hết sức cấp thiết và quan trọng. Phần mềm Maple
là phần mềm mạnh cho phép ta tính tốn hình thức trên các biểu thức và cả giải số. Ứng
dụng của phần mềm Maple để tìm lời giải gần đúng của các bài toán khảo sát chuyển
động của một vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton và Newton cải tiến là một công việc
quan trọng và có ý nghĩa giúp cho sinh viên bƣớc đầu làm quen dần với nghiên cứu khoa
học.
3. Mục tiêu đề tài
 Ứng dụng phần mềm Maple để tìm nghiệm số của bài toán về chuyển động của
một vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton và trƣờng hấp dẫn Newton cải tiến.
 So sánh, đánh giá và bàn luận về các kết quả thu đƣợc.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Thu thập tƣ liệu từ internet, sách báo.
 Đặt bài tốn
 Lập trình bằng phần mềm Maple, chạy chƣơng trình.
 Biện luận kết quả
5. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
5.1: Đối tƣợng nghiên cứu:
 Phần mềm Maple.
 Bài toán chuyển động của vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton.
 Bài toán chuyển động của vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton cải tiến.
5.2: Phạm vi nghiên cứu:
 Các bài toán ở gần đúng bậc nhất.
 Vật thể chuyển động phi tƣơng đối tính.
6. Bố cục của đề tài:

-

Giới thiệu sơ lƣợc về phần mềm Maple.
1


-

Dùng Maple khảo sát chuyển động của vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton.

-

Dùng Maple khảo sát chuyển động của vật thể trong trƣờng hấp dẫn Newton cải
tiến.

-

Biện luận kết quả thu đƣợc.

-

Kết luận và kiến nghị.

2


Chƣơng 1: GIỚI THIỆU VỀ PHẦN MỀM MAPLE
1.1.

Mở đầu:

Khi ta bắt đầu chạy chƣơng trình thì nhấn vào biểu tƣợng hình lá của Maple trên
desktop thì giao diện hiện lên mục làm việc chọn và tạo trang mới (worksheet).
Đầu tiên hãy chọn mở 1 trang mới bằng cách chọn File -> New, lúc này màn hình
sẽ hiện ra 1 trang trắng với kí hiệu [> ở đầu trang. Sau dấu [> các bạn có thể bắt đầu gõ
các phép tính và yêu cầu Maple thực hiện chúng. Kết thúc các câu lệnh bằng dấu chấm
phẩy hoặc dấu hai chấm sau đó nhấn Enter.
1.2.

Các phép tính cơ bản:
1.2.1. Phép tính xây dựng biểu thức:

-

Phép toán +, -, *, /: nếu thực hiện phép tính 25 + 36 ta chỉ việc gõ [> 25+36;,
tƣơng tự với các phép tính trừ, nhân và chia.

-

Các hàm sơ cấp: sin(x), cos(x), tan(x), cotan(x), exp(x), ln(x), abs(x), sprt(x),
max(x1, x2, …), min(x1, x2, …)…

-

Các hằng số: Pi, I, true, false…

-

Lệnh gán: T:= biểu thức
1.2.2. Phép tính khai triển biểu thức: Lệnh expand

1.2.3. Phép tính xác định giá trị: Lệnh evalf

1.2.4. Phép tính đạo hàm và tích phân
-

Phép tính đạo hàm: Lệnh diff

-

Phép tính tích phân: Lệnh int

3


1.2.5. Giải phƣơng trình và bất phƣơng trình đại số: Lệnh solve
-

Giải phƣơng trình: x4 – 5x2 + 6x = 2

-

Giải bất phƣơng trình: x2 + x > 5

Vẽ đồ thị hàm số
1.3.1. Hàm 1 biến, đồ thị 2D: Lệnh plot
Vẽ đồ thị cosx + sinx: gõ [> plot (cos(x)+sin(x), x= -Pi..Pi);
1.3.

-

4


-

Vẽ đồ thị sinx: gõ [>plot(sin(x),x); (nếu không chỉ ra miền xác định thì Maple sẽ
tự động lấy khoảng từ -2 đến 2 )

-

Vẽ đồ thị của 2 hàm sinx và x -

: gõ [>plot ([sin(x), x -

], x = 0..2, color =

[red,blue],style = [point,line]);

5


-

Vẽ đồ thị x3 – 3x2 + 5x – 7: gõ [>plot(x3 – 3x2 + 5x – 7,x=-0,5..3);

-

Vẽ đồ thị của 3 hàm x, x2, exp(-x): gõ [>plot(x,x2,exp(-x),x=0..1);

6


1.3.2. Đồ thị hàm 2 biến, đồ thị 3d: Lệnh plot3d
-

Vẽ đồ thị sinxy: gõ [>plot3d(sin(x*y), x=-Pi..Pi, y=-1..1);

-

Vẽ đồ thị của hàm exp(-(x2+y2))*sinxy: gõ plot3d(exp(-(x2 + y2)) * sin(x*y),
x=-3..3,y=-3..3);

7


-

Vẽ đồ thị của 3 hàm sau: gõ
[>c1:= [cos(u)-2*cos(0.4*v),sin(u)-2*sin(0.4*v),v];
[>c2:= [cos(u)+2*cos(0.4*v),sin(u)+2*sin(0.4*v),v];
[>c3:= [cos(u)+2*sin(0.4*v),sin(u)-2*cos(0.4*v),v];
[>plot3d({c1,c2,c3},u=0..2*Pi,v=0..10,grid=[25,15]);

1.4 . Vẽ đồ thị của phƣơng trình vi phân
- Ví dụ 1:
[>restart;
[>dsol:=dsolve({diff(y(x),x)=y(x)*cos(x),y(0) =
1},numeric,output=listprocedure);
[>with(plots):

[>odeplot(dsol,view=[-5..5,0..3],color=blue);

8


- Ví dụ 2:
[>DEtools[DEplot]({diff(x(t),t)=x(t)*(1-y(t)),diff(y(t),t)=0.5*y(t)*(x(t)-1)},

[x(t),y(t)],t=-7..7,[[x(0)=0.2,y(0)=1],[x(0)=1,y(0)=1.2]],stepsize=0.2);
Chƣơng 2: CHUYỂN ĐỘNG CỦA VẬT TRONG TRƢỜNG THẾ HẤP DẪN
NEWTON BẰNG MAPLE
2.1. Giới thiệu về trƣờng thế Newton
Thế giới chúng ta luôn tồn tại lực hấp dẫn bởi vì chúng ta cũng đã thấy rằng nhiều
hiện tƣợng trong tự nhiên chứng tỏ rằng các vật có khối lƣợng luôn tác dụng lên nhau
những lực hút. Ðiều này đã đƣợc nhà vật lý học thiên tài Isaac Newton tìm ra vào năm
1665 khi ơng chứng minh đƣợc lực giữ Mặt Trăng trên quỹ đạo cũng chính là lực làm
cho quả táo rơi, đồng thời Ông đi đến kết luận là không những Trái Ðất hút quả táo và
Mặt Trăng mà mọi vật trong vũ trụ đều hút mọi vật khác.
Chẳng hạn nhƣ :trọng lực là lực hút của Trái Ðất đối với các vật xung quanh nó. Trái
Ðất quay xung quanh Mặt Trời là do lực hút của Mặt Trời; Mặt Trăng quay xung quanh
Trái Ðất là do lực hút của Trái Ðất. Không những thế mà giữa các sao trong vũ trụ cũng
có lực hút lẫn nhau....Các lực hút đó đƣợc gọi là lực hấp dẫn vũ trụ.
Ðể giải thích lực hấp dẫn ngƣời ta cho rằng xung quanh một vật có khối lƣợng tồn tại
một trƣờng hấp dẫn. Biểu hiện cụ thể của trƣờng hấp dẫn là bất kỳ vật nào có khối lƣợng
đặt trong không gian của trƣờng hấp dẫn đều chịu
tác dụng của lực hấp dẫn.
Xét một chất điểm m bất kỳ nằm trong trƣờng
hấp dẫn của một vật có khối lƣợng M. Chất điểm
m chịu tác dụng một lực hấp dẫn:
⃗

⃗

9


Trong đó là vecto nối từ tâm M đến tâm m. Dƣới tác dụng của lực làm m dịch
chuyển trên đƣờng cong (C) từ P -> Q. Công của lực hấp dẫn trên đoạn đó là:
∫
Mà ta biết

nên phƣơng trình trên viết lại:
∫

Thực hiện phép lấy tích phân ta đƣợc:

Cơng của lực hấp dẫn không phụ thuộc vào đoạn đƣờng dịch chuyển PQ mà chỉ
phụ thuộc vào vị trí điểm đầu P và điểm cuối Q. Vậy trƣờng hấp dẫn của điểm M là một
trƣờng lực thế.
Tổng quát ngƣời ta chứng minh đƣợc rằng trƣờng hấp dẫn Newton là trƣờng thế.
2.2. Bài toán 2 vật trong trƣờng thế Newton
Ta đã biết rằng hai chất điểm có khối lƣợng m1 và m2 đặt cách nhau một khoảng r, sẽ
hút nhau một lực:
, G là hằng số hấp dẫn.
Xét hai vật có khối lƣợng m1 và m2 chuyển động quanh khối tâm chung C, khoảng
cách từ chúng đến khối tâm chung là r1, r2.

Vì lực hấp dẫn hƣớng dọc theo đƣờng nối khối tâm hai vật, cả hai vật cùng quay trên
quỹ đạo của chúng với cùng chu kỳ T, mặc dù chúng chuyển động với vận tốc khác nhau
là v1 và v2. Lực hƣớng tâm của chúng là:

Theo định luật III Newton, F1 = F2 ta thu đƣợc:

10


Rõ ràng vật có khối lƣợng càng lớn thì càng gần khối tâm chung hơn vật có khối
lƣợng bé. Gọi a là khoảng cách giữa hai vật, ta có: a = r1 + r2.
Ta có thế viết lại:
hay
Lực hấp dẫn giữa hai vật là: Fhd = F1 = F2
Từ các phƣơng trình trên ta rút ra biểu thức định luật ba Kêple:

Nếu vật thứ nhất là Mặt Trời, vật thứ hai là một hành tinh thì Mo=m1>>m2. Vậy cơng
thức trên có thể viết lại:

Nghĩa là giống với cơng thức Kêple đã đƣợc thiết lập bằng thực nghiệm.
Trƣờng hợp một hành tinh H chuyển động quanh Mặt Trời. Mặt Trời ở tiêu điểm F, C
là cận điểm, V là viễn điểm. Khoảng cách từ H đến các tiêu điểm F, F’ là r, r’. Ta có
r+r’=2a.
√

Trong đó a là bán trục lớn, b là bán trục bé, e là tâm sai
; c=OF;
2
2
2 2
2
2
b = a - a e = a (1-e ), khoảng cách cận điểm là: FC = a(1-e), khoảng cách viễn điểm là:

FV = a(1+e)
(1)

Trong hệ tọa độ cực (r, ) góc CFH = là góc cận điểm thực, r là bán kính vecto của
hành tinh r = FH. Trong tam giác HFF’ ta có r’2 = r2 + (2c)2 – 2rc.cos( - ) mà
cos( - ) = -cos , 2c = 2ae.
Vậy: r’2 = r2 + (2ae)2 – 2r(2ae).cos
Từ điều kiện của a, b, e và hình vẽ ta có r’ = 2a – r. Ta thu đƣợc:
11


Phƣơng trình trên gọi là phƣơng trình của đƣờng elip trong hệ tọa độ cực với 0 e<1.
Trong hệ tọa độ Đềcac Oxy, trên hình vẽ, áp dụng định lý Pitago để tính tọa độ của
hành tinh H. Ta có:
r’2 = (x + ae)2 + y2
(2)
r2 = (x – ae)2 + y2
Trừ hai phƣơng trình này với nhau ta có: r’2 – r2 = 4aex hay (r’ – r)(r’ + r) = 4aex
Mà r’ + r = 2a, ta sẽ có r’ = a + ex.
Thay giá trị r’ vào phƣơng trình (2) và sử dụng hệ thức (1) ta thu đƣợc:
(3)
Để có diện tích hình elip ta lấy tích phân kép:
∫

∫

Từ phƣơng trình (3) ta suy ra:
Tích phân này sẽ tính đƣợc dễ dàng nếu chúng ta thay y = bsinz thì dy = b.cosz.dz và
hệ thức sin2z + cos2z = 1. Cuối cùng ta thu đƣợc diện tích elip là: S = ab
Elip là một trong các đƣờng cong conic. Tùy theo giá trị tâm sai e ta có:

 Khi e = 0 quỹ đạo là đƣờng trịn.
 Khi e nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (0 e<1) quỹ đạo là elip.
 Khi e = 1 quỹ đạo là parabol.
 Khi e > 1 quỹ đạo là hypecbol.
2.3. Khảo sát chuyển động của vật trong trƣờng thế Newton bằng Maple
2.3.1. Phƣơng trình chuyển động của vật trong trƣờng hấp dẫn Newton
Phƣơng trình chuyển động của một vật có khối lƣợng m trong trƣờng hấp dẫn Newton
do vật M gây ra là = m
Trong hệ tọa độ cực (r, ) phƣơng trình (*) trở thành [1]:
r’’ – r
với

=

(h =

2

=

)

Vậy phƣơng trình (**) trở thành [2]:
r’’=
2.3.2. Khảo sát số chuyển động của vật trong trƣờng hấp dẫn Newton

12


Khảo sát chuyển động của vật khối lƣợng m trong trƣờng hấp dẫn của Trái Đất

M = 6.1024kg.
Đối với Trái Đất thì vận tốc vũ trụ cấp I là:
vI = √

√

Vận tốc vũ trụ cấp II của Trái Đất là:
vII = √ vI = 11,2 km/s
Vận tốc vũ trụ cấp III của Trái Đất là:
vIII = √
2.3.2.1.

với a là bán trục lớn

vIII = 16,6 km/s
Vật có vận tốc ném nhỏ hơn vận tốc vũ trụ cấp 1 của Trái Đất

Câu lệnh:
>

>

>

Đồ thị:

Hình 1: Đồ thị chuyển động của vật với vận tốc nhỏ hơn vận tốc vũ trụ cấp I
13

2.3.2.2.

Vật có vận tốc ném vI ≤ v0 < vII

Câu lệnh:
>

>

>

Đồ thị:

Hình 2: Đồ thị chuyển động của vật với vận tốc vI ≤ v0 < vII

2.3.2.3.

Vật có vận tốc ném vII ≤ v0
Câu lệnh:
>

14


>

>

Đồ thị:

Hình 3: Đồ thị chuyển động của vật với vận tốc vII ≤ v0 < vIII

2.3.2.4.

Vật có vận tốc ném v0 ≥ vIII

Câu lệnh:
>

>

15


>

Đồ thị:

Hình 4: Đồ thị chuyển động của vật với vận tốc v0 ≥ vIII

2.3.3. Quỹ đạo của vật trong trƣờng hấp dẫn Newton bằng Maple
Phƣơng trình quỹ đạo của vật trong hệ tọa độ cực là:

Với a là bán trục lớn, e là tâm sai
2.3.3.1. Đƣờng tròn, e = 0
>

16