Tài liệu Thanh chịu lực phức tạp ppt

CHƯƠNG 9

THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP
KHÁI NIỆM CHUNG

I.

II.

III.
IV.
V.

UỐN XIÊN
1. Khái niệm
2.
Ứng suất pháp
3. Ðường trung hòa và biểu đồ ứng suất
4. Kiểm tra bền
5.
Ðộ võng của dầm khi uốn xiên
THANH CHỊU UỐN VÀ KÉO (NÉN) ÐỒNG THỜI
1. Khái niệm
2. Ứng suất
3. Ðiều kiện bền
THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ÐỒNG THỜI
1. Uốn và xoắn đối với thanh tròn
2. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang chữ nhật
THANH CHỊU LỰC TỔNG QT
1. Thanh có mặt cắt ngang trịn chịu lực tổng quát
2. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực tổng quát

LÕI CỦA MẶT CẮT

TOP
KHÁI NIỆM CHUNG
Các dạng chịu lực của thanh mà chúng ta nghiên cứu trước đây như kéo, nén đúng tâm,
xoắn thuần tuý, uốn thuần túy phẳng và uốn ngang phẳng đều thuộc về những trường hợp
chịu lực đơn giản của thanh.
Trong chương này ta nghiên cứu các trường hợp chịu lực phức tạp của thanh nghĩa là
những hình thức chịu lực kết hợp giữa các trường hợp chịu lực đơn giản. Các bài toán thường
gặp là uốn xiên, uốn và kéo đồng thời và trường hợp chịu lực tổng quát.
Ðể giải quyết những bài toán đó, chúng ta sử dụng nguyên lý độc lập tác dụng. Nguyên lý
đó được phát biểu như sau:
Ưïng suất và biến dạng do nhiều yếu tố gây ra đồng thời trên một thanh bằng tổng ứng suất
và biến dạng do từng yếu tố riêng biệt gây ra trên thanh đó .
Muốn sử dụng được nguyên lý này, bài toán phải thỏa mãn các điều kiện sau đây :
Vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, quan hệ giữa ứng suất và biến dạng là bậc nhất
Biến dạng của thanh là bé, sự chuyển dịch điểm đặt của lực tác dụng lên thanh là không
đáng kể


Khi xét bài tốn chịu lực phức tạp, vì ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh không đáng
kể so với các thành phần nội lực khác, nên trong mọi trường hợp chúng ta đều không xét đến
lực cắt.
I. UỐN XIÊN
TOP
1. Khái niệm
Thanh uốn xiên là thanh mà trên mọi mặt cắt ngang chỉ có 2 thành phần nội lực là các
momen uốn Mx, My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt.

Biểu diễn các momen uốn Mx, My bằng các vectơĠ,Ġ.Hợp hai vectơ này lại ta được

vectơ tổng hợpĠ. Khi hợp hai momen uốn Mx, My lại ta được momen uốn tổng hợp M nằm
trong mặt phẳng ( chứa trục z của thanh. Ta thấy mặt phẳng (không trùng với một mặt phẳng
quán tính chính trung tâm nào của mặt cắt ngang.
Mặt phẳng ( được gọi là mặt phẳng tải trọng
Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang là đường tải trọng . Ðường tải trọng
là đường thẳng đi qua gốc tọa độ và vng góc với phương của vectơ tổng momen M. Từ đó
ta có một định nghĩa khác về uốn xiên như sau :
Thanh chịu uốn xiên là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có một
thành phần nội lực là momen uốn M nằm trong mặt phẳng chứa trục z của thanh nhưng khơng
trùng với mặt phẳng qn tính chính trung tâm nào của mặt phẳng ngang.
Gọi ( là góc có hướng giữa trục x và đường tải trọng, ( sẽ dương khi chiều quay từ trục x
đến đừơng tải trọng là thuận chiều kim đồng hồ , ngược lại ( âm .
Cũng như trước đây dấu của các momen uốn Mx , My được quy ước như trong trường hợp
thanh chịu uốn phẳng nghĩa là Mx , My được coi là dương khi nó làm căng các thớ ở về phía
dương của trục x và trục y.
Ta thấy sự tương quan giữa Mx , My và M như sau:
Mx = Msinα
My = Mcosα


Như vậy hệ số góc của đường tải trọng là
:Ġ
(IX-1)

TOP
2. Ứng suất pháp
Aïp dụng nguyên lý độc lập tác dụng, ta có thể xem ứng suất tại một điểm A nào đó trên
mặt cắt ngang là tổng ứng suất do momen uốn Mx và My gây nên một cách riêng lẽ. Như vậy
ta đã đưa bài toán trên về 2 bài toán uốn thuần tuý đơn. Gọi x và y là tọa độ của một điểm A
nào đó, trị số ứng suất tại A là:

(IX-2a)
Khi sử dụng cơng thức đó ta phải chú ý đến dấu của Mx , My và x, y nên để thuận tiện ta
dùng công thức kỹ thuật sau đây:

(IX-2b)
Trong đó các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối, còn dấu (+) hay (-) trước mỗi số hạng thì tùy
theo các momen uốn Mx , My gây ra ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét.
Giả sử xét ứng suất tại A trên hình 9-1 . Ðối với Mx , ứng suất tại A là nén, vậy trước số
hạng chứa Mx lấy dấu âm; đối với My ứng suất tại A là kéo, vậy trước số hạng chứa My, lấy
dấu dương.
3. Ðường trung hòa và biểu đồ ứng suất
a./ Ðường trung hòa

TOP

Ta thấy phương trình biểu diễn ứng suất tại một điểm mọi trên mặt cắt ngang là một hàm 2
biến theo x và y, đây là phương trình biểu diễn một mặt phẳng. Ta gọi mặt phẳng này là mặt
phẳng ứng suất.
Giao tuyến của mặt ứng suất với mặt
cắt ngang là quỹ tích những điểm cùng có giá trị ứng suất pháp bằng khơng. Giao tuyến đó
chính là đường trung hịa, phương trình của nó là:


(IX-3)
Hay y = tgβ.x
Trong đó tg( là hệ số góc của đường trung hịa

(IX-4)
Ta thấyĠ

Nhận xét :
Góc ( và ( ln ln trái dấu nhau. Thực vậy vì Jx và Jy là những số dương, do đó dấu của
tg( ln ngược dấu với tg(. Như vậy đường tải trọng và đường trung hịa khơng bao giờ cùng
nằm trong một góc phần tư của hệ trục tọa độ.
Thông thường đường trung hịa và đường tải trọng khơng vng góc với nhau
Thật vậy vì Ġ trong đó JxĠJy
Nếu Jx = Jy thì Ġ khi đó đường trung hịa vng góc với đường tải trọng và bất kỳ trục nào
đi qua trọng tâm mặt cắt cũng là trục quán tính chính trung tâm. Như vậy mặt phẳng tải trọng
cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Sự uốn của thanh khơng cịn là uốn xiên nữa mà
là uốn thuần túy đơn. Ðó là trường hợp mặt cắt ngang của thanh là hình trịn hoặc đa giác đều.
Với những thanh đó thì khơng bao giờ chịu uốn xiên.
b./ Biểu đồ ứng suất
Biều đồ ứng suất trên mặt cắt ngang được vẽ như sau:

TOP

Kéo dài đường trung hòa ra khỏi mặt cắt, vẽ đường vng góc
với đường trung hịa làm đường chuẩn. Ưïng suất tại các điểm trên đường thẳng song song
với đường trung hịa được biểu diễn bằng một đoạn thẳng có gốc trên đường chuẩn và có
phương nằm trên đường thẳng song song đó.
Từ biểu đồ mặt ứng suất ta nhận thấy những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song
song với đường trung hịa thì cùng có ứng suất như nhau. Trị số các ứng suất tỉ lệ với khoảng
cách đến đường trung hòa.
Từ biểu đồ ứng suất trên mặt cắt ngang ta tìm được các điểm nguy hiểm trong miền chịu
kéo và nén. Những điểm này là những điểm nằm xa đường trung hịa nhất.
Ðối với mặt cắt ngang hình chữ nhật, chữ I, điểm nguy hiểm luôn luôn là các góc (điểm
B và C hình 9-3)
Các trị số ứng suất cực đại và cực tiểu là:

4. Kiểm tra bền
Ðiều kiện bền của dầm chịu uốn xiên là:

TOP

σmax ≤ [σk]
σmin ≤ [σn]
Ðối với vật liệu dẻo, mặt cắt ngang thường là hình chữ nhật, chữ I hoặc tương tự, vì [(k] =
[(n] nên điều kiện bền có thể viết lại là:

Từ phương trình trên ta thấy đối với bài toán chọn mặt cắt ngang ta gặp hai ẩn số là wx và
wy. Ta chọn trước một ẩn số, từ đó xác định ẩn số thứ hai, xong kiểm tra lại từ điều kiện bền,
làm như vậy cho đến khi xác định được kích thước hợp lý nhất.
Thường để giải quyết bài tốn được nhanh chóng ta viết điều kiện bền lại như sau:

(IX-6)
Rồi chọn trước tỷ sốĠ, việc chọn tỷ số này đơn giản hơn việc chọn wx hay wy.
- Ðối với mặt cắt ngang chữ nhật ĠĽ
- Ðối với mặt cắt ngang chữ U Ġ= 5 ( 7
- Ðối với mặt cắt ngang chữ I
Ġ= 8 ( 10
Ðối với mặt cắt ngang dạng bất kỳ, điểm nguy hiểm vẫn là điểm xa trục trung hòa nhất
(B và C)
TOP
5. Ðộ võng của dầm khi uốn xiên
Gọi fx và fy là độ võng do Mx và My gây ra tại mặt cắt nào đó. Ðộ võng tồn phần f sẽ
bằng tổng hình học của fx và fy

Với cách đó ta có thể xác định được độ võng tại các mặt cắt khác nhau và như vậy ta có thể
xác định được đường đàn hồi của dầm.

Nếu đường đàn hồi nằm ngang trong mặt phẳng thì ta có uốn xiên phẳng, nếu là một đường
cong ghềnh thì gọi là uốn xiên không gian
Phương của chuyển vị:


(: góc hợp bởi phương của chuyển vị với trục x
II. THANH CHỊU UỐN VÀ KÉO (NÉN) ÐỒNG THỜI
TOP
1. Khái niệm
Thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang
của thanh có các thành phần nội lực là các moment uốn Mx , My và lực dọc Nz.
Trong thực tế ta thường gặp những kết cấu như vậy.
Ví dụ: đập ngăn nước, ống khói, cột chống của cầu treo, cột điện..

Ống khói (hình 9-6b) vừa chịu nén bởi trọng lượng bản thân vừa chịu uốn do tải trọng gió
gây nên. Cột chống cầu treo khi chịu sức căng của dây treo khơng vng góc với trục thanh,
thành phần vng góc với trục thanh P1 gây ra uốn và thành phần theo chiều cột trụ P2 gây
nén.
2. Ứng suất

TOP

Ta nhận thấy rằng bài toán này là sự kết hợp của ba bài toán đơn giản, hai bài toán uốn thuần
túy đơn với bài tóan kéo nén đúng tâm. Ứng suất tại một điểm nào đó trên mặt cắt ngang là
tổng các ứng suất của mỗi bài toán riêng lẽ.

Ðể thuận tiện ta dùng cơng thức kỹ thuật sau:

Trong đó dấu của momen uốn được qui ước như trong trường hợp uốn xiên. Dấu của lực dọc
Nz lấy giá trị dương nếu Nz gây ứng suất kéo, ngược lại là âm.

Một dạng riêng của bài toán uốn đồng thời với kéo, nén là bài toán kéo,nén
lệch tâm:
Thanh chịu kéo (nén) lệch tâm là thanh chịu
lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có thành phần lực dọc N
cùng phương nhưng đặt lệch một đoạn e so với trục z của thanh.
Nếu chuyển lực dọc N về trọng tâm O của mặt cắt ngang thì ta được lực dọc đúng tâm Nz =
N và momen uốn M có giá trị bằng momen do N gây ra đối với tâm O:
Nz = N
M = N.e
Phân momen M thành hai thành phần Mx và My trên trục x và trục y ta được:
Mx = N. yk
My = N. xk
Như vậy bài toán kéo (nén) lệch tâm là một dạng riêng của bài toán uốn và kéo nén đồng thời.
Tuy nhiên vì đây là một dạng bài tóan đặc biệt nên ta đưa cơng thức này về một dạng riêng
Ta có:

Ðặt:Ġ, ta có:

Trong đó:
- ix , iy: được gọi là bán kính quán tính của mặt cắt ngang đối với trục x
- N: lực dọc
- F: diện tích mặt cắt ngang


Từ phương trình của (z ta nhận thấy mặt ứng suất là một mặt phẳng không đi qua gốc tọa
độ (do có số hạng tự doĠtrong biểu thức Ġ)
Như vậy đương trung hịa cũng khơng đi qua gốc tọa độ.
Cũng giống như trường hợp uốn xiên, những điểm cách xa đường trung hòa nhất là những

điểm nguy hiểm nhất.
Tương tự như trước ta thấy phương trình của đường trung hịa là:

và trong kéo (nén) lệch tâm:

3. Ðiều kiện bền
σmax ≤ [σK]
σmin ≤ [σn]

TOP

Trường hợp mặt cắt ngang là hình chữ nhật hay các hình có dạng tương đương, ta có thể tính
(max và (min theo cơng thức sau:

Số hạng đầu trong hai công thức trên đây lấy dấu (+) nếu NZ là lực kéo, lấy dấu (-) nếu
NZ là lực nén.


Trường hợp mặt cắt ngang có dạng tổng quát ta phải xác định vị
trị của đường trung hịa, sau đó xác định vị trí các điểm nguy hiểm
nhất. Những điểm nguy hiểm nhất vẫn là những điểm cách xa
đường trung hồ nhất .Sau khi đã có tọa độ của các điểm nguy hiểm
ta sử dụng các công thức của (Z để tính (max và (min
III. THANH CHỊU UỐN VÀ XOẮN ÐỒNG THỜI
Thanh chịu uốn và xoắn đồng thời là thanh chịu lực sao cho trên
mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có các thành phần nội lực là
mơmen uốn Mx, My và momen xoắn MZ.
Ðây là bài toán thường gặp nhất trong các chi tiết máy. Thực tế,
bài toán xoắn thuần túy rất ít gặp. Ví dụ: một trục truyền lực không chỉ chịu tác dụng xoắn do
momen xoắn ở các Puli gây nên mà còn chịu uốn do trọng lượng bản thân, trọng lượng của

các Puli và lực căng của các dây đai gây nên.
Trong phần này ta chỉ xét các thanh có mặt cắt ngang dạng trịn và chữ nhật.
TOP
1. Uốn và xoắn đối với thanh tròn
Như ta đã biết, thanh trịn bao giờ cũng chỉ có uốn đơn: hợp hai momen uốn Mx , My lại ta
được momen uốn Mu tác dụng trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm. Ðường trung hịa
vng góc với đường tải trọng. Ðiểm xa nhất đối với đường trung hòa là các giao điểm AB
giữa mặt phẳng tải trọngĠ và chu vi mặt cắt.
Ứng suất pháp tại các điểm A và B có giá trị lớn nhất:

Vì Ġ và Wu = Wx = Wy nên (max =Ġ

(IX-12)

Ngồi ra cịn có ứng suất tiếp do momen xoắn MZ gây ra
Ứng suất tiếp có giá trị lớn nhất tại các điển nằm trên chu vi mặt cắt

(IX-12)

Như vậy, các điểm A và B là các điểm nguy hiểm nhất. Trạng thái ứng suất tại A và B là trạng
thái ứng suất phẳng.
Viết điều kiện bền của các phân tố A và B ta được :
a) Theo thuyết bền ứng suất tiếp:Ġ
((tđ = (1 - (3 ( [(])
Ta có:Ġ


b) Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:
(tđ =Ġ
(tđ =Ġ( [(]

Ta có:Ġ
c) Theo thuyết bền Mohr:
(tđ = (1 - ((3 với ( Ľ

Ta có: ĉ
Nếu ta biểu diễn điều kiện bền dưới dạng

Mtđ = momen tương đương
Như vậy:
a) Theo thuyết bền ứng suất tiếp:
Mtđ =Ġ
b) Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng:
Mtđ =Ġ
c) Theo thuyết bền Mohr:
Mtđ =Ġ

TOP
2. Uốn và xoắn đồng thời thanh mặt cắt ngang chữ nhật
Giả sử trên mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu uốn và xoắn
đồng thời có các thành phần nội lực là Mx , My và Mz.
a) Trường hợp chịu uốn xiên: do Mx và My gây ra các điểm nguy hiểm có ứng suất pháp
cực trị là góc B và D
Tại B: chịu kéo ĉ
(IX-14a)
Tại D: chịu nén ĉ (IX-14b)
b) Trường hợp chịu xoắn: do Mz gây ra, các điểm nguy hiểm có ứng suất tiếp lớn là
điểm giữa cạnh dài A và điểm giữa cạnh ngắn C

Trong 3 điểm ABC ta chưa biết được điểm nào là nguy hiểm cho nên ta phải kiểm tra
bền cho cả 3 điểm trên.

(. Kiểm tra bền cho phân tố B:


Phân tố B ở trạng thái ứng suất đơn, do đó điều kiện bền là:

Nếu là vật liệu giịn thì phải kiểm tra cả phân tố D

(. Kiểm tra bền đối với phân tố A:
Phân tố A ở trạng thái ứng suất phẳng, kiểm tra tùy theo các thuyết bền:
Theo thuyết bền ứng suất tiếp:Ġ
Ta có:Ġ
Theo thuyết bền thế năng biển đổi hình dạng: (tđ =Ġ( [(]
Ta có:Ġ
Theo thuyết bền Mohr: (tđ = (1 - ((3 với ( Ľ ĉTa có:

(. kiểm tra bền đối với phân tố C:
Phân tố C ở trạng thái ứng suất phẳng, kiểm tra theo thuyết bền:
Theo thuyết bền ứng suất tiếp:

•

Theo thuyết bền thế năng biển đổi hình dạng:

•

Theo thuyết bền Mohr:

IV. THANH CHỊU LỰC TỔNG QUÁT
Thanh chịu lực tổng quát là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của thanh có
đủ 6 thành phần nội lực.

Vì ảnh hưởng của các lực cắt Qx và Qy bé so với ảnh hưởng của các thành phần nội lực
khác nên cũng như trước đây, chúng ta không xét đến lực cắt.
Nếu trong trường hợp cần thiết nào đó phải kể đến ảnh hưởng của lực cắt Qx và Qy thì
chúng ta có thể sử dụng cơng thức của Durapski để tính ứng suất tiếp do lực cắt gây nên


TOP
1. Thanh có mặt cắt ngang trịn chịu lực tổng quát
Trường hợp này, đường trung hòa là đường thẳng song song trục u ((AB). Thật vậy đường
trung hịa có thể viết dưới dạng:

Do đó, các điểm nguy hiểm nhất vẫn là điểm A và B
Ưïng suất pháp do lực dọc Nz và momen uốn Mu gây ra tại A và B là:

Ứng suất tiếp do momen xoắn gây ra là:

Các điểm A và B chịu trạng thái ứng suất phẳng - Ðiều kiện bền của trạng thái ứng suất
phẳng đã được nói kỹ ở phần trên, ở đây ta khơng nhắc lại nữa.
2. Thanh có mặt cắt ngang chữ nhật chịu lực tổng qt

TOP

Giả sử có mặt cắt ngang hình chữ nhật chịu lực như hình vẽ 9-13. Ta nhận thấy rằng nếu
lực dọc Nz là kéo thì ứng suất pháp tại B sẽ có trị số tuyệt đối lớn nhất so với các điểm khác
trên mặt cắt ngang. Các điểm nguy hiểm cần kiểm tra là A B C.
Ngược lại nếu Nz là lực nén thì trị số ứng suất pháp tại B có giá trị lớn nhất. Các điểm
nguy hiểm là ABC.


a. Ðiểm B chịu trạng thái ứng suất đơn: Trị số ứng suất pháp tại đó được tính theo cơng

thức:

(IX-17a)
b. Ðiểm A và C chịu trạng thái ứng suất phẳng:
(. Ứng suất pháp tại A và C có giá trị là:

(. Ứng suất tiếp tại A và C do Mz gây ra là:

Ðiều kiện bền giợng như đã nói ở trên.
TOP
V. LÕI CỦA MẶT CẮT
Nếu điểm đặt lực di chuyển theo đường thẳng PP đi qua trọng tâm O của mặt cắt thì đường
trung hịa tịnh tiến (khơng quay) đến gần hoặc xa ra trọng tâm tùy theo điểm đặt lực di chuyển
ra xa hoặc đến gần trọng tâm. Trên hình vẽ (9-14a) vị trí các đường trung hịa (n1n1, n2n2 và
n3n3; n0n0 đi ra xa vô cùng) và biểu đồ ( tương ứng khi lực kéo P đặt tại các điểm O, 1, 2, 3
trên đường thẳng PP (hình 9-14a)


Hình 9-14b
Nếu điểm đặt lực di chuyển trên đường thẳng PP (hình 9-14b) khơng đi qua trọng tâm mặt
cắt thì đường trung hịa quay chung quanh một điểm K có tọa độ

Ngược lại, nếu đừơng trung hòa quay chung quanh một điểm cố định có tọa độ x0 và y0 thì
điểm đặt lực di chuyển trên đường thẳng PP khơng đi qua trọng tâm mặt cắt và có phương
trình sau

Nếu điểm đặt lực nằm trên một trong những trục quán tính chính trung tâm của mặt cắt thì
thanh đồng thời bị kéo hoặc nén dọc trục và uốn phẳng thuần túy. Trong trường hợp đó các
cơng thức trên vẫn đúng nhưng cần cho xP = 0 (nếu điểm đặt lực nằm trên trục y) hoặc yp = 0
(nếu điểm đặt lực nằm trên trục x)

Ðể đảm bảo độ bền cho những thanh làm bằng vật liệu dòn chịu kéo đứt kém, ta cần phải
đặt lực lệch tâm thế nào đêí trên mặt cắt ngang khơng có ứng suất kéo.
Phần mặt phẳng của mặt cắt ngang có chứa trọng tâm và giới hạn bởi một chu tuyến kín
để khi đặt lực vào trong đó ứng suất tại mọi điểm của mặt cắt chỉ có một dấu (nén), gọi là lõi
của mặt cắt. Chu tuyến của lõi là quỹ tích những điểm đặt lực lệch tâm, tương ứng với các
điểm này, đường trung hòa tiếp xúc với chu tuyến mặt cắt và không cắt mặt cắt ở chỗ nào.


Những trường hợp đặc biệt: