Tài liệu Chuyển vị của dầm chịu uốn docx

CHƯƠNG 8

CHUYỂN VỊ CỦA DẦM CHỊU UỐN

I. KHÁI NIỆM
II.
PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ÐƯỜNG ÐÀN HỒI

III.
PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ÐẦU

IV.
PHƯƠNG PHÁP TẢI TRỌNG GIẢ TẠO (PHƯƠNG PHÁP ÐỒ TOÁN)

V.
BÀI TOÁN SIÊU TĨNH


I. KHÁI NIỆM
TOP
Dưới tác dụng của ngoại lực, trục của dầm bị uốn cong, đường cong của trục sau khi sau khi
biến dạng gọi là đường đàn hồi
Xét một điểm K nào đó sẽ di chuyển tới vị trí mới là K . Khoảng cách KK được gọi là chuyển
vị thẳng của điểm K .
Ta có thể chia chuyển vị này thành hai thành phần là v và u song song với trục y và z.
Trong diều kiện biến dạng của dầm bé thì u là một đại lượng vô cùng bé bậc hai so với v vì
vậy ta có thể bỏ qua u và xem KK = v
Chuyển vị v song song với trục y gọi là độ võng tại K của dầm và là một hàm số đối với z.
Như vậy : v(z) = y(z) = f(z)
Hệ số góc tg( của tiếp tuyến đường cong (đường đàn hồi) tại một điểm chính là đạo hàm bậc I

của phương trình đường cong tại điểm đó, vì vậy ta có :
Ðạo hàm của đường đàn hồi là góc quay ( của mặt cắt ((>0 khi mặt cắt xoay thuận chiều kim
đồng hồ)
( gọi là chuyển vị góc của mặt cắt ngang tại điểm K


Trong đó y là phương trình của đường đàn hồi
II. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CỦA ÐƯỜNG ÐÀN HỒI TOP
Ta đã biết độ congĠ
Mà trong hình học vi phân:Ġ


Thông thường các chi tiết máy có biến dạng rất nhỏ:Ġ
Cho nên (2 = y2 ( 0
VậyĠ
Vì y và Mx luôn luôn ngược dấu nên (hình 8-1)

Ðây là phương trình vi phân của đường đàn hồi
Ðề tìm phương trình đường hồi ta tính tích phân:

Trong đó C và D là hai hằng số tích phân được xác định từ điềìu kiện ban đầu
Tùy trường hợp ta có thể có các điều kiện sauĠ
Tính liên tụcĉ
M=Pl
p
1
A
B
1
z

l
V
A
=P
Hçnh 8-2
M=Pl
p
1
A
B
1
z
l
V
A
=P
Hçnh 8-2
Ví dụ 1: cho dầm bị ngàm ở đầu A chịu lực như hình 8-2. Tính chuyển vị y và góc xoay ( ở
đầu B
Giải:
Phương trình moment uốn ở mặt cắt 1-1 là:
Mx = -P(l-z) (dấu (-) vì uốn lên)
Vậy:Ġ

Ðiều kiện biênĠ C=D=0
Vậy:Ġ
Tại B: z = lĠ
Ví dụ 2: cho dầm chịu lực như hình vẽ 8-3î, hãy xác định chuyển vị và góc xoay tại điểm C .
Cho l=a+b
z

2
P
A
B
b
a
V
A
V
B
2
2
1 C
1
z
1
Hçnh 8-3
Giải:


Xét mặt cắt 1-1:Ġ


Xét mặt cắt 2-2: Ġ


VậyĠ
Suy ra

Ðể xác định các hằng số tính phân C1, D1,C2,D2 ta nhờ điều kiện biên sau :

suy ra
Tính ra Ġ
Qua ví dụ này ta thấy rằng nếu trên dầm có nhiều đoạn chịu lực khác nhau thì phải thiết lập
phương trình vi phân của đường đàn hồi cho từng đoạn riêng biệt. Ở mỗi đoạn phải xác định
hai hằng số tích phân, tức là phải tìm 2n phương trình với 2n ẩn số nhờ vào điều kiện biên.
Bài toán càng trở nên phức tạp nếu số đoạn chịu lực khác nhau càng lớn vì vậy, khi dầm có
nhiều đoạn người ta không dùng phương pháp này mà dùng phương pháp thông số ban đầu.
III. PHƯƠNG PHÁP THÔNG SỐ BAN ÐẦU TOP


(ya và (ya' : bước nhảy của độ võng và góc xoay tại mặt cắt có hoành độ z = a
Xét một dầm có mặt cắt ngang thay đổi từng bậc trong từng đoạn như hình vẽ. Ðánh số thứ tự
các đoaün là 1,2...m, m+1...n và gọi độ cứng của các đoạn tương ứng là E1J1, EmJm,
Em+1Jm+1...EnJn.
Giả sử xét hai đoạn kề nhau thứ m và thứ m+1 chịu lực tổng quát gồm momen tập trung, lực
tập trung, tải trọng phân bố q
Phương trình đường đàn hồi ở đoạn thứ m là ym(z)
Phương trình đường đàn hồi ở đoạn thứ m+1 là ym+1(z)
Ta có : ym+1(z) = ym(z) + (y(z) (VIII-3)
Khai triển (y(z) theo chuổi Taylor tại hoành độ z=a ta được

Nhưng từ phương trình (VIII-3) ta suy ra:
Dy(z) = y
m+1
(z) - y
m
(z)
Như vậy : (y = ym+1 - ym

Chú ý rằng: ĉ


Chọn một độ cứng EJ nào đó sao cho:

Thế vào phương trình (VIII-4) ta được:
(VIII-4b)
Thế (y(z) vào phương trình (VIII-3) ta được

Ðặc biệt trong đoạn dầm thứ nhất : m = 0; z1 = a = 0 => ym(z) = 0
Khi đó: (ya = (y0 = y0
Dy’
a
= Dy’
0
= y’
0



Trong đó : các trị số Mo, Qo, qo, q0' là momen tập trung, lực tập trung, cường độ lực phân bố
và đạo hàm của lực phân bố tại đầu mút của dầm (z=0)
Các trị số y0, y0', M0, Q0, q0, q0' được gọi là các thông số ban đầu, các thông số này được
xác định từ các điều kiện biên hoặc là các giá trị được cho biết trước.
Như vậy phương trình đường đàn hồi của đoạn dầm thứ nhất là:

Trường hợp đặc biệt khi E1J1=E2J2=...=EnJn=EJ
Thì : K1 = K2 = ...= Km =Km-1=...= 1
Phương trình đàn hồi ở đoạn thứ (m+1) được viết là :