Phân loại và phương pháp giải bài tập cung và góc lượng giác, công thức lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (979.03 KB, 110 trang )

CHƯƠNG 6. CUNG LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯƠNG GIÁC
BÀI 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẰM
I – KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác
Đường tròn định hướng là một đường trịn trên đó ta chọn một
chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều
âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng
hồ làm chiều dương.

+
A
-

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M
di động trên đường trịn ln theo một chiều (âm hoặc dương) từ
A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm
cuối B.
Với hai điểm A , B đã cho trên đường trịn định hướng ta có vơ
số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy

D

M

O
C



đều được kí hiệu là AB .

2. Góc lượng giác


Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động trên đường


tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị
trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC , tia cuối là OD. Kí
hiệu góc lượng giác đó là (OC , OD ).
3. Đường trịn lượng giác
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán
kính R = 1 .
Đường trịn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm
A (1;0 ), A ' (-1;0 ), B (0;1), B ' (0; -1).

+

Ta lấy A (1;0 ) làm điểm gốc của đường tròn đó.

O

Đường trịn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác
(gốc A ).
II – SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
1. Độ và radian
a) Đơn vị radian
Trên đường trịn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
b) Quan hệ giữa độ và radian
10 =

p
rad
180

0

ỉ180 ư÷
÷ .
è p ữứ

v 1rad = ỗỗỗ

c) di ca mt cung trũn
Giỏo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 456

Trên đường trịn bán kính R , cung nửa đường trịn có số đo là p rad và có độ dài là p R . Vậy cung
có số đo a rad của đường trịn bán kính R có độ dài
 = Ra.

2. Số đo của một cung lượng giác


Số đo của một cung lượng giác AM ( A ¹ M ) là một số thực âm hay dương.




Kí hiệu số đo của cung AM là sđ AM .
Ghi nhớ
Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2p.
Ta viết


sđ A M = a + k 2p, k Ỵ .
trong đó a là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A , điểm cuối là M .
3. Số đo của một góc lượng giác


Số đo của góc lượng giác (OA , OC ) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng.
Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các
cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó
cũng đúng cho góc và ngược lại.
4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A (1;0 ) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để
biểu diễn cung lượng giác có số đo a trên đường trịn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của


cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ AM = a.
B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Dạng toán 1 : xác định các yếu tố liên quan đến cung và góc lượng giác.
1. Phương pháp
Ngồi việc sử dụng định nghĩa góc và cung lượng giác, cơng thức tính độ dài cung trịn khi
biết số đo, mối liên hệ giữa đơn vị độ, rađian và hệ thức salơ chúng ta cần lưu ý đến kết quả sau:
Nếu một góc(cung) lượng giác có số đo a 0 (hay a rad ) thì mọi góc(cung) lượng giác cùng
tia đầu(điểm đầu), tia cuối(điểm cuối) với nó có số đo dạng dạng a 0 + k 3600 (hay a + k 2p rad ,

k Ỵ Z ), mỗi góc(cung) ứng với mỗi giá trị của k . Từ đó hai góc lượng giác có cùng tia đầu và tia
cuối thì sai khác nhau một bội của 2p
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: a) Đổi số đo của các góc sau ra rađian: 720 , 6000 , - 37 0 45 ' 30 '' .
b) Đổi số đo của các góc sau ra độ:

5p 3p
, ,- 4 .
18 5

Lời giải
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 457

a) Vì 10 =

p
p
2p
p
10p
rad nên 720 = 72.
=
, 6000 = 600.
=
,
180

180
5
180
3
0

0

0

ỉ 45 ư
ỉ 30 ư÷
ỉ 4531 ư÷
4531 p
.
-37 45 ' 30 '' = -37 - ỗỗ ữữ - ỗỗ
ằ 0, 6587
ữ = ỗỗ
ữ =
ỗố 60 ữứ
ỗố 60.60 ứữ
ỗố 120 ứữ
120 180
0

0

0

0

0

ổ 180 ửữ
5p ổỗ 5p 180 ửữ
3p ỗổ 3p 180 ửữ
=ỗ .
=ỗ .
b) Vỡ 1 rad = ỗỗ
ữ = 50o ,
ữ = 108o ,
ữ nờn
ữ
ỗ
ỗố 5 p ứữ
ỗố p ữứ
18
5
ố 18 p ứ
0

0

ổ 180 ửữ
ổ 720 ửữ
-4 = - ỗỗ 4.
ữ = - ỗỗ
ữ ằ -22600 48 ' .
ỗố p ữứ
ỗố p ữứ

Vớ d 2: Mt ng trũn cú bỏn kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường trịn đó có số đo là
a)

3p
4

b) 510

c)

1
3

Lời giải
Theo cơng thức tính độ dài cung trịn ta có l = Ra =

a) Ta có l = Ra = 36.

b) Ta có l =

pa
.R nên
180

3p
= 27 p » 84, 8m
4

pa
p51

51p
.R =
.36 =
» 32, 04m
180
180
5

c) Ta có l = Ra = 36.

1
= 12m
3

Ví dụ 3: Cho hình vng A0A1A2A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các đỉnh được sắp xếp theo chiu
ỵ

ỵ

(
ngc chiu quay ca kim ng h). Tớnh s o của các cung lượng giác A0Ai , AA
i j
i, j = 0,1, 2, 3, 4, i ạ j ).

A1

A0

Li gii
ỵ

=
0
Ta cú AOA
nờn
s
A
A = k 2p , k ẻ Z
0
0
0 0

O
A2

A3

ỵ

p
p
= nên sđ A0A1 = + k 2p , k Ỵ Z
AOA
0
1
2
2
ỵ

AOA
= p nờn s A0A1 = p + k 2p , k Ỵ Z
0
2

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 458

þ


p
3p
p
AOA
= nên sđ A0A3 = 2p - + k 2p =
+ k 2p , k ẻ Z
0
3
2
2
2
ỵ

Nh vy s A0Ai =

ip

+ k 2p , i = 0,1, 2, 3 , k ẻ Z
2
ỵ

ỵ

ỵ

Theo h thc sal ta cú s AA
=s A0Aj - sđ A0Ai + k 2p = ( j - i ) .
i j

p
+ k 2p , k Ỵ Z .
2

Ví dụ 4: Tìm số đo a của góc lượng giác (Ou,Ov ) với 0 £ a £ 2p , biết một góc lượng giác
cùng tia đầu, tia cuối với góc đó có số đo là:
a)

33p
4

b) -

291983p
3

c) 30

Lời giải
a) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là
Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £

-

33p
+ k 2p, k Ỵ Z
4

33p
33
+ k 2p £ 2p, k Ỵ Z  0 £
+ k 2 £ 2, k Ỵ Z
4
4

33
25
£ k £ - , k Ỵ Z  k = -4
8
8

Suy ra a =

33p
p
+ ( -4 ) .2p =
4
4

b) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ -



291983p
+ k 2p, k Ỵ Z
3

291983p
291983
+ k 2p £ 2p, k Ỵ Z  0 £ + k 2 £ 2, k Î Z
3
3

291983
291989
£k £
,k ÎZ k =
6
6

Suy ra a = -

291983p
p
+ 48664.2p =
3
3

c) Mọi góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo là 30 + k 2p, k Ỵ Z
Vì 0 £ a £ 2p nên 0 £ 30 + k 2p £ 2p, k Ỵ Z  0 £

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

15
+ k £ 1, k Î Z
p
Trang 459

-

15
p - 15
£k £
, k Ỵ Z  k = -4
p
p

Suy ra a = 30 + ( -4 ) .2p = 30 - 8p » 4, 867 .

29p
22 6p 41p
p
Vi dụ 5: Cho góc lượng giác (Ou,Ov ) có số đo - . Trong các số ,
; - ;
;
7

7
7
7
7
những số nào là số đo của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia cuối với góc đã cho?
Lời giải
Hai góc có cùng tia đầu, tia cuối thì sai khác nhau mt bi ca 2p do ú
Vỡ

-

29p ỗổ p ửữ
- ç - ÷÷ = ( -2 ) .2p ,
çè 7 ứ
7

-

22 ổỗ p ửữ
- ỗ - ữ = -3 p ,
7 ỗố 7 ữứ

6p ổỗ p ửữ
- ỗ - ữữ = p
ỗố 7 ứ
7

v

41p ổỗ p ửữ

29p 41p
l s o của một góc lượng giác có cùng tia đầu, tia
;
- ç - ÷÷ = 3.2p nên các số çè 7 ø
7
7
7
cuối với góc đã cho.
Ví dụ 6: Cho sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ', Ov ' ) = b . Chứng minh rằng hai góc hình học

uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi hoặc b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Ỵ Z .
Lời giải
Ta có sđ (Ou, Ov ) = a và sđ (Ou ', Ov ' ) = b suy ra tồn tại a0 , p < a0 £ p , f0 , p < b0 £ p và
số nguyên k 0 , l 0 sao cho a = a 0 + k 0 2p, b = b0 + l 0 2p .


Khi đó a0 là số đo của uOv và b0 là số đo của u 'Ov ' .

é a = b0
Hai góc hình học uOv, u 'Ov ' bằng nhau khi và chỉ khi a0 = b0  êê 0
êë a0 = -b0

 b - a = k 2p hoặc b + a = k 2p với k Ỵ Z .
C. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường trịn định hướng '' ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn định hướng.
B. Mỗi đường tròn đã chọn một điểm là gốc đều là một đường tròn định hướng.
C. Mỗi đường tròn đã chọn một chiều chuyển động và một điểm là gốc đều là một đường
tròn định hướng.
D. Mỗi đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương và chiều

ngược lại được gọi là chiều âm là một đường tròn định hướng.
Lời giải
Chọn D
Dựa vào SGK cơ bản trang 134 ở dịng 2.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 460

Câu 2:

Quy ước chọn chiều dương của một đường tròn định hướng là:
A. Luôn cùng chiều quay kim đồng hồ.
B. Ln ngược chiều quay kim đồng hồ.
C. Có thể cùng chiều quay kim đồng hồ mà cũng có thể là ngược chiều quay kim đồng
hồ.
D. Không cùng chiều quay kim đồng hồ và cũng không ngược chiều quay kim đồng hồ.
Lời giải
Chọn B
Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng 6, ta chọn B.

Câu 3:

Trên đường tròn định hướng, mỗi cung lượng giác AB xác định:
A. Một góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
B. Hai góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
C. Bốn góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
D. Vơ số góc lượng giác tia đầu OA , tia cuối OB .
Lời giải

Chọn D
Theo SGK cơ bản trang 134 ở dòng cuối, ta chọn D.
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' góc lượng giác '' ?
A. Trên đường trịn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB là góc lượng giác.
B. Trên đường trịn tâm O bán kính R = 1 , góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A
và điểm cuối B là góc lượng giác.
C. Trên đường trịn định hướng, góc hình học AOB là góc lượng giác.
D. Trên đường trịn định hướng, góc hình học AOB có phân biệt điểm đầu A và điểm
cuối B là góc lượng giác.
Lời giải
Chọn D
Khẳng định nào sau đây là đúng khi nói về '' đường trịn lượng giác '' ?
A. Mỗi đường tròn là một đường tròn lượng giác.
B. Mỗi đường trịn có bán kính R = 1 là một đường tròn lượng giác.
C. Mỗi đường tròn có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường tròn lượng
giác.
D. Mỗi đường trịn định hướng có bán kính R = 1 , tâm trùng với gốc tọa độ là một đường
tròn lượng giỏc.
Li gii
Chn D

Cõu 4:

Cõu 5:

Cõu 6:

Cõu 7:

ỵ

Trờn ng trũn cung có số đo 1 rad là?
A. Cung có độ dài bằng 1.
B. Cung tương
0
ứng với góc ở tâm 60 .
C. Cung có độ dài bằng đường kính.
D. Cung có độ dài bằng nửa đường kính.
Lời giải
Chọn D
Cung có độ dài bằng bán kính (nửa đường kính) thì có số đó bằng 1 rad.
Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. p rad = 10.
B. p rad = 600.
C. p rad = 1800.
D.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 461

0

ổ180 ửữ
p rad = ỗỗ
.
ỗố p ữữứ

Li gii
Chn C
p rad tướng ứng với 1800 .
Câu 8:

Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. 1 rad = 10.
B. 1 rad = 60 0.

C. 1 rad = 1800.

D.

0

ổ180 ửữ
1 rad = ỗỗ
.
ỗố p ø÷÷

Lời giải
Chọn D
Ta có p rad tướng ứng với 1800 .
Suy ra 1 rad tương ứng với x 0 . Vậy x =
Câu 9:

180.1
.
p

Nếu một cung trịn có số đo là a0 thì số đo radian của nó là:
B.

A. 180 pa.

180 p
.
a

C.

ap
.
180

D.

p
.
180a

D.

60
.
ap

D.

7

.
18p

Lời giải
Chọn C
Áp dụng công thức a =

a.p
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
180

Câu 10: Nếu một cung trịn có số đo là 3a0 thì số đo radian của nó là:
A.

ap
.
60

B.

ap
.
180

C.

180
.
ap

Lời giải
Chọn A
Áp dụng cơng thức a =

a.p
với a tính bằng radian, a tính bằng độ.
180

Trong trường hợp này là 3a ¾¾
a =

3a.p ap
.
=
180
60

Câu 11: Đổi số đo của góc 700 sang đơn vị radian.
A.

70
.
p

B.

7
.
18

C.

7p
.
18

Lời giải
Chọn C
Cách 1. Áp dụng cơng thức a =
Ta có a =

a.p
180

với a tính bằng radian, a tính bằng độ.

a.p 70 p 7 p
.
=
=
180 180 18

Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.
Bước 2. Bấm 70 shift DRG 1 =
Câu 12: Đổi số đo của góc 1080 sang đơn vị radian.
A.

3p
.

5

B.

p
.
10

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

C.

3p
.
2

D.

p
.
4

Trang 462

Lời giải

Câu 13:

Chọn A
Tương tự như câu trên.
Đổi số đo của góc 450 32 ' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần nghìn.
A. 0,7947.
B. 0,7948.
C. 0,795.
D. 0,794.
Lời giải
Chọn C
Áp dụng cơng thức a =

a.p
180

với a tính bằng radian, a tính bằng độ.

ỉ
è

Trước tiên ta đổi 450 32 ' = ỗỗỗ45 +

0

32 ửữ
ữ
60 ứữ

.

ổ

ử
ỗỗ45 + 32 ữữ.p
ỗố
60 ø÷
Áp dụng cơng thức, ta được a =
= 0,7947065861.
180

Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.
Bước 2. Bấm 450320  shift DRG 1 =
Câu 14: Đổi số đo của góc 400 25' sang đơn vị radian với độ chính xác đến hàng phần trăm.
A. 0,705.
B. 0,70.
C. 0,7054.
D. 0,71.
Lời giải
Chọn D
Cách 1. Áp dụng cơng thức a =
ỉ
è

Trước tiên ta đổi 40 0 25' = ỗỗỗ40 +

a.p
180

vi a tớnh bng radian, a tớnh bng .

0

25 ửữ
ữ
60 ứữ

.

ổ
ử
ỗỗ40 + 25 ữữ.p
ỗố
97p
60 ứữ
=
= 0,705403906.
p dng cơng thức, ta được a =
180
432

Cách 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 4 để chuyển về chế độ rad.
Bước 2. Bấm 400 250  shift DRG 1 =
Câu 15: Đổi số đo của góc -1250 45¢ sang đơn vị radian.
A. -

503p
.
720

B.

503p
.
720

C.

251p
.
360

D. -

251p
.
360

Lời giải
Chọn A
Tương tự như câu trên.
Câu 16: Đổi số đo của góc
A. 150.

p
rad sang đơn vị độ, phút, giây.
12

B. 100.

C. 6 0.

D. 50.

Lời giải
Chọn A
0

Cách 1. T cụng thc a =

ổ a.180 ửữ
a.p
ắắ
a = ỗỗ
ỗố p ÷ø÷
180

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

với a tính bằng radian, a tính bằng độ.

Trang 463

0

0

ổ a.180 ử

ổp
ử
ỗ .180 ữữ
ữữ
ỗỗỗ 12
ữ = 150 .
=ỗ
ố p ứữ

ữữ
Ta cú a = ỗỗỗ
ố p ứữ
Cỏch 2. Bm mỏy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm (shift  12 ) shift DRG 2 =

Màn hình hiện ra kết quả bất ngờ.
Câu 17: Đổi số đo của góc -

3p
rad
16

A. 330 45'.

sang đơn vị độ, phút, giây.

B. -290 30 '.
Lời giải

C. -330 45'.

D. -320 55.

Chn C
0

0

ổ a.180 ử

ổ 3p
ử
ỗỗ - .180 ữữ
0
ữữ
ổ 135 ửữ
ỗỗ 16
ữữ = ỗỗ=ỗ
= -330 45'.
ữ
ỗố 4 ữứ
ố
ứ
p

ữữ
Ta cú a = ỗỗỗ
ố p ữứ
Cỏch 2. Bm mỏy tớnh:

Bc 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm (shift 3 16 ) shift DRG 2 =

Câu 18: Đổi số đo của góc -5 rad sang đơn vị độ, phút, giây.
A. -286 0 44 ' 28''.
B. -286 0 28 ' 44 ''.
C. -2860.
Lời giải
Chọn B
0

æ a.180 ư

D. 286 0 28 ' 44 ''.

0

ỉ -5.180 ư

÷÷ = ỗỗ
ữ = -286 0 28 ' 44 ''.
Cỏch 1. Ta cú a = ỗỗỗ
ỗố p ứữữ
ố p ứữ
Cỏch 2. Bấm máy tính:
Bước 1. Bấm shift mode 3 để chuyển về chế độ độ, phút, giây.
Bước 2. Bấm 5 shift DRG 2 =

Câu 19: Đổi số đo của góc
A. 420 97 ¢18¢¢.

3
rad sang đơn vị độ, phút, giây.
4
B. 420 58¢.
C. 420 97 ¢.

D. 420 58¢18¢¢.

Lời giải
Chọn D
Tương tự như câu trên.
Câu 20: Đổi số đo của góc -2 rad sang đơn vị độ, phút, giây.
A. -114 0 59 ¢15¢¢.

B. -114 0 35¢.
Lời giải

C. -114 0 35¢29 ¢¢.

D. -114 0 59 ¢.

Chọn C
Tương tự như câu trên.
Câu 21: Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Số đo của cung tròn tỉ lệ với độ dài cung đó.
B. Độ dài của cung trịn tỉ lệ với bán kính của nó.
C. Số đo của cung trịn tỉ lệ với bán kính của nó.
D. Độ dài của cung tròn tỉ lệ nghịch với số đo của cung đó.
Lời giải

Chọn A
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 464

Từ cơng thức  = Ra ¾¾
  và a tỷ lệ nhau.
Câu 22: Tính độ dài  của cung trên đường trịn có bán kính bằng 20cm và số đo
A.  = 3, 93cm.

B.  = 2, 94cm.
Lời giải

C.  = 3, 39cm.

p
.
16

D.  = 1, 49cm.

Chọn A
Áp dụng công thức  = R a = 20.

p
» 3, 93cm.
16

Câu 23: Tính độ dài của cung trên đường trịn có số đo 1,5 và bán kính bằng 20 cm .
A. 30 cm .
B. 40 cm .
C. 20 cm .
D. 60 cm .
Lời giải
Chọn A
Ta có  = a R = 1, 5.20 = 30 cm.
Câu 24: Một đường trịn có đường kính bằng 20 cm . Tính độ dài của cung trên đường trịn có số
đo 350 (lấy 2 chữ số thập phân).
A. 6, 01cm .
B. 6,11cm .

C. 6, 21cm .

D. 6, 31cm .

Lời giải
Chọn B
Cung có số đo 350 thì có số đó radian là a =
Bán kính đường tròn R =
Suy ra  = a R =

20
= 10 cm.
2

7p
.10 » 6,11 cm.
36

Câu 25: Tính số đo cung có độ dài của cung bằng
A. 1,5rad .

ap
35p 7 p
.
=
=
180 180 36

40
cm
3

B. 0, 67rad .
Lời giải

trên đường trịn có bán kính 20 cm .
C. 800 .

D. 880 .

Chọn B
40

2
Ta có  = a R  a = = 3 = » 0, 67 rad.
R
20 3

Câu 26: Một cung trịn có độ dài bằng 2 lần bán kính. Số đo radian của cung trịn đó là
A. 1 .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Lời giải
Chọn B
 = aR  a =


2R
=
= 2 rad.
R
R

Câu 27: Trên đường trịn bán kính R , cung trịn có độ dài bằng
đo (tính bằng radian) là:
A. p / 2 .
B. p / 3 .

1
độ dài nửa đường trịn thì có số
6

C. p / 4 .

D. p / 6 .

Lời giải
Chọn D
1
pR

p
= .
Ta có  = a R  a = = 6
R
R
6

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 465

Câu 28: Một cung có độ dài 10 cm , có số đo bằng radian là 2,5 thì đường trịn của cung đó có bán
kính là:
A. 2, 5cm .
B. 3, 5cm .
C. 4cm .
D. 4, 5cm .
Lời giải
Chọn C.
Ta có l = R a  R =

10
l

=
=4.
a 2, 5

Câu 29: Bánh xe đạp của người đi xe đạp quay được 2 vòng trong 5 giây. Hỏi trong 2 giây, bánh
xe quay được 1 góc bao nhiêu?
A.

8
p.
5

B.

5
p.
8

C.

3
p.
5

D.

5
p.
3

Lời giải
Chọn A.
Trong 2 giây bánh xe đạp quay được

2.2 4
=
5
5

vòng tức là quay được cung có độ dài là

4
8
l = .2p R = p R .
5
5

8
pR
l
8
Ta có l = R a  a = = 5
= p.
R
R
5

Câu 30: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là:
A. 300.
B. 400.

C. 500.
D. 600.
Lời giải
Chọn C.
72 răng

có chiều dài là 2p R nên 10 răng có chiều dài l =

10.2 p R 5p
=
R
72
18

.

5
5
180. p
pR
180
a
l
5
18 = 50 0 .
=
= p mà a =
Theo công thức l = R a  a = = 18
R
R

18
p
p

Cách khác: 72 răng tương ứng với 360 0 nên 10 răng tương ứng với

10.360
= 50 0 .
72

Câu 31: Cho góc lượng giác (Ox , Oy ) = 22 0 30 '+ k 360 0. Với giá trị k bằng bao nhiêu thì góc
(Ox , Oy ) = 1822 0 30 ' ?

A. k ẻ ặ.

B. k = 3.

C. k = 5.

D. k = 5.

Lời giải
Chọn D.
 22 0 30 '+ k.360 0 = 1822 0 30 ' ¾¾
 k = 5.
Theo đề (Ox , Oy ) = 1822 0 30 ' ¾¾
p
2

Câu 32: Cho góc lượng giác a = + k 2p . Tìm k để 10 p < a < 11p.

A. k = 4.

B. k = 5.

C. k = 6.

D. k = 7.

Lời giải
Chọn B.
Ta có 10p < a < 11p ¾¾


19p
21p
< k 2p <
¾¾
 k = 5.
2
2

Câu 33: Một chiếc đồng hồ, có kim chỉ giờ OG chỉ số 9 và kim phút OP chỉ số 12 . Số đo của góc
lượng giác (OG , OP ) là
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lòng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 466

A.

p
+ k 2 p, k Ỵ  .
2

B. - 270 0 + k 360 0 , k Ỵ .

C. 270 0 + k 360 0 , k Ỵ  .

D.

9p
+ k 2 p, k Ỵ  .
10

Lời giải
Chọn A.
Góc lượng giác (OG, OP ) chiếm

1
1
đường tròn. Số đo là .2 p + k 2 p , k Ỵ  .
4
4

Câu 34: Trên đường trịn lượng giác có điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung
lượng giác AM có số đo 450 . Gọi N là điểm đối xứng với M qua trục Ox , số đo cung
lượng giác AN bằng
A. - 450 .
B. 3150 .

C. 450 hoặc 3150 .
D.
- 450 + k 360 0 , k Ỵ  .

Lời giải
Chọn D.
 = 450 , N là điểm đối xứng với M qua trục Ox
Vì số đo cung AM bằng 450 nên AOM
 = 450 . Do đó số đo cung AN bằng 45o nên số đo cung lượng giác AN có số đo
nên AON
là - 45o + k 360 o , k Ỵ  .
Câu 35: Trên đường tròn với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường tròn sao cho cung lượng giác
AM có số đo 60 0 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua trục Oy , số đo cung AN là:
A. 120 o .

B. - 240 0 .

C. - 120 0 hoặc 240 0 .

D.

120 0 + k 360 0 , k Ỵ  .

Lời giải
Chọn A.



 = 60 0
Ta có AOM = 60 0 , MON

 = 120 0 . Khi đó số đo cung AN bằng 1200 .
Nên AON
Câu 36: Trên đường tròn lượng giác với điểm gốc là A . Điểm M thuộc đường trịn sao cho cung
lượng giác AM có số đo 750 . Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O , số
đo cung lượng giác AN bằng:
A. 2550 .
B. - 1050 .

C. - 1050 hoặc 2550 .

D. - 1050 + k 360 0 , k Î  .
Lời giải

Chọn D.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 467

 = 750 , MON
 = 180 0
Ta có AOM
Nên cung lượng giác AN có số đo bằng -1050 + k 360 0 , k Ỵ  .

Câu 37: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): a = -

5p
p

, b=
6
3

Các cung nào có điểm cuối trùng nhau?
A. a và b ; g và d .

B. b và g ; a và d .

C. a, b, g .

D. b, g, d .

, g=

25p
19p
, d=
3
6

.

Lời giải
Chọn B.
Cách 1. Ta có d - a = 4 p  hai cung a và d có điểm cuối trùng nhau.
Và g - b = 8p  hai cung b và g có điểm cuối trùng nhau.
Cách 2. Gọi A, B, C, D là điểm cuối của các cung a, b, g, d
Biểu diễn các cung trên đường trịn lượng giác ta có B º C, A º D.
Câu 38: Các cặp góc lượng giác sau ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối.

Hãy nêu kết quả SAI trong các kết quả sau đây:
A.

p
3

và -

35p
3

.

B.

p
10

và

152 p
5

.

C. -

p
3

và

155p
3

.

D.

p
7

và

281p
7

.

Lời giải
Chọn B.
Cặp góc lượng giác a và b ở trên cùng một đường tròn đơn vị, cùng tia đầu và tia cuối.
a-b
.
2p
p 152 p
5 = - 303 Ï  .
Dễ thấy, ở đáp án B vì k = 10
2p
20

Khi đó a = b + k 2 p , k Ỵ  hay k =

Câu 39: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành
tam giác đều?
A.

k 2p
3

.

B. k p .

C.

kp
.
2

D.

kp
3

.

Lời giải
Chọn A.
Tam giác đều có góc ở đỉnh là 60 o nên góc ở tâm là 120o tương ứng

k 2p
3

.

Câu 40: Trên đường tròn lượng giác gốc A , cung lượng giác nào có các điểm biểu diễn tạo thành
hình vng?
A.

kp
.
2

B. k p .

C.

k 2p
3

.

D.

kp
3

.

Lời giải
Chọn A.
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 468

 là 45o nên góc ở tâm là 90 o tương ứng kp .
Hình vng CDEF có góc DCE

2

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 469

BÀI 2. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC MỘT CUNG
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM
I – GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a
1. Định nghĩa






Trên đường tròn lượng giác cho cung AM có sđ A M (cịn viết A M )

·

Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của

a

và kí hiệu là sin a.

sin a = OK .
·

Hồnh độ x = OH của điểm M gọi là côsin của

a

y
B

M

K
A x

A'

và kí hiệu là cos a.

O

H

cos a = OH .
·

sin a
Nếu cos a ¹ 0, tỉ số
gọi là tang của
cos a

tan a =

·

a

B'

và kí hiệu là tan a (người ta cịn dùng kí hiệu tg a )

sin a
.
cos a

cos a
Nếu sin a ¹ 0, tỉ số
gọi là cơtang của
sin a

) cot a =

a

và kí hiệu là cot a (người ta cịn dùng kí hiệu cotg a

cos a
.
sin a

Các giá trị sin a, cos a, tan a, cot a được gọi là các giá trị lượng giác của cung a.
Ta cũng gọi trục tung là trục sin, cịn trục hồnh là trục côsin
2. Hệ quả
1) sin a và cos a xác định với mọi a Ỵ . Hơn nữa, ta có
sin (a + k 2p ) = sin a, "k Î ;
cos (a + k 2p ) = cos a, "k Ỵ .

2) Vì -1 £ OK £ 1; - 1 £ OH £ 1 nên ta có
-1 £ sin a £ 1
-1 £ cos a £ 1.

3) Với mọi m Ỵ  mà -1 £ m £1 đều tồn tại

a

và b sao cho sin a = m và cos b = m.

4) tan a xác định với mọi a ¹ p + k p (k Ỵ  ).
2

5) cot a xác định với mọi a ¹ k p (k Î  ).
6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc

đường trịn lượng giác.

a



phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung AM = a trên

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 470

Góc phần tư

I

II

III

IV

cos a

+

-

-

+

sin a

+

+

-

-

tan a

+

-

+

-

cot a

+

-

+

-

Giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

a

0

p
6

p
4

p
3

p
2

sin a

0

1

2

2
2

3
2

1

cos a

1

3
2

2
2

1
2

0

tan a

0

cot a

Không xác định

1
3

3

1

1

3

1
3

Không xác định

0

II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG
1. Ý nghĩa hình học của tan a
Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách
chọn gốc tại A .
Gọi T là giao điểm của OM với trục t ' At.

tan a được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ AT trên trục t 'At. Trục t 'At được gọi là trục

tang.

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 471

y

t

M
A x
O
T
t'

2. Ý nghĩa hình học của cot a
Từ B vẽ tiếp tuyến s 'Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách
chọn gốc tại B .
Gọi S là giao điểm của OM với trục s 'Bs

cot a được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ BS trên trục s 'Bs Trục s 'Bs được gọi là trục

côtang.
y
s'

S s

B

M
x
O

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC
1. Công thức lượng giác cơ bản
Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau
sin 2 a + cos2 a = 1
1 + tan 2 a =

1
p
, a ¹ + k p, k Ỵ 
2
cos a
2

1 + cot 2 a =

1
, a ạ kp, k ẻ
sin 2 a

tan a.cot a = 1, a ạ

kp
, k ẻ
2

2. Giỏ trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
1) Cung đối nhau:

a

và

-a

cos (-a ) = cos a
sin (-a ) = - sin a
tan (-a ) = - tan a
cot (-a ) = - cot a

2) Cung bù nhau:

a

và

p-a

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 472

sin (p - a ) = sin a

cos (p - a ) = - cos a
tan (p - a ) = - tan a
cot (p - a ) = - cot a

3) Cung hơn kém

p

:

a

và (a + p )
sin (a + p ) = - sin a
cos (a + p ) = - cos a
tan (a + p ) = tan a
cot (a + p ) = cot a

4) Cung ph nhau:

a

ổp
ử
v ỗỗỗ - aữữữ
ố2
ứ

ổp
ử

sin ỗỗ - aữữữ = cos a
ỗố 2
ứ
ổp
ử
cos ỗỗ - aữữữ = sin a
ỗố 2
ứ
ổp
ử
tan ỗỗ - aữữữ = cot a
ỗố 2
ứ
ổp
ử
cot ỗỗ - aữữữ = tan a
ỗố 2
ứ

B. PHN LOI V PHNG PHP GII BI TẬP
Dạng tốn 1: biểu diễn góc và cung lượng giác.
1. Phương pháp giải.
Để biểu diễn các góc lượng giác trên đường tròn lượng giác ta thường sử dụng các kết quả sau
 Góc a và góc a + k 2p, k Ỵ Z có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác.


k 2p
( với k là số
m
nguyên và m là số nguyên dương) là m. Từ đó để biểu diễn các góc lượng giác đó ta lần

Số điểm trên đường trịn lượng giác biểu diễn bởi số đo có dạng a +
lượt cho k từ 0 tới ( m - 1) rồi biểu diễn các góc đó.

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Biểu diễn các góc(cung) lượng giác trên đường trịn lượng giác có số đo sau:
a)

p
4

b) -

11p
2

c) 1200

d) -7650

Lời giải

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 473

p
1

a) Ta có 4 = . Ta chia đường trịn thành tám phần bằng nhau.
2p
8
Khi đó điểm M 1 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo
b) Ta có -

-

y
B

M2

p
.
4

13p
p
= - + ( -3 ) .2p do đó điểm biểu diễn bởi góc
2
2

A'

p
11p
trùng với góc - và là điểm B ' .
2
2

M1
A

O

x

M3
B'

120
1
c) Ta có
= . Ta chia đường trịn thành ba phần bằng nhau.
360
3
Khi đó điểm M 2 là điểm biểu diễn bởi góc có số đo 1200 .

d) Ta có -7650 = -450 + ( -2 ) .3600 do đó điểm biểu diễn bởi góc -7650 trùng với góc -450 .

45
1
= . Ta chia đường trịn làm tám phần bằng nhau (chú ý góc âm )
360
8


Khi đó điểm M 3 (điểm chính giữa cung nhỏ AB ' ) là điểm biểu diễn bởi góc có số đo -7650 .
Ví dụ 2 : Trên đường trịn lượng giác gốc A . Biểu diễn các góc lượng giác có số đo sau (với k là

số nguyên tùy ý).

x2 =

x 1 = kp ;

p
+ kp ;
3

x3 = -

p
+ kp
3

Các góc lượng giác trên có thể viết dưới dạng cơng thức duy nhất nào?
Lời giải


Ta có x 1 =

k 2p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x 1 = k p
2

Với k = 0  x 1 = 0 được biểu diễn bởi điêm A
k = 1  x 1 = p được biểu diễn bởi A '



x2 =

p 2k p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có
+
3
2

số đo dạng x 2 =

p
+ kp
3

y

p
k = 0  x 2 = được biểu diễn bởi M 1
3
k =1x =

4p
được biểu diễn bởi M 2
3

B

M4

A'

M1

A

O

Trang 474

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

M2

B'

M3

x



x3 = -

p k 2p
p
do đó có hai điểm biểu diễn bởi góc có số đo dạng x 3 = - + k p
+

3
3
2

k = 0  x3 = k = 1  x6 =


p
được biểu diễn bởi M 3
3

2p
được biểu diễn bởi M 4 .
3

Do các góc lượng giác x 1, x 2 , x 3 được biểu diễn bởi đỉnh của đa giác đều AM 1M 4A ' M 2M 3
nên các góc lượng giác đó có thể viết dưới dạng một công thức duy nhất là x =

kp
.
3

Dạng toán 2 : xác định giá trị của biểu thức chứa góc đặc biệt, góc liên quan đặc biệt và dấu
của giá trị lượng giác của góc lượng giác.
1. Phương pháp giải.


Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác



Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt



Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản và giá trị lượng giác của góc liên quan đặc biệt



Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm ngọn của
cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các giá trị lượng
giác.

2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) A = sin
b) B =

7p
5p
7p
+ cos 9p + tan(- ) + cot
6
4
2

1
2 sin 2550 cos(-188)
+
tan 368

2 cos 638 + cos 98

c) C = sin2 25 + sin2 45 + sin2 60 + sin2 65
d) D = tan2

p
3p
5p
. tan . tan
8
8
8
Li gii

ổ
ổ
ổp
ử
pử
pử
a) Ta cú A = sin ỗỗ p + ÷÷÷ + cos ( p + 4.2p ) - tan ỗỗ p + ữữữ + cot ỗỗ + 3p ữữữ
ỗố 2
6ứ
4ứ
ốỗ
ốỗ
ứ
A = - sin

p

p
p
1
5
+ cos p - tan + cot = - - 1 - 1 + 0 = 6
4
2
2
2

b) Ta có B =

2 sin ( 300 + 7.360 ) cos(8 0 + 180)
1
+
tan ( 8 0 + 360 ) 2 cos ( -900 + 8 0 + 2.360 ) + cos ( 900 + 8 )

Giáo viên có nhu cầu sở hữu file word vui lịng
liên hệ. Face: Trần Đình Cư. SĐT: 0834332133

Trang 475

1
2. ( - cos 8 0 )
2 sin 300 ( - cos 8 0 )
1
1
2
B =

+
=
+
=
tan 8 0 2 cos ( 8 0 - 900 ) - sin 8 0
tan 8 0 2 cos ( 900 - 80 ) - sin 8 0
1
cos 8 0
1
cos 8 0
=
=
=0
tan 8 0 2 sin 8 0 - sin 8 0
tan 8 0 sin 8 0

c) Vì 250 + 650 = 900  sin 650 = cos 250 do đó
2

0

C = ( sin 25 + cos 25 )
2

2

Suy ra C =

2
ỉ 2 ư÷

ỉ 1 ửữ
ỗ
ỗ
ữ +ỗ ữ
+ sin 45 + sin 60 = 1 + ỗỗ
ỗố 2 ữứ
ỗố 2 ứữữ
2

2

7
.
4

ổ
ổ pử
p
3p ử ộ
5p ự
d) D = - ỗỗ tan . tan ữữ . ờ tan ỗỗ - ữữ tan ỳ
ữ
ữ
ỗố
ỗ
8
8 ứ ờở
8 ỳỷ
ố 8ứ
M

ổ pö
3p
5p
p 3p
p
p 5p
p
p
+
= ,- +
=  tan
= cot , tan
= cot ỗỗ - ữữữ
ỗố 8 ứ
8
8
2
8
8
2
8
8
8

ổ
ổ p ử ổ p ửự
p
pử ộ
Nờn D = - ỗỗ tan .cot ữữ . ờ tan ỗỗ - ữữ cot ỗỗ - ữữ ỳ = -1 .

ữ
ỗố
ỗố 8 ữứ ỗố 8 ữứ ỳỷ
8
8 ứ êë
Ví dụ 2: Cho

p
< a < p . Xác định du ca cỏc biu thc sau:
2

ổp
ử
a) sin ỗỗ + a ữữữ
ỗố 2
ứ

ổ 3p
ử
b) tan ỗỗ
- a ữữữ
ỗố 2
ứ

ổ p
ử
c) cos çç - + a ÷÷ . tan ( p - a )
ữứ
ỗố 2