De loigiai TSDH 2013 ToanABD

<span class='text_page_counter'>(1)</span>BỘ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO. ĐỀ TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013. —————. Môn: TOÁN, Khối: A, A1, B, D Ngày 15-07-2013. ĐỀ CHÍNH THỨC. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm) Câu 1. (2 điểm). Cho hàm số y =. 2x + 1 . x −1. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho. b) Gọi M là điểm thuộc (C ) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của C ) tại M cắt các trục tọa độ Ox và O y lần lượt tại A và B . Tính diện tích tam giác O AB . Câu 2. (1 điểm) Câu 3. (1 điểm). Câu 4. (1 điểm). Giải phương trình : cos Giải hệ phương trình :. Tính tích phân : I =. Z 1. 5. ¡π 2. ¢ − x + sin 2x = 0..  x y − 3y + 1 = 0 4x − 10y + x y 2 = 0. .. dx p 1 + 2x − 1. Câu 5. (1 điểm) Cho lăng trụ đều ABC .A 0 B 0C 0 có AB = a và đường thẳng A 0 B tạo với đáy một góc bằng 60o . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B 0C 0 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC .A 0 B 0C 0 và độ dài đoạn thẳng M N . Câu 6. (1 điểm). p. Tìm m để bất phương trình (x − 2 − m) x − 1 ≤ m − 4 có nghiệm.. PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B A. Theo chương trình chuẩn Câu 7a. (1 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho các đường thẳng d : x + y − 3 = 0, ∆ : x − y +2 = 0 và điểm M (−1; 3).Viết phương trình đường tròn đi qua M , có tâm thuộc d , cắt p ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 3 2.. Câu 8a. (1 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho điểm A(4; −1; 3) và đường thẳng x −1 y +1 z −3 = = . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d . d: 2 −1 1. Câu 9a. (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + 2i )z + (2 − i )2 = 4 + i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + z)z . B. Theo chương trình nâng cao Câu 7b. (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC vuông tại A(−3; 2) và ¡ ¢ có trọng tâm là G 13 ; 31 . Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P (−2; 0). Tìm tọa độ các điểm B và C . Câu 8b. (1 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho điểm A(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P ) : x − 5y + 4z − 36 = 0. Gọi I là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P ). Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A .. Câu 9b. (1 điểm). Giải phương trình : z 2 + (2 − 3i )z − 1 − 3i = 0 trên tập hợp C các số phức.. ———————————————–Hết—————————————————.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> LỜI GIẢI ĐỀ TUYỂN SINH CAO ĐẲNG NĂM 2013 Môn: TOÁN; Câu 1.a 1 điểm. Khối A, A1, B, D. Lời giải. Điểm. 2x + 1 Cho hàm số y = . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số đã cho. x −1 −3 TXĐ D = R\{1}; đạo hàm y 0 = < 0 ∀x ∈ D , (x − 1)2 Hàm số nghịch biến trên (−∞; 1); (1; +∞) lim y = −∞;. lim y = +∞;. x→1−. x→1+. lim y = 2;. x→−∞. lim y = 2;. x→+∞. x = 1 là phương trình tiệm cận dọc. y = 2 là phương trình tiệm cận ngang. Bảng biến thiên x y0 y. −∞. +∞. 1 −. − +∞. 2. 2. −∞. Đồ thị 5 4 3 2 1. −3. −2. −1 −1. 0. 1. 2. 3. 4. 5. −2. 1.b 1 điểm. 2.. 1 điểm. 3.. 2. Gọi M là điểm thuộc (C ) có tung độ bằng 5. Tiếp tuyến của C ) tại M cắt các trục tọa độ Ox và O y lần lượt tại A và B . Tính diện tích tam giác O AB .. 2x + 1 = 5 ⇐⇒ x = 2 x −1 Phương trình tiếp tuyến : y–5 = y 0 (2)(x–2) ⇐⇒ y = −3x + 11 ¡ ¢ 1 121 Nên A(0; 11); B 11 ; 0 ; S O AB = O A.OB = 3 6 ¡ ¢ 2 Giải phương trình : cos π2 − x + sin 2x = 0. ³π ´ P T ⇐⇒ cos − x + sin 2x = 0 2 ⇐⇒ sin x + 2 sin x cos x = 0. Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của. ⇐⇒ sin x = 0 hay cos x = −. 1 2. 2π ⇐⇒ x = kπ hay x = ± + k2π 3  x y − 3y + 1 = 0 Giải hệ phương trình : . 4x − 10y + x y 2 = 0. (k ∈ Z ). .

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 điểm. 4. 1 điểm. 1 (do y = 0 không là nghiệm ptrình) ¶ µ y ¶ µ 1 4 1 Thế vào PT dưới 4 3 − − 10y + 3 − y 2 = 0 ⇐⇒ 12 − − 10y + 3y 2 − y = 0 y y y ¡ ¢ ¡ ¢ 2 ⇐⇒ 3y 3 − 11y 2 + 12y − 4 = 0 ⇐⇒ y − 1 3y 2 − 8y + 4 = 0 ⇐⇒ y = 1, y = 2, y = 3   3  ( 5   x = x = x =2 2 2 Vậy hệ pt có nghiệm , , 2     y =1 y = y =2 3 Z 5 dx Tính tích phân : I = p 1 1 + 2x − 1 p Đặt t = 2x − 1 =⇒ t 2 = 2x–1 =⇒ t d t = d x .. PT trên ⇐⇒ x y = 3y − 1 ⇐⇒ x = 3 −. Đổi cận Zx = 1 =⇒ tZ = 1; x =Z 5 =⇒ t = 3 3 tdt 3 3 dt Nên I = = dt − 1 1 + t¯ 1 ¯3 ¯ ¯3 I = t ¯¯ − ln(1 + t )¯¯ = 2 − ln 2 1. 5. 1 điểm. 1. 1+t. 1. Cho lăng trụ đều ABC .A 0 B 0C 0 có AB = a và đường thẳng A 0 B tạo với đáy một góc bằng 60o . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và B 0C 0 . Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC .A 0 B 0C 0 và độ dài đoạn thẳng M N . p o 0 0 ƒ Ta có A B A = 60 nên chiều cao lăng p trụ là A A = a 3 a2 3 p 3a 3 a 3= 4 4p ³ a ´2 13a 2 p ¡ ¢ a 13 2 = =⇒ M N = Mà M N 2 = a 3 + 2 4 2. Do đó thể tích lăng trụ là V =. A0 B0 N. C0. A M B. 6. 1 điểm. P. C. p. Tìm m để bất phương trình (x − 2 − m) x − 1 ≤ m − 4 có nghiệm. p p Bất phương trìnhp⇐⇒ (x − 2) x − 1 − m x − 1 ≤ m − 4. (x − 2) x − 1 + 4 ≤m p 1+ x −1 Bất phương trình có nghiệm ⇐⇒ f (x) ≤ m có nghiệm trên [1; +∞) p t3 − t +4 ≤m Đặt t = x − 1, t ≥ 0. f (x) ≤ m trở thành g (t ) = t +1 2t 3 + 3t 2 − 5 (t − 1)(2t 2 + 5t + 5) g 0 (t ) = = . g 0 (t ) = 0 ⇐⇒ t = 1 (t + 1)2 (t + 1)2 g (t ) ≤ m có nghiệm thuộc [0; +∞) ⇐⇒ m ≥ 2. ⇐⇒ f (x) =. 7a.. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho các đường thẳng d : x + y −3 = 0, ∆ : x − y + 2 = 0 và điểm M (−1; 3).Viết phương trình đường tròn đi qua M , có tâm thuộc d , cắt p ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 3 2.. . 3.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 điểm. I ∈ d =⇒ I (t ; 3–t ) Ã. p !2 ¶ µ |t − 3 + t + 2| 2 9 3 2 = (t + 1)2 + t 2 − ⇐⇒ [d (I , ∆)] = I M − p 2 2 2 ⇐⇒ t = 1 =⇒ I (1; 2) 2. 8a. 1 điểm. 9a.. 2. Vậy (C ) : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5. Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho điểm A(4; −1; 3) và đường thẳng d : x −1 y +1 z −3 = = . Tìm tọa độ điểm đối xứng của A qua d . 2 −1 1 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên d −−→ −−→ H ∈ d =⇒ H (1 + 2t ; −1–t ; 3 + t ) =⇒ AH = (2t –3; −t ; t ) Do AH ⊥d =⇒ t = 1.. Vậy H (3; −2; 4). Mà H là trung điểm AB nên B (2; −3; 5). Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (3 + 2i )z + (2 − i )2 = 4 + i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức w = (1 + z)z .. 1 điểm (3 + 2i )z = 4 + i − 3 + 4i = 5i + 1 (5i + 1)(3 − 2i ) = 1+i 13 w = (2 + i )(1 − i ) = 3 − i. ⇐⇒ z =. 7b. 1 điểm. Vậy phần thực của w là 3 và phần ảo của w là −1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Ox y , cho tam giác ABC vuông tại A(−3; 2) và có ¡ ¢ trọng tâm là G 31 ; 13 . Đường cao kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC đi qua điểm P (−2; 0). Tìm tọa độ các điểm B và C . ¢ ¡ −−→ −−→ Gọi M là trung điểm BC =⇒ G A = −2G M =⇒ M 2, − 12 , BC ⊥AP , nên phương trình BC : x − 2y − 3 = 0, 125. 8b. 1 điểm. từ AM 2 = , và AM 2 = B M 2 = C M 2 4 cho ta B (−3; −3);C (7; 2) hay B (7; 2);C (−3; −3) Trong không gian với hệ tọa độ Ox y z , cho điểm A(−1; 3; 2) và mặt phẳng (P ) : x − 5y + 4z − 36 = 0. Gọi I là hình chiếu của A trên mặt phẳng (P ). Viết phương trình mặt cầu tâm I và đi qua điểm A . Gọi d là đường thẳng qua A và vuông góc (P ) =⇒ d : I ∈ d , I ∈ (P ) =⇒ I (1; −2; 6); R = I A =. p p 4 + 25 + 16 = 3 5. x +1 y −3 z −2 = = 2 −5 4. Vậy (S) : (x − 1)2 + (y + 2)2 + (z − 6)2 = 45 9b. 1 điểm. Giải phương trình : z 2 + (2 − 3i )z − 1 − 3i = 0 trên tập hợp C các số phức. z 2 + (2 − 3i )z − 1 − 3i = 0. (∗). Có ∆ = 4 − 12i − 9 + 4 + 12i = −1= i 2. −2 + 3i − i = −1 + i  z= 2 Do đó phương trình (∗) ⇐⇒  −2 + 3i + i z= = −1 + 2i 2 Vậy phương trình có 2 nghiệm z = −1 + i , z = −1 + 2i. 4. .

<span class='text_page_counter'>(5)</span>