Bài giảng Ôtômát và ngôn ngữ hình thức: Chương 5 - ThS. Nguyễn Thị Thùy Linh

MÁY TURING ĐƯỢC GIỚI THIỆU BỞI
ALAN TURING VÀO NĂM 1936.

CHƯƠNG 5: MÁY TURING (TURING MACHINE)
1.
2.

3.
4.

Tham khảo: />
Mô tả máy Turing.
Ngôn ngữ chấp nhận bởi
TM
TM thực hiện hàm tính
Chương trình con.

1

2

MƠ TẢ MÁY TURING (TT)

MÔ TẢ MÁY TURING.


Một máy Turing gồm:
 Một bộ điều khiển hữu hạn.
 Một băng được chia thành các ô để lưu dữ liệu.
 Một đầu đọc – viết, mỗi lần đọc có thể duyệt qua một ô trên băng để
đọc hay viết ký hiệu.

Input, Bộ nhớ, Output
a1 a2 …

ai an

B

B

B

B

…

Bộ điều khiển
3

 Mỗi

bước chuyển của máy Turing, phụ thuộc vào ký hiệu
do đầu đọc đọc được trên băng và trạng thái của bộ điều
khiển, máy sẽ thực hiện các bước sau:
 Chuyển trạng thái.
 In một ký hiệu trên băng tại ô đang duyệt (nghĩa là thay
ký hiệu đọc được trên băng bằng ký hiệu nào đó).
 Dịch chuyển đầu đọc – viết (sang trái (L), sang phải (R)
hoặc đứng yên ()).
 Một cách hinh thức, ta định nghĩa máy Turing (TM) như
sau:

4

1


MÔ TẢ MÁY TURING (TT)

MÔ TẢ MÁY TURING (TT)

 Định

nghĩa: TM là một hệ thống gồm các thành phần M(, Q,
, , q0, B, F), trong đó:








: bộ ký hiệu nhập.
Q: tập hữu hạn các trạng thái.
: tập hữu hạn các ký tự được phép viết trên băng.
B: ký hiệu thuộc  dùng để chỉ khoảng trắng trên băng (Blank).
: hàm chuyển ánh xạ: Q x   Q x  x {L, R, } ( có thể khơng
xác định với một vài đối với).
q0  Q là trạng thái bắt đầu.
F  Q là tập các trạng thái kết thúc.

Một hinh thái (thể hiện) của máy Turing M được cho bởi 1q2, trong
đó q là trạng thái hiện hành của M; 12  * là nộ dung của băng tính
từ đầu băng cho tới ký hiệu khác Blank bên phải nhất của băng. Giả sử
Q và  rời nhau: đầu đọc đang đọc ký hiệu bên trái nhất của 2 hoặc
nếu 2 =  thì đầu đọc đọc Blank.
 Hàm chuyển: Ta định nghĩa một phép chuyển trạng thái của TM như
sau:
Đặt X1X2…Xi-1qXi…Xnlà một thể hiện của TM.
 Giả sử (q, Xi) = (p, Y, L), trong đó:
 Nếu i – 1 = n thì Xi là B.
 Nếu i= 1 thì khơng có ID kế tiếp, nghĩa là đầu đọc khơng được
phép vượt qua cận trái của băng.


5

6

MƠ TẢ MÁY TURING (TT)


NỘI DUNG

Nếu i>1 ta viết:
X1X2…Xi-1qXi…Xn |M X1X2…Xi-2pXi-1YXi+1…Xn

1.

Tương tự (q, Xi) = (p, Y, R) thì ta viết:
X1X2…Xi-1qXi…Xn |M X1X2…Xi-1YpXi+1…Xn

 Tương tự (q, Xi) = (p, Y,) thì ta viết:
X1X2…Xi-1qXi…Xn |M X1X2…Xi-1pYXi+1…Xn


2.

3.
4.

Mô tả máy Turing.
Ngôn ngữ chấp nhận
bởi TM
TM thực hiện hàm tính
Chương trình con.

ý rằng nếu i-1 = n thì chuỗi Xi…Xn là rỗng và
vế phải dài hơn vế trái, nghĩa là TM M mở rộng
chuỗi ký hiệu trên băng.

 Chú

7

8

2


NGÔN NGỮ CHẤP NHẬN BỞI TM

GIẢI THUẬT

ngữ được chấp nhận bởi TM: Ký hiệu L(M): tập hợp
các chuỗi trong * là nguyên nhân đưa TM M đi đến trạng
thái kết thúc khi đã thực hiện việc thay thế từ bến trái các ký
hiệu trên băng của M với trạng thái bắt đầu q0. Một cách hình
thức, ta định nghĩa tập hợp ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM
M(, Q, , , q0, B, F) là tập:
L(M) = {w| w  * và q0w |*M 1p2 với p  F còn 12
*}
 Ví dụ 6.1:
Thiết kế TM chấp nhận ngơn ngữ L = {0n1n | n  1 }
 Ngôn

Input : w = 0n1n
Output : yes , w  L
No, w L
B2 : ý tưởng chung:
Khởi đầu TM chứa 0n1n bên trái nhất trên
băng sau đó là vơ hạn khoảng trống Blank.
TM lặp lại quá trình sau:
B1:

9



GIẢI THUẬT (TT)






TM thay 0 bên trái nhất bằng X rồi chuyển sang phải tới 1 trái nhất,
TM thay 1 này bằng Y rồi dịch chuyển về bên trái cho tới khi gặp X
phải nhất nó chuyển sang phải một ơ (tới 0 trái nhất) rồi tiếp tục lập
một chu trình mới.
Nếu trong khi chuyển sang phải để tìm 1 mà TM gặp Blank thì TM
dừng lại và không chấp nhận input. Tương tự, khi TM đã thay hết 0
bằng X và kiểm tra còn 1 trên băng thì TM cúng dừng và khơng chấp
nhận input.
TM chấp nhận input nếu như cũng khơng cịn ký hiệu 1 nào trên
băng nữa.

 B3:
 Đặt

10

Thiết kế:
TM: M(, Q, , , q0, B, F) với các thành phần:

Ta có thể hình dung mỗi trạng thái là một câu lệnh hoặc
một nhóm câu lệnh trong chương trình. Trạng thái q0 là
trạng thái khởi đầu và nó làm cho ký hiệu 0 bên trái nhất
thay bằng X. Trạng thái q1 được dùng để tiến sang phải
bỏ qua các số 0 và Y để tìm 1 bên trái nhất. Nếu M tìm
thấy 1 nó thay bằng 1 bằng Y rồi đi vào trạng thái q2.
Trạng thái q2 đưa M tiến sang trái cho tới X đầu tiên và

đi vào trạng thái q0, dịch chuyển sang phải để tới 0 bên
trái nhất và tiếp tục một chu trình mới. Khi M tiến sang
phải trong trạng thái q1, nếu B hoặc X được tiếp thấy
trước 1 thì input bị loại bỏ (khơng chấp nhận) vì có chứa
nhiều ký hiệu 0 hơn 1 hoặc input khơng có dạng 0*1*.

={0, 1}; Q={q0, q1, q2, q3, q4}; ={0,1, X, Y, B} và F={q4}
11

12

3


Trạng thái q0 cịn có vai trị khác. Nếu trạng thái q2 tìm
thấy X bên phải nhất thì ngay sau đó là Y thì các con số
0 đã được xét hết, do đó ở trạng thái bắt đầu một chu
trình mới q0 khơng tìm thấy ký hiệu 0 nào để thay thành
X mà chỉ gặp Y thì M đi vào trạng thái q3 duyệt qua các
Y để kiểm tra có hay khơng có ký hiệu 1 cịn lại. Nếu
theo ngay sau các Y là B, nghĩa là trên băng nhập khơng
cịn ký hiệu bào cả thì M sẽ đi vào q4 (trạng thái kết
thúc) để chấp nhận input. Ngược lại input bị loại bỏ.
 Hàm chuyển  được cho bởi bảng sau:


13



Ký hiệu

Trạng thái

0

1

X

Y

B

q0

(q1, X, R)

-

-

(q3, Y, R)

-

q1

(q1, 0, R)

(q2, Y, L)

-

(q1, Y, R)

-

q2

(q2, 0, L)

-

(q0, X, R)

(q2, Y, L)

-

(q3, Y, R)

(q4, B, )

-

-

q3
q4

-

-

-

B4 : Các phép chuyển hinh thái của TM M trên input 0011:
q00011 | Xq1011 | X0q111 | Xq20Y1 | q2X0Y1 | Xq00Y1
| XXq1Y1 | XXYq11 | XXq2YY | Xq2XYY | XXq0YY |
XXYq3Y | XXYYq3 | XXYYq4
Output: Yes

Thiết kế thuật toán
 B6: Cài đặt thuật toán
 B7: Testing Demo

14

 B5:

NỘI DUNG
1.
2.

3.
4.

15

Mô tả máy Turing.
Ngôn ngữ chấp nhận bởi
TM
TM thực hiện hàm tính
Chương trình con.

16

4


MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH
ngữ được chấp nhận bởi một máy Turing được gọi là
ngôn ngữ đệ qui liệt kê. Lớp ngơn ngữ này rất rộng nó chứa
ngơn ngữ phi ngữ cảnh và một số ngôn ngữ khác.
 Máy Turing như một máy tính hàm số nguyên:

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

 Ngơn







Ví dụ 6.2: Thiết kế máy Turing tính tốn phép trừ riêng
Ta định nghĩa phép trừ riêng như sau:

Máy Turing cũng có thể được xem như là một máy tính của các hàm
số nguyên (đi từ tập số nguyên đến tập số nguyên).
Mỗi số nguyên ta viết dưới dạng số trong hệ nhất phân (unary), tức
là với một số i  0 ta viết thành chuỗi 0i (gồm i chữ số 0).
Nếu hàm f có k đối số i1, i2, …, ik thì ta viết lần lượt các số nguyên
này trên băng của TM ngăn cách nhau bởi 1, nghĩa là input có dạng
0i110i2…0ik. Nếu TM dừng (chấp nhận hoặc khơng chấp nhận) với
băng 0m thì ta nó f(i1,i2,…,ik) = m

f(m,n) = m\n =



m – n nếu m  n
0 nếu m
Input: 0m10n
 Output: 0m\n


17

18

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

M lặp lại việc thay thế lần lược từng số 0 ở đầu băng bằng B rồi tiến
sang phải, ra sau 1 tìm 0 và thay thế 0 này bằng 1. M lại chuyển sang

trái cho đến khi gặp B đầu tiên thì dừng lại, trở về trạng thái bắt đầu và
tiếp tục vòng lặp như trên. M dừng nếu:
i.
Khi tìm 0 bên phải, M gặp B. Lúc này M đã thay n số 0 bên phải
0m10n thành 1 và n+1 số 0 bên trái thành B, trường hợp này xảy ra
khi trong chuỗi input có m>n. Do vậy M phải thay lại tất cả n +1
số 1 sau thành B, và sau đó dịch trái thay trả lại một B về thành 0,
cuối cùng trên băng còn lại kết quả phép trừ là m-n số 0.

19

Khi bắt đầu một vịng lặp mới, M khơng tìm thấy 0 để
đổi thành B, lúc này m số 0 đầu đã bị đổi thành B,
trường hợp này xảy ra khi m  n. Khi đó, M thay tất cả
các sơ1 1 và 0 trên băng thành B để cho kết quả phép
trừ thành 0 (biểu diễn gồm toàn ký hiệu B trong hệ
nhất phân).
Ta xây dựng TM như sau: M({0, 1}, {q0, q1,…, q6}, {0, 1,
B}, , q0, B, {q6}).
TM sẽ bắt đầu bằng 0m10n trên băng và kết thúc với 0m\n
trên băng. Các phép chuyển trạng thái được định nghĩa
như sau:
20
ii.

5


MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)
1.

2.

3.

4.

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)
(q2, B) = (q4, B, L)
(q4, 1) = (q4, B, L)
(q4, 0) = (q4, 0, L)
(q4, B) = (q6, 0, )
Nếu ở trạng thái q2 sang phải tìm 0 để thay thành 1 nhưng chỉ gặp B
thì ta xét trường hợp kết thúc i) ở trên: TM chuyển sang trạng thái
q4 và chuyển sang trái đổi tất cả 1 thành B cho đến khi gặp 1 B bên
trái đầu tiên. B này sẽ được thay lại thành 0 rồi M đi vào trạng thái
kết thúc q6 và dừng.
6. (q0, 1) = (q5, B, R)
(q5, 0) = (q5, B, R)
(q5, 1) = (q5, B, R)
(q5, B) = (q6, B, )
5.

(q0, 0) = (q1, B, R)
M thay 0 đầu băng bởi B
(q1, 0) = (q1, 0, R)
(q1, 1) = (q2, 1, R)
M di chuyển sang phải qua 0 tìm 1
(q2, 1) = (q2, 1, R)
(q2, 0) = (q3, 1, L)

M di chhuyển sang phải vượt qua 1 đến khi gặp 0, đổi 0 thành 1.
(q3, 0) = (q3, 0, L)
(q3, 1) = (q3, 1, L)
(q3, B) = (q0, B, R)
M dịch trái tới khi gặp B, trở về trạng thái q0 và bắt đầu một vòng lặp mới.
21

22

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)
Nếu ở trạng thái bắt đầu vịng lặp mới q0 gặp 1 thay vì gặp 0,
thì khối các sô 0 bên trái đã xét hết, đây là trường hợp kết
thúc ii) nêu trên: TM sẽ đi vào trạng thái q5, xóa phần cịn
lại của băng rồi đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng.
 Chẳng hạn TM tính tốn phép trừ 2\1 (tức input 0010) như
sau:
q00010 | Bq1010 | B0q110 | B01q20 | B0q311 |
Bq3011 | q3B011 | Bq0011 | BBq111 | BB1q21 |
BB11q2 | BB1q41 | BBq41 | Bq4BB | Bq60B.
23

NỘI DUNG
1.
2.

3.
4.

Mô tả máy Turing.
Ngôn ngữ chấp nhận bởi

TM
TM thực hiện hàm tính
Chương trình con.

24

6


CHƯƠNG TRÌNH CON

CHƯƠNG TRÌNH CON (TT)

có thể đóng vai trị như một đoạn chương trình con với
trạng thái bắt đầu và trạng thái kết thúc để thực hiện lặp lại
một cơng việc nào đó.
 Ví dụ 6.3: Thiết kế TM tính tốn hàm nhân 2 đối số f(m,n)
= mxn.
M bắt đầu với 0m10n trên băng và kết thúc với 0mn trên
băng được bao quanh bởi các Blank.
Ý tưởng chung là đặt thêm 1 sau 0m10n rồi chép khối n số
0 sang phải m lần, mỗi lần xóa một con số 0 bên trái của
0m. Ta được kết quả cuối cùng là 10n10mn. Giờ chỉ việc xóa
10n1 ta được kết quả 0mn.
25
 TM

Phần chính của thủ tục trên là thủ tục COPY để chép n số 0 sang phải.
Thủ tục này được xác định bằng hàm chuyển sau:
0

1

q1

(q2, 2, R)

(q4, 1, L)

q2

(q2, 0, R)

(q2, 1, R)

q3

(q3, 0, L)

(q3, 1, L)

(q1, 2, R)

(q5, 1, R)

(q4, 0, L)

q4

2

B
(q3, 0, L)

Ở trạng thái q1 nhìn thấy 0, M đổi 0 thành 2 và đi vào trạng thái q2. Ở
trạng thái q2 M dịch phải tới Blank viết 0 rồi dịch trái trong trạng thái q3.
Khi ở trạng thái q3 mà gặp 2 M đi vào trạng thái q1 để tiếp tục lặp lại quá
trình trên cho tới khi gặp 1.
26

CHƯƠNG TRÌNH CON (TT)

CHƯƠNG TRÌNH CON (TT)

Trạng thái q4 được dùng để biến đổi 2 thành 0 và thủ tục dừng tai q5. Để
làm đầy đủ chương trình ta phải thêm các trạng thái để biến đổi ID khởi
đầu q00m10n thành B0m-11q10n1. Tức là ta cần 3 qui tắc:
(q0, 0) = (q6, B, R)
(q6, 0) = (q6, 0, R)
(q6, 1) = (q1, 1, R)
Sau đó, ta lại thêm các trạng thái cần thiết để biến đổi ID Bi0m-i1q50n10ni
thành Bi+10m-i-11q10n10ni là trạng thái bắt đầu lại COPY và kiểm tra có
hay khơng i=m (tất cả các 0 của 0m đã bí xóa). Nếu i=m thì 10n1 bị xóa
và tính tốn dừng lại trạng thái q12
27

0
q5
q7

2

B

(q8, 1, L)

q8

(q9, 0, L)

q9

(q9, 0, L)

q10
q11

1

(q7, 0, L)
(q10, B, R)
(q0, B, R)
(q11, B, R)
(q11, B, R)

(q12, B, R)

Vì input chỉ có 0m10n ta muốn có 0m10n1 trên băng ta cần thêm vào
các hàm chuyển trạng thái như sau:
28

7


CHƯƠNG TRÌNH CON (TT)

BÀI TẬP

(q13, 0) = (q13, 0, R)
(q13 ,1) = (q13, 1, R)
(q13, B) = (q14, 1, L)
(q14, 0) = (q14, 0, L)
(q14, 1) = (q14, 1, L)
(q14, B) = (q0, B, R).
 Từ hàm chuyển  ta có thể vẽ sơ đồ chuyển cho TM (sinh
viên tự vẽ lấy).
 Ta có thể đánh số thứ tự của các trạng thái lại theo ý muốn.
29

1.Thiết kế máy turing đốn nhận ngơn ngữ:
 L={an bn cn , n  1}
 L = { an b2n , n  1}
2.Thiết kế máy turing thực hiện:
 a+b
 5*n
 n!
30

8