Luận văn thạc sĩ phương pháp quy hoạch động và vận dụng kết hợp giải các bài toán chuyên tin bậc thpt

..

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

THÁI PHONG NGHĨA

THÁI PHONG NGHĨA

*

PHƯƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ VẬN DỤNG
KẾT HỢP GIẢI CÁC BÀI TỐN
CHUN TIN BẬC THPT

KHOA HỌC MÁY TÍNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
CHUN NGÀNH KHOA HỌC MÁY TÍNH

*
KHĨA K32
Đà Nẵng - Năm 2018


ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƢỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

------------------

THÁI PHONG NGHĨA

PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ VẬN DỤNG
KẾT HỢP GIẢI CÁC BÀI TOÁN
CHUYÊN TIN BẬC THPT

Chuyên ngành : Khoa học máy tính
Mã số: 60.48.01

LUẬN VĂN THẠC SỸ
Khoa học máy tính

NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS. TSKH TRẦN QUỐC CHIẾN

Đà Nẵng – Năm 2018


i

LỜI CAM ĐOAN

Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi.Các số liệu, kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào
khác.

Tác giả

Thái Phong Nghĩa

ii
MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU .................................................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................................ 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ........................................................................................................... 2
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu ...................................................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................................................... 2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài ............................................................................ 2
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT VỀ QUY HOẠCH ĐỘNG ............................................................ 3
1.1. Giới thiệu về phƣơng pháp quy hoạch động................................................................... 3
1.1.1. Bài toán tối ƣu .......................................................................................................... 3
1.1.2. Nguyên lý Bellman ................................................................................................... 4
1.1.3. Bảng phƣơng án ........................................................................................................ 4
1.2. Nhận dạng bài toán quy hoạch động. .............................................................................. 5
1.3. Ƣu điểm của quy hoạch động. ......................................................................................... 5
1.4. Các bƣớc thực hiện quy hoạch động ............................................................................... 6
1.4.1. Xây dựng công thức truy hồi .................................................................................... 6
1.4.2. Tổ chức dữ liệu và chƣơng trình .............................................................................. 7
1.4.3. Làm tốt (tối ƣu thuật toán nếu đƣợc): ....................................................................... 7
1.4.4. Truy vết tìm phƣơng án tối ƣu .................................................................................. 7
1.5. Các lớp bài toán quy hoạch động và ứng dụng ............................................................... 8
1.5.1. Dạng 1: Dãy con đơn điệu dài nhất .......................................................................... 8
1.5.1.1. Mơ hình ............................................................................................................. 8
1.5.1.2. Cơng thức QHĐ ................................................................................................. 8
1.5.1.3. Cài đặt ................................................................................................................ 8
1.5.1.4. Một số bài toán là biến thể cùng lớp của “dãy con đơn điệu dài nhất” ............. 9
1.5.2. Dạng 2: Chia kẹo .................................................................................................... 10
1.5.2. 1. Mơ hình .......................................................................................................... 10
1.5.2. 2. Cơng thức ....................................................................................................... 10

1.5.2. 3. Cài đặt ............................................................................................................. 10
1.5.2. 4. Một số bài toán biến thể cùng lớp với bài toán “chia kẹo” ............................ 11
1.5.3. Dạng 3: Xâu con chung dài nhất ............................................................................ 12
1.5.3. 1. Mơ hình .......................................................................................................... 12
1.5.3. 2. Cơng thức QHĐ .............................................................................................. 12
1.5.3. 3. Cài đặt ............................................................................................................. 12
1.5.3. 4. Một số bài toán là biến thể cùng lớp của “Xâu con chung dài nhất” ............. 13
1.5.4. Một số dạng khác: .................................................................................................. 14
1.6. Hạn chế của quy hoạch động ......................................................................................... 14
CHƢƠNG 2: GIỚI THIỆU MỘT SỐ THUẬT TOÁN VÀ CẤU TRÚC DỮ LIỆU ĐỂ KẾT
HỢP VỚI PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG ............................................................... 15
2.1. Bài toán 1: Phần thƣởng ................................................................................................ 15
2.2. Bài toán 2: Đoạn con liên tiếp có tổng lớn nhất ............................................................ 17


iii
2.3 Quy hoạch động dựa trên bài toán đã đƣợc sắp xếp. ...................................................... 19
2.3.1 Sắp xếp .................................................................................................................... 19
2.3.2 Phát biểu bài tốn ................................................................................................... 20
2.3.3 Các thuật tốn sắp xếp thơng dụng ......................................................................... 20
2.3.3.1 Thuật toán sắp xếp nổi bọt (Bubble Sort) ........................................................ 20
2.3.3.2 Thuật toán sắp xếp nhanh (Quick Sort) ........................................................... 22
2.3.3.4 Sắp xếp bằng đếm phân phối (Distribution Counting) ..................................... 24
2.3.3.5 Một số bài toán ................................................................................................ 24
2.4. Quy hoạch động kết hợp xử lý Bit để mô tả trạng thái bài toán. ................................... 29
2.4.1. Bit và các thao tác xử lý Bit. .................................................................................. 29
2.4.1.1 Quy ƣớc về vị trí của các bit. ............................................................................ 29
2.4.1.2 Các phép toán logic .......................................................................................... 29
2.4.1.3 Một số ứng dụng ............................................................................................... 31
2.4.2 Một số bài tốn cùng lớp có thể dùng quy hoạch động kết hợp bit. ........................ 33

CHƢƠNG 3: CÀI ĐẶT CHƢƠNG TRÌNH MINH HỌA BẰNG FREE PASCAL ............... 45
3.1 Bài toán : Robot .............................................................................................................. 45
3.2 Bài toán : Đoạn con gối nhau dài nhất ........................................................................... 45
3.3 Bài tốn : Chọn ơ ............................................................................................................ 46
3.4 Bài toán : Sherry ............................................................................................................. 48
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .................................................................................................. 51
1. Kết quả đạt đƣợc ............................................................................................................... 51
2. Kiến nghị và hƣớng phát triển .......................................................................................... 52
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 53
PHỤ LỤC
1. Code bài: “Phần thƣởng”
2. Code bài: “Đoạn con liên tiếp có tổng lớn nhất”
3. Code bài: “Robot”
4. Code bài: “Đoạn gối nhau dài nhất”
5. Code bài: “Chọn ô”
6. Code bài: “Sherry”


iv

PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ VẬN DỤNG KẾT HỢP
GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYÊN TIN BẬC THPT
Học viên: Thái Phong Nghĩa

Chuyên ngành: Khoa học máy tính

Mã số: 60.48.01 Trƣờng Đại học Bách khoa.
Tóm tắt - Quy hoạch động là một chuyên đề rất hay và mạnh của tin học, đã vậy thực hiện
quy hoạch động trên dãy bit lại còn cho kết quả khả quan hơn nữa. Nhƣ chúng ta đã biết, phép
xử lí bit có thời gian thực hiện rất nhỏ, nhỏ hơn phép số học tốn thơng thƣờng. Vì vậy, trong

luận văn này, phạm vi dữ liệu mà tôi muốn đề cập đến là bit và quy hoạch động trên dãy bit.
Bên cạnh đó luận văn cũng trình bày một số cách quy hoạch trên dãy đã đƣợc sắp xếp cùng
với một số bài tốn điển hình dùng để minh họa cho quy hoạch động. Các bài toán đƣợc phân
tích, thiết kế và cài đặt theo phƣơng pháp quy hoạch động và phƣơng pháp khác nhằm để so
sánh và thấy đƣợc ƣu điểm của phƣơng pháp quy hoạch động (chủ yếu là về mặt thời gian
chạy của thuật tốn). Luận văn cũng đã cho thấy có sự cùng dạng của một lớp các bài tốn có
thể chuyển về xử lý bằng cách mô tả các trạng thái của bài tốn bằng dãy bit và từ đó thực
hiện quy hoạch động trên dãy bit đó để đạt đƣợc kết quả tối ƣu.
Từ khóa – Quy hoạch động; sắp xếp; xử lý bit; trạng thái của bài toán; Bài toán tối ƣu.

DYNAMIC PROGRAMMING METHOD AND COMBINATION OF OTHERS TO
SOLVE ADVANCED PROBLEMS IN INFORMATICS AT HIGH SCHOOL LEVEL

Abstract – Dynamic programming is a great and powerful subject of informatics, so
implementing dynamic programming on the series of bit is more important. As we all know,
bit processing has a very small execution time, which is smaller than regular arithmetic
operations. The dissertation, therefore, aims to delve into bit and dynamic programming on
the series of bit. In addition, the thesis also presents some of the planning methods on the
designed series of bit along with some typical problems used to illustrate the dynamic
programming. The problems are analyzed, designed and implemented by dynamic
programming and other methods to compare and find the advantages of the dynamic
programming (mainly in terms of execution time of algorithms). The thesis also shows the
similarity of a class of mathematical problems that can be transferred to the process by
describing the states of the problem by the series of bit and from which dynamic
programming on that series of bit is to achieve optimal results.
Keywords – Dynamic programming; sort; bit processing; the state of the problem; optimal
problem.


v

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CHỮ VIẾT TẮT
Các ký hiệu
O()
A[i,j]
B[i]
Abs()

Độ phức tạp thuật tốn
Mảng 2 chiều có tên là A, chứa giá trị tại dòng i, cột j
Mảng 1 chiều có tên B, chứa giá trị tại cột i
Hàm cho giá trị tuyệt đối trong Pascal

Các chữ viết tắt
Từ viết tắt

Nội dung

THPT

Trung học phổ thông

Bubble sort
Quick Sort
Distribution
Counting
Code

Sắp xếp nổi bọt
Sắp xếp nhanh

Diễn giải
Trƣờng cấp 3 trong hệ giáo dục
phổ thông
Tên thuật toán
Tên thuật toán

Đếm phân phối

Tên thuật toán

Mã lệnh

Test

Bộ dữ liệu kiểm thử

Input

Dữ liệu vào

Output

Dữ liệu ra

Các câu lệnh chƣơng trình
Dùng kiểm tra tính đúng đắn
của chƣơng trình
Thơng thƣờng là file tệp văn
bản chứa dữ liệu để chƣơng

trình lấy dữ liệu từ đây vào xử
lý.
Thông thƣờng là file tệp văn
bản chứa dữ liệu đã đƣợc
chƣơng trình xuất kết quả ra
theo yêu cầu của đề bài.


vi

DANH MỤC CÁC BẢNG
Số hiệu bảng

Tên bảng

Trang

2.1

Bảng minh họa kết quả bài toán “Phần thưởng”

15

2.2

Bảng lưu giá trị của F[i,j] bài tốn “Phần
thưởng”

16

2.3

Tìm giá trị hình vng lớn nhất bài tốn “Phần
thưởng”

17

2.4

Bảng phương án tính F[n,x] của bài “Chọn ơ”.

36

2.5

Bảng lưu vết bài tốn “Chọn ơ”

38

2.7

Các bảng Fx, vet, V thể hiện q trình truy vết
cho bài tốn “Sherry”

41


vii

DANH MỤC CÁC HÌNH

Số hiệu hình

Tên hình

Trang

1.1

Các tiêu chí của bài toán tối ưu

3

2.6

Đồ thị biểu diễn đường đi giữa các thành phố bài tốn
“Sherry”

40

3.1

Kết quả chạy chương trình với m = 6 và n=5, bài “Robot”.

45

3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

3.7
3.8

3.9
3.10
3.11

Kết quả chạy chương trình với n=5, bài “Đoạn con gối nhau
dài nhất”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP QHĐ kết hợp bit với
n=3, bài “Chọn ơ”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP QHĐ thơng thường với
n=3, bài “Chọn ơ”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP QHĐ kết hợp bit với
n=20, bài “Chọn ô”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP QHĐ thơng thường với
n=20, bài “Chọn ơ”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP QHĐ kết hợp bit với
n=6, bài “Sherry”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP Duyệt quay lui với n=6,
bài “Sherry”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP QHĐ kết hợp bit với
n=10, bài “Sherry”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP Duyệt quay lui với n=10,
bài “Sherry”.
Kết quả chạy chương trình bằng PP QHĐ kết hợp bit với
n=16, bài “Sherry”.

45
46

46
47
47
48
48
49
49
50


1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Hiện nay nhiệm vụ phát hiện, đào tạo và bồi dƣỡng học sinh giỏi là một nhiệm
vụ trọng tâm của các trƣờng THPT Chuyên của tất cả các tỉnh thành trong cả nƣớc,
nhằm mục đích phát hiện bồi dƣỡng và đào tạo nhân tài, tạo ra một đội ngũ học sinh
chất lƣợng cao làm tiền đề để phát triển nâng cao hơn nữa ở bậc đại học, sau đại học
cho các em học sinh. Môn Tin học tự hào cũng là một môn học quan trọng khơng kém
nên đƣợc đƣa vào chƣơng trình thi học sinh giỏi các cấp hằng năm nhƣ: thi học sinh
giỏi cấp Tỉnh (thành phố), thi học sinh giỏi Olympic 30/04 (từ Đà Nẵng trở vào phía
Nam), thi học sinh giỏi Quốc gia, bên cạnh đó cịn có thi Tin học trẻ khơng chun
(cấp Tỉnh và Tồn quốc).
Cùng với nhiệm vụ quan trọng của cả nƣớc là đào tạo và bồi dƣỡng nhân tài nói
chung trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và khoa học xã hội, môn tin học nói riêng
vẫn đƣợc sự quan tâm của Bộ giáo dục và đào tạo, Sở giáo dục và đào tạo các tỉnh
thành trong cả nƣớc, nên ln có các kỳ thi học sinh giỏi môn tin học cho các em học
sinh, bên cạnh đó cịn có các cuộc thi cho sinh viên ở bậc đại học nhƣ: Olympic Tin
học sinh viên, Mùa hè sáng tạo, Nhân tài đất Việt, ... và các cuộc thi quốc tế: ACM

ICPC (International Collegiate Programming Contest), Google Summer of code, Top
Coder, ...
Trong vai trò là một giáo viên Tin học giảng dạy tại trƣờng THPT Chuyên
Nguyễn Thiện Thành – TP Trà Vinh, hàng năm đều phải tham gia vào công tác bồi
dƣỡng học sinh giỏi của bộ môn, cho đến nay qua nhiều năm bồi dƣỡng, bản thân tôi
nhận thấy, trong cấu trúc của các đề thi học sinh giỏi môn Tin học, số lƣợng các bài
tốn trong một đề thi có thể giải bằng phƣơng pháp quy hoạch động thƣờng chiếm từ
30 – 70% của một đề thi, bởi khi ra đề thi ban tổ chức thƣờng rãi đều các chuyên mục
của các phƣơng pháp nhƣ: duyệt, qui hoạch động và các thuật toán ứng dụng mơ hình
đồ thị, ... tuy nhiên trong đó có một số bài tốn duyệt và ứng dụng mơ hình đồ thị vẫn
có thể áp dụng phƣơng pháp quy hoạch động để giải. Vì vậy có thể nói, quy hoạch
động là một chuyên đề rất quan trọng mà mỗi học sinh thi tham gia đội tuyển học sinh
giỏi đều phải nắm đƣợc nếu muốn đạt các thứ hạng cao ở các kỳ thi.
Với những lý do thiết thực đó, tôi xin chọn thực hiện đề tài: “PHƢƠNG PHÁP
QUY HOẠCH ĐỘNG VÀ VẬN DỤNG KẾT HỢP GIẢI CÁC BÀI TOÁN CHUYÊN
TIN BẬC THPT”.


2

2. Mục tiêu nghiên cứu
Xây dựng và phân tích có hệ thống các bài tập có thể giải bằng phƣơng pháp Quy
hoạch động, phân lớp chúng thành các lớp bài toán bằng cách nhận diện dựa trên kinh
nghiệm của ngƣời học từ các bài tốn quy hoạch động điển hình, kinh điển. Vận dụng
kết hợp để giải các bài toán chuyên Tin trong công tác bồi dƣỡng học sinh giỏi môn
Tin học. Giúp cho học sinh đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi, có thể dùng làm tài
liệu tham khảo để hỗ trợ cho học sinh giáo viên tin học dạy bồi dƣỡng chuyên tin, và
trên hết giúp củng cố lại kiến thức về phƣơng pháp quy hoạch động cho bản thân.
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
 Phƣơng pháp quy hoạch động.

 Các bài toán tối ƣu có thể giải bằng phƣơng pháp quy hoạch động.
 Các đề thi học sinh giỏi tin học các cấp.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
 Nghiên cứu lý thuyết về phƣơng pháp quy hoạch động, nhận dạng các bài
tốn có thể giải bằng phƣơng pháp quy hoạch động và phân tích các ƣu
điểm của nó từ đó kết hợp thêm các phƣơng pháp khác để áp dụng giải các
bài toán tối ƣu.
 Thiết kế thuật toán dựa trên phƣơng pháp quy hoạch động.
 Dùng Free Pascal để cài đặt chƣơng trình, chạy thử nghiệm trên một số bộ
dữ liệu kiểm thử, đánh giá kết quả.
 Áp dụng bồi dƣỡng học sinh giỏi.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Ý nghĩa khoa học:
 Nghiên cứu và phân tích phƣơng pháp quy hoạch động
 Vận dụng kết hợp vào việc giải các bài toán chuyên tin.
Ý nghĩa thực tiễn:
 Giúp cho học sinh đạt kết quả cao hơn trong các kỳ thi học sinh giỏi Tin
học.
 Làm tài liệu tham khảo để hỗ trợ cho học sinh giáo viên tin học dạy bồi
dƣỡng chuyên tin.


3

CHƢƠNG 1 - LÝ THUYẾT VỀ QUY HOẠCH ĐỘNG
1.1. Giới thiệu về phƣơng pháp quy hoạch động
Trong ngành khoa học máy tính, phƣơng pháp quy hoạch động là một phƣơng
pháp làm giảm thời gian chạy của các thuật toán thể hiện các tính chất của các bài tốn
con phụ thuộc nhau và cấu trúc con tối ƣu [14].
Phƣơng pháp quy hoạch động cùng nguyên lý tối ƣu đƣợc nhà toán học Mỹ

R.Bellman đề xuất vào những năm 50 của thế kỷ 20. Phƣơng pháp này đã đƣợc áp
dụng để giải hàng loạt bài tốn thực tế trong các q trình kỹ thuật cơng nghệ, tổ chức
sản xuất, kế hoạch hố kinh tế… Tuy nhiên cần lƣu ý rằng có một số bài toán mà cách
giải bằng quy hoạch động tỏ ra khơng thích hợp.
Quy hoạch động là kỹ thuật thiết kế bottom-up (từ dƣới lên). Nó đƣợc bắt đầu
với những trƣờng hợp con nhỏ nhất (thƣờng là đơn giản nhất và giải đƣợc ngay). Bằng
cách tổ hợp các kết quả đã có (khơng phải tính lại) của các trƣờng hợp con, sẽ đạt tới
kết quả của trƣờng hợp có kích thƣớc lớn dần lên và tổng quát hơn, thông qua công
thức truy hồi, cho đến khi cuối cùng đạt tới lời giải của trƣờng hợp tổng quát nhất, đó
cũng là giá trị tối ƣu cần tìm.
1.1.1. Bài tốn tối ưu
Trong thực tế, ta thƣờng gặp một số loại bài toán tối ƣu sau [2]: Có một đại
lƣợng f hình thành trong một quá trình gồm nhiều giai đoạn và ta chỉ quan tâm đến kết
quả cuối cùng là giá trị của f phải lớn nhất hoặc nhỏ nhất, ta gọi chung là giá trị tối
ƣu của f. Giá trị của f phụ thuộc vào những đại lƣợng xuất hiện trong bài toán mà mỗi
bộ giá trị của chúng đƣợc gọi là một trạng thái của hệ thống và phụ thuộc vào cách
thức đạt đƣợc giá trị f trong từng giai đoạn mà mỗi cách tổ chức đƣợc gọi là một điều
khiển. Đại lƣợng f thƣờng đƣợc gọi là hàm mục tiêu và quá trình đạt đƣợc giá trị tối
ƣu của f đƣợc gọi là quá trình điều khiển tối ưu.

Hình 1.1 Các tiêu chí của bài tốn tối ưu thường là chi phí hoặc giá trị


4

1.1.2. Nguyên lý Bellman
Bellman phát biểu nguyên lý tối ƣu (cũng gọi là nguyên lý Bellman) mà ý tƣởng
cơ bản là nhƣ sau: “Với mỗi quá trình điều khiển tối ƣu, đối với trạng thái bắt đầu A0,
với trạng thái A trong q trình đó, phần q trình kể từ trạng thái A xem nhƣ trạng
thái bắt đầu cũng là tối ƣu”.

Chú ý rằng nguyên lý này được thừa nhận mà khơng chứng minh.
Phƣơng pháp tìm điều khiển tối ƣu theo nguyên lý Bellman thƣờng đƣợc gọi là
quy hoạch động. Thuật ngữ này nói lên thực chất của q trình điều khiển là động: có
thể trong một số bƣớc đầu tiên lựa chọn điều khiển tối ƣu dƣờng nhƣ không tốt nhƣng
tựu chung cả quá trình lại là tốt nhất.
Ta có thể giải thích ý này qua bài tốn sau: Cho một dãy N số nguyên A1,
A2,…,AN. Hãy tìm cách xố đi một số ít nhất số hạng để dãy cịn lại là đơn điệu hay nói
cách khác hãy chọn một số nhiều nhất các số hạng sao cho dãy B gồm các số hạng đó
theo trình tự xuất hiện trong dãy A là đơn điệu.
Quá trình chọn B đƣợc điều khiển qua N giai đoạn để đạt đƣợc mục tiêu là số
lƣợng số hạng của dãy B là nhiều nhất, điều khiển ở giai đoạn i thể hiện việc chọn hay
không chọn Ai vào dãy B.
Giả sử dãy đã cho là 1 8 10 2 4 6 7. Nếu ta chọn lần lƣợt 1, 8, 10 thì chỉ chọn
đƣợc 3 số hạng nhƣng nếu bỏ qua 8 và 10 thì ta chọn đƣợc 5 số hạng 1, 2, 4, 6, 7.
Khi giải một bài toán bằng cách “chia để trị” chuyển việc giải bài tốn kích
thƣớc lớn về việc giải nhiều bài tốn cùng kiểu có kích thƣớc nhỏ hơn thì thuật tốn
này thƣờng đƣợc thể hiện bằng các chƣơng trình con đệ quy. Khi đó, trên thực tế,
nhiều kết quả trung gian phải tính lặp đi lặp lại nhiều lần.
1.1.3. Bảng phương án
Ý tƣởng cơ bản của quy hoạch động thật đơn giản: tránh tính tốn lại mọi thứ
hai lần, mà lƣu giữ kết quả đã tìm kiếm đƣợc vào một bảng - gọi là bảng phƣơng án,
làm giả thiết cho việc tìm kiếm những kết quả của trƣờng hợp sau. Chúng ta sẽ làm
đầy dần giá trị của bảng này bởi các kết quả của những trƣờng hợp trƣớc đã đƣợc giải.
Kết quả cuối cùng chính là kết quả của bài tốn cần giải. Nói cách khác phƣơng pháp
quy hoạch động đã thể hiện sức mạnh của nguyên lý chia để trị đến cao độ. Đồng thời
nó cũng khắc phục đƣợc việc tính tốn lặp lại của đệ quy.
Trong một số trƣờng hợp, khi giải một bài tốn A, trƣớc hết ta tìm họ bài tốn
A(p) phụ thuộc tham số p (có thể p là một véc tơ) mà A(p0)=A với p0 là trạng thái ban
đầu của bài tốn A. Sau đó tìm cách giải họ bài toán A(p) với tham số p bằng cách áp

5

dụng nguyên lý tối ƣu của Bellman. Cuối cùng cho p=p0 sẽ nhận đƣợc kết quả của bài
toán A ban đầu.
1.2. Nhận dạng bài toán quy hoạch động
Quy hoạch động là một phƣơng pháp hữu hiệu để giải quyết một bài tốn tối
ƣu. Có một vài yếu tố mà ngƣời lập trình cần chú ý khi nhận diện bài tốn có thể giải
bằng phƣơng phƣơng pháp quy hoạch động hay khơng đó là:
- Thuộc dạng bài tốn tối ƣu.
- Có dạng tƣơng tự với các lớp bài toán về quy hoạch động điển hình, cơ bản.
- Gặp bài tốn có tính chất truy hồi.
- Lời giải bài tốn ở bƣớc sau đƣợc xây dựng thơng qua lời giải bài tốn ở bƣớc
trƣớc.
- Tìm đƣợc cơng thức truy hồi để phối hợp các bài tốn con thành bài tốn lớn
hơn.
- Kích thƣớc bài tốn khơng q lớn.
Nhƣng để phát hiện ra và cài đặt tốt một bài quy hoạch động là rất khó khăn.
Thƣờng thì chúng ta hay tiếp cận với những bài tốn quy hoạch động mà đọc lên đã
có ngay dạng hay phƣơng pháp giải, nhƣng nhƣ vậy là chƣa đủ bởi lẽ quy hoạch động
không dừng lại ở đó. Chúng ta chỉ có thể giác ngộ tƣ tƣởng để giải một bài quy hoạch
động chứ chúng ta không thể học hết đƣợc toàn bộ mọi phƣơng pháp quy hoạch. Vì
vậy cách tốt nhất để giải đƣợc một bài tốn quy hoạch động địi hỏi tƣ duy tốt trong
lập trình, và quan trọng là phải có kinh nghiệm, mà kinh nghiệm thì cần phải tích lũy
bằng cách giải thật nhiều bài toán về quy hoạch động với nhiều dạng khác nhau.
1.3. Ƣu điểm của quy hoạch động
Có nhiều phƣơng pháp để giải một bài tốn tối ƣu. Có thể kể đến nhƣ: tham lam
(Greedy), nhánh cận (Branch and Bound), vét cạn, … Tuy nhiên đa số các phƣơng
pháp đó thƣờng ít có hiệu quả do thƣờng cài đặt dƣới dạng thủ tục đệ qui (nhánh cận),
hoặc cho lời giải gần đúng chứ không phải tối ƣu (tham lam), hoặc có thể tìm đƣợc lời

giải tối ƣu nhƣng lại q lâu (vét cạn).
Về bản chất, đệ qui và quy hoạch động là tƣơng tự nhau, tức là đều cùng giải
các bài tốn con để kết hợp tìm ra nghiệm của bài toán sau cùng. Nhƣng trong khi đệ
qui thực hiện việc giải bài toán con lặp đi lặp lại nhiều lần gây lãng phí tài ngun và
thời gian thì quy hoạch động khắc phục đƣợc điều đó bằng cách mỗi bài toán con chỉ
giải 1 lần và lƣu trữ chúng lại để sử dụng cho những bài toán lớn hơn.
Trong khi phƣơng pháp nhánh cận chỉ là một bƣớc cải tiến của cách cài đặt đệ
qui quay lui, phƣơng pháp này sẽ gặp khó trong trƣờng hợp đặt cận khơng đủ tốt để có


6

thể loại bỏ bớt các trƣờng hợp không cần xét. Suy cho cùng nhánh cận có tốt hơn
nhƣng khơng đáng kể.
Phƣơng pháp vét cạn thì lại có nhƣợc điểm riêng, mặc dù trên lý thuyết thì có
thể cho đƣợc phƣơng án tối ƣu. Nhƣng thực tế vét cạn là xét tất cả mọi khả năng có thể
có của nghiệm, từ đó chọn ra nghiệm tối ƣu. Do đó vét cạn chỉ khả thi trong trƣờng
hợp bài tốn có kích thƣớc dữ liệu nhỏ.
Vì vậy có thể nói quy hoạch động giải quyết đƣợc hầu nhƣ tất cả các nhƣợc
điểm của các phƣơng pháp trên.
1.4. Các bƣớc thực hiện quy hoạch động
1.4.1. Xây dựng công thức truy hồi
Dựa vào nguyên lý tối ƣu tìm cách chia q trình giải bài tốn thành từng giai
đoạn, sau đó tìm hệ thức biểu diễn tƣơng quan quyết định của bƣớc đang xử lý với các
bƣớc đã xử lý trƣớc đó. Hoặc tìm cách phân rã bài tốn thành các “bài tốn con” tƣơng
tự có kích thƣớc nhỏ hơn, tìm hệ thức nêu quan hệ giữa kết quả bài tốn kích thƣớc đã
cho với kết quả của các “bài tốn con” cùng kiểu có kích thƣớc nhỏ hơn của nó nhằm
xây dựng cơng thức truy hồi.
Về một cách xây dựng công thức truy hồi:
Giả sử bài tốn mà ta cần tìm là chi phí tối ƣu dạng Max. Gọi Fi là giá trị lớn

nhất khi xét đến phần tử thứ i.
Tùy theo bài toán, ta có thể nhận ra các bài tốn cơ sở của nó một cách rõ ràng
và hiển nhiên. Thơng thƣờng các giá trị này là F0 hoặc F1 hoặc F2 … Khởi tạo bằng
cách gán các giá trị ban đầu cho chúng.
Từ các giá trị ban đầu nêu trên, ta tăng dần số lƣợng các phần tử lên (tăng độ
lớn của bài tốn), tìm điểm chung trong cách tính các phần tử từ bài toán cơ sở (F0
hoặc F1) đến bài tốn đang xét (Fi). Từ đó ta có đƣợc cơng thức truy hồi.
Thơng thƣờng cơng thức truy hồi có dạng:
Fi = Max(Fi-1, Fi) {với i = 1 ... n} (*)
Trong đó
- Fi là giá trị lớn nhất khi xét đến phần tử thứ i.
- Max là hàm lấy giá trị lớn nhất của 1 trong các đối số của nó.
- Fi-1 là bài toán con đã tối ƣu ở bƣớc liền kề trƣớc đó.
- Fi-1 cũng đƣợc tính theo cơng thức Fi-1 = Max(Fi-2, Fi-1)
- Và Fi-2 = Max(Fi-3, Fi-2)
- … cho đến


7

- F1
- F0
1.4.2. Tổ chức dữ liệu và chương trình
Tổ chức dữ liệu sao cho đạt các yêu cầu sau:
 Dữ liệu đƣợc tính tốn dần theo các bƣớc.
 Dữ liệu đƣợc lƣu trữ để giảm lƣợng tính tốn lặp lại.
 Kích thƣớc miền nhớ dành cho lƣu trữ dữ liệu càng nhỏ càng tốt, kiểu dữ
liệu đƣợc chọn phù hợp, nên chọn đơn giản dễ truy cập.
Cụ thể
 Các giá trị của Fi thƣờng đƣợc lƣu trữ trong một bảng (mảng một chiều hoặc

hai, ba chiều, … ).
 Cần lƣu ý khởi trị các giá trị ban đầu của bảng cho thích hợp, đó là các kết
quả của các bài tốn con có kích cỡ nhỏ nhất của bài tốn đang giải.
 Dựa vào cơng thức (*) và các giá trị đã có trong bảng để tìm dần các giá trị
cịn lại của bảng.
 Ngồi ra cịn cần mảng lƣu trữ nghiệm tƣơng ứng với các giá trị tối ƣu trong
từng gian đoạn.
 Dựa vào bảng lƣu trữ nghiệm và bảng giá trị tối ƣu trong từng giai đoạn đã
xây dựng, tìm ra kết quả bài tốn.
1.4.3. Làm tốt (tối ưu thuật toán nếu được)
Làm tốt thuật toán bằng cách thu gọn hệ thức (*) và giảm kích thƣớc miền nhớ.
Thƣờng tìm cách dùng mảng một chiều thay cho mảng hai chiều nếu giá trị một dòng
(hoặc cột) của mảng hai chiều chỉ phụ thuộc một dòng (hoặc cột) kề trƣớc.
Trong một số trƣờng hợp có thể thay mảng hai chiều với các giá trị phần tử chỉ
nhận giá trị 0, 1 bởi mảng hai chiều mới bằng cách dùng kỹ thuật xử lý bit.
1.4.4. Truy vết tìm phương án tối ưu
Thông thƣờng kết quả tối ƣu của một bài toán quy hoạch động là sau khi đã giải đƣợc
bài toán sau cùng (bài toán thứ n, hay Fn), nếu bảng phƣơng án là mảng 2 chiều thì hoặc là giá
trị tối ƣu (GTTU) nằm ở cột cuối hoặc là GTTU nằm ở dịng cuối. Từ các vị trí chứa các
GTTU đó, ta tiến hành truy vết ngƣợc trở về đi qua các bài tốn con trƣớc nó cũng đã đạt
đƣợc GTTU, cho đến khi trở về bài toán cơ sở ban đầu thì dừng.

Vậy để có thể truy vết đƣợc thì ta phải tiến hành đánh dấu tại GTTU của bài
toán thứ i mà ta đạt đƣợc. Cụ thể, khi tiến hành cài đặt công thức (*) ở trên, ta phải lƣu
vết:


8

If Fi-1 > Fi Then

Begin
Fi := Fi-1
Lƣu vết {chọn Fi-1}
End Else
Lƣu vết {khơng chọn Fi-1}
1.5. Các lớp bài tốn quy hoạch động và ứng dụng
Chúng ta đều biết rằng điều khó nhất để giải một bài tốn quy hoạch động
(QHĐ) là biết rằng nó là một bài tốn QHĐ và tìm đƣợc cơng thức QHĐ của nó. Rất
khó nếu ta mò mẫm từ đầu, nhƣng nếu chúng ta đƣa đƣợc bài toán cần giải về một bài
toán QHĐ kinh điển thì sẽ dễ dàng hơn nhiều. Do đó, tìm hiểu mơ hình, cơng thức và
cách cài đặt những bài tốn QHĐ kinh điển là một việc rất cần thiết. Trong phần này,
tơi xin giới thiệu một số bài tốn QHĐ kinh điển và những biến thể của chúng. Phần
này chủ yếu tập trung vào giới thiệu mơ hình, cơng thức và một số gợi ý trong cài đặt
chứ không đi chi tiết vào việc phát biểu bài tốn, mơ tả input/output, chứng minh cơng
thức hay viết chƣơng trình cụ thể. [7]
1.5.1. Dạng 1: Dãy con đơn điệu dài nhất
1.5.1.1. Mô hình
Cho dãy a1,a2,..an. Hãy tìm một dãy con tăng có nhiều phần tử nhất của dãy.
1.5.1.2. Công thức QHĐ
Gọi L(i) là độ dài dãy con tăng dài nhất, các phần tử lấy trong miền từ a 1 đến ai
và phần tử cuối cùng là ai.
Ta có cơng thức QHĐ để tính L(i) nhƣ sau:
L(1)=1
L(i) = max(1, L(j)+1 với mọi phần tử j: 0 < j < i và aj ≤ ai).
1.5.1.3. Cài đặt
Bảng phƣơng án là một mảng một chiều L để lƣu trữ các giá trị của hàm QHĐ
L(i).
Đoạn chƣơng trình tính các giá trị của mảng L nhƣ sau:
for i := 1 to n do
begin

L[i] := 1;
for j:=1 to i - 1 do
if (a[j]<=a[i]) and (L[i] L[i]:=L[j]+1;
end;


9

Nhƣ vậy chi phí khơng gian của bài tốn là O(n), chi phí thời gian là O(n2).
1.5.1.4. Một số bài toán là biến thể cùng lớp của “dãy con đơn điệu dài nhất”
Bài toán dãy con đơn điệu dài nhất có biến thể đơn giản nhất là bài tốn dãy con
đơn điệu giảm dài nhất, tuy nhiên chúng ta có thể coi chúng nhƣ là một. Sau đây là
một số bài tốn khác.
a) Bài tốn: Bố trí phịng họp .
Có n cuộc họp, cuộc họp thứ i bắt đầu vào thời điểm ai và kết thúc ở thời điểm
bi. Do chỉ có một phịng hội thảo nên 2 cuộc họp bất kì sẽ đƣợc cùng bố trí phục vụ
nếu khoảng thời gian làm việc của chúng chỉ giao nhau tại đầu mút. Hãy bố trí phịng
họp để phục vụ đƣợc nhiều cuộc họp nhất.
Ý tưởng thuật toán:
Sắp xếp các cuộc họp tăng dần theo thời điểm kết thúc (bi). Thế thì cuộc họp i
sẽ bố trí đƣợc sau cuộc họp j nếu và chỉ nếu j < i và bj ≤ ai. Yêu cầu bố trí đƣợc nhiều
cuộc họp nhất có thể đƣa về việc tìm dãy các cuộc họp dài nhất thoả mãn điều kiện
trên.
b) Bài toán: Cho thuê máy
Trung tâm tính tốn hiệu năng cao nhận đƣợc đơn đặt hàng của n khách hàng.
Khách hàng i muốn sử dụng máy trong khoảng thời gian từ ai đến bi và trả tiền thuê là
ci. Hãy bố trí lịch thuê máy để tổng số tiền thu đƣợc là lớn nhất mà thời gian sử dụng
máy của 2 khách hàng bất kì đƣợc phục vụ đều khơng giao nhau (cả trung tâm chỉ có
một máy cho th).

Ý tưởng thuật tốn:
Tƣơng tự nhƣ bài toán a), nếu sắp xếp các đơn đặt hàng theo thời điểm kết thúc,
ta sẽ đƣa đƣợc bài tốn b) về bài tốn tìm dãy con có tổng lớn nhất. Bài toán này là
biến thể của bài toán tìm dãy con tăng dài nhất, ta có thể cài đặt bằng đoạn chƣơng
trình nhƣ sau:
for i:=1 to n do
begin
L[i]:=c[i];
for j:=1 to i -1 do
if (b[j]<=a[i]) and (L[i] end;
c) Bài toán: Dãy tam giác bao nhau
Cho n tam giác trên mặt phẳng. Tam giác i bao tam giác j nếu 3 đỉnh của tam
giác j đều nằm trong tam giác i (có thể nằm trên cạnh). Hãy tìm dãy tam giác bao nhau
có nhiều tam giác nhất.
Ý tưởng thuật toán:


10

Sắp xếp các tam giác tăng dần về diện tích. Khi đó tam giác i sẽ bao tam giác j
nếu j < i và 3 đỉnh của j nằm trong i. Từ đó có thể đƣa về bài tốn tìm dãy tăng dài
nhất.
Việc kiểm tra điểm M có nằm trong tam giác ABC khơng có thể dựa trên
phƣơng pháp tính diện tích: điểm M nằm trong nếu S(ABC) = S(ABM) + S(ACM) +
S(BCM).
Bài tốn có một số biến thể khác nhƣ tìm dãy hình tam giác, hình chữ nhật bao
nhau có tổng diện tích lớn nhất.
d) Bài tốn: Dãy đổi dấu
Cho dãy a1, a2,... an. Hãy dãy con đổi dấu dài nhất của dãy đó. Dãy con con đổi

dấu ai1,ai2,... aik phải thoả mãn các điều kiện sau:
ai1 <Ai2 > ai3 <... hoặc i1 > ai2 < a i3 >... các chỉ số phải cách nhau ít nhất L: i2 - i1 ≥ L, i3
-i2 ≥ L... chênh lệch giữa 2 phần tử liên tiếp nhỏ hơn U: |ai1 - ai2| ≤ U, |ai2 - ai3| ≤ U...
Ý tưởng thuật toán:
Gọi L(i) là số phần tử của dãy con đổi dấu có phần tử cuối cùng là ai và phần tử
cuối cùng lớn hơn phần tử đứng trƣớc. Tƣơng tự, P(i) là số phần tử của dãy con đổi
dấu có phần tử cuối cùng là ai và phần tử cuối cùng nhỏ hơn phần tử đứng trƣớc. Ta dễ
dàng suy ra:
L(i) = max(1, P(j)+1): j ≤ i - L và ai - U ≤ aj < ai.
P(i) = max(1, L(j)+1): j ≤ i - L và ai < aj ≤ ai + U.
1.5.2. Dạng 2: Chia kẹo
1.5.2. 1. Mơ hình
Cho dãy a1, a2,.. an. Tìm một dãy con của dãy đó có tổng bằng S.
1.5.2. 2. Cơng thức
Đặt L(i,t)=1 nếu có thể tạo ra tổng t từ một dãy con của dãy gồm các phần tử
a1,a2,..ai. Ngƣợc lại thì L(i,t)=0. Nếu L(n,S)=1 thì đáp án của bài tốn trên là 'có'. Ta
có thể tính L(i,t) theo cơng thức: L(i,t) = 1 nếu L(i - 1,t)=1 hoặc L(i-1,t - a[i])=1.
1.5.2. 3. Cài đặt
Nếu áp dụng ln cơng thức trên thì ta cần dùng bảng phƣơng án hai chiều. Ta
có thể nhận xét rằng để tính dịng thứ i, ta chỉ cần dịng i -1. Bảng phƣơng án khi đó
chỉ cần 1 mảng 1 chiều L[0..S] và đƣợc tính nhƣ sau:
L[t]:=0; L[0]:=1;
for i := 1 to n do
for t := S downto a[i] do
if (L[t]=0) and (L[t - a[i]]=1) then L[t]:=1;
Dễ thấy chi phí khơng gian của cách cài đặt trên là O(m), chi phí thời gian là
O(nm), với m là tổng của n số.


11

1.5.2. 4. Một số bài toán biến thể cùng lớp với bài toán “chia kẹo”
a) Bài toán: Chia kẹo
Cho n gói kẹo, gói thứ i có ai viên. Hãy chia các gói thành 2 phần sao cho chênh
lệch giữa 2 phần là ít nhất.
Ý tưởng thuật tốn:
Gọi T là tổng số kẹo của n gói. Chúng ta cần tìm số S lớn nhất thoả mãn: S ≤
T/2. Có một dãy con của dãy a có tổng bằng S. Khi đó sẽ có cách chia với chênh lệch 2
phần là T - 2S là nhỏ nhất và dãy con có tổng bằng S ở trên gồm các phần tử là các gói
kẹo thuộc phần thứ nhất. Phần thứ hai là các gói kẹo cịn lại.
b) Bài tốn: Market (Olympic Balkan 2000)
Ngƣời đánh cá Clement bắt đƣợc n con cá, khối lƣợng mỗi con là ai, đem bán
ngoài chợ. ở chợ cá, ngƣời ta không mua cá theo từng con mà mua theo một lƣợng nào
đó. Chẳng hạn 3 kg, 5kg...
Ví dụ: có 3 con cá, khối lƣợng lần lƣợt là: 3, 2, 4. Mua lƣợng 6 kg sẽ phải lấy
con cá thứ 2 và và thứ 3. Mua lƣợng 3 kg thì lấy con thứ nhất. Khơng thể mua lƣợng 8
kg. Nếu bạn là ngƣời đầu tiên mua cá, có bao nhiêu lƣợng bạn có thể chọn?
Ý tưởng thuật tốn:
Thực chất bài tốn là tìm các số S mà có một dãy con của dãy a có tổng bằng S.
Ta có thể dùng phƣơng pháp đánh dấu của bài chia kẹo ở trên rồi đếm các giá trị t mà
L[t]=1.
c) Bài toán: Điền dấu
Cho n số tự nhiên a1,a2,...,an. Ban đầu các số đƣợc đặt liên tiếp theo đúng thứ tự
cách nhau bởi dấu '?': a1?a2?...?an. Cho trƣớc số nguyên S, có cách nào thay các dấu '?'
bằng dấu + hay dấu - để đƣợc một biểu thức số học cho giá trị là S khơng?
Ý tưởng thuật tốn:
Đặt L(i,t)=1 nếu có thể điền dấu vào i số đầu tiên và cho kết quả bằng t. Ta có
cơng thức sau để tính L:
L(1,a[1]) =1.
L(i,t)=1 nếu L(i - 1,t+a[i])=1 hoặc L(i - 1,t - a[i])=1.

Nếu L(n,S)=1 thì câu trả lời của bài tốn là có. Khi cài đặt, có thể dùng một
mảng 2 chiều (lƣu toàn bộ bảng phƣơng án) hoặc 2 mảng một chiều (để lƣu dòng i và
dòng i - 1). Chú ý là chỉ số theo t của các mảng phải có cả phần âm (tức là từ - T đến
T, với T là tổng của n số), vì trong bài này chúng ta dùng cả dấu - nên có thể tạo ra các
tổng âm.
Bài này có một biến thể là đặt dấu sao cho kết quả là một số chia hết cho k. Ta
có thuật giải tƣơng tự bài toán trên bằng cách thay các phép cộng, trừ bằng các phép
cộng và trừ theo môđun k và dùng mảng đánh dấu với các giá trị từ 0 đến k - 1 (là các
số dƣ có thể có khi chia cho k). Đáp số của bài toán là L(n,0).
d) Bài toán: Expression (ACM 10690)


12

Cho n số nguyên. Hãy chia chúng thành 2 nhóm sao cho tích của tổng 2 nhóm
là lớn nhất.
Ý tưởng thuật tốn:
Gọi T là tổng n số ngun đó. Giả sử ta chia dãy thành 2 nhóm, gọi S là tổng
của một nhóm, tổng nhóm cịn lại là T - S và tích của tổng 2 nhóm là S*(T - S). Bằng
phƣơng pháp đánh dấu ta xác định đƣợc mọi số S là tổng của một nhóm (nhƣ bài
Market) và tìm số S sao cho S*(T - S) đạt max.
1.5.3. Dạng 3: Xâu con chung dài nhất
1.5.3. 1. Mơ hình
Cho 2 xâu X,Y. Hãy tìm xâu con của X và của Y có độ dài lớn nhất.
1.5.3. 2. Cơng thức QHĐ
Gọi L(i,j) là độ dài xâu con chung dài nhất của xâu X(i) gồm i kí tự phần đầu
của X (X(i)= X[1..i]) và xâu Y(j) gồm j kí tự phần đầu của Y (Y(j) =Y[1..j]).
Ta có cơng thức quy hoạch động nhƣ sau:
L(0,j)=L(i,0)=0.
L(i,j) = L(i - 1,j - 1)+1 nếu X[i] = Y[j].

L(i,j) = max(L(i - 1,j), L(i,j - 1)) nếu X[i] ≠ Y[j].
1.5.3. 3. Cài đặt
Bảng phƣơng án là một mảng 2 chiều L[0..m,0..n] để lƣu các giá trị của hàm
QHĐ L(i,j).
Đoạn chƣơng trình cài đặt cơng thức QHĐ trên nhƣ sau:
for i:=0 to m do L[i,0]:=0;
for j:=0 to n do
L[0,j]:=0;
for i:=1 to m do
for j:=1 to n do
if X[i]=Y[j] then
L[i,j]:=L[i - 1,j - 1]+1
Else
L[i,j]:=max(L[i - 1,j],L[i,j - 1]]);
Nhƣ vậy chi phí khơng gian của bài tốn là O(n2), chi phí thời gian là O(n2). Có
một phƣơng pháp cài đặt tốt hơn, chỉ với chi phí khơng gian O(n) dựa trên nhận xét
sau: để tính ơ L[i,j] của bảng phương án, ta chỉ cần 3 ô L[i - 1,j-1],L[i-1,j] và L[i,j-1].
Tức là để tính dịng L[i] thì chỉ cần dịng L[i -1]. Do đó ta chỉ cần 2 mảng 1 chiều để
lƣu dịng vừa tính (P) và dịng đang tính (L) mà thơi. Cách cài đặt mới nhƣ sau:
for j:=0 to n do


13

P[j]:=0;
for i:=1 to m do
Begin
L[0] := 0;
for j:=1 to n do
if X[i]=Y[j] then

L[i,j]:=P[j - 1]+1
else L[i,j]:=max(P[j], L[j -1]);
P := L;
end;
1.5.3. 4. Một số bài toán là biến thể cùng lớp của “Xâu con chung dài nhất”
a) Bài toán: Bắc cầu
Hai nƣớc Anpha và Beta nằm ở hai bên bờ sông Omega, Anpha nằm ở bờ bắc
và có M thành phố đƣợc đánh số từ 1 đến m, Beta nằm ở bờ nam và có N thành phố
đƣợc đánh số từ 1 đến n (theo vị trí từ đơng sang tây). Mỗi thành phố của nƣớc này
thƣờng có quan hệ kết nghĩa với một số thành phố của nƣớc kia. Để tăng cƣờng tình
hữu nghị, hai nƣớc muốn xây các cây cầu bắc qua sông, mỗi cây cầu sẽ là nhịp cầu nối
2 thành phố kết nghĩa. Với yêu cầu là các cây cầu không đƣợc cắt nhau và mỗi thành
phố chỉ là đầu cầu cho nhiều nhất là một cây cầu, hãy chỉ ra cách bắc cầu đƣợc nhiều
cầu nhất.
Ý tưởng thuật toán:
Gọi các thành phố của Anpha lần lƣợt là a1, a2,...am; các thành phố của Beta là
b1,b2,...bn. Nếu thành phố ai và bj kết nghĩa với nhau thì coi ai'bằng' bj. Để các cây cầu
không cắt nhau, nếu ta đã chọn cặp thành phố (ai, bj) để xây cầu thì cặp tiếp theo phải
là cặp (au,bv) sao cho u>i và v>j. Nhƣ vậy các cặp thành phố đƣợc chọn xây cầu có thể
coi là một dãy con chung của hai dãy a và b.
Bài toán của chúng ta trở thành bài tốn tìm dãy con chung dài nhất, ở đây hai
phần tử 'bằng' nhau nếu chúng có quan hệ kết nghĩa
b) Bài toán: Biến đổi xâu
Cho 2 xâu X,Y. Có 3 phép biến đổi với xâu X: chèn 1 kí tự, thay thế một kí tự
hoặc xố một kí tự. Hãy tìm số ít nhất các phép biến đổi để biến xâu X thành xâu Y.
Ý tưởng thuật tốn:
Gọi F(i,j) là số phép biến đổi ít nhất để biến xâu X(i) gồm i kí tự phần đầu của
X (X(i)= X[1..i]) thành xâu Y(j) gồm j kí tự phần đầu của Y (Y(j) =Y[1..j]). Dễ thấy
F(0,j)=j và F(i,0)=i.
Nếu X[i]=Y[j] thì ta chỉ phải biến đổi xâu X(i-1) thành xâu Y(j-1). Do đó

F(i,j)=F(i-1,j-1).
Ngƣợc lại, ta có 3 cách biến đổi:


14

- Xố kí tự X[i] và biến đổi xâu X(i-1) thành Y(j). Khi đó F(i,j)=F(i-1,j)+1.
- Thay thế X[i] bởi Y[j] và biến đổi X(i-1) thành Y(j-1). Khi đó F(i,j)=F(i-1,j1)+1.
- Chèn Y[j] vào X(i) và biến đổi X(i) thành Y(j-1). Khi đó F(i,j)=F(i,j-1)+1.
Tổng kết lại, ta có cơng thức QHĐ:
F(0,j)=j
F(i,0)=i
F(i,j) =F(i - 1,j - 1) nếu X[i] = Y[j].
F(i,j) = min(F(i - 1,j),F(i,j - 1),F(i - 1,j - 1))+1 nếu X[i] ≠ Y[j].
c) Bài toán: Palindrom (IOI 2000)
Một xâu gọi là xâu đối xứng (palindrom) nếu xâu đó đọc từ trái sang phải hay
từ phải sang trái đều nhƣ nhau. Cho một xâu S, hãy tìm số kí tự ít nhất cần thêm vào S
để S trở thành xâu đối xứng.
Ý tưởng thuật tốn:
Gọi L(i,j) là số kí tự ít nhất cần thêm vào xâu con S[i..j] của S để xâu đó trở
thành đối xứng. Đáp số của bài tốn sẽ là L(1,n) với n là số kí tự của S.
Ta có cơng thức sau để tính L(i,j):
L(i,i)=0.
L(i,j)=L(i+1,j - 1) nếu S[i]=S[j]
L(i,j)=max(L(i+1,j), L(i,j - 1)) nếu S[i] ≠ S[j]
1.5.4. Một số dạng khác:
- Liệt kê cấu hình, đếm số lƣợng cấu hình, tối ƣu tổ hợp, di chuyển trên lƣới ơ vng,
biết cấu hình chỉ ra thứ tự từ điển và ngƣợc lại, …

1.6. Hạn chế của quy hoạch động

 Việc tìm cơng thức truy hồi, phƣơng trình truy tốn hoặc tìm cách phân rã
bài tốn nhiều khi địi hỏi sự phân tích tổng hợp rất cơng phu, dễ sai sót, khó nhận ra
nhƣ thế nào là thích hợp, địi hỏi nhiều thời gian suy nghĩ. Đồng thời không phải lúc
nào kết hợp lời giải của các bài toán con cũng cho kết quả của bài toán lớn hơn.
 Khi bảng lƣu trữ địi hỏi mảng ba, bốn chiều, … thì khó có thể xử lý dữ liệu
với kích cỡ mỗi chiều lớn hàng nghìn trở lên.
 Có những bài tốn không thể giải đƣợc bằng quy hoạch động.


15

CHƢƠNG 2 - GIỚI THIỆU MỘT SỐ THUẬT TOÁN VÀ CẤU TRÚC DỮ LIỆU
ĐỂ KẾT HỢP VỚI PHƢƠNG PHÁP QUY HOẠCH ĐỘNG
Chƣơng này nhằm giới thiệu một số bài toán, thuật toán quy hoạch động và cách kết
hợp một số cấu trúc dữ liệu để thấy đƣợc hiệu quả của việc sử dụng phƣơng pháp quy
hoạch động.
2.1. Bài toán 1: Phần thƣởng
Tuấn là ngƣời chiến thắng trong một cuộc thi “tìm hiểu kiến thức vũ trụ” và
đƣợc nhận các phần thƣởng do công ty XYZ tài trợ. Các phần thƣởng đƣợc bố trí trên
một bảng hình vng n x n có dạng một lƣới ơ vng kích thƣớc đơn vị. Các dòng của
bảng đƣợc đánh số từ 1 đến n, từ trên xuống dƣới và các cột của bảng đƣợc đánh số từ
1 đến n, từ trái qua phải. Ô nằm trên giao của dòng i và cột j đƣợc gọi là ơ (i,j) và trên
ơ đó chứa một món quà có giá trị là a[i,j] (1 <= i, j <= n)
Để nhận phần thƣởng, Tuấn đƣợc phép chọn một hình vng kích thƣớc k x k
chiếm trọn trong một số ô của bảng và nhận tất cả các phần q có trong các ơ nằm
trong hình vng đó.
u cầu: Hãy xác định tổng giá trị lớn nhất của món q mà Tuấn có thể nhận đƣợc.
Dữ liệu vào:
 Dịng thứ nhất chứa hai sô nguyên dƣơng n, k (n <= 1000, n/3 <= k <= n).
 Dòng thứ i trong số n dòng tiếp theo chứa n số nguyên dƣơng, số thứ j là a[i,j]

(a[i,j] <= 1000)
Kết quả: Ghi ra một số nguyên duy nhất là tổng giá trị lớn nhất của các món quà
mà Tuấn có thể nhận đƣợc.
Ví dụ:
Dữ liệu vào:
43
1911
9999
1999
1 9 9 14

Kết quả:
86

1
9
1
1

9
9
9
9

1
9
9
9

1

9
9
14

Hình 2.1: Bảng minh họa kết quả bài toán “Phần thưởng”

* Cách giải 1: Duyệt từng hình vng có độ dài cạnh k, với i,j là cặp chỉ số góc
trên bên trái hình vng và x,y là góc dƣới phải hình vng. Với mỗi hình vng ta
tiến hành tính tổng của chúng và so sánh với Max (Max ban đầu bằng - ∞).


16

Max:= - ∞ ;T:=0;
For i:=1 to n do
Begin
T:=0;
For j:=1 to n do
For x:=i to i+k-1 do
For y:=j to j+k-1 do
T:=T+A[x,y];
If T>Max then Max:=T;
End;
Nhƣ vậy : với cách giải này ta thấy phải tốn gần 4 vòng lặp trong trƣờng hợp
xấu nhất là k=n. Do đó có độ phức tạp thuật tốn là O(n4), khơng khả thi với u cầu
của đề bài nếu n lớn.
* Cách giải 2: Quy hoạch động
Gọi F[i,j] là tổng các giá trị từ ơ[1,1] tới ơ[i,j].
Tính tất cả các F[i,j] theo công thức truy hồi sau:
For i:=1 to n do

For j:=1 to n do
F[i,j]:=F[i,j-1] + F[i-1,j] + a[i,j] – F[i-1,j-1] ;
Sau khi tính, bảng F[i,j] có dạng nhƣ sau:
1
10
11
12

10
28
38
48

11
38
57
76

12
48
76
109

Hình 2.2: Bảng lưu giá trị của F[i,j] bài tốn “Phần thưởng”

Giải thích:
Giả sử ơ đang tính F[3,3] đƣợc tính bằng cơng thức truy hồi:
F[i,j]:=F[i,j-1] + F[i-1,j] + a[i,j] – F[i-1,j-1] ;
F[3,3]:=F[3,2] + F[2,3] + a[3,3] – F[2,2]
 F[3,3]:=38 + 38 + 9 – 28 = 57

Để tìm hình vng lớn nhất có cạnh bằng k = 3 ta thực hiện nhƣ sau:
Max:= - ∞ ;
For i:=k to n do