Mã nén lecture7 -ElGamal

1
Lecture 7: Hệ mật mã ElGamal

1. Nhóm nhân modulo N

2. Tính lũy thừa theo module

3. Logarit rời rạc

4. Hệ mật mã ElGamal
2
Nhóm nhân modulo N

Nhóm nhân (phép nhân ) của tậpZ
n
được định nghĩa
như sau:

Trong trường hợp đặcbiệtnếun làsố nguyên tố thì:
{ }
1),(|
*
=∈= naUSCLNZaZ
nn
{ }
11
*
−≤≤= naZ
n
3
Nhóm nhân modulo N

4
Nhóm nhân modulo N

Định nghĩa: Cho a thuộc Z
n
*
, nếu cấp của a là φ(n),
khi đó a được gọi là phần tử sinh hay phần tử nguyên
thủy của Z
*
n
.
5
Tính chất phần tử sinh của Z
*
n

Nếu a là phần tử sinh của Z
*
n
thì
Z
*
n
={a
i
mod n| 0=<i<=φ(n) -1}

Giả sử a là một phần tử sinh của Z
*

n
, khi đób=a
i
mod
n cũng là phần tử sinh của Z
*
n
khi và chỉ khi gcd(i,
φ(n) )=1
6
Phần tử sinh của Z
*
n

Xét Z*
13
, kiểm tra a=2 có phải là phần tử sinh hay
không:

Như vậy a=2 là phần tử sinh, khi đó2
i
cũng là phần
tử sinh khi và chỉ khi gdc(i,12)=1 nghĩa là i=1, 5, 7.
Vậy 2, 6, 11 là các phần tử sinh của Z*
13
7
Tính lũy thừa theo module

Áp dụng định lý Euler (a
ø(n)

= 1 (mod n) - với mọi a,
n trong đó gcd(a,n)=1) để tính lũy thừa theo module:

Ví dụ : Tính 7
222
(mod 10)
Ta có 7 và 10 là 2 số nguyên tố cùng nhau.
Và φ(10) = 4. =>Do đó7
4
≡ 1 mod 10.
Phân tích: 7
222
= 7
4.45+2
≡ 7
2
= 49 ≡ 9 (mod 10)