Ung dung so phuc

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG GIẢI TOÁN VẬT LÍ 2. Phần thứ 2: Nội dung 2.1 Cơ sở lí thuyết. y. * Khái niệm về số phức + Số phức có dạng:. x̄ = a + bi. Trong đó a là phần thực, b là phần ảo + Biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức. a r= √ a2+ b2 , tan ϕ= b. b. r. + Dạng lượng giác của số phức. Theo công thức Ơle cos + isin = . e. . 0. ¿ a=r cos ϕ x̄ = a + bi = r(cos + i.sin) b=r sin ϕ ¿{ ¿. a. iϕ. x̄=a+ bi=r (cos ϕ+i sin ϕ)=reiϕ. y * Biểu diễn một hàm điều hoà dưới dạng số phức. ⃗ Ax. Hàm điều hoà: x = Acos(t +) biểu diễn dưới dạng véc tơ quay tại thời điểm t = 0:. b. ¿ ⃗ A a=A cos ϕ |⃗A|=A ta thấy b= A sin ϕ ϕ=( ⃗ A ,0 x ) ¿{ ¿{ ¿.  0. Vậy t = 0 hàm điều hoà có thể biểu diễn bằng số phức x = Acos(t + ). ⃗ t =0. với a = Acos, b = Asin ,. x̄=a+ bi= A (cos ϕ+i sin ϕ)= A . eiϕ tan ϕ=. b , a. A= √ a2+ b2. 2.2 Nội dung cụ thể 2.2.1 Ứng dụng số phức trong dao động điều hoà 2.2.1.1 Viết phương trình dao động điều hoà. a. x.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ¿ x= A cos (ωt +ϕ) v =− Aω sin(ωt +ϕ) ⃗ t=0 ¿ x 0 =A cos ϕ v 0 =− Aω sin ϕ Ta có pt dđđh: ⇒ ¿ a=x 0 v0 b=− ω ¿{ ¿ ⃗ t =0 x̄=a+ bi , a=x 0 Vậy x = Acos(t +  ) v b=− 0 ω ¿{ + Thao tác trên máy tính (VD: trên máy fx570es) - Shift/Mode/4 để chuyển hệ sang đo góc bằng rad - Mode/2 để chuyển hệ sang CMPLX - Để hiển thị biên độ và pha ban đầu Shift/2/3 máy hiện. A ∠ϕ. + Ví dụ 1: Treo một con lắc lò xo thẳng đứng tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10 = 2 m/s2, tại vị trí cân bằng lò xo dãn 1 cm. Ban đầu người ta kéo vật xuống dưới sao cho lò xo dãn 5 cm rồi truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s hướng lên trên. Chọn gốc toạ độ tại VTCB, chiều dương hướng xuống dưới, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật. Viết phương trình dao động. Giải: -. ω=. k g π2 = = =10 π m Δl0 0 ,01. √ √ √. - Vì x0 = 4 cm , v0 = - 40 cm/s nên a = 4 , - Ta ấn máy 4 + 4i Shift/2/3 máy hiển thị . (. x=4 √ 2 cos 10 πt +. π 4. ). (rad/s). b=−. v0 =4 ω. 1 4 √2 ∠ π 4. cm. + Ví dụ 2: Một vật m gắn vào một đầu của một lò xo nhẹ dao động với chu kì 1 s. Người ta kích thích dao động bằng cách kéo vật m khỏi VTCB ngược chiều dương một đoạn 3 cm rồi thả nhẹ. Chọn gốc toạ độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc thả vật. Viết phương trình dao động.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Giải: -. ω=. 2π =2 π T. rad. - ta có x0 = - 3 cm, v0 = 0. →3 ∠ π ⇒ x=3 cos( 2 πt+π ) cm. - Ấn máy -3 Shift/2/3. + Ví dụ 3: Cho một con lắc lò xo vật nhỏ có khối lượng m = 250 g, độ cứng K = 25 N/m. Từ vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s theo chiều dương. Viết phương trình dao động của vật chọn gốc toạ độ ở VTCB, gốc thời gian là lúc truyền vận tốc cho vật.. Giải: -. ω=. k 25 = =10 rad/s m 0. 25. √ √. - Ta có x0 = 0, v0 = 40 cm/s . b=−. - Ấn máy: -4i Shift/2/3 Máy hiển thị. b =− 4 ω 4∠−. π π ⇒ x=4 cos(10 t − ) cm 2 2. 2.2.1.2 Tìm điều kiện kích thích ban đầu + Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 4cos(4t- ) cm. Tìm điều kiện kích thích ban đầu Giải: Để nhập. x0 −. 4 ∠− π ấn 4/Shift/(-)/-/= Máy hiển thị -4 bây giờ so sánh. v0 i  x0 = -4, v0 = 0 ω. -Ta có kết luận ban đầu kéo vật tới vị trí có li độ -4 cm rồi thả nhẹ. + Ví dụ 2: Một vật dao động điều hoà với phương trình. π x=4 cos(10 t + ) cm. Tìm điều kiện kích thích ban 2. đầu. Giải: Để nhập. 4∠. π 2. ấn 4/Shift/(-)/. π /= Máy hiển thị 4i bây giờ so sánh 2. x0 −. v0 i  x0 = 0, v0 = -4. ω. = - 40 cm/s Vậy ta có kết luận ban đầu tại vị trí cân bằng người ta truyền cho vật một vận tốc 40 cm/s theo chiều âm.. + Ví dụ 3: Một vật dao động điều hoà với phương trình ban đầu. π x=4 √ 2 cos (πt − ) cm. Tìm điều kiện kích thích 4.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Giải: Để nhập. 4 √2 ∠−. π 4. ấn. 4 √2 /Shift/(-)/-. π /= Máy hiển thị 4- 4i bây giờ so sánh 4. x0 −. v0 i  ω. x0 = 4, v0 = 4. = 4 cm/s Vậy ta có kết luận ban người ta kéo vật tới li độ 4 cm rồi truyền cho vật một vận tốc 4 cm/s theo chiều dương. 2.2.1.3 Tổng hợp dao động điều hoà Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hoà cùng phương cùng tân số với phương trình. π x 1=cos( 2 πt+ π )(cm), x 2= √ 3 cos (2 πt − )(cm) . Viết phương trình dao động tổng hợp 2. Giải: Để nhập. 1∠ π + √ 3 ∠ −. Ta ấn = máy hiển thị. π 2. ¿− ¿/− ta ấn máy 1/shift/(-)/ /+/. π 2. ¿ √ 3/shift / ¿. 2 −1 − √ 3 i ấn shift/2/3 máy hiên thị 2∠− π 3. Vậy phương trình dao động tổng hợp là:. x=2 cos(2 πt −. 2π ) (cm) 3. Ví dụ 2: Một vật thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương cùng tần số với phương trình:. π x 1=4 cos( πt − ) cm, 2. π x 2=6 cos (πt + ) cm, 2. x 3=2 cos(πt) , cm. Viết phương trình dao động tổng. hợp. Giải:. π π π x=4 ∠− +6 ∠ +2 ∠ 0=2+2 i ta ấn shift/2/3 máy hiển thị 2 √ 2 ∠ 2 2 4. Vậy phương trình dao động tổng hợp:. π x=2 √2 cos (πt+ ) cm 4. Ví dụ 3: Tìm dao động tổng hợp của bốn dao động cùng phương sau:. π π x 1=10 cos(20 πt − )(cm) , x 2=6 √3 cos (20 πt − )(cm) 6 2 π 5π x 3=4 √ 3 cos(20 πt+ )(cm), x 4 =8 cos (20 πt + )(cm) 3 6. Giải:. x 1=10∠−. π π π 5π +6 √ 3∠ − +4 √3 ∠ +8 ∠ =3 √ 3+(5 − 6 √3)i 6 2 3 6.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 7 , 49 ∠ −0,8. Ấn Shift/2/3 máy hiển thị Vậy phương trình dao động tổng hợp là:. x=7 , 49 cos (20 πt − 0 . 8)(cm). Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số với phương trình. π x 1=a cos (πt + )(cm) và x2. Biết phương trình dao động tổng hợp 2. π x=2 a cos( πt + )( cm) Xác định 6. dao động thành phần x2. Giải: x2 = x – x1 =. 2∠. π π −1 ∠ = √ 3 Vậy 6 2. x 2=a √ 3 cos( πt). Ví dụ 5: Hai chất điểm M1, M2 chuyển động trên hai đường thẳng song song rất gần nhau (coi như trùng nhau và trùng với trục Ox) có phương trình lần lượt là. π x 1=3 cos(2 πt − )(cm) , x 2=3 √ 3 cos(2 πt)(cm). Xác định 2. khoảng cách lớn nhất giữa hai chất điểm trong quá trình dao động.. Giải:. M 1 M 2=| Δx|=| x2 − x 1| mà. π π Δx =3 √3 ∠0 −3 ∠− =6 ∠ 2 6. vậy. π M 1 M 2= 6 cos (2 πt + ) 6. |. |. (cm)  khoảng cách lớn nhất bằng 6 cm 2.2.2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG DÒNG ĐIỆN XOAY CHIỀU - Cơ sở lí thuyết: Với dòng điện xoay chiều nếu xét giá trị tức thời thì tại một điểm nào đó dòng điện chỉ chạy theo một chiều do đó có thể áp dụng các công thức dòng điện một chiều cho giá trị tức thời + Vd: đoạn mạch RLC nối tiếp thì -. i = iR = iL = iC. -. u = uR + uC + uL. -. Z̄. = R + (ZL – ZC)i (i ở đây là phần ảo vì Z L,ZC. y UL. nằm trên trục ảo, còn R nằm trên trục số thực) + Vd: đoạn mạch song song (chúng ta không xét ở đây). U. ULC. 2.2.2.1 Bài toán cộng điện áp trong đoạn mạch xoay chiều: Ví dụ 1: Cho đoạn mạch AM chứa R,C mắc nối tiếp với đoạn. . mạch MB chứa cuộn dây không thuần cảm. Biết biểu thức. π uAM =100 √ 2 cos(100 πt − )(V ) , 3. UC. UR. x.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> π uMB=100 √2 cos(100 πt+ )(V ) . Viết biểu thức hai đầu đoạn mạch 6. Giải: Vì AM nối tiếp MB  u = uAM + uMB =. u=200 ∠ −. π 12. π π 100 √2 ∠ − +100 √ 2∠ 3 6. Vậy biểu thức hai đầu đoạn mạch:. u=200 cos (100 πt −. π ) (V) 12. Ví dụ 2: Đặt vào hai đầu đoạn mạch xoay chiều chứa một điện trở thuần và một cuộn cảm thuần một điện áp. π u=100 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) , khi đó điện áp hai đầu điện trở thuần có biểu thức 4 u R=100 cos (100 πt)(V ) . Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn thuần cảm.. Giải:. u L=u − uR =100 √2 ∠. π π −100 ∠ 0=100 ∠ 4 2. Vậy biểu thức hai đầu cuộn cảm là:. π u L=100 cos (100 πt + )(V ) 2 Ví dụ 3: Đặt vào hai đầu đoạn mạch chứa hai phần tử R,C một điện áp có biểu thức. π u=100 √ 2 cos(100 πt − )(V ) , biết biểu thức hai đầu điện trở u R=100 cos 100 πt . Viết biểu thức điện 4 áp hai đầu tụ điện. Giải:. uC =u − uR =100 √ 2 ∠−. π π −100 ∠0=100∠− 4 2. Vậy biểu thức hai đầu tụ điện là:. π uC =100 cos (100 πt − ) 2 2.2.2.2 Tìm biểu thức u,i trong mạch điện xoay chiều. Ví dụ 1: Mạch điện xoay chiều gồm điện trở thuần R = 50 , cuộn dây thuần cảm có hệ số tự cảm. , tụ điện có điện dung. C=. 2 . 10−4 ( F ) . Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp π. π u=220 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) 4 1. Viết biểu thức cường độ dòng điện hai đâu đoạn mạch. 1 L= ( H ) π.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> 2. Viết biểu thức điện áp hai đầu cuộn cảm 3. Viết biểu thức điện áp RC. 1 1 ZC = = =50( Ω) 1 −4 ωC Giải: 1. - Z L= Lω= .100 π=100 (Ω) , 2. 10 π 100 π . π -. π u u 4 i= = = =4,4 Z̄ R +( Z L − Z C )i 50+(100− 50) i 220 √2 ∠. Vậy biểu thức cường độ dòng điện: i = 4,4cos(100t) 2.. u L= Z̄ L . i=(100i). i=(100i). 4 . 4=440 i shift/2/3 máy tính hiển thị 440 ∠. hai đầu cuộn cảm 3.. π . Vậy biểu thức điện áp 2. π u L=440 cos(100 πt+ ) (V) 2. uRC= Z̄ RC . i=(50− 50i). 4 . 4=220 −220 i ấn Shift2/3 máy hiển thị 220 √ 2 ∠−. π 4. Vậy biểu thức là:. π uRC=220 √ 2 cos(100 πt − )(V ) 4 Ví dụ 2: Khi đặt hiệu điện thế không đổi 30 V vào hai đầu đoạn mạch gồm điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm điện áp. Giải:. L=. 1 ( H ) thì cường độ dòng điện là 1 (A). Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch 4π. u=150 √ 2 cos(120 πt)(V ) thì biểu thức cường độ dòng điện trong mạch được xác định như thế nào?. R=. U 1 =30( Ω) , Z L= L. ω= . 120 π =30(Ω) I 4π u 150 √ 2∠ 0 π i= = =5 ∠ − Z̄ 30+30 i 4. Vậy bt:. π i=5 cos (120 πt − )( A) 4 Ví dụ 3: Một đoạn mạch gồm cuộn dây thuần cảm có cảm kháng bằng 10 () mắc nối tiếp với tụ điện có dung kháng là 50 (), biết biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là thức điện áp hai đầu đoạn mạch. π i=2 √ 2 cos (100 πt + )(A ) . Viết biểu 3.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Giải:. là:. π u=i . Z̄=(2 √ 2 ∠ ).(10 −50) i=40 √ 6 − 40 √ 2 i 3. Ấn shift/2/3 máy hiện thị. 80 √ 2∠ −. π 6. Vậy bt. π u=80 √2 cos(100 πt − )(V ) 6. 2.2.2.3 Bài toán hộp đen Ví dụ 1: Một hộp đen chứa hai trong ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều. π u=100 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) thì cường độ dòng điện qua hộp đen là i = 2cos(100t)(A). Đoạn 4. mạch chứa phần tử nào? Giá trị của các đại lượng đó.. Giải:. u Z̄ = = i. 100 √ 2 ∠. π 4. 2 ∠0. =50+50 i. Mà. Z̄ =R +(Z L − Z C )i nên hộp đen chứa R = 50  , chứa L với. ZL=50 . Ví dụ 2: Một hộp đen chứa hai trong ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều. π u=100 √ 2 cos(100 πt − )(V ) thì cường độ dòng điện qua hộp đen là i = 2cos(100t)(A). Đoạn 4. mạch chứa phần tử nào? Giá trị của các đại lượng đó.. Giải:. u Z= = i. 100 √ 2 ∠− 2 ∠0. π 4. =¿. 50 – 50i Vậy hộp đen chứa R = 50 , ZC = 50 . Ví dụ 3: Một hộp đen chứa hai trong ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp. Nếu đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều. π u=200 √ 6 cos (100 πt + )( V ) thì cường độ dòng điện qua hộp đen là 6. i=2 √ 2 cos (100 πt −. u Giải: Z̄ = = i . π ) (A). Đoạn mạch chứa phần tử nào? Giá trị của các đại lượng đó. 6. π 6 =86 , 6+150 i=50 √3+ 150i Vậy đoạn mạch chứa R = 50 √ 3 , và ZL = 150 π 2 √ 2∠ − 6. 200 √ 6 ∠.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Ví dụ 4: Cho một đoạn mạch như hình vẽ: −4. C=. 2 L= (H ) . Đặt vào hai đầu đoạn π. 10 ( F) ; π. A. M C. N. X. L. B mạch. điện áp xoay chiều uAB = 200cos(100t) (V) thì biểu thức cường độ dòng điện trong mạch là i = 4cos100t (A). X là một trong ba phần tử R0,L0,C0 mắc nối tiếp. Xác định phần tử hộp X và giá trị của nó Giải:. ZC =. 1 = ωC. 1 −4. 10 100 π . π. =100(Ω). ,. 2 Z L= Lω= .100 π=200 (Ω) π. u 200 Z̄ = = =50 −50 i i π 2 √ 2 ∠+ 4  ZNB = Z – ZAN =50 – 50i – (200-100)i = 50 – 150i Vậy X chứa R = 50 , ZC = 150  2.2.2.4 Bài toán tổng hợp Ví dụ 1: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm điện trở R 1 = 60 () mắc −3. nối tiếp với tụ điện. 10 √3 C1 = ( F) , đoạn mạch MB gồm một hộp kín X chứa hai trong ba phần tử R,L,C 6π. mắc nối tiếp. Biết. π π uAM =120 √ 6 cos (100 πt − )(V ) , uMB=120 √ 2 cos(100 πt+ )(V ) . Xác định phần tử 3 6. của hộp X và giá trị của nó. Giải:. ZC =. 1 =20 √ 3(Ω) ωC π 120 √ 6∠− uAM 3 π i= = =3 √ 2 ∠− Z̄ AM 60 −20 √ 3 i 6. u Z̄ MB = MB = i. π 6 =20+ 20 √3 i Vậy R = 20 (), π 3 √ 2∠ − 6. 120 √2 ∠. Z L=20 √ 3(Ω) Ví dụ 2: Đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB nối tiếp, đoạn mạch AM gồm R 1=90  mắc nối tiếp với.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> cuộn cảm thuần ZL1 = 90 , đoạn mạch MB chứa hai trong ba phần tử R,L,C mắc nối tiếp. Đặt vào hai đầu AB một điện áp xoay chiều có giá trị hiệu dụng không đổi thì. π uAM =180 √ 2 cos(100 πt+ )(V ); u MB=60 √ 2 cos(100 πt)(V ) . Tìm công suất tiêu thụ của đoạn mạch 2. Giải:. π 180 √ 2∠ uAM 2 π i= = =2∠ Z̄ AM 90+ 90i 4. π u=u AM + uMB=180 √ 2∠ + 60 √ 2 ∠ 0=268 , 328 ∠ 1 ,249 2 P = UIcos = 268,328cos(1,249-/4)=240 W Chú ý: với thao tác trên máy ta nhớ u vào A. Khi lấy biên độ là abs(A), lấy góc là arg(A)..

<span class='text_page_counter'>(11)</span>