Chuyen de Qui nap Cap so

<span class='text_page_counter'>(1)</span>Chuyên. : DÃY S - C P S. Chuyên Ch. : 1:. DÃY S PH. C NG- C P S. NHÂN. i s và Gi i tích 11. - C P S C NG – C P S -----------------. NHÂN. NG PHÁP QUY N P TOÁN H C. I- LÝ THUY T: ch ng minh m t m nh úng v i m i n ∈ * b ng ph ng pháp quy n p toán h c, ta th c hi n các b c sau: B c 1: Ki m tra m nh úng v i n = 1 . B c 2: Gi s m nh úng v i n = k ≥ 1 (gi thi t quy n p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k + 1 . Chú ý: Trong TH ph i ch ng minh m t m nh úng v i m i s t nhiên n ≥ p ( p là s t nhiên) thì thu t toán là: B c 1: Ki m tra m nh úng v i n = p . B c 2: Gi s m nh úng v i n = p ≥ 1 (gi thi t quy n p) B c 3: C n ch ng minh m nh úng v i n = k + 1 . II- BÀI T P MINH H A: D ng toán 1: CH NG MINH NG TH C- B T NG TH C Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ N * thì 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2. (1). Bài gi i: Ki m tra khi n = 1 : m nh (1) tr thành: 1 = 12 = 1 ( úng) Gi s m nh (1) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là: S k = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k − 1) = k 2 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh (1) úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: 2 S k +1 = 1 + 3 + 5 + ... + ( 2k − 1) + 2 2 ( k + 1) − 1 = ( k + 1) Th t v y: S k +1 = S k + 2 ( k + 1) − 1 = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) V y m nh. (1) úng v i m i n ∈. Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈. *. 2. . *. thì 2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1) =. n ( 3n + 1) 2. (2). Bài gi i: Ki m tra khi n = 1 : m nh (2) tr thành 2 = 2 ( úng) Gi s m nh (2) dúng khi n = k ≥ 1 , t c là: k (3k + 1) S k = 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k − 1) = (gi thi t quy n p) 2 C n ch ng minh m nh (2) úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: ( k + 1) 3 ( k + 1) + 1 S k +1 = 2 + 5 + 8 + ... + ( 3k − 1) + 3 ( k + 1) − 1 = 2 k ( 3k + 1) 3k 2 + 7 k + 4 Th t v y: S k +1 = S k + 3 ( k + 1) − 1 = + 3 ( k + 1) − 1 = 2 2. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 4 3 ( k + 1) k + ( k + 1) 3 ( k + 1) + 1 3 = = 2 2 * V y m nh (1) úng v i m i n ∈ . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 2 thì: 3n > 3n + 1 Bài gi i: Ki m tra v i n = 2 : 9 > 7 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ( k ≥ 2 ) , t c là: 3k > 3k + 1 Ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh b t ng th c: 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 Th t v y: 3k > 3k + 1 ⇔ 3k +1 > 9k + 3 ⇔ 3k +1 > 3k + 3 + 6k + 1 − 1 ⇔ 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 + 6k − 1 V i k ≥ 2 , khi ó 6k − 1 > 0 nên: 3k +1 > 3 ( k + 1) + 1 . V y 3n > 3n + 1 v i m i n ≥ 2, n ∈ N * .. Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n ≥ 3 ta có: 3n > n 2 + 4n + 5 Bài gi i: Ki m tra v i n = 3 : 27 > 26 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ 3 , ngh a là: 3k > k 2 + 4k + 5 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: 2 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5 Th t v y: 3k > k 2 + 4k + 5 ⇔ 3k +1 > 3k 2 + 12k + 15 ⇔ 3k +1 > ( k 2 + 2k + 1) + ( 4k + 4 ) + 2k 2 + 6k + 5 + 5 2. ⇔ 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5 + 2k 2 + 6k + 5 2. V i k ≥ 3 , khi ó 2k 2 + 6k + 5 nên: 3k +1 > ( k + 1) + 4 ( k + 1) + 5 V y: 3n > n 2 + 4n + 5 v i n ≥ 3. Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d. ng n ta có:. n. >. n. + n. Bài gi i: d) n > n + n Ta th v i n = 1: 3 > 2 + 7 (Sai), n = 2 : 9 > 4 + 14 (Sai), n = 3 : 27 > 8 + 21 (Sai) n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng), n = 5 : 243 > 32 + 35 ( úng) D oán: n > n + n ∀n ≥ . Ch ng minh b ng qui n p toán h c. Ki m tra v i n = 4 : 81 > 16 + 28 ( úng) Gi s b t ng th c úng v i n = k ≥ 4 , ngh a là: k > k + k (gi thi t quy n p) C n ch ng minh b t ng th c úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: k+ > k+ + (k + ) Th t v y: 3k > 2k + 7 k ⇔ 3k +1 > 3 ( 2k + 7 k ) = 3.2k + 21k Xét 3.2k + 21k > 2k +1 + 7 ( k + 1) ⇔ 2k + 14k − 7 > 0 ∀k ≥ 4 (2). Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S T (1) và (2) suy ra: k + > k + + ( k + ) V y:. n. >. n. NHÂN. i s và Gi i tích 11. + n ∀n ≥. Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n > 1 , ta có:. 1 1 1 13 (1) + + ... + > n +1 n + 2 2n 24. Bài gi i: 1 1 7 13 + = > ( úng) 3 4 12 24 1 1 1 13 Gi s (1) úng v i n = k > 1 , t c là: S k = + + ... + > (gi thi t quy n p) k +1 k + 2 2k 24 C n c/m (1) úng v i n = k + 1 , t c là c n c/m: 1 1 1 1 1 13 S k +1 = + + ... + + + > k +2 k +3 2k 2k + 1 2 ( k + 1) 24. Ki m tra (1) v i n = 2 :. Th t v y: S k +1 =. 1 1 1 1 1 + + ... + + + 2k 2k + 1 2 ( k + 1) k +2 k +3. 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + − k +1 k + 2 k + 3 2k 2k + 1 2k + 2 k + 1 1 1 1 13 1 1 1 = Sk + + − > + + − 2k + 1 2k + 2 k + 1 24 2k + 1 2k + 2 k + 1 13 2 ( k + 1) + 2k + 1 − 2 ( 2k + 1) > + 24 2 ( k + 1)( 2k + 1). =. >. 13 1 13 + > 24 2 ( k + 1)( 2k + 1) 24. ( k > 1) .. 1 1 1 13 + + ... + > úng v i m i n > 1. n +1 n + 2 2n 24 D ng toán 2: BÀI TOÁN CHIA H T. V y. Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Bài gi i: t An = n3 − n Ki m tra v i n = 1 , A1 = 0 3 ( úng). *. thì n3 − n chia h t cho 3.. Gi s m nh An úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = k 3 − k 3 (gi thi t quy n p) C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh m nh : 3 Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) 3 3. Th t v y: Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k 3 + 3k 2 + 3k + 1 − k − 1 = ( k 3 − k ) + 3 ( k 2 + k ) = Ak + 3 ( k 2 + k ) 3 V y n3 − n 3 v i m i n ∈ * . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Bài gi i:. *. thì n 7 − n chia h t cho 7.. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S t An = n 7 − n B1: Ki m tra v i n = 1: A1 = 0 7 ( úng). NHÂN. i s và Gi i tích 11. B2: Gi s m nh Ak úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = k 7 − k 7 (gi thi t quy n p) B3: C n ch ng minh m nh An úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh m nh : 7. Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) 7 Th t v y: 7 Ak +1 = ( k + 1) − ( k + 1) = k 7 + 7 k 6 + 21k 5 + 35k 4 + 21k 3 + 21k 2 + 7 k + 1 − k − 1 = ( k 7 − k ) + 7 ( k 6 + 3k 5 + 5k 4 + 5k 3 + 3k 2 + k ) 7 V y n7 − n 7 v i m i n ∈ * . Bài t p 5: Ch ng minh r ng v i n ∈ Bài gi i: t An = 7 n − 1 Ki m tra v i n = 1: A1 = 6 6 ( úng) Gi s m nh. *. thì 7 n − 1 chia h t cho 6.. Ak úng khi n = k ≥ 1 , t c là: Ak = 7 k − 1 6 (gi thi t quy n p). C n ch ng minh m nh. An úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: Ak +1 = 7 k +1 − 1 6. Th t v y: Ak +1 = 7 k +1 − 1 = 7 ( 7 k − 1) + 6 6 V y 7n − 1 6 v i m i n ∈. *. .. M TS. BÀI TOÁN. 1 1 1 1 + + + ... + 1.3 3.5 5.7 ( 2n − 1)( 2n + 1) a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 . b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph. Bài t p 5: Cho t ng S n =. ng pháp quy n p.. Bài gi i: 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 4 a) S1 = = , S2 = + = , S3 = + = , S4 = + = . 1.3 3 3 3.5 5 5 5.7 7 7 7.9 9 n b) T k t qu câu a) ta d oán: S n = (1) . Ta ch ng minh công th c (1) b ng ph ng 2n + 1 pháp quy n p. 1 Ki m tra v i n = 1: S1 = ( úng) 3 k Gi s bi u th c (1) úng v i n = k ≥ 1 , t c là: S k = 2k + 1 k +1 C n ch ng minh bi u th c (1) úng v i n = k + 1, t c là c n ch ng minh: S k +1 = 2 ( k + 1) + 1 Th t v y: S k +1 = S k +. 1 2 ( k + 1) − 1 2 ( k + 1) + 1. = Sk +. 1. ( 2k + 1)( 2k + 3). Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 2 ( k + 1)( 2k + 1) 1 2k + 3k + 1 k = + = = 2k + 1 ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3) ( 2k + 1)( 2k + 3) =. k +1 2 ( k + 1) + 1. n ∀n ∈ * ) . ( 2n + 1 Bài t p 5: Gi s x1 , x2 ,...xn ∈ R + và x1.x2 ....xn = 1 . Ch ng minh x1 + x2 + ... + xn ≥ n V y Sn =. Bài gi i: V i n = 1: x1 = 1 . M nh úng . úng v i n = k ( k ≥ 1) Gi s m nh ⇔ x1 + x2 + x3 + .... + xk ≥ k ∨ x1 x2 x3 ..xk = 1 (*) N u v i m i xk = 1 thì hi n nhiên : x1 + x2 + .. + xk + xk +1 ≥ k + 1 . N u trong k + 1 s có ít nh t m t s l n h n 1, thì t ph i có s nh h n 1. Không gi m tính t ng quát , gi s xk > 1 và xk +1 < 1 , khi ó ta có: (1 − xk +1 )( xk − 1) > 0 ⇔ xk + xk +1 > 1 + xk xk +1 (1) Do ó: x1 + x2 + ... + xk + xk +1 > x1 + x2 + ... + xk −1 + xk xk +1 + 1 ( 2 ) Theo gi thi t quy n p , ta suy ra t k s v ph i: x1 + x2 + ... + xk −1 + ( xk xk +1 ) ≥ k ( 3) T (2) và (3) suy ra : x1 + x2 + ... + xk + xk +1 > k + 1 . an + bn a+b Bài t p 5: Ch ng minh : ≥ 2 2 Bài gi i: V i n = 1 . M nh úng Gi s m nh. n. v i : a ≥ 0, b ≥ 0, n ∈. a k + bk a+b úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔ ≥ 2 2. *. k. (1). k +1. a k +1 + b k +1 a+b Ta ph i ch ng minh : ≥ 2 2 a+b Th t v y, ta nhân hai v c a (1) v i , ta có : 2 a k + bk a + b a+b ⇔ . ≥ 2 2 2. k. a+b a+b . = 2 2. a k +1 + a k b + ab k + b k +1 a+b ⇔ ≥ 4 2. k +1. k +1. ( 2). Nh ng v i a > 0, b > 0 thì : ( a k − b k ) ( a − b ) ≥ 0 ⇔ a k +1 + b k +1 ≥ a k b + ab k a k +1 + a k b + ab k + b k +1 a k +1 + b k +1 Suy ra: ≤ 4 2 So sánh (2) và (3) ta c i u ph i ch ng minh .. ( 3). Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S. C NG- C P S. NHÂN. i s và Gi i tích 11. n. Bài t p 1: Cho s th c a > −1 . Ch ng minh r ng: (1 + a ) ≥ 1 + na ( ∀n ∈. *. ). Bài gi i: 1 V i n = 1: (1 + a ) ≥ 1 + a ( úng) Gi s m nh. k. úng v i n = k ( k ≥ 1) : ⇔ (1 + a ) ≥ 1 + ka. (1). Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: (1 + a ) k. Th t v y, ta có: (1 + a ) ≥ 1 + ka ⇔ (1 + a ) n. V y (1 + a ) ≥ 1 + na ( ∀n ∈. *. )(. k +1. k +1. ≥ 1 + ( k + 1) a. ≥ (1 + a )(1 + ka ) = 1 + ( k + 1) a + ka 2 ≥ 1 + ( k + 1) a. .p.c.m). Bài t p 1: Cho n s th c x1 , x2 , x3 ,..., xn ∈ ( 0;1) . Ch ng minh r ng ( ∀n ≥ 2 ) :. (1 − x1 )(1 − x2 ) ...(1 − xn ) > 1 − x1 − x2 − ... − xn Bài gi i: V i n = 2 : (1 − x1 )(1 − x2 ) = 1 − x1 − x2 + x1 x2 > 1 − x1 − x2 ( úng) Gi s m nh úng v i n = k ( k ≥ 2 ) : ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk ) > 1 − x1 − x2 − ... − xk (1) Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk )(1 − xk +1 ) > 1 − x1 − x2 − ... − xk − xk +1 Th t v y, ta có: (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk ) > 1 − x1 − x2 − ... − xk ⇔ (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xk )(1 − xk +1 ) > (1 − x1 − x2 − ... − xk )(1 − xk +1 ) = (1 − x1 − x2 − ... − xk ) − xk +1 (1 − x1 − x2 − ... − xk ) = 1 − x1 − x2 − ... − xk +1 + ( x1 xk +1 + x2 xk +1 + ... + xk xk +1 ) > 1 − x1 − x2 − ... − xk +1 V y (1 − x1 )(1 − x2 ) ... (1 − xn ) > 1 − x1 − x2 − ... − xn ( ∀n ≥ 2 ) ( .p.c.m). Bài t p 1: Xác. ( un ) :. nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau:. u1 =. u1 = −1. ( un ) :. un +1 = 2un + 1 ( n ≥ 1). 5 4. un +1 =. un + 1 ( n ≥ 1) 2. Bài gi i: a) ( un ) :. u1 = −1 un +1 = 2un + 1 ( n ≥ 1). . Ta có: u2 = −1, u3 = −1, u4 = −1 . D. oán: un = −1 ( ∀n ≥ 1) .. Ch ng minh b ng qui n p toán h c. V i n = 1: u1 = −1 ( úng) Gi s m nh úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = −1 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: uk +1 = −1 Th t v y, ta có: uk +1 = 2uk + 1 = 2. ( −1) + 1 = −1 V y un = −1 ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t). Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 5 u1 = 4 b) ( un ) : . un + 1 un+1 = ( n ≥ 1) 2 9 23 + 1 24 + 1 33 25 + 1 2n+1 + 1 = 5 ,... . D oán: un = n +1 ( ∀n ≥ 1) . Ta có: u2 = = 3 , u3 = 4 , u4 = 8 2 2 32 2 2 Ch ng minh b ng qui n p toán h c. 5 V i n = 1: u1 = ( úng) 4 2k +1 + 1 Gi s m nh úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = k +1 2 2k + 2 + 1 Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: uk +1 = k + 2 2 k +1 k +2 u +1 2 +1 1 2 +1 = + 1 . = k +2 Th t v y, ta có: uk +1 = k k +1 2 2 2 2 2n +1 + 1 ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t) 2n +1 Bài t p 1: Xác nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau:. V y un =. un = 2 + 2 + 2 + ... + 2. ( n ≥ 1). n. Bài gi i: Ta có: u1 = 2 = 2cos , u2 = 2 + 2 = 2 + 2cos = 2 1 + cos = 2 2cos 2 = 2cos . 4 4 4 8 8. ( ∀n ≥ 1) . 2n+1 Ch ng minh b ng qui n p toán h c.. D. oán: un = 2cos. V i n = 1: u1 = 2cos Gi s m nh. 4. = 2 ( úng). úng v i n = k ( k ≥ 1) : uk = 2cos. 2k +1. Ta c n ch ng minh B T úng v i n = k + 1 , t c là c n ch ng minh: uk +1 = 2cos. 2k + 2. Th t v y, ta có: uk +1 = 2 + 2 + 2 + ... + 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 +1. = 2 + uk = 2 + 2cos V y un = 2cos. 2n+1. 2. k +1. = 2 2cos 2. 2k +1. = 2cos. 2k + 2. ( ∀n ≥ 1) . (y.c.b.t). Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN III- BÀI T P T LUY N: Bài t p 1: Ch ng minh r ng v i n ∈ * , ta có các ng th c: 1 1 1 1 2n − 1 1) + + + ... + n = n 2 4 8 2 2. 5) 1.4 + 2.7 + 3.10... + n ( 3n + 1) = n ( n + 1). 9). 1 4. 1−. 1 9. 1−. 2. 2) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = 2. 2. 2. n ( 4n 2 − 1). 3 n ( 3n − 1) 4) 1 + 4 + 7 + ... + ( 3n − 2 ) = 2 6) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n 2. 3) 1.2 + 2.5 + ... + n ( 3n − 1) = n 2 ( n + 1). 7) 1 −. i s và Gi i tích 11. 2. 1 1 n+2 ... 1 − = 2 16 2 ( n + 1) ( n + 1). 8) 1 + 3 + 9 + ... + 3n−1 =. 3n − 1 2. 1 1 1 1 n + + + ... + = 1.4 4.7 7.10 ( 3n − 2 )( 3n + 1) 3n + 1. 10) 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n ( n + 1) =. n ( n + 1)( n + 2 ) . 3. Bài t p 2: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N*: n 2 ( n + 1) 2) 1 + 2 + 3 + + n = 4 2 4) 1 + 3 + 5 + ... + ( 2n − 1) = n. n(n + 1) 1) 1 + 2 + 3 + ... + n = 2 3) 2 + 4 + 6 + + 2n = n ( n + 1). 5). 1 1 + + 1.2 2.3. +. 3. 1 n = n ( n + 1) n + 1. 6). 3. 3. 2. 3. 1 1 1 + + + 3 32 33. +. 1 1 3n − 1 = . 3n 2 3n. n+ 1 2 n 3 2n + 3 − n 8) + + + ... + = + 2 + ... + n = − n 3 3 3 4 4.3 n ( 3n − 1) n ( 3n + 1) 9) 1 + 4 + 7 + + ( 3n − 2 ) = 10) 2 + 5 + 8 + ... + ( 3n − 1) = 2 2 n ( n + 1)( 2n + 1) 2n(n + 1)(2n + 1) 11) 12 + 22 + 32 + + n 2 = 12) 22 + 42 + 62 + + (2n) 2 = 6 3 Bài t p 3: Ch ng minh r ng: V i m i n ∈ N * : n− n n ≥ n + ∀n ≥ > n ∀n ≥ nn ≥ ( n + ) ∀n ≥. 7). n. > n + n + ∀n ≥. sin. n. + cos. n. ≤ ∀n ≥. n! > n−. n−. n+. ∀n ≥. > n(n +. o các c nh là a, b, c thì v i. ng n , ta có:. n+. >n + n. n. > n+. n. > n + n+. n. >. Bài t p 6: Ch ng minh r ng s. ∀n >. ∀n ≥. ). Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u ∆ABC vuông t i A, có s m i s t nhiên n ≥ , ta có b t ng th c : b n + c n ≤ a n . Bài t p 5: V i giá tr nào c a s nguyên d. > n+. n. + n n ( n − 3) . 2 THPT Phong i n- Hu. !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh là. Giáo viên: Lê Bá B

<span class='text_page_counter'>(9)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 1 1 1 1 + + + + Bài t p 7: Cho t ng S n = , v i n ∈ N *. 1.2 2.3 3.4 n ( n + 1) a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 . b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p. 1 1 1 1 Bài t p 8: Cho t ng S n = + + + + , v i n ∈ *. 1.5 5.9 9.13 ( 4n − 3)( 4n + 1) a) Tính S1 , S 2 , S3 , S 4 . b) Hãy d oán công th c tính S n và ch ng minh b ng ph ng pháp quy n p. Bài t p 9: Cho n s th c a , a , a ,..., an th a − < ai ≤. (i = , n) .. Ch ng minh r ng: ∀n ∈ * ta có: ( + a )( + a ) ...( + an ) ≥ + a + a + ... + an. Bi t p 10: Ch ng minh r ng v i các s th c a , a , a ,..., an ( ∀n ∈ * ), ta có: a + a + ... + an ≤ a + a + ... + an. Bài t p 11: Ch ng minh r ng ∀n ∈ N * : n −n n + n n. +. n− n+. + +. n−. n. n+. n −n n−. +. n+. n + n. +. n − n +n. n+. Bài t p 13: Cmr s. ( un ) : ( un ) :. .. n−. +. n−. ng n ta có: n. >n + n. −. n +. Bài t p 12: V i giá tr nào c a s nguyên d. Bài t p 14: Xác. n. n. > n+. n. >n + n+. !ng chéo c a m t a giác l"i n c nh ( n ≥ 4 ) là. n ( n − 3) . 2. nh công th c t ng quát un c a các dãy ( un ) sau: u1 = 1. u1 = 1. ( un ) :. un +1 = un + 5 ( n ≥ 1) u1 = −1, u2 = 3 un+ 2 = 5un+1 − 6un− 2 ( n ≥ 3). ( un ) :. u un +1 = n ( n ≥ 1) un + 1. ( un ) :. u1 = 1 un +1 = 5un ( n ≥ 1). u1 = 1 un +1 = un + 5 ( n ≥ 1). áp s : u n = 5n − 4. un =. 1 n. un = 5n−1. un = 5.3n − 6.2n. Giáo viên: Lê Bá B un = ( n + 2 ) .2n−1. THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Chuyên. Ch. : DÃY S - C P S. C NG- C P S. NHÂN. i s và Gi i tích 11. DÃY S. 2:. I- LÝ THUY T: 1. nh ngh a dãy s : M#i hàm s u xác vô h n. Kí hi u: u : * → R n u (n). nh trên t p s t nhiên. *. c g i là m t dãy s. Ng !i ta th !ng vi t dãy s d i d ng khai tri n ( un ) : u1 , u2 , u3 ,..., un ,..., . Trong ó: u1 : là s h ng u un : là s h ng th n (s h ng t ng quát). Ví d : a) Dãy các s t nhiên l$ 1, 3, 5, 7,… có s h ng u u1 = 1 , s h ng t ng quát un = 2n − 1 b) Dãy các s chính ph ng 1, 4, 9, 16,… có s h ng u u1 = 1 , s h ng t ng quát un = n 2 .. 2.. nh ngh a dãy s h u h n: M#i hàm s u xác nh trên t p M = {1; 2;3,...; m} v i m ∈ * c g i là m t dãy s h%u h n. 3. Cách cho m t dãy s : a. Dãy s cho b ng công th c c a s h ng t ng quát: Ví d : Cho dãy ( un ) xác nh b i công th c un = 3n + 1 . T công th c s h ng t ng quát ta có th xác nh c m t s h ng b t kì c a dãy s . Ch ng h n: u1 = 4, u5 = 16 . N u vi t dãy s d i d ng khai tri n ta c ( un ) : 4, 7, 10,…, 3n + 1 , … b. Dãy s cho b ng ph ng pháp mô t : Ví d : Cho dãy ( un ) là các s nguyên t bé h n 100. c. Dãy s cho b ng ph ng pháp truy h i: • B1: Cho m t vài s h ng u • B2: Bi u th s h ng th n qua m t vài s h ng ng tr c nó. u1 = u2 = 1 Ví d : Cho dãy s ( un ) bi t: , n ≥ 3 . Dãy s phi-bô-na-xi. un = un−1 + un −2 4. Dãy s t ng, dãy s gi m: a. nh ngh a: + Dãy s ( un ) c g i là dãy s t&ng n u + > v i m i n∈ *. + Dãy s ( un ) c g i là dãy s gi m n u + < v i m i n∈ b. Ph ng pháp kh o sát tính t ng gi m c a dãy s : ch ng minh dãy s ( un ) t ng, gi m ta gi i quy t nh sau :. Cách 1: L p hi u. =. +. *. .. −. +N u. =. +. −. >. ∀ ∈. thì dãy s. ( un ). là dãy s t&ng.. +N u. =. +. −. <. ∀ ∈. thì dãy s. ( un ). là dãy s gi m.. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S. C NG- C P S. Cách 2: N u các s h ng trong dãy. +N u. =. +N u. =. +. +. ud. NHÂN. i s và Gi i tích 11. ng thì ta có th l p t s. >. ∀ ∈. thì dãy s. ( un ) là dãy s. t&ng.. <. ∀ ∈. thì dãy s. ( un ) là dãy s. gi m.. +. =. 2) Dãy s b ch n : + Dãy s. ( un ). c g i là b ch n trên n u t"n t i m t s M sao cho :. ≤. + Dãy s. ( un ). c g i là b ch n d. i n u t"n t i m t s m sao cho:. ≥. + Dãy s. ( un ). c g i là b ch n n u nó v a b ch n trên v a b ch n d. các s M , m sao cho : ≤ ≤ ∀ ∈ ∗ II- BÀI T P MINH H A: Bài t p: Vi t 5 s h ng u c a các dãy s có s h ng t ng quát un. n a) un = n 2 −1. 2n − 1 b) un = n 2 +1. 2n + 5 e) un = 2 n +1. n f) un = 2n + 1 2n n −1 j) un = n −1 n +1. 3n i) un = 2n − 1. 1 c) un = 1 + n g) un n. k) ( un ) : n. ∀ ∈. c cho b i công th c:. n. d) un =. n2 + 1. n. 2. ∗. i, t c là t"n t i. n. +n 2n + 1. ( −1) =. ∗. ∀ ∈. h) un = sin. 2 n 3. u1 = − 2, u2 = 2 2 un+1 = 2un − 7un −1. ( n ≥ 2). Bài gi i:. 2 3 4 5 a) u1 = 1, u2 = , u3 = , u4 = , u5 = . 3 7 15 31 1 3 7 15 31 b) u1 = , u2 = , u3 = , u4 = , u5 = . 3 5 9 17 33. Bài t p: Cho dãy s. ( un ). c xác. nh b i: un =. 2n + 5 n2 + 1. a) Hãy vi t 7 s h ng. u c a dãy s . 1 b) Tìm n sao cho un = . 5 Bài gi i:. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 7 9 11 13 15 17 19 a) u1 = , u2 = , u3 = , u4 = , u5 = , u6 = , u7 = 2 5 10 17 26 37 50 n = −2 ! 1 2n + 5 1 b) Ta có: un = ⇔ 2 = ⇔ n 2 − 10n − 24 = 0 ⇔ n = 12 n +1 5 5 1 V y u12 = 5 3n Bài t p: Cho dãy s ( un ) c xác nh b i: un = 2 n +1 a) Vi t 5 s h ng u c a dãy s . 27 là s h ng th m y c a dãy s . b) S 82 2n Bài t p: Cho dãy s ( un ) c xác nh b i: un = 2 n +1 a) Vi t 5 s h ng u c a dãy s . 9 b) S là s h ng th m y. 41 u1 = 1 Bài t p: Cho dãy s ( un ) bi t: v i n ≥1 un +1 = un + 3 a) Vi t 5 s h ng u c a dãy s . b) Xác nh công th c s h ng t ng quát un . Bài gi i: oán s h ng t ng quát un = 3n − 4 u1 = 1 Bài t p: Cho dãy s ( un ) bi t: v i n ≥1 un+1 = un + 2n + 1 a) Vi t 5 s h ng u c a dãy s . b) Xác nh công th c s h ng t ng quát un . Bài gi i: D. D. oán s h ng t ng quát: un = n 2. Bài t p: Cho dãy s (un) bi t: u1 = 3, un +1 = 1 + un 2 a) Vi t 5 s h ng u c a dãy s . b) Xác nh công th c s h ng t ng quát un . Bài gi i: D. ( n ≥ 1) .. oán s h ng t ng quát un = n + 8. Bài t p: Vi t 4 s h ng u và tìm s h ng t ng quát un c a các dãy s sau: u1 = 1 u1 = 3 a) b) ( n ≥ 1) ( n ≥ 1) un +1 = un + 2 un +1 = 2un Bài gi i: Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN a) u1 = 1, u2 = 3, u3 = 5, u4 = 7,... S h ng t ng quát un = 2n − 1 . b) u1 = 3, u2 = 6, u3 = 12, u4 = 24,... S h ng t ng quát : un+1 Ta có: un +1 = 2un = 2. un u u u u u Khi ó: 2 = 2 , 3 = 2 , 4 = 2 ,…, n−1 = 2 , n = 2 u1 u2 u3 un − 2 un−1 u u u u u Xét tích s : 2 . 3 . 4 ... n−1 . n = 2n−1 u1 u2 u3 un− 2 un−1 u ⇔ n = 2n −1 ⇔ un = 2n−1.u1 = 3.2n−1 u1. i s và Gi i tích 11. V y s h ng t ng quát: un = 3.2n−1 . un+1 Nh n xét: un+1 = 2un = 2 ⇔ ( un ) là m t c p s nhân v i công b i q = 2 un Bài t p: Tìm công th c s h ng t ng quát c a các dãy s ( un ) sau: u1 = 2. a). un+1 = 2 −. 1 un. b). ( n ≥ 1). un = u1.q n−1 .. 1 c) 2 un +1 = 3un. u1 = 2. u1 =. un+1 = un − 1. Bài gi i:. n +1 b) un = 3 − n n Bài t p: Xác nh công th c t ng quát c a các dãy s ( un ). 1 c) un = .3n−1 2 c xác nh b i:. a) un =. a). u1 = 11 un +1 = 10un + 1 ( n ∈. Bài t p: Dãy s. ). b). c xác. nh b ng công th c:. *. ( un ). u1 = 3. u1 = 10 un +1 = un + 2 ( n ∈. *. ). c). 1 un +1 = un ( n ∈ 2. *. ). u1 = 1 un +1 = un + n3 ( n ≥ 1). a) Tìm công th c s h ng t ng quát un c a dãy s . b) Tính s h ng th 100 c a dãy s . Bài gi i: a) Ta có: un +1 = un + n3. un+1 − un = n3 3. 3. khi ó: u1 = 1, u2 − u1 = 13 , u3 − u2 = 22 ,..., un−1 − un −2 = ( n − 2 ) , un − un−1 = ( n − 1) . C ng t ng v các Do ó: un = 1 +. ng th c trên ta. ( n − 1). 2. n. c: un = 1 + 1 + 2 +... + ( n − 1) 3. 3. 3. ( n − 1) = 1+. 2. n2. 4. 2. 4 Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> Chuyên : DÃY S - C P S b) u100 = 24502501 Bài t p: Cho dãy s. ( un ) v. C NG- C P S u1 = 5. i:. un+1 = 3n ( n ≥ 1). Tìm công th c s h ng t ng quát un c a dãy s. Bài t p: Cho dãy s. ( un ) xác. NHÂN. i s và Gi i tích 11. .. ( un ) .. u1 = 1. nh b i:. un+1 = un + 7 ( n ≥ 1). a) Hãy tính u2 , u4 , u6 . b) Ch ng minh r ng un = 7 n − 6 v i m i n ≥ 1 .. Bài t p: Cho dãy s. ( un ) xác. u1 = 1. nh b i:. un +1 = 3un + 10 ( n ≥ 1). Ch ng minh r ng un = 2.3n − 5 ( ∀n ≥ 1). Bài t p: Cho dãy s. ( vn ) xác. nh b i:. v1 = 2 vn +1 = 3vn + 2n + 1 ( n ≥ 1). Ch ng minh r ng vn = 3n − n ( ∀n ≥ 1) .. Bài t p: Xét tính t&ng gi m c a các dãy s. 1 , v i n∈ n. a) ( un ) : un = 1 + c) ( un ) : un =. n , v i n∈ 3n. *. *. ( un ) sau: b) ( vn ) : vn = 5n − 1 , v i n ∈. .. *. .. .. Bài gi i: a) Xét hi u: un +1 − un = 1 +. 1 1 −1 − 1+ = < 0, ∀n ∈ n +1 n n ( n + 1). V y dãy s gi m. b) vn +1 − vn = 5 ( n + 1) − 1 − ( 5n − 1) = 5 > 0, ∀n ∈. *. *. V y dãy s t&ng. n +1 n +1 u n +1 c) Xét t' s : n+1 = 3 = < 1, ∀n ∈ n un 3n 3n Bài t p: Xét tính t&ng gi m c a các dãy s a) ( un ) : un = 2n − 5n + 1 , v i n ∈ 3. c) ( un ) : un =. n 2. n. , v i n∈. *. .. *. .. *. ( un ) sau: 3n b) ( un ) : un = n +1 , v i n ∈ * . 2 3n d) ( un ) : un = 2 , v i n ∈ * . n. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> Chuyên : DÃY S - C P S Bài gi i:. C NG- C P S. NHÂN. i s và Gi i tích 11. 3. a) Xét hi u: un +1 − un = 2 ( n + 1) − 5 ( n + 1) + 1 − ( 2n3 − 5n + 1) 3. = 2 ( n + 1) − n3 − 5 ( n + 1 − 1) = 6n 2 + 6n − 3 = 3 ( n 2 − 1) + 3n 2 + 6n > 0, ∀n ∈. V y dãy s. ( un ) t&ng.. b) D( th y un > 0 ∀n ∈ V y dãy s. *. un+1 3n.2n+ 2 3 . Xét t' s = n+1 n+1 = > 1 ∀n ≥ 1 un 3 .2 2. ( un ) t&ng.. c) D( th y un > 0 ∀n ∈ V y dãy s. *. ( un ) gi. *. . Xét t' s. un+1 n + 1.2n n +1 = = < 1 ∀n ≥ 1 un n .2n+1 2 n. m.. u1 > u2 9 d) Ta có: u1 = 3, u2 = , u3 = 3 ( un ) là dãy không t&ng, không gi m. u2 < u3 4 Trình bày t ng quát: 2 un 1 1 Xét t' s : = 1+ un+1 3 n T ó suy ra: u 1 1 + n < 1 ⇔ 1+ < 3 ⇔ n > ⇔ n ≥ 2 (" n ∈ * ) un+1 n 3 −1 u 1 1 + n > 1 ⇔ 1+ > 3 ⇔ n < ⇔ n = 1 (" n ∈ * ) un+1 n 3 −1 Nh v y, ta có: u1 > u2 và u2 < u3 < u4 < ... < un < un+1 < ... ( un ) là dãy không t&ng, không gi m.. Bài t p: Xét tính t&ng gi m c a các dãy s 1 −2 n Bài gi i:. a) un =. b) un =. n −1 n +1. ( un ) sau: n. c) un = ( −1) ( 2n + 1). a) Dãy s gi m b) Dãy s t&ng c) Dãy không gi m không t&ng. d) Dãy s gi m Bài t p: Vi t 5 s h ng u và xét tính t&ng gi m c a các dãy s a) un = 101− 2 n. b) un = 3n − 7. c) un =. 2n + 1 n2. d) un =. 2n + 1 5n + 2. ( un ) sau: d) un =. 3n n 2n. Bài gi i: a) Dãy s gi m Bài t p: Xét tính. b) Dãy s t&ng c) Dãy s gi m n i u c a các dãy s ( un ) sau:. Giáo viên: Lê Bá B d) Dãy s t&ng. THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Chuyên a) un =. : DÃY S - C P S. C NG- C P S. n. 1− n n. 2 −1 2n + 3. b) un =. c) un =. 2n − 1 e) un = n 2. f) un = n + sin n. Bài t p: Cho dãy s. ( un ) v. 2. NHÂN. ( −1). i s và Gi i tích 11. n. d) un =. n+2 n. 1 g) un = 1 + n. 1 n +1 2. n2 + n + 1 h) un = n2 + 1. i un = n 2 − 4n + 3 . Tìm công th c truy h"i c a dãy s. ( un ) .. Bài gi i: Ta có: u1 = 0 2. un +1 = ( n + 1) − 4 ( n + 1) + 3 . Xét hi u: un +1 − un =. ( n + 1). 2. − 4 ( n + 1) + 3 − ( n 2 − 4n + 3) = 2n − 3 .. un +1 = un + 2n − 3 .. u1 = 0. V y công th c truy h"i là:. Bài t p: Cho dãy s. un +1 = un + 2n − 3 ( n ∈. ( un ) v. n. i un = (1 − a ) + (1 + a ). a) Vi t công th c truy h"i c a dãy s b) Xét tính t&ng gi m c a dãy s Bài gi i:. * n. ) ( 0 < a < 1) n ∈. *. ( un ) .. ( un ) .. u1 = 2 a). n. un +1 = un + a (1 + a ) − (1 − a ). b) Dãy s t&ng. Bài t p: Cho dãy s. ( un ) v. a) Vi t 5 s h ng. n. i un = 1 + ( n − 1) .2n n ∈. Bài t p: Cho dãy s. *. .. ( un ) . a dãy s ( un ) .. u c a dãy s. b) Tìm công th c truy h"i c Bài gi i: b) Công th c truy h"i:. ∀n ≥ 1. u1 = 1 un +1 = un + ( n + 1) 2n n. ( un ) xác. nh b i:. ( ∀n ≥ 1). u1 = 1 un+1 = un + 3n − 2. ( ∀n ≥ 1). a) Tìm công th c c a s h ng t ng quát un . b) Ch ng minh dãy s. ( un ) là dãy t&ng. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN Bài t p: Xét tính b ch n c a các dãy s ( un ) sau: a) un = 2n 2 − 1. b) un =. 1 n ( n + 2). c) un =. i s và Gi i tích 11. 1. d) un = sin n + cos n. 2n − 1 2. Bài gi i: a) Ta có: ∀n ∈. *. khi ó: un = 2n 2 − 1 ≥ −1 . V y dãy ( un ) b ch n d. i.. m t khác khi n → ∞ thì un → ∞ . Do ó dãy s không b ch n trên. b) Ta có v i m i n ∈ M t khác: un = n2 ≥ 1 2n ≥ 2. *. thì un =. 1 > 0 , do ó dãy s b ch n d n ( n + 2). i.. 1 1 = 2 n ( n + 2 ) n + 2n. n 2 + 2n ≥ 3 . Do ó. 1 1 ≤ n 2 + 2n 3. un ≤ 3 ∀n ∈. *. . Dãy s b ch n trên.. V y dãy s b ch n. c) un =. 1 2n − 1 2. > 0, ∀n ∈. M t khác: 2n 2 − 1 ≥ 1. *. , do ó dãy s b ch n d 1. 2n − 1 2. ≤1. un ≤ 1 ∀n ∈. i. *. , dãy s b ch n trên.. V y dãy s b ch n. d) un = sin n + cos n = 2 sin x + Mà: −1 ≤ sin x +. 4. 4. ≤ 1 ⇔ − 2 ≤ 2 sin x +. 4. ≤ 2, ∀n ∈. *. V y dãy s b ch n.. Bài t p: Xét tính b ch n c a dãy s a) un = 5. 3n 2 + 1 b) un = 2 n +n. n. 2n + 1 e) un = n +1 h) un =. ( un ) sau:. 3n + ( −1) f) un = 2n + 2. 2 c) un = − 5 n +1. g) un =. n. d) un = 4n − 3. 2n + 3 2n 2 + 1. n 2n + 1 + 2n − 1. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> Chuyên : DÃY S - C P S Bài gi i: e) un =. 2n + 1 ≥ 0, ∀n ∈ n +1. M t khác: un =. *. C NG- C P S. . Dãy b ch n d. 2n + 1 1 = 2− < 2, ∀n ∈ n +1 n +1. NHÂN. i s và Gi i tích 11. i. *. . Dãy b ch n trên.. V y dãy b ch n. 3n + ( −1) f) un = 2n + 2. n +1. > 0 ∀n ∈. 3n + ( −1) M t khác: un = 2n + 2. *. n +1. <. . Dãy b ch n d. i.. 3n + 1 3 < , ∀n ∈ 2n + 2 2. *. . Dãy b ch n trên.. V y dãy b ch n. 2n + 3. g. un =. 2n + 1 2. M t khác: un =. > 0, ∀n ∈ 2n + 3 2n + 1 2. <. *. . Dãy b ch n d. 2n + 3 2n. 2. <. i.. 2n + 3 5 ≤ ≤ 5, ∀n ∈ n n. *. . Dãy b ch n trên.. V y dãy b ch n. n > 0, ∀n ∈ 2n + 1 + 2n − 1. h) un =. M t khác: un =. *. n n n 1 < < < , ∀n ∈ 2n + 1 + 2n − 1 2n + 1 2n 2. *. . Dãy b ch n trên.. V y dãy b ch n.. Bài t p: Xét tính b ch n c a các dãy s a) un = n + 2 − n. b) un =. ( un ) :. n +1 n + n+2. c) un = 2 + (−1) n. d) un =. 1 1 + cos n n. Bài gi i: a) Nhân l ∀n ∈. *. ng liên h p ta. c:. : 0 < un = n + 2 − n =. 2 2 < ≤ 2 . Do ó, dãy ( un ) b ch n. n+2 + n n. n +1 n +1 < < 1 . Do ó, dãy ( un ) b ch n. n + n+2 n+2. b) ∀n ∈. *. : 0 < un =. c) ∀n ∈. *. :1 < un = 2 + ( −1) ≤ 3 . Do ó, dãy ( un ) b ch n.. n. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN 1 1 d) ∀n ∈ * : 0 < un = + cos < 2 . Do ó, dãy ( un ) b ch n. n n Bài t p: Xét tính b ch n c a các dãy s. e) un =. ( un ) :. n 2 + 3n b) un = n +1. 1 a) un = 3 n 3n3 − 2 n3. f) un = 2n +. i s và Gi i tích 11. 1 c) un = − 2. 8 n. n. d) un =. 2n 2n − 1. n n + cos 3 4. g) un = sin. Bài gi i: a) ∀n ∈. *. : 0 < un ≤ 1. b) un = n + 2 − c) ∀n ∈. *. 2 . Dãy s b ch n d n +1. : −1 < un < 1. f) Dãy ( un ) b ch n d g) ∀n ∈. *. i mà không b ch n trên.. d) ∀n ∈. *. : 0 < un ≤ 2. e) ∀n ∈. *. : 0 < un < 3. i mà không b ch n trên. : −2 < un < 2. Bài t p: Cho dãy s. i un = n 2 − 4n + 3 .. ( un ) v. a) Vi t công th c truy h"i. b) Ch ng minh dãy s. ( un ) b. ch n d. i.. Bài gi i: a). u1 = 0 un+1 = un + 2n − 3. ∀n ∈ N * 2. b) un = n 2 − 4n + 3 = ( n − 2 ) − 1 ≥ −1, ∀n ∈ N * . V y dãy s. ( un ) b. ch n d. i.. ----------------------. Bài t p 1: Hãy xác. nh s th c a. a) M t dãy s gi m; Bài gi i:. an 2 + 1 , là: 2n 2 + 3 b) M t dãy s t&ng.. dãy ( un ) , v i un =. an 2 + 1 a 2 − 3a Ta có: un = 2 = + 2n + 3 2 2 ( 2n 2 + 3) T. ó, ta có: un +1 − un =. 2 − 3a 1 1 − 2 (1) 2 2 2 ( n + 1) + 3 2n + 3. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(20)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 1 1 D( th y: − 2 < 0 ∀n ≥ 1 2 2 ( n + 1) + 3 2n + 3 Vì th t (1) suy ra: 2 − 3a 2 >0⇔a< . a) ( un ) là dãy s gi m ⇔ 2 3 2 − 3a 2 b) ( un ) là dãy s t&ng ⇔ <0⇔a> . 2 3 n2 + 1 Bài t p 2: Ch ng minh r ng dãy ( vn ) , v i vn = 2 , là m t dãy b ch n. 2n + 3 Bài gi i: n2 + 1 1 5 Ta có: vn = 2 (1) = + 2n + 3 2 2 ( 2n 2 − 3) 1 1 ≤ . Do ó t (1) suy ra: −2 ≤ vn ≤ 1 ( ∀n ≥ 1) 2n − 3 5 là m t dãy s b ch n.. D( th y: ∀n ≥ 1: −1 ≤ Vì v y ( vn ). 2. Bài t p 2: Ch ng minh r ng dãy ( un ) , v i un =. 7n + 5 , là m t dãy s t&ng và b ch n. 5n + 7. Bài gi i: Ta có: un = T. 7n + 5 7 24 = − . 5n + 7 5 5 ( 5 n + 7 ). ó suy ra: un +1 − un =. 24 1 1 − > 0 ( ∀n ≥ 1) 5 5n + 7 5 ( n + 1) + 7. 7 ( ∀n ≥ 1) 5 là m t dãy s t&ng và b ch n.. và 1 ≤ un < V y ( un ). n n . + cos 3 6 a) Hãy tính u1 , u2 , u3 , u4 , u5 . b) Ch ng minh r ng un = un+12 ∀n ≥ 1 .. Bài t p 3: Cho dãy ( un ) , v i un = sin. Bài gi i: b) V i n là m t s nguyên d ng tùy ý, ta có: ( n + 12 ) + cos ( n + 12 ) = sin n + 4 un +12 = sin 3 6 3 n n = sin + cos = un 3 6. + cos. n +4 6. Bài t p 4: Cho dãy ( un ) , v i un = sin ( 2n − 1) . 3 Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN a) Ch ng minh r ng un = un+3 ∀n ≥ 1 . b) Hãy tính t ng 17 s h ng u tiên c a dãy s. i s và Gi i tích 11 ã cho.. Bài gi i: b) T k t qu ph n a), ta có: u1 = u4 = u7 = u10 = u13 = u16 u2 = u5 = u8 = u11 = u14 = u17 T. u3 = u6 = u9 = u12 = u15 ó, kí hi u S17 là t ng c n tính, ta có: S17 = 5 ( u1 + u2 + u3 ) + u1 + u2 (1). 3 , u2 = 0 và u3 = − 2 3 Do ó, t (1): S17 = 5 ( u1 + u2 + u3 ) + u1 + u2 = 5. +0− 2 B ng cách tính tr c ti p, ta có: u1 =. 3 . 2 3 3 3 + +0= 2 2 2. v1 = 1. Bài t p 5: Cho dãy s. ( vn ) xác. nh b i:. ( ∀n ≥ 1) 3 5 vn +1 = − vn2 + vn + 1 2 2. a) Hãy tính v2 , v3 và v4 . b) Ch ng minh r ng vn = vn+3 ∀n ≥ 1 .. Bài gi i: b) Ta ch ng minh vn = vn+3 ∀n ≥ 1 (*) b ng qui n p toán h c. Ki m tra v i n = 1 , ta th y úng. Gi s (*) úng v i n = k ≥ 1 , t c là vk = vk +3 . Ta ch ng minh (*) úng v i n = k + 1, t c là vk +1 = vk + 4 . 3 5 3 5 Th t v y, ta có: vk + 4 = − vk2+3 + vk +3 + 1 = − vk2 + vk + 1 = vk +1 2 2 2 2 V y vn = vn+3 ∀n ≥ 1 .. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Chuyên. Ch. : DÃY S - C P S. C NG- C P S. C PS. 3:. NHÂN. i s và Gi i tích 11. C NG. I- LÝ THUY T: 1. nh ngh a: ( un ) là c!p s c ng ⇔ un = un−1 + d ∀n ≥ 2 (d: công sai) *Nh n xt: a) Khi d = 0 : ∀n ∈ N * : un = u1 : Dãy không i b) * Khi d > 0 : ( un ) l dãy t&ng. * Khi d < 0 : ( un ) l dãy gi m.. 2. S h ng t"ng quát:. un = u1 + ( n − 1) d. ∀n ≥ 2. 3. Tính ch!t các s h ng: Cho c p s c ng ( un ) , ta có: uk =. uk −1 + uk +1 2. ∀k ≥ 2. 4. T"ng n s h ng #u tiên:. S n = u1 + u2 + ... + un = II- LUY N T P: Bài t p 1: Trong các dãy s u và công sai c a nó: a) un = 3n + 2. ( un ) d. n ( u1 + un ) n 2u1 + ( n − 1) d = 2 2. i ây, dãy s nào là c p s c ng, khi ó cho bi t s h ng b) un = n 2. Bài gi i: a) ∀n ∈ * : un+1 − un = 3 ( n + 1) + 2 − ( 3n + 2 ) = 3 =. # $. ⇔ ( un ) là 1 c p s c ng v i công sai d = 3 và u1 = 5 . b) ∀n ∈. *. 2. : un +1 − un = ( n + 1) − n 2 = 2n + 1 ≠. ( un ) không là 1 c. # $. p s c ng.. Bài t p t ng t : Bài t p: Trong các dãy s ( un ) d i ây, dãy s nào là c p s c ng, khi ó cho bi t s h ng u và công sai c a nó: 3n + 2 7 − 3n n3 n a) un = b) un = 3 c) un = d) un = − 1 5 2 2 u1 = a ( a ∈ ) Bài t p 2: Cho dãy s ( un ) : . Tìm các giá tr c a a ( un ) là m t c p s un+1 = 3 − 2un ( n ≥ 1). c ng. Bài gi i: ( un ) là m t c p s c ng ⇔ ∀n ∈. 3 − 2un − un = d 1−. un = 1 −. d = 3. *. : un+1 − un = d =. # $. # $ , t c là ( un ) ph i là dãy không. i d = 0 , t c là. d = a = 1. 3. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN V y i u ki n c n ( un ) là m t c p s c ng là a = 1 . Ng. c l i: khi a = 1 thì ( un ) :. u1 = 1 ( a ∈ un +1 = 3 − 2un. ) ( n ≥ 1). i s và Gi i tích 11. un = 1 ∀n ∈. *. nên ( un ) là m t c p s. c ng v i công sai d = 0 . Bài t p 3: Tìm s h ng u và công sai c a c p s c ng ( un ) , bi t: a). u1 + u5 − u3 = 10. u1 + u2 + u3 = 27. b). u1 + u6 = 17. S5 − S 2 − u5 = c). u12 + u22 + u32 = 275. S 4 + u7 =. 1 10. 1 10. Bài gi i: u1 + u5 − u3 = 10. a) Ta có. u1 + u6 = 17. b) Ta có u1 + u2 + u3 = 27. u12 + u22 + u32 = 275. ⇔. ⇔. u1 + ( u1 + 4d ) − ( u1 + 2d ) = 10 u1 + ( u1 + 5d ) = 17. u1 + ( u1 + d ) + ( u1 + 2d ) = 27 2. 2. u12 + ( u1 + d ) + ( u1 + 2d ) = 275. T (1): u1 = 9 − d thay vào (2) ta có ph. ⇔. ⇔. u1 + 2d = 10 2u1 + 5d = 17. ⇔. u1 = 16 d = −3. u1 + d = 9 3u12 + 6u1d + 5d 2 = 275. ng trình: 3u12 + 6u1d + 5d 2 = 275. 2. 3 ( 9 − d ) + 6 ( 9 − d ) d + 5d 2 = 275 ⇔ 2d 2 = 32 ⇔ d 2 = 16 ⇔. d =4 d = −4. + V i d = 4 u1 = 5 + V i d = −4 u1 = 13 K t lu n: Có 2 c p s c ng ( un ) th a yêu c u bài toán là. u1 = 5 d =4. và. u1 = 13 d = −4. .. 5 ( 2u1 + 4d ) 2 ( 2u1 + d ) 1 − − ( u1 + 4d ) = 2 2 10 c) Ta có ⇔ 1 4 ( 2u1 + 3d ) 1 S 4 + u7 = + ( u1 + 6d ) = 10 2 10 1 2 2u1 + 5d = u1 = − 10 35 ⇔ ⇔ 1 3 5u1 + 9d = d= 10 70 Bài t p t ng t : Bài t p 1: Tìm s h ng u và công sai c a c p s c ng ( un ) , bi t: S5 − S 2 − u5 =. 1 10. a). u7 + u15 − u3 = 10 u1 + u64 = −11. b). d). u5 − u3 = −4 u2 .u4 = −3. e). u7 + u15 = 60 u42 + u122 = 1170. u7 − u3 = 8 u2 .u7 = 75. c) f). Giáo viên: Lê Bá B u1 + u3 + u5 = −12 u1u2u3 = 8 u1 + u2 + u3 + ... + un = a u12 + u22 + u32 + ... + un2 = b 2. THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Bài t p 2: 1) Cho c p s c ng ( un ) có u3 = −15, u14 = 18 . Tính S 20 . 2) Cho c p s c ng ( un ) có u1 = 17, d = 3 . Tính u20 và S 20 . 3) Cho c p s c ng ( un ) có u6 = 17, u11 = −1 . Tính d và S11 . Bài t p 3: Xác nh c p s c ng có công sai là 3, s h ng cu i là 12 và có t ng b ng 30. Bài t p 4: Cho c p s c ng (un ) . Bi t u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 . Tính u1 + u6 + u11 + u16 . Bài t p 5: M t c p s c ng có 11 s h ng. T ng c a chúng là 176. Hi u c a s h ng cu i và s h ng u là 30. Tìm c p s ó. Bài t p 6: Cho c p s c ng ( un ) có u5 + u19 = 90 . Hy tính t ng 23 s h ng u c a ( un ) .. Bài t p 4: a) Gi%a các s 7 và 35, hãy t thêm 6 s n%a c m t c p s c ng. b) Gi%a các s 4 và 67, hãy t thêm 20 s n%a c m t c p s c ng. Bài gi i: a) G i c p s c ng th a yêu c u bài toán là u1 , u2 , u3 , u4 , u5 , u6 , u7 , u8 (công sai d ) u1 = 7 u1 = 7 u =7 . Theo gi thi t: ⇔ ⇔ 1 u8 = 35 u8 = u1 + 7 d = 35 d =4 Suy ra: u2 = 11, u3 = 15, u4 = 19, u5 = 23, u6 = 27, u7 = 31 . b) c gi t ng t gi i quy t. Bài t p t ng t : Bài t p 1: a) Tìm 3 s h ng liên ti p c a m t c p s c ng, bi t t ng c a chúng là 27 và t ng các bình ph ng c a chúng là 293. b) Tìm 4 s h ng liên ti p c a m t c p s c ng, bi t t ng c a chúng b ng 22 và t ng các bình ph ng c a chúng b ng 66. Bài t p 5: S o các góc c a m t t giác l"i l p thành m t c p s c ng và góc l n nh t g p 5 l n góc nh nh t. Tìm s o các góc ó. Bài gi i: G i các góc c a t giác A < B < C < D theo th t t o thành m t c p s c ng. Ta có: A + B + C + D = 1800 (1) Do A, B, C , D t o thành 1 c p s c ng 4( A + D) S4 = A + B + C + D = = 1800 ⇔ A + D = 900 (2) 2 Theo gi thi t: D = 4 A (3) T (2) và (3) suy ra: 5 A = 900 ⇔ A = 180 D = 720 = A + 3d ⇔ d = 720 − 3 A = 180 T ây suy ra: B = A + d = 360 , C = A + 2d = 540 (y.c.b.t) CHÚ Ý: T ng các góc trong m t a giác l"i có n c nh b ng ( n − 2 ) .1800 Bài t p t ng t : Bài t p: a) Ba góc c a m t tam giác vuông l p thành m t c p s c ng. Tìm s o các góc ó. b) S o các góc c a m t a giác l"i có 9 c nh l p thành m t c p s c ng có công sai b ng 30. Tìm s o c a các góc ó. Bài t p 6: Ch ng minh r ng n u 3 s a, b, c l p thành m t c p s c ng thì các s x, y, z c)ng Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 2 2 2 2 l p thành m t c p s c ng, v i x = b + bc + c ; y = c + ca + a ; z = a 2 + ab + b 2 . Bài gi i: Ta xét x + z = ( b 2 + bc + c 2 ) + ( a 2 + ab + b 2 ) = 2b 2 + c 2 + a 2 + b ( a + c ) (*) Do a, b, c l p thành m t c p s c ng ⇔ a + c = 2b thay vào (*): 2 x + z = 2b 2 + c 2 + a 2 + 2b 2 = c 2 + a 2 + 4b 2 = c 2 + a 2 + ( a + c ) = 2 ( c 2 + ca + a 2 ) = 2 y ⇔ x, y, z l p thành m t c p s c ng ( .p.c.m). Bài t p 7: Cho ba s a, b, c l p thành m t c p s c ng. Ch ng minh các h th c sau: a) a 2 + 2bc = c 2 + 2ab. b) a 2 + 8bc = ( 2b + c ). 2. Bài gi i: a) Ta có a, b, c l p thành m t c p s c ng a + c = 2b . a 2 + 2bc = a 2 + ( a + c ) c = a 2 + ac + c 2 = c 2 + a ( a + c ) = c 2 + 2ab ( .p.c.m) b) Ta có a, b, c l p thành m t c p s c ng a + c = 2b . 2. 2. 2. a 2 + 8bc = a 2 + 4c ( a + c ) = a 2 + 4ac + 4c 2 = ( a + 2c ) = ( a + c + c ) = ( 2b + c ) ( .p.c.m). Bài t p 7: Ch ng minh r ng: N u log x a, log y b, log z c theo th t t o thành m t c p s c ng thì: log b y =. 2log a x log c z ( 0 < x, y, z, a, b, c ≠ 1) . log a x + log c z. Bài gi i: Theo gi thi t: ⇔ log x a + log z c = 2log y b ⇔. 1 1 2 + = log a x log c z log b y. log b y =. 2log a x.log c z ( .p.c.m) log a x + log c z. Bài t p t ng t : Bài t p 1: Tìm x 3 s a, b, c l p thành m t c p s c ng, v i: a) a = 10 − 3 x; b = 2 x 2 + 3; c = 7 − 4 x b) a = x + 1; b = 3 x − 2; c = x 2 − 1 Bài t p 2: Ch ng minh r ng n u 3 s a, b, c l p thành m t c p s c ng thì các s x, y, z c)ng l p thành m t c p s c ng a) x = a 2 − bc; y = b 2 − ca; z = c 2 − ab 1 1 1 b) V i gi thi t nh trên và a, b, c d ng: x = ; y= ; z= . b+ c c+ a a+ b Bài t p 3: Cho ba s a, b, c l p thành m t c p s c ng. Ch ng minh r ng: 2. 3( a 2 + b2 + c2 ) − 6 ( a − b ) = ( a + b + c ). 2. Bài t p 4: Ch ng minh r ng n u 3 s a 2 , b 2 , c 2 l p thành m t c p s c ng thì các s x, y, z 1 1 1 c)ng l p thành m t c p s c ng, v i x = ; y= ; z= . a+b b+c c+a Bài t p 9: Cho m t c p s c ng: u1 , u2 , u3 , u4 . Ch ng minh r ng n u: u1u4 − u2u3 ≤ 6 thì bi u th c A=. ( x − u1 )( x − u2 ) ( x − u3 ) ( x − u4 ) + 9. có ngh a v i m i x ?. Bài gi i: Theo tính ch t c a c p s c ng, ta có: u1 + u4 = u2 + u3 Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 2 Do ó: ( x − u1 )( x − u2 ) ( x − u3 ) ( x − u4 ) = x − ( u1 + u4 ) x + u1u4 x 2 − ( u2 + u3 ) x + u2u3 (*) t : t = x 2 − ( u1 + u4 ) x = x 2 − ( u2 + u3 ) x , khi ó: (*) tr thành: f (t ) = ( t + u1u4 ) ( t + u2u3 ) + 9 = t 2 + ( u1u4 + u2u3 ) t + u1u4u2u3 + 9 2. 2. Xét ∆ t = ( u1u4 + u1u3 ) − 4u1u2u3u4 − 36 = ( u1u4 − u2u3 ) − 36 . Rõ ràng : u1u4 − u2u3 ≤ 6. ∆ t < 0 ⇔ f (t ) > 0 ∀t ⇔ A có ngh a v i m i x .. Bài t p 9: Tìm các nghi m s c a ph ng trình: 4 x 3 − 6 6 x 2 + 14 x − 6 = 0 , bi t r ng các nghi m s ph n bi t và t o thành m t c p s c ng. Bài gi i: TX : D = Vì ph ng trình có các nghi m x1 , x2 , x3 phân bi t và t o thành m t c p s c ng, nên: 4 x 3 − 6 6 x 2 + 14 x − 6 = 4 ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) và x1 + x3 = 2 x2 . Ta có: 4 x 3 − 6 6 x 2 + 14 x − 6 = 4 x3 − 4 ( x1 + x2 + x3 ) x 2 + Mx + N 4 ( x1 + x2 + x3 ) = 6 6 V y ph. 12 x2 = 6 6 ⇔ x2 =. ng trình có m t nghi m là. 4 x 3 − 6 6 x 2 + 14 x − 6 = 4 x − x= x= ⇔. 6 2. x2 − 6 x +. V y ph. 1 =0 2. 6 2. 6 2. 6 nên: 2 x2 − 6x +. 1 =0 2. 6 2. ⇔ x = 1+. 6 2. x = −1 +. 6 2. ng trình có các nghi m là x =. 6 6 6 ; x = 1+ ; x = −1 + . 2 2 2 ng trình x 4 − 2 ( m + 2 ) x 2 + 2m + 3 = 0 (1) có 4 nghi m. Bài t p 10: Tìm các giá tr m ph ph n bi t và t o thành m t c p s c ng. Bài gi i: TX : D = t t = x 2 ≥ 0 . Ph ng trình ã cho tr thành t 2 − 2 ( m + 2 ) t + 2m + 3 = 0 (2) Ph ng trình (1) có 4 nghi m phân bi t ⇔ (2) có 2 nghi m t1 , t2 th a mãn: 0 < t1 < t2 *>0 3 m>− y.c.b.t ⇔ S > 0 ⇔ 2 % m ≠ −1 P>0 Khi ó ph ng trình ã cho có các nghi m là: x1 = − t2 , x2 = − t1 , x3 = t1 , x4 = t2 − t2 < − t1 < t1 < t2. (. Giáo viên: Lê Bá B ). THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Do các nghi m l p thành 1 c p s c ng ⇔ x4 − x1 = 3 ( x3 − x2 ) ⇔ t2 = 3 t1 ⇔ t2 = 9t1 . M t khác: 2 10t1 = 2 ( m + 2 ) ( = S ) t1 + t2 = 2 ( m + 2 ) ( = S ) m+2 ⇔ 9 = 2m + 3 ( 9 S 2 = 100 P ) 2 5 t1.t2 = 2m + 3 ( = P ) 9t1 = 2m + 3 ( = P ) m=3 ⇔ 9m − 14m − 39 = 0 ⇔ 2. m=−. 13 9. i chi u i u ki n (*), ta có các giá tr m th a y.c.b.t là m = 3, m = −. 13 . 9. Bài t p 1: Cho ph ng trình : x 4 + 3 x 2 − ( 24 + m ) x − 26 − n = 0 . Tìm h th c liên h gi%a m và n 3 nghi m phân bi t x1 , x2 , x3 l p thành m t c p s c ng ? Bài gi i: TX : D = Vì 3 nghi m phân bi t x1 , x2 , x3 l p thành c p s c ng, nên ta có th t: x1 = x0 − d , x2 = x0 , x3 = x0 + d ( d ≠ 0 ) . Theo gi thi t ta có : x 3 + 3 x 2 − ( 24 + m ) x − 26 − n = ( x − x1 )( x − x2 ) ( x − x3 ) = ( x − x0 + d )( x − x0 )( x − x0 − d ) = x 3 − 3 x0 x 2 + ( 3 x02 − d 2 ) x − x03 + x0 d 2 "ng nh t h s hai v c a ph −3 x0 = 3. ( ∀x ). ng trình ta có h : x0 = −1. ⇔ 3 x02 − d 2 = − ( 24 + m ) ⇔ 3 − d 2 = −24 − m ⇔. x0 = −1. m=n 1 − d 2 = −26 − n − x03 + x0 d 2 = −26 − n V y v i m = n thì ba nghi m phân bi t c a ph ng trình l p thành c p s c ng . Bài t p t ng t : Bài t p 1: Tìm các nghi m s c a ph ng trình: x 3 − 15 x 2 + 71x − 105 = 0 , bi t r ng các nghi m s ph n bi t và t o thành m t c p s c ng. Bài t p 2: Tìm các giá tr m ph ng trình − − + = có 4 nghi m ph n bi t và t o thành m t c p s c ng. Bài t p 3: Tìm các giá tr m ph ng trình − ( + ) + + = có 4 nghi m ph n bi t và t o thành m t c p s c ng. Bài t p 10: Tính các t ng sau: a) A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515 b) B = 10002 − 9992 + 9982 − 997 2 + ... + 22 − 12. Bài gi i: a) Ta th y các s h ng c a t ng A = 15 + 20 + 25 + ... + 7515 t o thành m t c p s c ng có u1 = 15, d = 5 . Gi s t ng trên có n s h ng thì un = 7515 ⇔ u1 + ( n − 1) d = 7515 ⇔ 15 + ( n − 1) 5 = 7515 ⇔ n = 1501 . 1501(15 + 7515 ) = 5.651.265 . 2 b) B = (10002 − 9992 ) + ( 9982 − 997 2 ) + ... + ( 22 − 12 ) Lúc ó: A =. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S = 1. (1000 + 999 ) + 1. ( 998 + 997 ) + ... + 1. ( 2 + 1). NHÂN. i s và Gi i tích 11. = 1999 + 1995 + 1991 + ... + 3 Ta th y các s h ng c a t ng B = 1999 + 1995 + 1991 + ... + 3 t o thành m t c p s c ng có u1 = 1999, d = −4 . Gi s t ng trên có n s h ng thì un = 3 ⇔ u1 + ( n − 1) d = 3 ⇔ 1999 − ( n − 1) 4 = 3 ⇔ n = 500 . 500 (1999 + 3) = 5.000.500 . 2 Bài t p 14: Tìm s t nhiên n sao cho: 1 + 4 + 7 + ... + ( 3n − 2 ) = 590 , bi t 1, 4, 7, ..., ( 3n − 2 ) là l c p s c ng. Bài gi i: D( th y công sai c a c p s c ng là u2 − u1 = d = 3 . Gi s uk = 3n − 2 , lúc ó:. Lúc ó: B =. 1 + 4 + 7 + ... + ( 3n − 2 ) =. k 2u1 + ( k − 1) d 2 k = 20. ⇔ 3k − k − 1180 = 0 ⇔. = 590 ⇔ k 2 + ( k − 1) 3 = 1180. &. k = 20 59 ! 3 Lúc ó: u20 = 3n − 2 ⇔ u1 + 19d = 3n − 2 ⇔ 1 + 57 = 3n − 2 ⇔ n = 20 . Bài t p t ng t : Bài t p 1: Tìm s t nhiên n sao cho: a) (2n + 1) + (2n + 2) + ... + 3n = 2265 , bi t 2n + 1, 2n + 2,..., 3n là l c p s c ng. b) 2 + 7 + 12 + ... + n = 245 , bi t 2, 7, 12, ..., n là l c p s c ng. Bài t p 15: Ch ng minh r ng n u S n , S 2 n , S3n t ng ng là t ng c a n, 2n, 3n s h ng tiên c a m t c p s c ng thì: S3n = 3 ( S 2 n − S n ) . 2. k =−. u. Bài t p 16: Cho tam giác ABC, có ba c nh a, b, c theo th t ó l p thành m t c p s c ng . A C Hãy ch ng minh r ng: cot .cot = 3 . 2 2 Bài gi i: Ta có: a, b, c l p thành c p s c ng ⇔ a + c = 2b A+C '() B * ⇔ sin A + sin C = 2sin B ⇔ 2sin c # = 4sin c # (1) 2 2 A+C B * sin = sin 900 − =c # 2 2 A+C B = 900 − ⇔ Vì : A + C = 1800 − B ( *) 2 2 A+C B B c # = c # 900 − = sin 2 2 2 A+C A−C A+C A+C Do ó (1) tr thành: ⇔ sin cos = 2sin cos 2 2 2 2 A−C B A−C A+C ⇔ cos = 2sin ⇔ cos = 2cos 2 2 2 2 Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 A C A C A C A C A C A C ⇔ cos cos + sin sin = 2cos cos − 2sin sin ⇔ cos cos = 3sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A C cot cot = 3 ( .p.c.m) 2 2 Bài t p 16: Tam giác ABC th a mãn i u ki n: tan A.tan B = 6 và tan A.tan C = 3 . Ch ng minh r ng: tan A, tan B, tan C theo th t dó l p thành c p s c ng ? Bài gi i: tan A.tan B = 6 T gi thi t ta có h ph ng trình: tan A.tan C = 3 tan A + tan C tan A + tan C 1 M t khác ta có: − tan B = tan ( A + C ) = = = − ( tan A + tan C ) 1 − tan A tan C 1− 3 2 2 ⇔ 2 tan B = tan A + tan C ⇔ 2 tan A tan B = 2 tan A + tan A tan C ⇔ 2.6 = 2 tan 2 A + 3 tan 2 A = 9 Theo gi thi t: tan A.tan B = 6 > 0 , tan A.tan C = 3 > 0 nên tan A > 0, tan B > 0, tan C > 0 Suy ra: tan A = 3, tan B = 2, tan C = 1 . i u ó ch ng t tan A, tan B, tan C l p thành c p s c ng có công sai d = 1. . Bài t p 16: Tam giác ABC th a mãn i u ki n tan A, tan B, tan C theo th t ó l p thành c p s c ng. Hãy tìm giá tr nh nh t c a góc B? Bài gi i: Theo gi thi t tan A, tan B, tan C l p thành c p s c ng thì ta có: sin ( A + C ) sin B 2sin B sin B tan A + tan C = 2 tan B ⇔ tan A + tan C = = = cos A.cos C cos A.cos C cos B cos A.cos C 2 1 ⇔ = ⇔ 2cos A.cos C = cos B ⇔ cos ( A + C ) + cos ( A − C ) = cos B cos B cos A.cos C 1 1 ⇔ − cos B + cos ( A − C ) = cos B ⇔ cos B = cos ( A − C ) ≤ ( 2 ) ( vì 0 < cos ( A − C ) ≤ 1 ) 2 2 Do 0 < B ≤. Giá tr nh nh t c a B =. 3. .. A B C , cot , cot theo th t ó l p thành m t c p s c ng. 2 2 2 CMR: Ba c nh a, b, c theo th t ó c)ng l p thành m t c p s c ng? Bài gi i: A+C B A+C sin cos sin A C B 2 2 =2 2 Theo u bài ta có : cot + cot = 2cot ⇔ =2 A C B A +C 2 2 2 sin sin sin cos 2 2 2 2 A+C A+C A C A+C A−C A+C A+C ⇔ sin cos = 2sin sin sin = cos − cos sin 2 2 2 2 2 2 2 2 A+C A+C A−C A+C 1 ⇔ 2sin cos = cos sin ⇔ 2sin ( A + C ) = ( sin A + sin C ) 2 2 2 2 2 ⇔ sin A + sin C = 2sin B a + c = 2b ( .p.c.m). Bài t p 16: Tam giác ABC có cot. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Bài t p 16: Tam giác ABC có cot A, cot B, cot C theo th t ó l p thành m t c p c ng. CMR: a 2 , b 2 , c 2 theo th t ó c)ng l p thành m t c p s c ng ? Bài gi i: Theo gi thi t ta có: cot A + cot C = 2cot B sin ( A + C ) 2cos B ⇔ = ⇔ sin 2 B = 2sin B sin C cos B = cos ( A − C ) − cos ( A + C ) cos B sin A sin C sin B 2 ⇔ sin B = cos ( A − C ) cos B − cos ( A + C ) cos B = − cos ( A − C ) cos ( A + C ) + cos 2 B. 1 1 ( cos 2 A + cos 2C ) + 1 − sin 2 B = − (1 − 2sin 2 A + 1 − 2sin 2 C ) + 1 − sin 2 B 2 2 2 2 2 2 2 2 2sin B = sin A + sin C ⇔ 2b = a + c ( .p.c.m) Bài t p 16: Tam giác ABC có các c nh a, b, c theo th t ó l p thành m t c p s c ng. Ch ng minh công sai c a c p s c ng ó, c tính b i công th c: 3 C A d = r tan − tan 2 2 2 Bài gi i: c−a A Do a, b, c là c p s c ng , cho nên công sai d = (1) 2 B C B C Ta có: a = r cot + r cot = r cot + cot O 2 2 2 2 B A r T ng t c = r cot + cot C 2 2 B C Thay vào (1) ta có : C A tan − tan 1 A C 1 1 1 1 2 2 ( 2) = − = r d = r cot − cot A C A C 2 2 2 2 tan 2 tan tan tan 2 2 2 2 A C A C 1 M t khác: cot cot = 3 tan tan = . 2 2 2 2 3 C A tan − tan 1 2 2 = 3 r tan C − tan A . ( .p.c.m) Thay vào (2) ta có : d = r 1 2 2 2 2 3 Bài t p 16: Cho m t c p s c ng ( un ) và cho các s nguyên d ng m, k v i m < k . Ch ng ⇔ sin 2 B = −. uk − m + uk + m = uk . 2 Áp d ng: Tìm m t c p s c ng có 7 s h ng mà s h ng th ba b ng 2 và t ng c a s h ng và s h ng cu i b ng 10. minh r ng:. Giáo viên: Lê Bá B u. THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S. Ch. C NG- C P S. C PS. 4:. I- LÝ THUY T: 1. nh ngh a:. ( un ). 2. S h ng t"ng quát:. NHÂN. i s và Gi i tích 11. NHÂN. là c!p s nhân ⇔ un +1 = un .q ∀n ∈ * ( q : công b i) n −1 un = u1+, ( ∀n ∈ N *). 3. Tính ch!t các s h ng: Cho c p s nhân ( un ) , ta có: uk −1.uk +1 = ( uk ) 4. T"ng n s h ng #u tiên:. 2. - uk = uk −1.uk +1. S n = u1 + u2 + ... + un = u1. ( ∀k ≥ 2 ). 1 − qn 1− q. II- LUY N T P: Bài t p 1: Các dãy s ( un ) sau ây, dãy s nào là c p s nhân, trong tr !ng h p là c p s nhân, hãy xác nh s h ng u và công b i t ng ng? a) un = ( −5 ). c). 2 n +1. n. b) un = ( −1) .33n+1 u1 = 1. u1 = 2. d). un+1 = un2. Bài t p 2: Cho +,c c p s -nhân ( un ). 2 un +1 = un + un 5 v i công b i q .. 2 8 b) Bi t q = , u4 = . ./m u1 3 21 c) Bi t u1 = 3, q = −2 . 0 i s -192-12-s -3 ng th -m y? u1 + u5 = 51 Bài t p 3: C p s -nhân ( un ) -+4: u2 + u6 = 102 a) ./m s -3 ng u tiên 52-công b i + a c p s -nhân. b) 0 i t ng + a bao nhiêu s -3 ng u tiên 67-b ng 3069? c) S -12288-12-s -3 ng th -m y? Bài t p 4: Tìm s h ng u và công b i c a c p s nhân, bi t: u1 + u5 = 51 u2 − u4 + u5 = 10 u4 − u2 = 72 a) b) c) u5 − u3 = 144 u2 + u6 = 102 u3 − u5 + u6 = 20 a) Bi t u1 = 2, u6 = 486 . ./m q. d). u1 − u3 + u5 = 65 u1 + u7 = 325. e). u1 + u2 + u3 = 21 h) 1 1 1 7 + + = u1 u2 u3 12. k). u3 + u5 = 90 u2 − u6 = 240. g). u1 + u2 + u3 = 14 u1.u2 .u3 = 64. u1 + u2 + u3 + u4 = 30 u12 + u22 + u32 + u42 = 340. Bài gi i: Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S. C NG- C P S NHÂN u1 + u1q 4 = 51 u1 + u5 = 51 u1 + u1q = 51 ⇔ ⇔ a) u2 + u6 = 102 q ( u1 + u1q 4 ) = 102 u1q + u1q 5 = 102. i s và Gi i tích 11. 4. Thay (1) vào (2) ta có: 51q = 102 ⇔ q = 2 thay vào (1), ta b). u2 − u4 + u5 = 10 u3 − u5 + u6 = 20. ⇔. u1q − u1q 3 + u1q 4 = 10 u1q 2 − u1q 4 + u1q 5 = 20. ⇔. Thay (1) vào (2) ta có: q = 2 thay vào (1), ta. u1 + u2 + u3 = 21 c). c: u1 = 3 .. u1q (1 − q 2 + q 3 ) = 10 u1q 2 (1 − q 2 + q 3 ) = 20. c: u1 = 1 .. u1 (1 + q + q 2 ) = 21. u1 + u1q + u1q 2 = 21. 1 1 1 7 ⇔ 1 1 1 7 ⇔ 1 1 1 7 + + = + + = 1+ + 2 = u1 u2 u3 12 u1 u1q u1q 2 12 u1 q q 12 u1 (1 + q + q 2 ) = 21. ⇔ 1 1 + q + q2 7 . = u1 q2 12. Xét u1 = 0 và q = 0 không th a h , nên (1) ⇔ 1 + q + q 2 = trình:. 21 (*) thay vào (2) ta có ph u1. ng. u1q = 6 21 7 = ⇔ u12 q 2 = 36 ⇔ 2 2 u1q = −6 u1 q 12. q=2⇔u =3 6 2 TH 1: u1q = 6 ⇔ u1 = thay vào (*) ta có: 6q − 15q + 6 = 0 ⇔ 1 q q = ⇔ u = 12 2 6 TH 2: u1q = −6 ⇔ u1 = − thay vào (*) ta có: q −9 + 65 4 6q 2 + 27 q + 6 = 0 ⇔ −9 − 65 q= 4. 27 + 3 65 2 27 − 3 65 u1 = 2. q=. d). u1 + u2 + u3 = 14 u1.u2 .u3 = 64. ⇔. u1 + u1q + u1q 2 = 14 u1. ( u1q ) . ( u1q 2 ) = 64. ⇔. u1 =. u1 (1 + q + q 2 ) = 14. ( u1q ). D( th y q = 0 không th a h , ta có u1q = 4 ⇔ u1 =. 3. = 64. 4 thay vào ph q. ⇔. u1 (1 + q + q 2 ) = 14 u1q = 4. ng trình trên ta có:. q = 2 ⇔ u1 = 2 4q − 10q + 4 = 0 ⇔ 2. 1 ⇔ u1 = 8 2 Bài t p 5: a) Gi%a các s 160 và 5 hãy chèn vào 4 s n%a t o thành m t c p s nhân. b) Gi%a các s 243 và 1 hãy t thêm 4 s n%a t o thành m t c p s nhân. Bài t p 6: Tìm 3 s h ng liên ti p c a m t c p s nhân bi t t ng c a chúng là 19 và tích là q=. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 216. Bài t p 7: a) Tìm s h ng u c a m t c p s nhân, bi t r ng công b i là 3, t ng s các s h ng là 728 và s h ng cu i là 486. b) Tìm công b i c a m t c p s nhân có s h ng u là 7, s h ng cu i là 448 và t ng s các s h ng là 889. Bài t p 8: a) Tìm 4 góc c a m t t giác, bi t r ng các góc ó l p thành m t c p s nhân và góc cu i g p 9 l n góc th hai. b) dài các c nh c a ∆ABC l p thành m t c p s nhân. Ch ng minh r ng: ∆ABC có hai góc không quá 600. Bài t p 9: Tìm b n s h ng liên ti p c a m t c p s nhân, trong ó s h ng th hai nh h n s h ng th nh t 35, còn s h ng th ba l n h n s h ng th t 560. Bài t p 10: S s h ng c a m t c p s nhân là m t s ch8n. T ng t t c các s h ng c a nó l n g p 3 l n t ng các s h ng có ch' s l$. Xác nh công b i c a c p s ó. 148 Bài t p 11: Tìm 4 s h ng u c a m t c p s nhân, bi t r ng t ng 3 s h ng u là , 9 "ng th!i, theo th t , chúng là s h ng th nh t, th t và th tám c a m t c p s c ng. Bài t p 12: Tìm 3 s h ng u c a m t c p s nhân, bi t r ng khi t&ng s th hai thêm 2 thì các s ó t o thành m t c p s c ng, còn n u sau ó t&ng s cu i thêm 9 thì chúng l i l p thành m t c p s nhân. Bài t p 13: Tìm 4 s trong ó ba s u là ba s h ng k ti p c a m t c p s nhân, còn ba s sau là ba s h ng k ti p c a m t c p s c ng; t ng hai s u và cu i b ng 32, t ng hai s gi%a b ng 24. Bài t p 9: Tìm b n s bi t r ng ba s h ng u l p thành m t c p s nhân, ba s h ng sau l p thành m t c p s c ng. T ng c a hai s h ng u và cu i b ng 14, còn t ng c a hai s gi%a là 12? Bài gi i: G i 4 s ph i tìm là a1 , a2 , a3 , a4 . Theo u bài ta có h : a = a1a3. 2a1q 2 = a1q + a2 + d (1). 2a3 = a2 + a4. a1 + a2 + 2d = 14. 2 2. ⇔. a1 + a4 = 14 a2 + a3 = 12. ⇔. a1q + a1q 2 = 12 a2 + a2 + d = 12. ( 2) ⇔ ( 3) ( 4). a22 = a1 ( a2 + d ). ( *). a2 + 2d = 14 − a1 12 q + q2 d = 12 − 2a2 a1 =. 25 15 9 3 , , , 2 2 2 2 Bài t p 9: T ng c a s h ng th hai và th t c a m t c p s nhân (t ng nghiêm ng t) là 30, và tích c a chúng b ng 144. Tìm t ng m !i s h ng u tiên c a dãy s ó ? Bài gi i: G i c p s nhân t&ng nghiêm ng t là ( an ) . Theo u bài ta có a2 , a4 là hai nghi m c a ph ng trình:. Gi i h ph. ng trình ta có k t qu : ( 2, 4,8,12 ) ,. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(34)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S. t=6 t 2 − 30t + 144 = 0 ⇔ ⇔ t = 24. C NG- C P S. NHÂN. a2 = 6. a1q = 6. a4 = 24. a1q 3 = 24. a2 = 24. ⇔. a1q = 24. i s và Gi i tích 11 a1q = 6 q2 = 4. ⇔. a1q = 24. 6 1 = 24 4 Do c p s nhân t&ng nghiêm ng t, cho nên q > 1 , do v y ta ch n a1 = 3, q = 2 a4 = 6. a1q 3 = 6. q2 =. 210 − 1 Cho nên : S10 = u1 = 3. (1024 − 1) = 3069 2 −1 Bài t p 14: Tìm các s d ng a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b l p thành m t c p s c ng và. ( b + 1). 2. 2. , ab + 5, ( a + 1) l p thành m t c p s nhân.. Bài gi i: Ta có: a, a + 2b, 2a + b l p thành m t c p s c ng ⇔ a + ( 2a + b ) = 2 ( a + 2b ) ⇔ a = 3b M t khác: 2 2 2 2 2 ( b + 1) , ab + 5, ( a + 1) l p thành m t c p s nhân ⇔ ( b + 1) ( a + 1) = ( ab + 5) ⇔. ( b + 1)( a + 1). 2. 2. = ( ab + 5 ) ⇔. TH 1: ( b + 1)( a + 1) = ab + 5 , thay a = 3b ta. ( b + 1)( a + 1) = ab + 5 ( b + 1)( a + 1) = −ab − 5 c ph. ng trình:. ( b + 1)( 3b + 1) = 3b 2 + 5 ⇔ b = 1 ⇔ a = 3 TH 2: ( b + 1)( a + 1) = −ab − 5 , thay a = 3b ta c ph ng trình: ( b + 1)( −3b + 1) = −3b 2 + 5 ⇔ −2b = 4 ⇔ b = −2 (lo i) Bài t p 15: Ch ng minh r ng n u 3 s. 2 1 2 , , l p thành m t c p s c ng thì 3 s y−x y y−z. x, y, z l p thành m t c p s nhân. Bài gi i: 2 1 2 Ta có: , , l p thành m t c p s c ng y−x y y−z ( y − z) + ( y − x) = 1 2 2 2 ⇔ + = ⇔ y−x y−z y ( y − x )( y − z ) y ⇔ y ( 2 y − x − z ) = ( y − x )( y − z ) ⇔ xz = y 2 ⇔ x, y, z l p thành m t c p s nhân ( .p.c.m) Bài t p 16: Ch ng minh r ng n u 3 s d ng a, b, c theo th t t o thành m t c p s nhân log a N log a N − log b N thì: = ( a, b, c ≠ 1, 0 < N ≠ 1) log c N log b N − log c N Bài gi i: Theo gi thi t , n u ba s a,b,c l p thành c p s nhân thì : ac = b 2 (1) L y logarit c s N hai v c a (1) ta có :. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(35)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 2 ⇔ log N ( ac ) = log N b ⇔ log N a + log N C = 2log N b ( 2 ) S d9ng công th c i c s : 1 1 2 1 1 1 1 + = ⇔ − = − (2) ⇔ log a N log C N log b N log a N log b N log b N log C N log b N − log a N log c N − log b N log b N − log a N log a N log a N − log b N log a N ⇔ = ⇔ = = log a N .log b N log c N .log b N log c N − log b N log c N log b N − log c N log c N Bài t p 16: a) Tìm x ba s x, 3; x + 2 l p thành c p s nhân b) Cho c p s nhân u5 = 2 x − 3; u10 = x + 3; u15 = 5 x − 3 . Tìm x. Bài t p 17: Các s x + 5 y, 5 x + 2 y, 8 x + y theo th t ó l p thành m t c p s c ng; "ng 2. 2. th!i các s ( y − 1) , xy − 1, ( x + 2 ) theo th t . Bài t p 18: Tính các t ng sau: A = 10 + 102 + ... + 10n. ó l p thành m t c p s nhân. Hãy tìm x và y. B = 9 + 99 + ... + 999..9 #.. 1 D = 2+ 2. C = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7 n #. 7. 2. 1 + 4+ 4. 2. 1 + ... + 2 + n 2. 2. n. Bài gi i: a) A = 10 + 102 + ... + 10n Xem A là t ng c a n s h ng c a 1 c p s nhân ( un ) v i u1 = 10, q = 10 1 − 10n 10 n = (10 − 1) 1 − 10 9 2 b) B = 9 + 99 + ... + 999..9 = (10 − 1) + (10 − 1) + ... + (10n − 1) = 10 + 102 + ... + 10n − n. Suy ra: A = 10 + 102 + ... + 10n = 10. #.. Theo câu trên, suy ra: B = 9 + 99 + ... + 999..9 = #.. c) C = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7 = #.. 10 n (10 − 1) − n 9. 7 9 + 99 + 999 + ... + 99...9 9 #.. Theo câu trên, suy ra: C = 7 + 77 + 777 + ... + 777...7 = #.. 7 10 n (10 − 1) − n 9 9. d) Ta có : S = 4+2+. 1 1 1 + 16 + 2 + + ... + 22 n + 2 + 2 n 4 16 2. = ( 4 + 16 + .. + 22 n ) + 2n +. 1 1 1 + + .. + 2 n 4 16 2. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(36)</span> Chuyên S = 4.. : DÃY S - C P S. C NG- C P S. NHÂN. i s và Gi i tích 11. 1 2n. 4n −1 1 2 −1 4n − 1 1 22 n − 1 + 2n + . = 4. + 2n + . 2 n 3 4 1 −1 3 3 2 4. 4n − 1)( 4n+1 + 1) ( 4n − 1 4.4n + 1 = 2n + . = 2n + 3 4n 3.4n Bài t p 18: Tính các t ng sau: a) P1 = 1 + 2.2 + 3.22 + ... + 100.299 P2 = 1.x + 2.x 2 + ... + nx n .. Bài gi i: a) P1 = 1 + 2.2 + 3.22 + ... + 100.299 (1) 2 P1 = 2 + 2.22 + 3.23 + 4.24 + ... + 99.299 + 100.2100 L y (1) tr (2), ta c: 2 3 − P1 = 1 + 2 + 2 + 2 + ... + 299 − 100.2100 2100 − 1 = 99.2100 + 1 2 −1 P2 = xP0 = 1.x + 2.x 2 + ... + nx n .. P1 = 100.2100 − (1 + 2 + 22 + 23 + ... + 299 ) = 100.2100 −. b) t P0 = 1 + 2.x + 3.x 2 + ... + nx n−1 TH 1: Xét x = 0 P2 = 0 .. n ( n + 1) 2 2 TH 3: Xét x ≠ 1 . Xét P0 = 1 + 2.x + 3.x + ... + nx n−1. TH 2: Xét x = 1. P2 = 1 + 2 + ... + n =. P2 = xP0 = 1.x + 2.x 2 + ... + nx n .. P2 − P0 = P2 − xP2 = (1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n −1 ) − nx n xn − 1 1 xn − 1 n ⇔ P2 (1 − x ) = − nx ⇔ P2 = − nx n x −1 x −1 x −1 Bài t p t ng t : Bài t p: Tính các t ng sau: A = 5 + 52 + ... + 5n B = 15 + 155 + ... + 1555...5 #. 2. 2. 2. 1 1 1 C = 1 + 2.3 + 3.3 + .. + 2010.3 D = x+ + x 2 + 2 + ... + x n + n ( x ≠ 0) x x x 1 3 2n − 1 E = 1 + 4.5 + 7.52 + ... + ( 3n − 2 ) 5n F = + 2 + ... + n 2 2 2 Bài t p 19: Cho c p s nhân ( un ) và cho các s nguyên d ng m, k v i m < k . Ch ng minh 2. 2009. r ng: uk = uk − m .uk + m Áp d ng: Hãy tìm m t c p s nhân v i công b i âm, có 7 s h ng, s h ng th 3 b ng 2 và tích s h ng u và cu i b ng 18. 6 Bài t p 1: Cho tam giác ABC có A = 900 và a, b, c theo th t ó l p thành m t c p s 3 nhân. Tính góc B, C c a tam giác ABC? Bài gi i:. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(37)</span> Chuyên. : DÃY S - C P S. C NG- C P S. NHÂN. i s và Gi i tích 11. a =b +c Theo gi thi t ta có h : 2 2 3 b = ac ⇔ b 2 = ac 3 2 3 T ó suy ra a 2 = ac + c 2 ⇔ 2a 2 = 3ac + 2c 2 ⇔ ( 2a + c )( a − 2c ) = 0 a = 2c ( 2a + c > 0 ) 2 c 1 B = 600 , C = 300 . Mà: cos B = = a 2 Bài t p 19: Cho tam giác ABC cân t i A. C nh BC, !ng cao AH, c nh bên AB theo th t ó l p thành m t c p s nhân . Hãy tính công b i q c a c p s nhân ó? Bài gi i: Theo gi thi t: AB = AC và BC , AH , AB l p thành c p s c ng nên ta có h : 1 BC 2 HC b = = = 2cot C a u + n q AH AH a −1 2cot C = sin C ⇔ 2cos C = sin 2 C = 1 − cos 2 C 1 AH = = sin B q AB 2. 2. 2. ⇔ cos 2 C + 2cos C − 1 = 0 ⇔ cos C = −1 + 2 ( 0 < C < 900 ) Do C là nh n cho nên sin C = 2. (. ). 2 −1. Cho nên công b i c a c p s nhân là : q =. Bài t p 1: Cho dãy s. ( un ) :. 1 = sin C. 1 2. (. u1 = 1, u2 = 2 un+1 = 3un − 2un−1 ( n ≥ 2 ). ). =. 2 −1. 1 2 2. (. ). 2 +1. .. Xét dãy ( vn ) bi t vn = un+1 − un ( n ≥ 1) a) Ch ng minh dãy ( vn ) là m t c p s nhân. b) Tìm s h ng t ng quát c a dãy s. ( un ) .. Bài gi i: a) Ta có: ∀n ≥ 2 : un+1 − un = 2 ( un − un−1 ) ⇔ vn = 2vn−1 Suy ra: ( vn ) là c p s nhân v i công b i q = 2. b) Do un = ( un − un −1 ) + ( un −1 − un − 2 ) + ... + ( u2 − u1 ) + u1 = vn −1 + vn − 2 + ... + v1 + 1 M t khác: vn −1 + vn− 2 + ... + v1 = S n−1 =. 1. 1 − 2n −1. Do ó, s h ng t ng quát c a dãy ( un ). = 2n−1 − 1 .. 1− 2 là: un = 2n−1 .. u1 = 2. Bài t p 1: Cho dãy s. ( un ) :. un +1 =. . Ch ng minh: ( un ) v a là c p s c ng v a un2 + 4 ( n ≥ 1) 4. là c p s nhân. Bài gi i:. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(38)</span> Chuyên : DÃY S - C P S C NG- C P S NHÂN i s và Gi i tích 11 Ta có: u1 = 2, u2 = 2, u3 = 2 … D oán: un = 2 ( n ≥ 1) (*). Ta ch ng minh (*) b ng qui n p toán h c: * V i n = 1: u1 = 2 ( úng) * Gi s (*) úng v i n = k t c là: uk = 2 ( k ≥ 1) . Ta c n ch ng minh (*) úng v i n = k + 1 t c là: uk +1 = 2 ( k ≥ 1) . uk2 + 4 4 + 4 = =2 4 4 V y un = 2 ( n ≥ 1) , nên ( un ) v a là c p s c ng, v a là c p s nhân. ( .p.c.m) Bài t p t ng t : u1 = 4 Bài t p 1: Cho dãy s ( un ) : . Ch ng minh: ( un ) v a là c p s c ng un+1 = un + 12 ( n ≥ 1). * Th t v y: Xét uk +1 =. v a là c p s nhân.. Giáo viên: Lê Bá B THPT Phong i n- Hu.

<span class='text_page_counter'>(39)</span>