Tôpô yếu và một số tính chất của ánh xạ đóng

1

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh
--------------=o.0.0=--------------

Nguyễn ngọc tự

Tôpô yếu và một số tính chất
của ánh xạ đóng

Chuyên ngành:
MÃ số

:

Giải tích toán học

1.01.01

Luận văn thạc sỹ toán học
Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:PGS.TS. Trần Văn Ân

Vinh-2002
********


2

Mục lục

Lời nói đầu
Ch-ơng 1
1.1
1.2
1.3

Một số định nghĩa và tính chất cơ bản
Định nghĩa không gian với tôpô yếu
Một số loại ánh xạ trên không gian tôpô
Một số họ các tập con có tính chất đặc biệt trên
không gian tôpô

Ch-ơng 2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6

Không gian với tôpô yếu
M- không gian và M- không gian paracompact
Kh«ng gian d·y
k- kh«ng gian
Tùa-k- kh«ng gian
Song-k- kh«ng gian
Song-tùa-k- không gian

Ch-ơng3
3.1

3.2
3.3

Một số tính chất của ánh xạ đóng
Không gian đ-ợc làm trội bởi một cái phủ
Không gian đ-ợc xác định bởi một cái phủ
Không gian có phủ HCP.
Kết luận
Tài liƯu tham kh¶o

Trang
1
4
4
10
16
26
26
26
29
33
37
42
44
44
50
54
60
61

3

Mở đầu

Khái niệm tôpô yếu đ-ợc Dugundji [1] đ-a ra năm 1967 từ sự khái
quát một lớp không gian tôpô đặc biệt có ích cho việc nghiên cứu sự hội tụ
đều trên không gian hàm. Giả sử F là một họ nào đó các ánh xạ từ không gian
tôpô X vào không gian đều (Y, B). Cái đều của sự hội tụ đều trên các tập
compact là cái đều đủ U C và cái đều này cảm sinh ra một tôpô th-ờng đ-ợc
gọi là tôpô của sự hội tụ compact. Kết quả đ-ợc quan tâm hơn khi nghiên cứu
bài toán này là Nếu (Y, B) là không gian đủ và A là một họ các tập con của
không gan tôpô X thì họ tất cả các ánh xạ từ X vào Y liên tục trên các phần tử
của A lập thành U A không gian đủ. Do đó điều kiện đủ để tập hợp các ánh
xạ liên tục từ X vào Y là đủ trên cái đều U A là họ A thoả mÃn điều kiện
hàm liên tục trên các phần tử của A thì nó liên tục trên X, nghĩa là nếu f là
hàm bất kỳ ánh xạ tõ X vµo Y vµ B lµ tËp con tuú ý của Y, khi đó điều kiện
phát biểu trên đ-ợc thoả mÃn nếu f 1 (B) A là đóng trong A với mỗi A A
thì f 1 (B) là tập đóng trong X. Đặc biệt không gian tất cả các hàm liên tục từ
X vào Y là đủ với cái đều của sự hội tụ đều trên các tập compact nếu A là tập
đóng trong X khi và chỉ khi A B là tập đóng trong B với mọi B là tập đóng
compact trong X. Rõ ràng việc nghiên cứu sự hội đều trên không gian hàm sẽ
thuận lợi nếu trên X có nhiều họ tập con có tính chất t-ơng tự nh- tính chất
của các tập compact. Điều này dẫn đến sự cấn thiết phải nghiên cứu khái quát
các loại không gian này và khái niệm tôpô yếu (weak topology) xuất hiện.
Cho C là một phủ của không gian tôpô X. Khi đó không gian X được gọi là
có tôpô yếu tương thích với phủ C nếu A là tập đóng trong X khi và chỉ
khi A  C đóng trong C với mỗi C  C . Theo hướng nghiên cứu này đà có
rất nhiều nhà toán học quan tâm nh- E.A Michael, Chuan liu, Shou Lin v.v...
Đặc biệt là các công trình nghiên cứu của Yohio Tanaka. Gần đây (1999) ông

có đ-a ra một số câu hỏi khi nghiên cứu về các tính chất của ánh xạ đóng theo
quan điểm tôpô yếu (xem [11]). Mục đích của luận văn là nhằm trình bày lại
một cách có hệ thống một số loại không gian với tôpô yếu, và các khái niệm
có liên quan qua sự tổng kết các kết quả từ các bài báo tr-ớc ®ã, chøng minh


4

chi tiết và đ-a ra thêm một số đặc tr-ng của các loại không gian này. Thêm
nữa tác giả cũng đ-a ra một số kết quả b-ớc đầu khi nghiên cứu các tính chất
của ánh xạ đóng nhằm trả lời câu hỏi Cho ánh xạ đóng f:X Y. Khi đó với
những điều kiện nào của không gian X và Y thì f 1 (y) ( hoặc B f 1 (y)) có
những tính chất tốt nh- compact, compact đếm đ-ợc, Linđơlốp v.v... với mỗi y
Y?
Luận văn có nội dung chính nh- sau:

Ch-ơng1. Một số khái niệm và tính chất cơ bản
Ch-ơng này nhằm trình bày khái niệm không gian tôpô yếu và một số
khái niệm cần thiết cho sự nghiên cứu các ch-ơng tiếp theo nh- khái niệm ánh
xạ hoàn hảo, tựa hoàn hảo, ánh xạ th-ơng, ánh xạ song th-ơng, ánh xạ giả mở và
một số họ các tập con của không gian nh- phủ điểm đếm đ-ợc, phủ HCP v.v...

Ch-ơng2. Một số loại không gian với tôpô yếu và các đặc tr-ng
của chúng
Ch-ơng này trình bày một số loại không gian tôpô yếu nh- M - không
gian, paracompact M-kh«ng gian, kh«ng gian d·y (sequential space), kkh«ng gian (k-space), tùa -k-kh«ng gian (quasi- k- space), song-k-kh«ng gian
(bi- k-space), song- tựa -k-không gian (bi- quasi- k- space) và song- tựa -kkhông gian đơn ( singly bi- quasi- k- space)

Ch-ơng3. Một số tính chất của ánh xạ đóng
Ch-ơng này trình bày một số tính chất của ánh xạ đóng trên các loại

không gian đà đ-ợc trình bày trong ch-ơng 2.
Trong luận văn một số thuật ngữ về không gian và các ánh xạ bằng Tiếng
Việt, đều có kèm theo nguyên bản tiếng anh (xem tài liệu tham khảo). Một số
khái niệm khác nếu không nói gì thêm thì đ-ợc hiểu nh- cách hiểu thông
th-ờng. Tất cả các ánh xạ trong luận văn đều là ánh xạ liên tục. Các không
gian trong ch-ơng 2 và 3 là Tl- không gian ở ch-ơng 3 tất cả các không gian là


5

Tl và chính quy. Trong luận văn có sử dụng một số kết quả về bản số và số thứ
tự đ-ợc trình bầy trong [2].
Những kết quả của luận văn chủ yếu đ-ợc tổng kết và phát triển từ
các bài báo (xem tài liệu tham khảo) tác giả cố gắng chứng minh chi tiết
các kết quả này. Trong ch-ơng 3 hy vọng trong t-ơng lai tác giả sẽ
nghiên cứu đ-ợc các kết quả mạnh hơn.
Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Trần Văn Ân,
ng-ời h-ớng dẫn trực tiếp giúp tôi hoàn thành luận văn. Cũng cho tôi gửi lời
cảm ơn tới các thầy cô trong Khoa Toán Tr-ờng Đại Học Vinh đà tận tình
giúp đỡ tôi trong quá trình học tập, nghiên cứu và cảm ơn tất cả bạn bè đà giúp
đỡ tôi trong việc tìm kiếm tài liệu tham khảo và trong công tác in ấn.
Do điều kiện thời gian và hạn chế về mặt trình độ, luận văn chắc chắn
không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô và quý bạn đọc
đóng góp ý kiến để luận văn đ-ợc hoàn chỉnh hơn.
Vinh, tháng11 năm 2002
Tác giả


6

Ch-ơng 1. Một số định nghĩa và tính chất cơ bản

1.1. Định nghĩa không gian với tôpô yếu
1.1.1. Định nghĩa.([1]) Cho C là một phủ của không gian tôpô X. Khi
®ã X được gọi là có tôpô yếu tương thích với phủ C nếu A  X là tập
đóng trong X khi và chỉ khi A  C đóng trong C với mỗi C  C.
Nếu X có tôpô yếu tương thích với phủ C ta còn nói X được xác định
bëi C hay C xác định X.
1.1.2. NhËn xÐt. (a) X có tôpô yếu t-ơng thích với cái phủ C nÕu tËp
A  X lµ më trong X khi vµ chØ khi A  C më trong C víi mỗi C C.
Thật vậy, giaỷ sửỷ X coự toõpoõ yếu theo nghóa 1.1.1 và A là tập con của X
sao cho A  C là tập më trong C. Khi ®ã ta cã (X \ A)  C = C \ (A C) là
tập đóng trong C với mỗi C C. Do đó X \ A là tập đóng trong X. Vì vậy, A
mở trong X.
Ng-ợc lại, nÕu A là tập con của X sao cho A  C là tập ®ãng trong C.
Khi ®ã ta cã (X\ A)  C = C \ (A  C) là tập mở trong C với mỗi C C. Do
đó X\ A là tập mở trong X. Vì vậy, A đóng trong X.
b) Điều kiện cần trong định nghĩa 1.1.1 và nhận xét 1.1.2 là hiển nhiên.
Do đó không gian X đ-ợc xác định bởi phủ C nếu U C là tập đóng (mở)
trong C với mỗi C C thì U là tập đóng (t-ơng ứng, mở) trong X.


7

1.1.3. VÝ dơ. Không gian compact địa phương, không gian thỏa
mãn tiên đề đếm được thứ nhất được xác định bởi phủ gồm các tập con
compact.
Chứng minh. (i ) Giả sử X là là không gian tôpô compact địa
phương. Ký hiƯu C ={C:    } là phủ gồm tất cả các tập con compact
của X. Ta chứng minh phủ C xác định X. ThËt vËy, gi¶ sư U  X sao cho

U  C ®ãng trong C víi mäi C  C, nh-ng U không đóng trong X. Khi ®ã
tồn tại điểm tơ x của U nhưng x  U. Do X compact địa phương nên tồn
tại lân cận compact C  C của X víi V = C  (U \ {x})  . Khi ®ã víi mọi
W là lân cận của x ta cã W  C laứ laõn caọn cuỷa x, vì x là điểm tơ của U ta
có
W  (V \ {x}) = W  (C  (U \{x}) ) = (W  C )  (U \ {x}) .
Do đó x là điểm tơ của V = U  C nh-ng x  V. V× vËy U  C là tập
không đóng trong C C .
(ii) T-ơng tự ta chứng minh đ-ợc nếu X là không gian thoả mÃn tiên đề
đếm đ-ợc thứ nhất thì X đ-ợc xác định bởi phủ gồm các tập con compact.
1.1.4. Định nghĩa.([3]) Cho X laứ khoõng gian tôpô, C ={C :    }
là phủ gồm các tập con đóng của X. Không gian X được gäi lµ làm trội
bởi C hay C làm trội X nếu mọi họ con C ’ = {C :    ’  } cđa C ta
đều có X ’=  C là tập đóng trong X và X ’ được xác định bởi phủ C ’.
  '

1.1.5. MƯnh ®Ị. (a) Nếu X là không gian tôpô thì mọi phủ mở của
không gian đều x¸c định X.


8

(b) Nếu C là một phủ làm trội X thì C xác định X. Điều ngược lại
không đúng.
( c) Nếu C là một phủ tăng, gồm đếm được các tập con ®ãng của X
thì C xác định X khi và chỉ khi C làm trội X.
Chứng minh. (a) Giả sử X là không gian tôpô với B ={B  :    }
là một phủ mở tùy ý của X vµ U

là tập con bất kỳ của X. NÕu

U  =U  B  mở trong B  với mỗi    , v× B  là tập mụỷ trong X nên U
mụỷ trong X. Khi đó U = U  là tập mở trong X.
(b) Giả sử B ={ C  :    } laứ moọt phuỷ laứm troọi X. Theo định nghĩa
thì X={C : } đ-ợc xác định bởi phủ B.
ẹieu ngửụùc lại khoõng ủuựng tửực laứ ton taùi khoõng gian đ-ợc xác định
bởi phủ C nhưng không được làm trội bởi C. Thật vậy, ®ặt
S= 

1
2
: n    0 ; I=[0,1] và X=I  S  R . Xét hä
n

C = I 

1
, n  
n

 I  0  t S , t  I .

Ta chứng minh C là một phủ xác định X. Thật vậy, giả sử U là tập
không đóng trong X, khi đó tồn tại điểm tơ x =(  ,  )  X của U nhưng
x  U. Đặt C=I      C thì C là lân cận của x vµ C  (U\ {x})  . Víi
mọi tập mở W là lân cận của x ta cã,
W  (C  U) \ {x}=(W  C)  U \ {x}  
nên x là điểm tơ của V =C  U  C nhưng x  V, do đó U  C không
đóng trong X. V× vËy C là một phủ xác định X.

9

Mặt khác X= I
n

1
n

laứ taọp không đóng trong X do đó C không

làm trội X.
(c)Theo (b) ta có điều kiện ®đ. Ta chứng minh điều kiện cÇn. Giả
sử C = { Cn :n  IN } laứ moọt phuỷ tăng, xác định X, và C ’={Ci : i I  IN}.
Ký hiƯu X ’ =

C
iI

ni

.

Nếu I hữu hạn thì tồn tại n0 I sao cho ni  no víi mäi i  I. Khi ®ã
C n =X’ vµ X’ ®ãng trong X ®ång thêi C xác định X.
0

Nếu I vô hạn thì với bÊt kú n IN tån t¹i n0  I sao cho C n  Cn do ®ã
0

X  X’. Tõ gi¶ thiÕt I  IN suy ra X’  X. Vì vậy X= X hay X đóng trong
X đồng thời C xác định X. Vậy C làm trội X.
1.1.6. MƯnh ®Ị. Cho ánh xạ liên tục f:X Y. Giả sử C={ C:    } là
phủ xác định X và ánh xaù f C : C  f(C) là ánh xạ thu hĐp của f lên C.
Khi đó ánh xạ f liên tục khi và chỉ khi f C liên tục trên C với mỗi   .
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên.Ta chỉ can chửựng minh
ủieu kieọn ủuỷ .
Giả sử V là tập më bÊt kú trong Y xÐt tËp U=V  f(C). Khi đó U më
trong f(C) vµ
f

1

(V )  C = f 1 C  (V  f( C ))= f 1 C  (U)

víi mäi   . Do f -1 C  liên tục nªn víi mỗi C và U mở trong C, suy ra
f -1(V )  C là mở trong C với mỗi   . V× X được xác định bởi
C={ C  :    } nên f -1(V ) là tập mở trong X . Bëi vËy f là ánh xạ liên
tục.


10

1.1.7. Định lý. (a) Cho X ,Y laứ caực khoõng gian tôpô với X chính quy
và ánh xạ đóng f:X Y. Khi đó C ={ f 1 ( C):    } là một phủ xác định
X khi và chỉ khi C ’={C:    } là một phủ xác định Y.
(b) Nếu C={ C:    } là một phủ xác định X và C C’ với mỗi
   thì C ’ ={ C’:    } cũng là một phủ xác định X.
Chøng minh.(a) CÇn. Gia ûsử C={ f 1 ( C):    } là một phủ xác
định X. Do f là ánh xạ lên nên họ C ’ ={f ( f 1 ( C))= C :    } laứ moọt

phuỷ xaực ủũnh Y. Mặt khác vụựi U laứ tập con bất kỳ của Y thoả mãn U
 C đóng trong C với mỗi C

f

1

 C ta có

C  (U  C) = f 1  C  (U)  f 1  C  (C)) = f -1  C  (U )  C
= f 1 U )  C

Theo (1.1.6) th× f C  là ánh xạ liên tục trên C nên suy ra f 1 (U )  C 
là tập đóng trong C . Do C ={ f 1 ( C  ):    } là một phủ xác định X
nên suy ra f -1(U) là tập đóng trong X. Do đó U = f ( f 1 ( U)) là tập đóng
trong Y (vì f là ánh xạ đóng) hay C ’={C  :    } là một phủ xác định
Y.
§đ. Giả sử C ’={ C  :   } là một phủ xác định Y vµ U là tập
con bất kỳ của X thoả mãn U  f 1 (C) là tập đóng trong f 1 (C) vụựi
moói . Giaỷ sửỷ ng-ợc lại U là tập không đóng trong X khi đó ton taùi
ủieồm tụ x0 X của U nhưng x0  U tức là x  U \ U và C 0  C thoả maõn
f(x0)  C 0 . Do U  f 1 (C 0 ) và f 1 f(x0) là tập đóng trong f 1 (C 0 ) nªn
f( f 1 (x0))  ( U  f 1 (C  0 )= U  f( f 1 (x0))


11

là tập đóng trong f 1 (C 0 ) và do đó nó là tập đóng trong f ( f 1 (x0)). Vì
f ( f 1 (x0)) là tập đóng trong X nên U f( f 1 (x0)) là tập đóng trong không
gian chính quy X. Từ giả thiết x0  f( f 1 (x0)) vµ x0  f( f 1 (x0))) U nên tồn

tại lân cận V cđa x0 vµ W cđa f( f 1 (x0))  U thoả mÃn V W= . Do V và
W là các tập mở nên V W=. Từ đó suy ra V  ( f( f 1 (x0))  U)=.
Đặt E = V  U do x0 U nên x0 E do đó f(x0) f(E). Mặt khác
với mọi lân cận W của x0 thì W  V là lân caọn cuỷa x0 và do x0 U nên
(W V )  U=W  ( V  U)=W  E .
Vì thế x0 E . Từ đó suy ra f (x0)  f( E ) f (E ) . Từ các lập luận trên suy ra
tập f(E) không đóng trong Y. Mặt khác ta lại có f[E f -1(C)]  f(E)  C víi
mäi C  C '. Hơn nữa với mỗi y f(E) C thì y f(E) và y C nên tồn tại
x E để f(x) =y C nghĩa là x  E vµ x  f -1 (C) hay x E f -1 (C). Điều
này kéo theo y=f(x)  f[E  f -1(C)]. V× vËy f(E)  C f[E f -1(C)]. Từ
các khẳng định trên suy ra f(E)  C =f[E  f -1(C)] víi mọi . Từ giả
thiết C là phủ xác định Y suy ra f(E) là tập đóng trong Y. Mâu thuẫn này kết
thúc chứng minh phần (a) định lý.
(b) Nếu U là tập con của X thoả mÃn U C' là tập đóng trong C' với
mỗi , thì C là không gian con của C' nên (U C') C là tập đóng
trong C với mỗi .
Nh-ng từ đẳng thức
(U C')  C=U  C'  C=U  C
ta suy ra U C là tập đóng trong C với mỗi C. Do C là phủ xác định X
nên U là tập đóng trong X do đó C ' là phủ xác định X.


12

1.1.8. Định nghĩa.([2]) Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian
Linđơlốp nếu X là không gian chính quy và mọi phủ mở của X đều có phủ con
đếm đ-ợc.
Tập con A của không gian chính quy X đ-ợc gọi là tập Linđơlốp nếu A
cùng với tôpô cảm sinh là không gian Lin đơ lốp.
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là - compact nếu mọi tập con lực l-ợng

của X đều có điểm tụ trong X.
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là paracompact nếu mọi phủ mở của X
đều có cái mịn mở hữu hạn địa ph-ơng.
Do ánh xạ đóng bảo tồn tập compact, compact đếm đ-ợc, paracompact,
- compact và Linđơlốp nên từ định lý 1.1.7 ta có hệ quả sau.
1.1.9. Hệ quả. Nếu không X gian đ-ợc xác ®Þnh bëi phđ C={ C  :    }
gồm các tập con compact (paracompact, - compact và Linđơlốp) và f : X Y là
ánh xạ đóng thì Y đ-ợc xác định bởi phủ f (C)={ f(C ): } gồm các tập con
compact (t-ơng ứng, paracompact, - compact và Linđơlốp).
1.1.10. Nhận xét. Nếu thay giả thiết không gian X chính quy bằng giả thiết
Hausdorff và f 1 (y) là tập compact với mỗi y Y thì định lý 1.1.7 vẫn đúng.
Thật vậy, chứng minh hoàn toàn t-ơng tự nh- 1.1.7 nh-ng xây dựng tËp
V tho¶ m·n V  ( f

-1

f(x0)  U)= nh- sau

Với mỗi x f

-1

f(x0) U thì x x0 từ giả thiết X là không gian

Hausdorff suy ra tồn tại các lân cận mở Vx của và W xx cña x0 sao cho Vx 
0

W xx0 = khi ®ã hä { Vx:x  f

-1

f(x0)  U } lµ mét phđ më cđa f

-1

f(x0)  U.

V× f -1f(x0)  U là tập đóng trong không gian compact f 1 f(x0) nªn f -1f(x0) 


13
U là không gian con compact do đó tồn tại phñ më  Vx : 1  i  n . Đặt
i

V
n

V=

i 1

i

xi

:0 i n

thì V là lân cận của x0 và V
n

0 i n . Do ®ã V  (   W xx0i
i 1

V ( f

-1

)= do ®ã V

 W xx0i   víi mäi
n

 (   W xx0i

 ) = . Tõ ®ã suy ra

i 1

f(x0)  U)= . 

1.2. Một số loại ánh xạ trên không gian tôpô
Phần này chúng tôi sẽ giới thiệu ánh xạ th-ơng, ánh xạ song th-ơng,
th-ơng di truyền, ánh xạ hoàn chỉnh...mà chúng cần thiết cho việc nghiên cứu
tôpô yếu sau này.
1.2.1. Định nghĩa.([3]) Cho X, Y là các không gian tôpô, ánh xạ liên tục
f:X Y đ-ợc gọi là ánh xạ hoàn chỉnh (tựa hoàn chỉnh) nếu f là ánh xạ đóng
và f -1(y) là tập compact (compact đếm đ-ợc) trong X với mọi y Y.
1.2.2. Mệnh đề.([2]) Cho ánh xạ hoàn chỉnh f:X Y. Khi đó các khẳng
định sau đây là ®óng
(a) f 1 (Z) lµ tËp compact trong X víi mỗi Z là tập compact trong Y.

(b) Tích của hai ánh xạ hoàn chỉnh là ánh xạ hoàn chỉnh.
(c) Với mäi tËp A  X vµ mäi tËp B  Y thì fB: f 1 (B)B là ánh xạ
hoàn chỉnh.
1.2.3. Định nghĩa. ([2]) Cho X là không gian tôpô, E là một quan hệ
t-ơng đ-ơng trên X . Ký hiệu X/E là tập tất cả các lớp t-ơng đ-ơng theo quan
hệ E. Tôpô mịn nhất trên X/E đ-ợc gọi là tôpô th-ơng trên X theo quan hệ


14
t-ơng đ-ơng E và ánh xạ q:X X/E biến mỗi điểm x X thành một lớp
t-ơng đ-ơng [x] X/E đ-ợc gọi là phép chiếu tự nhiên trên X.

1.2.4. Mệnh đề.([2]) Cho X/E là không gian tôpô th-ơng của X trên
quan hệ t-ơng đ-ơng E. Khi đó
(i) Tập F X /E là tập đóng khi và chỉ khi q -1(F) là tập đóng trong X.
(ii) Tập A X /E lµ tËp më khi vµ chØ khi q -1(A) là tập mở trong X.
1.2.5. Nhận xét. Cho ánh xạ liên tục f:X Y và quan hệ t-ơng đ-ơng
E(f) xác định bởi x quan hệ E(f) với y khi và chỉ khi tồn tại z Y sao cho x và
y đều thuộc f -1 (z). Ký hiệu ánh xạ f :X/E(f) Y là ánh xạ xác định bởi
f (f -1(y))=y víi mäi y  Y. Khi ®ã f = f . q . Vì thế f là ánh xạ liên tục.

1.2.6. Định nghĩa.([2]) ánh xạ liên tục f :X Y đ-ợc gọi là ánh xạ
th-ơng (quotient map) nếu tồn tại một quan hệ t-ơng đ-ơng E trên X và một
đẳng cấu f ':X /EY thoả mÃn f '=f.q trong đó q là phép chiếu tự nhiên từ X
lên X/E.
1.2.7. Mệnh đề.([2]) Cho X, Y là không gian tôpô và ánh xạ f :X Y.
Khi đó các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng
(i) f là ánh xạ th-ơng.
(ii) TËp f 1 (U) lµ tËp më trong X khi vµ chØ khi U lµ tËp më trong Y.
(iii) TËp f 1 (V) là tập đóng trong X khi và chỉ khi V là tập đóng trong Y.

(iv) ánh xạ f :X/E(f) Y luôn là một đẳng cấu.
1.2.8. Định nghĩa.([2]) Cho X, Y là các không gian tôpô. ánh xạ
f:X Y đ-ợc gọi là ánh xạ song th-ơng (bi-quotient map) nÕu víi mäi y  Y


15

vµ víi mäi phđ më U cđa f 1 (y), tồn tại hữu hạn tập {f(U):U U } phủ một
lân cận nào đó của y.

1.2.9. Mệnh đề.([4]) (i) Mọi ánh xạ hoàn chỉnh đều là ánh xạ song
th-ơng.
(ii) Mọi ánh xạ song th-ơng đều là ánh xạ th-ơng.
(iii) Tích của hai ánh xạ song th-ơng là ánh xạ song th-ơng.
Chứng minh. (i) Giả sử f là ánh xạ hoàn chỉnh y là điểm bất kỳ thuộc Y
và U là phủ mở bất kỳ của f 1 (y). Vì f là ánh xạ hoàn chỉnh nên f 1 (y) là tập
compact trong X. Do đó tồn tại hữu hạn tập Vi U, i=1,,k sao cho
f

1

(y)

k

V

i

i 1

Vì f là ánh xạ đóng nên tồn tại lân cận V của y sao cho f 1 (V) 

k

V

i

.

i 1

k

V× thÕ ta cã

 f (V )

i

V. Do đó f là ánh xạ song th-ơng.

i 1

(ii) Giả sử f :X Y là ánh xạ song th-ơng và U là tập mở tuỳ ý trong Y
khi đó vì f là ánh xạ liên tục nên f 1 (U) là tập mở trong X. Ng-ợc lại nếu U
là tập con của Y thoả mÃn f 1 (U) là tập mở trong X. Khi đó với mỗi y U vì
f 1 (y) f 1 (U), nên f 1 (U) chính là một phủ mở của f 1 (y) theo định

nghĩa ánh xạ song th-ơng thì f ( f 1 (U))=U phủ một lân cận nào ®ã cđa y
do ®ã mäi ®iĨm y  U ®Ịu là điểm trong của U. Do đó U là một tập mở trong
Y. Theo 1.2.7, f là ánh xạ song th-ơng.
(iii) Giả sử các ánh xạ f :X Y và g :Y Z là các ánh xạ song th-ơng.
Ta chứng minh ánh xạ tích g.f :X Z là ánh xạ song th-ơng. Thật vậy,với mọi


16

z  Z vµ víi mäi phđ më U cđa ( gf ) 1 ( z)  f 1 ( g 1 ( z)) , khi đó với mỗi

y

g 1 ( z ) thì U là phủ mở của f 1 (y) f 1 ( g 1 ( z ) , do đó tồn tại họ hữu hạn các
tập më { f (U yi ) : 1  i k Ư} phủ một lân cận mở Vy nào ®ã cña cña y. Khi ®ã hä
{V y : y  g 1 ( z )} lµ mét phđ më cđa g 1 ( z ) . Do g lµ ánh xạ song th-ơng nên tồn

tại họ hữu hạn {g (V y j ) : 1  j  l} phủ một lân cận Wz nào đó của z. Khi đó họ
hữu hạn { f .g (U yi j ) : 1  i  k ,1  j  l} rõ ràng phủ lân cận Wz của z hay g.f là ánh
xạ song th-ơng.
Nhận xét. Có thể thay giả thiết của (iii) bằng tích của hữu hạn ánh xạ
thì mệnh đề vẫn đúng.
1.2.10. Định nghĩa.([11]) Cho X , Y là các không gian tôpô, ánh xạ liên
tục f:X Y đ-ợc gọi là ánh xạ giả mở ( pseu-open map) nếu với mọi y Y và
với mọi lân cận më V cđa f 1 (y) ta cã f(V) lµ một lân cận của y.
1.2.11. Mệnh đề. Cho ánh xạ f:X Y. Khi đó các khẳng định sau là
t-ơng đ-ơng
(a) f là ánh xạ giả mở.
(b) Với mọi tập S Y thì ánh xạ f f 1 (S ) :f -1(S)S là ánh xạ th-ơng.
(c) Nếu y A trong Y thì tồn tại x f 1(y) thoả m·n x  f 1 ( A) .

Chøng minh. (a b) Giả sử S là tập con bất kỳ cđa y vµ U lµ tËp con cđa S
sao cho
(f f 1 (S ) ) 1 (U)=f -1(U)  f 1 (S)
là tập mở trong f 1 (S). Khi đó tồn tại tập mở V trong X để
f

1

(U) f 1 (S)=V  f 1 (S).

Do ®ã
U=f [ V  f 1 (S)]=f (V)  S.


17

Hơn nữa với mỗi y U S thì f 1 (y) f 1 (U)  f 1 (S) V nên V là
lân cận mở của f 1 (y). Từ giả thiết f là ánh xạ giả mở suy ra f(V) là lân cận
của y trong Y. Do đó U =f(V) S là lân cận của y trong S. Từ đó suy ra U là
tập mở trong S. Theo 1.2.7 f f 1 (S) là ánh xạ th-ơng.
(b a). Cho bất kỳ y Y và U là một lân cận mở tuỳ ý của f 1 (y). Giả
sử f là tập con mở tuỳ ý trong Y chøa y theo ( b) th× f f 1 (S ) :f -1(S)S là ánh
xạ th-ơng. Vì
U f 1 (S)  f 1 [f(U)  S]=( f f 1 (S ) ) 1 [f(U) S],
nên tồn tại tËp V  f(U)  S sao cho U  f 1 (S) = f 1 (V) vµ y  V.Từ giả
thiết f f 1 (S ) là ánh xạ th-ơng và U f 1 (S) là tập mở trong f 1 (S) suy ra V
lµ tËp më trong S, nh-ng S là tập mở trong Y nên V  f 1 (U)  S  f(U) lµ
tËp më trong Y. Do đó f(U) là lân cận của y trong Y. Do đó (a) đ-ợc thoả
mÃn.
(a c). Nếu y A trong Y và giả sử ng-ợc lại không tồn tại phần tử

x f 1 (y) nào thoả mÃn x f 1 ( A) nghĩa là f 1 (y)  f 1 ( A) =. Theo (a) thì
f(X \ f 1 ( A) ) là lân cËn cđa y trong Y vµ y  A do ®ã f(X \ f 1 ( A) ))  A .
Điều này suy ra tồn tại x X\ f 1 ( A) tho¶ m·n f(x) =y  f( f 1 ( A) ). Mâu
thuẫn này suy ra khẳng định (c) là đúng.
(c a). Giả sử y là điểm bất kỳ Y và U là lân cận më tuú ý cña
f

1

(y) ta chøng minh y  int(f(U)).ThËt vậy giả sử ng-ợc lại y int (f(U)) suy

ra y  Y \ f (U ) theo (c) th×
f

1

(y)  f 1 (Y \ f (U )) = f 1 (y)  f 1 (Y ) \ f 1( f (U )) =

= f 1 (y)  X \ f 1( f (U ))  .


18

Mặt khác ta lại có, f 1 (y) U  f 1 (f(U)) do ®ã X\ f 1 (f(U))  X\U= X \ U
nªn
f

1

X\ f

1

( f (U )) 

X \ U = X\U. Nh-ng

f

1

(y)  U nªn suy ra

(y)  X \ f 1( f (U )) =. M©u thuÉn nµy suy ra y  int(f(U)) hay f(U) lµ lân

cận của y trong Y.

1.3. Một số họ các tập con có tính chất đặc biệt trên không
gian tôpô
Chúng ta đà biết một số họ các tập con có tính chất đặc biệt trên không
gian tôpô nh- phủ mở, phủ đóng, phủ hữu hạn địa ph-ơng, họ rời rạc, họ rời rạc, cái mịn...Trong phần này chúng tôi sẽ giới thiệu thêm một số khái
niệm có liên quan ®Õn t«p« u nh- läc, cë së läc, phđ ®Õm đ-ợc điểm, HCP
phủ v.v...
1.3.1.Định nghĩa.([2]) Cho F là họ khác rỗng các tập con của không
gian tôpô X.
(a) Họ F đ-ợc gọi là một lọc nếu nó thoả mÃn các ®iỊu kiƯn sau ®©y
(l1)   F
(l2) NÕu A1, A2 F th× A1  A2 F .
(l3) NÕu A  F th× A1 F víi mäi A1  A.
(b) Läc F đ-ợc gọi là lọc cực đại (maximal filter) hay siêu lọc

(ultrafiter) nếu mọi lọc F F thì F = F .
(c) Lọc F được gọi là mạnh hơn lọc F (hay F yếu hơn F ) nÕu
F F ’ víi mäi F  F.


19

(d) Điểm x đ-ợc gọi là điểm tụ của lọc F nÕu x  F víi mäi F F .
Khi đó lọc F đ-ợc gọi là tụ về x .
(e) Điểm x đ-ợc gọi là điểm giới hạn của lọc nếu với mọi lân cận U của
x thì U F. Khi đó lọc F đ-ợc gọi là hội tụ về x.
1.3.2. Định nghĩa. ([2]) (a) Họ khác rỗng F các tập con của không
gian tôpô đ-ợc gọi là một cơ sở lọc nếu F và với mọi F1, F2 F thì tồn
tại F3 F thoả mÃn F3 F1 F2.
(b) Điểm x đ-ợc gọi là điểm tụ của c¬ së läc F nÕu x  F víi mäi F
F. Khi đó cơ sở lọc F đ-ợc gọi là tụ về x .
(c) Điểm x đ-ợc gọi là điểm giới hạn của cơ sở lọc nếu với mọi lân cận U
của x tồn tại F F thoả mÃn F U. Khi đó lọc F đ-ợc gọi là hội tụ về x.
(d) Cơ sở lọc F đ-ợc gọi lµ héi tơ vỊ tËp A  X nÕu víi mọi lân cận U
của A thì tồn tại F F sao cho F  U.
1.3.3. NhËn xÐt.([2]) (i) NÕu G là cơ sở lọc trong X thì

FG

={ A X: tån t¹i B  G sao cho B  A} là một lọc trong X.
(ii) Nếu x là điểm tụ của siêu lọc F thì nó là điểm giới hạn của F.
(iii) Nếu x là điểm tụ của lọc F và F yếu hơn F thì x cũng là
điểm tụ của F .
(iv) Nếu x là giới hạn của lọc F và F mạnh hơn F thì x cũng là giới
hạn của F .

(v) Nếu x là điểm tụ của lọc F thì tồn tại lọc F mạnh hơn F nhận x
làm điểm giới hạn.


20
1.3.4. Mệnh đề. Điểm x A khi và chỉ khi tồn tại một cơ sơ lọc F gồm
các tập con của A hội tụ về x.
Chứng minh.Cần. Giả sử x  A vµ Bx ={B:  } lµ hä tất cả các lân cận
mở của x. Ký hiệu họ Vx ={V:V=B A, } thì Vx là họ khác rỗng các tập
con của A và A. Hơn nữa với mọi V1= B1 A, V2= B2  A Vx th×
V1  V2= (B1  A)  (B2  A)= (B1  B2)  A  Vx .Vì B1 B2 Bx nên
Vx là cơ sở lọc trong A.
Mặt khác với mọi lân cận W của x, tồn tại lân cận mở W x Bx của x
thoả mÃn Wx W. Khi đó V=Wx A Vx và hiển nhiên V W, do đó
W Vx . Vì vậy Vx là cơ sở lọc hội tụ về x trong A.
Đủ. Giả sử F ={F: } là cơ sở lọc hội tụ về x trong A . Khi đó
mọi lân cận V của x thì tồn tại F F để F V. V× thÕ ta cã (V  A)  F
nên x A .
1.3.5. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô và ánh xạ f:X Y. Khi đó
các khẳng định sau là t-ơng đ-ơng:
(a) f là ánh xạ song th-ơng.
(b) Nếu F là cơ sở lọc tụ tại y trong Y thì f 1 (F)={ f 1 (F): F F} là cơ
sở lọc tụ tại điểm x nào đó thuộc f 1 (y).
Chứng minh.(a b). Giả sư c¬ së läc f 1 (F)={ f 1 (F): F F } không
tụ tại bất cứ điểm x nào thuộc f 1 (y). Khi đó mỗi x f 1 (y) tån t¹i Fx  F
sao cho x f 1 ( Fx ) .Đặt Ux=X\ f 1 ( Fx ) thì Ux là lân cận mở của x. Điều này
kéo theo họ {Ux: x f 1 (y)}lµ phđ më cđa f 1 (y). Do f lµ ánh xạ song th-ơng


21

n

nên tồn tại tập hữu hạn {xi : 1 i  n } X sao cho V=  f (U x ) là một lân cận
i 1

i

của y. Do y là điểm tụ của lọc F suy ra V F khác rỗng, với mọi F F.
Mặt khác với mỗi i thoả mÃn 1 i n thì Uxi=X\ f 1 ( Fx ) nên
i

U xj f

1

( Fxi )   .V× vËy

f[ U x  f 1 ( Fx )]  f( U x ) Fx
j

j

i

i

n

với mọi i. Điều này kéo theo f (U x )  ( Fx )   víi mäi i=1,2,...n.

i

j 1

j

V× thÕ ta cã
n

n

n

i 1

j 1

j 1

( f (U xi ))  ( Fx j )  V  ( Fx j )   .

Do F là cơ sở lọc nên tồn tại F0 F với F0

n

F
j 1

xj

nên V F0= . Mâu

thuẫn này chứng tỏ (a b) là đúng.
(b a). Giả sử y là điểm bất kỳ thuộc Y và U={U :    } lµ mét
phđ më bÊt kú của f 1 (y). Đặt V ={f(U) : }. Giả sử không có họ hữu
hạn nào của V phđ mét l©n cËn cđa y trong Y. Khi đó họ F ={F : F là phần bù
trong Y của hợp hữu hạn các phần tử của họ V } là một cơ sở lọc trong Y và y
F víi mäi F  F. Theo (b) th× tån tại x0 f 1 (y) và 0 sao cho x0
U0 vµ x0  f 1 ( F ) víi mäi F  F. Chän F0 F víi F0 là hợp hữu hạn các phần
tử của V và chøa f(U 0 ). Khi ®ã
U 0  f 1 (Y\F0)= U 0  [X\ f 1 (F0)]  
Nh-ng U 0  f 1 (f(U 0 )) f 1 (F0) nên U 0 (X\ f 1 (F0)=. Mâu thuẫn này
suy ra (b a) là đúng.


22

1.3.6. Định nghĩa.([4]) DÃy giảm {An: n IN} các tập con của T1không gian tôpô X (nghĩa là An+1 Anvới mọi n IN ) đ-ợc gọi là k-dÃy


(q-dÃy) nếu K = An là tập compact (t-ơng ứng, compact đếm đ-ợc ) trong X
n 1

và dÃy{An:n IN} hội tụ về K.
Rõ ràng k-dÃy và q-dÃy là các cơ sở lọc trong X nên các khái niệm có
liên quan đ-ợc cho bởi (1.3.2).
Từ định nghĩa dễ dàng suy ra mệnh đề sau
1.3.7. Mệnh đề. Nếu (An), (Bn) là các k-dÃy (t-ơng ứng q-dÃy) thì
(An Bn) là k-dÃy (t-ơng ứng q-dÃy). Đặc biệt, nếu y Y và (An) là k-dÃy
(t-ơng ứng, q-dÃy) thì An {y} là k-dÃy (t-ơng ứng q-dÃy).

1.3.8.Định lý. Cho dÃy giảm {An:n IN} các tập con của X thoả mÃn




A = A
n

n 1

n

. Khi đó các khẳng định sau đây là t-ơng đ-ơng

n 1

(a) An là q-dÃy.
(b) Nếu dÃy {y n:n IN} tho¶ m·n y n An víi mäi n  IN thì nó có
điểm tụ y K=



A

n

(nghĩa là với mọi lân cận U của y thì U chứa vô hạn

n 1

c¸c ynvíi n  IN).
(c) NÕu d·y {yn:n  IN} thoả mÃn yn An với mọi n IN thì nó có điểm
tụ y Y.
(d) Nếu Kn An và Knlà dÃy giảm thì


Nếu bỏ giả thiết



A = A
n

n 1

n 1

n



K

n

.

n 1

th× ta cã (a)  (b)  (c)  (d).

23

Chøng minh.(a  b). Tr-íc hÕt ta chøng minh d·y (yn) có điểm tụ. Thật


vậy, nếu tồn tại dÃy con {y n }{yn} sao cho {y n } K
k

k

A

n

, th× vì K là

n 1

compact đếm đ-ợc, nên dÃy {y n }có điểm tụ y, và do đó y cũng là ®iĨm tơ
k

cđa d·y {yn}.
NÕu tån t¹i sè n0 IN sao cho {yn : n n0} X\ K. Đặt A= { yn : n  n0}
ta cã A  K =. Giả sử ng-ợc lại dÃy {yn : n n0} không có điểm tụ trong Y.
Khi đó A là tâp đóng. Do đó Y\A là lân cận của K, và Y\A không chứa bất


kỳ An nào cả. Điều này mâu thuẫn với giả thiết An hội tụ về K=  An . VËy

n 1

{yn : n  n0} cã ®iĨm tơ y trong Y.
B©y giê ta chøng minh r»ng d·y {yn : n  n0} cã ®iĨm tơ thc K.
Nếu không có điểm tụ nào của dÃy {yn : n n0} thuộc K thì tập V gồm
các phần tư cđa d·y {yn : n  n0} vµ tÊt cả các điểm tụ của nó là tập đóng trong
Y và không có giao với K khi đó Y\V là lân cận của K nh-ng không chứa bất
kỳ An nào với mọi n N. Mâu thuẫn này suy ra (a b) là đúng.
(b a). Giả sử An là dÃy giảm các tập con của X thoả mÃn mọi d·y (yn)


víi yn  An víi mäi n  N ®Ịu cã ®iĨm tơ y trong K=  An . Khi đó rõ ràng K
n 1

là tập compact đếm đ-ợc. Giả sử U là lân cận mở tuỳ ý của K ta chøng minh
tån t¹i n0  IN sao cho An U. Giả sử ng-ợc lại không tồn tại An thoả mÃn
0

0

khẳng định trên. Khi đó với mọi n  N chän yn (An\ U) ta cã d·y (yn) víi
yn  An víi mäi n nh-ng yn U. Theo (b) thì yn có điểm tụ y trong K.
Mặt khác do yn  Y\U víi mäi n vµ Y\U lµ tập đóng nên suy ra
y Y\U. Do U K nên suy ra y K. Mâu thuẫn này suy ra (b a) là đúng.
(b c). Hiển nhiªn.


24

(c b). Gọi y là điểm tụ của dÃy (yn) víi yn  An víi mäi n  N. Với

mỗi n0 N do An là dÃy giảm nên yn An0 víi mäi n>n0 suy ra y  An . V×
0

thÕ ta suy ra y 







n 1

n 1

n 1

 A n = An =K. Vạy (yn) có điểm tô trong K=  An .

(c  d). Chän d·y (yn) víi yn  Kn An víi mäi n  N khi ®ã theo (c)
d·y yn cã ®iĨm tơ trong Y. Với mỗi n0 N, do Kn là dÃy giảm nên yn K n với
0

mọi n>n0 vì thế y  K n . Bëi vËy ta cã
0



K

n

.

n 1

(d  c). Giả sử (yn) là một dÃy thoả mÃn yn  An víi mäi n  IN. Chän
Kn={ym: m  n}, khi đó rõ ràng Kn An với mọi n IN và Kn là dÃy giảm theo


(d) thì

K n   . Chän y 
n 1



K

ta chøng minh y là điểm tụ của dÃy yn. Giả

n

n 1

sử ng-ợc lại y không là điểm tụ của dÃy An. Khi đó với lân cận U bất kỳ của y
thì U chỉ có giao với hữu hạn các phần tử { y n :1  j  m }cña d·y yn. V× vËy
j

U  Kn =  víi mäi n > nk=max{ni : i=1,…,m} suy ra y  K n ví mọi n>nk.

Mâu thuẫn với giả thiết yn



K

n

.

n 1

1.3.9. Định nghĩa.([2]) Cho X là không gian tôpô P ={P : }là
một phủ của X. Khi đó phủ P đ-ợc gọi là phủ điểm hữu hạn (phủ điểm đếm
đ-ợc) nếu mỗi x X thuộc không quá hữu hạn (t-ơng ứng, đếm đ-ợc ) phần
tử của P.
1.3.10. Nhận xét. Từ định nghĩa suy ra mọi phủ con, hoặc cái mịn của
phủ điểm hữu hạn (phủ điểm đếm đ-ợc) đều là phủ điểm hữu hạn ( t-ơng ứng,
phủ điểm ®Õm ®-ỵc).


25
1.3.11. Mệnh đề. Cho ánh xạ f:X Y. Khi đó nếu P là phủ điểm đếm
đ-ợc của không gian tôpô Y th× f 1 (P)={ f 1 (P): P  P} là một phủ điểm
đếm đ-ợc của không gian tôpô X.
Chøng minh. Râ rµng f 1 (P) lµ mét phđ của không gian tôpô X. Mặt
khác với mọi x X tồn tại y Y để x f 1 (y). Do P là một phủ điểm đếm
đ-ợc trong Y nên tồn tại họ con đếm đ-ợc {Pn: n IN} cđa P tho¶ m·n y  Pn
víi mäi n  IN vµ y  P víi mäi   n  IN. Khi ®ã x  f 1 (y)  f 1 (Pn)
víi mäi n  IN vµ do y  P nªn

f

1

f

1

(y)  f 1 (P) víi mäi n. Do đó

(P) là phủ điểm đếm đ-ợc của X.
1.3.12. Định nghĩa.([9]) Cho X là không gian tôpô. Họ

A ={A: } các tập con của X đ-ợc gọi là bảo tồn bao đóng di truyền
(hereditarily closure preserving) viết tắt là họ HCP nếu với mọi và với
mọi B A thì {B : '}  {B :   '} .
Hä B ={B : } các tập con của X đ-ợc gọi là bảo tồn bao đóng
(closure preserving) nếu với mọi ’  th×  {B :   '}  {B :   '} .
1.3.13. NhËn xÐt. (i) Mäi họ HCP đều là họ bảo tồn bao đóng.
(ii) Họ rời rạc, họ hữu hạn địa ph-ơng đều là họ HCP và do đó là họ bảo
tồn bao đóng.
(iii) Mọi cái mịn của một họ HCP là một họ HCP.
1.3.14. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô. Họ C={C: } là một
phủ đóng của không gian X . Khi đó
(a) Nếu C là phủ HCP thì C làm trội X.
(b) Nếu C làm trội X thì C bảo tồn bao đóng.