Tô pô yếu trong không gian định chuẩn

1

Mục lục

Trang
Lời nói đầu....................................................................................... 2.
Chương I : Kiến thức chuẩn bị ....................................................... 3.
Ă1 Không gian mêtric và không giantôpô........................................ 3
Ă2 Không gian định chuẩn................................................................ 8
Ă3Không gian liên hợp......................................................................
11
Chương II Tô pô yếu và hội tụ yếu trong không gian định chuẩn......
15
Ă1Tô pô yếu .......................................................................................
15
Ă2 Hội tụ yếu .....................................................................................
22
Kết luận ............................................................................................ 32
Tài liệu tham khảo.............................................................................. 33


2

Lời nói đầu
Luận văn này với đề tài:"Tơpơ yếu trong không gian định chuẩn"
nhằm cung cấp cho độc giả một số khái niệm và các tính chất của tơ pơ yếu
trong không gian dịnh chuẩn. Trên cơ sở kiến thức cơ bản của tô pô đại cương,
không gian định chuẩn, không gian liên hợp của không gian định chuẩn, bạn
đọc có thể hiểu thêm cách đưa một tơ pơ vào một khơng gian tuỳ ý.
Độc giả có thể xem đây là một tài liệu tham khảo thêm khi đi vào
nghiên cứu các khái niệm và tính chất của tơ pơ yếu trong không gian định

chuẩn.
Luận văn này gồm những nội dung sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị: Trình bày các khái niệm và tính chất của
khơng gian mêtric, khơng gian tô pô, không gian định chuẩn, không gian liên
hợp của không gian định chuẩn.
Chương 2: Tôpô yếu và hội tụ yếu: Đi sâu vào nghiên cứu một số khái niệm,
tính chất của tô pô yếu trong không gian định chuẩn.
Trong khn khổ kiến thức và thời gian có hạn, luận văn khơng tránh
khỏi những thiếu sót, Tác giả rất mong sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cơ trong
tổ giải tích và trong khoa tốn.
Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành đến TS. Tạ Khắc Cư
đã giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này.

Vinh, tháng 05/2003
Tác giả


3

CHƯƠNG1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Ă1. KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN TÔPÔ
1.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập hợp tuỳ ý . Một khoảng cách trong X là một
ánh xạ :
d:

XxXR

thoả mãn các điều kiện :
1) d(x,y)0 x,yX và d(x,y) =0  x=y
2) d(x,y) d(y,x) x,yX

3) d(x,y) d(x,z)+d(z,y)  x,y,zX

(bất dẳng thức tam giác) khi

đó (X,d)- là khơng gian mêtric.
1.2. Định nghĩa: Cho X là không gian Mêtric ,aX, r >0 ta gọi :
- Hình cầu mở tâm a, bán kính r là tập S (a,r)=xX: d(a,x)- Hình cầu đóng tâm a bán kính r là tập S [a,r]=xX: d(a,x)r
1.3 Định nghĩa: - Nếu AX , x X là điểm trong của A nếu tồn tại
S (x,r)  A
- Tập G  X, G là tập mở trong X nếu mọi xG đều là điểm trong.
- Tập F  X là tập đóng nếu phần bù X \F là mở .
1.4 Định nghĩa. Cho X là không gian Mêtric , x  X, tập VX là lân cận của
x nếu tồn tại S(x,r)V .
1.5 Định nghĩa . Nếu G là tập mở chứa điểm x X thì G là một lân cận mở
của X.
1.6 Nhận xét . - Điều kiện cần và đủ để tập A  X là lân cận của xX là : x
là điểm trong của A.


4

- Trong khơng gian mêtric X một hình cầu mở là tập mở, một hình cầu
đóng là tập đóng
1.7 Định nghĩa : Một dãy xn trong không gian Mêtric X là hội tụ đến
x0 X
Nếu Lim d(x0,xn)=0
n 

ta ký hiệu Lim xn=x0 hoặc xnx0

n 

1.8 Nhận xét :
1)

Dãy điểm xn hội tụ đến x0 khi và chỉ khi mọi r>0,tồn tại n0 sao cho

xnS(xo,r), nno.
2)

Dãy điểmxn hội tụ đến xo khi và chỉ khi với mọi lân cận V của xo ,tồn

tại no sao cho xnV, nno.
1.9 Định nghĩa. - A,B là hai tập trong không gian Mêtric Xvới AB. Tập A
được gọi là trù mật trong B nếu B A .
- Nếu A =X thì A được gọi là trù mật khắp nơi trong X.
- Một không gian mêtric Xđược gọi là khả ly nếu tồn tại một tập AX, với A
không quá đếm được và A trù mật trong X.
1.10 Đinh nghĩa. Một dãy điểm xn  trong không gian mêtric X gọi là một
dãy cô si nếu mọi >0, tồn tại

noN

sao cho :nno và mno,ta có

d(xn,xm)< hay Lim d(xn,xm)=0
n , m 

1.11 Định nghĩa. Một không gian mêtricX được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
côsi trong X đều hội tụ(có giới hạn trong X).

1.12 Định nghĩa. Tập hợp KX gọi là compắc nếu mọi dãy
điểmxn trong Kđều có một dãy con x n xnhội tụ đến một điểm thuộc K.
k

1.13 Định nghĩa. Giả sử X là một tập hợp bất kỳ. Một họ t những tập con của
X là một tôpô trên X nếu họ t thoả mãn các điều kiện :


5

N1)

,Xt

N2)

Nếu Gt () thì G

N3)

Nếu G1,G2 t thì G1G2 t

Khi đó X cùng với tơ pơ t là một khơng gian tô pô, ký hiệu (X,t). Các phần tử
của t được quy định là các tập hợp mở trong không gian tô pô X
1.14 Nhận xét : - Mọi không gian nếu cho được tập mở thì có thể trang bị
được tơpơ trên nó.
- Khơng gian mêtric là một khơng gian tô pô .
1.15 Định nghĩa: - X là một không gian tô pô , A X . Một tập V được gọi là
lân cận của A nếu tồn tại tập mở W sao cho : A W V .
- Họ v= V: V là lân cận của xX gọi là một cơ sở lân cận của x nếu với

mọi lân cận U của x,  V v sao cho xVU
1.16 Định nghĩa: Nếu t,  là hai tô pô trên X và t (tức là số lân cận của 
nhiều hơn t) thì ta nói tơ pơ t u hơn tô pô  ký hiệu t
1.17 Định lý: Giả sử t1,t2 là hai tô pô trên cùng một tập hợp X. Để t1t2 điều
kiện cần và đủ là với mọi xX , nếu v(1) là một cơ sở t1 lân cận của x và v(2) là
một cơ sở t2- lân cận của x thì với mọi V1 v(1) , V2  v(2) sao cho v2v1
Chứng minh: Cần: Giả sử t1t2 và V1 v(1) , xX . Khi đó V1 cũng là t2-lân
cận của x. Do đó tồn tại V2  v(2) sao cho V2V1
Đủ : Giả sử G X là một tập hợp t1- mở . Ta cần chứng minh
G là tập t2-mở.
Thật vậy: nếu x G thì G là một t1-lân cận của x, do đó suy ra :  V1 v(1)
sao cho : V1G . Theo giả thiết V2  v(2) với V2 V1. Dẫn đến ta được : V2
G . Vậy, G2 cũng là t2-lân cận của x . vì x tuỳ ý nên suy ra G là t2-mở. Vậy:
t1t2. 


6
1.18 Định lý : 10 . X là không gian tô pô , Vx là một cơ sở lân cận của x . Họ v
=vx: xX có các tính chất .
a) xX và Vxvx thì : xVx .
b) Vx1 ,Vx2vx thì Wx vx : WxVx1Vx2 .
c) với Vxvx ,Wxvx sao cho : yWx, Vyvy sao cho VyVx .
20. Ngược lại giả sử X là tập hợp tuỳ ý và với mọi xX ta xét một họ vx
những tập hợp Vx  X sao cho :
v=vx: xX có các tính chất a,b,c,. Khi đó tồn tại một tơ pơ duy
nhất t trên X sao cho : tai mỗi xX, họ vx là một cơ sở lân cận của x.
1.19 Định nghĩa: Một không gian tô pô X là một không gian Haudơđooc(T 2—
không gian) hay là không gian tô pô tách nếu x,yX, xy, tồn tại lân cận U
của x và V của y sao cho : UV= .
1.20 Nhận xét: Không gian mêtric (X,d) là một T2-không gian.

Chứng minh : Giả sử X là một không gian mêtric ta chứng minh X là
T2-không gian.
Thật vậy, giả sử x,yX , xy . Khi đó d(x,y)>0
chọn r=d(x,y)>0 ta được :
Ta dễ dàng suy ra:

xS(x,r/2) ; yS(y,r/2)
S(x,r/2)S(y,r/2) =

Vậy, không gian mêtric (X,d) là T2-không gian 
1.21 Định nghĩa : Cho (x) là dãy suy rộng trong khơng gian tơ pơ X. Ta
nói rằng (x) hội tụ đến aX nếu mọi lân cận V của a, tồn tại 0 sao
cho khi

0 thì :

xV

ký hiệu x: xa .
1.22 Định lý : Nếu X là không gian tơ pơ tách thì một dãy suy rộng trong X
chỉ có thể hội tụ đến một giới hạn duy nhất


7

Chứng minh Giả sử (x) là một dãy suy rộng trong X và (x) hội tụ
đến a,b mà ab. Vì X là một không gian tô pô tách nên tồn tại lân cận U của
a, V của b sao cho : UV= . Mặt khác a là giới hạn của (x) nên theo
định nghĩa (1.21) 1 sao cho : 1 thì xU . Tương tự tồn tại 2 
sao cho xV khi 2 .

Đặt 0=max1,2 thì x UV, 0 từ đó suy ra UV  điều này
trái với giả thiết UV=


Vậy a=b.

1.23 Nhận xét. Nếu tại mọi điểm của không gian tơ pơ X đều có một cơ sở
lân cận đếm được, khi đó ta có thể thay thế dãy suy rộng (x ) bởi dãy
thông thường (xn)n1 .
1.24 Định nghĩa. Giả sử (X) là họ những không gian tô pơ. Xét tích đề
các : X=  x là một họ x : xX ,  viết tắt là (x) với 0 cố
 

đinh, ta thành lập phép chiếu :
pr 0 : X X  0

xác định bởi công thức :

pr0 (( x ))  x0

Khi đó tồn tại tơ pô yếu nhất trên X sao cho tất cả các phép chiếu pr  liên tục
trên X . Tô pô này thường được gọi là tôpô Tikhônôp trên X
1.25 Định nghĩa : X là không gian tô pô , K X là tập compắct nếu với mọi
phủ mở U1,U2,…,Un,… của K , tồn tại phủ con hữu hạn U1,..,Up phủ K tức là :
p

K  U i
i 1

1.26 Định nghĩa: Giả sử (X,t) là một không gian tô pô và Y là một tập hợp

con của X Khi đó họ : tY = GY : Gt  là một tô pô trên Y, và gọi là tô pô
cảm sinh trên Y.


8

1.27 Nhận xét : - Mọi tập hợp mở A trong (Y,tY) đều có dạng A=GY .
- Mọi tập hợp đóng B trong (Y,tY) đều có dạng : B= FY, F đóng trong X
Ă2 Khơng gian định chuẩn .
2.1 Định nghĩa . Giả sử X là không gian véc tơ trên K (C hoặc R) . Ta gọi
một chuẩn trên X là một hàm . : XR đặt tương ứng với mỗi xX với một
số x  R sao cho thoả mãn các điều kiện
1) x  0, x  X và x  0  x=0
2) x   x   K , x  X
3) x  y  x  y x, y  X
Không gian véc tơ X cùng với chuẩn xác định trên nó gọi là một không gian
định chuẩn trên K . Ký hiệu (X, . ) hay X
2.2) Nhận xét. Nếu (X, . ) là một khơng gian định chuẩn thì cơng thức
d(x,y)= x  y , x, y  X xác định một mêtric trên X. Do đó mỗi khơng gian
định chuẩn là một không gian mêtric và ta gọi là mêtric sinh bởi chuẩn
Vì vậy: tất cả các tính chất tơpơ của khơng gian mêtric đều có giá trị cho
khơng gian định chuẩn
2.3 Định nghĩa. - Dãy xn trong không gian định chuẩn X gọi là hội tụ đến
x0 X nếu :
Lim xn  x0  0
n

ký hiệu :

xn 

 x0 hay Lim xn  x0 .
.

n

- Dãy xn trong không gian định chuẩn X gọi là dãy côsi nếu   0 tuỳ ý
n0 N sao cho : n n0 và pN ta có :
xn+p -xn <


9

hay

Lim xn p  xn =0
n

2.3 Định nghĩa:- Cho X là không gian định chuẩn , x0X , r >0 ta gọi
- Hình cầu mở tâm x0 bán kính r là tập :
S(x0,r)=xX: x0-x- Hình cầu đóng tâm x0 bán kính r là tập S[x0,r]=xX: x0-xr  .
2.4 Định nghĩa. Giả sử X,Y là các không gian định chuẩn, nếu tồn tại một
ánh xạ :

:

XY thoả mãn :

1) (x+y) =(x)+(y) x,yX ,,K
2)  ( x)  x

thì  là phép đẳng cấu tuyến tính. Khi đó X đẳng cấu với Y và ta có thể đồng
nhất phần tử xX với phần tử (x)Y
2.5 Định nghĩa. Giả sử . 1 , . 2 là hai chuẩn xác định trên không gian véc tơ X
. Gọi t1,t2 là hai tô pô trên X , sinh ra bởi các chuẩn . 1 , . 2 Khi đó chuẩn . 1
mạnh hơn chuẩn . 2 nếu t1t2. Nếu t1=t2 thì . 1 và . 2 tương đương .
2.6 Định nghĩa: Một không gian định chuẩn X đầy đủ (theo mêtric sinh bởi
chuẩn ) được gọi là không gian Banach
2.7 Định nghĩa. Cho X là không gian định chuẩn và Y  X, khi đó Y được
gọi là khơng gian con của X. Nếu Y đóng thì ta nói Y là một khơng gian con
đóng
2.8 Định lí: Giả sử M=xn: n=1,2,…. là tập con đếm được của X. Khơng
gian con đóng gây nên bởi M là không gian định chuẩn và khả ly .
Chứng minh. Gọi Y là không gian véc tơ của X gây nên bởi M. Khi đó Y  Z ,
tức là Y trù mật trong Z. Mặt khác nếu gọi L là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến
tính với hệ số hữu tỉ của một số hửu hạn các phần tử của M thì L là tập hợp
đếm được. Hơn nữa ta có yY thì Y có dạng :


10

y= 1 xn  ...   p xn , ( xn  M , i  1, p)
1

p

i

Với mỗi i ta hãy tìm số hữu tỉ ri sao cho:
i  ri xn 
i


p

(i=1,…p) ,> 0 tuỳ ý.

Khi đó với z= r1 xn  ...  rp xn  L ta có
i

zy 

i

p

 (r   ) x
i 1

i

i

ni



p

 (

i

i 1

 ri )

p

x
i 1

ni

p



i 1

p

 ( i  ri xni )
 .

suy ra : L là trù mật trong Y  L trù mật trong Z .
Vậy Z là không gian định chuẩn khả ly. 
2.9 Định nghĩa: - Giả sử X là không gian véc tơ trên K . Một phiếm hàm
tuyến tính f xác định trên X là một ánh xạ tuyến tính.
f

Tập L(X,K)=f X 
K là phiếm hàm tuyến tính  được gọi là khơng gian

đối ngẫu đại số của X, ký hiệu là X#
2.10 Định nghĩa. Cho X ,Y là các không gian định chuẩn trên trường K . Khi
đó ánh xạ tuyến tính A:XY là một tốn tử tuyến tính
2.11 Định lý: (Ngun lý bị chặn đều) Giả sử f:  là một họ những
phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên khơng gian Banach X nếu xX
ta có
Sup f (x)   thì Sup f 




 

2.12 Định lý. (Hanh-Banach) Giả sử X là một không gian định chuẩn Y là
một không gian véc tơ con của X và f là một phiếm hàm tuyến tính liên tục
~

xác đinh trên Y . Khi đó tồn tại một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định
~

~

trên X sao cho: f Y =f và f  f
2.13 Hệ quả. Giả sử X là khơng gian Banach , fn là dãy phiếm hàm tuyến
tính liên tục trên X . Nếu với mỗi x X ,fn(x) là dãy cơsi , thì tồn tại phiếm

11

hàm tuyến tính liên tục f xác định trên X sao cho xX :

Lim f n ( x)  f ( x)
n

và f  Lim f n
n

2.14. Hệ quả. Giả sử Y là khơng gian con đóng của khơng gian định chuẩn X
và x0Y. Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác đinh trên X sao
cho :

f(x0)=1, f(y)=0 khi yY .

2.15 Hệ quả . Với mọi véc tơ z00 của không gian định chuẩn X đều tồn tại
một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác đinh trên X sao cho :
f  1 , f ( z0 )  z0

.

Ă3 Không gian liên hợp .
3.1 Định nghĩa: Cho X là không gian định chuẩn trên K . Không gian L(X,K)
tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định trên X được gọi là
khơng gian liên hợp của X. Khí hiệu là X* .
3.2 Định nghĩa: Không gian liên hợp X* của X được gọi là không gian liên
hợp thứ nhất của X. Không gian liên hợp của X * được gọi là không gian liên
hợp thứ hai của X ký hiệu là: X**.
3.3 Định nghĩa: Với mỗi fX* ta có :

f  Sup
x 0

f ( x)
x

 Sup f ( x)  Sup f ( x)
0 x 1

x 1

3.4 Định lý. Với mọi không gian định chuẩn X, không gian liên hợp X* luôn
là không gian Banach.
3.5 Định nghĩa: - Dãy fn X* gọi là hội tụ đến f X* nếu Lim f n  f  0 .
n

- Dãy fn X* gọi là hội tụ đơn giản ( hội tụ theo điểm) đến f nếu với mọi
xX cố định , dãy số fn(x) hội tụ đến f(x).


12
- Dãy fn X* gọi là dãy côsi đối với sự hội tụ đơn giản nếu xX dãy
fn(x) là dãy côsi .
3.6 Định lý. Với mọi x X – không gian định chuẩn ta đều có
x  Sup

f ( x)

f X * , f 1

Chứng minh:

- x=0 hiển nhên

- x0 : với fX* và f  1 ta có f ( x)  f x  x
suy ra :

f ( x)  x

Sup
f X , f

1

Mặt khác với mọi x 0 theo hệ quả 2.15: f0X*
sao cho f 0  1 và f 0 ( x)  x . Dẫn đến ta được x  Sup f ( x)
f X * , f 1

Vậy x  Sup f ( x) 
f X * , f 1

3.7 Định lý. Cho X là khơng gian định chuẩn. Khi đó X* khả ly thì X khả ly.
Chứng minh: Giả sử X* khả ly, khi đó tồn tại một tập hợp con đếm được fn:
n=1,2,… của X* sao cho : f n =X*
Vì

f n  Sup

f X * , f 1

f n ( x) nên xnX sao cho xn  1

và f n ( xn ) 

1
fn .
2

Gọi Y là khơng gian con đóng của X gây nên bởi các x n . Theo định lý 2.8 , Y
là một không gian khả ly . Ta sẽ chứng minh X=Y . Thật vậy , giả sử YX ,
lấy x0X\Y , Theo hệ quả 2.14 fX* sao cho f(x0) =1 và f(y)=0 với mọi
yY. Đặc biệt f(xn) =0, n=1,2,… khi đó tồn tại một dãy con f k  của fn
n

sao cho :
f kn  f  f kn ( xkn )  f ( xkn )  f kn ( xkn ) 

1
fk
2 n


13

ta suy ra : Lim f k  0 dẫn đến ta có f=0 . Điều này mâu thuẩn với f(x0)=1
n

n

Vậy X=Y hay X là không gian khả ly .



3.8 Định lý. Cho X,Y là hai không gian Banach , An là dãy tốn tử tuyến
tính bị chặn từ X vào Y . Để dãy An hội tụ đơn giản cần và đủ :
1) Sup An  
n

2) Dãy An(x) hội tụ trên tập hợp P trù mật tuyến tính trong X
3.9 Định nghĩa: Giả sử xn là một dãy trong X và fn là một dãy trong X*.
Các dãy xn và fn gọi là song trực giao với nhau nếu:

1 nÕu i  j
0 nÕu i  j

fi(xj)=ij= 

3.10 Định lý. Nếu xn  X và fnX* là hai dãy song trực giao thì hệ xn:
n=1,2,… trong X và hệ fn: n=1,2,… trong Y lần lượt độc lập tuyến tính
trong X và Y.
Chứng minh Giả sử ngược lại hệ: xn: n=1,2,… là phụ thuộc tuyến tính
trong X. Khi đó tồn tại những số 1,….k không đồng thời bằng không sao
cho :
1x1+…+kxk =0

(1)

Nếu i 0 thì tác động phiếm hàm fI v ào hai vế của (1) ta được
fi(1x1+…+ixi+…+kxk) =0
 i=0

Điều này mâu thuẩn . Vậy hệ xn: n=1,2,… trong X độc lập tuyến tính.
Chứng minh tương tự ta được hệ fn: n=1,2,… độc lập tuyến tính trong Y 
3.11 Định lý. Tồn tại một phép đẳng cấu tuyến tính từ không gian định chuẩn
X vào không gian liên hợp X**.
Chứng minh. Với mối xX , ta xác định phiếm hàm  trên X* bởi công thức


14
(f) =f(x) (fX*)
Ta có : ( f1+f2)=( f1+f2)(x)
= f1(x)+f2(x) =(f1)+(f2) f1,f2X*, ,K
Mặt khác theo định lý 3.6 ta có : x  sup f ( x)  Sup ( f )   Như vậy
f X * , f 1

f X * , f 1

phiếm hàm  tuyến tính và bị chặn trong X * . Do đó  X**
Khi đó ánh xạ :
: XX**
x  (x)=
tuyến tính và bảo toàn chuẩn .
Theo định nghĩa 2.5  là một đẳng cấu tuyến tính từ X vào X** 
3.12 Nhận xét. 1, Định lý 3.11 cho phép ta đồng nhất phần tử xX với phần
tử X** do đó ta có thể xem X X**
2. Nếu xX thì xX** và với mọi f X* ta có x(f)=f(x).
3.13 Định nghiã: Khơng gian định chuẩn X dược gọi là phản xạ nếu
X=X**
3.14 Nhận xét.
1. Mọi không gian phản xạ là không gian đầy đủ.
2. Mọi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là không gian phản xạ.

3.15 Định lý . Nếu X là không gian phản xạ và Y là một khơng gian con
đóng của X thì Y là khơng gian phản xạ.


15

CHƯƠNG II: TÔPÔ YẾU VÀ HỘI TỤ YẾU
Đ1 TÔPÔ YẾU
1.1 Định nghĩa: Cho X là không gian định chuẩn , X# là không gian đối ngẫu
đại số của X . Giả sử  là tập con tuỳ ý của X# . Khi đó với mỗi x  X , tập:
Vx = V(x,f1.,...,fn,  ) = { y  X: fi(x)-f i(y)  <  , i = 1, n }
với fi   ,  > 0 i = 1, n là tập mở trong X và chứa x
Khi đó họ

V = { Vx: x  X } làm thành một cơ sở lân cận của x  X. Dẫn

đến tồn tại một tôpô duy nhất  trên X nhận V làm một cơ sở lân cận của x
và ta kí hiệu là:  (X,  )
Tơpơ  (X,  ) được gọi là tôpô trên X, xác định bỏi họ   X# và đó là
Tơpơ yếu nhất trên X làm cho tất cả các phiếm hàm tuyến tính f   liên tục
Mỗi x  X,

 > o , f1 ,…, fn



# thì tập V(x,f1,…,fn,  ) là  (X,  ) mở

trong X.
1.2. Nhận xét: Nếu  1   2  X# thì tơpơ  (X,  1) yếu hơn tôpô  (X,  2)

Chứng minh: Để chứng minh tôpô  (X,  1) yếu hơn tôpô  (x,  2) ta cần
chứng minh một tập mở trong tơpơ  (X,  1) thì cũng mở trong  (X,  2).
Thật vậy: Giả sử G là tập  (X,  1) mở và x0  G. Khi đó G là  (X,  1)- lân
cận của x. Theo định nghĩa 1.1 ta có tồn tại f1,...,fn   1 và
cho: x  V(x,f1,…,fn,

)



>0 tuỳ ý sao

G. Vì  1   2 nên f1,..., fn   2 dẫn đến



V(x,f1,...,fn,  ) là  (X,  2) -lân cận của x. Do đó G là tập  (X,  2) mở.
Vậy tôpô  (X,  1) yếu hơn tôpô  (X,  2). 
1.3. Định lý: Tôpô  (X,  ) là tôpô tách khi và chỉ khi họ  tách các điểm của
X, tức là với mọi x1,x2  X mà x 1  x2 đều tồn tại một phiếm hàm f   sao
cho f(x1)  f(x2)
1.4. Định nghĩa: Khi

 = X thì ta có tơpơ  (X, X ) và nó được gọi là tôpô
*

yếu trên không gian định chuẩn X.

*

16

1.5 Nhận xét . Tôpô  (X, X*) là tôpô tách
Chứng minh : Với mọi x  X theo dịnh lý 3.6 chương  ta có:
x= Sup f(x)
fX*,f=1
Khi đó với x1,x2 X thì

x1= Sup f(x1)
fX*,f=1
x2= Sup f(x2)
fX*,f=1

Từ đó ta suy ra, nếu x1x2 thì x1x2
Dẫn đến Sup f(x1)  Sup f(x2)

 f(x1) f(x2)

fX*,f=1 fX*,f=1
Theo định lý 1.3 ta suy ra: (X,X*) là tôpô tách 
1.6.Định lý: Tôpô yếu (X,X*) yếu hơn tôpô xuất phát của không gian định
chuẩn X(tôpô mêtric xác định bởi chuẩn X)
Chứng minh:

Theo nhận xét 2.2 chươngI ta biết rằng với x,yX thì

cơng thức d(x,y) xác định một mêtric trên X. Do đó một tập mở trong tôpô
xuất phát của không gian định chuẩn X là một hình cầu mở:
S(x,  )=y X: x-y<  

Bây giờ ta có với mọi xX tồn tại f1,...,fnX*,  >0 sao cho:V(x,f1,...,fn,  ) là
(X,X*) lân cận của x
Ta có:
Vx=V(x;f1,...fn,  )=yX: fi(x)-fi(y)<

Suy ra:

 
  yX: Supfi(x-y) <  , i=1,n= yX: x-y<  
Vx  S(x,  ).


17
Như vậy tất cả các phiến hàm f1,...,fnX* liên tục đối với tôpô xuất phát của
X. Nhưng (X,X*) là tôpô yếu nhất trên X làm cho các phiến hàm thuộc X *
liên tục .Do đó (X,X*) yếu hơn tơpơ xuất phát của X.



1.7.Định lý: Nếu không gian định chuẩn X hữu hạn chiều thì tơpơ yếu
(X,X*) trùng với tơpơ xuất phát của X
Chứng minh: Giả sử dim X = n, suy ra dim X* = n. Như đã biết, nếu
e1,...,enlà cơ sơ của X, thì chuẩn xuất phát của X tương đương với chuẩn
xác định bởi công thức:
x1 = maxxi

x =(x1,...,x2)  X.

1in
Tôpô xuất phát của X nhận họ các hình cầu mở:

S(x,  ) = = yX: x-y<  ,



>0

làm một cơ sở lân cận của x. Theo định lý 3.10 chươngI trong X * tồn tại hệ
f1,...,fn độc lập tuyến tính song trực giao với hệ {e1,...,en} trong X.
Do đó nếu: x = x1e1+... +xnen
 fi(x)= fi(x1e1+...+xiei+...+xnen)= xi(i =1, n )
Mặt khác với mỗi x X , ta có tập:
Vx=V(x,f1,...fn,  ) = yX: fi(x)-fi(y)<
Khi đó y  V(x,f1,...fn,  ) ta có: fi(x)-fi(y)<
 xi-yi <



, i = 1, n là lân cận của X



 x-y1 = maxxi-yi <

 y  S(x,  )
Vậy





1 in

V(x,f1,...fn,  )  S(x,  )

Theo đinh lý 1.17 chươngI , ta suy ra tôpô (X,X*) mạnh hơn tôpô mêtric của
X xác đinh bởi chuẩn .1, nhưng theo đinh lý 1.6 chương  tôpô (X,X*) lại
yếu hơn tôpô xuất phát của X. Do dó ta suy ra 2 tơpơ ấy trùng nhau.


18
1.8.Định lý: Nếu tôpô yếu (X,X*) trùng với tôpô xuất phát của X, thì X có số
chiều hữu hạn.
Chứng minh: Giả sử ngược lại dim X =  và W là (X,X*) lân cận của 0 
X
Theo định nghĩa 1.1 tồn tại f1,...fn  X* và số



> 0 sao cho:

V(0,f1,...fn,  )  W
: X Kn

Ta xét ánh xạ:

xác định bởi cơng thức: (x) = {f1(x),...,fn(x)}
Vì fi , i=1,n tuyến tính liên tục nên  tuyến tính liên tục. Do đó ta có: (X) là
khơng gian véc tơ con của Kn , suy ra dim (X)  n.
Mặt khác ta có: Ker = { (X): (x) = 0}
= {(X): fi(x)=0, i= 1, n }V(0,f1,...fn,  )W

Như đã biết:

X

ker 

  (X )

và dim X = dim Ker + dim (X)
Do đó nếu dim Ker <  thì dim X < 
Thành thử Ker là một khơng gian con đóng vơ hạn chiều của X.
Tóm lai nếu dim X =  thì mọi (X,X*) lân cận của 0 đều chứa một
khơng gian con đóng vơ hạn chiều của X. Nếu tơpơ yếu (X,X*) trùng vói
tơpơ xuất phát của khơng gian đinh chuẩn X, thì hình cầu: S(0,1) =  x X:
x < 1 cũng là một (X,X*) lân cận của 0  X, hình cầu này khơng chứa
khơng gian con nào của X ngồi khơng gian con tầm thường{0}, mâu thuẫn
này chứng tỏ dim X < .



1.9.Định nghĩa: -Tập G trong không gian định chuẩn X gọi là mở yếu nếu nó
là (X,X*) -mở


19

- Tập F trong không gian định chuẩn X gọi là đóng yếu nếu X\F là mở yếu.

1.10.Đinh lý: Cho X là không gian đinh chuẩn, M  X. Tập con M là đóng
yếu khi và chỉ khi M đóng trong X

Chứng minh: Cần: Giả sử M là tập con của khơng gian định chuẩn X và M
đóng yếu ta cần chứng minh M đóng trong X.
Thật vậy: Theo định lý 1.6 Chương  tôpô (X,X*) yếu hơn tôpô xuất phát
của X. Do đó M đóng trong X.
Đủ:

Giả sử M đóng trong khơng gian định chuẩn. Ta chứng minh M đóng

yếu.
Thật vậy, vì M đóng trong X nên X\M là mở. Khi đó với x bất kỳ  X\M
tồn tại hình cầu mở S(x,  ) sao cho: S(x,  )  X\M.
Mặt khác theo định lý 1.6 Chương  ta có:
V(x,f1,...fn,  )S(x,  );fiX*, i = 1, n
Như vậy V(x,f1,...fn,  ) X\M, suy ra X\M là mở yếu
Do đó: M là đóng yếu. 
1.11.Đinh nghĩa: Cho X là không gian định chuẩn, K  X là tập compact
yếu nếu với mọi phủ mở yếu V1,...,Vn,... của K, tồn tại phủ con hữu hạn
V1,...Vp phủ K, tức là K

p

Vi

i 1

1.12.Định lý: Cho X là không gian phản xạ, một tập đóng bị chặn yếu là
compact yếu.
1.13.Định lý: Cho X là không gian định chuẩn, Y  X và G= {fY: f  X* .
Khi đó tơpơ (Y,G) là tôpô cảm sinh bởi tôpô ( X,X*) vào Y
Chứng minh: Với mỗi x  X, tập:

Vx=V(x,f1,...fn,  ) = yX: fi(x)-fi(y)<



, i = 1, n ;


20

fiX*, i =1, n ,



> 0 là lân cận của x.

Khi đó họ V = Vx: x X là một cơ sở của tôpô (X,X*)
Tương tự với y  Y, tập:
Vy = U(y,f1’,...,fn’,  ) = zY: fi’(y)-fi’(z)<
fi’G, i = 1, n ,





, i = 1, n ,

> 0 là lân cận của y  Y

và họ V = Vy: y  Y là cơ sở của của tôpô (Y,G).
Giả sử W là một tập mở trong Y đối với (Y,G).

Khi đó với yY, tồn tại f1’,...,fn’G,



> 0 sao cho: yVy  W

Đồng thời tồn tại các phiếm hàm f1,...,fn  X* sao cho:fiy = fi’, i= 1, n
Ta dễ thấy: U(y, f1’,...,fn’,  ) = V(y,f1,...fn,  )  Y
Vậy W là một tập mở trong Y đối với tôpô cảm sinh bởi tôpô (X,X*) vào
Y.Bây giờ ta giả sử M là tập mở trong X đối với tôpô (X,X*) và
yMY.Khi đó tồn tại f1,...,fn  X* sao cho:
V(yif1,...fn,  )M
Vì fi’ = fiy  G nên : U(y, f1’,...,fn’,  ) = V(y,f1,...fn,  )  YMY
Vậy M  Y là mở trong Y đói với tơpơ (Y,G)
Do đó ta có điều phải chứng minh.



1.14.Định nghĩa:
Tơpơ (X*,X) được gọi là tôpô yếu trên X* hay gọi là tôpô * yếu.
1.15.Nhận xét:
1. Tôpô *yếu yếu hơn tôpô yếu (X*,X**)
2. Nếu X là khơng gian phản xạ thì (X*,X) = (X*,X**) .
1.16.Đinh lý (Banach- Alaoglu) :Với mọi không gian định chuẩn X, hình cầu
đon vị đóng S* trong X* : S* = f  X* : f  1 
là compắc *yếu


21

Chứng minh: Với mỗi xX ta đặt Ix = [-x,x],đây là một tập compact trên
R. Xét tích đề các:

I=



xX

Ix .

Với tôpô Tikhônốp ở định nghĩa 1.24 ChươngI , I là một không gian tách và
compắct.
Ta xác định ánh xạ : S*  I bởi công thức:
(f) = f(x): x X, f  S*
Dễ thấy  đơn ánh. Mặt khác từ định nghĩa 1.24 ChươngI và tôpô *yếu ta suy
ra  liên tục hai chiều, do đó  đồng phơi.
Như vậy ta chỉ cần chứng minh (S*) đóng trong I.
Ta thấy rằng g I sẽ thuộc (S*)  g(x+y) = g(x)+g(y) (1)
, K, x,y  X.
Ta ký hiệu g(x) là phần tử thứ x của g  I.
Từ hệ thức (1) ta coi: g X. Vì g  I nên: g(x)  x x  X.
Vậy g là phiếm hàm tuyến tính liên tục, suy ra: g  X*, hơn nữa gS nên g  (S).
Giả sử g  (S) và g g  I. Do định nghĩa của tôpô trong I sự hội
tụ ấy tương đương với: g(x)  g(x), xX
Hệ thức (1) đúng với g nên g  g  (S).
Vậy (S) đóng trong I.



1.17.Định lý: Cho khơng gian định chuẩn X là không gian Banach.
Tập con K của X là compắc *yếu khi và chỉ khi K đóng *yếu và bị chặn đối
với mêtric sinh bởi chuẩn.
Chứng minh:
Cần: Giả sử K là tập compắc *yếu trong không gian liên hợp X của X. Vì
tơpơ yếu (X*,X) là tách nên K là một tâp đóng *yếu.


22
Gọi : XX là phép nhúng chuẩn tắc. Với mọi x  X,

(x):ff(x) ; f 

X là phiếm hàm liên tục trên X đối với tơpơ *yếu ( X*,X).
Vì K là một tập compắc *yếu nên : Sup(x)(f)=Supf(x)<
fK
fK
Vì X là không gian Banach nên theo định lý 2.11 chươngI, ta suy ra:
Supf<.
Vậy K là tập bị chặn trong X với mêtric sinh bởi chuẩn.
Đủ: Giả sử K là một tập đóng yếu và bị chặn trong mêtric X. Khi đó K là
tập con của hình cầu đóng B[0,r] trong X :
B[0,r]=fX*: fr
Theo dịnh lý Banach-Alaoglu, B[0,r] là tập compac *yếu. Vì K đóng *yếu
trong B[0,r] nên K là tập compắc *yếu. 
Đ2. HÔI TỤ YẾU
2.1 Định nghĩa: Cho xn là dãy trong khơng gian định chuẩn X. Ta nói xn 
hội tụ yếu đến x  X nếu mọi lân cận Vx của x, tồn tại n  N sao cho:
xnVx nn
Kí hiệu:

yˆeu
xn 
 x.

2.2 Định lý: Dãy xn trong không gian định chuẩn X hội tụ yếu đến x  X
khi và chỉ khi f(xn) f(x) với f  X .
Chứng minh:
Cần :

yeu
Giả sử xn 
x. Khi đó tồn tại f1,...,fn  X và

cho: Vx=V(x,f1,...fn,  ) = yX: fi(x)-fi(y)<





> 0 tuỳ ý sao

 là lân cận của x.

Theo dịnh nghĩa hội tụ yếu tồn tại n  N sao cho: xnVx ,nn
Suy ra: fi(xn)-fi(x)<



hay fi(xn) fi(x)

Vậy f(xn) f(x), f  X


23
yˆeu
Đủ: Giả sử xnX,fXvà f(xn)f(x) ta chứng minh xn 
 x.

Thật vậy gọi Vx là lân cận bất kỳ của x. Khi đó Vx có dạng:
Vx=V(x,f1,...fn,  ) = yX: fi(x)-fi(y)<



, với fi  X , i = 1, n ,



> 0.

Vì f(xn) f(x), f  X nên với mỗi lân cận Vx của x ta chon được Ni  N
sao cho: |fi(x)-fi(y)<  , nNi
Đặt N = max Ni thì xn  Vx , nN
yˆeu
Vậy xn 
 x.



2.3. Nhận xét: 1.Dãy xn chỉ có thể hội tụ yếu duy nhất đến một phần tử

thuộc X.
Chứng minh:
Vì (X,X*) là tơpơ tách nên theo định lý 1.22 ChươngI ta suy ra điều phải
chứng minh.
yˆeu
Nếu xn 
 x thì Supxn <  và x Lim xn
1 n  
n

2.
Chứng minh:


yˆeu
Từ đinh lý 2.2 ta có xn 
 x suy ra: f(xn) f(x) , f  X

Mặt khác theo nhận xét 2.3.12 chươngI ta có: x(f)=f(x), fXvà xX.
Do đó : lim f(xn) = f(x)  lim xn(f) = x(f) (1).
n
n
Như vậy ta coi xn , x như là các phiếm hàm thuộc X . Mặt khác từ hệ thức
(1) và định nghĩa 3.5chươngI, ta có được: xn hội tụ đơn giả đến x. Vì X là
khơng gian Banach nên theo định lý 2.11 và hệ quả 2.13chươngI ta suy ra:
Supxn <  và x  lim xn
1 n  
n
yˆeu
3. Nếu dim X <  và nếu xn 

 x thì xn x


24

Chứng minh:

Vì dim X <  nên khơng gian định chuẩn X hữu hạn chiều.

Theo định lý 1.7chương  : tôpô yếu (X,X*) trùng với tôpô xuất phát của X.
yˆeu
Do đó ta có ngay được xn 
 x thì xn x 

4. Giả sử X,Y là những không gian định chuẩn và A: X Y là một tốn tử
yˆeu
yˆeu
tuyến tính liên tục {tức là A  L (X,Y)}. Nếu xn 
 x thì Axn 
 Ax.

Chứng minh:


yˆeu
Giả sử xn 
 x trong X và g  Y . Khi đó ta có:

yˆeu
F = Ag  X . Vì xn 

 x nên lim f(xn)= f(x)
n
Suy ra : lim A0g(xn) = A0g(x)  lim g(Axn) = g(Ax)
n
n

yˆeu
Vì g  Y nên : Axn 
 Ax 
yˆeu
5. Giả sử fn  f trong X và xn 
 x trong X. Khi đó

lim f(xn)= f(x)
n
Vì fn  f trong X* nên lim fn-f=0
n
yˆeu
Mặt khác xn 
 trong X nên theo định lý 2.2 chươngII ta suy ra:
Chứng minh:

lim fn(xn)= f(x), fX
n
 lim fn(xn)-f(x) = 0
n
Ta có :0 fn(xn)-f(x) fn(xn)-f(xn)+ f(xn)-f(x)
fn-fxn+ f(xn)-f(x)
 lim fn(xn)-f(x) = 0 hay lim f(xn)= f(x) 
n

n
2.4. Định nghĩa:-Mọi dãy xn X- Không gian định chuẩn gọi là dãy côsi
yếu nếu với mọi phần tử fX dãy f(xn)n là một dãy số côsi.
-Không gian định chuẩn X gọi là dầy đủ yếu theo dãy nếu
mọi dãy cơsi yếu đều có giới hạn yếu.


25

2.5. Định lý: Mọi không gian phả xạ X đều là đầy đủ yếu theo dãy.
Chứng minh: Giả sử xn X là dãy cơsi yếu . Vì X là khơng gian phản xạ
nên theo định nghĩa 3.13chươngI : X = X** nên suy ra xn  X** , n= 1,2,...
Mặt khác ta lại có: xn(f)=f(xn)  fX , n= 1,2,...
Vì xn là dãy côsi yếu nên f(xn) là dãy côsi ; do đó xn(f) là dãy số cơsi
fX . Ta lại có X phản xạ nên X đầy đủ.Từ đó theo hệ quả 2.13chươngI,
tồn tại x0X** sao cho:
lim xn(f)=x0(f), fX,
n.

X=X**; suy ra x0  X

yˆeu
Vậy xn 
 x0 X hay X đầy đủ yếu theo dãy. 

yˆeu
2.6 Định lí: Giả sử X là không gian định chuẩn xn X .Khi đó xn 


xX nếu thoả mãn hai điều kiện :

1) sup xn  
n

2) Lim f ( xn )  f ( x) fP, P là tập có bao tuyến tính trù mật trong X*
n

Chứng minh. Gọi : XX** là phép nhúng chuẩn tắc trong không gian định
chuẩn X vào X**.
Đặt (x)=x, (xn)=xn , n=1,2,…, khi đó x,xnX** .
Ta có :
yˆeu
xn 
 x  Lim f ( xn )  f ( x), f  X *  Lim xn ( f )  x( f ), f  X * .

n

n

*
yˆeu
ongian
Như vậy xn 
 x  xn d
 x trên X .Theo định lý 3.8 chương 1 ta suy

ra điều phải chứng minh.



2.7 Định nghĩa. - Trong không gian định chuẩn X một tập hợp MX gọi là

compăc yếu theo dãy nếu mọi dãy xn M đều chứa một dãy con hội tụ yếu
đến xM .