Phép chuyển dịch và nửa nhóm con gần cô lập của nửa nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN
---------*&*---------

NGUYỄN VĂN HƯNG

PHÉP CHUYỂN DỊCH VÀ NỬA NHĨM CON
GẦN CƠ LẬP CỦA NỬA NHĨM

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN KHOA HỌC TOÁN

VINH - 2004

1


LỜI NĨI ĐẦU
Lý thuyết nửa nhóm là một trong những lý thuyết sâu sắc và khá quan trọng
trong toán học hiện đại.
Trong lý thuyết nửa nhóm, nửa nhóm con gần cơ lập của nửa nhóm có nhiều
tính chất phong phú và có nhiều ứng dụng trong đại số nói riêng và trong tốn học
hiện đại nói chung.
Nội dung của luận văn được chia thành ba tiết.
Đ1. Phép chuyển dịch và biểu diễn chính quy.
Trong tiết này chủ yếu là nêu các định nghĩa và một số bổ đề về phép chuyển
dịch và biểu diễn chính quy.
Đ 2. Nhóm con cơ lập của nửa nhóm.
Đ 3. Nửa nhóm con gần cơ lập của nửa nhóm

.

Đ 4. Định lý Haouy.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS - TS Lê
Quốc Hán, nhân dịp này tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới người thầy nghiêm
khắc, đầy lịng nhân ái đã dìu dắt chúng tơi đi đến hồn thành luận văn.
Chúng tơi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy giáo cô giáo trong tổ Đại số
cùng các bạn sinh viên đã động viên chúng tơi hồn thành đề tài của mình.
Vì thời gian có hạn bản thân cịn nhiều thiếu xót nên luận văn khơng tránh
khỏi những hạn chế. Kính mong sự chỉ bảo của các thầy, các cô và bạn bè.
Tác giả

Nguyễn Văn Hưng
Đ 1. PHÉP CHUYỂN DỊCH VÀ BIỂU DIỄN CHÍNH QUY.

2


1.1. Các định nghĩa.
1.1.1. Định nghĩa 1.
+ Ánh xạ  : S  S' được gọi là đồng cấu nếu:
(xy)  = (x  )(y  )

với  x,y  S

Ánh xạ:  : S  S' được gọi là phản đồng cấu nếu:
(xy)  = (y  ) ( x ) với  x,y  S
1.1.2. Định nghĩa.
Giả sử S là nửa nhóm và a  S
- Ánh xạ  a : S  S được gọi là phép chuyển dịch trong bên phải ứng với
x  xa

phần tử a  S.
- Ánh xạ  a : S  S được gọi là phép chuyển dịch trong bên trái ứng với
x  ax

phần tử a  S.
- Ánh xạ  : S  S dược gọi là phép chuyển dịch bên phải nếu thoả mãn:
(xy)  = x (y  )

với x, y  S

- Ánh xạ  : S  S được gọi là phép chuyển dịch bên trái nếu thoả mãn là
(xy)   (x)y

víi x, y  S

- Phép chuyển dịch bên phải  và phép chuyển dịch bên trái  được gọi là
liên kết với nhau nếu:
x(y)  (x)y

víi x, y  S

1.1.3. Định nghĩa 3:
Giả sử S là nửa nhóm khi đó:
+ Ánh xạ từ a   a được gọi là biểu diễn chính quy.
+ Ánh xạ a   a được gọi là phản biểu diễn chính quy
1.2. Mệnh đề 1.
3

Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải (bên trái) của nửa nhóm S là
nửa nhóm con của nửa nhóm Fs .
Chứng minh.
Kí hiệu p là tập hợp tất cả các phép chuyển dịch bên phải và q là tập hợp tất
cả các phép chuyển dịch bên trái của nửa nhómS.
Khi đó:
Nếu 1 2  q vµ x, y  S thì:
(x(1 2 ))y  ((x1 ) 2 )y  ((x1 )y) 2  ((xy)1 ) 2

= ((xy)1 2 )
Từ đó 

1 2  q  q là nửa nhóm con của Fs .

Tương tự ta cũng chứng minh đối với p là nửa nhóm con của Fs.
1.3. Nhận xét.
Tập hợp tất cả các phép chuyển dịch trong bên phải (bên trái) của nửa nhóm
S là nửa nhóm con p0 của nửa nhóm p (hoặc nửa nhóm con q0 của nhóm q)
Ánh xạ từ a   a (hoặc a   a ) là đồng cấu (hoặc phản đồng cấu) từ nửa nhóm
S lên p 0 (hoặc q 0 ) đó chính là biểu diễn chính quy (hoặc phản biểu diễn chính
quy) của nửa nhóm S.
1.4. Bổ đề 1.1.
Giả sử  và  tương ứng là các phép chuyển dịch bên trái và bên phải của
nửa nhóm S, và a S thế thì:
 a    a ;  a    a

Nếu  và  liên kết với nhau, thì :
 a   a ,  a   a .

Chứng minh.

Với x tuỳ ý thuộc S ta có.
4


x(  a  ) = (x  a )  = ( a. )  = ( a )x = x a .
x (a )  (xa )  (xa)  x (a)  xa .

Bây giờ giả sử  vµ  liên kết với nhau. Thế thì với x tuỳ ý thuộc S.
x ( a )  (x)  a  a (x)  (a) x \  x a .
x ( a )  (x) a  (x)a  x (a)  xa .  Điều phải chứng minh

1.5. Nhận xét.
Ta định nghĩa bao chuyển dịch S của nửa nhóm S là tập tất cả các cặp (

,  ), trong đó  và  là các phép chyển dịch bên trái và bên phải liên kết với
nhau của nửa nhóm S.
Nếu (1 1 ) và ( 2 , 2 ) là các phần tử thuộc S thì ( 2 1 , 1 2 ) cũng
thuộc S , vì với x, y tuỳ ý thuộc S ta có:
x (y ( 2 1 ))  x ((y 2 ) 1 )  (x1 ) (y 2 )  ((x1 ) 2 )y  (x(1 2 ) y)

Vì vậy ta có thể định nghĩa một phép tốn 2 ngơi trong S bằng cách đặt:
(1 , 1 ) ( 2 , 2 )  ( 2 1 , 1 2 )

Tính kết hợp của phép tốn đó là hiển nhiên, nên S là một nửa nhóm.
Giả sử S 0 là tập tất cả các cặp (  a , a ) trong đó a  S . Dễ thấy rằng

S 0  S , vì  a vµ  a liên kết với nhau. Với mọi a, b tuỳ ý ta có:
( a , a ) ( b ,  b )  ( b  a , a  b )  ( ab , ab ) .

Thành thử S 0 là nửa nhóm con của nửa nhóm S và ánh xạ a  (  a , a ) là

đồng cấu từ S lên S 0 . Đồng cấu đó là đẳng cấu khi và chỉ khi từ các đẳng thức
 a   b và  a   b suy ra a = b hay nói cách khác từ

ax = bx và xa = xb với  x  S
suy ra đẳng thức a = b, ta gọi nửa nhóm S có tính chất đó là rút gọn yếu.
1.6. Bổ đề 1.2.
5


Giả sử S là nửa nhóm rút gọn yếu. Ta đồng nhất S với phần trong S 0 của
bao chuyển dịch S của nửa nhóm S. Thế thì S là iđêan của nửa nhóm S và với a
tuỳ ý thuộc S và ( ,  )  S ta có ( ,  )a = a  , a ( , ) = a  .
Chứng minh.

Theo bổ đề 1.1

( , ) ( a , a )  ( a  ,  a )  ( a , a )

( ( a , a ) ( , )  ( a , a )  ( a , a )
Bây giờ đồng nhất phần tử x  S với phần tử ( x ,  x )S 0 là điều có thể
được vì S rút gọn yếu, và do đó x (  x , x ) là đẳng cấu từ S lên S 0 , thì ta suy ra
điều phải minh .
1.7. Mệnh đề.
Nếu S là iđêan của nửa nhóm T , thì mỗi phép chuyển dịch trong bên phải
(hoặc bên trái) của nửa nhóm T cảm sinh phép chuyển dịch bên phải (hoặc bên
trái) của S.
Chứng minh.
Nếu t  T và x  S , thì x t  xt  S vì S là iđêan của T, và hiển nhiên
(xy)  t  (xy)t  x (yt )  x (y t ) , với  x, y  S .
Tương tự: x t  S và t S là phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S.

1.8. Nhận xét.
Điều kiện cần và đủ để nửa nhóm S nhúng chìm được vào một nửa nhóm T
sao cho:
(i): S là iđêan của T
(ii): Mỗi phép chuyển dịch bên phải và mỗi phép chuyển dịch bên trái của S
được cảm sinh bởi một phép chuyển dịch trong nào đó của T, là gì? Định lý sau
đây trả lời câu hỏi đó cho các nửa nhóm rút gọn yếu.

6


1.9. Định lý 1.3.
Nửa nhóm rút gọn yếu S có thể nhúng chìm được vào nửa nhóm T nào đó
thoả mãn tính chất (i) và (ii) vừa nêu ở trên khi và chỉ khi
(iii): Mỗi phép chuyển dịch bên trái của nửa nhóm S liên kết với một phép
chuyển dịch nào đó và ngược lại.
Chứng minh.
Giả sử S là một nửa nhóm có thể nhúng chìm được vào nửa nhón T sao cho
thoả mãn tính chất (i) và (ii). Giả sử  là phép chuyển dịch bên trái tuỳ ý của nửa
nhóm S. Theo (ii) tồn tại phần tử t  T sao cho    t S . Thế thì  t S là phép
chuyển dịch bên phải của nhóm S , liên kết với  .
Tương tự: Mỗi phép chuyển dịch bên phải của nhóm S liên kết với một
phép chuyển dịch bên trái của nó.
Đảo lại: Giả sử S là nửa nhóm rút gọn yếu, có tính chất (iii) và giả sử T
trùng với bao chuyển dịch S của nửa nhóm S thế thì S là iđêan của T theo bổ đề
1.2. Giả sử  là phép chuyển dịch bên trái tuỳ ý của nửa nhóm S. Theo điều kiện
(iii) tồn tại phép chuyển dịch bên phải  của nửa nhóm S, liên kết với  . Thế
thì t = ( ,  ) T và  t S   theo bổ đề 1.2.
Chứng minh mệnh đề đối ngẫu trong điều kiện (ii) cũng tương tự.

Đ2 NỬA NHĨM CON CƠ LẬP CỦA NỬA NHĨM.
Tiết này dành cho việc khảo sát các nửa nhóm con cơ lập của nửa nhóm.
Khái niệm này là mở rộng khái niệm nhóm con của một nhóm .

7


2.1. Định nghĩa.
Giả sử S là một nửa nhóm, U là tập con của S. Khi đó U được gọi là cô lập
bên trái của S nếu từ các điều kiện u  U , s S , us U suy ra s U Tập con U được
gọi là cô lập bên phải nếu từ u U ,s S, su U suy ra s U.
Tập con U được gọi là cô lập trong S nếu U vừa cô lập bên trái vừa cô lập
bên phải trong S.
2.2. Mệnh đề.
Giả sử G là một nhóm và H là tập con của G. Khi đó H là cơ lập trong G
khi và chỉ khi H là nhóm con của G.
Chứng minh.
Giả sử H là cơ lập trong G, khi đó, a , b  H,
ta có: a = ( ab 1 )b  H nên ab 1  H. Do đó H là nhóm con của G.
Đảo lại: Nếu H là nhóm con của G và a  H, bG và ba H thì a 1 H vì H
là nhóm con của G . Do đó b = (ba) a 1  H , vì H là nhóm con của G. Vậy H cô lập
bên phải.
Tương tự, H là cô lập bên trái trong G nên H là cô lập trong G.
Suy ra điều phải chứng minh.
2.3. Mệnh đề.
Giả sử  : S  T là một đồng cấu từ nửa nhóm S lên nửa nhóm T. Khi đó
một tập con V của T là nửa nhóm cơ lập của T khi và chỉ khi  1 (V) là một nửa
nhóm con của cô lập của S.
Chứng minh.
Đặt U =  1 (V) Giả sử u  U, s  S và us U

  (us) =  (u)  (s)  (U) = V mà  (u) V và V cô lập nên

(s)  V  s1 (V)  U .
8


Tương tự, u U , s  S và su  U  s U . Vậy V cô lập.
Đảo lại. Nếu u'  V, s'  T và u', s'  V thì do  là ánh xạ lên nên  a 
U, b  S sao cho

 (a) = u',  (b) = s' khi đó
 (ab)  (a) (b)  u' s'V nên ab1 (V)  U , mà U cô lập nên

b  U , s' = (b) (u)  V
Tương tự, nếu u'  V, s'  T và s'u'  V thì s  V. Vậy V là cô lập trong T.
2.4 Hệ quả.
Giả sử T là một vị nhóm và e là đơn vị của T;  : S  T là một đồng cấu từ
nửa nhóm S lên T. Khi đó  1 (e) là nửa nhóm cơ lập của S.
Chứng minh.
Hiển nhiên V = e là một nửa nhóm con của T. Nếu u'  V, s'  T và u's'

 V thì do V = e nên u' = e, u's' = e. Do đó s' = es' = u's'  T .
Tương tự: u'  V, s'  T và s'u'  V theo s'  V. Vậy V cô lập trong T. Áp
dụng mệnh đề 2.3 suy ra điều phải chứng minh.
2.5. Hệ quả.
Giả sử  : G  T là đồng cấu từ nhóm G lên vị nhóm T và e là đơn vị của T.
Khi đó  1 (e) là nhóm con của G .
Chứng minh.
Suy ra trực tiếp từ hệ quả 2.4 và mệnh đề 2.2.
2.6. Định nghĩa.

Iđêan của nửa nhóm S được gọi là iđêan nguyên tố của S nếu S \ A là một
nửa nhóm con của S.
2.7. Mệnh đề.
9


Giả sử A là tập con tuỳ ý của nửa nhóm S. Khi đó:
i) Nếu A là iđêan của S thì S\A cơ lập trong S.
ii) Nếu S\A là một iđêan thật sự nguyên tố của S thì A là một nửa nhóm con
cơ lập của S.
Chứng minh.
i) Giả sử u  S\A, s  S và us  S\A,  u  A và us  A khi đó s  A
thì do A  S  us  A mâu thuẫn. Vì s  A  s

 S\A.

Do đó S\A cơ lập trái

trên S.
Tương tự S\A cơ lập phải trong S  S\A cô lập trong S.
ii) Ta có A = S\(S\A) là nửa nhóm con của S  A là nửa nhóm con của S.
Hơn nữa S \A là iđêan của S nên S\(S\A) cô lập trong S  S\(S\A) là cô lập trong
S.
Mệnh đề được chứng minh.
2.8 Định nghĩa.
Giả sử S là một nửa nhóm và A,N là các tập con tuỳ ý của S.
i) Tập A được gọi là tập phản xạ nếu  x,y  S, từ

xy  A kéo theo yx 

A.
ii) Tập con N được gọi là tập chuẩn tắc nếu  a,b,c  S từ giả thiết hai trong
ba phần tử abc, ac, b thuộc N suy ra phần tử thứ ba cũng thuộc N.
2.9. Mệnh đề.
Giả sử N là một nhóm con của nửa nhóm S. Thế thì N chuẩn tắc trong S khi
và chỉ khi N cô lập và phản xạ trong S .
Chứng minh.
Giả sử N cô lập và phản xạ trong S. Ta chứng minh N là chuẩn tắc. Thật
vậy, nếu

abc  N, ac  N thì cab  N và ca  N vì N là phản xạ, do đó b  N

10


vì N cơ lập. Nếu abc  N, b  N thì cab  N (vì N phản xạ) và do đó ca  N
(vì N cơ lập  ac  N (vì N phản xạ).
Nếu ac  N, b  N thì

ca  N (vì N phản xạ)  bac  N (vì N là nửa

nhóm con của S)  acb  N ( vì N phản xạ).
Đảo lại: Giả sử N chuẩn tắc trong S, ta chứng minh N phản xạ và cô lập. Giả
sử ab  N, khi đó ab.ab  N vì N là nửa nhóm con do đó:
a(ba)b  N trong đó ab  N  ba  N vì N chuẩn tắc trong S. Vậy N
phản xạ.
Giả sử a  N , x  S và

ax  N trong đó a  N  x  N vì N chuẩn

tắc trong S vậy N cô lập bên trái.
Tương tự, N cô lập bên phải nên N cơ lập trong S.
2.10. Định nghĩa.
Một nửa nhóm S được gọi là một nửa nhóm phải nếu  a,b  S, phương
trình ax = b có nghiệm duy nhất trong S.
2.11. Mệnh đề.
Mỗi luỹ đẳng của một nửa nhóm đơn phải S là đơn vị trái của nó.
Chứng minh.
Giả sử e là lũy đẳng và a là phần tử tuỳ ý thuộc nửa nhóm. S đơn phải nên
tồn tại phần tử x  S sao cho : ex = a khi đó ea =e2x = ex = a suy ra điều phải
chứng minh.
2.12. Mệnh đề.
Các điều kiện sau đây đối với một nửa nhóm S là tương đương.
i) S là nửa nhóm phải
ii) S đơn phải và chứa luỹ đẳng.
iii) S là tích trực tiếp G x E của nhóm G và nửa nhóm E các phần tử không
bên phải.

11


Chứng minh.
i)  ii) Một nhóm phải thì đơn phải theo định nghĩa .Giả sử a  S. Vì S đơn

phải ,nên tồn tại phần tử e  S sao cho

ae = a khi đó ae2 = ae và vì có thể

giản ước trái nên e2 = e.
ii)  iii) Giả sử E là tập các luỹ đẳng của S. Theo điều kiện (ii). E   .

Theo bổ đề 2.11 thì mỗi phần tử thuộc E là đơn vị trái trong S. Đặc biệt ef = f với
 e, f E , vậy E là nửa nhóm con các phần tử không bên phải của S .

Ta chứng minh tiếp rằng S là nửa nhóm với luật giản ước trái, tiện thể điều
đó cũng chứng tỏ rằng (ii) kéo theo (i). Giả sử ca = cb (a,b, c  S) và
f  E ,tồn tại x  S sao cho cx = f . Giả sử e = xc, thế thì
e2 = xcxc = xfc = xc = e do đó a = ea = xca = xcb = eb = b.
Nếu e  E thì Se là nửa nhóm con của S, trong đó e là đơn vị phải (và cũng
là đơn vị trái), nếu a  Se, thì ta có thể giải phương trình ax = e trong S nhưng khi
đó a (xe) = e2 = e, tức là phần tử a khả nghịch bên phải trong nửa nhóm Se với
đơn vị e. Do đó Se là một nhóm con của S.
Giả sử g là một phần tử cố định thuộc E. Ta ký hiệu nhóm Sg bởi G, ta định
nghĩa ánh xạ  từ tích trực tiếp G x E vào S bằng cách đặt:
(a, e)  = ae (a  G, e  E).
Khi đó đối với các phần tử a,b  G và e,f  E các đẳng thức sau thoả mãn.
[(a, e) (b, f )]  (ab, ef )  (ab) (ef )  abf ,

(a, e) (b, f ) (ae) (bf )  a (eb) f  abf .
Do đó  là đồng cấu.
Ta chứng tỏ  là ánh xạ một - một. Giả thiết rằng (a,e)  = (b,f)  ,
Tức là ae = af (a,b G ; e,f E ). Vì g là đơn vị của nửa nhóm G nên ta có

12


a =ag = aeg = bfg = bg = b. Do đó ae = af. Vì S là nửa nhóm với luật giản
ước trái nên e = f. Cuối cùng ta chứng tỏ  là ánh xạ G x E lên S. Giả sử a  S.
Tồn tại e  S sao cho ae = a , từ đó ae2 = ae và e2 = e vì có thể giản ước bên
trái, do đó e  E. Khi đó ag  Sg = G và (ag,e)  = age = ae = a. Vậy  là đẳng

cấu từ G x E lên S và (iii) được chứng minh.
(iii)  (i) Vì tích trực tiếp của hai nhóm phải là một nhóm phải và E,G là
các nhóm phải nên E x G cũng là một nhóm phải suy ra điều phải chứng minh.

13


Đ 3. NỬA NHĨM CON GẦN CƠ LẬP CỦA NỬA NHĨM
Tiết này dành cho việc nghiên cứu các nửa nhóm con gần cơ lập nửa nhóm.
Đó là khái niệm mở rộng đã được trình bày trong Đ2 và có liên quan đến kiến thức
đã trình bày trong Đ1.
3.1. Định nghĩa.
Giả sử S là một nửa nhóm. Tập con U của S được gọi là tập gần cô lập trong
S nếu tồn tại các ánh xạ  : S  S và  : S  S thoả mãn các điều kiện sau:
i)  và  tương ứng là phép chuyển dịch trái và chuyển dịch phải của nửa
nhóm S và giao hoán được với nhau.
ii)  và  là các luỹ đẳng.
iii)  và  liên kết với nhau, nghĩa là s (t )  (s)t,  s, t S.
iv) các thu hẹp của  và  trên U trùng với ánh xạ đồng nhất của U.
v) U cô lập trong S .
3.2 Mệnh đề.
Giả sử U là một nửa nhóm con của nửa nhóm S và U chứa đơn vị e, Thế thì
U gần cơ lập trong S khi và chỉ khi U cô lập trong eSe.
Chứng minh.
Giả sử nửa nhóm con U cơ lập trong eSe. Ta lấy  vµ  là các phép chuyển
dịch trong bên trái và bên phải  e và  e của nửa nhóm S. Thế thì dễ thấy rằng U
gần cơ lập trong S đối với các ánh xạ đó.
Đảo lại, giả thiết rằng U gần cô lập trong S đối với các ánh xạ  vµ  . Vì e

 U nên theo điều kiện (iv) ta có e  e vµ e  e . Do đó

14


eSe  S , từ đó theo điều kiện (v) suy ra U cô lập trong eSe.
Suy ra điều phải chứng minh.

3.3. Chú ý.
Nói chung nếu U gần cơ lập trong S đối với các ánh xạ  vµ  thì có thể tồn
tại nhiều cặp ánh xạ ,  khác nhau đóng vai trị tương ứng trong định nghĩa khái
niệm gần cô lập. Định lý 3.2 chứng tỏ rằng nếu U chứa đơn vị e thì cặp ,  có thể
thay bằng cặp  e ,  e .
3.4. Hệ quả.
Giả sử U là tập con cô lập của S. Khi đó U là gần cơ lập của S.
Chứng minh.
Ta chỉ cần lấy  vµ  là ánh xạ đồng nhất của S.
3.5. Hệ quả.
Giả sử U là một nửa nhóm con của nửa nhóm S. Thế thì U gần cô lập
trong S.
Chứng minh.
Giả sử E là đơn vị của U, theo định lý 3.2 ta chỉ cần chứng tỏ U cô lập trong
eSe. Giả sử u U và eseu  U.Thế thì u 1  U và vì vậy:
eseu u 1 = ese2 = ese  U . Điều đó chứng tỏ U cơ lập bên phải trong eSe.
Tương tự ta cũng chứng minh được tính cơ lập bên trái của U trong eSe.
Suy ra điều phải chứng minh.
3.6. Mệnh đề.
Giả sử U là một nửa nhóm con của S. Thế thì U gần cơ lập trong S khi và
chỉ khi nếu ghép một luỹ đẳng e vào S có thể lập được nửa nhóm:
Se = S  e thoả mãn các điều kiện sau:

15

i) eS  S và Se  S
ii) e là đơn vị của Ue = U  e.
iii) Ue cô lập trong eSe.
Chứng minh.
Giả thiết rằng có thể ghép một luỹ đẳng e vào S sao cho các điều kiện
(i),(ii)và(iii) thoả mãn:Ta lấy vµ là thu hẹp trên S của các phép chuyển dịch  e
và  e của nửa nhóm S e .Vì se  e vµ es  e đối với s S nên ta thấy ngay rằng U
gần cô lập trong S đối với các ánh xạ  vµ  .
Đảo lại, giả sử U gần cơ lập trong S đối với các ánh xạ  vµ  .Đặt e=( ,  )
và định nghĩa thêm phép nhân trên S  e bằng cách đặt se = s , es = s đối với
se  S và e2 = e (so sánh với cách xây dựng bao chuyển dịch trong Đ1. ) ta thử
thấy ngay rằng e có các tính chất cần chứng minh. Điều đó kết thúc chứng minh
mệnh đề.

16


Đ 4. ĐỊNH LÝ HAOUY
Trong tiết này ta nghiên cứu về định lý Haouy, định lý này được chứng minh
trên cơ sở kết quả của các tiết Đ1, Đ2, Đ3
4.1. Định nghĩa.
Giả sử S i iI là họ các nửa nhóm được đánh số bởi một tập I nào đó và U
là một nửa nhóm nào đó. Giả thiết rằng mỗi nửa nhóm S i chứa một nửa nhóm con
đẳng cấu với U. Như vậy với i  I tồn tại một đẳng cấu i : U  S i . Hệ thống
các nửa nhóm và các đẳng cấu đó được ký hiệu bởi S i iI; U;  i iI .
Và ta cũng dùng một trong các ký hiệu sau đây:

S i ; U;i , S i ; U ;i , S i ; U hoặc S i ; U  . Hệ S i ; U ; i  được gọi là cái chập

nửa nhóm.
4.2 Bổ đề.
Giả sử S i ; U ;  i  là một cái chập nửa nhóm, G là một nửa nhóm bộ phận
của nó và T là một nửa nhóm.
Giả sử  : G  T là một đồng cấu. Thế thì  i   1
i  là một đồng cấu từ Si
vào T và i  i   j  j với i, jI .
Đảo lại, giả sử  i : S i  T là họ các đồng cấu sao cho  i  i   j  j với
i, jI ta định nghĩa ánh xạ  : G  T

như sau:

 : a  a = a  i  i nếu a  S'i thế thì  là một đồng cấu.

17


Ngoài ra, tương ứng nêu ở trên giữa các đồng cấu  của phỏng nhóm bộ
phận G và họ  i  các đồng cấu của các nửa nhóm Si là tương ứng một - một.

Chứng minh.
Vì cái thu hẹp  trên S'i là một đồng cấu của nửa nhóm S'i nên rõ ràng rằng
 i là một đồng cấu

của nửa nhóm Si. Từ định nghĩa của  i suy ra rằng

i  i   U .

Đảo lại, muốn chứng minh rằng đối với các  i đã cho thì  là một đồng cấu
, ta chỉ cần chứng tỏ rằng  là ánh xạ duy nhất , cụ thể  là một ánh xạ duy nhất

trên U. Nhưng điều đó được đảm bảo bởi điều kiện  i  i   j  j với i, j  I .
Phần còn lại của bổ đề là hiển nhiên.
4.3. Định lý.
1) Cái chập nửa nhóm S i iI; U;  i iI  có thể nhúng chìm được vào
một nửa nhóm khi và chỉ khi đồng cấu chính tắc  của phỏng nhóm bộ phận G =
G S i ; U ;  i  là một phép của phỏng nhóm bộ phận G vào  *U S i là ánh xạ một một ;
2) Đồng cấu  là ánh xạ một - một khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện:
(i) Mỗi đồng cấu chính tắc  i : Si   *U S i là ánh xạ một - một.
(ii) S i  i  S j 1  U với i  j trong đó    i  i .
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh mệnh đề trong mục 2 :

18


Giả sử rằng  là một ánh xạ một - một. Giả sử aS i , bS i và a i = b j chọn
các phần tử x S' i và y  S' j sao cho x i  a, y j  b khi đó x i  i  y j  j , tức là
x  y . Vì  là ánh xạ một - một nên từ đó suy ra x = y, nếu i = j thì điều đó chứng

tỏ  i là ánh xạ một - một, nếu i  j thì ta kết luận rằng. S i  i  S j  j  U . Khi
đó vì U  S i  i đối với mọi i nên ta có S i  i  S j  j . Như vậy cả hai điều kiện (i)
và (ii) đều thoả mãn.
Đảo lại, giả thiết rằng cả hai điều kiện (i) và (ii) đều thoả mãn. Giả sử a, b 
a  S'i; b S' j nếu a  b thì a i  i  u  ui  i đối với u nào đó

G sao cho

thuộc U. Theo (i) ta có a  i  U i . Từ đó a = u  U và a  i  i  a . Tương tự b

 U và b  j  i  b , từ đó a  b . Vì  i vµ  i là các ánh xạ một - một nên 

cũng vậy, do đó a = b, vậy  là ánh xạ một - một.
Ta chứng minh mệnh đề đầu của định lý. Rõ ràng rằng nếu G có thể nhúng
chìm được vào  *U S i bởi ánh xạ  thì cái chập S i ; U;  i  có thể nhúng chìm được
vào một nửa nhóm.
Đảo lại, giả thiết rằng S i ; U;  i  nhúng chìm được vào một nửa nhóm T, tức
là G nhúng chìm được vào T bởi ánh xạ  . Thế thì theo bổ đề 4.2 ta có  i   1
i 
là một đồng cấu từ Si vào T. Vì  i vµ  là các ánh xạ một - một nên  i cũng là
ánh xạ một - một.
Bây giờ ta định nghĩa  :  * S i  T là ánh xạ đồng cấu duy nhất từ  * S i
vào T sao cho  S i   i với mỗi i  I .
Giả sử (ui, uj) là một phần tử tuỳ ý thuộc  sao cho
ui

=

u  i , u j  u j đối

với

u

nào

đó

thuộc

U

.

Thế

thì

u i   u i   u i  i  u  u j . Do đó      1 , nên  *     1 . Như vậy

19


 

tồn tại một đẳng cấu  :  *U S i  T sao cho  *   *  . Giả sử a G và a S i .

 

Thế thì a   a i  i   a i  *

 

a i   a i  i  a , như vậy    , từ đó suy

ra rằng  là ánh xạ một - một. Vì  là ánh xạ một - một suy ra định lý được chứng
minh.
4.4. Bổ đề.
Giả sử  thu được từ  bởi các bước M và sau đó là bước S. Thế thì  có
thể thu được từ  bởi một dãy các phép  - chuyển sơ cấp độ dài không lớn hơn 2,
sao cho nếu độ dài bằng 2 thì phép chuyển thứ 2 không phải là bước S.
Chứng minh.

Giả sử Si = aiuibi  S i là một vần của từ  và qua bước M vần đó biến thành
aiuibi với j  i thế thì ai, uj và bi là các vần của từ  thu được từ  nhờ một bước
M. Nếu dùng bước S để chuyển  sang  bằng cách thay thế một vần mà vần đó
khơng kề với ai hay bi thì rõ ràng bước M và bước S đó có thể thực hiện theo thứ tự
ngược lại mà vẫn thu được từ  . Nếu vần u k của từ  đứng ngay trước vần ai
(trường hợp u k đứng ngay sau bi cũng xét tương tự) và qua bước S được thay thế
bởi u' m thì nếu m  i ta lại có thể đổi thứ tự các bước M và bước S. Nếu m=i thì lại
có thể đổi các bước S. Thật vậy ' có thể thu được từ  nhờ một bước S và sau đó
một bước M. Trong đó bước M biến vần u'iaiuibi thành u'iaiujbj.
Ta còn phải xét 3 trường hợp: Thứ nhất, giả sử bước M thay thế vần ai=u'i
bởi u'm. Lúc đó s i = aiuibi= u'iuibi;và áp dụng bước E vào  sẽ thay thế vần si bởi
umuibi sau đó có thể dùng bước E để thay thế u m u i b i bởi u m u i b i . Như vậy  có
thể thu được từ  nhờ hai bước E. Tương tự ta xét trường hợp thứ 2 khi vần được
thay thế qua bước S là bi. Cuối cùng giả thiết rằng bước S thay thế uj bởi um. Nếu m

20


= i thì  =  . Nếu m  i thì chỉ cần một bước m thay thế ui cho um là ta thu được
 từ   Điều cần chứng minh.

4.5. Bổ đề.
Giả sử  =  0  1  ..   n   là một dãy các phép  - chuyển sơ cấp,
biến từ riêng  thành từ riêng  và  *t là từ riêng liên kết với  t , trong đó t =
0,1,..., n. Thế thì   *0  1*  ...  *n   là một dãy riêng các phép  chuyển sơ cấp. Ngoài ra *t 1  *t 1 là bước S, bước M hay bước E tuỳ ý theo
 t   t 1 tương ứng là bước S, bước M hay bước E.

Chứng minh.
Giả sử t  a 1 a 2 ...a k là một từ bất khả quy, trong đó a i  S j( i ) . Thế thì
*t  b 1 b 2 ...b k , trong đó bi S j( i ) . Giả thiết rằng  t   t 1 là một bước S. Thế thì

ai = uj(i)  U j( i ) đối với một i nào đó và  t1 thu được từ  t bằng cách thay uj(i) bởi
um nào đó. Lúc đó ta có ai = uj(i) =  j( i ) u j( i )  j( i )  b i .
Nếu um là một vần của từ  t1 thì um cũng là một vần của từ *t1 nào đó của
từ  t sẽ lập thành một vần của từ  t1 . Nếu um không phải là một vần nào đó của
từ  t thì um cùng với một vần nào đó của từ  t sẽ lập thành một vần của từ  t1 .
Giả thiết rằng m = j.(i +1) thế thì um ai+1 là vần của từ  t1 và vần liên kết của từ
*t bằng  m u m a i1 m hoặc  m u m a i1 với i + 1 = k.

Nhưng  m u m a i1  u m  m a i1 ,  m u m a i1m  u m  m a i1m vµ u m   m u mm .
Các nhận xét tương tự cũng đúng khi m = j (i - 1). Do đó trong mọi trường
hợp *t  t *1 là một phép  - chuyển sơ cấp, là một bước S qua đó a i  u j( i )
thay bởi u m .

21


Giả sử rằng 1  t 1 là một bước M. Thế thì ai = ci uj (i) di đối với i nào đó,
ở đây uj (i)  Uj (i) và t  1 thu được từ t bằng cách thay uj (i) bởi um, trong đó m

 j(i) vì ai = (cj  j( i ) )uj(i) ( j( i ) d i ) nên rõ ràng t *1 cũng thu được từ *t bở một
bước M.
Giả thiết rằng t  t 1 là một bước E. Thế thì ai = ciuj(i)(hoặc ai=uj(i))di,
trường hợp này xét hoàn toàn tương tự) đối với i nào đó, với u j(i) Uj(i) và t  1 thu
được từ t bằng cách thay uj(i) bởi um. nếu um là một vần của từ t thì vì ai=(cj
*
 j( i ) )u j( i ) n ª n *t 1 thu được từ  t bởi một bước E, qua đó bi=  j( i ) c i  j( i ) u j( i ) được

thay bởi  j( i ) c i  j( i ) u m nếu i > 1 hoặc i = 1 thì b1 = c1 j(1) u j(1) được thay bởi
c1 j(1) u m . Nếu um không phải là một vần của từ t  1 thì m = j(i+1) và vì

 m u m a i1m  u m  m a i1m

và  m u m a i1  u m  m a i1 nên tương tự ta thấy *t1 thu được từ *t bởi một bước E.
 Bổ đề được chứng minh.

4.6. Định lý.
Giả sử  thu được từ  nhờ một bước E và sau đó là một bước
E
S
S : 

 

 . Giả thiết rằng dãy đó là một dãy riêng kép. Thế thì trừ

trường hợp bước E và bước S lập thành một ES - hình trạng bất khả quy, cịn  có
thể thu được từ  bởi một dãy riêng các phép  - chuyển sơ cấp độ dài không lớn
hơn 2, sao cho nếu độ dài bằng 2 thì phép chuyển sơ cấp thứ 2 khơng phải là một
bước S.
Chứng minh.
22


Giả sử si  S i là vần của từ  mà ta áp dụng bước E vào. Giả thiết rằng si =
aiui và bước E biến si thành(ai  i )uj. Chú ý rằng sau khi biến đổi vần si ta phải thu
được ai  i chứ không phải ai, tuỳ theo giả thiết  là một từ riêng. Nói một cách
chính xác hơn, đầu tiên ta thực hiện "phép chuyển giữa" ...aiui...  ... (ai  i )ui... trên
 nó khơng thay đổi từ bất khả quy liên kết với  vì aiui = a i ( i u i )  (a i i )u i và

sau đó ta thực hiện bước E... (ai  i )ui...  ... (ai  i )uj... sẽ không xảy ra sự lẫn lộn

nào nếu ta coi ...aiui...  ... (ai  i )uj... là một bước E.
Ta có thể xét tương tự với trường hợp phép chuyển    bắt đầu từ bước
E bên trái thay cho bước E bên phải. Tồn tại một số khả năng cho bước S  
mà bây giờ ta sẽ nghiên cứu.
Trước hết nếu áp dụng bước S vào vần của từ  mà là vần của từ  thì
bước S có thể thực hiện theo tương tự ngược lại để thu được  từ  . Nếu bước S
thay thế uj bởi um thì chỉ cần một bước E (hoặc khơng cần bước nào, nếu m = i)
thay thế si =ciui bởi (ai  i )um là ta thu được  từ  . Nếu bước S thay thế vần ai  i
của từ  thì ai  i  u 'i và bước biến đổi u i thành um . Khi đó vần si = u'i ui có thể
thay thế trước tiên bởi u'm um rồi sau đó u'm uj (có thể không làm bước cuối này
nếu j = m). Như vậy ' thu được từ  hoặc bằng một bước S và sau đó là một
bước E. Chú ý rằng trong mỗi trường hợp dãy biến  thành  ' là một dãy riêng.
Cuối cùng còn lại là một trường hợp đối với vần s j  Sj kề bên phải với si
trong  thì phần tử uj sj là vần ( của từ  ") mà ta áp dụng bước S vào. Khi đó uj sj
= u'j và bước S thay thế u'j bởi u'm. Giả thiết rằng sj là một vần giữa của từ  . Vì 
là một từ riêng nên sj  j S j  j nên đẳng thức
uj sj = u'j kéo theo sj = u"j U j . Thế thì :
S
 = ... ai uiu"j ... 
... a i u i u m ...


23


E
... ( a i  i ) um u m ... = ... ui  i u m ... =  ".



Tức là  ' thu được từ  nhờ một bước S và sau đó là một bước E. Ngồi ra dãy
đó là một dãy riêng.
Bây giờ giả thiết rằng sj là vần cuối bên phải của từ  . Khi đó hoặc ta có
một ES - hình trạng bất khả quy, điều này không xảy ra theo giả thiết , hoặc sj 
 j S j  j . Trong trường hợp cuối có thể lý luận giống hệt trưởng hợp vần giữa. Bổ

đề được chứng minh.
4.7. Bổ đề.
Giử sử sk  Sk, sh S h và (sk,sh)   * . Thế thì tồn tại một dãy các phép  chuyển sơ cấp từ sk tới sh trong đó mọi bước S nếu có đều thực hiện đầu tiên.
Chứng minh. Theo giả sử thiết tồn tại một dãy các phép  - chuyển sơ cấp
từ sk tới sh . Theo bổ đề 4.5 ta có thể giả thiết rằng dãy đó là dãy riêng. Nếu trong
đó khơng có bước S nào thì khơng phải chứng minh gì nữa. Trong trường hợp trái
lại ta xét bước S đầu tiên trong dãy đó. Nếu nó tiếp ngay sau bước M hoặc bước E
khơng có trong một hình trạng bất khả quy thì theo các bổ đề 4.4 và 4.6 ta có thể tìm
được một dãy riêng từ sk tới sh có số bước S nhỏ hơn 1 hoặc trong đó ta gặp bước S đầu
tiên sớm hơn trong dãy xuất phát từ sk tới sh.
Ta tiếp tục qúa trình đó cho tới khi thu được dãy riêng từ sk tới sh trong đó
hoặc bước S đầu tiên là phép chuyển đầu tiên, hoặc ít hơn 1 bước S so với dãy xuất
phát từ sk tới sh, hoặc bước S đầu tiên đứng ngay sau bước E trong một ES - hình
trạng bất khả quy. Trong trường hợp cuối ta có sk  k  s k (hoặc đối ngẫu  k s k  s k
).
Bây giờ giả thiết rằng 1  2 là một phép   chuyển sơ cấp tuỳ ý giữa hai
từ 1 vµ 2 , trong đó vần cuối tj S j của từ 1 thoả mãn đẳng thức tj = t j  j . Giả
sử sn sn là vần cuối của từ 2 vµ 2 thu được từ 2 bằng cách thay vần cuối bởi

24


s n  n . Thế thì 2  2 cũng là một phép   chuyển sơ cấp. Điều đó có thể thử dễ

dàng bằng cách xét mọi khả năng. Chẳng hạn giả sử t j = ajujbj , trong đó uj  Uj và
uj thay bởi um qua phép chuyển 1  2 . Thế thì bj = sn và vì tj = t j  j nên ta có tj =
ajuj (b j j ) . Như vậy 1  2 là một phép   chuyển sơ cấp. Các trường hợp khác
cũng tương tự. Ngoài ra rõ ràng rằng 1  2 là một bước của E, bước M hoặc
bước S nếu 1  2 là một bước E, bước M hoặc bước S tương ứng.
Bây giờ giả thiết rằng bước E và bước S trong ES - hình trạng bất khả quy
đang xét có dạng:
E
S
  ....s i s j ...  ...a i u i s j 

...a i u js j  ...a i uj   

...a i um   .

Vì s k  k  s k nên lý luận vừa nêu chứng tỏ rằng từ s k tới  có thể thay bởi

một dãy riêng cùng độ dài khơng chứa bước S, từ s k tới 1  ...s i s j j , trong đó 1

thu được từ  bằng cách thay thế vần cuối bởi s j j . Vì uj  uj j  u j s j j  nên
phép chuyển 1   là một bước E.
Bây giờ    là bước S đầu tiên trong dãy riêng
E
S
s k  ...  1 

 

 nhưng vì s j j   j S j j nên các bước E và bước S

cuối cùng khơng lập thành một ES - hình trạng bất khả quy. Do đó cũng như trên ta
có đối với cặp phép chuyển đó.
Như vậy trong mọi trường hợp dãy ban đầu từ sk tới sh có thể thay bởi một
dãy từ riêng từ sk tới sh trong đó hoặc có số bước S ít hơn dãy ban đầu dãy hoặc có
cùng số bước S nhưng phép  - chuyển đầu tiên là một bước S.
Tiếp theo, nếu dãy các phép  - chuyển từ sk tới sh có dạng.
S
sk 

1  ...  s h

25