Không gian các ánh xạ liên tục và k lưới

LỜI MỞ ĐẦU
Các vấn đề cơ bản về các phủ đếm được theo điểm trong các không gian
metric tổng quát đã được các nhà toán học như Burke, Grnenhage, Michael,
Tanaka, ... quan tâm từ những năm 1970. Trong những năm gần đây, các vấn
đề nói trên được nghiên cứu sâu hơn trong các khơng gian tơpơ đặc biệt (T1 và
chính qui) bởi các nhà toán học như Pengfeiyan, Tanaka, Shoulin ... Sự tồn tại
của phủ đếm được theo điểm, các đặc trưng của mỗi loại phủ trong không gian
đặc biệt ... là những vấn đề thường được quan tâm.
Mục đích của khoá luận là nghiên cứu sự tồn tại các k - lưới và k - lưới đếm
được theo điểm của không gian C(X, Y) với tôpô mở compact (C(X, Y) là tập tất
cả các ánh xạ liên tục từ khơng gian tơpơ X vào khơng gian tơpơ Y. Ngồi ra
khố luận cịn nghiên cứu các vấn đề liên quan đến cơ sở yếu và tôpô xác định
bởi phủ.
Với mục đích như trên khố luận được trình bày theo các mục như sau
Đ1. Các khái niệm cơ bản.
Đ2. Không gian các hàm liên tục.
Đ3. Sự tồn tại k - lưới của C(X, Y).
Đ4. Cơ sở yếu và tôpô xác định bởi phủ.
Trong Đ1, chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản làm
cơ sở cho các mục tiếp theo.
Trong Đ2, đầu tiên chúng tôi giới thiệu về không gian các hàm liên tục C(X,
Y) với tơpơ mở compact. Tiếp theo, chúng tơi trình bày các tính chất cơ bản của
khơng gian C(X, Y). Chứng minh chi tiết các Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4. Các Mệnh
đề này đã có trong các tài liệu tham khảo, tuy nhiên chứng minh cịn vắn tắt
hoặc chưa có chứng minh.
Trong Đ3, chúng tơi tìm các điều kiện để tồn tại các k- lưới và k- lưới đếm
được theo điểm của không gian C(X, Y) như Định lý 3.1, 3.2, 3.3.

3

Trong Đ4, dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại cơ sở yếu
đếm được theo điểm của C(X, Y) và các phủ đếm được theo điểm xác định
C(X, Y) như Hệ quả 4.4, Định lý 4.5, Hệ quả 4.7.
Tất cả các kết quả ở trong Đ3 và Đ4 là do chúng tôi đề xuất và chứng minh.
Nhân đây, tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng
đã nêu vấn đề nghiên cứu và hết lịng hướng dẫn tác giả hồn thành khố luận
này. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, trong khoa
Tốn và các bạn bè đã dạy dỗ và giúp đỡ tác giả trong q trình học tập và
hồn thành khố luận. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khố
luận sẽ khơng tránh khỏi thiếu sót. Rất mong q thầy cơ và bạn đọc đóng góp
ý kiến.
Vinh, tháng 4/2004.
Tác giả

Đ1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần
dùng trong khố luận.
Giả sử X là khơng gian tôpô.
4


1.1. Định nghĩa. Giả sử B là một họ các tập mở của X. B được gọi là cơ sở
của X nếu mỗi tập hợp mở trong X là hợp của một họ nào đó những tập hợp
thuộc B.
1.2. Định nghĩa. Họ V ‘  T (T là tôpô trong X) được gọi là tiền cơ sở của
tôpô T nếu họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của V ’ lập thành cơ sở của
tôpô T.
1.3. Định nghĩa. Giả sử x là một điểm của X. Họ B(x) những lân cận của x
gọi là một cơ sở tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của x, tồn tại một tập hợp
U B(x) sao cho U  V.

1.4. Định nghĩa. Giả sử A và P là các tập con của X và A  P. A được gọi là
mở (đóng) trong P nếu tồn tại W mở (đóng) trong X sao cho
A = P  W.
1.5. Định nghĩa. X được gọi là T1- không gian nếu với hai phần tử bất kì
phân biệt x1 và x2 của X luôn tồn tại lân cận U của x1 sao cho x2  U.
1.6. Định nghĩa. X được gọi là T2- không gian hoặc không gian Hauxơdooc
nếu mỗi cặp điểm khác nhau x1, x2  X đều tồn tại một lân cận U của x1 và một
lân cận V của x2 sao cho U  V = .
1.7. Định nghĩa. X được gọi là T3- không gian hoặc không gian chính qui
nếu với mỗi tập đóng F trong X và mọi phần tử x  F luôn tồn tại hai tập hợp
mở U và V sao cho
x  U, F  V và U  V = .
1.8. Định nghĩa. Họ

P các tập con của X được gọi là một phủ của A  X

nếu
A  P : P  P .
Ta viết P thay cho P : P  P .
Nếu P = P : P mở trong X thì P được gọi là phủ mở của X.
5


Nếu P = P : P compact trong X thì P được gọi là phủ compact của X.
1.9. Định nghĩa. X được gọi là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có một
phủ con hữu hạn.
1.10. Định nghĩa. X được gọi là compact địa phương nếu với mọi x  X đều
tồn tại một lân cận U của x sao cho U là một tập compact của X.
1.11. Định lý. Giả sử X là một T2- khơng gian chính qui, compact địa
phương, A là một tập hợp compact của X và V là một tập hợp mở chứa A. Khi

đó, tồn tại một tập hợp mở U sao cho U compact và
A  U  U  V.
1.12. Định lý. Nếu X là khơng gian tơpơ chính qui, A là tập compact và U là
lân cận của A thì tồn tại lân cận V đóng của A sao cho
V  U.
1.13. Định lý. T1- không gian X là một khơng gian chính qui khi và chỉ khi
với mỗi điểm x  X và mỗi lân cận V của x tồn tại một lân cận U của x sao cho
x  U  U  V.
1.14. Định nghĩa. X được gọi là thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu X
có sơ sở lân cận đếm được tại mỗi điểm x  X.
1.15. Định nghĩa. Giả sử P và P’ là phủ của X. P’ được gọi là cái làm mịn
của P nếu với mọi P’  P’, tồn tại P  P sao cho
P’  P.
1.16. Định nghĩa. Giả sử

P

là một phủ của X. Ta nói X được xác định bởi

phủ P hoặc P xác định X nếu U là mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U  P là
mở (đóng) trong P với mọi P  P.
1.17. Định nghĩa. Phủ

P của X được gọi là phủ đếm được theo điểm nếu

mỗi điểm của X thuộc không quá đếm được các P  P.
1.18. Định nghĩa. Giả sử

P là một phủ của X. Kí hiệu P< là họ tất cả các

tập con hữu hạn của P.
6


P được gọi là một k - lưới của X nếu với mỗi tập compact K và mọi tập mở
U chứa K (K  U) của X, luôn tồn tại P’  P< sao cho

P’  U.

K
1.19. Định nghĩa. Giả sử

P

= 

Px : x  X là họ các tập con của X sao

cho với mỗi x  X đều thoả mãn
1)

Px là một lưới tại x nghĩa là mọi lân cận U của x đều tồn tại P  Px

mà P  U.
2) Nếu P1, P2  Px thì tồn tại P3  Px sao cho
P3  P1  P2.

P được gọi là một cơ sở yếu của X nếu mỗi tập con G của X là tập mở khi và
chỉ khi mỗi x  G luôn tồn tại P  Px mà P  G.
1.20. Định nghĩa. X được gọi là gf - không gian đếm được nếu X có một cơ

sở yếu

P

= 

Px : Px là tập đếm được

trong đó Px thoả mãn điều kiện định nghĩa 1.19.

Đ2. KHÔNG GIAN CÁC ÁNH XẠ LIÊN TỤC
Giả sử X, Y là hai khơng gian tơpơ. Kí hiệu C(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ
liên tục từ X vào Y.
Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không gian Y
ta kí hiệu
(K, U) = f  C(X, Y) : f(K)  U.
Trong [1], ta có mệnh đề sau:

7


2.1. Mệnh đề. Họ tất cả các tập (K, U), trong đó K là tập con compact bất
kì trong X và U là một tập mở trong Y, là tiền cơ cở của tôpô T trong C(X, Y).
Ta gọi tôpô này là tôpô mở - compact. Sau này, nếu không nói khác thì tơpơ
trên C(X, Y) ln hiểu là tơpơ mở - compact.
Họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng (K, U) trong đó K, U là những
tập như trên lập thành cơ sở của tôpô mở compact. Một phần tử tùy ý của cơ sở
n

đó có dạng

 (Ki, Ui) trong đó mỗi Ki là một tập con compact của X, còn mỗi
i 1

Ui là một tập con mở của Y.
Sau đây, ta chứng minh một số tính chất cơ bản của khơng gian C(X, Y).
2.2. Mệnh đề. Nếu Y là T1- khơng gian thì C(X, Y) là T1- không gian.
Chứng minh. Giả sử f, g  C(X,Y) sao cho f  g. Khi đó, ln tồn tại x  X
sao cho f(x)  g(x). Vì Y là T1- không gian nên tồn tại lân cận mở U của f(x) sao
cho g(x)  U. Vì x là tập compact nên (x, U) là lân cận của f. Vì g(x,
U) nên C(X, Y) là T1- khơng gian.
2.3. Mệnh đề. Nếu Y là T2- khơng gian thì C(X, Y) là T2- không gian.
Chứng minh. Giả sử f, g  C(X, Y) sao cho f  g. Khi đó, tồn tại x  X sao
cho f(x)  g(x). Vì Y là T2- không gian nên tồn tại các lân cận mở U, V lần lượt
của f(x), g(x) sao cho U  V = . Ta thấy (x, U) là lân cận của f và (x, V)
là lân cận của g mà (x, U)  (x, V) = . Thật vậy, với mỗi h  (x, U), ta
có
h(x)  U. Khi đó, h(x) V (vì U V = ) hay h (x, V).
Vì thế, (x, U)  (x, V) = . Từ đó suy ra C(X, Y) là T2- khơng gian.
2.4. Mệnh đề. Nếu Y là khơng gian chính qui thì C(X, Y) là khơng gian
chính qui.
Chứng minh. Với mỗi f  C(X, Y) và mỗi lân cận mở W của f ta cần chứng
minh tồn tại lân cận đóng V của f sao cho V  W. Giả sử
8


n

W=

 (Ki, Ui)
i 1

trong đó Ki là tập compact trong X, Ui là tập mở trong Y với mọi i = 1, n .
Vì f  (Ki, Ui) với mọi i = 1, n nên f(Ki)  Ui với mọi i = 1, n . Vì f là ánh xạ
liên tục từ X vào Y và Ki là tập con compact trong X nên f(Ki) là tập con
compact trong Y (i = 1, n ). Vì Y là khơng gian chính qui nên tồn tại lân cận
đóng Vi của f(Ki) sao cho
f(Ki)  Vi  Ui i = 1, n .
Do đó
f  (Ki, Vi)  (Ki, Ui) i = 1, n
hay
f

n

n

i 1

i 1

 (Ki, Vi)   (Ki, Ui) = W.

n

Đặt V =

 (Ki, Vi). Khi đó V là lân cận của f. Ta còn phải chứng minh V là
i 1

tập đóng. Để thực hiện điều này trước hết ta chứng minh rằng với mỗi i = 1, 2,
..., n đều có
(Ki, Vi) =



(x, Vi).

x K i

Thật vậy, với mỗi f  (Ki, Vi) ta có f(Ki)  Vi. Do đó
f(x)  f(Ki)  Vi x  Ki,
nghĩa là
f  (x, Vi) x  Ki
hay
f



(x, Vi).

x K i

Ngược lại, giả sử g 



(x, Vi). Khi đó, ta có

x K i

g  (x, Vi) x  Ki.
9

(1)


Do đó
g(x)  Vi x  Ki
hay
g(Ki)  Vi.
Bao hàm thức này chứng tỏ
g  (Ki, Vi).
Vậy, ta có
(Ki, Vi) =



(x, Vi).

x K i

Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mỗi x  Ki, tập (x, Vi) là đóng trong
C(X, Y) hay C(X, Y) \ (x, Vi) là tập mở. Với bất kì   C(X, Y) \ (x, Vi) ta có

(x)  Vi. Vì Vi đóng nên Y \ Vi là tập mở. Từ đó, (x, Y\ Vi) là tập mở trong
C(X,Y), chứa . Rõ ràng, nếu  (x, Y\Vi) thì (x) Y\Vi. Do đó (x, Vi).
Từ đó suy ra
(x, Y\ Vi)  C(X, Y) \ (x, Vi)

và dó đó C(X, Y) \ (x, Vi) mở hay (x, Vi) đóng.
Cuối cùng, từ bao hàm thức (1) suy ra mỗi tập (Ki,Vi) là đóng trong C(X,Y).
Từ đó ta có V là tập đóng trong C(X, Y).

Đ3. SỰ TỒN TẠI CỦA

k - LƯỚI CỦA C(X, Y)

Trong mục này, ta sẽ đưa ra các điều kiện để tồn tại k- lưới và k- lưới đếm
được theo điểm của không gian C(X, Y). Từ đây về sau ta kí hiệu K là họ tất cả
các tập compact trong X, U là cơ sở của tôpô trong Y.
Giả sử P là họ các tập con nào đó của khơng gian tơpơ X. Kí hiệu

P

*

=  :   P ,  hữu hạn,
10


P* =  :   P ,  hữu hạn,
trong đó
 =

P
P 

;  =

P.

P 

3.1. Định lý. Nếu X có k - lưới P gồm các tập compact thì

~
P* là k- lưới của

C(X, Y), với

~
P

= (G, U) : G  P , U  U .
*

Hơn nữa
1) Nếu P và U đếm được thì
2) Nếu

~

P*

đếm được.

~
P đếm được và U đếm được theo điểm thì P* đếm được theo

điểm.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng tỏ

~
P*

là phủ của C(X, Y). Thật vậy, với

mỗi f  C(X, Y), lấy x  X. Ta có f(x)  Y. Vì U là cơ sở của tôpô trong Y nên
tồn tại U  U sao cho f(x)  U. Do f liên tục và U mở nên f -1(U) mở. Từ x là
tập compact, x  f -1(U) và P là k- lưới suy ra tồn tại P P sao cho
x  P  f -1(U).
Do đó
f(P)  U
hay
f  (P, U) 
Vì thế

~
P* là phủ của C(X, Y).
11

~ ~
P  P* .


Tiếp theo, ta chứng minh

~
P* là k- lưới của C(X, Y). Giả sử K là tập compact

của C(X, Y) và W là tập con mở của C(X, Y) chứa K. Khi đó, với mỗi f  K ắt
tồn tại lân cận V của f sao cho V  W và V có dạng
k

V=

 (Ki, Ui),
i 1

trong đó Ki  K , Ui  U với mọi i = 1, k .
Vì f  (Ki, Ui), i = 1, k nên
f(Ki)  Ui, i = 1, k .
Do đó Ki  f -1(Ui). Từ

P - k lưới của X và f -1(Ui) là tập mở suy ra tồn tại P1i,

P2i, ..., Pmi i  P sao cho
Ki 

mi

 Pji  f -1(Ui), i = 1, k .
j 1

Vì thế
mi

f(Ki)  f (  Pji)  Ui , i = 1, k .
j 1

Đặt
mi

Pi = (  Pji, Ui) , i = 1, k .
j 1

Ta có Pi 

~
P

và f  Pi, i = 1, k . Đặt

~
Pf =

k

 Pi.
i 1

~ ~
~
~
Khi đó Pf  P . Vì f  Pi với mọi i = 1, k nên f  Pf . Ta chứng minh Pf  U.

*

~

Thật vậy, với mọi g  Pf ta có g  Pi với mọi i = 1, k . Do đó

12

(1)


 mi

g   Pji   Ui , i = 1, k .
 j 1 
Từ (1) suy ra

 mi

g(Ki)  g   Pji   Ui , i = 1, k


 j 1 

~
và do đó g  (Ki, Ui) với mọi i = 1, k hay g  V. Vì thế, Pf  V. Như vậy
~
f  Pf

~
 V  W, trong đó Pf =

k

 Pi.
i 1

 mi

~
Vì Pi =   Pji , U i  là tập mở trong C(X, Y) với mọi i = 1, k nên Pf là tập
 j 1

mở trong C(X, Y).
~
Đặt F =  Pf : f  K.
Khi đó, F là phủ mở của tập compact K. Do đó tồn tại f1, f2,...,fnK sao cho
K

n

~

P
j 1

~
Vì các Pf j 

~
P*

j = 1, n nên

~
P*

fj

 W.

là k- lưới của C(X, Y).

Cuối cùng, ta chứng minh các khẳng định 1) và 2).
1) Vì

~

P đếm được nên P *đếm được. Mặt khác,U đếm được nên P đếm

được. Khi đó, từ họ tất cả các tập con hữu hạn của tập đếm được là đếm được
suy ra

~
P* đếm được.

2) Để chứng minh

~
~
P* đếm được theo điểm ta chỉ cần chứng minh P đếm

được theo điểm. Giả sử f  C(X, Y). Với mỗi G  P , đặt
*

F G = U U

: f  (G, U)

13


~
P đếm được theo

Vì P đếm được nên P đếm được. Do đó, để chứng minh
*

điểm chỉ cần chứng minh mỗi FG là đếm được, G  P .
*

Thật vậy, giả sử tồn tại G  P

*

sao cho FG quá đếm được, nghĩa là tồn tại

một số quá đếm được tập U U sao cho
f(G)  U.
Khi đó, lấy x  G ta có f(x) thuộc quá đếm được tập của U . Điều này mâu
thuẫn với tính đếm được theo điểm củaU. Từ đó, ta có điều phải chứng minh.
3.2. Định lý. Nếu X là T2- khơng gian, chính qui và compact địa phương thì

P* là k- lưới của C(X, Y) trong đó

P

= (G, U) : G  G , U U 

với G = G  X : G mở, G compact.
Chứng minh. Trước hết chứng minh P* là phủ của C(X, Y).
Thật vậy, với mỗi f C(X,Y), lấy x  X. Khi đó tồn tại UU sao cho f(x)
U. Vì U là tập mở, f liên tục nên f -1(U) là tập mở và x  f -1(U). Từ X là T2khơng gian, chính qui và compact địa phương, suy ra tồn tại V mở chứa x sao
cho V compact và
x  V  V  f -1(U).
Vì thế
f(x)  f(V)  f(V )  U
và do đó
f  ( V , U)  (V, U).
Như vậy tồn tại (V, U) 

P sao cho f  (V, U). Vì P

của C(X, Y).
Tiếp theo ta chứng minh P* là k - lưới.
14



P* nên P* là phủ


Giả sử K là tập con compact của C(X, Y) và W là tập con mở của C(X, Y) sao
cho K  W. Khi đó, với mọi f  K ắt tồn tại lân cận V chứa f sao cho V  W và
V có dạng

m

V=

 (Ki, Ui)
i 1

trong đó Ki  K , Ui  U i = 1, m .
Vì f  (Ki, Ui) với mọi i = 1, m nên f(Ki)  Ui với mọi i = 1, m . Do đó,
Ki  f -1(Ui) và f -1(Ui) là mở trong X. Vì Ki là tập con compact trong X, X là T2khơng gian, chính qui và compact địa phương nên tồn tại Vi mở sao cho Vi
compact và
Ki  Vi  Vi  f -1(Ui) i = 1, m .
Từ đó suy ra
f(Ki)  f(Vi)  f(Vi )  Ui i = 1, m .
Do đó
f  ( Vi , Ui)  (Vi, Ui)  (Ki, Ui) i = 1, m
hay
f

m

m

m

i 1

i 1

i 1

 (Vi , Ui)   (Vi, Ui)   (Ki, Ui) = V.

(*)

Đặt
m

~
Pf =

 (Vi , Ui),

Pf =

 (Vi, Ui).

i 1
m

i 1

~
Khi đó, Pf  P* và Pf mở trong C(X, Y).

~
Vì F =  Pf : fK là phủ mở của tập compact K nên tồn tại f1, f2,..., fn K
sao cho
15

K

n

~
 Pf j 
j 1

n

 W.

P
j 1

fj

Vậy P* là k- lưới của C(X, Y).
3.3. Định lý. Giả sử P là k lưới compact của X và G là phủ của Y sao cho
*

với mọi y  Y và với mọi tập con mở U  Y mà y  U đều tồn tại G  G sao
cho
y  G0  G  U.
(G0 là phần trong của G).
Khi đó

~
P* là k- lưới của C(X, Y), trong đó

~
P = (K, G) : K  P

*

*

, G  G .

Hơn nữa, nếu P đếm được và G đếm được theo điểm thì
*

~
P* đếm được theo

điểm.
Để chứng minh Định lý ta cần Bổ đề sau
3.4. Bổ đề. Nếu G là phủ của Y thoả mãn giả thiết của Định lý 3.3 thì với
mỗi tập con compact A trong Y, với mọi tập con W mở trong Y mà A  W đều
*

tồn tại G  G sao cho
A  G0  G  W.
Chứng minh Bổ đề. Vì G thoả mãn giả thiết của Định lý 3.3 và A  W nên
*

với mọi y  A ắt tồn tại Gy  G sao cho
y  G y0  Gy  W.
Họ Gy0: y A là phủ mở của tập compact A nên tồn tại y1, y2,..., yn  A sao
cho

A

0

n


i 1

G y0i

n
 n 0
=   G yi   (  G yi )0 
i 1
 i 1


16

n

Gy
i 1

i

 W.

Đặt G =

n

 G y . Vì G
i 1

i

*

yi

*

 G với mọi i = 1, n nên G  G và G thoả mãn

Bổ đề.
3.5. Hệ quả. Nếu G là phủ của Y thoả mãn giả thiết của Định lý 3.3 thì G là
k- lưới của Y.
Chứng minh Định lý3.3. Đầu tiên, chứng minh
Giả sử f  C(X, Y) và P 

~
P* là phủ của C(X, Y).

P. Vì f liên tục nên f(P) là tập compact trong Y.
*

Lấy U là tập mở trong Y sao cho f(P)  U. Theo Bổ đề 3.4 tồn tại G  G sao

cho
f(P)  G0  G  U.
Do đó
f  (P, G) 
Như vậy,

~
P*

~ ~
P  P* .

là phủ của C(X, Y).

Tiếp đến, ta chứng minh

~
P*

là k- lưới.

Giả sử D là tập compact trong C(X, Y), W là tập con mở trong C(X, Y) sao
cho D  W. Khi đó với mọi f  D vì W mở và D  W nên tồn tại lân cận V của
f sao cho V  W và V có dạng
m

V=

 (Ki, Ui)
i 1

trong đó Ki  K , Ui  U với mọi i = 1, m . Vì f  V nên f  (Ki, Ui) với mọi
i = 1, m . Do đó f(Ki)  Ui với mọi i = 1, m hay
Ki  f -1(Ui) i = 1, m .
Từ

P

- k lưới của X suy ra với mỗi i = 1, m ắt tồn tại Pi1, Pi 2, ..., Pi ni 

sao cho

17

P


Ki 

ni

 Pij  f -1(Ui).
j 1

Vì thế
ni

f(Ki)  f (  Pij)  Ui.
j 1

Đặt
ni

Pi =

 Pij ,
j 1

i = 1, m .

Ta có Pi  P và
*

f(Ki)  f(Pi)  Ui , i = 1, m .
Với mọi g  (Pi, Ui) ta có
g(Pi)  Ui với i = 1, m .
Do Ki  Pi nên
g(Ki)  g(Pi)  Ui.
Từ đây suy ra g  (Ki, Ui) với mọi i = 1, m . Vì thế
(Pi, Ui)  (Ki, Ui) i = 1, m .
*

Vì f(Pi) compact nằm trong tập mở Ui nên theo bổ đề 3.4 tồn tại Gi  G sao
cho
f(Pi)  Gi0  Gi  Ui i = 1, m .
Từ đó ta có
f

m


i 1

( Pi , Gi0 ) 

m

m

m

i 1

i 1

i 1

 (Pi, Gi)   (Pi, Ui)   (Ki, Ui) = V  W.

Đặt

~
Pf =

~
 (Pi, Ui)  P*
m

i 1

18


(vì (Pi, Gi) 

~
P với mọi i = 1, m ) và
m

Wf =

 (Pi, Gi0 ).
i 1

Từ Pi compact trong X và Gi0 mở trong Y suy ra Wf là mở trong C(X, Y). Mặt
khác D compact nên tồn tại f1, f2, ..., fk  D sao cho
D

k

W f
j 1

j

 W.

(2)

~

~
Ta có Pf j  P* với mọi j = 1, k . Từ (1) và (2) suy ra
D

k

~

P

fj

j 1

Vậy,

 W.

~
P* là k- lưới của C(X, Y).

P đếm được và G*đếm được theo điểm
~
~
P* đếm được theo điểm. Để chứng minh điều đó, ta chỉ cần chứng minh P

Cuối cùng, ta chứng minh rằng nếu
thì

đếm được theo điểm.

Giả sử f  C(X, Y). Với mỗi K  P , đặt
*

*

GK = G  G : f  (K, G).
Vì

P

đếm được nên

P

*

đếm được. Do đó, để chứng minh

~
P đếm được

theo điểm chỉ cần chứng tỏ mỗi GK là đếm được, K  P . Thật vậy, giả sử tồn
*

tại
tập

K

P

*

sao cho GK quá đếm được, nghĩa là tồn tại một số quá đếm được

*

G  G sao cho
f(K)  G.
*

Khi đó, lấy x  K ta có f(x) thuộc quá đếm được tập của G . Đây là một điều
mâu thuẫn. Từ đó ta có điều phải chứng minh.

19


Định lý 3.6. Giả sử P là k- lưới đếm được gồm các tập compact của X và G
là phủ của Y sao cho G * đếm được theo điểm và với mỗi y  Y và với mỗi tập
con mở U  Y, U chứa y đều tồn tại G  G * thoả mãn
y  G0  G  U.
Khi đó
1) C(X, Y) là gf - khơng gian đếm được.
2) C(X, Y) thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất.
Chứng minh. 1) Giả sử f  C(X, Y). Đặt

~
P = (K, G0) : K  P *, G  G*
~
Vf =  P 

~
P* : f 

~
P

và

V=

v f .

f  C(X,Y)

Khi đó, từ

~
P*

khép kín với phép giao hữu hạn suy ra Vf cũng vậy. Ta sẽ

chứng minh Vf là lưới tại f. Giả sử V là tập mở trong C(X, Y), f  V. Ta có thể
giả thiết
n

V=

 (Ki, Ui)
i 1

trong đó Ki là tập compact trong X, Ui là tập mở trong Y với i = 1, n .
Vì f  V =

n

 (Ki, Ui) nên
i 1

f(Ki)  Ui , i = 1, n .
Do đó
Ki  f -1(Ui) , i = 1, n .
Từ

P

là k- lưới, f -1(Ui) là tập mở chứa tập compact Ki suy ra tồn tại Pi

*

sao cho
20

P


Ki  Pi  f -1(Ui) , i = 1, n .
Ta có
f(Ki)  f(Pi)  Ui , i = 1, n .

(1)

Do đó
f  (Pi, Ui)  (Ki, Ui) , i = 1, n .
Vì f liên tục nên f(Pi) là tập compact. Từ (1) và Bổ đề 3.4 suy ra tồn tại Gi 
*

G sao cho
f(Pi)  Gi0  Gi  Ui , i = 1, n .
Do đó
f  (Pi, Gi0 )  (Pi, Gi)  (Ki, Ui) , i = 1, n
hay
f
Từ Pi 

P

*

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 (Pi, Gi0 )   (Pi, Gi)   (Ki, Ui) = V.
*

, Gi  G suy ra (Pi,

Gi0 )

(2)

n
~
~
 P và do đó  (Pi, Gi0 )  P . Như
*
i 1

n

vậy

 (Pi, Gi0 )  Vf . Vì thế Vf là lưới tại f.
i 1

n

Do Pi là tập compact trong X còn G là tập mở trong Y (i = 1, n ) nên
0
i


i 1

(Pi, Gi0 ) là tập mở trong C(X, Y). Vì thế, từ (2) suy ra tập con W của C(X, Y) là
~
mở khi và chỉ khi với mỗi f  W đều tồn tại P  Vf sao cho
~
f  P  W.
Do đó V là cơ sở yếu của C(X, Y). Từ Định lý 3.3 và (2) suy ra

~
P* đếm được

theo điểm. Từ đó Vf là đếm được. Vậy C(X, Y) là gf- không gian đếm được.
2) Từ hệ thức (2) ta thấy rằng với mọi f  C(X, Y) và V là tập mở trong
C(X,Y), f  V đều tồn tại tập mở W =

n
~
 (Pi, G i0 )  P* sao cho
i 1

21


f  W  V.

(3)

Vì Vf là đếm được và W là tập mở nên từ (3) suy ra Vf là cơ sở lân cận tại f.

Như vậy, tại mỗi điểm của C(X, Y) có cơ sở lân cận đếm được. Từ đó ta có
điều cần chứng minh.
Đ4. CƠ SỞ YẾU VÀ TÔPÔ XÁC ĐỊNH BỞI PHỦ
4.1. Mệnh đề. Giả sử P là phủ mở của không gian tôpô X. Khi đó

P

là cơ

sở yếu của X khi và chỉ khi P là k- lưới.
Chứng minh. Giả sử P là cơ sở yếu gồm các tập mở. Ta sẽ chứng minh P là
k- lưới của X.
Thật vậy, giả sử K là tập compact và U là tập mở trong X sao cho K  U.
Với mỗi x  K, vì x  U và P là cơ sở yếu nên tồn tại Px  P sao cho
x  Px  U.
Đặt

V = Px : x  K.
Vì mỗi Px là tập mở nên V là phủ mở của tập compact K. Do đó, tồn tại x1,
x2, ..., xm  K sao cho
K

m

 Px
i 1

i

 U.

Mặt khác Pxi  P với mỗi i = 1, m nên P là k- lưới.
Ngược lại, giả sử P là một k-lưới. Ta sẽ chứng minh P là một cơ sở yếu của
X.
Với mỗi x  X đặt

Px = P  P : x  P.
Khi đó

P =  Px : x  X
22


Vì P là k- lưới nên Px là lưới tại x. Giả sử U, V thuộc Px. Ta có U  V là tập
mở chứa x nên tồn tại P  Px sao cho P  U  V. Nếu G là tập mở trong X
thì
với mọi x  G, từ tính k- lưới của P suy ra tồn tại P  P sao cho
x  P  G.
Ngược lại, nếu G  X sao cho với mọi x G đều tồn tại P  P mà x  P 
G
thì do P mở nên G là tập mở trong X. Vậy P là một cơ sở yếu của X.
4.2. Định lý. Giả sử X là T2- khơng gian, chính qui và compact địa phương.
Khi đó

P*  là k- lưới của C(X, Y) trong đó
P ’ = (G, U)0 : G  G, U  U 

với
G = G  X : G mở, G compact.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh P  phủ C(X, Y).

*

Thật vậy, với mỗi f  C(X, Y). Lấy x  Y. Khi đó tồn tại U  U sao cho
f(x)  U. Vì X là T2- khơng gian, chính qui và compact địa phương nên tồn tại
V mở của x sao cho V compact và
x  V  V  f -1(U).
Vì thế
f(x)  f(V)  f(V )  U
và do đó
f  ( V , U)  (V, U).
Từ đó suy ra
f  ( V , U) = ( V , U)0  (V, U)0.

23


Như vậy, tồn tại (V, U)0  P’, f  (V, U)0. Vì P’ P  nên P  là phủ của C(X,

*

*

Y).
Tiếp theo, ta chứng minh P  là k- lưới.

*

Giả sử K là tập con compact của C(X, Y) và W là tập con mở của C(X, Y)
sao cho K  W. Khi đó, với mọi f  K  W ắt tồn tại lân cận V chứa f sao cho

V  W và V có dạng
m

V=

 (Ki, Ui),
i 1

trong đó Ki  K, Ui  U.
Vì f  (Ki, Ui), i = 1, m nên
f(Ki)  Ui, i = 1, m .
Do đó
Ki  f -1(Ui)
Vì X là T2- khơng gian chính qui và compact địa phương nên tồn tại Vi mở sao
cho Vi compact và
Ki  Vi  Vi  f 1(Ui) , i = 1, m .
Từ đó suy ra
f(Ki)  f(Vi)  f(Vi )  Ui , i = 1, m .
Do đó
f  ( Vi , Ui)  (Vi, Ui)  (Ki, Ui) , i = 1, m .
Suy ra
f

m

m

m

m

m

i 1

i 1

i 1

i 1

i 1

 (Vi , Ui)0 =  (Vi , Ui)   (Vi, Ui)0   (Ki, Ui)0 =  (Ki, Ui).

Đặt
Pf =

m

 (Vi, Ui)0  P*
i 1
m

Pf =

 (Vi , Ui).
i 1

24

Khi đó, Pf mở trong C(X, Y), Pf  Pf  V  W

Vì
J = Pf : f  K
là phủ mở của tập compact K nên tồn tại f1, f2, ..., fn  Ksao cho
K

n

 Pf j 
j 1

Mặt khác, các Pfi 

n

 P
j 1

fj

 W.

P* nên P* là k- lưới của C(X, Y).

4.3. Nhận xét:
1) Nếu G và U đếm được thì

P*  đếm được.

2) Nếu G đếm được và U đếm được theo điểm thì

P*  đếm được theo điểm.

Chứng minh. 1) Vì G và U đếm được nên P’đếm được đếm được. Khi đó
từ họ tất cả các tập con hữu hạn của một tập đếm được là đếm được suy ra P 

*

đếm được.
2) Để chứng minh

P* đếm được theo điểm ta chỉ cần chứng minh P’đếm

được theo điểm.
Giả sử f  C(X, Y). Với mỗi G  G đặt

G = U  U : f  (G, U)0.
Vì G đếm được nên để chứng minh P’đếm được theo điểm chỉ cần chứng tỏ
mỗi G là đếm được, G  G. Thật vậy, giả sử tồn tại G  G sao cho G quá
đếm được nghĩa là tồn tại một số quá đếm được tập U  U sao cho
f  (G, U)0  (G, U).
Vì thế
f(G)  U.

25

Khi đó, lấy x  G ta có f(x) thuộc quá đếm được tập của U. Đây là một điều
mâu thuẫn. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
4.4. Hệ quả. Với các giả thiết của định lý 4.2, nếu G đếm được và U đếm
được theo điểm thì

P*  là cơ sở yếu đếm được theo điểm của C(X, Y).

Chứng minh. Từ

P* là phủ mở của C(X, Y) (vì mỗi phần tử thuộc P* đều

mở) và kết quả của Mệnh đề 4.1, Định lý 4.2 cùng Nhận xét 4.3 ta có điều phải
chứng minh.
4.5. Định lý. Giả sử X là T2- khơng gian, chính qui, compact địa phương.
Khi đó,

~
P xác định C(X, Y) trong đó
~
P = (G, U) : G  G, U  U

với
G = G  X : G mở, G compact
Để chứng minh Định lý ta cần Bổ đề sau
4.6. Bổ đề. Nếu P,

P ’ là các phủ của X, P ’ xác định X và P ’ là cái làm

mịn của P thì P xác định X.
Chứng minh Bổ đề. Giả sử U là tập mở trong X. Khi đó U  P là mở trong

P với mọi P  P.
Bây giờ, giả sử U là tập con của X sao cho U P mở trong P với mọi P  P.
Ta cần chứng minh U mở trong X. Vì

P’ là cái làm mịn của P nên với mọi

P’ P’ tồn tại P  P sao cho P’  P. Do U  P là mở trong P nên tồn tại G
mở trong X sao cho
G  P = U  P.
Khi đó, từ P’  P suy ra
U  P’ = U  (P  P’) = (U  P)  P’ = (G  P)  P’ = G  P’.

26


Vì thế, U  P’ là mở trong P’ với mọi P’ P’. Từ P’ xác định X suy ra U là
mở trong X. Vậy P xác định X.
Chứng minh Định lý 4.5. Đặt

M = ( G , U) : G  G, U  U .

~
P xác định C(X, Y) ta cần chứng minh
~
~
M, P là phủ của C(X, Y), M là cái làm mịn của P và M xác định C(X, Y).
Áp dụng Bổ đề 4.6, để chứng minh

Đầu tiên ta chứng minh M là phủ của C(X,Y). Với mỗi f C(X,Y). Lấy x 
X. Khi đó, tồn tại U  U sao cho f(x)  U. Vì U là tập mở và f liên tục nên f 1

(U) tập mở.

Do X là T2- khơng gian, chính qui và compact địa phương, f -1(U) mở chứa x
nên tồn tại V mở chứa x sao cho V compact và
x  V  V  f -1(U).
Từ đó ta có
f(x)  f(V)  f(V )  U.
Do đó
f  ( V , U)  (V, U)  (x, U).
Như vậy, tồn tại ( V ,U) M sao cho f(V ,U). Vì thế, M là phủ của C(X, Y).
Tiếp đến, ta chứng minh M là cái làm mịn của

~
P . Giả sử M = ( G , U)  M ,

trong đó G  G, U  U . Khi đó

~
P = (G, U) 

~
P

và

~
M = ( G , U)  (G, U) = P .
Do đó, M là cái làm mịn của

~
P.

27