Một số vấn đề về phủ điểm đếm được

1

Mở đầu

Không gian mêtric, không gian compact là các lớp không gian tôpô có
nhiều tính chất hay đ-ợc sử dụng trong giải tích đặc biệt là trong tôpô. Cho
không gian tôpô (X,

T

), một cách tự nhiên ta đặt câu hỏi: tồn tại hay không

trên X một mêtric sao cho

T

là tôpô mêtric? Từ đó khái niệm không gian

mêtric dẫn đến một khái niệm quan trọng của tôpô đó là khái niệm không gian
mêtric hoá đ-ợc hay là không gian khả mêtric. Vấn đề đặt ra là bằng cách nào
có thể xây dựng đ-ợc các điều kiện cần, điều kiện đủ và điều kiện t-ơng
đ-ơng để một không gian tôpô trở thành một không gian khả mêtric. Chính vì
điều này nên có rất nhiều nhà toán học đà tập trung nghiên cứu với nhiều
h-ớng khác nhau. Nhà toán học Ur-sơn với định lý mêtric hoá kinh điển đà đề
ra đ-ợc một điều kiện cần và đủ để một không gian tôpô trở thành không gian
khả mêtric thông qua khái niệm cơ sở đếm đ-ợc. Tiếp đó một số nhà toán học
đà xây dựng đ-ợc các điều kiện t-ơng đ-ơng để một không gian tôpô X trở
thành không gian mêtric hoá đ-ợc thông qua các khái niệm cơ sở - hữu hạn
địa ph-ơng và cơ sở - rời rạc. Với việc xây dựng các khái niệm điểm đếm
đ-ợc, phủ điểm đếm đ-ợc, các nhà toán học nh- D. Lutzer, V. V. Filippov,
G. Aquaro,...đà có một số kết quả về các không gian với phủ điểm đếm đ-ợc

thoả mÃn các giả thiết khác nhau. Đặc biệt là các công trình của D. Burke và
E. Michael đà xây dựng đ-ợc một số lớp không gian khả mêtric cùng thoả
mÃn điều kiện: X có phủ điểm đếm đ-ợc
thì có một họ con hữu hạn F cđa

P

P sao cho nÕu

x, y  X víi x  y,

sao cho x  (  F ) 0 và y F .

Trên cơ sở các bài báo của D. Burke , E. Michael và sự h-ớng dẫn của
Thầy giáo PGS.TS. Trần Văn Ân, tác giả đà tiếp cận h-ớng nghiên cứu này.
Mục đích chính của luận văn là trình bày có hệ thống các khái niệm, mét sè


2

loại ánh xạ, không gian có liên quan đến khái niệm phủ điểm đếm đ-ợc và
chứng minh chi tiết các kết quả, hệ quả đ-ợc rút ra từ các kết quả vừa nêu ở
trên.
Luận văn có nội dung chính nh- sau:
Đ1. Các khái niệm cơ bản về tôpô
Tiết này nhằm trình bày một số khái niệm cơ bản về tôpô nh- điểm đếm
đ-ợc, phủ điểm đếm đ-ợc, họ cực tiểu, c-không gian, k-không gian, cùng
với các điều kiện đ-ợc ký hiệu từ (1.1.1) đến (1.1.5).
Đ2. Các không gian với phủ điểm đếm đ-ợc
Trong tiết này chỉ ra một số tính chất của không gian với phủ điểm đếm

đ-ợc thông qua các bổ đề.
Đ3. Phủ điểm đếm đ-ợc và tính compact, paracompact
Phần này trình bày một số kết quả về tính compact, tính paracompact
của không gian có phủ điểm đếm đ-ợc và điều kiện để một k-không gian là
c-không gian.
Đ4. Phủ điểm đếm đ-ợc và -không gian, - không gian
Tiết này nêu lên định nghĩa -không gian, -không gian, ánh xạ

- hữu hạn địa ph-ơng. Từ đó đ-a ra các kết quả về điều kiện để một không
gian chính quy là một -không gian cùng các nhận xét đ-ợc rút ra từ kết quả
đó.
Đ5. Không gian với cơ sở điểm đếm đ-ợc, tính compact đếm đ-ợc
Phần này gồm các kết quả nêu lên điều kiện cần và đủ để một không
gian có cơ sở điểm đếm đ-ợc và chúng là mở rộng kết quả ở Đ3.
Đ6. Không gian với phủ điểm đếm đ-ợc và tính bất biến
Trong tiết này trình bày các kết quả về sự t-ơng đ-ơng giữa tính chất


3

(1.1.5) và các thay đổi của nó (gồm các tính chất (1.1.5) và (1.1.5) ) đối với
một c-không gian bÊt kú ®ång thêi ®-a ra tÝnh bÊt biÕn của một không gian
thoả mÃn điều kiện (1.1.5) qua một ánh xạ hoàn chỉnh.
Trong luận văn này một số thuật ngữ về các không gian và các ánh xạ
bằng Tiếng Việt, đều kèm theo nguyên bản Tiếng Anh (xem tài liệu tham
khảo). Một số khái niệm khác nếu không nói gì thêm thì đ-ợc hiểu nh- cách
hiểu thông th-ờng. Chúng tôi quy -ớc rằng không gian chính quy là T1-không
gian và các không gian paracompact là Hausdorff. Tuy nhiên không một tiên
đề tách nào khác đ-ợc giả thiết ở đây trừ khi đ-ợc trình bày cách khác.
Cuối cùng cho tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Trần Văn

Ân, ng-ời Thầy đà tận tình giúp đỡ, h-ớng dẫn tôi trong suốt quá trình học
tập cũng nh- quá trình nghiên cứu hoàn thành luận văn. Tác giả cũng xin đ-ợc
gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong tổ Giải Tích, Khoa Toán,
Khoa đào tạo Sau đại học Tr-ờng Đại học Vinh, Tr-ờng THPT Cẩm Xuyên
đà góp ý, trao đổi, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập,
nghiên cứu đồng thời xin cảm ơn tất cả bạn bè đà động viên, giúp đỡ tôi trong
việc tìm kiếm tài liệu tham khảo và trong công tác in ấn.
Mặc dù tác giả đà rất cố gắng nh-ng do còn hạn chế về mặt kiến thức
và thời gian nên luận văn chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, kính mong
quý thầy cô và bạn đọc góp ý để trong t-ơng lai tác giả có thể hoàn thiện và
mở rộng h-ớng nghiên cứu luận văn.
Vinh, tháng 2 năm 2004
Tác giả


4

Đ1. Các khái niệm cơ bản về tôpô
1.1. Định nghĩa([2]). Họ

P

các tập con của không gian tôpô X đ-ợc

gọi là điểm đếm đ-ợc (point-countable) nếu mỗi x X thì x đ-ợc chứa trong
nhiều nhất là đếm đ-ợc các phần tử P

P.

1.2. Định nghĩa([2]). (a) Họ F đ-ợc gọi là cực tiểu (minimal) đối

với tập A nếu A (  C )0 víi C  F vµ C  F .
(b) Phđ  cđa kh«ng gian t«p« X đ-ợc gọi là phủ cực tiểu nếu mọi bộ
phận thực sù ´   kh«ng phđ X .
(c) Phđ B của không gian tôpô X đ-ợc gọi là cái mịn của phủ U của X
nếu với mỗi B

B, tồn tại U

U

sao cho B U.

1.3. Định nghĩa([4]). Họ {As}sS các tập con của không gian tôpô X
đ-ợc gọi là họ hữu hạn địa ph-ơng nếu với mọi x X , tồn tại lân cận U của
x sao cho tËp {s  S : U  As  } hữu hạn.


Họ A đ-ợc gọi là - hữu hạn địa ph-ơng nếu A = An với An là
n 1

họ hữu hạn địa ph-ơng.
1.4. Mệnh đề([1]). Nếu A = {As}sS là họ hữu hạn địa ph-ơng thì
As = As

sS

sS

1.5. Định nghĩa([2]). Không gian tôpô X đ-ợc gọi là c-không gian
(hay không gian xác định bởi các tập con đếm đ-ợc) nếu tập A X là ®ãng

trong X nÕu víi mäi tËp ®Õm ®-ỵc C  A ta cã C  A.


5

Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian dÃy nếu với mỗi tập con A
X , {xn} là d·y bÊt kú ë trong A, xn  x kÐo theo x A thì A đóng trong X .
1.6. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô. Các khẳng định sau là t-ơng
đ-ơng :
(a) X là c-không gian.
(b) X là không gian có tính chặt đếm đ-ợc tức là nếu với mỗi A X và
với mỗi x A , thì x C , với tập đếm đ-ợc C nào đó nằm trong A.
Chứng minh. (a) (b). Giả sử A X và x A . Đặt
B = { C : C đếm đ-ợc trong A}.
Ta chøng minh x  B. ThËt vËy gi¶ sử D là tập đếm đ-ợc bất kỳ trong B. Khi
®ã ta cã D   { C : C ®Õm ®-ỵc trong A}, suy ra D  C víi C đếm đ-ợc nào
đó trong A. Do đó D B. Vì vậy B đóng trong X, tức là B =B. Do vËy
x  A  B =B, suy ra x  B. V× thÕ x  C víi C đếm đ-ợc nào đó trong A. Vậy
X có tính chặt đếm đ-ợc.
(b) (a). Giả sử A X , C A với mọi C đếm đ-ợc trong A ta chứng
minh A đóng trong X . Giả sử x bÊt kú, x  A , do X cã tÝnh chặt đếm đ-ợc
nên x C với C đếm đ-ợc nào đó trong A, vì C A, suy ra x  A. VËy A
®ãng trong X . MƯnh ®Ị đà đ-ợc chứng minh.
1.7. Định nghĩa([1]). Cho không gian tôpô X . Họ
đ-ợc gọi là một l-ới trong X nếu

P

P các tập con của X

là một phủ của X sao cho víi mäi

x  X vµ mäi tËp më U chứa x tồn tại một phần tử P

P sao cho x P U.

1.8. Định lý([6]). Họ các tập con hữu hạn của tập đếm đ-ợc là đếm
đ-ợc, nh-ng họ tất cả các tập con của nó không ®Õm ®-ỵc.


6

1.9. Định nghĩa([1]). Không gian tôpô X đ-ợc gọi là khả li nếu tồn tại
tập con đếm đ-ợc trù mật khắp nơi trong X .
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là khả li di truyền nếu mọi tập con của nó
cùng với tôpô cảm sinh là không gian khả li.
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là Linđơlôp nếu mỗi phủ mở của X đều
chứa một phủ con đếm đ-ợc.
1.10. Mệnh đề. Mỗi không gian dÃy và mỗi không gian khả li di truyền
là c-không gian.
Chứng minh. Tr-ớc hết ta chứng minh mỗi không gian dÃy là c-không
gian. Giả sử A X sao cho với mọi tập đếm đ-ợc C A thì C A ta chứng
minh A đóng trong X . Giả sử ng-ợc lại A không đóng trong X suy ra tån t¹i
d·y {xn} A sao cho xn x mà x A. Đặt C = {xn : xn N}. Khi đó C là tập
đếm đ-ợc nằm trong A và x C A suy ra x A. Điều này mâu thuẫn với giả
thiết trên. Vậy A đóng trong X .
Bây giờ ta chứng minh mỗi không gian khả li di truyền là c-không gian.
Thật vậy, giả sử X là không gian khả li di truyÒn, A  X , x  A , khi đó vì A
là không gian khả li nên tồn tại tập con đếm đ-ợc C A sao cho A  C .Do
®ã A  C = C . Vì thế x C . Điều này kéo theo X là không gian có tính

chặt đếm đ-ợc nên theo Mệnh đề 1.6 ta suy ra mỗi không gian khả li di truyền
là c-không gian.
1.11. Hệ quả. Mỗi không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất là
c-không gian.
Thật vậy, giả sử X là không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất,
và A là tập con bÊt kú cđa X cã tÝnh chÊt lµ nÕu {xn} là dÃy tuỳ ý trong A mà
xn x, thì x A. Khi đó A là tập đóng trong X .
Vì hiển nhiên A A . Ng-ợc lại giả sử x A , vì X là không gian thoả
mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất, nên tại x tồn tại cơ sở lân cận đếm đ-ợc {Vn}.


7

Đặt
V1 = A V1, V2 = A V1  V2,…,
Vn’= V1  V2  …  Vn,…
Ta cã Vn’  Vn-1’  …  V2’  V1’. Chän x1  V1’, x2  V2’,…, xn  Vn’. Khi
®ã ta cã d·y {xn }  A vµ xn  x . Do ®ã x  A. VËy A ®ãng trong X, suy ra X
là không gian dÃy. áp dụng mệnh đề 1.10 ta suy ra X là c-không gian.
1.12. Định nghĩa([2]). Không gian tôpô X đ-ợc gọi là k-không gian
nếu A X là đóng trong X khi và chỉ khi A K là tập đóng trong K với mọi
tập compact K X .
1.13. Định nghĩa([4]). Tập con G của không gian tôpô X đ-ợc gọi là
G -tập nếu G là giao của đếm đ-ợc các tập mở trong X .
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là cã G -®-êng chÐo nÕu ®-êng chÐo
Δ ={(x, x) : x  X } lµ mét G -tËp trong X × X .
1.14. Mét sè ký hiƯu. Cho X lµ không gian tôpô. Ta xét các tính chất :
(1.1.1) X có cơ sở điểm đếm đ-ợc.
(1.1.2) X có phủ mở ®iĨm ®Õm ®-ỵc

P

nÕu x, y  X víi x  y, thì có một phần tử P

mà nó tách các điểm (nghĩa là,

P

sao cho x P và y  P).

P sao cho nÕu x  W víi W më trong
cña P sao cho x  (  F ) ,  F  W

(1.1.3) X cã phđ ®iĨm đếm đ-ợc
X , thì có một một họ con hữu hạn F

0

và x F .

P sao cho nếu x  W víi W më trong
X, th× cã mét một họ con hữu hạn F của P sao cho x (  F ) ,  F  W .
(1.1.5) X có phủ điểm đếm đ-ợc P sao cho nÕu x, y  X víi x  y,
th× cã một họ con hữu hạn F của P sao cho x  (  F ) vµ y   F .
(1.1.4) X có phủ điểm đếm đ-ợc

0

0

8

Đ2. các không gian với phủ điểm đếm đ-ợc
Trong tiết này chúng tôi trình bày một số bổ đề mà chúng là cần thiết
cho việc chứng minh các kết quả khác trong các phần sau đó.
2.1. Bổ đề([10]). Nếu

P

là phủ điểm đếm đ-ợc của tập hợp X thì mỗi

tập A X chỉ có đếm đ-ợc các phủ con hữu hạn cực tiểu bởi các phần tử của

P

phủ .
2.2. Bổ đề([3]). Giả sử X là c-không gian và A X. Nếu

P là một họ

điểm đếm đ-ợc các tập con của X, thì có nhiều nhất là đếm đ-ợc các họ con
hữu hạn cực tiểu F

P

sao cho A ( F ) 0 .

2.3. Bổ đề. Giả sử f : X Y là ánh xạ liên tục, đóng với X là không
gian chính quy. Nếu Y và f -1(y) là các không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc

thứ nhất với mọi y Y thì X cũng là không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc
thứ nhÊt.
Chøng minh. Gi¶ sư x  X, y = f (x) và {Vn} là cơ sở lân cận giảm tại
y trong không gian Y và {Un} là cơ sở lân cận giảm tại x trong f -1(y). Với
mỗi n ta chän tËp më Wn trong X sao cho
x  Wn  f -1(Vn), Wn  f-1(y)  Un vµ Wn1 Wn .
Ta sẽ chứng minh {Wn} là cơ sở lân cận đếm đ-ợc tại x trong X. Giả sử
ng-ợc lại {Wn} không là cơ sở lân cận tại x. Khi đó tồn tại một lân cận G của x
trong X sao cho Wn\ G  , víi mäi n. Với mỗi n ta lấy một xn Wn\ G,
khi ®ã d·y {xn} kh«ng cã ®iĨm tơ trong X. ThËt vậy, vì X là T2không gian
nên





n 1

n 1

f -1(y) cũng là T2không gian với mọi y Y. Do đó {x} =  Wn =  Un .


9

Vì vậy nếu z là điểm tụ của dÃy {xn} thì z = x. Nh-ng điều này mâu thuẫn vì
tồn tại một lân cận G của x mà G không chứa điểm xn nào cả. Do dÃy {xn}
không có điểm tụ nào trong X nên mọi tập con của nó ®Ịu ®ãng.
B©y giê ta chän sè n0 ®Ĩ Wn  f-1(y) G, với mọi n > n0 và giả sư
A = {xn : n > n0}. Khi ®ã do dÃy {xn} không có điểm tụ trong X nên A là tập

đóng trong X. Vì x G nên x  A. Do ®ã y = f (x)  f (A) = B . Mặt khác vì
{Vn} là cơ sở lân cận giảm tại điểm y, Wn f -1(Vn) với mọi n và xn Wn,
nên y B = f (A) . Điều này kéo theo y B \ B. Vì thế tập hợp B = f (A) không
đóng trong Y. Từ đó suy ra f không phải là ánh xạ đóng. Điều này mâu thuẫn
với giả thiết, vì thế điều giả sử là sai. Vậy họ {Wn} là cơ sở lân cận tại điểm x.
Bổ đề đ-ợc chứng minh.
2.4. Bổ đề. Nếu X là k-không gian và nếu mỗi tập compact K X
là c-không gian thì X là c-không gian.
Chứng minh. Giả sử A X, C A, với mọi tập đếm đ-ợc C A ta cần
chứng minh A đóng trong X. Do X là k-không gian nên ta cần chứng minh
A K là đóng trong K với mọi tập compact K X, tức là cần chứng minh
A K

K

= A K t-ơng đ-ơng với việc chứng minh A K = A  K. ThËt vËy,

râ rµng A  K A K.

(1)

Bây giờ, giả sử x A  K, nghÜa lµ x  A vµ x  K. Do K là c-không
gian nên theo Mệnh đề 1.6, với mỗi x A K K thì x C K với tập đếm đ-ợc
nào đó C A K. Do C đếm đ-ợc, C A  K  A nªn C  A. Suy ra x  K
vµ x  C K  C . V× thÕ x  C  K  A  K. Do ®ã ta cã A  K  A  K.

(2)

Tõ (1) vµ (2) ta suy ra A  K = A K. Bổ đề đ-ợc chứng minh.
2.5. Bổ đề. Nếu X1, X2 là các không gian tôpô thoả mÃn điều kiện(1.1.5)

thì tích Đêcac X1 X2 cũng thoả mÃn điều kiện (1.1.5).


10

Chứng minh. Giả sử
điều kiện (1.1.5). Đặt

P của X

1

P, P
1

2

là các phủ t-ơng ứng của X1, X2 thoả mÃn

P ={P  P : P  P , P  P }. Ta chứng minh rằng phủ
1

2

1

2

1

2

X2 thoả mÃn điều kiƯn (1.1.5).

Gi¶ sư x =(x1, x2)  X1  X2, y =(y1, y2)  X1  X2 víi x  y. Khi đó ta có
x1, y1 X1 và x2, y2 X2. Vì x y, nên không mất tính tổng quát ta giả sử
x1 y1. Do X1 thoả mÃn điều kiện (1.1.5) nên với x1, y1 X1 , x1 y1, tồn tại họ
hữu hạn F 1 

P

1

sao cho x1  (  F 1) 0 và y1 F 1. Vì X2 thoả mÃn điều

P

kiện (1.1.5) nên tồn tại họ hữu hạn F2

2

sao cho x2  (  F 2) 0   F 2.

Đặt
F ={P1 P2: P1 F 1 , P2  F 2}.
DƠ thÊy r»ng F lµ hä con hữu hạn của họ

P ={P P : P P , P  P }.
1

2

1

1

2

2

Nhê c¸c tÝnh chÊt cđa tôpô tích và l-u ý rằng phần trong của một tËp lµ tËp më
lín nhÊt n»m ë trong nã, ta suy ra
(x1, x2)  (  F 1) 0  (  F 2) 0  [



( P1  P2 ) ]

0

F.

P1 F 1
P2 F 2

Mặt khác vì y1   F 1 , nghÜa lµ y1  P1 víi mäi P1 F 1 nªn ta cã
y=(y1, y2)  P1  P2 víi mäi P1  F 1 . Do ®ã y=(y1, y2)   F . Bỉ ®Ị ®-ỵc
chøng minh.

11

Đ3. phủ điểm đếm đ-ợc và tính compact
paracompact
3.1. Định nghĩa([4]). Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian
compact nếu mỗi phủ mở của nó chứa một phủ con hữu hạn.
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là không gian paracompact nếu nó là
không gian chính quy và mỗi phủ mở của nó có cái mịn mở hữu hạn địa
ph-ơng.
3.2. Bổ ®Ị([4]). NÕu kh«ng gian Hausdorff compact X cã G - đ-ờng
chéo thì X khả mêtric.
3.3. Định lý. Các tính chất sau đây của không gian Hausdorff compact
X là t-ơng đ-ơng.
(a) X là không gian khả mêtric.
(b) X thoả mÃn (1.1.5).
Chứng minh. (a)  (b). Tr-íc hÕt ta chøng minh nÕu X là không gian
khả mêtric thì X thoả mÃn (1.1.2). Theo định lý Nagata-Smirnov thì nếu X là
không gian khả mêtric thì X có cơ sở đếm đ-ợc B . Khi đó B là cơ sở điểm
đếm đ-ợc. Vì X là không gian Hausdorff nên X là T1-không gian, hơn nữa vì
cơ sở điểm đếm đ-ợc

B

cũng là phủ mở điểm đếm đ-ợc nên nếu x, y X

với x y thì tồn tại tập mở B B sao cho x B và y B. Điều này kéo theo
X thoả mÃn (1.1.2).
Bây giờ ta chứng minh nếu X thoả mÃn (1.1.2) thì X thoả mÃn (1.1.5).
Thật vậy, vì X thoả mÃn (1.1.2) nên tồn tại phủ mở ®iĨm ®Õm ®-ỵc
cho víi mäi x, y  X , x  y th× cã mét P 

P

P

sao

sao cho x  P vµ y  P. LÊy

hä F = {P} ta cã x  P0 = P, y  P . Nh- vËy X tho¶ m·n (1.1.5).


12

P

(b) (a). Giả sử

là cái phủ của không gian Hausdorff compact X

tho¶ m·n (1.1.5). Ta cã thĨ gi¶ thiÕt rằng
hạn vì nếu ký hiệu
thì

Q

Q

P

khép kín đối với phép giao hữu

là họ tất cả các giao hữu hạn của các phần tử thuộc

là họ khép kín đối với phép giao hữu hạn và

P

Q cũng là phủ điểm đếm

đ-ợc của X. ThËt vËy gi¶ sư

Q

k

= {Q : Q =  Pi , Pi
i 1

n

Khi đó rõ ràng Q k
k 1

Mặt khác ta thấy
cũng có

Q

với Q k

Q

P



Q

nên

Q

Q

P , k  N}.

, víi mäi n  N.
lµ phđ cđa X và theo Định lý 1.8 ta

là phủ điểm đếm đ-ợc của X. Bây giờ ta chứng minh

P có tính

chất sau: Nếu A X là tập hữu hạn và x X \ A thì tồn tại họ con hữu hạn
F

P sao cho

x ( F ) 0 vµ A  (  F ) = . Thật vậy vì

P

thoả mÃn

(1.1.5) nên với x X \ A và yi A thì tồn tại họ con hữu hạn F i

P,

i = 1,.., k sao cho x  (  F i ) 0 vµ yi ( F i ). Đặt
k

F = { Pi : Pi  F i , i = 1, k }.
i 1

Ta cã F 

P , x ( F )

0

vµ yi  (  F ) víi mäi i = 1,..,k suy ra
A  (  F )= .

B©y giờ ta giả sử
Bổ đề 2.1 suy ra

P = {G P : G

là phủ hữu hạn cực tiểu của X}. Nhờ

P là đếm đ-ợc. Ta sẽ chứng tỏ rằng P cũng thoả mÃn điều

kiện (1.1.5). Thật vËy gi¶ sư x, y  X víi x  y khi đó tồn tại họ hữu hạn


13

F 
nÕu

ε

P sao cho x  (  F
F

vµ

ε

) 0 và y ( F ). Có thể giả thiÕt r»ng x  (  ε) 0

 F , khi đó cần chỉ ra rằng F

P . Bây giờ với mỗi

F F có một phần tử nào ®ã xF  F  (  F ) 0 sao cho
xF   {F´  F : F´  F}.
Giả sử A ={xF: F F } với mỗi z X \ A có một họ hữu hạn F z 

P

sao

cho z  (  F z ) 0 vµ A  (  F z ) = (do A là tập hữu hạn). Ta xác định hä
R

P

bëi R = F  (  { F z : z X \ A}). Khi đó các phần trong của hợp

hữu hạn các phần tử của R phủ X. ThËt vËy v× nÕu x  A suy ra x = xF với một
F nào đó thuộc F và do xF  F  (  F ) 0 nên x ( F ) 0 còn nếu z X \ A
thì tồn tại một họ hữu h¹n F

z



P

sao cho z  (  F z) 0 . Do đó với mọi

x X thì luôn luôn tồn tại hữu hạn phần tử của R phủ X. Bởi vậy R có phủ
con hữu hạn G mà chúng ta cã thĨ lÊy lµ cùc tiĨu. Râ rµng lµ G
Nếu F F
FG

P

P .

thì F chỉ là phần tư cđa R chøa xF do ®ã F  G . V× thÕ
suy ra F 

P

´

. Nh- vËy chóng ta đà chứng minh đ-ợc

P

là phủ điểm đếm đ-ợc của X thoả mÃn (1.1.5). Bây giờ giả sử
B ={X \ ( F ) 0 : F

P , F

hữu hạn}.

Khi đó B là phủ đếm đ-ợc, đóng, tách các điểm của X. Vì X là không
gian compact (chỉ cần là compact đếm đ-ợc) nên họ tất cả các giao của các
phần tử thuộc B là l-ới đếm đ-ợc đối với X. Vì thế X có G -đ-ờng chéo và
bởi vậy theo Bổ đề 3.2 thì X là không gian khả mªtric.


14

3.4. Mệnh đề. Nếu không gian tôpô X thoả mÃn điều kiện (1.1.5) thì
mọi không gian con A X cũng thoả mÃn điều kiện (1.1.5) .

Chứng minh. Giả sử

P

là phủ điểm đếm đ-ợc của không gian X thoả

mÃn điều kiện (1.1.5) và A X. Khi đó xét họ :
ràng là

P phủ A và do P

đ-ợc suy ra

P ´ ={A  P : P  P }. Râ

lµ điểm đếm đ-ợc nên

P là phủ điểm đếm đ-ợc của A. Với mỗi

X thoả mÃn (1.1.5) nên tồn tại họ hữu hạn F

P

P cũng là điểm đếm
x, y  A víi x  y, v×

sao cho x  (  F ) 0 vµ

y  (  F ). Khi ®ã x  A  (  F ) 0 . Xét họ hữu hạn F ={A P : P F }.
Do F hữu hạn nên (  F ´ ) = A  (  F ). V× x  (  F ) 0 nên tồn tại lân

cận V của x sao cho x  V  (  F ) suy ra x A V. Hơn nữa A V là
lân cËn cña x trong A  (  F ) nªn x  ( A  (  F )) 0 = ( F ) 0 . Mặt
khác (  F ´ )  (  F ) mà y ( F ) nên y ( F ). Do đó không
gian con A X cũng thoả mÃn điều kiện (1.1.5).
3.5. Hệ quả. Mỗi k-không gian Hausdorff thoả mÃn điều kiện (1.1.5)
là một c-kh«ng gian.
Chøng minh. Ta biÕt r»ng nÕu tËp compact K X, trong đó X là
không gian Hausdorff thì K trở thành không gian Hausdorff compact. Hơn
nữa một không gian khả mêtric là không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ
nhất nên theo Hệ quả 1.11 thì nó cũng là c-không gian. Giả sử X là k-không
gian Hausdorff thoả mÃn điều kiện (1.1.5), K là tập compact bất kỳ trong X.
Theo Mệnh đề 3.3 thì không gian con K thoả mÃn điều kiện (1.1.5). áp
dụng Định lý 3.2 ta suy ra K là khả mêtric và vì thế K là c-không gian. Lại
theo Bổ đề 2.4 ta suy ra X là c-không gian.


15

3.6. Định nghĩa([5]). Giả sử X là một T2không gian và Y là một
không gian tôpô. ánh xạ liên tục f : X Y đ-ợc gọi là ánh xạ hoàn chỉnh
(t-ơng ứng, ánh xạ tựa hoàn chỉnh) nếu f là ánh xạ đóng và f -1(y) là tập
compact (t-ơng ứng, tập compact đếm đ-ợc) trong X với mọi y Y.
3.7. Định nghĩa([7]). Không gian tôpô X đ-ợc gọi là M-không gian
paracompact (t-ơng ứng, M-không gian) nếu tồn tại một ánh xạ hoàn chỉnh
(t-ơng ứng, ánh xạ tựa hoàn chØnh) f : X  M tõ X lªn mét không gian khả
mêtric M.
3.8. Định lý([7]). Nếu X là M-không gian paracompact thì X X
cũng vậy.
3.9. Định lý(Borges-Okuyama). Không gian tôpô X là không gian khả
mêtric khi và chỉ khi nó là một M-không gian paracompact và đ-ờng chéo Δ

cđa nã lµ mét G -tËp cđa X  X.
3.10. Định lý. Các tính chất sau đây của không gian tôpô X là t-ơng
đ-ơng.
(a) X là không gian khả mêtric.
(b) X là M-không gian paracompact thoả mÃn (1.1.5).
Chứng minh. (a) (b). Theo Định lý 3.9 nếu X là không gian khả
mêtric thì X là M-không gian paracompact. Hơn nữa ở chứng minh của điều
kiện cần của định lý 3.3 ta đà có nếu X là không gian khả mêtric thì X thoả
mÃn điều kiện (1.1.5). Do đó nếu X là không gian khả mêtric thì X là
M-không gian paracompact thoả mÃn điều kiện (1.1.5).
(b) (a). Ta chỉ cần chứng tỏ từ (b) suy ra đ-ợc mỗi tập con đóng của
X là G -tập. Thật vậy vì nếu X thoả mÃn (b) thì theo Định lý 3.8 và Bổ ®Ị 2.5
ta suy ra X  X cịng tho¶ m·n (b). Sau đó áp dụng kết quả của điều cần


16
chứng minh ở trên đối với X X để kết luận rằng đ-ờng chéo của nó là
một G -tập của X X. Do đó theo định lý 3.9 thì X là không gian khả mêtric.
Bây giờ giả thiết có (b). Vì X là M-không gian paracompact nên có một
ánh xạ hoàn chỉnh f : X M từ X lên không gian khả mêtric M. Giả sử
{V n : n N } là dÃy các phủ mở hữu hạn địa ph-ơng của M sao cho với mỗi
y M, họ {St(y, V n) : n N} là cơ sở địa ph-ơng tại điểm y trong M trong
®ã St(y, V n) =  { Vn : V n  V n, y  V n}. Gi¶ sư

U

®ã {

n

U

n

={f –1(V) : V  V n}. Khi

: n N} là dÃy các phủ mở hữu hạn địa ph-ơng của X sao cho nếu

U

x X và nếu Sx ký hiÖu cho tËp compact f -1( f (x)), thì họ {St(x,

n

) : n N}

là cơ sở lân cËn cđa Sx trong X. V× Sx = f -1( f (x)) = f -1(y) víi y = f (x) M và
do f là ánh xạ hoàn chỉnh nên Sx = f -1(y) lµ tËp compact cđa X. Tõ đây ta suy
ra rằng mỗi tập con compact của X và vì vậy đặc biệt là mỗi tập Sx là khả
mêtric. Thật vậy vì X là không gian Hausdorff thoả mÃn điều kiện (1.1.5)
nên Sx X cũng là không gian Hausdorff thoả mÃn điều kiện (1.1.5), theo
Định lý 3.3 suy ra Sx là khả mêtric. Do M là không gian khả mêtric nên nó
và Sx =f -1(y) với mọi y M là các không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ
nhất. áp dụng Bổ đề 2.3 ta suy ra X

là không gian thoả mÃn tiên đề đếm

đ-ợc thứ nhất và vì thế nó là c-không gian.
Bây giờ giả sử A X là tập con đóng và ta sÏ chøng tá r»ng nã lµ
G -tËp trong X. Giả sử

P

là phủ mở của X thoả mÃn (1.1.5). Với mỗi U X,

nhờ Bổ đề 2.2 suy ra có nhiều nhất là đếm đ-ợc các họ hữu hạn cực tiÓu

P sao cho (U  A)  (  F ) . Ta ký hiƯu hä nµy lµ {F (U, n) : n  N}.
Chóng ta cã thĨ gi¶ sư X  P , do ®ã cã Ýt nhÊt mét hä nh- thÕ vµ chóng ta
F 

0

cho phÐp F (U, n) = F (U, m) nÕu n  m. B©y giờ ta đặt


17

k

(U  X, k  N ),

U(k) =  (  F ( U, j )) 0  U
j 1

Wn,k = { U(k) : U

U

Vì mỗi U(k) chứa U A và mỗi

n

} (n, k N).

U

n

phủ A nên rõ ràng Wn,k là

một tập mở chứa A. Ta sÏ chøng tá r»ng A =  {Wn,k : n, k  N}. Gi¶ sư
r»ng x  X \ A, ta sÏ chØ ra r»ng x  Wn,k víi n và k nào đó. Vì Sx A là tập
compact, x Sx A và
F

P sao cho (S

x

P

thoả mÃn (1.1.5) nên phải tồn tại họ hữu hạn

A)  (  F ) 0 vµ x  (  F ), (nÕu Sx  A =  th× ta lấy

F =). Bây giờ đặt
G = (X \ A) ( F ) 0 .
Khi đó G là tËp më bao quanh Sx do ®ã St(x,

U )  G với
n

U1, U2,..., Us là các phần tử của họ hữu hạn địa ph-ơng

U

n nào đó. Giả sử
n

chứa x. Khi ®ã

víi i  s ta cã
Ui  A  (St(x,

U

n

)  A)  G  A  (  F ) 0 .

Do ®ã ta cã thĨ chän hä cùc tiÓu F i  F sao cho Ui  A  (  F i) 0 . Khi
®ã F i = F (Ui, ki) với ki N nào đó. Đặt k = max {ki : i s}. Bây giê ta
thÊy r»ng nÕu i  s th× Ui(k)   F (Ui, ki) =  F i   F . Vì x ( F )
nên điều nµy suy ra r»ng x  U(k) víi mäi U

U

n

và x U. Nh-ng chắc

chắn là x U(k) nÕu x  U. Do ®ã x  U(k) víi bất kỳ U

U . Vì thế
n

x Wn,k điều này kÐo theo Wn,k  A vµ ta suy ra A = Wn,k. Định lý đà đ-ợc
chứng minh.


18

Đ4. phủ điểm đếm đ-ợc và tính - không gian
- không gian
4.1. Định nghĩa([4]). Không gian tôpô X đ-ợc gọi là - không gian
nếu X có một l-ới đóng - hữu hạn địa ph-ơng.
Không gian tôpô X đ-ợc gọi là - không gian mạnh (t-ơng ứng, - không
gian) nếu có một phủ đóng - hữu hạn địa ph-ơng A của X và một phủ K
của X bởi các tập compact (t-ơng ứng, compact đếm ®-ỵc) sao cho nÕu
K  U víi K  K và U mở trong X thì K A U, với tập nào đó A

A.

4.2. Nhận xét. (a) Mỗi - không gian là một - không gian mạnh.
(b) Lớp các - không gian (t-ơng ứng, các - không gian mạnh) chứa
tất cả các M- không gian (t-ơng ứng, tất cả các M- không gian paracompact).
4.3. Mệnh đề([8]). Mỗi - không gian mạnh chính quy thoả mÃn điều
kiện (1.1.2) là một - không gian.
4.4. Định nghĩa([4]). ánh xạ liên tục f : X Y từ không gian tôpô X

vào không gian tôpô Y đ-ợc gọi là ánh xạ - hữu hạn địa ph-ơng nếu mỗi
phủ - hữu hạn địa ph-ơng

A

của X có một cái mịn

B

mà đối với nó

f(B) là - hữu hạn địa ph-ơng.
Bây giờ ta xét các đặc tr-ng sau đây của các - không gian và các - không
gian mạnh.
4.5. Định lý([8, 9]). Các tính chất sau đây của không gian chính quy Y
là t-ơng đ-ơng.
(a) Y là - không gian (t-ơng ứng - không gian mạnh).
(b) Y là ảnh của một không gian khả mêtric (t-ơng ứng, M- không gian
paracompact) qua một ánh xạ - hữu hạn địa ph-ơng.
Hơn nữa, đối với phép kéo theo (a) (b) miền xác định có thể đ-ợc
chọn là một tËp con cđa Y  M víi M lµ mét không gian khả mêtric nào đó.


19

4.6. Định lý. Các tính chất sau đây của không gian chính quy Y là
t-ơng đ-ơng .
(a) Y là một - không gian.
(b) Y là một - không gian mạnh thoả mÃn điều kiện (1.1.5).
Chứng minh. (a) (b) (Chỉ cần Y là T1 không gian). Giả sử Y là không gian. Khi đó theo Nhận xét 4.2 rõ ràng Y là một -không gian mạnh.

Do đó chỉ cần chỉ ra rằng Y thoả mÃn (1.1.5). Giả sử A = An là l-ới đóng
n 1

- hữu hạn địa ph-ơng của Y, khi đó ta có mỗi An là một họ hữu hạn địa


ph-ơng của Y và An = Y. Với mỗi n và với mọi B An đặt
n 1

Pn(B) = B \  (A n \ B ).
B©y giê ta ký hiƯu


P ={P (B ):B  A } vµ P =  P
n

Ta sẽ chỉ ra rằng

n

n



n 1

n

.

P thoả mÃn điều kiện (1.1.5).

Tr-íc hÕt dƠ dµng thÊy r»ng


n 1



P

lµ phđ cđa Y v×







P =  {P (B ):B  A }=  (  B\  (A \ B))=  {(  B ): B  A }   A = Y.
n

n 1

n

n

Do đó chắc chắn rằng

n 1

P

n

n 1

n

n 1

n

là phủ điểm đếm đ-ợc của Y. Bây giờ giả sử

x, y  Y víi x  y. LÊy n  N sao cho với tập A0 nào đó, Ao An , y A0 và
x A0. Với mỗi z Y đặt Bz = {A An : z A} và l-u ý rằng họ Bz là hữu
hạn (do An là họ hữu hạn địa ph-ơng của Y ). Đặt
F = {Pn (B ) : B Bz}.
Rõ ràng rằng F

P

n

P

và F là hữu hạn. Chúng ta sÏ chøng tá r»ng


20

y  (  F ) vµ y  (  F ) 0 . NÕu B  Bz th× A0  An \ B . Do ®ã Pn(B ) Y \ A0
và vì thế y Pn(B ). Vì vậy y ( F ). Để chứng tỏ x ( F )0 ta đặt
U = Y \ (  (An\ B x)). Khi ®ã x  U vµ U lµ tËp më trong Y. ThËt vËy, ta cã
B x ={A  An : x  A}
nªn
An\ B x ={Ai  An : x  Ai, i  N}
suy ra x   (An\ B x) hay x  Y \ [  (An\ B x)] hay x U. Hơn nữa, theo
Mệnh đề 1.4 thì B x là tập đóng trong Y nên
( (An\ B x)) =  An \  B x = Y \  B x
lµ tËp më trong Y. Do đó chỉ cần ra rằng U = F . ThËt vËy nÕu z   F th×
z  Pn(B ) với họ nào đó B Bz. Do ®ã
z  Pn(B )  Y \ (  (An\ B))  Y \  (An\ B x) = U.
V× thÕ ta cã  F  U.
Theo mét h-íng kh¸c, nÕu z  U th× B z  B x. Do đó Pn(Bz) F . Vì
z Pn(B z) nªn kÐo theo z   F . Suy ra U   F . VËy U =  F .
(b) (a). Giả sử Y là -không gian mạnh thoả mÃn (1.1.5). Nhờ Định
lý 4.5 tồn tại một không gian khả mêtric M, một M-không gian paracompact
X Y M và một ánh xạ - hữu hạn địa ph-ơng f : X Y. Vì không gian
khả mêtric M thoả mÃn (1.1.5) nên áp dụng Bổ đề 2.5 thì Y M thoả mÃn
(1.1.5). Vì vậy X cũng thoả mÃn (1.1.5). áp dụng Định lý 3.10 thì X là
không gian khả mêtric. Do đó theo Định lý 4.5 ta có Y là -không gian mạnh.

21

Định lý đà đ-ợc chứng minh.
Từ chứng minh Định lý 4.6 phÇn (a)  (b) ta cã nhËn xÐt sau.
4.7. Nhận xét. (a) Mỗi không gian với phủ đóng - hữu hạn địa
ph-ơng, tách các điểm thoả mÃn điều kiện (1.1.5).
(b) Mỗi M-không gian paracompact là -không gian mạnh và mỗi

- không gian Hausdorff có G -đ-ờng chéo.


22

Đ5. không gian với cơ sở điểm đếm đ-ợc
tính compact đếm đ-ợc

5.1. Định lý.([3, Định lý 1.2]) Không gian tôpô X có cơ sở điểm đếm
đ-ợc khi và chỉ khi nó thoả mÃn điều kiện (1.1.3).
5.2. Nhận xét. Định lý 5.1 sẽ không đúng nếu (1.1.3) đ-ợc làm yếu đi
đến ®iỊu kiƯn (1.1.4) (theo [3, NhËn xÐt 4.4]).
Tuy nhiªn ta có kết quả sau.
5.3. Định lý. Các tính chất sau đây của không gian chính quy là t-ơng
đ-ơng.
(a) X có cơ sở điểm đếm đ-ợc.
(b) X là k-không gian thoả mÃn điều kiện (1.1.4).
(c) X là c-không gian thoả mÃn ®iỊu kiƯn (1.1.4).
Chøng minh. (a)  (b). Lµ râ rµng vì nếu X là không gian với cơ sở
điểm đếm đ-ợc thì nó là không gian thoả mÃn tiên đề đếm đ-ợc thứ nhất và do
tính chính quy nên theo định lý 3.3.20 trong [4], X là k-không gian. Hơn nữa
theo Định lý 5.1 ta có X thoả mÃn (1.1.3) suy ra X tho¶ m·n (1.1.4). NhvËy nÕu X cã cơ sở điểm đếm đ-ợc thì X là k-không gian thoả mÃn điều kiện

(1.1.4).
(b) (c). Giả sử X là k-không gian chính quy thoả mÃn điều kiện
(1.1.4). Khi đó vì X là T1-không gian chính quy nên nó là không gian
Hausdorff. Bây giờ ta chứng minh nếu X là T1-không gian và thoả mÃn điều
kiện (1.1.4) thì sẽ thoả m·n ®iỊu kiƯn (1.1.5). ThËt vËy nÕu x, y  X với
x y, vì X là T1-không gian nên tồn tại lân cận Ux của x mà y Ux . Do Ux
là lân cận của x nên tồn t¹i tËp con më W  Ux sao cho x W. Hơn nữa do X
thoả mÃn điều kiện (1.1.4) nên X có phủ điểm đếm đ-ợc sao cho có mét hä


23

con hữu hạn F của

P

thoả mÃn x ( F ) 0  (  F )  W. Vì y Ux

và W Ux nên y W, suy ra y  (  F ). Tõ đây ta có X thoả mÃn điều
kiện (1.1.5). áp dụng Hệ quả 3.5 ta suy ra X là c-không gian thoả mÃn điều
kiện (1.1.4).
(c) (a). Giả sử

P là phủ của X thoả mÃn (1.1.4) và giả sử
={F

P:F

hữu hạn}.

Với mỗi F ta đặt
M(F ) = {x  X : x  (  F ) 0 , x  (  ε) 0 nÕu ε  F , ε  F }.
Tõ Bỉ ®Ị 2.2 suy ra r»ng, nÕu x  X th× x  M(F ) chỉ với đếm đ-ợc tập
F . Với mỗi P

P ta đặt

P = P ( { M(F ) : F  , P  F }).
Khi ®ã P´  P v× nÕu x  M(F ) với một F nào đó với P F ,
th× x  (  F ) 0 trong khi x ( (F \{P})) 0 và vì thế x P . Bây giờ ta đặt

P ={ P´ : P P }. §Ĩ chøng tá r»ng
5.1 ta chỉ cần chỉ ra rằng
Để thấy rằng

X có cơ sở điểm đếm đ-ợc, nhờ định lý

P thoả mÃn (1.1.3).

P là phủ điểm đếm đ-ợc, giả sử x X, ta xác định
Ax = {F : x M(F )}.

Khi đó Ax là đếm đ-ợc nhờ nhận xét sau định nghĩa của M(F ). Vì x  P´
suy ra r»ng x  P hc P  Ax . Điều này suy ra x P chỉ với đếm đ-ợc
P

P . Bây giờ giả sử rằng x  W, víi

W lµ tËp më trong X. LÊy tËp më U

24

trong X sao cho x  U  U  W. Nhờ điều kiện (1.1.4) nên có một F 
sao cho x  (  F ) 0 vµ F U và chúng ta có thể giả thiết rằng x M(F ).
Đặt F ={P: P F }. Ta cÇn chøng minh x  (  F ´) 0 vµ chøng tá r»ng
x  P´  W với mỗi P F . Vì P P với mọi P

P,

nên rõ ràng rằng

x ( F )0. Vì x M(F ) nên ta có x P với mỗi P F . Cuèi cïng nÕu
P F

th× P´  P   F U W. Điều này đà hoàn thành chứng minh

định lý.
5.4. Định nghĩa([4]). Không gian tôpô X đ-ợc gọi là compact đếm
đ-ợc nếu X là không gian Hausdorff và mọi phủ mở đếm đ-ợc của nó có một
phủ con hữu hạn.
5.5. Bổ đề. Giả sử X là c-không gian compact đếm đ-ợc và
phủ điểm đếm đ-ợc của X. Nếu

U

P

là một

là một phủ mở của X gồm các phần trong

của các hợp hữu hạn các tập thuộc họ

P

thì

U

có một phủ con hữu hạn.

Chứng minh. Giả sử là họ tất cả các họ con hữu hạn F của
sao cho (  F ) 0  U víi mét U nµo ®ã thc

U . Víi F

P

  ta ®Ỉt

M(F ) = {x  X : x  (  F ) 0 , x  (  ε) 0 nÕu ε F , F }
và để ý rằng (  F ) 0 =  {M(C ) :C  F }. ThËt vËy, gi¶ sư
x   {M(C ): C  F }
suy ra x  M(C ) với C nào đó nằm trong F vì thế x  (  C ) 0  (  F ) 0
và do đó {M(C ): C F }  (  F ) 0 .


25

Ng-ợc lại, giả sử x ( F )0, nÕu x  (  C ) 0 víi mäi C  F ,C  F .
Khi ®ã x  M(F ) suy ra x   {M(C ) :

 F }. Cßn nÕu x  ( 

C

C)

0

víi

mét hä C nào đó nằm trong F , C F , t-ơng tự ta lại xét hai tr-ờng hợp :
(i) Nếu x  (  ε) 0 víi mäi
x   {M(C ) :

C

ε

F ,

ε



C . Khi ®ã x  M(C ) suy ra

 F }.

(ii) NÕu x  (  ) 0 với họ nào đó nằm trong C, C. Tiếp tục quá
trình trên và do họ F hữu hạn nên qua hữu hạn b-ớc thì x  (  εn) 0 = εn 0
trong ®ã họ

n

chỉ có một phần tử là

n F

vì thế

x M(εn )   {M(C ) : C  F }.
Từ đây ta suy ra ( F ) 0   {M(C ) :
ta cã (  F ) 0 =  {M(C ) :

C

C

 F }. Tõ c¸c chứng minh trên

F }.

Với mỗi x X đặt V (x) = {(  F ) 0 :F  , x  M(F )}. Râ rµng
lµ x  V (x). Vì X là c-không gian nên từ Bổ đề 2.2 suy ra rằng V (x) là đếm
đ-ợc.
Bây giờ giả thiết rằng

U

không có phủ con hữu hạn nào cả. Khi đó

hợp của một họ hữu hạn các tập V (x) không phủ X, vì nếu nó mà phủ X, thì do
X là không gian compact đếm đ-ợc, nên X đ-ợc phủ bởi một họ hữu hạn
( F ) 0 với F và vì thế cũng bởi một họ hữu hạn các tập hợp U .

U

Bởi vậy bằng quy n¹p ta cã thĨ lÊy mét d·y {xn}  X sao cho xn   (V (xm))
nÕu m < n. Các phần tử xn này là khác nhau và dÃy {xn} n 1 có điểm tụ x X.
Vì

U

phủ X nên có họ hữu hạn F sao cho x  (  F ) 0 . Khi ®ã