Không gian metric và không gian tô pô đầy đủ

Metric and Topological Spaces
TS. Nguyễn Thái An
Ngày 27 tháng 6 năm 2021


2


Chương 1

Không gian metric
Không gian metric là kết quả của sự khái qt hóa nhiều đối tượng tốn học cụ
thể như tập số thực R, tập số phức C, không gian Euclid Rk , hay tập C[a, b] các
hàm số liên tục trên đoạn [a, b], . . . Đến lượt nó, khơng gian metric lại là cơ sở
để hình thành một khái niệm tổng quát hơn là không gian tôpô, sẽ được nghiên
cứu trong chương sau. Nghiên cứu không gian metric sẽ cho chúng ta cái nhìn
bản chất và tổng quát về những vấn đề cơ sở của giải tích.

1.1
1.1.1

Khơng gian metric và sự hội tụ
Khái niệm khơng gian metric

Trong giải tích cổ điển ta đã biết: Chuyển qua giới hạn là phép tốn cơ bản, nhờ
nó ta xây dựng các khái niệm liên tục, vi phân và tích phân. Khái niệm giới han
được xây dựng dựa vào khái niệm khoảng cách. Chẳng hạn, ta nói dãy số thực
{xn } có giới hạn là số x nếu khoảng cách từ xn đến x (tức là số |xn − x|) bé
hơn số dương tùy ý cho trước miễn là n đủ lớn. Trong khi nghiên cứu những
vấn đề của giải tích, người ta thấy có những điều đáng lưu ý sau đây:
• Nhiều sự kiện được chứng minh chỉ dựa trên tính chất của khoảng cách,

mà khơng phụ thuộc vào tính chất khác (chẳng hạn tính chất của các phép
tốn đại số trên R );
• Có thể bắt gặp khoảng cách giữa các đối tượng của nhiểu lớp khác nhau
(như các số, các hàm, ...).
Từ đó, để nghiên cứu bản chất chung của những sự kiện riêng lẻ này, người ta
trừu tượng hóa khái niệm khoảng cách để dẩn đển khái niệm không gian metric.
Cho X là một tập hợp khác rỗng. Một hàm số d : X × X → [0, +∞) được
gọi là một metric hay một khoảng cách trên X nếu nó thỏa mãn các điều
kiện sau đây
3


1. d(x, y) ≥ 0 ∀x, y ∈ X và d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y.
2. d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X.
3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(y, z) ∀x, y, z ∈ X.
Nếu d là một metric trên X thì cặp (X, d) được gọi là một khơng gian metric.
Ví dụ 1.1.1. Hàm số d(x, y) = |x − y| là một metric trên R, và gọi là metric
thơng thường trên R.
Ví dụ 1.1.2. Giả sử Rk là không gian vectơ thực k chiều. Với hai phần tử
x = (x1 , . . . , xk ) và y = (y1 , . . . , yk ) của Rk , ta định nghĩa
d2 (x, y) =

(x1 − y1 )2 + . . . + (xk − yk )2 ,

d∞ (x, y) = max{|x1 − y1 |, . . . , |xk − yk |},
d1 (x, y) = |x1 − y1 | + . . . + |xk − yk |.
khi đó d1 , d2 và d∞ là những metric trên Rk . Metric d2 được gọi là metric Euclid.
Việc kiểm tra đối với d∞ và d1 là dễ dàng và xin dành cho người học. Đối
với d2 , các tiên đề 1-2 là rõ ràng, ta chỉ cần kiểm tra tiên đề 3 tức là chứng
minh:

k

k

k

2

2

(xi − zi ) ≤

2

(xi − yi ) +

i=1

i=1

(yi − zi ) .
i=1

Đặt ai = xi − yi , bi = yi − zi khi đó ai + bi = xi − zi . Mặt khác
k

k
2

d2 (x, z) =

k

a2i +

(ai + bi ) =
i=1

i=1

k

b2i + 2
i=1

ai bi .
i=1

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho số hạng sau cùng ta được
k

k

k

b2i + 2

a2i +

d2 (x, z) ≤

i=1

i=1



k

i=1
k

a2i

≤

b2i
i=1

2
b2i  .

+

i=1

k

a2i

i=1

Từ đó lấy căn hai vế và trở lại với ký hiệu cũ, ta có d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).
Ví dụ 1.1.3. Cho X là tập khác rỗng bất kỳ. Xét hàm số trên X × X cho bởi
d(x, y) =

0, nếu x = y,
1, nếu x = y.

Khi đó d là một metric trên X, gọi là metric rời rạc.
4


Ví dụ 1.1.4. Kí hiệu C[a,b] là tập hợp các hàm liên tục trên đoạn [a, b]. Định
nghĩa
ds (x, y) = sup |x(t) − y(t)|
t∈[a,b]
b

|x(t) − y(t)| dt,

dL (x, y) =

∀x, y ∈ C[a,b] .

a

Khi đó ds , dL là các metric trên C[a,b] . Không gian (C[a,b] , ds ) được ký hiệu là
L
C[a,b] . Không gian (C[a,b] , dL ) được ký hiệu là C[a,b]

.
Lưu ý rằng giá trị lớn nhất của |x − y| là tồn tại nên sup trong định nghĩa
ds thực chất là max. Ta cịn có |x(t) − y(t)| ≤ d(x, y) với mọi t ∈ [a, b]. Rõ ràng
d(x, y) ≥ 0 với mọi x, y ∈ C[a,b] .
d(x, y) = 0 ⇔ sup |x(t) − y(t)| = 0
t∈[a,b]

⇔ ∀t ∈ [a, b] : |x(t) − y(t)| = 0
⇔ ∀t ∈ [a, b] : x(t) = y(t)
⇐⇒ x = y.
Hơn nữa, supt∈[a,b] |x(t) − y(t)| = supt∈[a,b] |y(t) − x(t)| hay ds (x, y) = ds (y, x)
với mọi x, y ∈ C|a,b| .
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức tam giác. Với 3 phần tử x, y, z ∈ C[a,b]
ta có
|x(t) − z(t)| ≤ |x(t) − y(t)| + |y(t) − z(t)|.
Do đó với mỗi t ∈ [a, b], |x(t) − z(t)| ≤ d(x, y) + d(y, z) Vậy d(x, z) ≤ d(x, y) +
d(y, z).
Ví dụ 1.1.5. Cho (X, d) là một không gian metric và A ⊂ X. Trên A, ta định
nghĩa dA (x, y) = d(x, y), với mọi x, y ∈ A. Khi đó (A, dA ) cũng là một không
gian metric và gọi là không gian metric con của (X, d).

1.1.2

Khoảng cách từ một điểm đến một tập

Cho (X, d) là một không gian metric và A là một tập con khác rỗng của X.
Khoảng cách từ điểm x đến tập A được định nghĩa như sau
d(x, A) = inf{d(x, a) | a ∈ A}.
Rõ ràng nếu x ∈ A thì d(x, A) = 0 nhưng ngược lại nói chung khơng đúng.
Chẳng hạn trên R với A = (0, 1) và x = 0 thì d(x, A) = 0 nhưng x ∈

/ A.
Mệnh đề 1.1.6. Với bất kì x, y ∈ X, ta có
|d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y).
5


Chứng minh. Xét a ∈ A, ta có
d(x, a) ≤ d(x, y) + d(y, a).
Do đó
inf d(x, a) ≤ inf [d(x, y) + d(y, a)]

a∈A

a∈A

≤ d(x, y) + inf d(y, a).
a∈A

Suy ra, d(x, A) ≤ d(x, y) + d(y, A). Tương tự ta chứng minh được d(y, A) ≤
d(x, y) + d(x, A), từ đó suy ra điều phải chứng minh.

1.1.3

Sự hội tụ trong không gian metric

Trong không gian metric nhờ có khoảng cách ta có thể định nghĩa được giới
hạn.
Định nghĩa 1.1.7. Cho {xn } là một dãy điểm trong khơng gian metric (X, d).
Ta nói dãy {xn } hội tụ đến điểm x ∈ X nếu
lim d(xn , x) = 0,

n→∞

nghĩa là với mọi

> 0, tồn tại N ∈ N sao cho
d(xn , x) < , với mọi n ≥ N .

Nếu x là giới hạn của dãy {xn }, ta viết lim xn = x hoặc xn → x.
n→∞

Mệnh đề 1.1.8. Trong không gian metric, giới hạn của một dãy nếu có là duy
nhất.
Chứng minh. Giả sử dãy {xn } hội tụ đến hai điểm x, y. Ta có
0 ≤ d(x, y) ≤ d(x, xn ) + d(xn , y) → 0,
khi n → ∞. Suy ra d(x, y) = 0 hay x = y.
Mệnh đề 1.1.9. Cho {xn }n và {xn }n là hai dãy trong khơng gian metric (X, d).
Khi đó
1. Nếu dãy {xn }n hội tụ đến x thì mọi dãy con {xnk }k của dãy {xn }n cũng
hội tụ về x.
2. Nếu xn → x và yn → y thì d(xn , yn ) → d(x, y) khi n → ∞.
Ta sẽ thấy trong các phần sau, khẳng định trên khơng cịn đúng trong khơng
gian tơpơ bất kỳ.
Ví dụ 1.1.10. Trong R với metric thông thường, sự hội tụ của một dãy số thực
được hiểu theo nghĩa thông thường.
6


Ví dụ 1.1.11. Trong khơng gian Rk với metric Euclid, sự hội tụ của dãy
(n)

(n)
(n)
x(n) = (x1 , x2 , . . . , xk ) đến điểm x = (x1 , x2 , . . . , xk ) có nghĩa là
k

d2 (x

(n)

(n)

, x) =

(xi

− xi )2 → 0,

i=1
(n)

điều này tương đương với xi → xi khi n → ∞ với mọi i = 1, . . . , k. Như √
thế,
sự hội tụ trong Rk là sự hội tụ theo tọa độ. Chẳng hạn, dãy x(n) = ( n1 , n1 + 2)
√
hội tụ về x = (0, 2).
Ví dụ 1.1.12. Trong C[a,b] , sự hội tụ của một dãy (xn ) đến x có nghĩa là
sup |xn (t) − x(t)| → 0.
t∈[a,b]

Tức là,

(∀ > 0)(∃N ∈ N)(∀n > N )(∀t ∈ [a, b]) : |xn (t) − x(t)| < .
Điều này có nghĩa là sự hội tụ trong C[a,b] là sự hội tụ đều đã biết trong giải
tích cổ điển.
Để xét sự hội tụ đều của một dãy hàm liên tục xn (t) trên đoạn [a, b], ta
thường theo các bước sau
B1. Tìm hàm x(t) mà xn (t) hội tụ theo điểm về hàm x(t) này. Tức là với mỗi
t ∈ [a, b], x(t) = limn→∞ xn (t).
B2. Với mỗi n, ta tìm Tn = supt∈[a,b] |xn (t) − x(t)|.
B3. Tính lim Tn . Nếu giới hạn này bằng 0 thì ta nói dãy hàm {xn }n hội tụ
đều về hàm x và do đó hội tụ theo metric ds về hàm x trong C[a,b] .
Chú ý rằng nếu trong B1 mà hàm x(t) không liên tục trên đoạn [a, b] thì dãy
hàm {xn }n khơng hội tụ đều về hàm x, tức không hội tụ trong C[a,b] theo
metric ds về hàm x.
Ví dụ 1.1.13. Xét sự hội tụ của các dãy sau trong không gian C[0,1] .
1. xn (t) = tn − t2n .
2. xn (t) =

nt
1+n+t .


2

4n t
3. xn (t) = −4n2 t + 4n


0

1

nếu 0 ≤ |t| ≤ 2n
,
1
1
nếu 2n < t < n ,
nếu n1 ≤ t ≤ 1.

7


1.2

Tập mở, tập đóng

Định nghĩa 1.2.1. Cho (X, d) là khơng gian metric và a ∈ X. Hình cầu mở
tâm x0 , bán kính r > 0 được định nghĩa như sau
B(x0 , r) := {x ∈ X | d(x0 , x) < r}.
Ví dụ 1.2.2. Xét R với metric thơng thường. Hình cầu tâm x0 bán kính r trong
R là khoảng (x0 − r, x0 + r). Ngược lại một khoảng (a, b) bất kỳ,là hình cầu mở
b−a
tâm x0 = a+b
2 , bán kính r = 2 .
Ví dụ 1.2.3. Trong không gian rời rạc X, B(x0 , r) = {x0 } nếu 0 ≤ r ≤ 1 và
B(x0 , r) = X nếu r > 1.
Ví dụ 1.2.4. Hãy mơ tả hình cầu đơn vị trong R2 , với các metric d1 , d2 , d∞ .
Ví dụ 1.2.5. Hãy mơ tả hình cầu đơn vị trong C[a,b] với metric sup.
Hình cầu mở là một ví dụ về tập mở, được định nghĩa sau đây.
Định nghĩa 1.2.6. Cho (X, d) là không gian metric. Tập con U ⊂ X được gọi
là tập mở nếu với mỗi x ∈ U , tồn tại > 0 sao cho B(x, ) ⊂ U.
Từ định nghĩa suy ra tập rỗng ∅ và X là các tập mở.

Mệnh đề 1.2.7. Mỗi hình cầu mở B(x0 , r) := {x ∈ X | d(x0 , x) < r} là một
tập mở.
Mệnh đề 1.2.8. Trong một khơng gian metric bất kì, ta có
1. Hợp một họ tùy ý các tập mở là mở
2. Giao một số hữu hạn các tập mở là mở.
Chứng minh. 1. Giả sử (Ai )i∈I là một họ các tập mở. Đặt A = i∈I Ai . Nếu
x ∈ A thì tồn tại i0 ∈ I để x ∈ Aio . Vì Aio mở nên có số dương r sao cho
B(x, r) ⊂ Aio . Khi đó B(x, r) ⊂ i∈I Ai . Vậy A là tập mở.
n
2. Nếu A1 , . . . , An là các tập mở ta đặt A = i=1 Ai . Với x ∈ A ta có x ∈ Ai
với mọi i = 1, . . . , n. Mỗi Ai là tập mở nên tồn tại các số dương ri sao cho
B (x, ri ) ⊂ Ai . Đặt r = min {r1 , . . . , rn } > 0, khi đó B(x, r) ⊂ B (x, ri ) ⊂ Ai với
n
mọi i = 1, . . . , n. Do đó B(x, r) ⊂ i=1 Ai hay A là tập mở.
Nhận xét 1.2.9. Lưu ý rằng, giao của một họ đếm được các tập mở có thể
khơng mở. Chẳng hạn, trong R ta có
∞

n=1

1 1
− ,
n n

= {0},

tập {0} khơng phải là tập mở vì khơng thể có hình cầu nào chứa trong nó.
8

Kết quả sau đây cho phép mô tả khái niệm tập mở qua các dãy hội tụ.
Mệnh đề 1.2.10. Tập con A trong không gian metric (X, d) là mở khi và chỉ
khi với mọi dãy {xn } trong X nếu xn → x ∈ A thì tồn tại số tự nhiên n0 sao
cho xn ∈ A với mọi n ≥ n0 .
Chứng minh. [=⇒] Giả sử A mở và {xn } là một dãy hội tụ đến x ∈ A. Do A
mở nên tồn tại số r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A. Lại do xn → x nên tồn tại số tự
nhiên n0 sao cho d(xn , x) < r hay xn ∈ B(x, r) với mọi n ≥ n0 . Từ đó xn ∈ A
với mọi n ≥ n0 .
[⇐=] Giả sử phản chứng rằng A khơng mở. Khi đó tồn tại x ∈ A sao cho x
không là điểm trong của A. Nghĩa là với mọi r > 0 đều có B(x, r) ∩ (X \ A) = ∅.
Suy ra với mọi số tự nhiên n tồn tại xn ∈ X \ A sao cho d(xn , x) < n1 . Như thế
dãy {xn } trong X hội tụ đến x ∈ A nhưng xn ∈
/ A với mọi n. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết. Vậy A là mở.
Định nghĩa 1.2.11. Tập con F trong khơng gian metric (X, d) được gọi là
đóng nếu phần bù X \ F là một tập mở.
Nhận xét 1.2.12. Ta cũng chứng minh được
1. ∅ và X là các tập đóng.
2. Mỗi hình cầu đóng B(x0 , r) = {x ∈ X | d(x0 , x) ≤ r} là một tập đóng.
3. Giao một họ tùy ý các tập đóng là đóng.
4. Hợp một số hữu hạn các tập đóng là đóng.
Ví dụ 1.2.13. Trên R với metric thơng thường, cho a < b. Khi đó tập (a, b) là
mở, tập [a, b] là đóng, các tập [a, b) hay (a, b] là khơng đóng khơng mở.
Mệnh đề 1.2.14. Một tập F ⊂ X là đóng khi và chỉ khi, với mọi dãy điểm
{xn } ⊂ F , nếu xn → X thì x ∈ F.
Chứng minh. [=⇒] Giả sử F đóng và {xn } ⊂ F và xn → x. Nếu x ∈
/ F , thì x ∈ X \F .
Do X \ F mở nên tồn tại > 0 sao cho B(x, ) ∩ F = ∅. Vì xn → x nên tồn tại N ∈ N
sao cho d(xn , x) < với mọi n ≥ N . Như thế, xn ∈ B(x, ) ∩ F với mọi n ≥ N . Điều
này là mâu thuẩn.

[=⇒] Nếu ngược lại F khơng đóng, thì X \ F khơng mở. Khi đó, tồn tại x
¯∈
/ F sao
cho ∀r > 0 thì B(¯
x, r) ⊂ X \ F . Với mỗi n ∈ N chọn r = 1/n. Ta xây dựng được dãy
{xn } thỏa mãn xn ∈ B(¯
x, 1/n) ∩ F với mọi n. Dãy {xn } ⊂ F , xn → x
¯ mà x
¯∈
/ F mâu
thuẩn với giả thiết.

Định nghĩa 1.2.15. Cho A là tập khác rỗng trong không gian metric X và x
là một điểm của X.
1. x được gọi là điểm trong của A nếu ∃r > 0 sao cho B(x, r) ⊂ A.
2. x được gọi là điểm dính của A nếu ∀r > 0 thì B(x, r) ∩ A = ∅.
9


3. x được gọi là điểm biên của A nếu ∀r > 0 thì
B(x, r) ∩ A = ∅ và B(x, r) ∩ (X \ A) = ∅.
4. x được gọi là điểm tụ của A nếu ∀r > 0 thì B(x, r) ∩ (A \ {x}) = ∅.
Định nghĩa 1.2.16. Cho A là tập con trong không gian metric X.
1. Tập hợp tất cả các điểm trong của A gọi là phần trong của A, ký hiệu
Int(A).
2. Tập hợp tất cả các điểm dính của A gọi là bao đóng của A, ký hiệu A.
3. Tập hợp tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A, ký hiệu ∂(A).
Ví dụ 1.2.17. Trên R với tơpơ sinh ra bởi metric thông thường, các tập
(a, b), [a, b], [a, b), (a, b] đều có phần trong là (a, b) và bao đóng là [a, b]. Dễ thấy
Int(Q) = ∅, Q = ∂Q = R.

Ví dụ 1.2.18. Trong R, tìm Int(A), A, ∂(A) trong các trường hợp sau:
1. A = (0; 1] ∪ {2}.
2. A = {0} ∪ { k1 }∞
k=1 .
3. A = Q.
Mệnh đề 1.2.19. Cho A là một tập con trong không gian metric X và x ∈ X.
1. x là điểm dính của A ⇐⇒ ∃(xn )n ⊂ A, xn → x.
2. x là điểm tụ của A ⇐⇒ ∃(xn )n ⊂ A, xn = xm nếu n = m và xn → x.
Chứng minh.
1. Giả sử x là điểm dính của A. Theo định nghĩa, với mọi r > 0,
thì B(x, r) ∩ A = ∅. Suy ra, với mỗi n ∈ N, ta phải có B(x, n1 ) ∩ A = ∅.
Như thế, với mỗi n ∈ N, ta tìm được xn ∈ B(x, n1 ) ∩ A. Ta tìm được dãy
(xn )n ⊂ A thỏa mãn d(xn , x) ≤ n1 .
Ngược lại, nếu tồn tại dãy (xn )n ⊂ A mà xn → x. Ta cần chứng minh x ∈
A. Phản chứng rằng, x ∈
/ A. Khi đó, tồn tại r > 0 sao cho B(x, r) ∩ A = ∅.
Do xn → x, suy ra tồn tại N ∈ N, sao cho xn ∈ B(x, r) với mọi n ≥ N .
Tức là xn ∈
/ A, với mọi n ≥ N . Mâu thuẫn với xn ⊂ A.
2. Với n = 1, ta tìm được x1 ∈ B(x, 1) ∩ A \ {x}. Với n = 2, ta tìm được
x2 ∈ B(x, min{ 12 ; d(x, x1 )}) ∩ A \ {x}. Tiếp tục như thế, ta xây dựng
được dãy {xn } sao cho xn ∈ B(x, min{ n1 ; d(x, xn−1 )}) ∩ A \ {x}. Như thế
(xn )n ⊂ A, xn = xm khi n = m và xn → x.
Mệnh đề 1.2.20. Cho A ⊂ X. Ta có các khẳng định sau:
10


1. Int(A) là tập mở lớn nhất chứa trong A.
2. A là tập đóng bé nhất chứa A.
3. A là tập mở ⇐⇒ A = Int(A).

4. A là tập đóng ⇐⇒ A = A ⇐⇒ ∂(A) ⊂ A.
5. X \ A = Int(X \ A) và X \ Int(A) = X \ A.
6. ∂(A) = A \ Int(A) = A ∩ X \ A = ∂(X \ A).
7. X = Int(A) ∪ ∂(A) ∪ Int(X \ A)
Chứng minh. Bài tập dành cho sinh viên.

11


1.3

Ánh xạ liên tục

Cho f : X → Y là một ánh xạ giữa hai không gian metric (X, dX ) và (Y, dY ).
Định nghĩa 1.3.1. Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x0 ∈ X, nếu với mọi > 0,
tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X mà dX (x, x0 ) < δ thì dY (f (x), f (x0 )) < .
Ta nói f liên tục trên X nếu f liên tục tại mọi điểm thuộc X.
Ta có thể phát biểu lại như sau: f liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi > 0,
tồn tại δ > 0 sao cho
f (B(x0 , δ)) ⊂ B(f (x0 ), )).
Kết quả sau đây cho phép ta mơ tả tính liên tục theo các dãy hội tụ.
Định lí 1.3.2. Ánh xạ f : X → Y liên tục tại x0 khi và chỉ khi với mọi dãy
{xn } ⊂ X, dX (xn , x0 ) → 0, thì kéo theo dY (f (xn ), f (x0 )) → 0.
Chứng minh. [=⇒] Giả sử ánh xa f liên tục tại x0 , {xn } ⊂ X và xn → x0 . Ta
chứng minh f (xn ) hội tụ đến f (x0 ). Lấy > 0 bất kì. Vì f liên tục tại x0 nên
tồn tại số δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X, nếu d (x, x0 ) < δ thì d (f (x), f (x0 )) < .
Măt khác, do xn → x0 nên tồn tại n0 ∈ N sao cho d (xn , x0 ) < δ với mọi n n0 .
Từ đó d (f (xn ) , f (x0 )) < với mọi n n0 . Vậy f (xn ) → f (x0 ) .
[⇐=] Giả sử phản chứng rằng f không liên tục tại x0 . Khi đó tồn tại > 0 để
với mọi δ > 0, tồn tại xδ ∈ X sao cho d(xδ , x0 ) < δ nhưng d(f (xδ ), f (x0 ))

.
Với mỗi n ∈ N∗ , chọn δ = n1 ta có xn ∈ X để d (xn , x0 ) < n1 và d (f (xn ) , f (x0 ))
. Suy ra xn → x0 nhưng f (xn ) −→ f (x0 ) . Điều này trái giả thiết. Vậy f liên
tục tại x0 .
Ví dụ 1.3.3. Chứng minh rằng
1. Ánh xạ đồng nhất id : (C[0, 1], ds ) → (C[0, 1], dL ) liên tục.
2. Ánh xạ đồng nhất id : (C[0, 1], dL ) → (C[0, 1], ds ) không liên tục.
1. Lấy bất kỳ x ∈ (C[0, 1], ds ) và dãy {xn } ∈ (C[0, 1], ds ) hội tụ về x theo metric
sup. Tức là
ds (xn , x) = sup |xn (t) − x(t)| → 0, khi n → ∞.
t∈[a,b]

Ta sẽ chứng minh rằng id(xn ) → id(x) trong (C[0, 1], dL )) hay xn → x theo
metric dL . Để ý rằng,
1

|xn (t) − x(t)|dt

dL (xn , x) =
0
1

≤

1

sup |xn (t) − x(t)|dt = ds (xn , x)
0 t∈[0,1]

dt = ds (xn , x).

0

12


Từ đây, do ds (xn , x) → 0 nên dL (xn , x) → 0.
2. Ta sẽ chứng minh rằng có 1 dãy {xn } hội tụ trong (C[0, 1], dL ) nhưng không
hội tụ trong (C[0, 1], ds ). Xét dãy các hàm liên tục {xn (t)} sau đây
xn (t) =

nt, nếu 0 ≤ t ≤ n1 ,
1, nếu n1 < t ≤ 1.

Thật vậy, với mọi t > 0, luôn tồn tại N ∈ N sao cho N1 < t. Khi đó xn (t) = 1
với mọi n > N do đó xn (t) → 1 khi n → ∞. Tại t = 0, thì xn (0) = 0 với mọi n
nên xn (0) → 0 khi n → ∞. Suy ra dãy xn (t) hội tụ theo điểm về hàm
x(t) =

1, nếu 0 < t ≤ 1,
0, nếu t = 0.

Tuy nhiên do x(t) không liên tục nên dãy xn (t) không hội tụ theo metric ds về
x. Thế nhưng, xn → x theo metric dL . Thật vậy
1

1/n

|xn (t) − x(t)|dt =

dL (xn , x) =

0

(1 − nt)dt = (t −
0

nt2
)
2

1/n

=
0

1
→ 0.
2n

Vậy ánh xạ đồng nhất id : (C[0, 1], dL ) → (C[0, 1], ds ) khơng liên tục.
Định lí 1.3.4. Ánh xạ f : X → Y là liên tục khi và chỉ khi với mỗi tập mở
U ⊂ Y , nghịch ảnh f −1 (U ) ⊂ X là một tập mở trong X.
Chứng minh. Giả sử f liên tục trên X và U ⊂ Y là tập mở. Với x ∈ f −1 (U ).
Khi đó f (x) ∈ U . Do U là tập mở nên tồn tại > 0 sao cho B(f (x), ) ⊂ U. Do
f liên tục tại x nên với trên, tồn tại δ > 0 sao cho
f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), )) ⊂ U.
Nói cách khác B(x, δ) ⊂ f −1 (U ). Vậy f −1 (U ) là tập mở.
Ngược lại, giả sử với mỗi tập mở U ⊂ Y , nghịch ảnh f −1 (U ) ⊂ X là một
tập mở trong X, ta chứng minh f liên tục. Lấy x ∈ X và > 0. Khi đó do
B(f (x), ) là tập mở trong X nên nghịch ảnh của nó là f −1 (B(f (x), )) là mở
trong Y và chứa x. Do đó, tồn tại δ > 0 sao cho B(x, δ) ⊂ f −1 (B(f (x), )). Nói

cách khác, f (B(x, δ)) ⊂ B(f (x), ). Suy ra f liên tục tại x.
Lưu ý rằng với mọi tập F ⊂ Y ta có biểu diễn sau
f −1 (Y \ F ) = X \ f −1 (F ).
Kết hợp với việc phần bù của một tập mở là một tập đóng và ngược lại, ta có
kết quả tương tự sau.
Định lí 1.3.5. Ánh xạ f : X → Y là liên tục khi và chỉ khi với mỗi tập đóng
F ⊂ Y , nghịch ảnh f −1 (F ) ⊂ X là một tập đóng trong X.
13


1.4

Phép đồng phôi, phép đẳng cự

Định nghĩa 1.4.1. Một song ánh f : X → Y từ không gian metric X vào
không gian metric Y gọi là một phép đồng phôi (hoặc ngắn gọn là một đồng
phôi) nếu f và ánh xạ ngược f −1 cùng liên tục.
Nếu có một phép đồng phơi từ X vào Y thì ta nói hai khơng gian X và Y
đồng phơi với nhau, kí hiệu X ∼
=Y.
Ví dụ 1.4.2. Khoảng (a, b) trong R đồng phôi với (0, 1). Thật vậy f : (a, b) →
−1
: (0, 1) → (a, b) với y → (b − a)y + a.
(0, 1) với x → x−a
b−a là một song ánh với f
Rõ ràng cả hai ánh xạ này đều liên tục. Tương tự như vậy (0, 1) đồng phôi với
(1, +∞) với f : (0, 1) → (1, +∞) cho bởi x → x1 và f −1 : (1, +∞) → (0, 1) cho
bởi x → x1 .
Ví dụ 1.4.3. Khoảng (−1, 1) đồng phơi với R vì f : (−1, 1) → R cho bởi
−1

(x) = π2 arctan(x)
f (x) = tan( πx
2 ) là một song ánh liên tục với ánh xạ ngược f
cũng liên tục.
Ví dụ 1.4.4. Trên R2 , xét đường trịn S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} và hình
vng T = {(x, y) ∈ R2 | |x| + |y| = 1}. Xét về mặt tơpơ thì S 1 xem như đồng
nhất với T vì ánh xạ f : S 1 → T cho bởi
f (x, y) =

x
y
,
|x| + |y| |x| + |y|

là một song ánh liên tục với ánh xạ ngược
f −1 (x, y) =

x
x2

+

y2

,

y
x2

+ y2

cũng liên tục.
Ví dụ 1.4.5. Đường trịn S 1 bỏ đi một điểm đồng phôi với đường thẳng R. Thật
vậy, xét
1
1
S = (a, b) | a2 + (b − )2 =
2
4
là đường tròn tâm tại (0, 21 ), bán kình 12 và N = (0, 1). Khi đó f : S 1 \ {N } → R
cho bởi
x
f (x, y) =
1−y
là một song ánh liên tục và ánh xạ ngược f −1 : R → S 1 \ {N } cho bởi
f −1 (x) =

x2

x
x2
, 2
+1 x +1

cũng liên tục.
14


Bạn đọc cũng dễ dàng kiểm tra rằng hai khoảng mở bất kì trong R đồng
phơi với nhau và đồng phơi với R; hai khoảng đóng (đoạn) bất kì cũng đồng

phôi với nhau. Tuy nhiên, đoạn [a, b] không đồng phôi với R hay với khoảng mở
(c, d) nào. Thật vậy, trong giải tích cổ điển ta biết rằng nếu f là một hàm số
liên tục trên đoạn [a, b] thì ảnh của nó phải là một đoạn, nên khơng thể là R
hay khoảng mở (c, d).
Nhận xét 1.4.6. Một phép đồng phôi biến một tập mở trong không gian này
thành một tập mở trong không gian kia và ngược lại. Do đó, các khái niệm dẫn
xuất từ tập mở như tập đóng, điểm dính, điểm tụ, ... cũng bất biến qua phép
đồng phơi.
Các khái niệm về hình cầu, khoảng cách, bán kính,... khơng bất biến qua
phép đồng phơi. Chúng bất biến qua một khái niệm mạnh hơn, được định nghĩa
sau đây.
Định nghĩa 1.4.7. Một song ánh f : X → Y từ không gian metric (X, dX )
vào không gian metric (Y, dY ) gọi là một phép đẳng cự (hoặc một đẳng cự) nếu
dY (f (x), f (y)) = dX (x, y) với mọi x, y ∈ X.
Nếu tồn tại một phép đẳng cự từ X lên Y thì ta nói (X, dX ) và (Y, dY ) là
hai không gian đẳng cự với nhau.
Đương nhiên mỗi phép đẳng cự là một phép đồng phôi. Như vậy hai khơng
gian đẳng cự thì đồng phơi. Về phương diện metric thì hai khơng gian đẳng cự
có thể xem là một.
Ví dụ 1.4.8. Phép tịnh tiến theo vectơ a cho trước là một phép đẳng cự từ Rk
vào chính nó.
Ví dụ 1.4.9. Trên R xét metric d(x, y) = |ex − ey | thì (R, d) đẳng cự với
khơng gian con X = (0, ∞) của R với metric thông thường. Thật vậy ánh xạ
(R, d) → X với f (x) = ex là song ánh. Hơn nữa với mọi x, y ∈ R, ta có
|f (x) − f (y)| = |ex − ey | = d(x, y) nên f là một phép đẳng cự.

1.5
1.5.1

Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa và các ví dụ

Chúng ta cũng có thể nghiên cứu sự hội tụ của dãy điểm khi chưa biết điểm
giới hạn của nó. Khi đó, ta địi hỏi các điểm của dãy ngày càng gần nhau.
Định nghĩa 1.5.1. Dãy (xn ) trong không gian metric (X, d) được gọi dãy
Cauchy nếu
lim d(xn , xm ) = 0.
n,m→∞

Tức là, với mọi

> 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho
d(xn , xm ) < , với mọi n, m ≥ N .
15


Rõ ràng, mọi dãy hội tụ đều là dãy Cauchy. Thật vậy, nếu xn → x thì với
mọi > 0, tồn tại số tự nhiên N sao cho d(xn , x) < /2 với mọi n ≥ N . Khi đó
với mọi m, n ≥ N , ta có
d(xn , xm ) ≤ d(xn , x) + d(xm , x) < /2 + /2 = .
Chúng ta đã biết trong giải tích cổ điển rằng, một dãy số thực hội tụ khi và
chỉ khi nó là dãy Cauchy. Đây gọi là tính đầy đủ của tập số thực R.
Định nghĩa 1.5.2. Không gian metric (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy
Cauchy trong X đều hội tụ.
Một tập con E ⊂ X được gọi là đầy đủ nếu khơng gian metric con (E, d|E )
là đầy đủ, hay nói cách khác mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ về một điểm
thuộc E.
Ví dụ 1.5.3. Vì sự hội tụ trong Rk là sự hội tụ theo tọa độ nên từ tính đầy đủ
của R ta cũng suy ra khơng gian metric Rk là khơng gian đầy đủ.
Ví dụ 1.5.4. Không gian C[a,b] với metric sup là không gian đầy đủ. Thật vậy,

nếu {xn } là dãy Cauchy trong C[a,b] . Khi đó với mọi > 0, tồn tại số tự nhiên
N sao cho
|xm (t) − xn (t)| < , ∀m, n ≥ N , ∀t ∈ [a, b].
Từ đây suy ra, với mỗi t ∈ [a, b] cố định, dãy {xn (t)} là một dãy Cauchy trong
R, do đó nó có giới hạn là một số thực x(t) nào đó. Bây giờ, cho m → ∞ trong
bất đẳng thức trên, ta có
|x(t) − xn (t)| ≤ , ∀n ≥ N , ∀t ∈ [a, b].
Điều này chứng tỏ dãy hàm liên tục {xn } hội tụ đều đến hàm x trên [a, b]. Do
đó, x cũng là hàm liên tục hay nói cách khác x ∈ C[a,b] . Hơn nữa, từ trên cũng
suy ra dãy {xn } hội tụ đến x trong C[a,b] .
Ví dụ 1.5.5. Khơng gian X = (0, 1) với metric cảm sinh từ metric thông thường
trên R là không đầy đủ.
Thật vậy, xét dãy xn = n1 là một dãy Cauchy trong X. Ta sẽ chứng minh
rằng dãy này không hội tụ trong X. Thật vậy, nếu dãy này hội tụ đến x ∈ X.
Vậy thì x ∈ R. Mặt khác xn là một dãy trong R và hội tụ đến 0. Do giới hạn
một dãy là duy nhất nên x = 0. Vậy 0 ∈ X là vơ lý.
L
Ví dụ 1.5.6. Khơng gian C[a,b]
là không đầy đủ.
Thật vậy, ta xét trường hợp [a, b] = [0, 1]. Ta sẽ chỉ ra một dãy Cauchy trong
L
C[0,1]
mà không hội tụ trong không gian này.
Ta xét dãy hàm {xn (t)} sau đây


nếu 0 ≤ t ≤ 21
1
xn (t) = 1 − n(t − 21 ) nếu 21 < t ≤ n1 + 12



0
nếu 21 + n1 < t ≤ 1

16


Khi đó với m > n, ta có
1/2+1/n

1/2+1/n

|xn (t) − xm (t)| ≤

dL (xn , xm ) =

dt =
1/2

1/2

1
→ 0.
n

Suy ra {xn } là dãy Cauchy. Ta sẽ chứng tỏ rằng dãy này không hội tụ trong
L
C[0,1]
. Thật vậy, giả sử phản chứng rằng xn → x. Khi đó
1

1/2

1

|xn (t)−x(t)|dt =

dL (xn , x) =
0

|xn (t)−x(t)|dt+
0

|xn (t)−x(t)|dt → 0.
1/2

Điều này kéo theo
1/2

1

|xn (t) − x(t)|dt → 0 và

|xn (t) − x(t)|dt → 0.

0

1/2

Mặt khác ta thấy,

1/2

1

|xn (t) − 1|dt = 0 → 0 và
0

|xn (t) − 0|dt =
1/2

1
→ 0.
2n

Vậy x(t) và 1 cùng là giới hạn của dãy {xn } trong CL [0, 1/2] và x(t) và 0 cùng
là giới hạn của dãy {xn } trong CL [1/2, 1]. Do tính duy nhất của giới hạn, ta có
x(t) = 1 với t ∈ [0, 1/2],

x(t) = 0 với t ∈ [1/2, 1].

Điều này là không thể. Vậy dãy {xn } khơng có giới hạn nào trong CL [0, 1].
Mệnh đề 1.5.7. Mọi tập con đóng của một khơng gian metric đầy đủ là đầy
đủ.
Chứng minh. Cho (X, d) là một khơng gian metric đủ và E là tập con đóng
của X. Giả sử {xn } là một dãy Cauchy trong E. Khi đó {xn } cũng là một dãy
Cauchy trong X. Do X đầy đủ nên dãy {xn } này hội tụ về phần tử x ∈ X. Mặt
khác do {xn }n ⊂ E mà E đóng nên điểm giới hạn x này cũng thuộc E. Vậy E
là đầy đủ.
Ví dụ 1.5.8. Do R là đầy đủ nên các tập con đóng sau [a, b], [a, ∞), (−∞, a] là
các tập đầy đủ. Các tập [a, b), (a, b] hay (a, b) là khơng đầy đủ. Vì chẳng hạn dãy

/ [a, b).
{b − n1 }n với n đủ lớn, là dãy Cauchy nằm trong [a, b) nhưng hội tụ về b ∈
Tập các số hữu tỉ Q là không đầy đủ vì với mỗi số vơ tỉ bất kỳ ta ln tìm được
dãy các số hữu tỉ hội tụ về nó.1
1 Chẳng

√
10n 2
hạn dãy xn =

10n

hội tụ về

√

17

2.


1.5.2

Ngun lý Cantor

Tính đầy của một khơng gian metric được định nghĩa qua các dãy Cauchy. Sau
đây chúng ta giới thiệu một đặc trưng khác của khái niệm này. Trong nhiều
trường hợp nó thuận tiện cho việc sử dụng tính đầy của khơng gian.
Định nghĩa 1.5.9. Dãy hình cầu đóng Bn = B [xn , rn ] , n = 1, 2, . . ., gọi là thắt
dần nếu Bn+1 ⊆ Bn với mọi n 1, và limn→∞ rn = 0.

Định lí 1.5.10 (Ngun lý Cantor). Một khơng gian metric là đầy khi và chỉ
khi mỗi dãy hình cầu đóng thắt dẩn trong nó có một điểm chung duy nhất.
Chứng minh. [=⇒] Giả sử X là một không gian metric đầy và Bn = B [xn , rn ],n =
1, 2, . . ., là một dãy hình cầu đóng thắt dần. Xét dãy điểm {xn } ⊂ X. Với mọi
m > n, do Bm ⊂ Bn nên d (xm , xn ) < rn . Từ rn → 0(n → ∞) suy ra {xn } là
một dãy Cauchy trong X, và do X đầy nên dãy này có giới hạn x ∈ X. Với mỗi
n, do Bn đóng và xm ∈ Bn với mọi m n nên x ∈ Bn . Vậy x ∈ n 1 Bn .
Bây giờ giả sử rằng có thêm y ∈ n 1 Bn . Với mọi n, do x và y cùng thuộc
Bn nên d(x, y) < 2rn → 0 (n → ∞). Suy ra x = y. Vậy dãy hình cầu Bn có
điểm chung duy nhất.
[⇐=] Giả sử mọi dãy hình cầu đóng thắt dần trong khơng gian metric X
dều có một điểm chung duy nhất. Ta sẽ chứng minh không gian X là đầy. Giả
sử phẩn chứng rằng không gian X khơng đầy. Khi đó có một dãy {xn } trong X
là Cauchy nhưng không hội tụ. Ta xây dựng một dãy hình cầu đóng thắt dần
theo cách sau. Vì {xn } là dãy Cauchy nên có k1 sao cho d (xk1 , xm ) < 21 với mọi
m k1 .
Lại vì {xn } là dãy Cauchy nên có k2 > k1 sao cho d (xk2 , xm ) < 212 với mọi
m k2 . Tiếp tục quá trình trên ta nhận được một dãy con {xkn } của dãy {xn }
1
sao cho d xkn , xkn+1 < 21n với mọi n 1. Bây giờ đặt Bn = B xkn , 2k−1
,n
1. Nếu y ∈ Bn+1 thì
d (y, xn )

d (y, xn+1 ) + d (xn+1 , xn ) <

1
1
1
+ n = n−1 ,

n
2
2
2

nghĩa là y ∈ Bn , và do đó Bn+1 ⊂ Bn . Vậy {Bn } là một dãy hình cầu đóng thắt
1
dần trong X, do đó có x ∈ n 1 Bn . với mỗi n, vì d (x, xkn ) 2n−1
nên dãy con
{xkn } hội tụ đến x. Điều này kéo theo dãy {xn } cũng hội tụ đến x, vì dãy {xn }
là dãy Cauchy. Đến đây ta gặp mâu thuẫn. Vậy X là không gian đầy đủ.

1.5.3

Nguyên lý ánh xạ co Banach

Trong mục này chúng ta xét Nguyên lí ánh xạ co Banach như là một ứng dụng
đặc sắc của tính đầy của những khơng gian metric. Ngun lí này có nhiều dụng
trong giải tích, vì nó cung cấp một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh sự
tổn tại và duy nhất nghiệm đối với nhiều lớp phương trình khác nhau (phương
trình đại số, vi phân thường, đạo hàm riêng, tích phân, . . .). Mỗi phương trình
thuộc những lớp này bao giờ cũng có thể viết được dưới dạng
f (x) = x,
18


trong đó x là ẩn lấy trong một khơng gian metric X nào đó, cịn f là một ánh
xa từ X vào chính nó. Chẳng hạn, mỗi phương trình
F (x) = 0 (x ∈ R),
trong đó F : R → R là một hàm số cho trước, có thể viết dưới dạng tương đương

x + F (x) = x.
Đây là phương trình có dạng trên nếu ta đặt f (x) = x + F (x).
Định nghĩa 1.5.11. Điểm x ∈ X gọi là một điểm bất động của ánh xạ f :
X → X nếu f (x) = x.
Như vậy, tìm nghiệm của phương trình trên thực chất là tìm điểm bất động
của ánh xạ f . Vấn đề là liệu ánh xạ f có điểm bất động? Hơn nữa, nếu có thì
có cách nào cho phép tìm được (ít ra là, một cách gần đúng với sai số bé tùy
ý) điểm bất động đó hay khơng? Có hẳn một lí thuyết trình bày những câu trả
lời khác nhau cho nhửng câu hỏi này, trong đó, ngun lí ánh xạ co Banach là
một câu trả lời đẹp đẽ.
Định nghĩa 1.5.12. Ánh xạ f từ không gian metric (X, d) vào chính nó gọi là
một ánh xạ co nếu có số k, 0 k < 1, sao cho
d(f (x), f (y))

kd(x, y) với mọi x, y ∈ X.

Ví dụ 1.5.13. Ánh xạ f : R → R cho bởi f (x) = xa + b là ánh xạ co nếu a > 1.
Trong trường hợp đặc biệt này ta có thể tìm được điểm bất động duy nhất của
ab
f . Giải phương trình f (x) = x ta được x = a−1
.
Định lí 1.5.14 (Nguyên lí ánh xạ co Banach). Một ánh xạ co từ khơng gian
metric đầy X vào chính nó bao giờ cũng có một điểm bất động duy nhất.
Chứng minh. Giả sử (X, d) là một không gian metric đầy và f : X → X là ánh
xạ thỏa mãn
d(f (x), f (y)) kd(x, y), ∀x, y ∈ X,
(1.5.1)
với hằng số k nào đó, 0 k < 1.
Lấy điểm bất kì x0 ∈ X. Xây dựng dãy {xn } xác định bởi
xn = f (xn−1 ) , n

1.

(1.5.2)

Từ (1.5.1) suy ra
d (xn , xn+1 ) = d (f (xn−1 ) , f (xn ))

kd (xn−1 , xn ) , ∀n

1.

Sử dụng điểu này liên tiếp ta nhận được
d (xn , xn+1 )

kd (xn−1 , xn )

k 2 d (xn−2 , xn−1 )
19

...

k n d (x0 , x1 ) , ∀n

1.


Từ đây, với mọi n, p
d (xn , xn+p )

1, ta có
d (xn , xn+1 ) + p (xn+1 , xn+2 ) + . . . + d (xn+p−1 , xn+p )
k n + k n+1 + . . . + k n+p−1 d (x0 , x1 )

= kn ·

1 − kp
, d (x0 , x1 )
1−k

kn ·

d (x0 , x1 )
→ 0 (n → ∞).
1−k

Điều này chứng tỏ {xn } là một dãy Cauchy trong X, và do X là đầy nên
xn → x ∈ X. Lấy giới hạn hai vế của (1.5.2) khi n → ∞, với để ý rằng f là liên
tục, ta nhận được
x = f (x).
Vậy x là một điểm bất động của f . Giả sử rằng ánh xạ f cịn có một điểm bất
động x = x. Thế thì ta có
0 < d (x, x ) = d (f (x), f (x ))

kd (x, x ) .

Điều này là vơ lí. Vậy x là điểm bất động duy nhất của f và định lí được chứng
minh.
Ví dụ 1.5.15. Cho f : [0, 1] → [0, 1] là một hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, 1]
sao cho |f (x)| < 1 với mọi x ∈ [0, 1]. Khi đó f có duy nhất một điểm bất động.

Thật vậy, theo định lý giá trị trung bình, với mọi x, y ∈ [0, 1], tồn tại z nằm
giữa x và y sao cho f (x) − f (y) = f (z)(x − y). Khi đó
|f (x) − f (y)| = |f (z)| · |x − y| ≤ γ · |x − y|,
trong đó γ = supt∈[0,1] |f (t)| < 1. Vậy f là ánh xạ từ tập đầy đủ [0, 1] vào
chính nó nên f có điểm bất động duy nhất.
Ví dụ 1.5.16. Phương trình sau đây có duy nhất một nghiệm thực
2 sin x − 4 cos x = 2020x.
1
Thật vậy, nếu đặt f (x) = 2020
(2 sin x − 4 cos x), thì phương trình đã cho trở
6
thành f (x) = x. Dể thấy f là f là ánh xạ co vì f (x) ≤ 2020
và do đó f có duy
nhất điểm bất động chính là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

1.6

Khơng gian compact

1.6.1

Định nghĩa tập compact

Trong giải tích cổ điển, ta đã biết một hàm số f liên tục trên đoạn [a, b] có
nhiều tính chất đặc sắc:
1. f bị chặn trên [a, b] và có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên đoạn này;
2. f liên tục đều trên [a, b].
20

Các tính chất này được thiết lập dựa trên một tính chất của đoạn [a, b] được
phát biểu bởi Định lí Bolzano - Weierstrass: Mọi dãy điểm của đoạn [a, b] đều
có một dãy con hội tụ đến một điểm nào đó của đoạn này. Khái qt tính chất
này của đoạn [a, b] ta nhận được khái niệm tập compact trong một khơng gian
metric bất kì.
Cho khơng gian metric X và A là một tập con của X.
Định nghĩa 1.6.1 (Khái niệm tập compact). Tập A gọi là compact nếu mọi
dãy {xn } trong A đều có một dãy con {xkn } hội tụ đến một điểm x ∈ A. Nếu
tập X là compact thì ta nói X là khơng gian compact.
Có những mối liên hệ giữa tính compact và những tính chất khác của mỗi
tập con trong khơng gian metric. Trước hết ta có kết quả sau
Mệnh đề 1.6.2. Một tập compact thì đóng. Một tập con đóng của một tập
compact thì compact.
Chứng minh. Cho A là một tập compact. Giả sủ {xn } là một dãy trong A, xn →
x ∈ X. Vì A compact nên có dãy con {xkn } sao cho xkn → y ∈ A. Nhưng dãy
con {xkn } cũng hội tụ đến x nên x = y ∈ A. Vậy A là đóng.
Bây giờ giả sử B là một tập con đóng của tập compact A. Lấy dãy {xn } bất
kì trong B. Vì {xn } cũng là một dãy trong A và A compact, nên có dãy con
{xkn } hội tụ đến x ∈ A. Nhưng do B đóng nên x ∈ B. Vậy B là compact.
Rõ ràng tập con bất kì của một tập compact không nhất thiết là compact.
Tuy nhiên, những tập như vậy cũng rất tiện lợi cho nhiều phát biểu trong giải
tích. Bởi thế, người ta đưa ra khái niệm:
Định nghĩa 1.6.3. Tập A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A là compact.
Ta cũng có thể diễn đạt: A là compact tương đối khi và chỉ khi mọi dãy {xn }
trong A đều có dãy con {xkn } hội tụ đến một điểm thuộc X (điểm giới hạn đó
khơng nhất thiết thuộc A).
Ví dụ 1.6.4. Trong đường thẳng thực R, đoạn [a, b], (a, b ∈ R, a < b) là
compact; khoảng mở (a, b), và các khoảng nửa mở [a, b), (a, b] là compact tương
đối; các khoảng (−∞, a] hay [a, +∞) là không compact tương đối.

1.6.2

Đặc trưng Hausdorff

Ví dụ 1.6.5. Trong khơng gian metric X bất kì, một tập con hữu hạn thì
compact. Nếu X là khơng gian metric rời rạc thì điều ngược lại cũng đúng.
Định nghĩa 1.6.6. Tập con A được gọi là bị chặn nếu A bị chứa trong một
hình cầu nào đó, nghĩa là tồn tại x ∈ X và số r > 0 sao cho A ⊂ B(x, r).
Định nghĩa 1.6.7. Tập con A của không gian metric X gọi là hoàn toàn bị
chặn nếu với mỗi số > 0, tập A có thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính ,
nghĩa là tồn tại tập con hữu hạn H của X sao cho
A⊂

B(x, ).
x∈H

21


Giữa hai khái niệm này ta có mối liên hệ sau:
Mệnh đề 1.6.8. Một tập hồn tồn bị chăn thì bị chăn.
Chứng minh. Giả sử A là tập hoàn toàn bị chặn trong khơng gian metric (X, d).
Khi đó, với = 1, tồn tại hữu hạn điểm a1 , . . . , an trong X sao cho A ⊂
n
k=1 B (ak , 1). Đặt r = 1 + max1 k n d (a1 , ak ) . Với mọi x ∈ A, tồn tại k ∈
{1, . . . , n} sao cho x ∈ B (ak , 1) nên
d (x, a1 )

d (x, ak ) + d (ak , a1 ) < 1 + d (ak , a1 )

r

Từ đó, A ⊂ B (a1 , r). Vậy A bị chặn.
Nói chung một tập bị chặn có thể khơng hồn tồn bị chặn. Chẳng hạn, giả
sử X là khơng gian rời rạc có vơ hạn điểm. Khi đó, tập X là bị chặn (nằm trong
hình cầu bất kì bán kính 2) nhưng khơng hồn tồn bị chặn, vì hợp của hữu
hạn hình cầu bán kính 12 khơng thể chứa X.
Định lí sau đây cho ta một đặc trưng của tập compact trong không gian
metric đầy đủ. Đặc trưng này được dùng nhiều lần trong giải tích nhằm tìm ra
những dấu hiệu tiện ích để nhận biết những tập compact trong nhiều lớp khơng
gian quan trọng.
Định lí 1.6.9 (Hausdorff). Trong không gian metric đầy, một tập con là compact khi và chỉ khi nó đóng và hồn tồn bị chặn.
=⇒. Giả sử A là một tập compact trong không gian metric đầy đủ X. Theo
Mệnh đề 1.6.2 thì A là đóng. Cịn phải chứng minh A là hồn tồn bị chặn.
Giả sử phản chứng rằng A khơng hồn tồn bị chặn. Khi đó tồn tại > 0
sao cho A khơng thể phủ bởi hữu hạn hình cầu bán kính . Lấy x1 ∈ A. Vì
hình cầu B (x1 , ) khơng thể phủ A nên có x2 ∈ A sao cho d (x1 , x2 )
. Hai
hình cầu B (x1 , ) và B (x2 , ) cũng không phủ được A nên có x3 ∈ A sao cho
d (xi , xk )
với i = k(i, k = 1, 2, 3). Tiếp tục quá trình trên ta nhận được dãy
{xn } trong A với d (xi , xk )
(i = k, i, k = 1, 2, . . .). Rõ ràng, mọi dãy con của
dãy {xn } dều không thể là dãy Cauchy, do đó khơng thể hội tụ. Điều này mâu
thuẫn với giả thiết A là compact. Vậy A là hồn tồn bi chặn.
[⇐=] Giả sử A là đóng và hồn tồn bị chặn. Lấy dãy bất kì σ0 = {xn } trong
A. Vì A phủ được bởi hữu hạn hình cầu bán kính 1, nên có một hình cầu trong
số đó, chẳng hạn B1 , chứa vơ hạn số hạng của dãy σ0 . Kí hiệu σ1 là dãy con
của σ0 gồm các số hạng của σ0 nằm trong B1 . A cũng phủ được bởi hữu hạn
hình cầu bán kính 21 , nên có một hình cầu trong số đó, chẳng hạn B2 , chứa ví

hạn số hạng của dãy con σ1 . Kí hiệu σ2 là dãy con của σ1 gồm các số hạng của
σ1 nằm trong B2 . Tiếp tục quá trình trên ta nhận được các dãy σ1 , σ2 , σ3 , . . .
thoả mãn
σk ⊂ σk−1 và σk ⊂ Bk , k = 1, 2, . . .
trong đó Bk là hình cầu bán kính k1 . Bây giờ lấy xk1 ∈ σ1 , rồi lấy xk2 ∈ σ2 với
k2 > k1 , tiếp theo lấy xk3 ∈ σ3 với k3 > k2 , . . . Tiếp tục quá trình đó ta nhận
được một dãy con {xkn } của dãy ban đầu {xn } . Dãy con {xkn } là dãy Cauchy
22


bởi vì với m > n thì xkn và xkm cùng thuộc Bn , và do đó d (xkn , xkm ) < n2 → 0
(n → ∞). Do X là đầy nên dãy con {xkn } có giói hạn x ∈ X. Nhưng vì A đóng
nên x ∈ A. Vậy A là compact.
Nhận xét 1.6.10. Từ chứng minh trên ta thấy rằng đối với khơng gian X bất
kì (khơng nhất thiết là đầy) thì chiều ⇒ của định lí vẫn đúng. Cũng từ chứng
minh trên, ta nhận thấy rằng một tập compact tương đối thì hồn tồn bị chặn,
và trong khơng gian metric đầy, một tập hồn tồn bị chặn thì compact tương
đối.
Đặc trưng Hausdorff phát biểu cho khơng gian metric đầy đủ bất kì. Riêng
đối với khơng gian Euclid hữu hạn chiều, một trường hợp đặc biệt quan trọng,
ta có kết quả sau:
Định lí 1.6.11. Trong khơng gian Euclid hữu hạn chiều Rk , một tập con là
compact khi và chỉ khi nó đóng và bị chặn.
Chứng minh. Bởi đặc trưng Hausdorff, ta chỉ còn phải chứng minh rằng một
tập bị chặn trong Rk là hoàn toàn bị chặn. Để đơn giản ta xét trường hợp
k = 2. Với trường hợp k bất kì, lập luận vẩn hồn tồn tương tự mà khơng có
khó khăn cơ bản nào. Giả sử A là tập bị chặn trong R2 và > 0 bất kì. Khi
đó, tồn tại M > 0 sao cho A ⊂ [−M, M ] × [−M, M ]. Chia mỗi đoạn [−M, M ]
√ . Khi đó, hình vng
thành n phần bằng nhau với n đủ lớn sao cho 2M

n <
2
[−M, M ] × [−M, M ] bị chia thành n2 hình vng nhỏ Hk , k = 1, . . . , n2 , mà
mỗi hình vng Hk đều nằm trong hình cầu mở Bk chung tâm với Hk và có
n2
bán kính . Từ đó, A ⊂ k=1 Bk . Vậy A hoàn toàn bị chặn.

1.6.3

Đặc trưng Heine-Borel

Ở trên ta đã biết về đặc trưng Hausdorff của tập compact, được mơ tả qua tính
đầy đủ (để ý rằng tập đóng trong khơng gian metric đầy đủ là một khơng gian
metric con đầy đủ) và tính hồn tồn bị chặn. Tính chất "mọi dãy đều chứa
dãy con hội tụ" cịn được gọi là tính chất (hay đặc trưng) Bolzano - Weierstrass
của tập compact. Trong mục này chúng ta sẽ giói thiệu thêm một đặc trưng
nữa của tập compact, được mô tả theo các phủ mở, và được gọi là đặc trưng
Heine - Borel. Đặc trưng này sẽ được khái qt hóa để hình thành khái niệm
tập compact trong không gian tôpô (tổng quát hơn không gian metric) ở chương
sau.
Trước hết để ý rằng, dựa vào Mệnh đề 1.2.10 suy ra, trong mỗi không gian
metric, một khái niệm nào đó có thể mơ tả được qua các tập mở thì cũng có
thể mơ tả được qua các dãy hội tụ và ngước lại. Chẳng hạn, khái niệm tập đóng
(xem Mệnh đề 1.2.14) hay khái niệm ánh xạ liên tục (xem Đinh lí 1.3.2). Khái
niệm tập compact được định nghĩa qua các dãy (con) hội tụ. Vậy nó được mô
tả qua các tập mở như thế nào?
23


Định nghĩa 1.6.12. Giả sử G = {Gα }a∈I , I là một tập bất kì nào đó, là một

họ những tập mở trong X. Họ G gọi là một phủ mở của tập A nếu
A⊂

Gα .
α∈I

Phủ mở G của A gọi là chứa phủ con hữu hạn nếu có tập con hữu hạn
H của tập I sao cho
A⊂
Gα .
α∈H

Định lí 1.6.13 (Heine - Borel). Trong khơng gian metric X, một tập con A là
compact khi và chỉ khi mọi phủ mở của A đều chứa phủ con hữu hạn.
Chứng minh. [=⇒] Giả sử A là một tập compact của khơng gian metric X.
Giả sử phản chứng rằng có G = {Gα : α ∈ I} là một phủ mở của A nhưng
khơng có phủ con hữu hạn nào. Vì A compact nên A là hồn tồn bị chặn.
Do đó, A phủ được bởi hữu hạn hình cầu {B(a, 1) : a ∈ H}, H ⊂ X là một
tập con hữu hạn. Trong số hữu hạn hình cầu này phải có ít nhất một hình
cầu, B1 = B (a1 , 1) chẳng hạn, sao cho A ∩ B1 không thể phủ bởi một họ con
hữu hạn của G. A ∩ B1 cũng là tập hoàn toàn bị chặn nên, tương tự như trên,
có một hình cầu B2 = B a2 , 21 sao cho A ∩ B2 không thể phủ bởi một họ
con hữu hạn của G. Tiếp tục quá trình trên ta nhận được một dãy hình cầu
Bn = B an , n1 , n = 1, 2, . . ., sao cho A ∩ Bn không thể phủ bởi một họ con
hữu hạn của G. Bây giờ, với mỗi số nguyên dương n, lấy xn ∈ A ∩ Bn ta được
dãy {xn } ⊂ A. Do A compact nên có dãy con {xkn } của dãy {xn } sao cho
xkn → x0 ∈ A. Tồn tại α0 ∈ I sao cho x0 ∈ Gα0 . Do Ga0 mở nên có > 0 sao
cho B (x0 , ) ⊂ Ga0 . Chọn n0 đủ lớn sao cho
d (xkn , x0 ) <

2

và

1
< .
kn0
4

Khi đó, với mỗi x ∈ Bkn0 , ta có
d (x, x0 )

d x, xkn0 + d xkn0 , x0 <

2
+ < .
kn0
2

Suy ra Bkn0 ⊂ B (x0 , ) ⊂ Gα0 , và do đó A ∩ Bkn0 phủ được bởi một tập mở
Gα0 của họ G, trái với tính chất của tập A ∩ Bkn0 ở trên. Mâu thuẫn này chứng
tỏ mọi phủ mở của A đều phải chứa phủ con hữu hạn.
[⇐=] Giả sử mỗi phủ mở của A đều chứa phủ con hữu hạn. Giả sử phản
chứng rằng A khơng compact. Vậy thì tồn tại dãy {xn } ⊂ A khơng có dãy con
nào hội tụ đến một phần tử của A. Khi đó, mỗi phần tử y của A có một lân
cận mở Uy chỉ chứa một số hữu hạn phần tử của dãy {xn }. Họ {Uy : y ∈ A} là
một phủ mở của A. Theo giả thiết, tồn tại hữu hạn phần tử y1 , . . . , ym trong A
m
sao cho A ⊂ i=1 Uyi . Suy ra A chỉ chứa hữu hạn phần tử. Vậy thì dãy {xn }
phải có dãy con hội tụ đến một phần tử của A. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy A là

tập compact.
24


1.6.4

Tính chất của ánh xạ liên tục trên tập compact

Trong mục này chúng ta trình bày một số tính chất quan trọng của ánh xạ liên
tục trên tập compact. Đây là tổng qt hóa những tính chất của hàm số liên
tục trên đoạn [a, b] đã biết trong giải tích cổ điển.
Định lí 1.6.14. Ảnh liên tục (ảnh qua ánh xạ liên tục) của tập compact là
compact.
Chứng minh. Giả sử f : X → Y là ánh xạ liên tục giữa hai không gian metric,
A là tập con compact của X. Lấy dãy bất kì {yn } ⊂ f (A). Khi đó, tồn tại dãy
{xn } ⊂ A sao cho yn = f (xn ) với mọi n. Vì A compact nên có dãy con {xkn }
của dãy {xn } sao cho xkn → x ∈ A. Mà f liên tục nên f (xkn ) → f (x) ∈ f (A).
Vậy dãy {yn } có dãy con {ykn } hội tụ đến f (x) thuộc f (A), do đó, f (A) là
compact.
Hệ quả 1.6.15. Một hàm số giá trị thực liên tục trên một tập compact thì bị
chặn và đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất trên tập đó.
Chứng minh. Giả sử A là một tập con compact của không gian metric X và
f : A → R là một hàm số liên tục. Theo Định lí 1.6.14 thì f (A) là tập compact
trong R, do đó, f (A) đóng và bị chặn trong R. Suy ra tồn tại các cận trên đúng,
cận dưới đúng hữu hạn của f (A) :
m = inf f (A) = inf f (x) và M = sup f (A) = sup f (x),
x∈A

x∈A

hơn nữa, m và M đều thuộc f (A). Từ đó, tồn tại các phần tử x1 , x2 thuộc A
sao cho m = f (x1 ) , M = f (x2 ). Vậy f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất
lần lượt tại x1 và x2 .
Định lí 1.6.16. Mọi ánh xạ liên tục trên tập compact là liên tục đều.
Chứng minh. Giả sử (X, dX ), (Y, dY ) là hai không gian metric, A là một tập
con compact của X và f : A → Y là ánh xạ liên tục. Ta chứng minh f liên tục
đều trên A bằng phản chứng. Giả sử f khơng liên tục đều trên A. Khi đó tồn
tại 0 > 0 sao cho với mọi δ > 0 tồn tại xδ , xδ ∈ A, dX (xδ , xδ ) < δ để
dY (f (xδ ) , f (xδ ))

0

Lần lượt lấy δ = 1, 21 , 13 , . . . ta nhận được hai dãy {xn } và {xn } trong A sao
cho
dX (xn , xn ) <

1
n

(1.6.3)

và
dY (f (xn ), f (xn ))

0

vói mọi n

1.

(1.6.4)

Do A compact nên tồn tại dãy con {xkn } của dãy {xn } sao cho xkn → x ∈ A. Từ
(1.6.3), ta cũng có xkn → x. Do f liên tục nên f (xkn ) → f (x) và f (xkn ) → f (x).
Điều này kéo theo
lim dY f (xkn ) , f xkn = 0.
n→∞

25